KEE/POEKEE/POE

88. přednáška. přednáška

NumerickNumerický výpočet ý výpočet derivace a integráluderivace a integrálu

Ing. Milan Bělík, Ph.D.Ing. Milan Bělík, Ph.D.

Numerická derivaceNumerická derivace

Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale neznáme analytické vyjádření neznáme analytické vyjádření => => „neumíme“ derivovat„neumíme“ derivovat

f(x) je složitá f(x) je složitá => => pracná derivacepracná derivace

Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika bodech – diskrétní případbodech – diskrétní případ

Metody založené na na derivování Metody založené na na derivování Lagrangeova interpolačního polynomu PLagrangeova interpolačního polynomu Pnn(x)(x)

Derivujeme na intervalu mezi uzly Derivujeme na intervalu mezi uzly <<a, ba, b>>

Chyba aproximace v uzlovém boděChyba aproximace v uzlovém bodě x xss::

Pravidla numerického derivováníPravidla numerického derivování

Uzly xUzly xii jsou ekvidistantn jsou ekvidistantní s krokem hí s krokem h

xxii=x=x00+ih, h=1,2,3,…+ih, h=1,2,3,…

uzly se nečíslují, ale vyjadřují pomocí uzly se nečíslují, ale vyjadřují pomocí kroku hkroku h

1. derivace polynomu Pn(x)1. derivace polynomu Pn(x)

2. Derivace polynomu Pn(x)2. Derivace polynomu Pn(x)

Parciální derivaceParciální derivace

• Principiálně stejné jako derivacePrincipiálně stejné jako derivace• Derivujeme podle zvolené proměnnéDerivujeme podle zvolené proměnné• Ostatní proměnné „ignorujeme“Ostatní proměnné „ignorujeme“

• dopředná diference:dopředná diference:

Zaokrouhlovací chybaZaokrouhlovací chyba

Teoretická formule:Teoretická formule:

Skutečnost:Skutečnost:

Výsledek:Výsledek:

Chování chybChování chyb

1. sčítanec = formule výpočtu1. sčítanec = formule výpočtu2. sčítanec = diskretizační chyba2. sčítanec = diskretizační chyba

Velký vliv zaokrouhlovacích chyb:Velký vliv zaokrouhlovacích chyb:• ve vstupních datechve vstupních datech• během výpočtuběhem výpočtuPro maPro malá h jde o špatně podmíněnou úlohulá h jde o špatně podmíněnou úlohu

Odhad chybyOdhad chybyCelková chyba: E = ECelková chyba: E = Edd + E + Err

Optimální délka kroku h – minimum funkce g(x):Optimální délka kroku h – minimum funkce g(x):

Při numerickém výpočtu derivace s optimálním krokem h dochází Při numerickém výpočtu derivace s optimálním krokem h dochází ke ztrátě přibližně poloviny platných číslicke ztrátě přibližně poloviny platných číslic

Zpřesnění výpočtuZpřesnění výpočtu

Richardsonova extrapolaceRichardsonova extrapolace

Příklad – výpočet derivace f(x) = cos(x), x = 1, h = 0,8, chyba = 10Příklad – výpočet derivace f(x) = cos(x), x = 1, h = 0,8, chyba = 10 -5-5

(přesná hodnota = -0,84147098)(přesná hodnota = -0,84147098)

Numerická integraceNumerická integrace

Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale neznáme analytické vyjádření neznáme analytické vyjádření => => „neumíme“ integrovat„neumíme“ integrovat

f(x) je složitá f(x) je složitá => => pracná integracepracná integrace

Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika bodech – diskrétní případbodech – diskrétní případ

Pravidla numerického integrováníPravidla numerického integrování

Integrujeme aproximaci Integrujeme aproximaci „integrované“ funkce„integrované“ funkceZa přibližnou hodnotu považujeme hodnotu Za přibližnou hodnotu považujeme hodnotu tohoto integrálutohoto integrálu

Q(f) se nazývá kvadraturní formuleQ(f) se nazývá kvadraturní formuleDiskretizační chyba Q(f):Diskretizační chyba Q(f):

Kvadraturní formule je řádu r, jestliže přesně Kvadraturní formule je řádu r, jestliže přesně integruje polynomy stupně r a nikoliv r+1integruje polynomy stupně r a nikoliv r+1

Základní formuleZákladní formuleobdélníkováobdélníková

lichoběžníkoválichoběžníková

SimpsonovaSimpsonova

BooleovaBooleova

Složené formuleSložené formule – dělení intervalu - ekvidistantní – dělení intervalu - ekvidistantní

Obdélníková formuleObdélníková formule

Vzorec formule:Vzorec formule:

Chyba metody:Chyba metody:

Lichoběžníková formuleLichoběžníková formule

Vzorec formule:Vzorec formule:

Chyba metody:Chyba metody:

Simpsonova formuleSimpsonova formule

Vzorec formule:Vzorec formule:

Chyba metody:Chyba metody:

Booleova formuleBooleova formule

Vzorec formule:Vzorec formule:

Chyba metody:Chyba metody:

Složené formuleSložené formule

Ekvidistantní dělení intervaluEkvidistantní dělení intervalu

Použití základních formulí (stejných)Použití základních formulí (stejných)ObdélníkováObdélníková

LichoběžníkováLichoběžníková

SimpsonovaSimpsonova

BooleovaBooleova

Délka dělení = krok dělení - hDélka dělení = krok dělení - h

Složená obdélníková formuleSložená obdélníková formule

Součet jednoduchých obdélníkových formulí Součet jednoduchých obdélníkových formulí na podintervalechna podintervalech

Vzorec formule:Vzorec formule:

Chyba metody:Chyba metody:

Složená lichoběžníková formuleSložená lichoběžníková formule

Součet jednoduchých lichoběžníkových Součet jednoduchých lichoběžníkových formulí na podintervalechformulí na podintervalech

Vzorec formule:Vzorec formule:

Chyba metody:Chyba metody:

Složená Simpsonova formuleSložená Simpsonova formule

Sudý počet subintervalůSudý počet subintervalů

Součet jednoduchých simpsonových formulí Součet jednoduchých simpsonových formulí na „dvojitých“ intervalech 2h: na „dvojitých“ intervalech 2h: <<xx00, x, x22>>, , <<xx22, x, x44>>

Vzorec formule:Vzorec formule:

Chyba metody:Chyba metody:

Přesnost výpočtuPřesnost výpočtuZadaná (zvolená) chyba Zadaná (zvolená) chyba εε

Odhad chyby složené obdélníkové formule:Odhad chyby složené obdélníkové formule:

Odhad chyby složené lichoběžníkové formule:Odhad chyby složené lichoběžníkové formule:

Odhad chyby složené Simpsonovy formule:Odhad chyby složené Simpsonovy formule:

Výpočet počtu subintervalů n = (b – a)/h:Výpočet počtu subintervalů n = (b – a)/h:

Takto zjištěný počet je zbytečně velkýTakto zjištěný počet je zbytečně velký

Metoda polovičního krokuMetoda polovičního kroku

Výpočet integrálu s krokem hVýpočet integrálu s krokem h

Výpočet integrálu s krokem h/2Výpočet integrálu s krokem h/2

Kombinací výsledků získáme odhad chybyKombinací výsledků získáme odhad chyby

Další metodyDalší metody

Rombergova metodaRombergova metodaExtrapolace složené lichoběžníkové formuleExtrapolace složené lichoběžníkové formule

Adaptivní integraceAdaptivní integraceNerovnoměrné dělení intervalu podle „hladkosti“ funkceNerovnoměrné dělení intervalu podle „hladkosti“ funkce

Numerická integrace je dobře podmíněná Numerická integrace je dobře podmíněná úlohaúloha

Příklad algoritmu – lichoběžníková f.Příklad algoritmu – lichoběžníková f.

Příklad algoritmu – Simpsonova f.Příklad algoritmu – Simpsonova f.