Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výuky

Číslo a název šablony klíčové aktivity:

EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-53 – DERIVACE FUNKCE IX(derivace exponenciálních a logaritmických funkcí)

AnotaceZopakování exponenciálních, logaritmických funkcí a pojmu inverzní funkce. „Rychlé“ nalezení rovnice inverzní funkce k funkci logaritmické (exponenciální). Odvození (důkaz) derivací logaritmických a exponenciálních funkcí.

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstupŽák chápe odvození derivace exponenciálních a logaritmických funkcí, odvozené vzorce dovede používat při řešení úloh.

Klíčová slova Exponenciální funkce, logaritmická funkce, inverzní funkce, derivace exponenciální a logaritmické funkce.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 30. 1. 2013

PŘÍKLAD 1: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci.

f: y = 2x; D(f) = R; H(f) = (0; + )f -1: x = 2y log2x = log22y log2x = y . log22 y = log2x

D(f-1) = H(f) = (0; + ); H(f-1) = D(f) = R

Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = 2x-1 + 4.

14log:

14log4log1

2log14log

2log4log

2442:

)()();;4()()(

);4()(;)(

42:

21

22

22

122

111

11

1

xyf

xyxy

yx

x

xxf

RfDfHfHfD

fHRfD

yf

y

yy

x

xya

aaxaxxyRaRyx loglog;1;;;0

PŘÍKLAD 2: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci.

f: y = ex; D(f) = R; H(f) = (0; + )f -1: x = ey logex = logeey ln x = y . ln e y = ln x

D(f-1) = H(f) = (0; + ); H(f-1) = D(f) = R

Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = ex+1 – 3.

13ln:

13ln3ln1

ln13ln

ln3ln

33:

)()();;3()()(

);3()(;)(

3:

1

1

111

11

1

xyf

xyxy

eyx

ex

exexf

RfDfHfHfD

fHRfD

eyf

y

yy

x

xy exexxyRyx lnln;;;0

PŘÍKLAD 3: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci.

f: y = 2–x =0,5x; D(f) = R; H(f) = (0; + )f -1: x = 0,5y log0,5x = log0,50,5y log0,5x = y . log0,50,5 y = log0,5x

D(f-1) = H(f) = (0; + ); H(f-1) = D(f) = R

Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = 0,5x+1 –3.

xya

aaxaxxyRaRyx loglog;1;;;0

13log:

13log3log1

2

1log13log

2

1log3log

2

133

2

1:

)()();;3()()(

);3()(;)(

32

1:

21

1

21

21

21

21

1

21

21

111

11

1

xyf

xyxy

yx

x

xxf

RfDfHfHfD

fHRfD

yf

y

yy

x

ANIMACE – PŘÍKLAD 3: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci.

13log:32

1:

21

11

xyfyfx

PŘÍKLAD 4: Inverzní funkce k logaritmické (exponenciální) funkci. f: y = log2x; D(f) = (0; + ); H(f) = Rf -1: x = log2y log22x = log2y y = 2x

D(f-1) = H(f) = R; H(f-1) = D(f) = (0; + )

Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = log2(x–2)+1.

xya

aaxaxxyRaRyx loglog;1;;;0

);2()()(

;)()(

)();;2()(

1)2(log:

1

1

2

fDfH

RfHfD

RfHfD

xyf

22:

2222

)2(log2log

)2(log1

1)2(log:

11

11

21

2

2

21

x

xx

x

yf

yy

y

yx

yxf

ANIMACE – PŘÍKLAD 4: Inverzní funkce k logaritmické (exponenciální) funkci.

22:12log: 112 xyfxyf

DERIVACE exponenciální funkce y = ex (nejdříve jedna důležitá limita)

DERIVACE exponenciální funkce y = ex (odvození derivace funkce pomocí definice derivace)

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

1

1limlim

1lim

1

limlim

00

00

/

xx

xx

xx

x

xx

xxx

xx

x

xx

xx

xx

xxxx

x

ee

xx

ee

xx

ee

xx

ee

e

xx

eee

Při odvození derivace funkce použijeme následující úvahy:x x0 (x – x0) 0; položíme-li h = x – x0 h 0

xx eeRx /

;

Funkce y = ex se derivací nemění!

y = y/ = ex

DERIVACE exponenciální funkce y = ax

Při odvození derivace funkce použijeme následující:1. y = ln x ey = x elnx = x (definice přirozeného logaritmu);2. dosadíme-li v rovnici elnx = x za x = a, dostaneme elna = a (a>0);3. potom platí ax = (elna)x = ex.lna.

y = ax y/ = (ax)/ = (ex lna)/ =

[použitím derivace složené funkce dostaneme]

= ex lna . (x . lna)/ = ex lna . [(x)/ . lna + x . (lna)/ ] =[použití derivace součinu funkcí]

= ex lna . [ lna + 0 ] = ex lna . lna = ax . lna

x R; a R+ – {1};(ax)/ = ax . lna

Dosadíme-li do odvozeného vzorce za a = e, dostaneme:

(ex)/ = ex . lne = ex . 1 = ex.

DERIVACE logaritmické funkce y = logax

Při odvození derivace funkce y = logax použijeme derivaci inverzní funkce

y = logax x = ay

x (0; + ); y R; a R+ {1}

01

0

1)(

yfxf

axaaa

xy yya ln

1

ln

11log /

//

Dosadíme-li za a = e dostaneme:

xeeee

xxy yyye

11

ln

11lnlog /

///

SHRNUTÍ – DERIVACE EXPONENCIÁLNÍCH A LOGARITMICKÝCH FUNKCÍ

xx

xx

ee

aaa

/

/ln

x

x

axxa

1ln

ln1

log

/

/

AUTOTEST – VYPOČÍTEJTE DERIVACE FUNKCÍ:

xxy

xy

ey

xy

y

xx

x

cos3sin5ln.5

45ln.4

.3

log.2

7.1

25

3

2

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.