parciální derivace

Parciální derivace

Derivace pro funkce jedné proměnné máme zavedeny dobře. Jak ale přistupovat k funkcím více proměnných? Dá se k prostorovému oboru hodnot vyrobit tečna?

Geometrická představa derivace z R1 zde mírně narazí – pro daný bod existuje nekonečně mnoho tečen (tečná rovina). Musíme ji trochu poopravit.

x

y RRf 2:

Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti




Proložíme funkci rovinou rovnoběžnou s osou x. Průnik roviny a funkce utvoří rovinnou křivku – graf funkce fy : R -> R. V zápisu funkce se sice i nadále bude vyskytovat y, ale pouze jako konstantní parametr. Nyní lze snadno utvořit tečnu rovnoběžnou s osou x, resp. der-ivaci podle x.

x

y

RRf y :

0

0 )()(lim

0xx

xfxff yy

xxy




Stejně to můžeme udělat v kolmém směru:

x

y

RRf x :

0

0 )()(lim

0yy

yfyff xx

yyx



Tyto dvě přímky nám opravdu vytyčují rovinu. Co z toho ale můžeme nazvat „derivací“ ? Jednu z přímek, nebo výslednou rovinu?

x

y

0

0 )()(lim

0yy

yfyff xx

yyx

0

0 )()(lim

0xx

xfxff yy

xxy


Definice 76.

h

hzyxfzyxf

z

f

h

zhyxfzyxf

y

f

h

zyhxfzyxf

x

f

h

h

h

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

lim

lim

lim

0

0

0

Buď f reálná funkce více proměnných . Pro tuto funkci definujeme parciální (částečné) derivace podle jednotlivých proměnných jako

RRf 3:

Obdobně lze definovat parciální derivace pro funkci obecně n proměnnýchJe zřejmé, že tyto definice jsou ekvivalentní s dříve použitými derivacemi :

RRf n :

h

zyhxfzyxf

x

f

xx

xfxff

h

yy

xxy

),,(),,()()(limlim

00

0

0


Matematická definice je sice výstižná, přeci jen je třeba zdůraznit, že parciální derivování se provádí pouze v jedné zvolené proměnné a ostatní proměnné se chovají jako konstanty. Tedy například :

yyz

f

yzey

f

eyeyx

f

yzeyzyxf

x

xx

x

sinsin0

cos

0)(

sin),,(

Zde je vše kromě e-x konstanta. Druhý člen tedy úplně zmizí (derivace konstanty je nula), y se nemění (násobení funkce konstantou).

Zde e-x se chová jako konstanta, která násobí y. První člen tedy derivujeme jako polynom prvního řádu – y zmizí. V druhém členy se sin y změní na cos y, z je konstantní a nemění se.

V prvním členu se z nevyskytuje – celý výraz derivujeme jako konstantu a mizí. Druhý člen je v z polynomem prvního stupně a zůstane z něj jen násobící konstanta – tedy sin y.

Spočítejte parciální derivace funkcePříklad

22223),,( zxyzyxzyxf

Parciální derivace vyšších řádů

z

f

z

f

z

f

y

f

y

f

y

f

x

f

x

f

x

f2

2

2

2

2

2

Funkce můžeme derivovat opakovaně podle stejných či různých proměnných. Druhé parciální derivace jsou definovány jako:

Stejně tak jsou definovány parciální derivace smíšené:

z

f

x

f

xz

f

x

f

z

f

zx

f

z

f

y

f

yz

f

y

f

z

f

zy

f

y

f

x

f

xy

f

x

f

y

f

yx

f

22

22

22

Pořadí výrazů v čitateli je důležité, určuje pořadí derivací! Nicméně prohodíme-li pořadí parciálních derivací, dostaneme stejné výsledky, je-li původní funkce f dostatečně „mravně se chovající“.


Spočítejte smíšené druhé parciální derivace funkce

Příkladyx

xyxf

),(

Věta 41. Záměnnost smíšených derivací : jsou-li smíšené derivace v bodě [x0, y0] spojité, pak jsou si zde rovny.

xy

f

yx

f

22

,

2222 )()(

1)(0

)()(

1)(1

yx

x

yx

xyx

y

f

yx

y

yx

xyx

x

f

34

22

4

222

4

22

4

2

2

2

)()()(

222

)(

22)(

)(

)(2)(1

)(

yx

yx

yx

yx

yx

yxyyxyx

yx

yxyyx

yx

yxyyx

yx

y

yyx

f

332

2

)()()( yx

yx

yx

xy

yx

x

xxy

f

symetrie vůči záměně proměnnýchxy

f

yx

f

22



Příklady

xyxf ),(


Příklad22

),(yx

xyxf


DÚyx

yyxxyxf

)cos()sin(

),(


Příklad xyyxf sin),( 2

Totální diferenciál

Připomeňme si zavedení diferenciálu pro funkci jedné reálné proměnné:

dxafafdfa )()()( Diferenciál funkce f(x)=x

(df)(ξ) = x’ξ = 1.ξ = ξ

lineární zobrazeníf’(x) dx

Pro zobrazení f : R -> R neměl pojem diferenciálu příliš valný význam. Ovšem pro analýzu ve více rozměrech je důležitý.

Obecně:

dxxfxdf )()(Diferenciál je zjednodušeně řečeno nahrazení dané funkce f přímkou ve zkoumaném bodě. Ve všech infini-tezimálních vztazích pak pracujeme s df a dx místo f a x.


Ve více rozměrech fungují jednotlivé diferenciály stejně pro každou proměnnou zvlášť :

x

y

dzz

fdf

dyy

fdf

dxx

fdf

z

y

x

dxx

f

dyy

f

Po krátkém zamyšlení zjistíme, že diferenciály dx, dy, dz (v R3) jsou totožné se souřadnicovými fun-kcionály z lineární algebry – vektorový prostor je zde definiční obor.

Na základě algebry pak snadno můžeme definovat totální dife-renciál funkce f jako lineární zobrazení z definičního oboru do oboru hodnot.

dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

f : R2 -> R

dyy

fdx

x

fdf



dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

je tedy lineární zobrazení, které plní obdobnou funkci jako tečna v jednorozměrném případu funkce f : R -> R. Funkci, která má totální diferenciál říkáme diferencovatelná. Existují funkce, které totální diferenciál nemají (jejich parciální derivace nejsou spojité), těmi se ale nebudeme zabývat, neboť obvykle nemají fyzikální význam.

Druhý totální diferenciál zavádíme pomocí druhých derivací takto (příklad pro R2) :

ydy

fdxdy

xy

fxd

x

f

ydy

f

ydydx

x

f

ydxdy

y

f

xxd

x

f

x

dyy

fdxdy

y

fdx

x

f

xdydf

y

fdxdf

xfd

22

22

2

22

2

2

''

Záměna smíšených derivací


Aparát totálního diferenciálu nabývá na významu například v termodynamice. Termodynamické potenciály jsou diferencovatelné a jejich přírůstky jsou totální diferenciály, například pro vnitřní energii plynu platí

dVpdSTdUVSUU ),(

tj. vnitřní energie je v tomto případě funkcí entropie a objemu a dá se ukázat, že

V

Up

S

UT

Vnitřní energii můžeme popsat i pomocí jiných proměnných a diferenciály pak mezi sebou volně přechází.

Derivace ve směru

Derivace podle os x a y jsme si přiblížili za pomocí řezu rovinou rovnoběžnou s osou x resp. y. Brání nám ale něco natočit si rovinu i jinak?

x

y u

t

xfutxf

ud

dfxf

tu

)()()( lim

0

Dejme tomu, že jednotkový vektor udává směr v definič-ním oboru, ve kterém chceme derivovat. Potom derivaci ve směru lze definovat jako

u

u

Funkce zde jako argument má vektor z definičního oboru : . Výraz v argu-mentu funkce je pak vyjádřením přímky procházející bodem a směrem .

),,()( zyxfxf

utx u

x

Dle této definice jsou pak parciální derivace podle jednotlivých proměnných vlastně derivace ve směru bazických vektorů:

atd.,,21 ee f

y

ff

x

f

Derivace ve směru

Věta 42.Buď f zobrazení f : Rn -> R, spojité v okolí bodu a, buďtevektory z Df. Potom

vu

,

z

f

y

f

x

fff ,, grad

Vektor parciálních derivací funkce f nazýváme gradient:

1) Pro libovolné reálné c platí )()( afcaf ucu

2) Platí )()()( afafaf vuvu

3)

,,,, grad)( yxu uuy

f

x

fufaf

Gradient

Kromě os (x, y,…) existuje v definičním oboru funkce i další význačný směr – směr nejvyššího přírůstku funkce. Tento směr je intuitivně dobře pochopitelný – stojíte-li ve svahu, pak směr největšího přírůstku je ten, ve kterém je od vás svah nejpříkřejší. Tento směr je určen gradientem.

xy

V bodě [x,y] funkce nejvíce roste

Směr, ve kterém funkce roste

nejvíce, je gradientTvrzení plyne ihned z

bodu 3 předchozí věty:

cos grad grad)( ufufafu

což je standardní pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů. Toto číslo je ale největší, pokud cos φ je maximální – a to je pro φ = 0, tedy u a grad f splývající.

Derivace ve směru a gradient

Spočítejte derivaci funkce ve směruPříklad 22

),(yx

xyxf

)1,2(5

1u

v bodě [1,2]

Nejprve spočítáme gradient : 4,3, grad 51

y

f

x

fff

5

4

41

21222)(0

5

3

41

142)(1

2222

22

22

22

22

22

yx

xy

yx

yxyx

y

f

yx

xy

yx

xxyx

x

f

552

551

51

51

51

)1,2(51

)1,2(

)46()1,2()4,3(

)1,2( grad)2,1()2,1()2,1(5

1

ffffu

Gradient

Gradient se zapisuje nejčastěji pomocí operátoru nabla:

zyx,, grad

Tento operátor lze pak funkcí formálně vynásobit zprava:

z

f

y

f

x

ff

zyxf ,,,,

Úplný diferenciál pak můžeme vyjádřit jako formální skalární součin gradientu funkce a vektoru :),,( dzdydxxd

dzz

fdy

y

fdx

x

ffdz

zdy

ydx

x

fdzdydxzyx

fxddf

),,(,, )(

Vektorová pole

Analýzu lze rozšířit i na vektorová pole, tedy zobrazení A : Rn -> Rn. Zobrazení každému bodu v prostoru přiřazuje nějaký význačný směr (vektor).

Vektorové pole například vznikne, když každému bodu v korytě řeky přiřadíte vektor rychlosti, který v něm má částice vody, když jím prochází. Vektorové pole popisuje rovněž intenzity gravitačních či elektrických polí.

Vektorová pole

Parciální derivace vektorového pole zavedeme obdobně jako u skalární funkce :

h

zyxAhzyxA

z

A

h

zyxAzhyxA

y

A

h

zyxAzyhxA

x

A

zz

h

z

yx

h

x

xx

h

x

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

lim

lim

lim

0

0

0

tj. pro každou proměnnou a pro každou složku zvlášť. Jedná se vlastně o ekvivalent tří funkcí Ax : R3 -> R, Ax : R3 -> R, Ax : R3 -> R . Speciální případ vektorového pole je

z

f

y

f

x

ffA ,,

tzv. potenciální pole, kde parciální derivace pro Ax, Ay, Az vedou na smíšené derivace funkce f. Toto je případ rozumných fyzikálních polí (centrální gravitační či elektrické).

Divergence vektorového pole

Divergence je způsob popisu „zdrojů“ v poli. Pole na obrázku má jeden určitý bod, ze kterého se vektory „rozbíhají“. Zde je jakýsi zdroj vektorů – pole je zde má nenulovou divergenci. V popisu vodního toku je bod s nenulovou divergencí „ústí hadice“ – voda se zde objevuje.

Na dalším obrázku jsou příklady polí s dvěmi „zdrojovými“ body.

Divergence vektorového pole

Matematicky je divergence definována následovně:

div AA

Přepíšeme-li si tento formální zápis, získáme

z

A

y

A

x

AAAA

zyxAA zyx

zyx

,,,, div

Divergence je číslo, které má nenulovou hodnotu pouze ve zdroji a jeho velikost je úměrná „množství vytékajících vektorů“ v tomto bodě.

Rotace vektorového pole

V poli zobrazeném vlevo se vektory „motají v kruzích“ kolem společného středu. V tomto bodě má pole nenulovou rotaci. V popisu vodního toku by bod s nenulovou rotací byl středem víru.

Pole napravo je složitější. Vektory „krouží“ kolem bodů, které leží na kružnici procházející středem pomyslného toroidu. Pole má nenulovou rotaci na celé této kružnici.

Rotace vektorového pole

Matematicky je rotace definována následovně:

rot AA

Oproti divergenci je zde vektorový součin (nikoliv skalární). Po rozepsání dostane-me

y

A

x

A

x

A

z

A

z

A

y

A

AAAzyx

AA

xyzxyz

zyx

,,

,,,, rot

Rotace je tedy vektor kolmý na směr „motání se“ vektorů a jeho velikost je úměrná velikosti tohoto „vektorového tanečku“.

Derivace složených funkcí

Derivovat složené funkce více proměnných lze relativně snadno. Musíme si pouze uvědomit, že každá složka se parciálně derivuje jako funkce jedné proměnné. Tedy:

)),(),,(( yxgyxfhhDerivovat složené funkce více proměnných lze relativně snadno. Musíme si pouze uvědomit, že každá složka se parciálně derivuje jako funkce jedné proměnné. Tedy:

y

g

g

h

y

f

f

h

y

h

x

g

g

h

x

f

f

h

x

h

Derivace vnější funkce - vnější funkci derivujeme podle vlastních proměnných. Až potom je nahradíme nezměněnými vnitřními funkcemi f a g.

Derivace vnitřních funkci - derivace vnějších funkcí vynásobíme derivacemi vnitřních stejně jako v případě funkce jedné reálné proměnné.


Zderivujte složenou funkciPříkladyxyxh cos)(sin),(

Funkce je zjevně složená takto : babah ),( xyxf sin),( yyxg cos),(

)),(),,((),( yxgyxfhyxh

Zderivujeme vnější funkci :bb aa

b

h

g

hab

a

h

f

h

ln1

Zderivujeme vnitřní funkce : yy

g

x

gsin0

0cos

y

fx

x

f

xxyaaxabx

g

g

h

x

f

f

h

x

h ybb cos)(sincos0lncos 1cos1

yxxyaaaby

g

g

h

y

f

f

h

y

h ybb sin)(sin)ln(sinsinln0 cos1


Zderivujte funkciPříkladxxxh )(

Funkci si převedeme na složenou : babah ),( xxf )(

xxg )())(),(()( xgxfhxh

Zderivujeme vnější funkci :bb aa

b

h

g

hab

a

h

f

h

ln1

Zderivujeme vnitřní funkce : 1

x

g1

x

f

)ln1(ln)(

1ln1)(

1

1

xxxxxx

aaabx

g

g

h

x

f

f

h

x

hxh

xxx

bb

Extrémy funkcí více proměnných

Hledáme-li extrém funkce více proměnných na celém definičním oboru, postup je analogický jako pro funkci jedné proměnné – spočítáme všechny parciální derivace a položíme je rovny nule. Výsledek soustavy rovnic je kandidát na extrém. Například :

142),( 22 xxyxyxf

042022

yy

fx

x

f

a tedy lokální extrém leží v bodě [1,2]. Protože funkce je v obou osách parabolická a rostoucí k plus nekonečnu, jedná se o minimum, f(1,2)= 1+4-2-8+1 = -4.

Najděte extrémy funkcePříklad zxzyyxzyxf ),,(


Otázkou zůstává, jak počítat extrémy vázané na nějakou podmnožinu definičního oboru. Například jak spočítat extrémy funkce na elipse

12

2

2

2

b

y

a

xxyyxf ),(

Extrém na podmnožině Df (varietě) hledáme pomocí

Lagrangeových multiplikátorů.


Mějme funkci n reálných proměnných

0),,,(

0),,,(1

zyx

zyx

m

),,,( zyxfVěta 43.

a varietu popsanou m rovnicemi

Kandidáty na extrémy získáme sestrojením Lagrangeovy funkce

),,,(),,,(),,,(1

zyxzyxfzyx i

m

ii

a výpočtem soustavy rovnic

0),,,(

0),,,(

,0,0,0

1

zyx

zyx

zyx

m

získáme (x,y,z,…) a sadu lagrangeových multiplikátorů λ1, … λm.


Extrém na elipse:

12

2

2

2

b

y

a

xxyyxf ),(

1),(

2

2

2

2

b

y

a

xxyyx

01

02

02

2

2

2

2

2

2

b

y

a

x

b

yx

y

a

xy

x


Extrém na elipse: 12

2

2

2

b

y

a

xxyyxf ),(

01

02

02

2

2

2

2

2

2

b

y

a

x

b

yx

y

a

xy

x

1

022

2

2

2

2

2

2

b

y

a

x

b

yx

x

ya

1

02

2

2

2

2

2

2

2

b

y

a

x

x

ya

b

yx

1

0

2

2

2

2

2

2

2

2

b

y

a

x

b

y

a

x

2

1

2

1

2

2

2

2

b

y

a

x

2

2b

y

ax


Najděte extrémy funkcena povrchu koule

Příklad zxzyyxzyxf ),,(04),,( 222 zyxzyx

Dvojný integrál

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

123

2

Integrál funkce dvou (a případně více) proměnných definujeme obdobně jako pro funkce jedné proměnné. Rozdělení definičního oboru viz obrázek. V každém obdélníčku definujeme vektor αij a integrální součet jako ix

jy

j

mn

ji

iij yxfY

,

11

)()(

RcY )(lim

Pokud pro všechny posloupnosti normálních (ve smyslu obvodu každého obdélníčku limitně se blížícího nule) rozdělení podmnožiny Df existuje

Pak je funkce integrovatelná a píšeme

M

b

b

a

adxdyyxfdxdyyxfc ),(),(

2

1

2

1

M

Dvojný integrál

Fubiniova věta : Buď M uzavřený obdélník a1 ≤ x ≤ a2, b1 ≤ y ≤ b2 . Je-li funkce f na M spojitá a omezená, pak platí

dydxyxfdxdyyxfdxyxfb

b

a

aM

a

a

b

b

2

1

2

1

2

1

2

1

),(),(),(

Věta 44.

Spočítejte integrálPříklad

e

eedye

dyedyedyey

y

dydxeydydxeydxdyey

yy

yxyxy

xyxyxy

11111

11

10

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

Dvojný integrál

Integrační meze mohou záviset na ostatních proměnných. V takovém případě je důležitá správná volba pořadí integrace, aby úloha nebyla příliš komplikovaná.

Příklad Spočítejte objem elipsoidu daného rovnicí 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Vyjádříme polovinu objemu (horní půlku, odřízlou rovinou xy) pomocí integrálu z funkce

2

2

2

2

1),(b

y

a

xcyxfz

Podstava půlelipsoidu je omezena elipsou vyjádřenou jako jejíž rovnici v rovině xy (Df) dostaneme

012

2

2

2

b

y

a

x

221 axby

To nám dává integrační meze. x je z intervalu <-a,+a>, ale mez pro y závisí na x. Budeme řešit integrál

dydxb

y

a

xc

a

a

axb

axb

22

22

1

1 2

2

2

2

1

Dvojný integrál

Integrál zpracujeme Fubiniovou větou:

dxdyb

y

a

xcdydx

b

y

a

xc

a

a

axb

axb

a

a

axb

axb

22

22

22

22

1

1 2

2

2

21

1 2

2

2

2

11

Zavedeme označení 01 22 axm a spočítáme nejprve vnitřní integrál:

2

2

22

222

22

222

2

22

2

2

2

2

1cos

cossin1

cossin

1

2

2

2

2

2

2

a

xccmdttcm

dtttcm

dtttmmc

dyb

ymcdy

b

y

a

xc

bm

bm

bm

bm

substituce

2

2

sin

sin

cos

sin

ttbmbm

ttbmbm

dttbmdy

tbmy

Tento výsledek dosadíme do vnějšího

integrálu.

Dvojný integrál

Dosadíme:

abcacba

aacb

a

xxcb

dxa

xcbdx

a

xcbdydx

b

y

a

xc

a

a

a

a

a

a

a

a

axb

axb

3

2

3

4

3

22

3

111

22

3

22

3

2

2

2

22

2

2

1

1 2

2

2

222

22

A protože jsme počítali polovinu objemu, vyšel nám celý objem jako

abcV 3

4

Substituce ve dvojném integrálu

Buď M uzavřená jednoduše souvislá1) množina (proměnné u, v) se zobrazí jednoznačně na uzavřenou jednoduše souvislou1) množinu N (proměnné x, y) prostým a „na“ zobrazením

),(),( vuyyvuxx

Věta 45.

Nechť funkce f(x,y) je omezená a spojitá na oblasti N. Potom platí

dudvvuDyxvyxufdxyxfMN

),()),(),,((),( kde D(u,v) je Jacobiho determinant (Jacobián) transformace :

v

y

u

yv

x

u

x

vuD det),(

1) Pozn : pro naše účely toto znamená „v jednom kuse a bez děr“.

Dvojný integrál

PříkladZintegrujte funkci na mezikruží o poloměrech R1 = 1 a R2 = 2. 22

),(yx

xyxf

Tento problém si přímo říká o polární souřadnice. Tedy naše substituce bude

sincos ryrx

Jinými slovy, místo diferenciálů dx dy budeme po substituci psát r dr dφ, což odpovídá „fyzikálnímu“ odvození z transformací souřadnic. Funkci pak upravíme

Jakobián vyjádříme takto:

rrr

r

r

y

r

y

x

r

x

vuD

)sin(cos

cossin

sincosdetdet),(

22

rrr

r

yx

xyxf

cos

sincos

cos),(

222222

Dvojný integrál

Poslední problém je transformace mezí – ale ta je v tomto případě jasná, neboť má-li integrace probíhat přes celé mezikruží, musí být proměnné v intervalech

2,0, 21 RRr

Což sedí, funkce je zjevně sudá v y a lichá v x, takže polovina z ní je pod rovinou xy a polovina nad.

Dosadíme tedy do integrálu:

0sin)(

cos).(cos

cos

2012

2

012

2

0

2

022

2

1

2

1

RR

dRRddr

ddrrr

dxdyyx

x

R

R

M

R

R

Dvojný integrál

Příklad Spočítejte integrál dxe x

2

Shrnutí

• Parciální derivace

• Totální diferenciál

• Derivace ve směru

• Gradient

• Vektorové pole, divergence, rotace

• Parciální derivace složených funkcí

• Extrémy funkcí více proměnných

• Vázané extrémy funkcí více proměnných

• Dvojný integrál

• Fubiniova věta

• Substituce ve dvojném integrálu

parciální derivace

Documents