24. parciální diferenciální rovnice

24. Parciální diferenciální rovniceAplikovaná matematika IV, NMAF074

M. Rokyta, KMA MFF UK

LS 2011/12

M. Rokyta, KMA MFF UK 24. Parciální diferenciální rovnice

24.1 Rovnice vedení tepla

Definice (Rovnice vedení tepla)

Parciální diferenciální rovnici

c(x)ρ(x)∂u∂t

− div(k(x , t , u)∇u) = f (x , t) (1)

nazýváme obecnou rovnicí vedení tepla . Zde c(x) mávýznam (bodové) merné tepelné kapacity, ρ(x) je bodováhustota látky, k(x , t , u) je koeficient tepelné vodivosti af (x , t) vyjadruje hustotu tepelných zdroju. Hodnota rešeníu(x , t) pak vyjadruje hodnotu teploty v case t a bode x .


24.1 Rovnice vedení tepla (pokrac.)

PoznámkaZjednodušený model je charakterizovaný volbamic = ρ = 1, k = konst. = a2 > 0. Potom má rovnice (1) tvar

∂u∂t

− a2∆u = f (x , t) . (2)

Rovnici (1) resp. (2) casto doplnujeme tzv. pocátecnípodmínkou

u(x , 0) = g0(x) , x ∈ Rm , (3)

kde g0 predstavuje rozložení pocátecní teploty v caset = 0.



Veta 24.1 (Fundamentální rešení operátoru vedení tepla)

Bud’

L(u) =∂u∂t

− a2∆u , a > 0 , (4)

operátor vedení tepla. Potom funkce (viz obrázek)

G(x , t) :=1

(4πa2t)m2

e− |x|2

4a2t , x ∈ Rm , t > 0 , (5)

je fundamentálním rešením operátoru L.



Fundamentální rešení operátoru vedení tepla.



Veta 24.2 (Rešení RVT)

G(x , t) ∈ C∞(Rm × (0, +∞)),




G(x , t) ∈ C∞(Rm × (0, +∞)), limt→0+ G(0, t) = +∞,




G(x , t) ∈ C∞(Rm × (0, +∞)), limt→0+ G(0, t) = +∞,limt→0+ G(x , t) = 0 pro všechna x 6= 0.




G(x , t) ∈ C∞(Rm × (0, +∞)), limt→0+ G(0, t) = +∞,limt→0+ G(x , t) = 0 pro všechna x 6= 0.∫

Rm G(x , t) dx = 1 pro všechna t > 0.






Je-li g spojitá a omezená na Rm, a f spojitá a

omezená na Rm × (0, T ), pak








u(x , t) :=

∫

Rmg(y)G(x − y , t) dy (6)

+

∫ t

0

∫

Rmf (y , τ)G(x − y , t − τ) dy dτ ,

reší na Rm × (0, T ) rovnici (2),








u(x , t) :=

∫

Rmg(y)G(x − y , t) dy (6)

+

∫ t

0

∫

Rmf (y , τ)G(x − y , t − τ) dy dτ ,

reší na Rm × (0, T ) rovnici (2), a navíc splnuje

pocátecní podmínku lim(x,t)→(x0 ,0+) u(x , t) = g(x0) provšechna x0 ∈ R

m.M. Rokyta, KMA MFF UK 24. Parciální diferenciální rovnice


Poznámka

Úloze, kdy rešíme nejakou evolucní PDR na celémprostoru a pro t > 0, s pocátecní podmínkou (nebopocátecními podmínkami) pro t = 0, ríkáme Cauchyovaúloha .



PoznámkaS využitím explicitniho tvaru funkce G lze (6) psát jako

u(x , t) =1

(4πa2t)m2

∫

Rmg(y)e− |x−y|2

4a2t dy (7)

+1

(4πa2)m2

∫ t

0

1

(t − τ)m2

∫

Rmf (y , τ)e

−|x−y|2

4a2(t−τ) dy dτ,

prípadne s využitím operátoru konvoluce jako

u(x , t) = g(x) ∗(x) G(x , t) + (f (x , t)Y (t)) ∗(x,t) (G(x , t)Y (t)),

kde Y je Heavisideova funkce, a index u operátorukonvoluce vyjadruje, podle kterých promennýchkonvoluce probíhá.



PoznámkaV jednodimenzionálním prípade se casto reší speciálníúlohy vedení tepla s tzv. okrajovými podmínkami (a také spocátecní podmínkou pro t = 0).

Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s pocátecnípodmínkou g, zadanou pro x > 0, a okrajovoupodmínkou u(0, t) = 0 pro t > 0 (tzv. Dirichletovaokrajová podmínka , tj. okrajová podmínkapredepisující hodnoty funkce), tj. tzv. Dirichletovuúlohu , rešíme tak, že funkci g rozšíríme liše na R arešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s taktorozšírenou pocátecní podmínkou. Výsledná funkce usplnuje díky lichosti g podmínku u(0, t) = 0 pro t > 0.



Poznámka

Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s pocátecnípodmínkou g, zadanou pro x > 0, a okrajovoupodmínkou ∂u

∂x (0, t) = 0 pro t > 0 (tzv. Neumannovaokrajová podmínka , tj. okrajová podmínkapredepisující derivace funkce), tj. tzv. Neumannovuúlohu , rešíme tak, že funkci g rozšíríme sud e na R arešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s taktorozšírenou pocátecní podmínkou. Výsledná funkce usplnuje díky sudosti g podmínku ∂u

∂x (0, t) = 0 prot > 0.



Poznámka

Úlohu pro RVT na omezeném intervalu 〈a, b〉 spocátecní podmínkou g, zadanou pro x ∈ 〈a, b〉, a snulovými okrajovými podmínkami Dirichletova a/neboNeumannova typu – jako výše, rešíme tak, že funkcig rozšíríme sud e vzhledem ke krajnímu bodu, vnemž je predepsána Neumannova podmínka, a liševzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je predepsánaDirichletova podmínka. Poté ji rozšíríme periodickyna celé R a rešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) stakto rozšírenou pocátecní podmínkou.



Poznámka

Úlohu pro RVT na omezeném intervalu 〈a, b〉 spocátecní podmínkou g, zadanou pro x ∈ 〈a, b〉, a snulovými okrajovými podmínkami Dirichletova a/neboNeumannova typu – jako výše, rešíme tak, že funkcig rozšíríme sud e vzhledem ke krajnímu bodu, vnemž je predepsána Neumannova podmínka, a liševzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je predepsánaDirichletova podmínka. Poté ji rozšíríme periodickyna celé R a rešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) stakto rozšírenou pocátecní podmínkou. K vyrešenítéto úlohy využijeme následující tvrzení.



Tvrzení 24.3 (vedení tepla na tyci)

Necht’ g(x) =∑

n∈Zbne

2π

p inx je p-periodická, po cástechhladká omezená funkce na R. Potom funkce

u(x , t) :=∑

n∈Z

bne−4π2a2n2te2π

p inx

je rešením Cauchyovy úlohy pro rovnici vedení tepla spocátecní podmínkou g.



Tvrzení 24.3 (vedení tepla na tyci)

Necht’ g(x) =∑

n∈Zbne

2π

p inx je p-periodická, po cástechhladká omezená funkce na R. Potom funkce

u(x , t) :=∑

n∈Z

bne−4π2a2n2te2π

p inx

je rešením Cauchyovy úlohy pro rovnici vedení tepla spocátecní podmínkou g. Navíc, je-li g lichá (resp. sudá)vzhledem k bodu a ∈ R, je u(a, t) = 0 pro t > 0 (resp.∂u∂x (a, t) = 0 pro t > 0).



Cvicení

Rešte úlohu vedení tepla na Rm, m ≥ 2, s nulovou

pocátecní podmínkou a s pravou stranou f = δx⊗Y (t) (ve

všech kladných casech je v pocátku jednotkový bodovýzdroj tepla).



Cvicení



všech kladných casech je v pocátku jednotkový bodovýzdroj tepla). Studujte chování rešení této úlohy prot → +∞, konkrétne ukažte:



Cvicení




pro m = 2 je limt→+∞ u(x , t) = +∞, prostor R2 se

pusobením vytrvalého bodového zdroje tepla"prehrívá";



Cvicení




pro m = 2 je limt→+∞ u(x , t) = +∞, prostor R2 se

pusobením vytrvalého bodového zdroje tepla"prehrívá";

pro m > 2 je limt→+∞ u(x , t) = 1(m−2)κm |x|m−2 , v

prostoru Rm pro m > 2 je dosaženo rovnovážného

rozložení teploty, které je rovno fundamentálnímurešení Laplaceova operátoru v R

m.


24.2 Vlnová rovnice

Definice (Vlnová rovnice)


1c2

∂2u∂t2

− ∆u = f (x , t) , x ∈ Rm, t > 0, (8)

nazýváme lineární vlnovou rovnicí .





1c2

∂2u∂t2

− ∆u = f (x , t) , x ∈ Rm, t > 0, (8)

nazýváme lineární vlnovou rovnicí . Zde c > 0 mávýznam rychlosti šírení vlny a f (x , t) vyjadruje hustotuvnejších sil.





1c2

∂2u∂t2

− ∆u = f (x , t) , x ∈ Rm, t > 0, (8)

nazýváme lineární vlnovou rovnicí . Zde c > 0 mávýznam rychlosti šírení vlny a f (x , t) vyjadruje hustotuvnejších sil. Hodnota rešení u(x , t) pak vyjadruje hodnotuvýchylky vlny v case t a bode x .


24.2 Vlnová rovnice (pokrac.)

PoznámkaRovnici (8) casto doplnujeme dvema pocátecnímipodmínkami:

u(x , 0) = g0(x) , x ∈ Rm , (9)

a




u(x , 0) = g0(x) , x ∈ Rm , (9)

a∂u∂t

(x , 0) = g1(x) , x ∈ Rm . (10)




u(x , 0) = g0(x) , x ∈ Rm , (9)

a∂u∂t

(x , 0) = g1(x) , x ∈ Rm . (10)

Zde g0 má význam hodnoty pocátecní výchylky a g1 mávýznam rychlosti pocátecní výchylky.



PoznámkaDíky linearite rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadnoukázat tzv. princip superpozice rešení:



PoznámkaDíky linearite rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadnoukázat tzv. princip superpozice rešení: úlohu (8)–(10) rešífunkce u = u0 + u1 + u2,



PoznámkaDíky linearite rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadnoukázat tzv. princip superpozice rešení: úlohu (8)–(10) rešífunkce u = u0 + u1 + u2, kde u0 resp. u1 resp. u2 jsourešení (8)–(10) postupne s daty



PoznámkaDíky linearite rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadnoukázat tzv. princip superpozice rešení: úlohu (8)–(10) rešífunkce u = u0 + u1 + u2, kde u0 resp. u1 resp. u2 jsourešení (8)–(10) postupne s daty f = 0, g1 = 0 resp.



PoznámkaDíky linearite rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadnoukázat tzv. princip superpozice rešení: úlohu (8)–(10) rešífunkce u = u0 + u1 + u2, kde u0 resp. u1 resp. u2 jsourešení (8)–(10) postupne s daty f = 0, g1 = 0 resp.f = 0, g0 = 0 resp.



PoznámkaDíky linearite rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadnoukázat tzv. princip superpozice rešení: úlohu (8)–(10) rešífunkce u = u0 + u1 + u2, kde u0 resp. u1 resp. u2 jsourešení (8)–(10) postupne s daty f = 0, g1 = 0 resp.f = 0, g0 = 0 resp. g0 = 0, g1 = 0.



PoznámkaDále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u0 = E0 ∗(x) g0,



PoznámkaDále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u0 = E0 ∗(x) g0,u1 = E1 ∗(x) g1,



PoznámkaDále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u0 = E0 ∗(x) g0,u1 = E1 ∗(x) g1, u2 = E2 ∗(x,t) f · Y (t),



PoznámkaDále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u0 = E0 ∗(x) g0,u1 = E1 ∗(x) g1, u2 = E2 ∗(x,t) f · Y (t), kde Y (t) jeHeavisideova funkce, a



PoznámkaDále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u0 = E0 ∗(x) g0,u1 = E1 ∗(x) g1, u2 = E2 ∗(x,t) f · Y (t), kde Y (t) jeHeavisideova funkce, a E0(x , t), E1(x , t), E2(x , t) splnují




E(ξ, t) = E1(ξ, t) =sin(2πc|ξ|t)

2πc|ξ|,





2πc|ξ|,

E0(ξ, t) = cos(2πc|ξ|t) =ddt

E(ξ, t),





2πc|ξ|,


E(ξ, t),

E2(ξ, t) = c2 sin(2πc|ξ|t)2πc|ξ|

·Y (t) = c2E(ξ, t)·Y (t),





2πc|ξ|,


E(ξ, t),

E2(ξ, t) = c2 sin(2πc|ξ|t)2πc|ξ|

·Y (t) = c2E(ξ, t)·Y (t),

pricemž symbol znací Fourierovu transformacivzhledem k promenné x .



Veta 24.4

Bud’ E(ξ, t) = sin(2πc|ξ|t)2πc|ξ| a E(x , t) bud’ její vzor ve

Fourierove transformaci podle promenné x.



Veta 24.4


Fourierove transformaci podle promenné x. Potom

u(x , t) :=ddt

(E ∗(x) g0

)+E∗(x)g1+c2

(E · Y (t) ∗(x,t) f · Y (t)

)



Veta 24.4



u(x , t) :=ddt

(E ∗(x) g0

)+E∗(x)g1+c2

(E · Y (t) ∗(x,t) f · Y (t)

)

je rešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f , kterésplnuje pocátecní podmínky (9), (10) s funkcemi g0, g1.



Veta 24.4



u(x , t) :=ddt

(E ∗(x) g0

)+E∗(x)g1+c2

(E · Y (t) ∗(x,t) f · Y (t)

)


Pozn. Mlcky predpokládáme, že funkce (prípadnedistribuce) g0, g1, f jsou takové, že všechny uvedenéoperace jsou dobre definovány.



Veta 24.4



u(x , t) :=ddt

(E ∗(x) g0

)+E∗(x)g1+c2

(E · Y (t) ∗(x,t) f · Y (t)

)


Pozn. Mlcky predpokládáme, že funkce (prípadnedistribuce) g0, g1, f jsou takové, že všechny uvedenéoperace jsou dobre definovány. Funkci (resp. obecnedistribuci) E nazýváme fundamentálním rešenímvlnového operátoru.



Veta 24.5 (Vlnová rovnice v R1, d’Alembertuv vzorec)

Bud’te g0 ∈ C2(R), g1 ∈ C1(R), f ∈ C1(R × (0, T )).




Bud’te g0 ∈ C2(R), g1 ∈ C1(R), f ∈ C1(R × (0, T )). Potom

u(x , t) :=g0(x + ct) + g0(x − ct)

2+

12c

∫ x+ct

x−ctg1(y) dy

+c2

∫ t

0

∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

f (y , τ) dy dτ




Bud’te g0 ∈ C2(R), g1 ∈ C1(R), f ∈ C1(R × (0, T )). Potom

u(x , t) :=g0(x + ct) + g0(x − ct)

2+

12c

∫ x+ct

x−ctg1(y) dy

+c2

∫ t

0

∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

f (y , τ) dy dτ

je rešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R1,

které splnuje pocátecní podmínky (9), (10) s funkcemi g0,g1.



Veta 24.6 (Fundamentální rešení vlnového operátoru v R2

a R3)

Pro fundamentální rešení vlnového operátoru v Rm platí

m = 2 =⇒ E(x , t) =1

2πc√

(c2t2 − |x |2)+




a R3)


m = 2 =⇒ E(x , t) =1

2πc√

(c2t2 − |x |2)+

m = 3 =⇒ E(x , t) =1

4πc2tνct

kde symbolem (. . . )+ rozumíme: "funkce E jedodefinovaná nulou všude tam, kde by výraz pododmocninou byl nulový nebo záporný",




a R3)


m = 2 =⇒ E(x , t) =1

2πc√

(c2t2 − |x |2)+

m = 3 =⇒ E(x , t) =1

4πc2tνct

kde symbolem (. . . )+ rozumíme: "funkce E jedodefinovaná nulou všude tam, kde by výraz pododmocninou byl nulový nebo záporný", a νct je plošnádistribuce na sfére s polomerem ct, pusobící prespromennou x ∈ R

m.



Veta 24.7 (Vlnová rovnice v R2)

Bud’te g0 ∈ C3(R2), g1 ∈ C2(R2), f ∈ C1(R2 × (0, T )).




Bud’te g0 ∈ C3(R2), g1 ∈ C2(R2), f ∈ C1(R2 × (0, T )).Potom

u(x , t) :=1

2πcddt

∫

|y |≤ct

g0(x − y)√c2t2 − |y |2

dy

+1

2πc

∫

|y |≤ct

g1(x − y)√c2t2 − |y |2

dy

+c

2π

∫ t

0

∫

|y |≤cτ

f (x − y , t − τ)√c2τ2 − |y |2

dy dτ





u(x , t) :=1

2πcddt

∫

|y |≤ct

g0(x − y)√c2t2 − |y |2

dy

+1

2πc

∫

|y |≤ct

g1(x − y)√c2t2 − |y |2

dy

+c

2π

∫ t

0

∫

|y |≤cτ

f (x − y , t − τ)√c2τ2 − |y |2

dy dτ






Bud’te g0 ∈ C3(R3), g1 ∈ C2(R3), f ∈ C2(R3 × (0, T )).





u(x , t) :=1

4πct

∫

Sct (0)

(g0

ct+

∂g0

∂n

)(x − y) dS(y)

+1

4πc2t

∫

Sct (0)

g1(x − y) dS(y)

+1

4π

∫ ct

0

∫

Sr (0)

f(x − y , t − r

c

)

rdS(y) dr


24.3 Laplace-Poissonova rovnice

DefiniceBud’ Ω ⊂ R

m oblast s dostatecne hladkou hranicí.Laplace-Poissonovou rovnicí v Ω rozumíme rovnici

−∆u = f , x ∈ Ω , (11)

kde f je daná funkce. (Je-li f = 0, mluvíme o (11) jako oLaplaceov e rovnici .)





−∆u = f , x ∈ Ω , (11)

kde f je daná funkce. (Je-li f = 0, mluvíme o (11) jako oLaplaceov e rovnici .) Rovnici (11) casto doplnujeme ookrajové podmínky, a to Dirichletova typu (u = g na ∂Ω),





−∆u = f , x ∈ Ω , (11)

kde f je daná funkce. (Je-li f = 0, mluvíme o (11) jako oLaplaceov e rovnici .) Rovnici (11) casto doplnujeme ookrajové podmínky, a to Dirichletova typu (u = g na ∂Ω),Neumannova typu (∂u

∂n = h na ∂Ω),





−∆u = f , x ∈ Ω , (11)


∂n = h na ∂Ω), nebo smíšenéhotypu , kdy je na cásti ∂Ω zadána Dirichletova a na cástiNeumannova okrajová podmínka.





−∆u = f , x ∈ Ω , (11)


∂n = h na ∂Ω), nebo smíšenéhotypu , kdy je na cásti ∂Ω zadána Dirichletova a na cástiNeumannova okrajová podmínka. Podle toho mluvíme oDirichletov e, Neumannov e nebo smíšené úloze.


24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrac.)

Veta 24.9 (Rešení Poissonovy rovnice v Rm)

Bud’ f ∈ S ′(Rm), m ≥ 2 a bud’ U fundamentálnírešení Laplaceova operátoru, tedy

U(x) =1

(m − 2)κm|x |m−2, m > 2 ,





U(x) =1

(m − 2)κm|x |m−2, m > 2 ,

U(x) =1

2πln

1|x |

, m = 2 .

Potom funkce u := U ∗ f reší rovnici −∆u = f vprostoru S ′(Rm) (vždy, když je daná konvoluce dobredefinovaná).





U(x) =1

(m − 2)κm|x |m−2, m > 2 ,

U(x) =1

2πln

1|x |

, m = 2 .

Potom funkce u := U ∗ f reší rovnici −∆u = f vprostoru S ′(Rm) (vždy, když je daná konvoluce dobredefinovaná).

Rešení rovnice −∆u = f v prostoru S ′(Rm) je urcenojednoznacne až na harmonický polynom, tedypolynom P splnující rovnici ∆P = 0.



Veta 24.10 (Rešení Dirichletovy úlohy v Ω)

Rešení rovnice ∆u = 0 na oblasti Ω s (Dirichletovou)okrajovou podmínkou u = g na ∂Ω je jednoznacné, pokud

1 Ω ⊂ Rm, m ≥ 2 je omezená oblast, nebo






2 Ω ⊂ R2 je (obecne i neomezená) oblast a

predpokládáme omezenost rešení u, nebo






2 Ω ⊂ R2 je (obecne i neomezená) oblast a

predpokládáme omezenost rešení u, nebo3 Ω ⊂ R

m, m ≥ 2 je neomezená oblast apredpokládáme, že existuje koule BR(0) a konstantac > 0 takové, že |u(x)| ≤ c/|x |m−2 vne koule BR(0).



PoznámkaOmezenost rešení ve druhém bode je podstatná.Napríklad funkce u(x , y) = y i u(x , y) = 0 reší Laplaceovurovnici na horní polorovine s okrajovou podmínkouu(x , 0) = 0.



PoznámkaOmezenost rešení ve druhém bode je podstatná.Napríklad funkce u(x , y) = y i u(x , y) = 0 reší Laplaceovurovnici na horní polorovine s okrajovou podmínkouu(x , 0) = 0. Bod tri je vyjádrením skutecnosti, že rešeníDirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na neomezenéoblasti je jednoznacné ve tríde funkcí, které "v nekonecnuklesají stejne rychle jako elementární rešení".



Veta 24.11 (Dirichletova úloha na horní polorovine)

Bud’

u0(x , y) =1π·

yx2 + y2

.




Bud’

u0(x , y) =1π·

yx2 + y2

.

Bud’ dále g = g(x) omezená lokálne integrovatelnáfunkce taková, že pro všechna (x , y) ∈ R× (0,∞) existujevlastní konvoluce

u(x , y) := g(·) ∗(x) u0(·, y)




Bud’

u0(x , y) =1π·

yx2 + y2

.


u(x , y) := g(·) ∗(x) u0(·, y) =yπ

∫ ∞

−∞

g(t)(x − t)2 + y2

dt . (12)




Bud’

u0(x , y) =1π·

yx2 + y2

.


u(x , y) := g(·) ∗(x) u0(·, y) =yπ

∫ ∞

−∞

g(t)(x − t)2 + y2

dt . (12)

Potom funkce u(x , y) definovaná predpisem (12) jeomezená, reší rovnici ∆u = 0 v horní polorovine(x , y) ∈ R

2; y > 0,




Bud’

u0(x , y) =1π·

yx2 + y2

.


u(x , y) := g(·) ∗(x) u0(·, y) =yπ

∫ ∞

−∞

g(t)(x − t)2 + y2

dt . (12)

Potom funkce u(x , y) definovaná predpisem (12) jeomezená, reší rovnici ∆u = 0 v horní polorovine(x , y) ∈ R

2; y > 0, a pritom splnuje okrajovoupodmínku u(x , 0) = g(x) ve smyslu limity ve všechbodech spojitosti funkce g.



Príklad 1

Rešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici na hornípolorovine s podmínkou u(x , 0) = g(x) = χ〈a,b〉(x).Ukažte, že rešením je funkce

u(x , y) =1π

(arctg

x − by

− arctgx − a

y

).



Rešení Príkladu 1



Veta 24.12 (Dirichletova úloha na kruhu - rešení radou)

Bud’ KR ⊂ R2 kruh o polomeru R > 0 a bud’

g(α) =∑

n∈Zaneinα funkce, rovnající se souctu své

Fourierovy rady pro α ∈ R.





g(α) =∑


Fourierovy rady pro α ∈ R. Potom (sféricky symetrická)funkce u(x , y) = u(r , ϕ), definovaná predpisem

u(r , ϕ) :=∑

n∈Z

an

( rR

)|n|einϕ , (13)





g(α) =∑



u(r , ϕ) :=∑

n∈Z

an

( rR

)|n|einϕ , (13)

r ∈ (0, R), ϕ ∈ (0, 2π), reší (po spojitém dodefinování)rovnici ∆u = 0 na KR a splnuje okrajovou podmínkuu(R, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g.



Rešení Dirichletovy úlohy na kruhu,u(r , α) =

∑40n=1 rn (−1)n cos(3nα)

n2+4 .



Veta 24.13 (Dirichletova úloha na kruhu - rešeníintegrálem)

Bud’ KR ⊂ R2 kruh o polomeru R > 0 a bud’ g(t),

t ∈ 〈−π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodechtvaru [R cos t , R sin t ].





t ∈ 〈−π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodechtvaru [R cos t , R sin t ]. Potom (sféricky symetrická) funkceu(x , y) = u(r , ϕ), definovaná predpisem

u(r , ϕ) :=1

2π

∫ π

−π

g(t)R2 − r2

R2 − 2rR cos(ϕ−t) + r2dt , (14)






u(r , ϕ) :=1

2π

∫ π

−π

g(t)R2 − r2

R2 − 2rR cos(ϕ−t) + r2dt , (14)

r ∈ (0, R), ϕ ∈ (0, 2π), reší (po spojitém dodefinování)rovnici ∆u = 0 na KR a splnuje okrajovou podmínkuu(R, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g.



Veta 24.14 (Dirichletova úloha na vnejšku kruhu - rešeníradou)


g(α) =∑


Fourierovy rady pro α ∈ R.





g(α) =∑



u(r , ϕ) :=∑

n∈Z

an

(Rr

)|n|

einϕ , (15)





g(α) =∑



u(r , ϕ) :=∑

n∈Z

an

(Rr

)|n|

einϕ , (15)

r > R, ϕ ∈ (0, 2π), reší (po spojitém dodefinování) rovnici∆u = 0 na vnejšku kruhu KR a splnuje okrajovoupodmínku u(R, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodechspojitosti g. Navíc u je omezená na svém definicnímoboru.



Veta 24.15 (Dirichletova úloha na vnejšku kruhu - rešeníintegrálem)


t ∈ 〈−π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodechtvaru [R cos t , R sin t ].






u(r , ϕ) :=1

2π

∫ π

−π

g(t)r2 − R2

R2 − 2rR cos(ϕ−t) + r2dt , (16)






u(r , ϕ) :=1

2π

∫ π

−π

g(t)r2 − R2

R2 − 2rR cos(ϕ−t) + r2dt , (16)

r > R, ϕ ∈ (0, 2π), reší (po spojitém dodefinování) rovnici∆u = 0 na vnejšku kruhu KR a splnuje okrajovoupodmínku u(R, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodechspojitosti g. Navíc u je omezená na svém definicnímoboru.



Zajímavá otázka : je-li zadáno g na hranici kruhu KR ⊂ R2

o polomeru R > 0 jako v predchozích dvou vetách, adefinujeme-li u uvnitr a vne kruhu radami (13) a (15),prípadne integrály (14) a (16), bude pak u rešenímLaplaceovy rovnice na celém R

2?





2?

Z následující vety plyne, že odpoved’ je záporná.





2?


Veta 24.16 (Liouville)

Bud’ u ∈ C2(Rm), ∆u = 0 v Rm, která je alespon

jednostranne omezená v Rm. Potom u je konstantní v R

m.





2?


Veta 24.16 (Liouville)

Bud’ u ∈ C2(Rm), ∆u = 0 v Rm, která je alespon

jednostranne omezená v Rm. Potom u je konstantní v R

m.

Z Liouvilleovy vety tedy plyne, že v bodech kružnice bud’nemuže být u trídy C2 nebo v nich nemuže splnovatLaplaceovu rovnici.



Veta 24.17 (o rešení Dirichletovy úlohy na kouli)

Bud’ g spojitá na sfére SR(0) ⊂ Rm a definujme funkci

u(x) predpisem

u(x) =1

κmR

∫

SR(0)

g(y)R2 − |x |2

|x − y |mdS(y) , |x | < R .

Potom u ∈ C2(BR(0)) ∩ C(BR(0)), ∆u = 0 v BR(0) a u = gna SR(0).



Veta 24.18 (o rešení Dirichletovy úlohy vne koule)

Bud’ g spojitá na sfére SR(0) ⊂ Rm a definujme funkci

u(x) predpisem

u(x) =1

κmR

∫

SR(0)

g(y)|x |2 − R2

|x − y |mdS(y) , |x | > R .

Potom u ∈ C2(Rm \ BR(0)) ∩ C(Rm \ BR(0)), ∆u = 0 vR

m \ BR(0) a u = g na SR(0). Navíc existuje koule B(0) akonstanta c > 0 takové, že |u(x)| ≤ c/|x |m−2 vne kouleB(0).



Veta 24.19 (o prumeru)

Bud’ Ω ⊂ Rm omezená oblast, u ∈ C2(Ω), ∆u = 0 v Ω.

Potom pro všechna x ∈ Ω a všechny koule BR(x) ⊂ Ωplatí

u(x) =1

|SR(0)|

∫

SR(0)

u(y) dS(y) =1

|BR(0)|

∫

BR(0)

u(y) dy .



Veta 24.20 (princip maxima a minima)

Bud’ Ω ⊂ Rm omezená oblast s dostatecne hladkou

hranicí, u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω), ∆u = 0 v Ω. Potom u nabývásvého maxima a minima na hranici ∂Ω.



Veta 24.20 (princip maxima a minima)

Bud’ Ω ⊂ Rm omezená oblast s dostatecne hladkou

hranicí, u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω), ∆u = 0 v Ω. Potom u nabývásvého maxima a minima na hranici ∂Ω.

Veta 24.21 (o regularite)

Bud’ Ω ⊂ Rm omezená oblast, u ∈ C2(Ω), ∆u = 0 v Ω.

Potom u ∈ C∞(Ω).


24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik

V této sekci budeme uvažovat rovnici lineárníhotransportu

∂u∂t

+ ~a(x , t) · ∇u = f (x , t), x ∈ Rm, t > 0, (17)

kde ~a je dané spojité vektorové pole a f je daná spojitápravá strana,




∂u∂t

+ ~a(x , t) · ∇u = f (x , t), x ∈ Rm, t > 0, (17)

kde ~a je dané spojité vektorové pole a f je daná spojitápravá strana, resp., pro f = 0 ("bez vnejších sil"),

∂u∂t

+ ~a(x , t) · ∇u = 0, x ∈ Rm, t > 0. (18)




∂u∂t

+ ~a(x , t) · ∇u = f (x , t), x ∈ Rm, t > 0, (17)


∂u∂t

+ ~a(x , t) · ∇u = 0, x ∈ Rm, t > 0. (18)

Rovnici (17) resp. (18) doplnujeme o pocátecní podmínkutvaru

u(x , 0) = g(x), x ∈ Rm . (19)




∂u∂t

+ ~a(x , t) · ∇u = f (x , t), x ∈ Rm, t > 0, (17)


∂u∂t

+ ~a(x , t) · ∇u = 0, x ∈ Rm, t > 0. (18)

Rovnici (17) resp. (18) doplnujeme o pocátecní podmínkutvaru

u(x , 0) = g(x), x ∈ Rm . (19)

Rešení úlohy (18)–(19) (s f = 0) lze hledat tzv. metodoucharakteristik .


24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrac.)

Definice

Rovnici (18) priradíme systém oby cejnýchdiferenciálních rovnic (zvaný též charakteristickýsystém rovnice (18)) pro neznámé funkce t = t(s),xj = xj(s), j = 1, . . . , m,

dds

t(s) = 1 , (20)

dds

xj(s) = aj(x(s), t(s))

), j = 1, . . . , m, (21)

s ∈ (α, β) ⊂ R, kde ~a = (a1, . . . , am) jsou funkce z (18).



Definice

Rovnici (18) priradíme systém oby cejnýchdiferenciálních rovnic (zvaný též charakteristickýsystém rovnice (18)) pro neznámé funkce t = t(s),xj = xj(s), j = 1, . . . , m,

dds

t(s) = 1 , (20)

dds

xj(s) = aj(x(s), t(s))

), j = 1, . . . , m, (21)

s ∈ (α, β) ⊂ R, kde ~a = (a1, . . . , am) jsou funkce z (18).Každé klasické rešení (x , t) : (α, β) → R

m × (0,∞)systému rovnic (20)–(21) nazvu charakteristikou(charakteristickou k rivkou) rovnice (18).



PoznámkaCharakteristika je tedy krivka v R

m × (0,∞), jejížparametrizace je dána zobrazením z(x , t) : (α, β) → R

m × (0,∞).





m × (0,∞). Vzhledem k tomu, že systém(20)–(21) je systém se spojitými pravými stranami aj ,existuje podle teorie ODR rešení tohoto systému alesponlokálne v okolí každé pocátecní podmínky typu

t(s) = t , xj(s) = x j , (x , t) ∈ Rm × (0,∞) , (22)

kde s ∈ (α, β) je hodnota parametru, odpovídajícípocátecní podmínce.





m × (0,∞). Vzhledem k tomu, že systém(20)–(21) je systém se spojitými pravými stranami aj ,existuje podle teorie ODR rešení tohoto systému alesponlokálne v okolí každé pocátecní podmínky typu

t(s) = t , xj(s) = x j , (x , t) ∈ Rm × (0,∞) , (22)

kde s ∈ (α, β) je hodnota parametru, odpovídajícípocátecní podmínce. Bez újmy na obecnosti lzepredpokládat, že s = 0 ∈ (α, β).



Studujme nyní chování funkce u ∈ C1(Rm × (0, T )) nacharakteristice (~x(s), t(s)), prirazené (18). Derivovánímpodle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme:




dds

u(x , t) =




dds

u(x , t) =m∑

j=0

∂u∂xj

(x , t)dds

xj(s) +∂u∂t

(x , t)dds

t(s) =




dds

u(x , t) =m∑

j=0

∂u∂xj

(x , t)dds

xj(s) +∂u∂t

(x , t)dds

t(s) =

=

m∑

j=0

aj

(x , t)

) ∂u∂xj

(x , t) +∂u∂t

(x , t) .




dds

u(x , t) =m∑

j=0

∂u∂xj

(x , t)dds

xj(s) +∂u∂t

(x , t)dds

t(s) =

=

m∑

j=0

aj

(x , t)

) ∂u∂xj

(x , t) +∂u∂t

(x , t) .

Je-li levá strana této identity nulová, znamená to, žefunkce u je konstantní na charakteristice (~x(s), t(s)).




dds

u(x , t) =m∑

j=0

∂u∂xj

(x , t)dds

xj(s) +∂u∂t

(x , t)dds

t(s) =

=

m∑

j=0

aj

(x , t)

) ∂u∂xj

(x , t) +∂u∂t

(x , t) .

Je-li levá strana této identity nulová, znamená to, žefunkce u je konstantní na charakteristice (~x(s), t(s)).Nulovost pravé strany pak znamená, že funkce u jeklasickým rešením rovnice (18) v bodech, které leží nacharakteristice.




dds

u(x , t) =m∑

j=0

∂u∂xj

(x , t)dds

xj(s) +∂u∂t

(x , t)dds

t(s) =

=

m∑

j=0

aj

(x , t)

) ∂u∂xj

(x , t) +∂u∂t

(x , t) .

Je-li levá strana této identity nulová, znamená to, žefunkce u je konstantní na charakteristice (~x(s), t(s)).Nulovost pravé strany pak znamená, že funkce u jeklasickým rešením rovnice (18) v bodech, které leží nacharakteristice. Odtud plyne následující lemma.



Lemma 24.22

Uvažujme funkci u ∈ C1(ΩT ), kde ΩT ⊂ (0, T ) × Rm je

neprázdná oblast.



Lemma 24.22


neprázdná oblast.

(a) Bud’ u konstantní na charakteristice (~x(s), t(s)),s ∈ (α, β), ležící v ΩT , a prirazené rovnici (18). Potomfunkce u reší v klasickém smyslu rovnici (18) vbodech charakteristiky, ležících v ΩT .



Lemma 24.22


neprázdná oblast.


(b) Necht’ naopak u je klasické rešení rovnice (18) voblasti ΩT . Potom u je konstantní na libovolnécharakteristice, ležící v oblasti ΩT .



Lemma 24.22


neprázdná oblast.


(b) Necht’ naopak u je klasické rešení rovnice (18) voblasti ΩT . Potom u je konstantní na libovolnécharakteristice, ležící v oblasti ΩT .

Nepresne, ale ponekud výstižneji lze uvedené lemmavyjádrit sloganem:

u reší (18) ⇐⇒ u je konstantní na charakteristikách.



Príklad 2

Rešte rovnici ∂u∂t + x ∂u

∂x = 0 s obecnou pocátecnípodmínkou u0, a poté s konkrétní pocátecní podmínkouu0(x) = e−x2

, x ∈ R.



Príklad 2



, x ∈ R.

Rešení: Charakteristika, procházející bodem [x , t], x 6= 0,t > 0, má rovnici t = ln |x | + (t − ln |x |), jde tedy o"logaritmický vejír", viz obrázek.



Príklad 2



, x ∈ R.

Rešení: Charakteristika, procházející bodem [x , t], x 6= 0,t > 0, má rovnici t = ln |x | + (t − ln |x |), jde tedy o"logaritmický vejír", viz obrázek. Na základe toho lzeexplicite vyjádrit rešení uvedené rovnice pro datau0 ∈ C1(R), a sice u(x , t) = u0(xe−t).



Príklad 2



, x ∈ R.

Rešení: Charakteristika, procházející bodem [x , t], x 6= 0,t > 0, má rovnici t = ln |x | + (t − ln |x |), jde tedy o"logaritmický vejír", viz obrázek. Na základe toho lzeexplicite vyjádrit rešení uvedené rovnice pro datau0 ∈ C1(R), a sice u(x , t) = u0(xe−t).

Pro u0(x) = e−x2, x ∈ R, dostaneme

u(x , t) = exp(−x2e−2t), x ∈ R, t ≥ 0, viz obrázek.



0

1

2

3

4

5

y

–4 –2 2 4

x

Charakteristiky rovnice ut + xux = 0.



–4 –2 0 2 4x 0

1

2

3

t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Funkce u(x , t) = e−x2e−2tpro x ∈ 〈−5, 5〉, t ∈ 〈0, 3〉.


24.5 Fourierova metoda rozdelení promenných

Fourierova metoda rozdelení promenných slouží k hledánírešení okrajových resp. pocátecne-okrajových úloh pronekteré PDR (napríklad pro Laplace-Poissonovu rovnici,rovnici vedení tepla, vlnovou rovnici...) na oblastech, kterélze psát jako kartézský soucin jednorozmerných intervalu.



Fourierova metoda rozdelení promenných slouží k hledánírešení okrajových resp. pocátecne-okrajových úloh pronekteré PDR (napríklad pro Laplace-Poissonovu rovnici,rovnici vedení tepla, vlnovou rovnici...) na oblastech, kterélze psát jako kartézský soucin jednorozmerných intervalu.Postup budeme ilustrovat na následujících úlohách:



Fourierova metoda rozdelení promenných slouží k hledánírešení okrajových resp. pocátecne-okrajových úloh pronekteré PDR (napríklad pro Laplace-Poissonovu rovnici,rovnici vedení tepla, vlnovou rovnici...) na oblastech, kterélze psát jako kartézský soucin jednorozmerných intervalu.Postup budeme ilustrovat na následujících úlohách:

Príklad 3

Rešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici∆u(x , y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b), s okrajovýmipodmínkami (pro g ∈ C(〈0, a〉), g(0) = g(a) = 0):

u(x , 0) = g(x), x ∈ 〈0, a〉, u(x , b) = 0, x ∈ 〈0, a〉,

u(0, y) = 0, y ∈ 〈0, b〉, u(a, y) = 0, y ∈ 〈0, b〉.


24.5 Fourierova metoda rozdelení promenných (pokrac.)

Postup p ri rešení.Hledáme u ve tvaru u(x , y) = X (x) · Y (y) (s tzv.rozdelenými promennými),



Postup p ri rešení.Hledáme u ve tvaru u(x , y) = X (x) · Y (y) (s tzv.rozdelenými promennými), predpokládáme X 6= 0,Y 6= 0.



Postup p ri rešení.Hledáme u ve tvaru u(x , y) = X (x) · Y (y) (s tzv.rozdelenými promennými), predpokládáme X 6= 0,Y 6= 0.Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme∆u(x , y) = X ′′(x) · Y (y) + X (x) · Y ′′(y) = 0,



Postup p ri rešení.Hledáme u ve tvaru u(x , y) = X (x) · Y (y) (s tzv.rozdelenými promennými), predpokládáme X 6= 0,Y 6= 0.Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme∆u(x , y) = X ′′(x) · Y (y) + X (x) · Y ′′(y) = 0, odkudX ′′

X = −Y ′′

Y




X = −Y ′′

Y = λ = const.




X = −Y ′′

Y = λ = const. (jde o rovnost funkcepromenné x a funkce promenné y , proto obe musíbýt konstantní.)




X = −Y ′′

Y = λ = const. (jde o rovnost funkcepromenné x a funkce promenné y , proto obe musíbýt konstantní.)Má-li být u(0, y) = X (0) · Y (y) = 0, y ∈ 〈0, b〉, musíbýt X (0) = 0, podobne X (a) = 0.




X = −Y ′′

Y = λ = const. (jde o rovnost funkcepromenné x a funkce promenné y , proto obe musíbýt konstantní.)Má-li být u(0, y) = X (0) · Y (y) = 0, y ∈ 〈0, b〉, musíbýt X (0) = 0, podobne X (a) = 0.Okrajová úloha pro X (x) tvaru X ′′ = λX na (0, a),X (0) = 0, X (a) = 0, má nenulové rešení jen proλ = λn = −(nπ

a )2, potom Xn(x) = sin(nπa x) (až na

násobek libovolnou konstantou).M. Rokyta, KMA MFF UK 24. Parciální diferenciální rovnice


Podmínku u(x , b) = Xn(x) · Y (b) = 0, x ∈ 〈0, a〉 lzesplnit volbou Y (b) = 0,



Podmínku u(x , b) = Xn(x) · Y (b) = 0, x ∈ 〈0, a〉 lzesplnit volbou Y (b) = 0, podmínkuu(x , 0) = Xn(x) · Y (0) = g(x), x ∈ 〈0, a〉, však obecnesplnit nelze, budeme ji muset rešit jinak.



Podmínku u(x , b) = Xn(x) · Y (b) = 0, x ∈ 〈0, a〉 lzesplnit volbou Y (b) = 0, podmínkuu(x , 0) = Xn(x) · Y (0) = g(x), x ∈ 〈0, a〉, však obecnesplnit nelze, budeme ji muset rešit jinak.Rešíme tedy úlohu pro Yn(x) tvaru Y ′′ = −λnYn na(0, b) jen s podmínkou Yn(b) = 0 (s již spoctenýmikonstantami λn), a hledáme nenulové rešení.



Podmínku u(x , b) = Xn(x) · Y (b) = 0, x ∈ 〈0, a〉 lzesplnit volbou Y (b) = 0, podmínkuu(x , 0) = Xn(x) · Y (0) = g(x), x ∈ 〈0, a〉, však obecnesplnit nelze, budeme ji muset rešit jinak.Rešíme tedy úlohu pro Yn(x) tvaru Y ′′ = −λnYn na(0, b) jen s podmínkou Yn(b) = 0 (s již spoctenýmikonstantami λn), a hledáme nenulové rešení.Dostaneme Yn(y) = 2e

nπ

a b sinh(nπa (y−b)) (až na

násobek libovolnou konstantou).



Podmínku u(x , b) = Xn(x) · Y (b) = 0, x ∈ 〈0, a〉 lzesplnit volbou Y (b) = 0, podmínkuu(x , 0) = Xn(x) · Y (0) = g(x), x ∈ 〈0, a〉, však obecnesplnit nelze, budeme ji muset rešit jinak.Rešíme tedy úlohu pro Yn(x) tvaru Y ′′ = −λnYn na(0, b) jen s podmínkou Yn(b) = 0 (s již spoctenýmikonstantami λn), a hledáme nenulové rešení.Dostaneme Yn(y) = 2e

nπ

a b sinh(nπa (y−b)) (až na

násobek libovolnou konstantou).Abychom splnili i poslední okrajovou podmínku (sfunkcí g), hledáme u ve tvaru

u(x , y) =∞∑

n=1

cnXn(x)Yn(y)

s neznámými konstantami cn.M. Rokyta, KMA MFF UK 24. Parciální diferenciální rovnice


Víme, že g(0) = g(a) = 0, a predpokládejme, že glze rozvinout na x ∈ 〈0, a〉 do Fourierovy rady vsystému Xn(x), tj. g(x) =

∑∞n=1 γnXn(x).




∑∞n=1 γnXn(x). Pak z

okrajové podmínky u(x , 0) = g(x), tedy∑∞n=1 cnXn(x)Yn(0) =

∑∞n=1 γnXn(x) dostaneme

γn = cnYn(0), odkud spocteme dosud neznámékostanty cn.




∑∞n=1 γnXn(x). Pak z

okrajové podmínky u(x , 0) = g(x), tedy∑∞n=1 cnXn(x)Yn(0) =

∑∞n=1 γnXn(x) dostaneme

γn = cnYn(0), odkud spocteme dosud neznámékostanty cn.Proved’te celý výpocet a ukažte, že

u(x , y) =∞∑

n=1

ansinh(nπ

a (b − y))

sinh(nπa b)

sin(nπ

ax)

,

kde

an =2a

∫ a

0g(x) sin

(nπ

ax)

dx .



Príklad 4

Rešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici∆u(x , y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b), s okrajovýmipodmínkami

u(x , 0) = g1(x), x ∈ 〈0, a〉, u(x , b) = g2(x), x ∈ 〈0, a〉,

u(0, y) = g3(y), y ∈ 〈0, b〉, u(a, y) = g4(y), y ∈ 〈0, b〉.

Pritom predpokládáme, že funkce gj(x), j = 1, 2, 3, 4 jsouspojité na svých definicních intervalech a jsou nulové vkrajních bodech t echto intervalu .



Postup p ri rešení.Hledáme u ve tvaru u = u1 + u2 + u3 + u4, kde∆uj(x , y) = 0 na obdélníku (0, a)× (0, b) pro všechnaj = 1, 2, 3, 4, a pritom uj = gj na odpovídající cástihranice obdélníku a na ostatních cástech hranice jeuj nulová.



Postup p ri rešení.Hledáme u ve tvaru u = u1 + u2 + u3 + u4, kde∆uj(x , y) = 0 na obdélníku (0, a)× (0, b) pro všechnaj = 1, 2, 3, 4, a pritom uj = gj na odpovídající cástihranice obdélníku a na ostatních cástech hranice jeuj nulová.

Tímto stojíme pred ctyrmi úlohami predešlého typu,které vyrešíme jako v predešlém príklade.



Príklad 5

Rešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici∆u(x , y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b), s okrajovýmipodmínkami

u(x , 0) = g1(x), x ∈ 〈0, a〉, u(x , b) = g2(x), x ∈ 〈0, a〉,

u(0, y) = g3(y), y ∈ 〈0, b〉, u(a, y) = g4(y), y ∈ 〈0, b〉.

Pritom predpokládáme, že funkce gj(x), j = 1, 2, 3, 4 jsouspojité na svých definicních intervalech, mají v rozíchobdélníka obecn e nenulové hodnoty , pricemž ovšemokrajová podmínka je spojitá na obvodu celého obdélníka,tedy g1(0) = g3(0), g1(a) = g4(0), g2(0) = g3(b),g2(a) = g4(b).



Postup p ri rešení.Hledáme u ve tvaru u(x , y) = v(x , y) + c(x , y), kdec(x , y) = c0 + c1x + c2y + c3xy .




Potom ∆c(x , y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b) avhodnou volbou konstant c1, c2, c3, c4 lze dosáhnouttoho, aby funkce c(x , y) mela v rozích obdélníkastejné hodnoty jako funkce gj .




Potom ∆c(x , y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b) avhodnou volbou konstant c1, c2, c3, c4 lze dosáhnouttoho, aby funkce c(x , y) mela v rozích obdélníkastejné hodnoty jako funkce gj .

Tím jsme úlohu prevedli na úlohu pro neznámoufunkci v(x , y), splnující ∆v(x , y) = 0 na obdélníku(0, a) × (0, b) s novou okrajovou podmínkou na všechctyrech stanách obdélníka, která má však v rozíchnulové hodnoty, tj. na úlohu predešlého typu.



Príklad 6

Rešte Dirichletovu úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici∆u(x , y) = f (x , y) na obdélníku (0, a) × (0, b), s nulovýmiokrajovými podmínkami. Pritom predpokládáme, že funkcif lze (alespon pro skoro všechna y ∈ (0, b)) rozvinout dosinové Fourierovy rady vzhledem k promenné x, tj.

f (x , y) =∞∑

n=1

fn(y) sin(nπ

ax)

,

kde tedy

fn(y) =2a

∫ a

0f (x , y) sin

(nπ

ax)

dx .



Postup p ri rešení.Hledáme u ve tvaru u(x , y) =

∑∞n=1 cn(y) sin

(nπa x

).




∑∞n=1 cn(y) sin

(nπa x

).

Dosazením u a f do puvodní rovnice a porovnánímkoeficientu ve Fourierových radách dostanemerovnice pro neznámé funkce cn

c′′n(y) −

(nπ

a

)2cn(y) = fn(y)

a okrajové podmínky, které mají splnovat:

cn(0) = cn(b) = 0 .




∑∞n=1 cn(y) sin

(nπa x

).

Dosazením u a f do puvodní rovnice a porovnánímkoeficientu ve Fourierových radách dostanemerovnice pro neznámé funkce cn

c′′n(y) −

(nπ

a

)2cn(y) = fn(y)

a okrajové podmínky, které mají splnovat:

cn(0) = cn(b) = 0 .

Dorešte úlohu.



PoznámkaZ uvedených príkladu je jasné, že libovolnou Dirichletovuúlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici na obdélníku, spravou stranou f a spojitou okrajovou podmínkou g, lzerešit rozdelením na šest úloh:



PoznámkaZ uvedených príkladu je jasné, že libovolnou Dirichletovuúlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici na obdélníku, spravou stranou f a spojitou okrajovou podmínkou g, lzerešit rozdelením na šest úloh: (1) úlohu s pravou stranoua nulovou okrajovou podmínkou,



PoznámkaZ uvedených príkladu je jasné, že libovolnou Dirichletovuúlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici na obdélníku, spravou stranou f a spojitou okrajovou podmínkou g, lzerešit rozdelením na šest úloh: (1) úlohu s pravou stranoua nulovou okrajovou podmínkou, (2) úlohu s nulovoupravou stranou a s okrajovou podmínkou, která vynulujehodnoty puvodní o.p. v rozích obdélníka,



PoznámkaZ uvedených príkladu je jasné, že libovolnou Dirichletovuúlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici na obdélníku, spravou stranou f a spojitou okrajovou podmínkou g, lzerešit rozdelením na šest úloh: (1) úlohu s pravou stranoua nulovou okrajovou podmínkou, (2) úlohu s nulovoupravou stranou a s okrajovou podmínkou, která vynulujehodnoty puvodní o.p. v rozích obdélníka, (3) ctyri úlohy snulovou pravou stranou a okrajovou podmínkou nulovouna trech stranách obdélníka.



PoznámkaPodobne (rozdelením promenných, nalezením rovnic protakto separované funkce a jejich opetovným spojenímpres nekonecnou radu) lze rešit i úlohu proLaplace-Poissonovu rovnici na kvádru, úlohu pro rovnicivedení tepla a vlnovou rovnici na casoprostorovémobdélníku nebo kvádru, atd.



PoznámkaPodobne (rozdelením promenných, nalezením rovnic protakto separované funkce a jejich opetovným spojenímpres nekonecnou radu) lze rešit i úlohu proLaplace-Poissonovu rovnici na kvádru, úlohu pro rovnicivedení tepla a vlnovou rovnici na casoprostorovémobdélníku nebo kvádru, atd.

Tyto úlohy zde však z caso-prostorových duvodu užnebudeme podrobneji rozebírat a tuto dlouhou kapitoluzde ukoncíme.


24. parciální diferenciální rovnice

Documents