1

Estudio de gráficas. Monotonía y extremos

Las gráficas en los ejes cartesianos no siempre se corresponden con gráficas de funciones.

Gráficas de funciones

Una función hace corresponder a un número real otro número real (y solo uno).

Por ejemplo: si la función es ( ) 2f x x 3x 2= + + , a x=1 le correspondería y=f(1)=1+3+2=6. A x=-2 le

correspondería y=f(-2)=4-6+2=0. A x=5 le correspondería y=f(-3)=9-9+2=2 y a --4 le correspondería un

valor de y=f(-4)=16-12+2=6

Cada x y su correspondiente y se puede representar en los ejes cartesianos como el punto (x,y). Las

coordenadas están ordenadas: primero x y después y=f(x). En los ejemplos, los puntos serían (1,6), (-2,0) ,

(-3,2) y (-4,6):

Como puedo calcular el f(x) que le corresponde a infinitos x,

podría obtener infinitos (x,y)=(x,f(x)). Si los represento en los

ejes, aparecerán infinitos puntos. Al representar esos infinitos

puntos en los ejes, aparece una línea. A esa línea, en general una

curva, se le llama gráfica de la función. Cada función tiene una

gráfica característica. Por ejemplo, ya has estudiado que si la

función es de la forma f(x)=ax+b, siendo a y b números reales,

la gráfica es una línea recta.

I.E.S. Sánchez Cantón

Tareas de Matemáticas para realizar en el período de suspensión de la asistencia presencial al Instituto. 3º trimestre.

Actividades de AMPLIACIÓN.

2º de ESO. Semana del 8 al 19 de Junio

(Entregar antes de las 23:59 h del jueves 18 de Junio)

2

En el caso de la función ( ) 2f x x 3x 2= + + que usamos en el ejemplo, la gráfica es una curva de una forma

concreta que se llama parábola.

De hecho, como estudiarás el curso que viene, todas las funciones que son polinomios de 2º grado

( )( )2f x ax bx c ; a, b, c números reales)= + + tienen por gráfica una parábola.

El tipo de curva o gráfica cambia de un tipo de función a otra pero todas cumplen lo mismo:

Si trazo una perpendicular al eje x, solo puede cortar a la

gráfica en un punto. Si corta en más de un punto no se trata

de la gráfica de una función.

Es porque las funciones hacen corresponder a un concreto

x solo un valor y=f(x) concreto. Es decir, a un número le

hace corresponder solo un número. Como la gráfica son

todos los (x,f(x) o, si prefieres, todos los (a,f(a)), un punto

de la gráfica siempre tiene por primera coordenada un

número a y por segunda coordenada el valor de f(a). Como

a a solo le corresponde un valor f(a), la perpendicular no

puede cortar la gráfica en otro punto.

Por ejemplo, la gráfica de la derecha podría ser la gráfica de

una función porque si trazo una perpendicular al eje x en un

punto, solo cortará la gráfica en un punto:

3

Las siguientes gráficas no puede ser gráficas de funciones porque si trazo una perpendicular al eje x en un

punto (en la segunda gráfica, no ocurre con todos), corta la gráfica en más de un punto:

Al trabajar con funciones, una de las tareas habituales

es intentar obtener la función que seguiría un

conjunto de puntos. Es algo que podrías hacer ya en

el caso de rectas.

Supongamos que si represento un conjunto de puntos,

obtengo esto:

4

Parece que siguen una línea recta:

Si supongo que si añado más puntos, seguirían esa línea recta, puedo intentar calcular la función cuya

gráfica es esa línea recta. Como la gráfica es una línea recta, la función tendrá que ser f(x)=ax+b, con a y

b números reales. Ya sabes cómo se calcularía el valor de a y b. El resultado en este caso sería f(x)=2x+1.

¿Por qué puede ser útil hacer lo que acabamos de ver? Porque, por ejemplo, imagina que la x es una

magnitud concreta. Por ejemplo, el peso que se cuelga de un muelle. El valor de f(x)=y será otra magnitud.

En este caso, lo que se estira el muelle al colgarle ese peso. El obtener la función permite estudiar cómo se

comporta un muelle al colgarle un peso. Di dispongo de la función, podría calcular cuánto se estirará al

colgarle pesos concretos. De hecho, lo podría hacer con cualquier peso. Por ejemplo, supongamos que me

interesa, por la razón que sea, saber cuánto se estirará el muelle al colgarle 2.13473825 g. Podría colgarle

ese peso al muelle y medir pero conllevará problemas para medir ese peso, la longitud de forma exacta, etc.

Resulta más cómodo usar la función:

f(2.13473825)=2 2.13473825+1=5.2694765

El siguiente ejemplo es un ejemplo real. Unos alumnos de un curso de 1º de Bachillerato, distribuidos en

grupos, calentaron agua hasta hacerla hervir. Después, tomaron tiempos con un cronómetro y tomaron la

temperatura del agua en ese momento. Construyeron una tabla de valores apuntando los valores que

obtuvieron. Las x son los tiempos (variable independiente) y las y son las temperaturas para cada tiempo

(variable dependiente). La tabla que aparece a continuación es la tabla que obtuvo uno de los grupos:

Tiempo

(minutos)

Temperatura

(˚ Centígrados)

0 95

1 94

2 91

3 89

4 86.5

5 85

6 83

7 81

8 79.25

5

9 78

10 76.25

11 75

12 73.5

13 72.25

14 71

15 70

16 69

17 68

18 67

19 66

20 65.5

22 63.75

24 62

26 60.75

28 59.1

30 58

32 57

34 56

36 55

38 54

40 53

42 52

44 51

46 50

48 49

50 48.5

53 47.5

56 46.5

59 45.6

63 44.4

66 43.75

69 43

73 41.9

77 41

81 40

85 39

90 38

95 37

100 36

106 35.25

113 34.1

122 33

132 32

143 31

158 29.5

178 28

198 26.8

228 25

258 24

6

Después representaron esos datos en los ejes cartesianos (puntos (x,y); x=tiempo, y=temperatura)

Como puedes observar, en el eje x se ha incluido la etiqueta Tiempo (minutos), que indica la magnitud que

se corresponde con la x de cada punto (x,y). En el eje y se ha indicado la etiqueta Temperatura (°C), que

indica la magnitud que se corresponde con la y de cada punto (x,y).

Se intuye la curva que uniría los puntos. Como a cada valor de x solo le corresponde un valor de y, se puede

intentar obtener la función que “pasaría” por todos los puntos. Y eso hicieron los alumnos. A continuación

se incluye la función que obtuvo otro grupo para sus datos:

Como puedes ver, la función no “pasa” por todos los puntos. Es algo habitual al trabajar con datos recogidos

en un laboratorio. La función que ves en el gráfico no la reconocerás porque aún no has estudiado ese tipo

de funciones (se denomina función exponencial). ¿Para qué puede servir saber cómo cambia la temperatura

al pasar el tiempo? La actividad que realizaron esos alumnos está basada en un experimento realizado por

Isaac Newton y que dio lugar a una ley física denominada “Ley de Enfriamiento de Newton”. Newton hizo

7

sus experimentos para determinar la forma en que se produce el enfriamiento de diversos metales sometidos

a altas temperaturas. La razón de ser de los experimentos de Newton era el uso de los resultados para su

trabajo en la Casa de la Moneda de su país.

Por ejemplo, si ves el envase o las especificaciones técnicas de un termo, no es difícil que incluya gráficos

como el que has visto. La razón de incluir esos gráficos es que proporcionar información sobre hasta qué

punto el termo cumple su función. También podría servir, por ejemplo, para comparar ese termo con otros

termos (de los que también se disponga de esos gráficos).

Es decir, los gráficos se utilizan porque son cómodos y útiles. Proporcionan mucha información en un

espacio pequeño. De hecho, ya has usado este tipo de gráficos en Estadística. ¿Recuerdas el polígono de

frecuencias?:

nº de pie nº de alumnos

34 2

35 0

36 8

37 19

38 2

39 14

40 20

41 2

42 19

43 8

44 0

45 4

46 2

Es un gráfico parecido a los que has visto en este texto pero los puntos (x,y) se unen mediante segmentos

de rectas (de ahí el nombre de polígono o poligonal). Son comunes al representar en los ejes tablas de

valores. No solo en Estadística. Seguro que ya los has visto y utilizado en otras materias. Por ejemplo, se

están usando ahora mismo para estudiar e informar sobre la evolución de la pandemia por el COVID-19:

0

5

10

15

20

25

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

nº

de

alu

mn

os

nº de calzado

nº de calzado de estudiantes de 16-17 años de edad

8

Fuente: https://www.worldometers.info/coronavirus (Spain)

Ejercicios:

1.- Utiliza el primer gráfico (en el que figuran puntos representados en los ejes cartesianos) sobre tiempos

y temperaturas de enfriamiento del agua para responder las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué temperatura se alcanzó a cabo de 3 minutos? ¿Y al cabo de 5 minutos?

b) ¿Cuánto tiempo había transcurrido cuando el agua estaba a una temperatura de 81 grados? ¿Y a una

temperatura de 28 grados?

c) ¿En algún momento la temperatura es de 15 grados durante la toma de medidas? ¿En algún momento la

temperatura llegará a ser de 15 grados?

d) ¿Cuál era la temperatura al cabo de 170 minutos? ¿Y al cabo de 2 horas y media?

e) ¿Cuánto tiempo transcurrió hasta que el agua alcanzó los 70 grados? ¿Cuánto para alcanzar los 90 grados?

Monotonía y extremos

En los análisis de las gráficas en ocasiones es importante saber si crece o decrece la variable y al crecer la

x. Por ejemplo, en el gráfico de la evolución de la temperatura del agua, la temperatura disminuye o, lo que

es lo mismo, decrece al pasar el tiempo. A veces siempre disminuye o aumenta pero otras veces aumenta,

disminuye, vuelve a aumentar, etc. Es lo que ocurre, por ejemplo, en el número de casos activos por

coronavirus. Verás que el número aumenta, por ejemplo, en el período del 14 de marzo al 7 de abril. Pero

disminuye en el período del 17 de abril al 23 de mayo. Al estudio de esos cambios se le llama estudio de

la monotonía.

También puede interesar en qué momento el valor de y es mayor o menor. Por ejemplo, ¿en qué momento

se alcanzó el número mayor de casos activos por COVID-19 en España? Si se observa la gráfica, será el

día en que se alcanza un mayor valor de y. Observando la gráfica, el día en que el número de caos fue mayor

o máximo se produjo el 23 de abril (dato del eje x) con un número de casos de 100 000 (valor de la y

correspondiente al 23 de abril. La k significa 1000. 100k=100000). En otro caso podría interesar en qué

valor de x la y es menor o mínima. El estudio de esos máximos y mínimos se denomina estudio de los

extremos.

Estudiar la monotonía y los extremos es sencillo. La función (o la evolución de la variable que se estudia

en un gráfico) es creciente si la gráfica “sube” y es decreciente si “baja”. En general se indica mediante los

valores de la variable x. Por ejemplo. La siguiente gráfica es la gráfica de una función:

Para indicar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) se observa la gráfica al ir de izquierda a derecha

en el eje x. Se supone que los extremos derecho e izquierdo de la curva marcan “tendencia”. Es decir, salvo

9

que se indique lo contrario se supone que la parte izquierda y derecha continúan sin parar (desde el − en

el extremo izquierdo hasta el + en el extremo derecho del eje x):

La función decrece desde − hasta -2 (recuerda que se

usan los puntos del eje x para indicar la monotonía) y

vuelve a decrecer desde 0 hasta 4.

La función crece desde -2 hasta 0 y vuelve a crecer desde

4 hasta + .

Si se trata de un gráfico en el que la x y la y son magnitudes concretas, se haría básicamente lo mismo pero

indicando la magnitud al estudiar la monotonía. Por ejemplo. La siguiente gráfica es de la temperatura

ambiente durante un día concreto en una ciudad concreta (Fuente del gráfico: https://forums.ni.com/):

En el eje x se representan la cantidad de horas transcurridas (un total de 24 en un día) y en el eje y la

temperatura en grados centígrados. En este caso, la línea de la gráfica no se prolonga a izquierda y derecha

como en el caso anterior porque en el contexto de la gráfica los valores de x van de algo más de 0 a casi 24.

10

La temperatura decrece (baja) desde unos minutos después de las 0 horas hasta las 7 horas y vuelve a

decrecer desde las 15 horas hasta las 23 horas. Desde las 7 horas hasta las 15 horas la temperatura crece.

Si te fijas, se ha tenido en cuenta el contexto del problema o lo que es lo mismo, el significado de la x y la

y en el contexto en el que se ha creado el gráfico.

Lo máximos y los mínimos hay dos formas de indicarlos, dependiendo de lo que interese en el caso concreto

que se está esudiando. Por ejemplo, se puede indicar solo la coordenada x de los máximos y los mínimos:

La función tiene un máximo en x=0 y mínimos en x=-2 y

x=4.

A veces es importante si los máximos y mínimos son

absolutos o relativos. Es absoluto si el valor de la y en ese x

es el mayor de todos los valores de y posibles. Por ejemplo,

x=4 es un mínimo absoluto. Es relativo si solo es el mayor o

menor valor si se observa un “trozo” de la gráfica alrededor.

Por ejemplo, x=-2 es un mínimo relativo y x=0 es un máximo

relativo.

En la gráfica de la temperatura en un día, el mínimo de temperatura se alcanza a las 7 horas y es de,

aproximadamente, 6 grados (en este caso es conveniente proporcionar la coordenada x e y del extremo). La

temperatura máxima es de 25 grados y se alcanza a las 15 horas.

También se podría decir que se alcanza otra temperatura mínima de alrededor de 8 grados a las 23 horas.

Ejercicios:

2.- Dada la siguiente gráfica de una

función:

a) Estudia la monotonía y los extremos

b) Indica el valor de f(-3), f(-0’5) y f(1).

c) ¿A qué valores de x le corresponde

un valor de y igual a 20? ¿Y a -30?

11

3.- En el siguiente gráfico1 se representan las temperaturas de una laguna a lo largo de un año.

a) ¿A qué temperatura está el agua de la laguna en el mes de Julio? ¿A qué temperatura está en el mes

de Noviembre?

b) ¿Qué meses la temperatura del agua de la laguna es de 8°?

c) ¿Durante qué período del año la temperatura del agua sube y durante qué período baja?

d) ¿En qué momento del año la temperatura del agua es máxima? ¿En qué momento del año la

temperatura del agua es mínima?

4ª) El siguiente gráfico2 se corresponde con la facturación del sector químico durante unos años. En el eje

y se representa la facturación en millones de euros. Para facilitar la lectura de datos, el valor de la y

correspondiente a un x se incluye en el punto (x,y) del gráfico.

1 Fuente del gráfico: Gallardo, P., Aguila, R., Roa, R., Cañete, I., Miranda, C., & Olave, C. (2007). Bases técnicas y

ambientales para la elaboración de un plan de manejo y reglamentación de la pesca recreativa en la Laguna Parrillar. Fondo de

Investigación Pesquera-Chile. Informe Técnico Final FIP.

2 Fuente del gráfico: https://www.feique.org/

12

a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente en el gráfico?

b) ¿Entre qué valores se encuentran la variable independiente y la variable dependiente en los datos

del gráfico?

c) ¿Entre qué valores la facturación sube? ¿Entre qué valores la facturación baja?

d) ¿En qué valores la facturación fue máxima? ¿entre qué valores fue mínima?

e) ¿Podrías decir cuál es la tendencia de la facturación en los años posteriores al año 2018? ¿Cuál crees

que podría ser la facturación en 2019? Justifica tu respuesta.

5ª) El siguiente gráfico3 describe la distancia recorrida por un ciclista entre las 9 h y las 15 h:

a) ¿Qué distancia había recorrido a las 11 de la mañana? ¿Y a las 2 de la tarde?

b) ¿Qué distancia había recorrido a las 12 de la mañana? ¿Y a las 1 de la tarde? Interpreta el resultado

teniendo en cuenta que se trata de el espacio recorrido por un ciclista.

c) ¿A qué hora había recorrido 30 km? ¿Y 50 km?

3 Fuente del gráfico: https://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia2.htm