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Matemáticas I - UD 14: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO

1

CUESTIONES INICIALES de la página 328

1. Estudia la monotonía y los extremos relativos de las siguientesfunciones:

La función y = f (x) es creciente en ( ) ( ), 1 3,− ∞ ∪ + ∞ y decreciente en (1, 3). Tiene un máximo relativo en el punto (1, 4) y un mínimo relativo en (3, 0).

La función y = g (x) es creciente en ( ) ( ), 0 1,− ∞ ∪ + ∞ y decreciente en (0, 1). Tiene un mínimo relativo en el punto (1, e).

2. ¿Qué dos números, cuya suma es 16, dan un producto máximo? ¿Qué dos números, cuyo producto es 16, dan una suma mínima? Ayúdate de una tabla de valores.

Dos números cualesquiera que sumen 16 son x y 16 – x.

Su producto, P (x) = (16 – x) · x = 16x – x2, es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola con un máximo relativo en su vértice (8, 64).

Es decir, los números pedidos son 8 y 8.

Dos números cualesquiera cuyo producto es 16 son x y x

16 .

Su suma, x

xS 16)( = , es una función cuya gráfica tiene un mínimo relativo en el punto (4, 8).

Por tanto, los números pedidos son 4 y 4.


2

3. Estudia el crecimiento, decrecimiento y los extremos relativos de las funciones:

a) x

xf 3)( = b) g (x) = 12x – 3x2

a) La función 3( )f x

x= es siempre decreciente y no tiene extremos relativos.

b) La función g (x) = 12x – 3x2 es creciente en ( , 2)− ∞ y decreciente en (2, )+ ∞ . Tiene un máximo relativo en el punto (2, 12).

4. En el mes de enero hubo una epidemia de gripe que afectó a los habitantes de una ciudad. El número de enfermos, N, en función del número, t, de días, que transcurrieron desde que comenzó la epidemia viene dado por:

N = −2t2 + 56t + 120

¿En qué momento aumentó el número de enfermos? ¿Cuándo se alcanzó el número máximo de enfermos? ¿Cuál fue ese número máximo de enfermos?

El número de enfermos aumento entre el día que comenzó la epidemia y el día 14.

El número máximo de enfermos se alcanzó el día 14 y fue de 512.

Lo anterior puede verse en la gráfica.


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ACTIVIDADES de la página 331

1. Estudia la monotonía de las siguientes funciones en los puntos cuya abscisa es x = - 2, x = - 1, x = 1 y x = 3:

a) f (x) = x3 – 2x2 + 7 b) g (x) = - x4 + 4x2 c) h (x) = ex + e- x

Hallamos la primera derivada de las funciones y determinamos su signo para las abscisas del enunciado. Obtenemos:

a) f ´ (x) = 3x2 – 4x

f ´ (- 2) = 20 > 0 f ´ (- 1) = 7 > 0 f ´ (1) = - 1 < 0 f ´ (3) = 15 > 0

La función f (x) = x3 – 2x2 + 7 es creciente en x = - 2, x = - 1 y x = 3 y decreciente en x = 1.

b) g ´ (x) = - 4x3 + 8x

g ´ (- 2) = 16 > 0 g ´ (- 1) = - 4 < 0 g ´ (1) = 4 > 0 g ´ (3) = - 84 < 0

La función g (x) = - x4 + 4x2 es creciente en x = - 2 y x = 1 y decreciente en x = - 1 y x = 3.

c) h ´ (x) = ex – e- x

h ´ (- 2) = - 7,25 < 0 h ´ (- 1) = - 2,35 < 0 h ´ (1) = 2,35 > 0 h ´ (3) = 20,04 > 0

La función h (x) = ex – e- x es creciente en x = 1 y x = 3 y es decreciente en x = - 2 y x = -1.

La solución la podemos ver en la siguiente tabla:

FUNCIÓN DERIVADA x = -2 x = -1 x = 1 x = 3

f (x) = x3 – 2x2 + 7

f´(x) =3x2-4x Creciente Creciente Decreciente Creciente


4

g (x) = - x4 + 4x2

g´(x)= -4x3 + 8x Creciente Decreciente Creciente Decreciente

h (x) = ex + e- x

h´(x)= ex – e-x Decreciente Decreciente Creciente Creciente

2. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = - 5x + 3 c) h (x) = - x4 + 2x2 + 3

b) g (x) = x3 - 3x2 d) 22

)(+−

=xx

xi

a) La función y = f(x) es estrictamente decreciente en todo R.

b) La función y = g(x) es estrictamente creciente en ( ) ( )∞+∪∞− ,20, y decreciente en ( )2,0 .

c) La función y = h(x) es estrictamente creciente en ( ) ( )1,01, ∪−∞− y decreciente en ( ) ( )∞+∪− ,10,1 .

d) La función y = t(x) es creciente en todo su dominio R – {- 2}


5


3. Analiza si las siguientes funciones tienen extremos relativos en los puntos que se indican:

a) f (x) = x3 – 12x + 8 en (- 2, 24); (- 1, 19); (0, 8); (1, - 3) y (2, - 8).

b) 1

1)( 2 +=

xxg en ( )

−

−

101,3

21,1;1,0;

21,1;

51,2 y .

Hallamos las dos primeras derivadas y comprobamos si la primera se anula en los puntos indicados y el signo que toma la segunda en los mismos puntos. Obtenemos:

a) f ´ (x) = 3x2 – 12 y f ´´ (x) = 6x

Para x = - 2: f ´ (- 2) = 0 y f ´´ (- 2) = - 12 < 0. En el punto (- 2, 24) hay un máximo relativo.

Para x = - 1: f ´ (- 1) = - 9 ≠ 0. En el punto (- 1, 19) no hay extremo relativo.

Para x = 0: f ´ (9) = - 12 ≠ 0. En el punto (0, 8) no hay extremo relativo.

Para x = 1: f ´ (1) = - 9 ≠ 0. En el punto (1, - 3) no hay extremo relativo.

Para x = 2: f ´ (- 2) = 0 y f ´´ (- 2) = 12 > 0. En el punto (2, - 8) hay un mínimo relativo.

b) ( )32

2

22 1

26)(´´

)1(2)(´

+

−=

+−=

x

xxgy

xxxg

Para x = - 2: g ´ (- 2) = 0,16 ≠ 0. En el punto

−

51,2 no hay extremo relativo.


6

Para x = - 1: g ´ (- 1) = 0,50 ≠ 0. En el punto

−


Para x = 0: g ´ (0) = 0 y g ´´ (0) = - 2 < 0. En el punto ( )1,0 hay un máximo relativo.

Para x = 1: g ´ (1) = 0,50 ≠ 0. En el punto


Para x = 3: g ´ (3) = - 0,06 ≠ 0. En el punto


4. Halla los extremos relativos de cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = 4x – x4 b) g(x) = 1

2 2

−xx c) k (x) = x – 2 · sen x en [0, π]

a) y = f(x) tiene máximo relativo en el punto (1, 3).

b) y = g(x) tiene máximo relativo en el punto (0, 0) y un mínimo relativo en el punto (2, 8).

c) y = k(x) tiene un mínimo relativo en el punto

− 3

3,

3ππ


5. De entre todos los rectángulos de perímetro 8 unidades, calcula el que tiene área máxima.

Sean x y 4 - x los lados del rectángulo. El área es: A (x) = x · (4 – x) = 4x – x2.

Su derivada es A´ (x) = 4 – 2x. El área es máxima para x = 2.

Los lados de este rectángulo son 2 unidades y 2 unidades. Es un cuadrado.


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6. Disponemos de 1 metro de cinta para rodear dos placas cuadradas de distintos materiales. Si los materiales cuestan a 2 y 3 € por centímetro cuadrado, halla las dimensiones de las placas para que el coste de las mismas sea mínimo.

Sea x el lado de uno de los cuadrados. Para que la suma de los perímetros sea 1, el lado del otro cuadrado es (1/4 – x).

La función coste es: C(x) = 2x2 + 3(1/4 – x)2 = 5x2 - 3x/2 + 3/16.

Su derivada es C´ (x) = 10x – 3/2. El coste es mínimo para x = 15 cm.

El cuadrado cuyo material cuesta a 2 € /cm2 mide 15 cm de lado y el cuadrado cuyo material cuesta a 3 €/ cm2 mide 10 cm de lado.

7. Un jardinero quiere hacer un parterre rectangular inscrito en una zona verde en forma semicircular de 30 m de radio. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máxima.

Llamamos 2x e y a los lados del rectángulo. En la figura observamos el triángulo rectángulo que se forma, por lo que:

x2 + y2 = 900

El área del rectángulo, en función de x, es:

A(x) = x 2900 x−

La derivada de la función es A´ (x) = 2

2

900

2900

x

x

−

− .

El área es máxima para x = m21,21450 = . Las dimensiones del parterre de área máxima son 2x = 42,42 m e y = 21,21 m

8. El ayuntamiento de una ciudad quiere construir una piscina de 300 m2 de superficie en el pabellón polideportivo. Debe tener forma de paralelepípedo, con un lado de la base de doble longitud que el otro. Halla las dimensiones de la piscina para que la cantidad de agua que contenga sea máxima.


8

Sean x y 2x los lados de la base del paralelepípedo e y su altura.

Para que el área sea 300 m2 se debe verificar: 2x2 + 6xy = 300 ; y = x

x3

150 2− .

El volumen de la piscina es: V = 2x2y = 100x - 3

2 3x . La derivada es: V´(x) = 100 – 2x2

El volumen es máximo para x = mm 07,750 = de modo que y = mm 71,43502

=

La piscina mide: de lados de la base 7,07 m y 14, 14 m y de altura 4,71 m.


9. Estudia la concavidad de las siguientes funciones:

a) f(x) = 24x2 - x4 + 2 c) f(x) = x · ex

b) f(x) = x3 – 6x2 – 3 d) f(x) = ln (x + 1)

Los resultados respecto a la concavidad son:

a) Cóncava hacia las y positivas en )2,2(− y hacia las y negativas en ( ) ),2(2, ∞+∪−∞− .

b) Cóncava hacia las y positivas en ),2( ∞+ y hacia las y negativas en ( )2,∞− .

c) Cóncava hacia las y positivas en ),2( ∞+− y hacia las y negativas en ( )2, −∞− .

d) Cóncava hacia las y negativas en todo su dominio ),1( ∞+− .


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10. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = 9x2 + x3 – 18 x + 4 en su punto de inflexión.

El punto de inflexión es P (- 3, 112).

La derivada de la función es f ´ (x) = 18x + 3x2 – 18 y la pendiente de la recta tangente vale: m = f ´(- 3) = -45.

La recta tangente tiene por ecuación: y – 112 = - 45 (x + 3), es decir: 45x + y + 23 = 0.

11. Halla los valores de a y b para los cuales la función y = x5 + a x2 + b presenta un punto de inflexión en (- 1, 3).

La función f(x) = x5 + a x2 + b tiene un punto de inflexión en (- 1, 3) si verifica:

=−=−

0)1´´(3)1(

ff , es decir

−==

⇒

=+−=++−

610

022031

ba

aba


1. Número mágico. Un número de dos cifras multiplicado por el producto de sus cifras da como resultado 336. ¿De qué número se trata?

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA

El enunciado no ofrece dificultad para entender lo que pide: “Debemos encontrar un número (de dos cifras) que al multiplicarlo por el producto de sus cifras obtengamos 336”.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS

En un primer momento parece el típico problema que se resuelve haciendo uso del álgebra.


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Sea yxyx += 10 el número buscado, se cumplirá:

(10x + y) · x · y = 336 ⇔ 10x2y + xy2 = 336

Tenemos una ecuación con dos incógnitas que parece muy difícil, ya que no vemos un camino sencillo para encontrar sus soluciones. Dejamos esta vía de resolución.

Elegimos otro camino para la resolución, podemos tantear por ensayo y error u organizando la información de los diferentes factores que dan como resultado 336.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA

Optamos por organizar la información. Descomponemos el número 336 en factores primos: 336 = 24 · 3 · 7.

El número de divisores de 336 es (4 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 20 y estos son:

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 42, 48, 56, 84, 112, 168, 336.

Uno de estos divisores deberá ser el producto de las dos cifras (x · y) y otro deberá se el número de las dos cifras que buscamos.

Vamos dividiendo 336 por cada uno de los divisores anteriores. Los cocientes que se obtienen serán el otro factor del producto del que se obtiene un resultado de 336.

Como el cociente debe tener dos cifras descartamos como divisores 1, 2, 3, 112, 168 y 336.


11

Comenzamos con el número 4 y organizamos los resultados en una tabla.

Dividendo Divisor Cociente

336 4 84

336 6 56

336 7 48

336 8 42

336 12 28

336 14 24

336 16 21

Analizando los resultados obtenidos en la columna de los cocientes, si el producto de los dígitos coincide con el divisor, obtenemos el resultado.

El único resultado que cumple esta condición es el número 42.

Por tanto, el número de dos cifras que multiplicado por el producto de sus cifras da como resultado 336 es 42.

Puede comprobarse que 42 · 2 · 4 = 42 · 8 = 336.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL

Después de haber obtenido el resultado nos damos cuenta que podríamos haber llegado a la solución partiendo de la descomposición de 336 = 24 · 3 · 7 y examinado los productos posibles:

2 · 168; 4 · 84; 8 · 42; 16 · 21; 48 · 7…

Del análisis anterior se deduce que el producto sería 8 · 42, ya que en los otros casos el producto de las cifras del número no cumple las condiciones del enunciado.


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2. Cuadrado en semicírculo. Se inscribe un cuadrado en un semicírculo. Calcula la relación entre x e y.

En el triángulo rectángulo FGH, el teorema de la altura nos permite escribir:

xyx

yx +=

Operando, obtenemos:

0)(· 222 =−−⇔+= yyxxyxyx

Dividiendo la última ecuación por y2 obtenemos:

012

=−−

yx

yx

Resolviendo la ecuación anterior considerando la incógnita yx

, las soluciones son:

−

+

=±

=−−−±

=

251

251

251

2)1(·1·4)1(1 2

yx


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La segunda relación es negativa y no tiene sentido en el contexto del problema, por tanto, la relación entre x e y es:

251 +

=yx

, que es el número áureo.

Otro procedimiento.

También puede resolverse el problema utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC del dibujo.

En este caso obtenemos:

222

21

21 xxxy +

=

+

Operando:

041

41 222222 =−−⇒+=++ yxyxxxxxyy

La última ecuación nos lleva al mismo resultado que en el anterior procedimiento.


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3. Las dos velas. El viernes por la noche, mientras estudiaba, se fue la luz. Inmediatamente Pablo encendió dos velas de distinto color y continúo estudiando hasta que arreglaron la avería. Al día siguiente quiso averiguar cuánto duró el apagón, pero no sabía cuándo empezó ni cuando terminó. Solamente recordaba que la vela rosa tenía una duración de 7 horas y la vela marrón de 6 horas. ¿Cómo averiguó Pablo cuanto duró el apagón si la vela rosa quedo tres veces más larga que la vela marrón?

El problema pide determinar la duración de cierto apagón de luz. Los datos que proporciona son la duración de encendido de unas velas. Este problema admite dos suposiciones:

● Suposición 1: Las velas son de distinta longitud e igual grosor.

● Suposición 2: Las velas son de igual longitud y distinto grosor.

Suposición 1: Consideramos que las velas son de distinta longitud e igual grosor.

Llamamos x a la duración, en horas, del apagón. La información del problema puede ser expresada en la ecuación 7 – x = 3 · (6 – x).

Resolviendo, obtenemos:

7 – x = 3 · (6 – x) ⇔ 2x = 11 ⇔ horasx2

11= ⇔ x = 5 horas y 30 minutos

Suposición 2: Consideramos que las velas son de igual longitud y distinto grosor.

Las dos velas, al principio, tiene la misma longitud, por ejemplo 1. La vela rosa que dura 7 horas consume cada hora 1/7 del total y la vela marrón que dura 6 horas consume cada hora 1/6 del total.

Llamamos x a la duración, en horas, del apagón. La información del problema puede ser expresada en la

ecuación ⇔

−=−

61·3

71 xx horasx

528

= ⇔ x = 5 horas y 36 minutos

Por tanto, desde que ocurrió el apagón hasta que vino la luz transcurrieron 5 horas y 36 minutos.

Podemos observar como este problema puede dar lugar a dos respuestas diferentes ya que la situación de partida en cada caso es distinta.


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4. Lugar geométrico. Un triángulo tiene por base el segmento AB, de 2 cm de longitud. Movemos el vértice C de forma que las medianas que parten de A al lado BC miden todas 1,5 cm. ¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C del triángulo?

Utilizamos en la resolución geometría analítica.

Sean A (0, 0), B (2, 0) y C (x, y). Entonces A1, punto medio de BC, tiene por coordenadas

+

2,

22 yx

.

Utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

9)2(49

222

23

222 22

2222

=++⇒=

+

+

⇒=

+

+ yxyxyx

ecuación que representa una circunferencia de radio 3 y centro (- 2, 0), punto situado en el segmento BA, a 4 cm de distancia del punto B.


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MATEMÁTICAS de la página 344

1. Visualiza la monotonía de las siguientes funciones:

a) x

xxf 3)(2 +

= b) 4)( 2 += xxf c) 1

)( 2 +=

xxxf

a) Seguimos los pasos que se describen a continuación.

- Representamos la función tecleando en el Campo de entrada f (x) = (x^2+-3)/x. Con la herramienta Punto en objeto dibujamos un punto, P, sobre la gráfica de la función.

- Con la herramienta Tangente creamos la recta tangente a la gráfica en el punto anterior. Usando la herramienta Pendiente, haciendo clic sobre la recta, dibujamos la pendiente de la recta tangente en el punto de contacto.

- Trazamos el punto, Q, perpendicular al punto P situado en el eje OX. Unimos ambos puntos con un segmento.

- Movemos el punto P sobre la gráfica de la función y observamos el valor el signo de la pendiente y el valor de la abscisa del punto Q.

Puede verse que esta función es creciente en el intervalo ( ) ( )∞+∪−∞− ,33, y decreciente en el intervalo ( ) ( )3,00,3 ∪− .

b) Procediendo como en el caso anterior, obtenemos que la función es decreciente en el intervalo ( )0,∞− y creciente en el intervalo ( )∞+,0 .


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c) Siguiendo los pasos descritos en el primer apartado, obtenemos que la función es decreciente en el intervalo ( ) ( )∞+∪−∞− ,11, y creciente en el intervalo (- 1, 1).

2. Representa cada una de las siguientes funciones junto a su función derivada:

a) f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 b) 4

1)( 2 +−

=xxxf c) xexxf

1

·)( =

a) Representamos la función tecleando en el Campo de entrada f (x) = x^3-6x^2+9x+2.

Representamos la función derivada con el comando Derivada(<Función>) tecleando Derivada (f).

Puede observarse que en el intervalo (1, 3) la función derivada (en azul con trazo discontinuo) es negativa y la función f (x) es decreciente. En el intervalo ( ) ( )∞+∪∞− ,31, la función derivada es positiva y la función f (x) es creciente.

b) Representamos la función tecleando en el Campo de entrada f (x) = (x-1)/(x^2+4).


Observamos que en el intervalo (-1,24; 3,24) la función derivada (en azul con trazo discontinuo) es positiva y la función f (x) es creciente. En el intervalo ( ) ( )∞+∪−∞− ;24,324,1, la función derivada es negativa y la función f (x) es decreciente.


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c) Representamos la función tecleando en el Campo de entrada f (x) = x*e^(1/x).


Puede observarse que en el intervalo (0, 1) la función derivada (en azul con trazo discontinuo) es negativa y la función f (x) es decreciente. En el intervalo ( ) ( )∞+∪∞− ,10, la función derivada es positiva y la función f (x) es creciente.


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3. Encuentra los puntos de corte con los ejes coordenados, los extremos relativos y los puntos de inflexión de las funciones:

a) f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 b) f (x) = - x4 + 8x2 - 2 c) f (x) = x3 + 3x2 - 2

a) Obtenemos la gráfica de la función tecleando f(x) = – x^3 +6x^2 - 9x-1 en el Campo de Entrada.

Con el comando Raíz[f] obtenemos los ceros o raíces de la función, que son los puntos de corte de esta con el eje de abscisas. En nuestro caso, el punto A (- 0,1; 0).

Con el comando Extremo[f] obtenemos los extremos relativos de la función. Los extremos relativos son el máximo C (3, - 1) y el mínimo B (1, - 5).

Con el comando PuntoInflexión[f] obtenemos los puntos de inflexión de la función. Para esta función el punto de inflexión es D (2, - 3).

b) Obtenemos la gráfica de la función tecleando f(x) = – x^4 + 8x^2 - 2 en el Campo de Entrada.

Con el comando Raíz[f] obtenemos los ceros o raíces de la función, que son los puntos de corte de esta con el eje de abscisas. En nuestro caso, los puntos A (- 2,78; 0); E (- 0,51; 0); F (0,51; 0) y G (2,78; 0).

Con el comando Extremo[f] obtenemos los extremos relativos de la función. Los extremos relativos son los máximos B (- 2, 14) y H (2, 14) y el mínimo C (0, 2).

Con el comando PuntoInflexión[f] obtenemos los puntos de inflexión de la función. Para esta función los puntos de inflexión son D (-1,15; 6,89) e I (1,15; 6,89).


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c) Obtenemos la gráfica de la función tecleando f(x) = x^3+3x^2-2 en el Campo de Entrada.

Con el comando Raíz[f] obtenemos los ceros o raíces de la función, que son los puntos de corte de esta con el eje de abscisas. En nuestro caso, los puntos A (- 2,73; 0); E (- 1, 0) y F (0,73; 0).

Con el comando Extremo[f] obtenemos los extremos relativos de la función. Los extremos relativos son el máximo B (- 2, 2) y el mínimo C (0, - 2).

Con el comando PuntoInflexión[f] obtenemos los puntos de inflexión de la función. Para esta función el punto de inflexión es E (- 1, 0).

ACTIVIDADES FINALES de la página 345

1. ¿Para qué valores de x son verdaderas las desigualdades de los siguientes apartados?:

a) f (x) = x3 + 3x2 - 4; D [f (x)] > 0 c) f (x) = 2x · ex; f ´ (x) > 0

b) f (x) = x

4− ; f ´ (x) < 0 d) f(x) = 72 2 +x ; D [f (x)] < 0

a) La derivada es positiva en ( ) ( )∞+∪−∞− ,02, .

b) La derivada nunca es negativa.

c) La derivada es positiva en ( )∞+− ,1 .

d) La derivada es negativa en ( )0,∞− .


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2. Estudia la monotonía, crecimiento y decrecimiento, de cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = 7 – 8x - 2x2 c) x

xf 3)( = e) f (x) = e- 3x

b) f (x) = x3 - 6x2 + 9x - 2 d) 1

)( 2 +=

xxxf f) f(x) = ln (x + 3)

a) La función es creciente en ( )2, −∞− y decreciente en ( )∞+− ,2 .

b) La función es creciente en ( ) ( )∞+∪∞− ,31, y decreciente en (1, 3).

c) La función es decreciente en R – {0}.

d) La función es creciente en (- 1, 1) y decreciente en ( ) ( )∞+∪−∞− ,11, .

e) La función es decreciente en todo R.

f) La función es creciente en su dominio ( )∞+− ,3 .

3. La concentración de ozono contaminante (en μg/cm3) , en una ciudad industrial viene dada por la función 2·6,01590)( tttC −+= , siendo t el tiempo (en años) transcurrido desde el año 2000. ¿Para qué valores de t aumenta la concentración de ozono? ¿Cuándo disminuye?

La concentración aumenta para t ∈ (0; 12,5), es decir, entre el año 2000 y la mitad del año 2013. A partir de entonces la contaminación disminuye.

Puede verse en la gráfica.


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4. El beneficio obtenido por una empresa en función del capital x invertido, en millones de euros, viene dado por la función 60432)( 2 −−= xxxB ¿Para qué valores de x el beneficio es nulo? ¿Para qué valores de x la empresa tiene pérdidas? ¿Para qué valor de x aumenta el beneficio?

En la gráfica puede verse que el beneficio es nulo para una inversión de 3 ó 5 millones de euros.

La empresa tiene pérdidas siempre que invierta menos de 3 millones a más de 5 millones.

El beneficio (considerado positivo) aumenta con una inversión comprendida entre 3 y 4 millones de euros.


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5. Una feria de artesanía permanece abierta al público desde la 10 hasta las 22 horas. El ayuntamiento ha elaborado un estudio sobre el número de visitantes diarios, basándose en la hora del día y ha obtenido la siguiente función:

N (h) = h3 – 48 h2 + 756 h - 150, 10≤ h ≤ 22

¿Entre qué horas disminuye el número de visitantes? ¿Entre que horas aumenta este número?

El número de visitantes disminuye ente las 14 y las 18 horas.

El número de visitantes aumenta entre la 10 y las 14 horas, así como entre las 18 y las 22 horas.

Todo ello puede verse en la gráfica.

6. La concentración, C (t) (en mg/cm3), de un medicamento, en el cuerpo de del paciente, después de t horas de su toma está dada por la expresión:

12)( 3

2

+=

tttC

¿Cuándo aumenta y cuándo disminuye la concentración? ¿A qué hora es máxima?

Estudiamos el signo de su derivada: ( )( )23

3

23

223

12

)1(·2)12(

6·2·12)(´

+

−=

+−+

=t

ttt

tttttC

El estudio del signo puede verse en el esquema que sigue.


24

La concentración aumenta durante la primera hora, alcanza el valor máximo 31 al cabo de 1 hora y

disminuye a partir de ese momento.

Todo lo anterior puede verse en la gráfica.

7. En un cultivo de remolacha, una plaga de roedores varía de acuerdo con la siguiente función, en la que x representa el tiempo medido en días:

1060003

)( 2 +−=

xxxf

Calcula en qué momento hay más roedores y cuántos hay. ¿Cuándo crece la población? ¿Cuándo decrece? ¿Qué ocurre después de muchos días?

La derivada de f (x) es 22 )106(

)62(0003)(

+−−

−=xx

xxf . Esta derivada se anula para x = 3.

En el esquema estudiamos el signo de la derivada.

La población de roedores crece desde el primer día hasta el tercer día. El máximo de roedores se alcanza el tercer día con 3 000 roedores. A partir del tercer día la población decrece y con el paso de los días se extingue.


25

En la gráfica podemos ver todo lo dicho con anterioridad.

8. Una agricultora sabe que el rendimiento de su cosechadora, a lo largo de las 10 horas diarias que permanece en funcionamiento, viene dado por la función f (t) = t3 – 21t2 + 135 t, siendo t el número de horas transcurridas desde que la cosechadora empieza a funcionar.

a) ¿Cuándo aumenta el rendimiento? ¿Y cuándo disminuye? b) Determina el rendimiento de la cosechadora cuando arranca. c) ¿A qué hora se produce el máximo rendimiento de la cosechadora y cuánto es este? a) La derivada de la función es f´(t) = 3t2 – 42t + 135. A partir del estudio del signo de esta derivada podemos decir que el rendimiento aumenta desde las 0 a las 5 horas de estar en funcionamiento y desde las 9 a las 10 horas; y el rendimiento disminuye desde las 5 a las 9 horas de estar en funcionamiento. b) Cuando arranca el rendimiento es nulo. c) El máximo rendimiento se produce a las 5 horas y es de 275 unidades.

En la gráfica podemos ver todo lo dicho con anterioridad.


26


9. Determina los máximos y mínimos de cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = 7 – 14x d) f (x) = 5x4 -10x2 + 3 g) f( x) = ln (x2 + 4)

b) y = 20 – 12x – 3x2 e) y = 1

22 +x

h) f (x) = (x2 +1) · ex

c) y = 2x3 - 6x2 - 18x +1 f) 2

2

−=

xxy i) f (x) = x – 2· sen x en [0, 2π]

Los extremos de las funciones son:

a) No tiene máximo ni mínimos, es siempre decreciente.

b) Tiene un máximo en el punto (- 2, 32).

c) Tiene un máximo en (- 1, 11) y un mínimo en (3, - 53).

d) Tiene un máximo en (0, 3) y mínimos en (- 1, - 2) y (1, - 2).

e) Tiene máximo en (0, 2).

f) Tiene un máximo en (0, 0) y un mínimo en (4, 8).

g) Tiene un mínimo en (0, ln 4).

h) No tiene máximo ni mínimos, es siempre creciente


27

i) Tiene un máximo en

97,6,

35π

y un mínimo en

− 68,0,

3π

.

10. Calcula el valor de k para el cual la función f (x) = x3 + kx2 – 3x tiene un mínimo relativo en x = 3.

Se debe verificar que f ´ (3) = 0. El valor de k es – 4.

11. Dada la función f (x) = ax – x2 + b, halla a y b para que esta función tenga un máximo relativo en el punto (2, 7).

Se debe verificar que f ´ (2) = 0 y que f (2) = 7. Los valores pedidos son a = 4 y b = 3.

12. Determina m y n en la función 2

)(2

++

=nx

mxxf sabiendo que para x = 4 la gráfica de la función

tiene un mínimo y su ordenada vale – 8.

Hallamos la derivada de la función: ( )2

2

2

2

24

)2(·)(2·)2(

)(´+

−+=

++−+

=nx

mnxnxnx

nmxxnxxf

Imponemos las condiciones f (4) = - 8 y f ´ (4) = 0 y resolvemos el sistema resultante.

−=−=

−==⇒⇒

=−−=+

⇒⇒

=−=

21,16

1,0...

16163232

...0)4(´8)4(

nm

nm

nmnnm

ff


28

Para m = 0 y n = - 1 la función es 2

)(2

+−=

xxxf , cuya gráfica

observamos que cumple las dos condiciones del enunciado.

Para m = - 16 y 21

−=n , la función es:

)4(·2)4(

)4(·)4(·24322

221

16)(

22

+−=−−

+−=

+−−

=+−

−= x

xxx

xx

x

xxf

La gráfica de esta última función es una recta y no cumple todas las condiciones del enunciado.

13. Halla dos números cuya suma sea 6 unidades y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

Los números son 2 y 4.

14. Una empresa estima que los ingresos y gastos anuales (en miles de euros) en función de los años transcurridos desde su fundación vienen dadas por las siguientes funciones

Ingresos: I (t) = 42 t - 3t2 Gastos: G (t) = 2t2 -8 t + 105 con t 0≥

a) Encuentra la función que dé el beneficio de la empresa.

b) ¿Al cabo de cuántos años, desde su inicio, los beneficios fueron máximos? Calcula el valor de ese beneficio.

a) Función beneficio: B (t) = I (t) - G (t), es decir:

B (t) = (42 t – 3t2) – (2t2 – 8t + 105) ⇒ B (t) = - 5t2 + 50t - 105

b) La derivada es B ´ (t) = - 10t + 50, que se anula para t = 5.


29

La derivada segunda es B ´´ (t) = – 10 y como B ´´ (5) = - 10 < 0, el beneficio es máximo, 20 000 euros, después de transcurridos 5 años.

15. Un ganadero desea vallar un recinto rectangular con 110 metros de alambre pero dejando una abertura de 10 metros en uno de los lados para que pueda entrar el ganado. Halla las dimensiones de la finca de área máxima que se puede cercar y el valor de dicha área.

Las dimensiones de la finca son 30 metros por 30 metros y su superficie será de 900 metros cuadrados.

16. Un estudio realizado por una gran cadena de alimentación demuestra que el coste anual (en miles de euros) de contratar trabajadores eventuales responde a la función:

f(x) = x

xx300

1200903 2 ++

donde x> 0 es el número de trabajadores eventuales contratados. ¿Qué valor de x hace mínimo el coste de contratación? ¿A cuánto asciende este coste mínimo? El valor que hace mínimo el coste de contratación es x = 20 trabajadores eventuales. El coste asciende a 700 euros.

Puede verse en la gráfica.


30

17. El ayuntamiento de un pueblo dispone de 3 660 metros de valla para cercar las cinco pistas de atletismo rectangulares. Sabiendo que las pistas están unidas por los lados mayores, son contiguas y deben tener valla en todos sus lados, halla las dimensiones de estas que hacen que su área sea máxima.

Observando el dibujo adjunto tenemos:

6x + 10 y = 3660 ⇒ xy53366 −=

El área será

−= xxxA

53366·)( .

Esta función alcanza un mínimo para x = 305 m.

Las dimensiones de las pistas serán 305 metros por 183 metros.

18. Un triángulo rectángulo gira alrededor de uno de sus catetos y engendra un cono. Calcula las medidas de los dos catetos del triángulo sabiendo que suman 20 cm y el volumen del cono es máximo.

Las dimensiones serán 3

40 cm y 320 cm.


19. Halla el volumen máximo de todos los cilindros inscritos en una esfera de 80 cm de radio.

Llamamos r al radio de la base y h a la altura del cilindro. Según el enunciado, ocurre que:

460025160)2(·

22222 hrrh −=⇒=+ .

El volumen, V, del cilindro es:

( ) )60025(·44

60025·)(·, 32

2 hhhhhVhrhrV −=−

=⇒=πππ


31

La derivada )360025(·4

)(´ 2hhhV −=π

se anula para h = ± 92,38 cm..

Tenemos que V ´´ (92,38) < 0, por tanto, el volumen es máximo para h = 92,38 cm y r = 65,32 cm.

20. Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel rectangular con las siguientes especificaciones: la zona impresa debe ocupar 100 cm2 de superficie, el margen superior tiene que medir 3 cm, el inferior 2 cm y los laterales 4 cm cada uno. Calcula las dimensiones del cartel que minimizan el gasto en material.

Llamaos x e y a las dimensiones del cartel. La función a minimizar es A (x, y) = x · y.

La relación entre las variables x e y es:

8605100)5(·)8(

−+

=⇒=−−xxyyx

Sustituyendo en la función anterior, obtenemos: 8605)(

2

−+

=x

xxxA .

La primera derivada, 2

2

)8(480805)(´

−−−

=x

xxxA , se anula para x = 20,65.

Por tanto las dimensiones del cartel serán x = 20,65 cm e y = 12,91 cm.

21. La suma de las diagonales de un rombo es 40 cm. Determina el que tiene el área máxima.

Sean D y d las diagonales del rombo. El área, A, del rombo es 2· dD

A = . En esta expresión introducimos la

condición del enunciado, D + d = 40, es decir, D = 40 – d y obtenemos:

220)(

2·)40(

)(2dddA

dddA −=⇒

−=

Hallamos las dos primeras derivadas: A ´ (d) = 20 – d y A ´´ (d) = - 1.

La primera derivada se anula para d = 20 cm y para este valor la otra diagonal vale D = 40 – 20 = 20 cm.

El rombo que tiene el área máxima es el que tiene las dos diagonales iguales, se decir, es un cuadrado.


32

22. El rendimiento de un alumno en un examen tipo test de 1 h viene dado por R (t) = 300t · (1 – t), donde 0 ≤ t ≤ 1 es el tiempo en horas.

a) ¿En qué momento aumenta o disminuye el rendimiento?

b) ¿En qué momento el rendimiento es nulo?

c) ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

La derivada de R (t) = 300t – 300t2 es R ´ (t) = 300 – 600t y se anula para .21

=t

En el esquema puede verse el estudio del signo de la derivada:

a) El rendimiento aumenta en la primera media hora, es decir, para

∈

21,0t .

El rendimiento disminuye en la segunda media hora, es decir, para

∈ 1,

21t .

b) El rendimiento se nulo para t = 0 y t = 1, al principio y al final del examen.

c) El mayor rendimiento se obtiene para 21

=t y vale:

75211·

21·300

21

=

−=

R .


33

23. Una empresa fabrica maquinaria pesada. Al vender x unidades obtiene unos beneficios B (x) (en miles de euros), dados por la función B (x) = - x3 + 300 x + 100. ¿Qué cantidad debe vender si quiere obtener beneficios máximos? ¿A cuánto ascienden esos beneficios máximos?

La derivada de B (x) es B ´ (x) = - 3x2 + 300 y se anula para x = 10.

Para x = 10 la derivada segunde de B (x) es B ´´ (10) = - 6 · 10 = - 60 < 0, y se corresponde con un máximo.

Al vender x = 10 unidades la empresa obtiene los beneficios máximos.

Estos ascienden a B (10) = - 103 + 300 · 10 + 100 = 2 100 miles de euros, es decir, 2 100 000 euros.

24. Estudia la concavidad y halla, si existen, los puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) y = 3 +2x2 - x4 c) y = x3 – 12x2 + 36x e) y = ln (x2 + 4)

b) y = 2 (2 – x)3 d) y = x−1

4 f) y = x6 – 16x2

a) Cóncava hacia las y positivas en

−

33,

33 y hacia las y negativas en

∞+∪

−∞− .

33

33, ;

puntos de inflexión en

−

932,

33 y en

932,

33 .

b) Cóncava hacia las y positivas en )2,( ∞− y hacia las y negativas en ),2( ∞+ ; punto de inflexión en (2, 0).

c) Cóncava hacia las y positivas en ),4( ∞+ y hacia las y negativas en )4,( ∞− ; punto de inflexión en (4, 16).


34

d) Cóncava hacia las y positivas en )1,( ∞− y hacia las y negativas en ),1( ∞+ ; no tiene puntos de inflexión.

e) Cóncava hacia las y positivas en ( )2,2− y hacia las y negativas en ( ) ( )∞+∪−∞− .22, ; puntos de inflexión en ( )16ln,2− y en ( )16ln,2 .

f) Cóncava hacia las y positivas en ( ) ( )∞+∪−∞− ;02,102,1; y hacia las y negativas en ( )02,1;02,1− ; puntos de inflexión en (- 1,02; - 15,42) y en (1,02; - 15,42). Esto lo observamos en la imagen siguiente:

25. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) f (x) = 3x2 – x3 - 2 c) f (x) = 34

342 +−

−xx

x e) f (x) =

33−

+x

xx

b) f (x) = 122

+−

xx

d) f (x) = 22

2

+−

xxx

f) ( ) 2

2

11

xxxf−+

=

Las representaciones gráficas son:


35

a) y b)

c) y d)

e) y f)


36

26. Se define la función xaxxf −=)( .

a) Halla el valor de a para que dicha función tenga un máximo en x = - 1.

b) Dibuja la gráfica resultante para el valor de a encontrado en el apartado anterior.

a) Para que la función tenga un máximo en x = - 1 se deberá cumplir que f ´ (- 1) = 0.

La derivada de y = f (x) es 21)(´

xaxf += . De la condición f ´ (- 1) = 0 se deduce 0

)1(1 2 =

−+

a , es

decir, a = - 1.

b) Representamos la función x

xx

xxf11)(

2 +=+= .

Las principales características de esta función son:

- Dominio: R – {0}.

- Simetría: respecto al origen de coordenadas

- Asíntotas: las rectas x = 0 e y = x, al cumplirse:

012

0=

+→ x

xlímx

11

2

2

0=

+→ x

xlím

x 0

12

0=

−

+→

xx

xlímx

- Monotonía: La función es creciente en ( ) ( )∞+∪−∞− ,11, y decreciente en ( ) ( )1,00,1 ∪−

- Extremos relativos: Máximo en (- 1, - 2) y mínimo en (1, 2).

- Curvatura: cóncava hacia las y negativas en ( )0,∞− y cóncava hacia las positivas en ( )∞+,0 .

- Puntos de inflexión: no tiene.


37

27. Calcula los valores de a, b y c para que la función f (x) = x3 + ax2 + bx + c tenga un mínimo relativo en el punto (1, 0) y pase por el punto (- 1, 0). Representa gráficamente la función obtenida.

La función f (x) = x3 + ax2 + bx + c tiene que cumplir las condiciones f (1) = 0, f ´ (1) = 0 y f (- 1) = 0.

Aplicando las condiciones, obtenemos:

=−=−=

⇒

=+−⇒=−−=+⇒=−=++⇒=

111

10)1(320)1(´10)1(

cba

cbafbaf

cbaf

La función resultante es f (x) = x3 – x2 – x + 1.


- Dominio: R

- Simetría: no tiene.

- Ramas parabólicas a ∞−∞+ y al cumplirse:

∞−=∞−→

)(xflímx

y ∞+=∞+→

)(xflímx

- Monotonía: La función es creciente en ( )∞+∪

−∞− ,1

31, y decreciente en

− 1,

31

- Extremos relativos: Máximo en (-0,33, 1,19) y mínimo en (1, 0).

- Curvatura: cóncava hacia las y negativas en

−∞−

31, y cóncava hacia las positivas en

∞+− ,

31 .

- Punto de inflexión en

− 59,0,

31 .


38

28. De una función polinómica de tercer grado se sabe que tiene un mínimo relativo en el punto (- 1, - 4) y un punto de inflexión en (0, - 2). Encuentra su expresión y represéntala gráficamente.

La función f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tiene que cumplir las condiciones f (- 1) = - 4, f ´ (- 1) = 0, f (0) = - 2 y

f ´´ (0) = 0.

Aplicando las condiciones, obtenemos:

−===−=

⇒

=⇒=−=⇒−=

=+−⇒=−−=+−+−⇒−=−

230

1

020)0(´´22)0(

0230)1(´44)1(

dcba

bfdf

cbafdcbaf

La función resultante es f (x) = - x3 + 3x - 2.


- Dominio: R

- Simetría: no tiene.

- Ramas parabólicas a ∞−∞+ y al cumplirse:

∞+=∞−→

)(xflímx

y ∞−=∞+→

)(xflímx

- Monotonía: La función es creciente en ( )1,1− y decreciente en ( ) ( )∞+∪−∞− ,11,

- Extremos relativos: Máximo en (1, 0) y mínimo en (- 1, - 4).

- Curvatura: cóncava hacia las y negativas en ( )∞+,0 y cóncava hacia las positivas en ( )0,∞− .

- Punto de inflexión en (0, - 2).



39

29. Halla a, b y c de modo que la función y = x3 + ax2 + bx + c tenga un mínimo en el punto (- 1, 0) y una tangente paralela al eje de abscisas en el punto de abscisa - 3.

Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Se debe verificar:

f ´(-1) = 0 ; f ´(-3 ) = 0 ; f(-1) = 0. De estas igualdades obtenemos el sistema siguiente y su solución:

===

⇒

=+−=+−

=+−

496

0627023

1

cba

baba

cba

De modo que la función es y = x3 + 6x2 + 9x + 4.

30. Dada la función f (x) = 22 2

3

−xx , realiza un estudio completo de la misma; determina las asíntotas,

analiza la monotonía y calcula sus extremos. Haz un esbozo de su gráfica.

Las asíntotas de la función son las rectas x = - 1, x = 1 e xy21

= .

La función es creciente en ( ) ( )∞+∪−∞− ,33, y decreciente en ( )3,3− .

Tiene un máximo relativo en el punto

−−

433,3 y un mínimo relativo en el punto

433,3 .

Es cóncava hacia las y positivas en ( ) ( )∞+∪− ,10,1 y cóncava hacia las y negativas en ( ) ( )1,01, ∪−∞− . Tiene un punto de inflexión en (0, 0).

Todo lo anterior puede verse en la gráfica.


40


41

31. En un monasterio se va a abrir una ventana con forma rectangular terminada en un semicírculo. El marco de la ventana mide 8m. Calcula las dimensiones que debe tener para que la cantidad de luz que entre por ella sea máxima.

Llamamos x e y a las dimensiones del rectángulo y 2x al radio de la

semicircunferencia como puede verse en la imagen.

El perímetro de la ventana mide:

42168

22 xxyxyx ππ −−

=⇒=++

La superficie de la ventana, en función de la variable x, es:

8324)(

22 xxxxA +−−=

π ⇒ xxxA 48

)4()(2

++

−=π

El valor que hace máxima a la función anterior es 24,24

16=

+=

πx .

Por tanto, las dimensiones de la ventana serán x = 2,24 m e y = 1,12 m.

32. Una empresa dedicada a la fabricación de piezas de ordenador ha comprobado que la demanda de su producto depende del precio x expresado en €/pieza. A este precio vende (60 000 – 6x) piezas al año. Encuentra la función que muestra el ingreso anual de esta empresa y halla el precio al que debe vender la pieza para que el ingreso anual sea máximo. La función, I (x), que muestra el ingreso anual es:

I (x) = (60 000 – 6x) · x; es decir, I (x) = 60 000x – 6x2.

Esta función alcanza su máximo para x = 5000. Por tanto debe vender la pieza a 5000 euros para obtener un ingreso anual máximo.


42

33. Halla la función f(x) polinómica de grado 3, que tenga un máximo relativo en el punto (1, 4), que corte al eje de ordenadas en el punto (0, - 3) y que su derivada f ´´ (x) tenga una raíz en el punto de abscisa 3.

Sea la función f (x) = ax3 + bx2 + cx + d.

Imponiendo las condiciones del enunciado, obtenemos el sistema:

=+=++=+++

−=

0218023

43

bacba

dcbad

La solución del sistema es: a = 1, b = - 9, c = 15 y d = - 3. Por tanto la función buscada es:

f (x) = x3 - 9x2 +15x - 3.

En la imagen podemos ver la representación gráfica de la función cumpliendo todas las propiedades del enunciado.

34. En la gráfica de esta página está representada la función y = f (x) que es la función derivada de una función y = g(x). A partir de esta gráfica representa la función y = g (x).

En el dibujo podemos ver la gráfica de la función y = g (x), en trazo continua y en color rojo) y la gráfica de su función derivada, en trazo discontinuo y en color azul.


43

Hay que tener en cuenta que los puntos de máximo o mínimo de y = f(x) su función derivada tiene cortes en el eje OX y en los intervalos de crecimiento de y = f(x) la función derivada es positiva y en los intervalos de decrecimiento de y = f(x) la función derivada es negativa.

35. Halla m y p en la función y = x4 + mx2 + p para que tenga un punto de inflexión en (2, - 75).

Sea f(x) = x4 + mx2 + p. Se debe verificar: f ´´(2) = 0 ; f(2) = -75. De estas igualdades obtenemos el sistema siguiente y su solución:

=−=

⇒

−=++=+

524

754160248

pm

pmm

La función es y = x4 - 24x2 + 5.

36. En cada una de las siguientes gráficas está representada la misma función y = f(x). Esta función tiene los puntos de corte (- 1, 0) y (0, 1) con los ejes coordenados y la asíntota horizontal y = 0. Responde a las siguientes cuestiones:

a) En el primer diagrama cartesiano representa la función y = f (- x). Indica sus puntos de corte y las ecuaciones de sus asíntotas, si las tiene.

b) En el segundo diagrama cartesiano representa la función )(

1xf

y = . Indica sus puntos de corte y

las ecuaciones de sus asíntotas, si las tiene.


44

a) La gráfica de la función y = f (- x) es la simétrica de la función dada y = f (x) respecto al eje OY. Su gráfica será la del dibujo. Sus cortes son (1, 0) y (0, 1) y su asíntota la recta y = 0

b) Como f (x) crece hasta x = 0, la función y = 1/f (x) decrece de (- ∞, -1) ∪ (-1, 0).

Como f(x) decrece a partir de x = 0, la función y = 1/f (x) crece de (0, +∞).

Como f(x) tiene un corte en (- 1, 0), la función y = 1/f (x) tiene una asíntota vertical en x = - 1.

Como 0)(lim =∞+→

xfx

entonces ∞+=∞+→ )(

1limxfx

y además como ∞−=∞−→

)(lim xfx

entonces

0)(

1lim =∞−→ xfx

. Su gráfica será

como la del dibujo.


45

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN de la página 349

Lugares geométricos

a) Dada la elipse 1916

22

=+yx , encuentra y dibuja el

lugar geométrico de los puntos P del plano, tales que las dos tangentes a la elipse trazadas desde P son perpendiculares.

¿Cuál sería el lugar geométrico para las elipses de

ecuación 12

2

2

2

=+by

ax ?

b) Dada la hipérbola 1916

22

=−yx , encuentra y dibuja el lugar geométrico análogo al descrito

anteriormente. ¿Cuál será el lugar geométrico para las hipérbolas de 12

2

2

2

=−by

ax , con a > b?

c) Investiga la misma situación para las parábolas de ecuación y = ax2.

d) Dibuja las cónicas correspondientes y los lugares geométricos resultantes ayudándote de un programa de geometría dinámica.

a) Sea y = mx + n la ecuación de la tangente a la elipse. La ecuación resultante del sistema

+=

=+

nmny

yx 1916

22

,

es decir, 19

)(16

22

=+

+nmxx debe tener una raíz doble.

Operamos en la ecuación y la escribimos en la forma:

9x2 + 16m2x2 + 32mn + 16n2 – 144 = 0 ⇒ (9 + 16m2)x2 + 32mnx + 16n2 – 144 = 0.


46

Como esta ecuación tiene una raíz doble su discriminante debe ser cero:

(32mn)2 – 4 · (9 + 16m2) (16n2 – 144) = 0

Operando y simplificando la ecuación anterior, obtenemos: 16m2 – n2 + 9 = 0.

Supongamos que P tiene de coordenadas (x0, y0). Como la recta tangente pasa por P se cumplirá n = y0 – mx0 y entonces:

16m2 – (y0 – mx0)2 + 9 = 0.

Operando y simplificando, obtenemos: ( ) 09216 2000

220 =−++− ymyxmx .

Como las tangentes a la elipse desde P son perpendiculares, las dos soluciones, m1 y m2, de esta última ecuación cumplen m1 · m2 = - 1 y teniendo en cuenta las relaciones de Cardano obtenemos:

251691169 2

020

20

202

0

20 =+⇒+−=−⇒−=

−

−yxyy

xy

El lugar geométrico es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 5.

Para las elipses de ecuación


47

12

2

2

2

=+by

ax , el lugar geométrico que se obtiene son las circunferencias centradas en el origen y de radio

22 ba + , es decir, las circunferencias de ecuación x2 + y2 = a2 + b2.

En los dibujos pueden verse algunas de las anteriores. Para dibujarlas con GeoGebra se crean dos deslizadores para los semiejes de la elipse a y b y posteriormente se introducen las ecuaciones tanto de las elipses como de las circunferencias.

Moviendo los deslizadores obtenemos distintos resultados:

También podemos obtener el lugar geométrico activando el rastro en las propiedades del objeto del punto P.


48

b) Procedemos como en el caso anterior y obtenemos:

Sea y = mx + n la ecuación de la tangente a la hipérbola. La ecuación resultante del sistema

+=

=−

nmny

yx 1916

22

, es decir, 19

)(16

22

=+

−nmxx debe tener una raíz doble.

Operamos en la ecuación y la escribimos en la forma:

9x2 - 16m2x2 - 32mn - 16n2 – 144 = 0 ⇒ (9 - 16m2)x2 - 32mnx - 16n2 – 144 = 0.

Como esta ecuación tiene una raíz doble su discriminante debe ser cero:

(32mn)2 + 4 · (9 - 16m2) (16n2 + 144) = 0

Operando y simplificando la ecuación anterior, obtenemos: 16m2 – n2 - 9 = 0.


49

Supongamos que P tiene de coordenadas (x0, y0). Como la recta tangente pasa por P se cumplirá n = y0 – mx0 y entonces:

16m2 – (y0 – mx0)2 - 9 = 0.

Operando y simplificando, obtenemos: ( ) 0)9(216 2000

220 =+−+− ymyxmx .

Como las tangentes a la hipérbola desde P son perpendiculares, las dos soluciones, m1 y m2, de esta última ecuación cumplen m1 · m2 = - 1 y teniendo en cuenta las relaciones de Cardano obtenemos:

7169116

)9( 20

20

20

202

0

20 =+⇒−=+⇒−=

−

+−yxyy

xy

El lugar geométrico es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 7 .


50

Para las hipérbolas de ecuación 12

2

2

2

=−by

ax , con a > b, el lugar geométrico que se obtiene son las

circunferencias centradas en el origen y de radio 22 ba − , es decir, las circunferencias de ecuación x2 + y2 = a2 - b2.

En los dibujos pueden verse algunas de las anteriores. Para dibujarlas con GeoGebra se crean dos deslizadores para los semiejes de la elipse a y b y posteriormente se introducen las ecuaciones tanto de las hipérbolas como de las circunferencias.


51

c) Para la parábola y = x2 procedemos como en los casos anteriores y obtenemos:

Sea y = mx + n la ecuación de la tangente a la parábola. La ecuación resultante del sistema

+==

nmnyxay 2

, es

decir, nmxx +=2 debe tener una raíz doble.

Operamos en la ecuación y la escribimos en la forma: x2 - mx – n = 0.

Como esta ecuación tiene una raíz doble su discriminante debe ser cero: m2 + 4n = 0

Supongamos que P tiene de coordenadas (x0, y0). Como la recta tangente pasa por P se cumplirá n = y0 – mx0 y entonces: m2 – 4(y0 – mx0) = 0.

Operando y simplificando, obtenemos: 044 002 =− ymxm .

Como las tangentes a la hipérbola desde P son perpendiculares, las dos soluciones, m1 y m2, de esta última ecuación cumplen m1 · m2 = - 1 y teniendo en cuenta las relaciones de Cardano obtenemos:

.41141

14

000 −=⇒−=⇒−= yy

y


52

El lugar geométrico es una recta horizontal, que coincide con la directriz de la parábola.

Para las parábolas de ecuación y = ax2 el lugar geométrico que se obtiene son las rectas horizontales de

ecuación a

y41

−= , que coinciden con la directriz de la parábola.


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