1.0 PENGENALAN

Geometri adalah sebahagian daripada matematik yang mengambil berat

persoalan mengenai saiz, bentuk dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat

ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua. Pada mulanya ia

hanyalah sebahagian jasad dari pengetahuan praktikal yang mengambil berat

jarak, luas dan isipadu tetapi pada abad ketiga S.M, Geometri telah diletakkan di

dalam bentuk aksiom oleh Euclid membentuk Geometri Euclid, yang hasilnya

menetapkan piawai untuk beberapa abad berikutnya. Secara umumnya,

geometri merupakan salah satu daripada cabang matematik yang berhubung

kait tentang ciri-ciri ruang, termasuklah titik, garisan, lengkungan, satah dan

permukaan ruang serta bentuk-bentuk poligon.

2.0 Teselasi Menurut Wikipedia -

Tessellation adalah proses mewujudkan satah dua dimensi menggunakan

pengulangan bentuk geometri dengan tidak bertindih dan tiada jurang .

Generalisasi kepada dimensi yang lebih tinggi juga mungkin. Tessellations sering

muncul dalam seni MC Escher, yang mendapat ilham ketika mengkaji

penggunaan Moor simetri dalam jubin Alhambra semasa lawatan beliau ke sana

pada tahun 1922. Tessellations boleh dilihat sepanjang sejarah seni, seni bina

purba seni moden.

Sejarah Teselasi - Pada tahun 1619 Johannes Kepler telah membuat satu

kajian mengenai teselasi yang telah didokumenkan pertama kalinya apabila dia

menulis tentang tessellation tetap dan semiregular, yang merupakan penutup

satah dengan poligon sekata. Kira-kira 200 tahun kemudian pada tahun 1891,

crystallographer Rusia Yevgraf Fyodorov membuktikan bahawa setiap jubin yang

dipasang berkala mempunyai salah satu daripada 17 kumpulan yang berbeza

daripada isometries. Kerja fyodorov menandakan permulaan tidak rasmi kajian

matematik tessellations. Penyumbang terkemuka yang lain termasuk Shubnikov

dan Belov (1951); dan Heinrich Heesch dan Otto Kienzle (1963).

1

Sejarah awal tessellations bermula sejak tamadun awal orang Greek. Perkataan

asalnya datang daripada perkataan Yunani "tesseres" yang bermaksud "empat"

dalam Bahasa Inggeris. Orang Yunani yang sebenarnya menggunakan jubin

sisiempat kecil sebagai tanda dalam permainan mereka. Jubin ini kemudian telah

diambil dan digunakan untuk membuat gambar mozek pada dinding, lantai dan

siling. Tessellation berasal daripada penggunaan dalam seni. Dari Bahasa

Yunani Kuno, Tessera atau Tessella ialah dadu kecil keping batu yang

digunakan dalam mosaik. Oleh itu, kamus mencadangkan, tessellations yang

asal adalah mozek. Tessellations pertama kali digunakan dalam bentuk mosaik

kira-kira 3000 SM di Mesopotamia Purba. Tessellation dalam mosaik adalah

berkaitan dengan struktur sebenar susunan kepingan kecil batu atau jubin, yang

tessellation tetap. Ramai menggunakan mosaik bukan sahaja dalam corak seni

tetapi juga bangunan, pakaian, alatan rumah, perhiasan dan sebagainya.

Umat Islam juga menggunakan jubin untuk menghiasi bangunan-bangunan

mereka, kerana agama mereka melarang mereka dari menggunakan gambar-

gambar orang atau benda-benda hidup dalam menghias rumah dan bangunan

mereka. Jubin yang terbaik dipercayai boleh didapati di Istana Alhambra di

Granada di selatan Sepanyol.Kerana paparan ini indah di istana di Granada, MC

Escher, pakar grafik Belanda atau seniman yang tidak pernah secara rasmi

dilatih dalam bidang matematik, menjadi terpesona dalam seni jubin ini. Beliau

tidak pernah lulus dari sekolah tinggi. Karya pertama seninya bermula

pada awal tahun 1920-an, tetapi  dalam kerja-kerja mengecat dan kayu dan 

kayu. Beliau pertama kalinya berminat dalam seni jubin semasa melawat Istana

Alhambra di Granada. Dia melihat contoh gaya  hiasan Arab. Idea-idea

ini mencetuskan imaginasi, tetapi terletak tidak aktif di dalam fikirannya untuk 13

tahun akan datang. Beliau kembali semula Istana dan sekali lagi mengkaji

mengenai jubin ini.Pada titik ini dalam hidupnya, Escher  mendapati bahagian

selatan Itali menjadi tempat yang paling memberi inspirasi kerana peperangan

yang berlaku disekeliling beliau, beliau berpaling minat kepada teselasi. Pada

2

tahun 1937, Escher menunjukkan beberapa karya beliau kepada saudaranya,

yang merupakan seorang profesor geologi. Dia kagum dengan potensi kerja-

kerja ini untuk kristalografi. Pada tahun 1938, Escher terus mencuba dengan

pengisian teknik, bentuk dan transformasi. Dia terus bekerja dengan perubahan,

transformasi, dan lain-lain teknik-pengisian pesawat. 1959 terbukti adalah tahun

yang menarik untuk Escher. Dr. MacGillavry mengaturkan untuk beliau untuk

memberi satu seminar tentang simetri pada perhimpunan antarabangsa

crystallographers. Matematik dan kristalografi yang dibentangkan dalam aspek

kerja-kerja Escher dan jubin menjadi popular.

Beliau menjadi popular di dunia seni pada tahun 1975 di konvensyen Persatuan

Origami British di mana karya-karya beliau telah mula diiktiraf sebagai bentuk

seni. Ahli matematik, saintis, dan crystallographers semua menghargai kerja-

kerja yang dilakukan, dan beberapa cetakan telah digunakan untuk mengkaji

persepsi visual dalam bidang-bidang seperti fizik, geologi, kimia, dan psikologi.

Ahli matematik cenderung untuk menjadi sangat berminat dalam tessellations

kerana hubungan mereka kepada simetri angka, bahagian sudut, putaran objek,

dan lain-lain konsep geometri pelbagai. Dengan maklumat yang didapati dari

Escher , maka itulah dia digelar bapa tessellations.

Pada masa ini, kita dapat melihat tessellations dalam pelbagai bentuk: dalam

bidang seni bina, alam semula jadi, sejarah sosial, seperti membuat selimut, dan

menghias, hanya untuk menamakan beberapa perkara.

3.0 Teselasi Dalam Matematik

Teselasi, atau memasang jubin, menutupi satah oleh bentuk tertutup, dipanggil

jubin, tanpa jurang atau bertindih. Tesselasi mempunyai banyak contoh-contoh

nyata dunia dan berhubungkait antara matematik dan seni. Contoh-contoh

mudah tteselasi ialah lantai berjubin, kerja bata, dan tekstil. Artis sangat

3

berminat dalam jubin kerana simetri dan replika corak mudah. Ahli matematik

berminat untuk belajar bagaimana jubin boleh meliputi satah, lain-lain permukaan

dan ruang. Mereka mahu tahu jika dan bagaimana jubin boleh meliputi satah,

bagaimana jubin dikelilingi oleh jubin lain,dan jika tompokan memasang jubin

boleh dilanjutkan untuk meliputi seluruh ruang. M.C. Escher mempunyai minat

yang kukuh dalam matematik. Dia belajar matematik topik sebagai satu cara

untuk merealisasikan visi artistik beliau. Topik-topik tertentu yang dikaji oleh

Escher adalah bahagian satah, kumpulan simetri 17 dan ruang topologi. Escher

juga rakan kepada ahli matematik terkenal abad ke-20, Roger Penrose dan HSM

Coxeter. Selepas saling berutus surat dengan Coxeter tentang tilings dalam

satah yang hiperbolik, Escher mendapat inspirasi untuk mewujudkan Circle Limit

I. Escher berminat dalam "corak dengan 'motif' kecil dan semakin kecil sehingga

mereka sampai ke tahap menghadkan kekecilan tidak terhingga. "Tilings satah

yang hiperbolik dalam model cakera Poincar'e yang adalah alat yang Escher

gunakan untuk mewujudkan imej yang lenyap ke infiniti. Sejak akhir 1950-an

apabila Escher mula menghasilkan cetakan Circle Limit, ahli matematik dan

saintis komputer terus mengkaji tessellations hiperbolik. Teknologi telah

bertambah baik dari hari ke hari. Gabungan matematik, pemikiran kreatif dan

teknologi komputer yang datang bersama-sama dalam kajian tessellations dan

geometri hari ini menghasilkan karya seni dalam Matematik yang amat

menakjubkan. Tiada algoritma yang boleh menentukan dengan tepat bagaimana

jubin boleh direka atau bagaimana polyhedra boleh mengisi ruang. "Penggunaan

'komputer visual' menimbulkan cabaran-cabaran baru untuk ahli matematik -

pada masa yang sama, grafik komputer pada masa akan datang mungkin

bersatu bahasa antara seni dan sains.

4.0 Jenis-jenis Teselasi

Bentuk teselasi meliputi pesawat tanpa jurang dan tanpa bertindih. Terdapat

hanya tiga Tessellations tetap pada satah Euclid (bentuk 2D) yang dibuat

daripada salinan bentuk poligon tetap tunggal pada setiap bucu. Ini adalah

4

segitiga sama sisi, segi empat atau heksagon biasa (setiap yang ditunjukkan di

bawah). Hanya ada tiga kerana sudut dalam poligon mesti menjadi faktor 360 °

supaya poligon boleh beratur pada titik tanpa meninggalkan jurang.

Rectangle Octagon dan Square Pentagon

1. Teselasi Sekata :

Terhasil daripada teselasi satu jenis poligan sekata yang kongruen.

Hanya terdapat tiga jenis poligon sekata yang kongruen yang

terdapat diteselasi iaitu segi tiga sama sisi, segi empat sama dan

heksagon.

Contoh :

Lihat pada titik sudut:

Vortex adalah titik sudut dimana bentuk-bentuk ditemukan tanpa pertindihan.

Untuk teselasi sekata, coraknya dikenalpasti dari titik vortex.

5

2. Teselasi Separa Sekata:

Terhasil daripada teselasi dua jenis atau lebih poligon sekata yang

kongruen yang disusun secara “ cyclic order’.

Terdapat enam jenis corak teselasi separa sekata iaitu kombinasi oleh

poligon-poligon segi tiga sama sisi. Segi empat sama, heksagon, oktogon

dan dodecagon.

Contoh:

3. Teselasi Tidak Sekata:

Teselasi yang melibatkan poligon yang tidak sekata.

Terdapat banyak jenis teselasi tidak sekata.

6

Contoh:

Teselasi tidak sekata adalah di mana tidak ada halangan dalam susunan

polygon sekeliling. Terdapat nombor infiniti dalam teselasi. Teselasi boleh direka

dengan mempersembahkan satu atau lebih operasi asas melalui proses

translasi, putaran dan pantulan pada polyamond (gabungan segitiga sama sisi).

Translasi (translation) - menggelongsorkan polyiamond sepanjang pesawat.

Operasi translasi (terjemahan) boleh digunakan kepada semua polyiamonds.

Putaran (rotation) - yang memutar polyiamond dalam satah. Operasi penggiliran

boleh digunakan untuk semua polyiamonds yang tidak memiliki simetri pekeliling,

contohnya heksagon hexiamond, yang tidak berubah putaran berikut melalui 60o

atau gandaan daripadanya.

Pantulan (reflection) - mencerminkan polyiamond dalam satah, seolah-olah

dilihat di cermin. Operasi refleksi terhad kepada polyiamonds yang

enantiomorphic. Satu polyiamond enantiomorphic adalah salah satu yang tidak

boleh menindih refleksi, imej cermin.

7

Segitiga, segiempat dan hexagon adalah bentuk biasa yang menjadi teselasi

tersendiri.. Anda boleh mempunyai teselasi lain bentuk yang tetap jika

anda menggunakan lebih daripada satu jenis bentuk. Anda juga boleh mencipta

teselasi pentagon, tetapi bentuk itu tidak akan menjadi bentuk-bentuk yang

tetap. Teselasi boleh digunakan untuk corak jubin atau kuilt campur aduk.

Teselasi Tunggal Bentuk Biasa

Segitiga - Boleh menjadi teselasi yang sangat cantik. Dua segitiga menjadi

diamond. Enam segitiga menjadi hexagon.

Segiempat -  Dengan mewarnakannya, anda boleh membina corakyang lebih

rumit. 

8

Hexagon - Lebah membuat teselasi semulajadi hexagon pada sarang mereka.

9

Teselasi Pelbagai Bentuk Biasa

Segiempat dan segitiga - Terdapat dua cara untuk bergaul segiempat dan

segitiga dalam corak yang sama.

Ini adalah cara yang membosankan. Anda boleh menjadikan ia lebih menarik

dengan mewarna.

10

Grid lain kelihatan aneh, kerana kita tidak mengiktiraf kuasa dua sebagai mudah

apabila mereka condong.

Hexagon dan segitiga - Terdapat dua cara biasa untuk mencampur hexagon

dan segitiga dalam corak yang sama. Anda boleh bermain-main dengan grid

segitiga untuk mencari jalan lain untuk mencampur hexagon dan segitiga.

Ini padat dengan segitiga rapat dengan beberapa segitiga di antaranya.

11

Di sini, hexagon lebih jauh, dengan garis segitiga antara mereka.

12

Hexagon, segiempat dan segitiga

Octagons (8 sisi) dan kuasa dua

13

Dodecagons (12 sisi) and segitiga - Setiap sisi mesti sama panjang

supaya teselasi boleh dicorakkan bersama dan kita akan dapati bahawa

dodecagons lebih besar daripada segitiga.

14

Dodecagons, hexagons and segiempat

Teselasi Lain-lain Bentuk

15

Wafel - Anda tidak perlu untuk menyekat diri anda kepada bentuk sekata. Di sini

ialah corak wafel, dan skim warna yang dicadangkan.

Ikan - corak ini adalah berdasarkan reka bentuk ikan yang mudah, dibuat persegi

menyerong dengan segi tiga ekor.

Ia mengejutkan berapa banyak cara yang anda boleh muat ini bersama-sama.

16

Teselasi boleh diklasifkasikan dengan lebih mendalam mengikut bagaimana unit

sel mengandungi satu atau lebih polyiamond yang disusun. Jika unit sel disusun

seperti corak sekata yang berulang-ulang atau corak rambang, teselasi disebut

periodic. Jika susunan menghasilkan teselasi dengan pusat simetri bulat adalah

disebut radial – seperti teselasi, dengan pengeculian kes-kes istimewa, adalah

kompleks dan akan meliputi dua per tiga atau enam unit sel yang salah satunya

mengandungi nombor polyiamond yang tidak terbatas.

Kesemua teselasi yang sekata termasuk dalam tujuh belas set simetri yang

berlainan kumpulan yang mana menguras semua cara yang coraknya boleh

diulang tanpa had dalam dua dimensi.

Pembaca sepatutnya sedar bahawa susunan ganji polyiamond tidak boleh

menjadi teselasi mudah. Operasi putaran dan pantulan mesti digunakan untuk

menyediakan keseimbangan unit sel untuk teselasi

Kesemua susunan polyiamond lapan atau kurang, dengan pengecualian salah

satu heptiamond akan menteselasikan sata. Pengucualiannya ialah heptiamond

berbentuk ‘V’ Gardner menulis mengenai masalah mengenalpasti heptiamond

dan menghasilkan semula bukti ketidak mungkinan Gregory.

Walaubagaimanapun, dalam kombinasi dengan heptiamond yang lain, teselasi

yang menggunakan heptiamond berbentuk V boleh di bentuk.

17

5.0 Contoh-contoh tesalasi

Terdapat banyak contoh teselasi dalam dunia yang sebenar. Kita telah belajar

yang teselasi adalah bentuk polygon yang berulang-ulang tanpa mempuyai

ruang atau seksyen yang bertindih. Siapa yang pertama menemui corak ini, dan

siapay yang menggunakannya? Maka, untuk yang pertama kalinya fikirkan

bentuk yang berbeza yang ada dalam alam semula jadi, dan lihat sama ada

anda boleh fikirkan sesuatu yang boleh diklasifikasikan sebagain teselasi. Sisik

pada ikan, cengkerang kura-kura, ataupun kulit neneas. Jadi, hanya dengan

memerhatikan dunia sekeliling kita kita boleh pelajari macam mana untuk

mengenalpasti coraknya dan bagainmana kita boleh aplikasikannya dalam kerja

kita. Contoh teselasi yang dapat kita lihat adalah dalam pembinaan batu bata

semasa membina bangunan. Selama beribu tahun manusia telah menggunakan

teselasi untuk mereka bangunan yang cantik, mozek, kerja kayu, lantai dan

taman.

Orang greek dan Roman dahulu kala telah mencipta mozek yang rumit

menggunakan bahagian batu-batu kecil yang ditampalkan pada dinding-dinding

dan lantai-lantai. Mozek-mozek ini adalah bukan teselasi dalam system

matematik kecuali bentuk batu di dalam mereka yang membentuk corak

berulang. Tetapi selalunya, mozek-mozek ini menggunakan rekaan geometric

yang akan diteselasikan pada satah dalam sempadan dan latar belakangnya.

Ubin yang lebih besar diperbuat daripada marmar atau granit yang digunakan

pada corak lantai. Kadangkala, seluruh lantai dihamparkan dalam satah teselasi

yang besar.

Seni islam dinotakan mempunyai hiasan mozek yang ekstrem. Lebih banyak

rekaan ubin mempunyai segmen yang bertindih dan disebabkan itu ia bukanlah

teselasi yang sebenar. Banyak masjid dahulukala dan istana dibina di Istanbul,

dan warnanya yang terang tidak hilang. Masjid biru dan Haiga Sophia adalah

18

dua tempat yang popular di Istanbul, Turki yang mana banyak corak teselasi

pada bangunannya. Kadangkala, corak yang diwarnakan pada jubin adalah

daripada rekaan geometric mereka sendiri yang mana apabila dilihat daripada

jauh menampakkan teselasi.

Kawasan lain dalam dunia yang menggunakan teselasi pada dinding dan lantai

adalah Negara Cina, di mana seramik porselin biru dan putih yang popular

menjadi aspirasi artis-artis daripada Negara lain untuk membuat jubin yang

sama; Jepun, yang mana dikenali sebagai pengukir kayu dalam mereka teselasi;

Afrika Utara dan Sepanyol terutamanya senibina Moorish. Belanda juga

mempuyai industry jubin Delft begitu juga England iaitu Westminster Abbey di

London mempunyai rekaan yang hebat yang ditiru biara lain. Budaya lain juga

dikiatakan menggunakan teselasi pada bangunan mereka dan rekaan tekstil

termasuk Navajos dan Amish. Kita boleh mendapatkan buku berkenaan

keseniaan dan senibina di perpustakaan. Terdapat banyak sebab mengapa kita

harus belajar teselasi.

Contoh tesalasi yang dapat kita lihat adalah dalam pembinaan ialah susunan

batu bata dan mozek semasa membina bangunan,

Contoh pembinaan yang menggunakan tesalasi ialah:

1. Masjid Biru dan Haiga Sophia di Istanbul, Turki

2. Senibina Moorish di Sepanyol.

3. Industri jubin Delft di Belanda.

4. Westminster Abbey di London, England

19

5.1 Contoh-contoh Teselasi Dalam Kehidupan Sebenar

1. Masjid Biru, Turki

2. Istana Al-Hambra,

Granada, Sepanyol

3. Bunga Matahari

20

4. Kulit Ular Sawa

5. Sarang Lebah

6. Sisik Ikan

21

7. Lantai Parket

8. Buah Nenas

9. Rama-rama

22

10. Kura-Kura

11. Siput

12. Anyaman Rotan

23.

5.2 Contoh-contoh Teselasi Seni

25

26

6.0 Bagaimana tesalasi boleh dihasilkan

7.0 Penerangan tentang penghasilan tesalasi saya

Langkah 1 : Gunakan “Microsoftword” untuk membuat teselasi saya.

Langkah 2 : Saya klik pada AutoShape di sebelah kiri komputer saya dan pilih

bentuk yang saya senang buat iaitu segitiga

27

Langkah 3 : Kemudian saya pantulkan segitiga berkenaan ke bawah untuk

menghasilkan segitiga yang satu lagi.

Langkah 4 : .Kemudian saya gunakan teknik copy dan paste untuk

memperbanyakkan segitiga berkenaan

Langkah 5 : Kemudian saya masukkan warna dalam segitiga tersebut dengan

mengklik pada icon colour di bar bahagian bawah komputer.

Langkah 6 : Saya penuhkan ruang dokumen saya dan kemudian saya

print kan

ke dalam sehelai kertas..

28

Langkah 7 : Setelah siap di print, saya tampal teselasi saya ke atas sekeping

mounting board bersaiz A4

Langkah 8 : Kemudian saya balut teselasi dengan menggunakan

plastik dan

meletakkan binding pada setiap penjuru selebar 1 cm.

29