선형대수학에 나타나는 기본적인 내용

fundamentals: 벡터공간의 정의; 부분공간; 1차종속, 1차독립, basis; 차원; com-

plement, sum, direct sum; 부분공간의 차원정리; isomorphism의 개념; quo-

tient space의 개념; quotient space의 차원정리;

duality: linear function의정의, coordinate function에의한 linear function의characterization; dual space, 차원; natural isomorphism between X and

X′′; annihilator (1); annihilator와 quotient space의 관계;

linear mapping: 선형공간의 정의; range와 null space, 차원 정리; 차원정리의의미와 응용; linear mapping의 algebra; adjoint mapping (1); annihila-

tor+adjoint+range+null space;

matrices:determinant:spectra: iteration problem에서 나타나는 eigenvalue; eigenvalue, eigenvec-

tor의 기본성질; characteristic polynomial, Cayley-Hamilton; iteration prob-

lem — generalized eigenvector의 필요성; spectral theorem — Jordan

form; minimal polynomial;

innerproduct spaces: 내적, 노옴, 각; 기본공식들 — 평행사변형 법칙, Cauchy-

Schwarz, 삼각부등식, polarization identity; 내적공간과 노옴공간의 관계; or-

thonormal basis, Gram-Schmidt; identification of X and X′; annihilator

(2) — orthogonal complement; adjoint mapping (2); characterization of

euclidean motion; complex inner product; orthogonal matrix, orthogo-

nal transform; linear groups; bilinear form, quadratic form; multilinear

algebra;

spectral theory: self-adjoint mappings and quadratic form; existence of

eigenvector basis for self-adj. mappings; orthogonal diagonalization;

minimax characterization of eigenvalues;

calculus: 역행렬, tarce, determinant의미분공식; exponential map; linear group과lie algebra; examples;

inequalities: positive definiteness; examples of positive definite quadratic

form; Laplacian;

i

ii

들어 가기

이책은 선형대수 교과서이다.

이책은 수학을 전공하는 사람은 물론 수학은 전공하지 않으면서도 선형대수의 이론을깊이 있게 이해하고자 하는 사람들이 겪는 어려움을 해소하고자 하는 바램을 가지고 쓰여졌다.

일반적으로 선형대수학 교과서는 두 가지 형태로 나뉘어진다. 그 하나는 흔히 방대한분량의 책으로 되어있으며 행렬과 그의 계산으로 시작하여 선형대수학의 기초 이론을 총망라하고 그 응용도 상세히 설명하고 있는 책이다. 이에 반하여 내용이 간결하면서도 전문적인 설명을 하고있는 수학전공자를 위한 고급 선형대수학 교과서가 또 하나이다.

이 두 가지 형태의 교과서는 나름대로의 장단점을 가지고 있다. 방대한 분량의 행렬의이론을 설명한 교과서는 쉽게 접근이 가능하다는 장점을 가진 반면 그 내용이 통일되지 못하였으며 실생활문제에의 응용이라는 motivation외에는 이론을 설명하는 관점을 가지지못하여 산만하여진다. 이에 반하여 깊이있는 설명을 하는 교과서는 간결하고 조리있게 서술되어 있는 반면 이미 이러한 관점에 익숙한 사람을 상대로 서술되어 수학전공자가 아닌사람들에게는 물론 전공자에게도 읽기 쉽지 않은 교과서가 되기 일수다.

이러한 두 가지 형태의 교과서의 괴리를 제거하는 것은 원칙적으로는 불가능하다. 그러나 현대의 과학과 기술이 깊이있는 수학적 지식의 이해를 자꾸 요구하고 있고, 이러한요구에 부응하여 수학적 지식이 부족한 사람들도 깊이있는 선형대수학의 이론을 이해할 필요가 증가함에 따라 이러한 문제를 해결할 필요가 있다. 이를 해결하는 한 가지 방법으로우리는 고등학교에서부터 가지고 있는 수학의 틀을 유지하면서도 선형대수학의 깊이있는이론을 조명할 수 있는 한 가지 관점에 국한시킴으로써 이론의 체계적 이해를 도모하고 어려운 이론에 보다 쉽게 접근할 수 있도록 시도한다.

이 책의 관점은 선형대수학의 이론을 단순히 1차함수와 2차함수의 이론으로 간주하려고 한다. 이렇게 함으로써 우리는 선형대수의 이론에 나오는 여러 이론이 우리가 공부하고 있는 1차 및 2차함수의 이론에서 어떠한 점을 보완하는 것인가를 생각하고 이를 통하여 선형대수학 전체의 통일된 관점을 가질 수 있다는 이점을 얻게 된다. 이러한 방법은 한편 선형대수학의 학문적 입장에서는 여러 방향으로 전개되는 고차원적인 이론으로의 연계를 단절시키는 잘못을 범할 수 있지만, 조금이라도 수학의 이론적 영역에 접근하기를 원하는 많은 사람들에게 도움이 될 수 있다면 잠시 눈감아 둘 수도 있다고 생각한다.

이 책은 일반적인 선형대수학 교재와 크게 다르지는 않다. 우선적으로는 행렬을 이용한 계산적인 부분은 일반 교과서에 맡겨두고 이로부터 수학과 학부 수준의 선형대수학을이해하기 위한 이론을 전개하여 둔다. 차후에 시간적 여유가 있으면 이러한 계산부분을 채워 self-contained 인 교과서로 발전시켰으면 한다.

이 책의 목표. 이 책의 피상적 목표는 위에 언급하였지만 조금 더 구체적인 목표를간단히 말해둔다.

이 책을 강의하며 학생들에게 바라는 것은 크게 두 가지이다. 우선 대학교에서 선형대수를 사용하는 많은 교과에서 필요한 선형대수 계산법을 익히는 것이다. 이는 벡터 및 행

들어가기 iii

렬의 고급 계산법이라고 할 수 있으며 많은 이론이 있다. 학부수준의 계산법만을 가지고도1년 이상 강의가 필요하다.

그러나 우리는 또 하나의 목표를 가지고 있다. 대학 학부 전공수학을 공부하여 보면 고등학교와는 판이하게 다른 수학이라고 느끼게 된다. 이는 대학교의 전공수학이 매우 추상적이기 때문이다. 이러한 어려움을 쉽게 극복하기 위하여는 쉬운 과목을 공부할 때에 추상적인 사고방식을 익혀서 어려운 과목에서도 쉽게 적응하는 것이 좋은 방법이다. 우리는 선형대수를 공부하는 동안 이러한 추상적인 방법론도 잘 익혀두었으면 한다. 이것이 수학과학부 강의 가운데서 해석학과 선형대수를 필수과목으로 두고 핵심과목으로 강조하는 이유이다.

이러한 두 마리 토끼를 잡으려면 어쩔 수 없이 희생이 필요하다. 즉, 벡터 및 행렬에대한 여러 가지 이론을 모두 공부할 시간적 여유가 부족하게 된다. 따라서 우리는 기본적이고도 핵심적인 계산법만을 알아본다. 이보다 구체적이고 계산법(algorithm)적인 많은 다른 이론들은 필요할 때에 따로 공부하기로 한다. 실제로 기본만 확실히 알고 있으면 이러한 이론을 공부하는 것은 그리 어렵지 않다.

우리의 두 가지 목표를 잘 이해하고 이 책의 내용을 따라온다면 두 마리 토끼를 잡는것도 간단하다. 실제로 이 두 마리를 한 가지 이야기로 만들어 버리면 된다. 이에 대한 이야기는 다음에 적는다.

선형대수 공부하기. 이제 우리가 공부하고자 하는 선형대수학의 내용을 요약하여 보면 다음과 같다.

1. 1차연립방정식의 이론2. 1차함수(linear transformation)의 이론3. 내적의 이론4. 고유값, 고유벡터의 이론5. 2차함수(quadratic form)의 이론

이러한 내용은 선형대수학에서 typical한 내용이다.

선형대수학의 내용은 우리가 중,고등학교에서 공부한 1변수함수의 여러 이론(방정식,

부등식, 미분, 적분 등등)을 다변수함수의 이론으로 확장하여 다루려고 할 때 가장 먼저 만나는 것들에 대한 이론이다. 즉 1차방정식

ax = b

를 풀고 1,2차함수y = ax + b, y = ax2 + bx + c

에 대하여 공부했던 것을 변수(독립변수, 종속변수)의 개수를 여러개로 늘렸을 때는 어떻게 해야 하는가를 공부하는 것이다. 그래서 위에서 공부한 내용을 보면 간단히 1차함수와2차함수의 이론이라고 할 수 있다. 그 밖의 것은 이를 이해하기 위한 도구라고 보면 된다.

iv

이제 선형대수에서는 어떤 공부를 하는가? 고등학교에서 공부했던 것과 똑같이 1차함수와 2차함수의 이론을 공부한다. 단지 다르다면, 고등학교에서는 변수가 실수인 함수들을공부했고, 1학년 때는 평면이나 공간에 정의된 함수들을 공부했다면 이제부터는 차원이 높아진 Rn 또는 나아가서 일반적인 벡터공간(vector space) X에 정의된 함수를 공부한다는 만큼 다르다.

그럼 실제로는 얼마나 달라졌는가? 이는 다음과 같이 두 가지 관점에서 전혀 다른 대답을 할 수 있다.

1. 우선 함수의 정의역이 구체적인 R2 에서 일반적인 공간으로 바뀐 것 뿐이며 실제로 우리가 공부하는 내용에서 근본적으로 달라지는 결과는 하나도 없다.

2. 그러나 좌표함수가 많아지거나, 구체적인 좌표함수 없이 1학년때 공부한 내용을 이야기하는 것은 쉽다고만 할 수는 없다. 실제로 상당히 곤란을 겪는 학생들이 있다.

이러한 상황은 1학년까지 공부하던 구체적인 계산법에서 추상적인 사고법으로 전환하는 과정에서 누구나 겪는 어려운 점이다.

선형대수 외에도 구체적인 미적분학에서 추상적인 수렴의 이론으로 upgrade된 해석학, 이를 더 upgrade하여 epsilon-delta 없이도 수렴을 다룰 수 있게 해주는 위상수학,

구체적인 방정식을 풀던 이전의 수학에서 방정식 전체의 해를 한꺼번에 이야기하는 대수학 등 대학교의 전공수학은 이 한 단계의 upgrade가 필요한 공부이다.

이러한 새로운 방식의 공부는 보통사람들에게는 불가능한 것인가?

그렇지 않다. 조금 힘들지는 몰라도 절대로 불가능한 것은 아니다. 문제는 조금 힘들게 느껴지는 부분을 어떻게 쉽게 극복하는가 하는 것이며 이에는 방법이 있다. 이 방법은특별한 shortcut이 아니며 또한 노력이 필요한 방법이다. 이 방법이 통하는가는 다음 두가지가 관건이다.

우선, 지금 하려고 하는 공부의 준비과정(prerequisite)을 제대로 알고 이해하고 시작하여야 한다는 것이다. 이것이 꼭 필요한 것은 아니라고 할 수도 있다. 그러나 이것이 없으면 하는 공부에 드는 노력이 10배 이상 든다.

둘째로, 하려고 하는 공부는 무엇이 목적인가를 알고 시작하는 것이다. 그리고 이 목적은 쉬운 것일수록 좋다. 이것을 가지고 시작하면 공부하는 내용이 모두 머리에 잘 정리되게 되지만 이것이 없으면 다 공부한 다음까지도 어떻게 정리할지를 알 수 없게 된다.

이제 선형대수를 공부하는 목적으로 추천하는 한 가지는 위에 설명한 1차함수와 2차함수의 이론을 이해하겠다는 것이다. 중, 고등학교에서 1차함수를 보고 기울기를 말하며,

1차방정식에서 해와 부정, 불능인 방정식을 구별하는 것이나, 2차식의 완전제곱꼴의 변형과, 주어진 2차식이 항상 양이 되기 위한 조건과 같은 것들은 변수가 두 개 또는 그 이상으로 늘어나면 어떻게 이해하고 이야기해야 하는가 하는 것을 알고 싶다면 충분하다.(이러한 것을 알지 않으면 안되는 구체적인 문제를 하나 가지고 있으면 금상첨화이다.)

선형대수

김영욱고려대학교이과대학수학과

Contents

선형대수학에 나타나는 기본적인 내용 i

들어 가기 ii

Chapter 1. 벡터공간 1

1.1. 벡터공간의 정의 1

1.2. 일차독립, 일차종속 5

1.3. 새로운 공간 10

이 절의 요약 15

Chapter 2. 쌍대공간 17

2.1. 쌍대공간 17

2.2. 벡터공간의 쌍대성 22

2.3. Annihilator 25

이 절의 요약 28

Chapter 3. 선형사상 29

3.1. 선형사상의 기본성질 29

3.2. 선형사상 사이의 셈법 33

3.3. 선형사상과 행렬 37

3.4. 수반사상(Adjoint) 41

Chapter 4. 행렬식 47

Chapter 5. 고유값과 고유벡터 49

Chapter 6. 내적: 유클리드 기하 51

Chapter 7. 행렬의 대각화: 2차함수 53

Chapter 8. Jordan 형식: 일반적인 대각화 55

Chapter 9. 몇 가지 응용과 공식 57

vii

CHAPTER 1

벡터공간

1.1. 벡터공간의 정의

1.1.1. 스칼라 체(scalar field). 고등학교에서 공부한 벡터는 기하학에 수를 이용하는데 매우 유용한 수단이다. 벡터를 활용함으로써 기하학적으로 논증하기 힘든 많은 문제들을 단순한 계산만으로 해결할 수 있으며 이러한 계산은 컴퓨터의 도움을 받을 수 있어더욱 능률적이다.

이러한 도구를 쓸 수 있었던데는 무엇보다도 수(number)라는 개념이 있기에 가능하였다. 기하학에서 다루는 점에는 수를 사용한 좌표를 도입하고, 직선에는 방정식을 대응시켜서 이러한 것이 가능하였다.

이제 일반적인 벡터공간으로 우리의 계산법을 확장하여 나갈 때 가장 필요한 것은 이러한 수 개념의 일반화이다. 즉, 자체로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 할 수 있으며 벡터에곱할 수 있어 벡터의 크기를 변경시킬 수 있는 대상으로 사용할 수 있는 것을 일반적으로벡터에 대하는 이름으로 스칼라(scalar)라고 부른다. 스칼라로 사용할 수 있는 대상은 위에서 이야기한 연산을 모두 할 수 있는 체(體;field)이다.1

정의 1.1. 주어진 집합 K가 체(field)를 이룬다 함은 이 집합에 덧셈(+)과 곱셈(·)이라고 불리는 두 개의 셈법이 정의되어, K는 이 두 셈에 대하여 닫혀 있고, K의 모든 원소가 이 셈법에 관하여 다음 조건들을 만족시킨다는 뜻이다.

덧셈의 성질:

(1) k + h = h + k(2) k + (h + l) = (k + h) + l(3) 다음 조건을 만족시키는 원소 0이 유일하게 존재한다: 임의의 k에 대하여 k+0 =

k.

(4) 임의의 k에 대하여 다음 조건을만족시키는원소 h가 유일하게 존재한다: k+h = 0

(이러한 h를 보통 −k로 나타낸다.)

곱셈의 성질(곱셈은 간단히 k · h = kh로 나타낸다):

(1) kh = hk(2) k(hl) = (kh)l

1공부의 공력이 높아지면 나눗셈을 안하고도 많은 이야기를 할 수 있게 된다. 이 때는 스칼라로 체가 아닌 환(環;ring)을 사용하기도 한다. 이러한 이론은 대수학의 모듈(module) 이론에서 공부한다.

1

2 1. 벡터공간

(3) 다음 조건을 만족시키는 원소 1이 유일하게 존재한다: 1 , 0이며, 임의의 k에 대하여 k1 = k.

(4) 임의의 0이 아닌 k에 대하여 다음 조건을 만족시키는 원소 h가 유일하게 존재한다: kh = 1 (이러한 h를 보통 k−1 또는 1

k로 나타낸다.)

덧셈과 곱셈의 관계:

(1) k(h + l) = kh + kl

� 문제 1.1. 다음 집합은 주어진 연산에 대하여 체를 이루는가?

(1) 실수 전체의 집합 R과 실수의 덧셈, 곱셈.

(2) 복소수 전체의 집합 C와 복소수의 덧셈, 곱셈.

(3) 유리수 전체의 집합 Q와 유리수의 덧셈, 곱셈.

(4) 집합 Q(√

2) = {a + b√

2 | a, b는 유리수}와 실수의 덧셈, 곱셈.

(5) 정수 전체의 집합 Z와 정수의 덧셈, 곱셈.

(6) 집합 Z(√

2) = {m + n√

2 | m,n은 정수}와 실수의 덧셈, 곱셈.

(7) 집합 {0, 1} 위에 다음과 같은 연산이 주어져 있을 때:

0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1,

0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1.

이 스칼라 체를 Z2로 나타낸다.

1.1.2. 벡터공간. 우리는 이미 행렬과 행렬식의 이론을 공부하면서 n–차원 벡터의 공간 Rn을 정의하였다. 이 공간은 실수의 n-tuple (x1, . . . , xn)을 모두 모은 집합으로 이들에는 연산

(α1, . . . , αn) + (β1, . . . , βn) = (α1 + β1, . . . , αn + βn),

k(α1, . . . , αn) = (kα1, . . . , kαn)

이 정의되어 있다.(k는 실수) 스칼라체 R과 이러한 연산을 바탕으로 하여 우리는 고등학교에서 공부한 평면벡터와 공간벡터의 성질들을 n–차원 벡터공간의 이론으로 발전시켰다.

이제 우리는 일반적인 스칼라체 위에서 공리적으로 정의되는 일반화된 벡터공간의 이론을 공부하려고 한다.

정의 1.2. 스칼라체 K와 집합 V 위에 두 연산(덧셈, 스칼라배)

+ : V × V −→ V, · : K × V −→ V

가 정의되어 있어, 임의의 x, y, z ∈ V, α, β ∈ K에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, (V,+, ·)또는 간략히 V를 K 위에서 정의된 벡터공간(vector space)이라 하고, V의 원소를 벡터(vector)라고 부른다.

(1) V는 연산 +에 관하여 닫혀있다. 벡터 +(x, y)를 간단히 x + y로 나타내고, 두 벡터 x, y의 합(sum)이라 한다.

(2) commutativity: x + y = y + x (덧셈의 교환법칙)

1.1. 벡터공간의정의 3

(3) associativity: x + (y + z) = (x + y) + z (덧셈의 결합법칙)

(4) zero: 임의의 x에 대하여, x + 0 = x를 만족시키는 벡터 0 ∈ V가 존재한다. 이러한 0을 영벡터(zero vector) 라 한다.

(5) inverse: 임의의 x에 대하여, x + y = 0를 만족시키는 벡터 y ∈ V가 존재한다.

이러한 y를 −x로 나타내며 x의 역원(inverse)이라 한다.

(6) V는 연산 ·에 관하여 닫혀있다. 벡터 ·(α, x)를 간단히 αx로 나타내고, 벡터 x의α배(multiplication by α)라 한다.

(7) associativity: α(βx) = (αβ)x (스칼라배의 결합법칙)

(8) 1의 성질: 1x = x(9) distributivity(1): α(x + y) = αx + αy (분배법칙 1)

(10) distributivity(2): (α + β)x = αx + βx (분배법칙 2)

� 문제 1.2. (1) 위의 조건을 만족시키는 영벡터 0, 0′이 있다고 가정하고 0 + 0′을계산하여 이 두 벡터는 서로 같을 수 밖에 없음을 보여라.

(2) 위의 조건을 만족시키는 x의 역원 y, y′이 있다고 가정하고 y + x + y′을 계산하여 이 두 역원은 서로 같을 수 밖에 없음을 보여라.

주어진 스칼라체 K가 실수체 R이면 이 위에 정의된 벡터공간을 실벡터공간(real vec-

tor space)이라 하고, K가 복소수체 C이면 복소벡터공간(complex vector space)이라 한다.

1.1.3. 벡터공간의 예. Rn 외에 벡터공간의 예로 대표적인 것에 함수들의 공간이 있다.

예 1.1. 구간 [0, 1] 위에서 정의된 연속인 실함수 f : [0, 1] → R 들의 집합을 X =

C[0, 1]이라 하자. α ∈ R과 f , g ∈ X에 대하여 새로운 함수 f + g와 α f를

( f + g)(t) := f (t) + g(t), (α f )(t) := α f (t)

로 정의하면 X는 새로 정의된 두 연산에 대하여 벡터공간을 이룬다.

실제로 X가 이 두 연산에 대하여 닫혀 있음은 정의로부터 명백하다.2 그리고 이 두 연산은 실수의 덧셈과 곱셈을 써서 정의하였으므로 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등이 성립함도 쉽게 알 수 있다. 이 밖에 벡터공간의 정의에서 확인하여야 할 성질은 영벡터와 역원의 존재이다. 우선 t ∈ [0, 1]에 대하여

0(t) := 0

라고 정의한 함수 0는 모든 f ∈ X에 대하여 f + 0 = f를 만족시킨다. 임의의 t ∈ [0, 1]에대하여

( f + 0)(t) = f (t) + 0(t) = f (t) + 0 = f (t)

2이 사실을 확인하는데는 미적분학에서 공부한 성질—연속인 두 함수의 합과 곱은 다시 연속함수가 된다는 사실—을 알아야 한다.

4 1. 벡터공간

가 성립하므로 이 사실을 확인할 수 있다. 마찬가지로 t ∈ [0, 1]에 대하여

g(t) := − f (t)

로 정의된 함수 g는 f + g = 0을 만족시킨다. 따라서 (− f )(t) = − f (t) 가 된다.

� 문제 1.3. 위의 예의 집합이 실벡터공간을 이룬다는 사실의 증명에서 빠진 부분을 모두 적어보아라.

� 문제 1.4. 다음 집합에는 위의 예에서와 유사한 방법으로 벡터의 덧셈과 스칼라배를정의할 수 있음을 보이고, 이 셈법 아래서 벡터공간을 이룸을 증명하여라.

(1) 닫힌구간 [0, 1] 위에서정의된 1회연속미분가능한(C1) 실함수들의집합 C1[0, 1].

(2) 변수 t에 대한 다항식 전체의 집합 P.

(3) 모든 실수 t에 대하여 절대수렴하는 무한급수

a0 + a1t + a2t2 + · · · + antn + · · ·들의 집합 W.

� 문제 1.5. 다음 집합은 주어진 연산으로 벡터공간을 이루는가?

(1) 양의 실수 전체의 집합 R+:

덧셈: x + y = xy, 스칼라배: kx = xk

(2) 실수 순서쌍 (x, y)의 집합 R2:

덧셈: (x, y) + (x′, y′) = (xx′, yy′), 스칼라배: k(x, y) = (kx, ky)

(3) 실수 순서쌍 (x, y)의 집합 R2:

덧셈: (x, y) + (x′, y′) = (x + x′ + 1, y + y′ + 1),

스칼라배: k(x, y) = (kx + k − 1, ky + k − 1)

(4) 실수 순서쌍 (1, y)의 집합 위에 연산덧셈: (1, y) + (1, y′) = (1, y + y′), 스칼라배: k(1, y) = (1, ky)

1.1.4. 부분공간. 우리가 자주 사용하는 벡터공간은 이미 주어져 있는 벡터공간의 안에서 그 일부분만 가지고 만들어 쓰는 경우가 대부분이다. 주어진 벡터공간 V의 부분집합X가 V의 셈법을 사용하여 벡터공간을 이룰 때, X를 V의 부분공간이라고 부른다.

(V,+, ·)의 부분집합 X가 주어졌을 때 이 집합이 V의 연산 아래서 벡터공간을 이루는가를 확인하려면 벡터공간의 공리(조건) 10개를 모두 확인할 필요는 없다. 실제로 벡터공간의 정의에 나오는 대부분의 조건은 이미 V의 모든 원소에 대하여 성립하고 있으므로X의 모든 원소에 대하여도 성립함을 알 수 있다. 따라서 우리가 확인하여야 할 조건은 다음 정리에 나오는 두 개의 조건 뿐이다.

정리 1.1. (V,+, ·)의 부분집합 X가 V의 연산 아래서 벡터공간을 이루기 위한 필요충분 조건은 집합 X가 덧셈과 스칼라배에 대하여 닫혀 있는 것이다.

� 문제 1.6. 벡터공간 V의 부분집합 X가 V의 연산에 대하여 닫혀있다면, 이 연산에 대하여 X도 벡터공간을 이룸을 확인하여라.

1.2. 일차독립, 일차종속 5

� 문제 1.7. (1) [0, 1] 위에서정의된무한연속미분가능한실함수들의집합 C∞[0, 1]은C1[0, 1]의 부분공간을 이룸을 보여라.

(2) 변수 t에 대한 n–차 이하의 다항식 전체의 집합 Pn ⊂ P은 P의 부분공간을 이룸을 보여라.

� 문제 1.8. (1) 벡터공간 V의 두 부분공간 U,W에 대하여 집합 U∩W는 V의 부분공간을 이룸을 보여라.

(2) 벡터공간 V의 두 부분공간 U,W에 대하여 집합

U + W = {x + y | x ∈ U, y ∈W}

는 V의 부분공간을 이룸을 보여라. (이 때, U + W를 두 부분공간 U, W의 합공간(sum)이라고 부른다.)

1.2. 일차독립, 일차종속

평면에 주어진 두 벡터 x, y가 0이 아니면 이 두 벡터가 서로 평행하다 하는 개념을y = αx 라는 조건으로 표시할 수 있음을 알고 있다.

이제 벡터의 개수가 더 많은 경우에는 어떠한 이야기를 할 수 있는가? 주어진 벡터가서로 평행하다는 말은 간단해 보이지만, 이 벡터들이 서로 평행하지는 않은 경우 서로의관계가 얼마나 복잡한가를 가늠해 볼 수 있는가? 예를 들면 세 개의 벡터가 주어져 있는경우에 이 가운데 두 벡터는 서로 평행하지만 나머지 하나가 이 두 벡터와 평행하지 않은경우도 있을 것이고, 이 세 벡터 가운데 어느 두 개도 평행하지 않을 수도 있으며, 또 이세 벡터가 공간의 세 좌표축 방향과 같이 놓여 있어서 그 가운데 두 벡터를 품는 평면에세번째 벡터는 품기지 않을 수도 있고, 반대로 세 벡터가 모두 한 평면에 품기는 일도 있을 것이다.

이러한 상황을 모두 구별하면서도 수식으로 표현 가능하게 하는 방법은 없는가? 이러한 방법에는 얼마나 복잡한 개념을 얼마나 많이 사용해야 하는가? 등등의 질문이 생기게된다.

물론 복잡한 경우를 이야기하려면 말이 복잡해지는 것은 어쩔 수 없다. 그러나 이러한이야기를 하기 위하여 많은 개념이 필요한 것은 아니다. 벡터들의 평행과 부분공간에의 품김 관계를 이야기하는데 필요한 단 하나의 개념을 공부하는 것이 이 절의 목표이다.

1.2.1. 일차독립, 일차종속.

정의 1.3. 벡터공간 V의 벡터 x1, . . . , xn가 주어졌을 때 이 벡터들이 1차종속이라 함은 적당한 실수 순서쌍 (α1, . . . , αn) , (0, . . . , 0)이 존재하여

α1x1 + · · · + αnxn = 0

6 1. 벡터공간

이 성립하는 것이다. 반대로 x1, . . . , xn이 1차독립이라 함은 이러한 순서쌍 (α1, . . . , αn) ,

(0, . . . , 0)이 존재하지 않는다는 뜻이다.3

� 문제 1.9. x1, . . . , xn ∈ V가 1차독립임은 다음과 동치임을 설명하시오:

α1x1 + · · · + αnxn = 0 이면, α1 = · · · = αn = 0 이다.

� 문제 1.10. R2의 두 벡터 (ξ1, ξ2)와 (η1, η2)가 일차종속일 필요충분조건은 ξ1η2 =

ξ2η1임을 보여라.

� 문제 1.11. 실벡터공간의 세 벡터 x, y, z가 일차독립이면, x + y, y + z, z + x도 일차독립임을 보여라.4

� 문제 1.12. {x1, . . . , xk}가 1차독립이면 이 집합의 어떤 부분집합도 일차독립이다. 또,

{x1, . . . , xk}가 1차종속이면 이 집합에 벡터를 더 집어넣어도 1차종속이다.

1.2.2. 바탕벡터와 차원. 벡터공간 V의 벡터 x1, . . . , xn과 스칼라 α1, . . . , αn에 대하여

α1x1 + · · · + αnxn

과 같은 표현을 x1, . . . , xn의 1차결합(linear combination)이라 부른다.

정의 1.4. 벡터공간 V의 벡터 x1, . . . , xn의 1차결합 전체의 집합이 V와 일치할 때x1, . . . , xn이 V를 생성한다(span)고 한다.

� 문제 1.13. 벡터공간 V의 벡터 x1, . . . , xk가 주어졌을 때, 이 벡터들의 1차결합 전체의집합 S는 V의 부분공간을 이룸을 보여라. (이를 x1, . . . , xk로 생성된 부분공간(subspace

spanned by)이라 부른다.)

위에서 알아본 두 개념(1차독립과 생성)은 서로 반대되는 개념이라고 할 수 있다. 그정의들을 음미해 보면 주어진 벡터들이 1차독립이려면 벡터의 개수가 적을수록 가능성이높아진다. 한편, 주어진 벡터들이 전체공간을 생성할 수 있으려면 벡터의 갯수가 너무 적으면 안되며, 그 갯수가 늘어날수록 가능성이 커진다.

예 1.2. R3의 세 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)은 일차독립이다. 그리고 이 세 벡터는 R3를 생성하고 있다.

이 세 벡터는 묘하게도 1차독립이며 동시에 R3를 생성한다. 여기에 하나의 벡터를 더넣으면 R3를 생성함에는 변함이 없지만 더 이상 1차독립이 아니다. 반면에 이중에서 하나의 벡터를 빼면 계속해서 1차독립이지만 더 이상 R3를 생성하지 못한다. (이 사실들을확인하여 보아라.) 즉 이 세 벡터는 두 개념(1차독립과 생성)의 경계에 서 있는 특별한 벡터들이다.

3무한개의 벡터가 주어졌을 때, 그중의 어떤 유한개의 벡터를 뽑아도 1차독립이면 이 무한개의벡터들이 1차독립이라고 한다.

4이 문제의 벡터가, Z2를 스칼라체로 하는 벡터공간의 벡터일 때는 이러한 명제가 성립하지 않는다. 실벡터공간일 때의 증명의 어느 부분을 사용할 수 없는가?

1.2. 일차독립, 일차종속 7

다음 정리들에서 보는 바와 같이 어떤 벡터공간의 주어진 벡터들이 1차독립이면서 이벡터공간을 생성하는 것은 이 벡터들이 이 벡터공간을 가장 효율적으로 생성하는 것이다.

도움정리 1.2. 벡터공간 V의 벡터 x1, . . . , xn이 V를 생성하고, V의 벡터 y1, . . . , yk가1차독립이면 다음이 성립한다.

k ≤ n

증명. x1, . . . , xn이 V를 생성하므로 V의 모든 벡터는 x1, . . . , xn의 일차결합으로 나타내어진다. 따라서

y1 = α1x1 + · · · + αnxn

이 된다. y1 , 0이다.(이유를 설명하여 보아라.) 따라서 계수 α들 가운데 0이 아닌 것이있다. αi , 0이라 하자. 그러면 xi는 나머지 x들과 y1의 1차결합으로 나타낼 수 있다. 이사실로부터 xi를 제외한 x들과 y1은 V를 생성함을 알 수 있다.

k ≥ n이면, 이와 같은 조작을 n − 1번 더 하면 y1, . . . , yn이 V를 생성함을 알 수 있다.5 이 때 k > n이었다고 가정하면 y1, . . . , yk는 1차종속이 될 수 밖에 없으며 이는 모순이다. 즉 k > n일 수는 없다. 따라서 k ≤ n이다. �

정의 1.5. 벡터공간 V를 생성하면서 1차독립인 벡터들의 집합을 바탕벡터(basis)라한다.6

도움정리 1.3. 벡터공간 V가 유한개의 벡터 x1, . . . , xn 으로 생성된다면 이 벡터공간은 바탕벡터를 갖는다.

증명. x1, . . . , xn이 1차종속이라면 이들의 not-trivial인 1차결합 가운데 0이 되는 것이 있다. 따라서 어떤 xi는 나머지 x들의 1차결합으로 나타내어진다. 이 표현을 사용하면 xi를제외한 나머지 x들만 가지고 V를 생성할 수 있다.

이 과정을 x들이 1차독립이 될 때까지 되풀이하면 남은 x들은 바탕벡터가 된다. �

정의 1.6. 벡터공간 V가 유한개의 벡터로 이루어진 바탕벡터를 가질 때, V는 유한차원(finite dimensional)이라고 한다.

정리 1.4. V가 유한차원 벡터공간이면 V의 바탕벡터는 항상 같은 갯수의 벡터로 이루어져 있다.

5이 사실을 확인하여 보자. 우선 처음 xi를 y1으로 바꾸고 나서 x들의 순서를 바꾸어서 x1을y1과 바꾸었다고 해도 된다. 그러면 남은 벡터들은 y1, x2, . . . , xn이다. 이제 앞에서와 같이 y2(, 0)는이들의 일차결합으로 나타내어진다. 즉,

y2 = β1 y1 + β2x2 + · · · + βnxn

이다. 이 때 β2, . . . , βn 가운데 0이 아닌 것이 있다. 왜냐하면 이들이 모두 0이면 y2 = β1 y1이 되어y들이 1차독립이라는 데에 모순이기 때문이다. 따라서 β j , 0인 j를 순서를 바꾸어서 β2라 하고, 이때 x2를 y2와 바꾼다. 이런 식으로 되풀이하여 n개를 모두 바꿀 때 까지 계속한다.

6바탕벡터를 선형좌표계(linear coordinate system)라고도 한다.

8 1. 벡터공간

증명. 두 바탕벡터 x1, . . . , xn과 y1, . . . , yk가 있다고 하자. 도움정리 1.2로부터 k ≤ n 이고, n ≤ k 이다. 따라서 n = k 이다. �

정의 1.7. 유한차원 벡터공간 V의 바탕벡터의 개수를 차원(dimension)이라고 부른다.

위의 논의에서 알 수 있는 것은 “바탕벡터란 벡터공간을 생성하는 최소한(minimal)의벡터”라는 사실이다. 즉 바탕벡터보다 하나라도 적은 갯수의 벡터들은 전체 공간을 생성할 수 없다.

1.2.3. 여공간과 직합. 이제 유한차원 벡터공간의 바탕벡터는 어떻게 찾을 수 있는가?

정리 1.5. 유한차원 벡터공간 V의 일차독립인 벡터 y1, . . . , y j가 주어졌으면, 이에 유한개의 벡터를 더하여 V의 바탕벡터를 만들 수 있다.

증명. y1, . . . , y j가 V를 생성하면 이미 y1, . . . , y j는 바탕벡터이고 j = n = dim V이다.

이제 y1, . . . , y j가 V를 생성하지 않는다고 하자. (즉, j < n이다.) 그러면 V의 원소 가운데 y1, . . . , y j의 일차결합으로 나타내어지지 않는 벡터가 적어도 하나 있다. 이 벡터를y j+1이라고 하자. 그러면 y1, . . . , y j+1은 일차독립이다. (이를 확인하여 보자:

α1y1 + · · · + α j+1y j+1 = 0

이라 하면, 우선 α j+1 = 0이다. 왜냐하면, α j+1 , 0 이면 y j+1이 y1, . . . , y j들의 일차결합으로 나타내어지므로 안되기 때문이다. 이제 위의 식은

α1y1 + · · · + α jy j = 0

로 되어 α1 = · · · = α j = 0 이 된다.)

이제 벡터를 하나 첨가한 y1, . . . , y j+1가 V를 생성하는가 본다. 생성하면 여기서 끝나며 y1, . . . , y j+1가 바탕벡터가 되고, 그렇지 못하면 위에서 한 과정을 되풀이하게 된다. V의 차원 n은 유한한 정수 이므로 이 과정은 유한번 안에 끝이나며 우리는 바탕벡터 y1, . . . , yn을 얻게 된다. �

따름정리 1.6. (1) 유한차원 벡터공간 V의 모든 부분공간 U는 유한차원이다.

(2) 모든 유한차원 벡터공간에서 바탕벡터를 구성하는 알고리즘이 있다.

(3) 유한차원 벡터공간 V의 부분공간 U에 대하여 V의 또 다른 부분공간 W가 존재하여 V의 모든 벡터는 U와 W의 원소의 합으로 나타내어지며, 그 표현 방법은단 하나뿐이다. 즉, x ∈ V이면 y ∈ U와 z ∈W 가 단 하나씩 존재하여

x = y + z

로 표현된다. (이 때, dim V = dim U + dim W 이다.)

증명. (1) y1(, 0) ∈ U를 하나 잡는다. 그리고 정리 1.5의 증명을 따라 U의 바탕벡터를구성한다.

1.2. 일차독립, 일차종속 9

(2) (1)에서 U = V로 잡으면 된다.

(3) U의 바탕벡터 y1, . . . , y j를 잡고 이제 이로 부터 정리 1.5에 따라 V의 바탕벡터y1, . . . , y j, y j+1, . . . , yn을 구성한다. 이제 y j+1, . . . , yn으로 생성된 V의 부분공간을 W라하자. 임의의 x ∈ V에 대하여

x = α1y1 + · · · + αnyn (1.1)

이 된다. 이제

y = α1y1 + · · · + α jy j, z = α j+1y j+1 + · · · + αnyn

이라 놓자. 그러면 y ∈ U, z ∈W 이고, x = y + z 가 된다.

이제 이러한 표현이 유일함을 확인하자. x = y′ + z′, y′ ∈ U, z′ ∈W라 하면,

x = y′ + z′ = (β1y1 + · · · + β jy j) + (β j+1y j+1 + · · · + βnyn)

이다. 이제 식 (1.1)과 비교하면

α1y1 + · · · + αnyn = β1y1 + · · · + βnyn

이 되며, y1, . . . , yn이 바탕벡터이므로 α1 = β1, . . . , αn = βn 이 되어 y = y′, z = z′ 이다.

이제 n = j + (n − j) 이므로 dim V = dim U + dim W가 성립한다. �

정의 1.8. 따름정리 1.6의 부분공간 W를 U의 여공간(complement)라 부른다. 그리고, 이 때 V는 U, W의 직합(direct sum)으로 표시된다고 하고 다음과 같이 나타낸다.

V = U ⊕W

일반적으로 V의 부분공간 W1, . . . ,Wm에 대하여 모든 x ∈ V가 각각 단 한가지 방법으로

x = y1 + · · · + ym, y j ∈ Y j

와 같이 나타내어질 때 V는 W1, . . . ,Wm의 직합으로 나타내어진다고 하고 기호로

V = W1 ⊕ · · · ⊕Wm

로 나타낸다.

� 문제 1.14. 유한차원 벡터공간 V에 대하여 V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wm 이면 dim V =

dim W1 + · · · + dim Wm 이다.

� 문제 1.15. V는 유한차원 공간이다. 부분공간 U,W ⊂ V에 대하여 다음 등식이 성립함을 보여라.

dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩W)

10 1. 벡터공간

1.3. 새로운 공간

주어진 벡터공간을 다루다 보면 이 공간과 연관된 또 다른 공간을 생각해 볼 필요가생기게 된다. 이미 공부한 부분공간이나 부분공간의 합공간, 교집합으로 이루어진 공간 등은 이러한 필요에서 나온 것이다. 그러나 여러 벡터공간이 주어지거나 또는 주어진 벡터공간의 여러 부분공간들 사이의 관계를 더 잘 알아보려면 조금은 인위적이고 추상적인 대상들을 보고 싶어진다. 이 절에서는 주어진 공간에서 새로운 공간을 만들어 내는

1.3.1. 동형사상. 주어진 두 벡터공간이 있을 때, 이 두 벡터공간의 모양을 비교해 보고 싶을 때가 많이 있다. 동형사상이란 이러한 모양을 비교해 보는 기본 도구이다.

잘 알고 있는 예를 들어 보기 위하여, 우리가 잘 사용하는 좌표평면을 실벡터공간으로생각해 보자.

우선 좌표평면의 점을 실수 순서쌍 (a, b)로 나타낼 수 있다. 이러한 순서쌍들에 덧셈과 스칼라배를 잘 주면 벡터공간 R2를 만들 수 있다는 것을 앞에서 공부하였다.

한편 평면의 점들을 나타내는 또 다른 방법으로 복소수가 있다. 위의 점 (a, b)는 α =

a + ib라는 복소수를 나타내는 점으로 생각하고 이 복소수들에 일반적인 덧셈과 곱셈을 생각하여 보면, 복소수들의 덧셈과 실수배가 복소수들을 벡터공간으로 생각할 수 있게 해 줌을 알 수 있다. 이러한 벡터공간을 보통 C라고 나타낸다.

이제 R2와 C를 비교하여 보자. 이 두 집합은 모두 평면 위의 점을 나타내는 집합이라고 생각할 수 있다. 즉, R2의 임의의 순서쌍 (a, b)를 생각하면 이에 해당하는 C의 복소수 a + ib가 있고, 반대로 C의 임의의 복소수 c + id를 생각하면 R2의 순서쌍 (c, d)를 찾을 수 있다. 즉 이 두 집합은 똑같은 것은 아니지만 어떤 의미에서 같은 것(같은 대상을나타내는 것)이라고 생각할 수 있다.

그러나 이 두 대상 사이에는 이보다 더 밀접한 관계가 있다. 이 두 집합은 단순히 서로의 사이에 대응하는 원소들을 맺어주는 것이 아니다. 순서쌍과 복소수의 셈법을 비교하여 보자.

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), k(a, b) = (ka, kb)

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), k(a + ib) = (ka) + i(kb)

이 두 줄을 비교하여 보면 두 벡터공간 R2와 C의 셈법은 나타내는 방법만 차이가 있을뿐 그 내용과 본질에서는 전혀 차이가 없다고 느낄 것이다.

이것은 당연한 것인지도 모른다. 즉 벡터공간은 평면 위의 점이며 이들의 덧셈은 예를들어 평행사변형 법칙을 써서 정의할 수 있다. 이렇게 만들어진 벡터들의 집합을 좌표를써서 나타내면 R2와 같이 되며, 복소수를 써서 나타내면 C와 같이 되는 것이다. 그러니이 두 벡터공간의 셈법이 위에서와 같이 똑같이 보이는 것은 당연하다고 할 수 밖에 없다.

이제 두 벡터공간 U,V가 주어졌다고 하자. 어쩌면 이 두 공간은 어떤 하나의 대상을두 가지 방법으로 기술한 것인지도 모른다. 그렇다면 실제로 그런 것인지를 어떻게 생각해보고 알아낼 수 있을 것인가?

1.3. 새로운공간 11

사실 U,V가 어떤 한 대상을 기술한 것이라고 하더라도 그 대상을 찾아내는 것은 불가능할 지도 모른다. 그러나 그러한 대상이 존재할 가능성이 있는가는 어느 정도 알아볼수 있고, 그 방법은 이미 위에 나와 있다. 즉, U,V가 한 대상을 기술한 것이라면 U의 임의의 원소 x에 대하여 이에 해당하는 V의 원소 x′을 생각해 볼 수 있다. (물론 역으로V의 각각의 원소에 대하여도 U의 원소를 하나씩 생각하여 볼 수 있다.) 이에서 나아가서U의 원소 x, y에 대하여는 이에 대응하는 원소 x′, y′을 각각 생각할 수 있으며, 이 때에는 이 두 원소들의 합도 생각해 볼 수 있다. 즉, x, y에 대하여는 x + y, x′, y′에 대하여는x′ + y′이라는 합이 있다. 이 때, 위의 예를 생각하면 U의 원소 x + y에 해당하는 V의 원소는 x′ + y′이 되어야 한다. 또, U의 원소 kx에 해당하는 V의 원소는 kx′이 되지 않으면안 된다. 이것이 U,V가 같은 대상을 기술한 것이 되기 위한 최소한의 조건이다.

이러한 대응을 보통 동형사상이라고 부른다.

정의 1.9. 함수 f : X→ Y가 단사(one-to-one, injective)라 함은 임의의 x, y ∈ X에대하여 f (x) = f (y)이면 x = y라는 뜻이다.

한편 f : X → Y가 전사(onto, surjective)라 함은 임의의 y ∈ Y에 대하여 적당한x ∈ X가 존재하여 y = f (x)라는 뜻이다.

함수 f : X → Y가 1대1대응관계(one-to-one correspondence)라 함은 f가 단사이고 동시에 전사임을 뜻한다.

� 문제 1.16. (1) 1대1대응관계 f는 항상 역함수를 가짐을 보여라.

(2) 함수 f가 역함수를 가지면 f는 1대1대응관계임을 보여라.

정의 1.10. 두 벡터공간 (U,+, ·)와 (V,+, ·)에 대하여 1대1 대응관계 ϕ : U → V가다음 조건을 만족시킬 때 ϕ를 동형사상(isomorphism)이라 부른다: 임의의 x, y ∈ X,

α, β ∈ K에 대하여ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y).

또, 이 때, U는 V와 동형(isomorphic)이라고 한다.

� 문제 1.17. 위의 조건은 다음과 동치임을 보여라: 임의의 x, y ∈ X, α ∈ K에 대하여

ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(αx) = αϕ(x).

� 문제 1.18. (1) 벡터공간 V에 대하여 항등사상(identity map) idV : V → V,

(idV(x) := x)는 동형사상임을 보여라.

(2) 동형사상의 역사상과 합성사상은 동형사상임을 보여라.

정리 1.7. 스칼라체 K 위의 n차원 벡터공간 V는 벡터공간 Kn과 동형이다.

증명. {x1, . . . , xn}을 V의 바탕벡터라고 하자. 그러면 V의 임의의 원소 x는 α1x1 + · · · +αnxn이라고 쓸 수 있다. 이 때, x에 의하여 이렇게 정하여지는 순서쌍 (α1, . . . , αn)은 단하나뿐이다. 이제 V와 Kn 사이의 1대1대응관계

x� (α1, . . . , αn)

12 1. 벡터공간

를 생각하자. 이 때, y = β1x1 + · · · + βnxn 이라면

kx + hy = (kα1 + hβ1)x1 + · · · + (kαn + hβn)xn

이 되어 두 공간 사이의 동형사상이 된다. �

� 문제 1.19. 다음 두 공간 사이의 동형사상을 하나 찾아라.

(1) U = P2, V = R3

(2) U = R+ (덧셈: x + y = xy, 스칼라배: kx = xk), V = R1

� 문제 1.20. 두 공간이 동형이면 이 두 공간의 차원은 같음을 보여라.

1.3.2. 몫공간(Quotient Space). 벡터공간 V의 부분공간 U가 주어지면 U의 부족한 부분을 채우는 여공간 W가 존재하여 V = U ⊕W로 나타낼 수 있음을 공부하였다. 그러나 U에 대하여 이러한 여공간 W를 잡는 방법은 매우 많이 있으며 이 가운데 어느 하나가 특별히 더 자연스럽다고 말할 수 없다.

벡터공간 V의 주어진 부분공간 U에 대하여 U의 여공간과 같은 혁할을 하면서도 여공간보다 더욱 자연스러운 대상이 있다. 실제로 이 공간은 V 안에서 U의 여공간을 모두모아놓은 것과 같은 공간이다. 이 공간을 잘 이해하려면 이러한 사실을 생각하면서 이 공간이 그리는 그림을 놓치지 않아야 한다.

우선 예를 들어보자. 벡터공간 R2의 부분공간 U = {(α, 0) | α는 실수} 를 생각하여보자. U는 x–축을 나타내는 부분공간이다. 이제 U의 여공간을 생각해 보면 y–축을 포함하여 x–축과 원점에서 만나는 모든 직선이 다 U의 여공간이 될 수 있음을 알 수 있다.7

� 문제 1.21. V = R2 위에 두 가지의 바탕벡터 {(1, 0), (0, 1)}, {(1, 0), (1, 1)}을 주었을때

(1) 이 두 바탕벡터 각각에 대한 x–축은 V 안에서 같은 집합임을 확인하여라.

(2) 각각의 좌표에서 x축에 수직인 벡터들로 이루어진 부분공간은 서로 다름을 확인하여라.

이러한 여공간들이 공통으로 가지고 있는 성질은 이 각각의 여공간들이 x–축에 평행한 직선들과는 항상 한 점씩에서 만난다는 사실이다. 즉 각 여공간의 벡터들은 각각 x–축에 평행한 어떤 직선 위에 놓여 있다. 따라서 이 여공간의 벡터들을 모두 대표하는 방법으로 x–축에 평행한 직선들을 사용하는 방법이 있을 지도 모른다. 자 이제 이러한 생각을구체적으로 써 보자.

벡터공간 V의 부분공간 U가 주어졌다고 하자. 이제 V의 벡터 x를 하나 잡고 이 벡터를 포함하며 U에 평행한 평면(U를 원점에서 x로 평행이동한 것)을 생각하여 보자. 이

7이 모든 여공간 가운데 y–축은 매우 특별한 여공간 같아보인다. 실제로 y–축은 x–축과 서로수직이라는 점에서 매우 특별한 여공간이다. 그러나 우리가 전개하는 벡터공간의 이론에서 아직은내적에 관한 이야기가 없으며, 따라서 y–축이 x–축과 수직이라는 말은 아직 아무 뜻도 없는 말이다.

1.3. 새로운공간 13

평면의 각각의 점들은 U의 어떤 벡터 u와 x의 합의 꼴로 나타내어진다. 따라서 이 평면을 x + U라고 나타내면 편리하다. 즉,

x + U := {x + u | u ∈ U}

이다. 이러한 모양의 집합을 U의 잉여류(coset)라고 부른다. x를 포함하는 U의 잉여류x + U를 간단히 {x}로 나타내기도 한다.

� 문제 1.22. 두 개의 잉여류 x + U와 y + U가 같은 잉여류가 되기 위한 필요충분조건은 x − y ∈ U 임을 보여라.

이러한 잉여류들은 그냥 U와 평행인 평면일 뿐 아무런 다른 성질을 가지고 있지 않은것처럼 보인다. 그러나 이러한 잉여류들 사이에도 셈을 할 수 있다. 즉,

(x + U) + (y + U) := (x + y) + U, α(x + U) := (αx) + U

라고 정의하기로 하면 이 셈법은 훌륭한 덧셈과 스칼라배가 된다.

� 문제 1.23. 위의 정의에서 두 잉여류의 합과 두 벡터 x, y의 합이 가지는 관계를 그림으로 확인하고 설명하여라.

V 안에서 U의 잉여류들 전체의 집합에서 이 두 셈법은 닫혀있다. 이제 위에 정의한셈법이 잘 정의된(well-defined) 셈법임을 알아보자. 즉, 두 개의 잉여류 C1, C2가 주어졌을 때, 각각의 잉여류를 나타내는 두 가지의 방법들

C1 = x + U = x′ + U, C2 = y + U = y′ + U

에 대하여 위의 정의는 단 하나의 C1 + C2를 정의하여 줌을 보이자.

우선 x − x′ ∈ U 이고 y − y′ ∈ U 임을 알고 있다. 따라서

(x + y) − (x′ + y′) = (x − x′) + (y − y′) ∈ U

이다. 그러므로 (x + y) + U = (x′ + y′) + U 가 되어 C1 + C2를 정의하는 두 가지 가능한표현 (x + y) + U와 (x′ + y′) + U는 실제로 동일한 집합이 되어 C1 + C2를 잘 정의한다.

마찬가지 방법으로 스칼라배도 잘 정의된 셈법임을 확인할 수 있다.

정리 1.8. V 안에서 U의 모든 잉여류의 집합은 위에 정의된 두 셈법으로 벡터공간이된다.

증명. 이 정리의 증명은 단순하므로 생략한다. 벡터공간의 정의의 성질 8개를 하나씩 확인하여 보아라. 이 때 잉여류의 공간의 영벡터는 0 + U = U를 사용하면 된다. �

정의 1.11. 위와 같이 V의 부분공간 U에 의한 잉여류 전체의 집합으로 이루어진 벡터공간을 V/U로 나타내며 U를 법으로 하는 V의 몫공간(quotient space)이라고 부른다.

14 1. 벡터공간

1.3.3. 몫공간의 차원. 몫공간 V/U는 부분공간 U의 벡터들을 모두 0벡터로 봐 버리고 남는 벡터만을 바라보는 방법이라고 할 수 있다. 이러한 사실을 예를 통하여 알아보자.

예 1.3. V = R5 이고 U = {(0, 0, α3) | α3는 실수} 라고 하자. 이제 U의 잉여류C = (a1, a2, a3) + U = (b1, b2, b3) + U 를 나타내는 두 벡터 (a1, a2, a3), (b1, b2, b3)는 그 차가 U에 포함되어야 하므로

a1 = b1, a2 = b2

를 만족시키며 a3와 b3는 서로 달라도 상관이 없다. 따라서 U의 잉여류는 두 좌표 (a1, a2)

만을 가지고 나타낼 수 있다. 즉, U의 잉여류를 나타내는 정보는 벡터의 첫 두 좌표이며세번째 좌표의 정보는 남지 않는다. 이로부터 알 수 있는 것은, 잉여류가 가지고 있는 정보는 벡터의 정보에서 U가 가지고 있는 정보 부분을 뺀 나머지 정보 뿐이며 이는 U의 여공간이 가지고 있는 정보와 동일한 내용이라는 것이다.

이러한 사실을 이해하면 몫공간의 차원에 대한 다음 정리를 얻는다.

정리 1.9. V가 유한차원 벡터공간이고 U가 V의 부분공간이면 다음 등식이 성립한다.

dim U + dim(V/U) = dim V

증명. x1, . . . , x j 를 U의 바탕벡터라고 하자. 그러면 이에 적당한 벡터 x j+1, . . . , xn 을 더하여 V의 바탕벡터 x1, . . . , xn 을 만들 수 있다. 이제 x j+1 + U, . . . , xn + U 가 V/U의 바탕벡터임을 보이면 된다.

우선 x j+1 + U, . . . , xn + U 가 1차독립임을 보이자.

λ j+1(x j+1 + U) + · · · + λn(xn + U) = (λ j+1x j+1 + · · · + λnxn) + U = 0 + U

라고 하자. 그러면 (λ j+1x j+1 + · · · + λnxn) − 0 ∈ U 이다. 따라서 적당한 λ1, . . . , λ j에 대하여

λ j+1x j+1 + · · · + λnxn = λ1x1 + · · · + λ jx j

이다. 이를 정리하면

λ1x1 + · · · + λ jx j − λ j+1x j+1 − · · · − λnxn = 0

이 되며 x1, . . . , xn 이 V의 바탕벡터이므로 λ1 = · · · = λn = 0 이 된다. 즉, x j+1 +

U, . . . , xn + U 는 1차독립이다.

이제 x j+1 + U, . . . , xn + U 가 V/U를 생성함을 보이자. V/U의 임의의 원소 x + U를잡자. 우선 x를 위의 바탕벡터의 1차결합으로 나타내어 x = α1x1 + · · ·+αnxn 라고 쓸 수있다. 이제 x′ = α1x1 + · · ·+ α j+1x j+1 이라 하면, x− x′ ∈ U 임을 쉽게 알 수 있다. 따라서,

x + U = x′ + U = α1(x1 + U) + · · · + α j+1(x j+1 + U)

이고, x j+1 + U, . . . , xn + U 가 V/U를 생성한다. �

이 정리의 증명을 잘 살펴보면 다음 따름정리를 쉽게 얻을 수 있음을 알 수 있다.

이절의요약 15

따름정리 1.10. 유한차원 벡터공간 V의 부분공간 U의 차원이 V의 차원과 같으면U = V 이다. �

따름정리 1.11. V가 유한차원 벡터공간이고 U가 V의 부분공간이면 V와 U⊕V/U는동형이다. �

이 절의 요약

(1) 벡터공간과 부분공간의 정의를 알아본다.

(2) 1차종속, 1차독립의 개념을 알고 이로부터 바탕벡터와 차원의 개념을 이해한다.

(3) 주어진 유한차원 벡터공간에서 바탕벡터를 찾는 방법을 공부한다.

(4) 여공간과 직합의 개념을 이해하고, 부분공간의 차원에 관한 공식을 공부한다.

(5) 동형사상의 개념을 이해한다.

(6) 몫공간의 개념을 알고 여공간과의 관계를 이해한다.

CHAPTER 2

쌍대공간

수학의 모든 이론은 대상을 수치적으로 파악하고 이를 통하여 대상을 정확하게 기술하는 방법을 사용한다. 이런 과정에서 피할 수 없는 것이 함수의 개념이다. 우리는 대상을직접 다루지 못한다. 항상 대상을 나타내는 함수들의 스칼라값에 의존해서 대상을 파악하여야 하며 따라서 함수는 수학 이론에서 가장 중요한 대상이 된다.

지금까지 공부한 함수들을 보면 대표적으로 다항함수와 이로부터 만들어지는 대수함수, 유리함수 등과 이보다 어렵게 정의되는 초월함수, 절대수렴하는 무한급수로 나타내어지는 함수, 그리고 일반적으로 미분가능함수등이 있었다. 우리는 여러 개의 변수를 갖는함수를 다룸에 있어서도 이와 같은 함수를 다루고 싶어한다. 그러나 변수가 여러 개가 되면 이러한 함수를 다루는 것은 쉬운 일이 아니다. 어려운 문제를 해결하려면 가장 쉬운 문제부터 하나씩 해결하여 나아갈 수 밖에 없다. 우리가 선형대수에서 공부하는 것은 복잡한어려운 이론이 아니라 이중에서 가장 쉬운 대상인 1차함수와 2차함수의 이론이다. 이 장에서는 우선 스칼라 값을 갖는 1차함수의 이론부터 시작한다.

2.1. 쌍대공간

벡터공간 위에서 정의된 스칼라 값을 갖는 함수 가운데 1차함수들을 생각할 수 있다.

1차함수는 주어진 좌표에 대하여 1차다항식 꼴로 나타내어지는 함수이다. R2에서 좌표함수 x, y에 대하여 일반적인 일차함수는 ax + by 꼴의 함수를 말한다.

여기서 우리는 이러한 개념을 좌표함수에 의존하지 않고 이야기하는 방법을 생각하려고 한다. 이렇게 하면 개념을 정의하는 것이 추상적이 되지만, 오히려 개념의 본질에 가까이 갈 수 있다는 장점이 있다. 처음 대하게 되는 추상적인 정의를 잘 이해하려면 이 정의가 몸에 익을 때까지 되풀이해서 숙달시키는 수 밖에 없다.

2.1.1. 선형함수와 쌍대공간. 우선 선형함수의 정의부터 알아보자.

정의 2.1. V가 K를 스칼라체로 하는 벡터공간이라 하자. 스칼라 값을 갖는 함수 l :

V → K가 선형함수(linear function)이라 함은 모든 x, y ∈ V와 α, β ∈ K에 대하여

l (αx + βy) = α l(x) + β l(y)

를 만족킨다는 뜻이다.1

1오랜 관습에 따라 벡터공간 위에서 정의된 1차함수를 선형범함수(linear functional)라고 잘 부른다. 이런 관습은 20세기 초기의 벡터공간이 주로 함수들의 공간임에 따라 각각의 벡터가 함수이다보니까, 다시 이 벡터를 변수로 하는 함수를 원래 함수(벡터)와 구별하기 위하여 함수(벡터)의 함수

17

18 2. 쌍대공간

선형함수를 정의하는 위의 조건을 일반적으로 선형성(linearity)이라고 부른다. 선형성에 따라서 선형함수에 대하여는 다음 식이 항상 성립한다.

l (α1x1 + · · · + αnxn) = α1l(x1) + · · · + αnl(xn)

지금까지 우리가 수학을 공부해 온 방식은 하나 하나의 대상을 개별적으로 공부하는방식이었다. 여기서 우리는 처음으로 어떤 대상을 전체적으로 바라보는 작업을 한다. 즉,

선형함수 전체를 대상으로 공부해 보기로 한다. 선형함수는 함수이며 이들은 서로 덧셈을할 수 있는 대상이다. 이러한 사실을 체계적으로 바라보면 의외의 수확을 얻을 수 있다.

벡터공간 V 위의 선형함수 l,m에 대하여 다음과 같이 셈법을 정의하자:2

(l + m)(x) := l(x) + m(x), (αl)(x) := α l(x).

이러한 정의에 대하여 V 위의 선형함수 전체의 집합은 K를 스칼라체로 하는 벡터공간이 됨을 쉽게 확인하여 볼 수 있다. 이렇게 하여 얻는 벡터공간을 V의 쌍대공간(dual space)이라고 하며 기호로는 V′으로 나타낸다.

� 문제 2.1. V′이 K를 스칼라체로 하는 벡터공간을 이룸을 보여라.

예 2.1. (1) V = R2라 하자. f , g : V → R 을 f (x, y) := 3x + 2y, g(x, y) :=

3x + 2y + 1 이라고 정의하자. 그러면 f는 선형함수이다. 그러나 g는 선형함수가아니다.

(2) C[0, 1] = { f : [0, 1]→ R | f는 연속함수} 라고 하자. 함수

l( f ) =

∫ 1

0f (x) dx

는 선형함수이다.

(3) C∞[0, 1] = { f : [0, 1] → R, f는 C∞함수}라고 하자. 그러면 0 < a < 1 에 대하여

l( f ) :=∑

α jd j fdx j (a)

로 정의된 함수 l은 선형함수이다.

� 문제 2.2. 위의 예의 함수들이 선형함수임을 보여라.

이제 선형함수의 정의를 가지고 생각하여야 할 가장 중요한 문제는 과연 이렇게 정의된 선형함수는 무엇인가 하는 것이다. 즉 벡터공간의 좌표함수를 사용하지 않고 선형함수를 정의한다고 하였는데 과연 그 정의가 우리가 바라는 대로 제대로 되었는가를 확인해 볼필요가 있다. 다음 정리는 이에 대한 대답이라고 생각하면 된다.

는 범함수라고 불렀다. 현대에 이론에서는 이러한 구별을 하지 않고도 혼란을 일으키지 않을 수 있게 되었지만 범함수라는 이름은 아직도 수학 전반에서 사용된다.

2이 정의는 우리가 중학교때 부터 줄곳 써 오던 정의이다.

2.1. 쌍대공간 19

정리 2.1. V는 n차원 벡터공간이라 하고, v1, . . . , vn은 이 공간의 바탕벡터라 하자. 그러면 임의의 x ∈ V 는

x = α1x1 + · · · + αnxn (2.1)

이라고 나타낼 수 있다. 이 때 다음이 성립한다.

(1) 각각의 x ∈ V에 대하여 위와 같이 주어진 좌표를 αi = ϕi(x)와 같이 x의 함수로나타내기로 하면 ϕi는 x의 선형함수이다.

(2) 임의의 상수 a1, . . . , an에 대하여 정의된 함수

l (x) = a1ϕ1(x) + · · · + anϕn(x) (2.2)

는 x의 선형함수이다.

(3) V의 원소로서 0이 아닌 임의의 벡터 y에 대하여 l (y) , 0 인 선형함수 l이 존재한다.

(4) V의 모든 선형함수는 (2.2) 꼴로 나타낼 수 있으며, 나타내는 방법은 단 하나 뿐이다.3

증명. 우선 (1)을 증명하자. 임의의 x, y ∈ V를 (2.1)와 같이 나타내어

x = α1x1 + · · · + αnxn, y = β1x1 + · · · + βnxn

라고 하자. 그러면 ϕi(x) = αi 이고, ϕi(y) = βi 이다. 이제

αx + βy = (αα1 + ββ1)x1 + · · · + (ααn + ββn)xn

이므로 ϕi(αx + βy) = ααi + ββi 이다. 따라서

ϕi(αx + βy) = αϕi(x) + βϕi(y)

가 되어 ϕi는 선형함수이다.

(2)의 증명은 쉽다. 단순히 선형함수의 정의에 대입하여 보면 된다. 이제 (3)을 증명하여 보자. y가 0이 아닌 벡터라면 {x1 := y}는 1차독립이다. 따라서 여기에 n − 1 개의 벡터 x2, . . . , xn을 첨가하여 V의 바탕벡터를 만들 수 있다. 이제 이 바탕벡터에 대한 좌표함수 ϕi를 생각하여보면

ϕ1(y) = ϕ(x1) = 1 , 0

이 되며, ϕ1은 선형함수이다. 따라서 구하는 선형함수가 존재함을 알 수 있다.

이제 (4)를 증명한다. l을 V 위의 선형함수라 하고, (2.1) 꼴의 벡터에 적용하여 보자.

그러면l (x) = α1l(x1) + · · · + αnl(xn) = l(x1)ϕ1(x) + · · · + l(xn)ϕn(x)

가 되어 (2.2) 꼴로 나타내어 진다. �

3이 정리에서 가장 중요한 내용은 (4)이다. 이것은 다시 말하면 새로 정의한 선형함수 가운데우리가 이미 알고 있는 것 밖에 새로운 것이 더 들어 있지 않다는 것을 알려준다.

20 2. 쌍대공간

이 정리의 마지막 관계식을 다시 쓰면

l = l(x1)ϕ1 + · · · + l(xn)ϕn

라고도 나타낼 수 있다. 이 식을 잘 보면 선형함수 l이 ϕ1, . . . , ϕn의 일차결합으로 나타내어지고 있음을 알 수 있다. 즉, 선형함수 전체의 공간은 좌표함수들로 생성된다고 하여도된다.

� 문제 2.3. (1) 벡터공간 V의 0이 아닌 선형함수 y와 임의의 스칼라 α가 있을 때,

y(x) = α인 벡터 x ∈ V가 항상 존재하는가?

(2) y와 z는 같은 벡터공간 위의 선형함수이고, z(x) = 0인 x에서는 항상 y(x) = 0이성립한다. 그러면스칼라 α가존재하여 y = αz가됨을보여라. (힌트: z(x0) , 0이면 α = y(x0)/z(x0)를 사용할 것.)

2.1.2. 쌍대바탕벡터. 이 절에서 다루는 벡터공간 V는 모두 유한차원이다. 이제 쌍대공간 V′이 좌표함수 ϕ1, . . . , ϕn으로 생성됨을 알았다. 이제 이들로부터 꼭 필요하지 않은벡터들을 체거하면 V′의 바탕벡터를 추출해 낼 수 있다. 그러나 실제로 이 가운데 필요하지 않은 벡터는 하나도 없다. 즉 좌표함수들은 자체로 1차독립이다. 이 사실을 확인하여보자.

α1ϕ1 + · · · + αnϕn = 0

이라고 가정하자. 즉, 이 식의 좌변의 함수는 모든 벡터 x ∈ V에서 실수값 0을 갖는 함수이다. 이제 이 함수를 xi에서 계산하여 보면 (값은 물론 이 때도 0이 되어야 하므로)

0 = α1ϕ1(xi) + · · · + αnϕn(xi) = αiϕi(xi) = αi

가 되어 모든 계수 αi는 0이 되지 않으면 안 된다. 즉, 다음 정리가 성립한다.

정리 2.2. 유한차원 벡터공간 V의 바탕벡터 x1, . . . , xn에 대한 좌표함수 ϕ1, . . . , ϕn은V′의 바탕벡터를 이룬다. 이 바탕벡터를 x1, . . . , xn의 쌍대바탕벡터(dual basis)라 부른다.

따름정리 2.3. 유한차원 벡터공간 V에 대하여, V와 V′은 동형이고 다음 등식이 성립한다.

dim V = dim V′

이 정리의 내용은 우리가 평면기하나 공간기하에서 익히 잘 알고 있는 성질이다. 즉2차원 평면에 좌표함수 x, y를 생각하면 평면 위의 모든 1차함수는

ax + by

꼴로 쓸 수 있다. 특히 이러한 1차함수에 대한 정보는 그 계수 a, b가 전부이므로 (a, b)로써 이 1차함수를 나타낸다고 하여도 안 될 것이 없다. 즉, 평면 위의 1차함수 전체는 R2와다를 것이 없다는 말이다.

위의 정리가 하려는 말은 이러한 사실이 우리가 다루려고 하는 모든 유한차원 벡터공간에 대하여도 똑같이 성립하고 있다는 말이다.

2.1. 쌍대공간 21

2.1.3. 겹쌍대공간. 이제 V와 V′은 동형이니까 어떤 의미에서 이 두 공간은 똑같은공간이라고 하여도 좋다. (적어도 이 두 공간은 똑같은 모양을 하고 있다고 할 수 있다.)

그러면 이 두 공간은 어느 정도나 똑같은가? 이러한 질문이 어떤 뜻이 있는가는 얼핏 알기 힘든다. 똑같은 것에도 정도가 있는가? 이 물음에 대한 답은 다음과 같다. 두 공간사이에 동형사상이 있어 두 공간이 똑같이 생겼다고 말할다면, 이러한 동형사상 가운데 다른것들 보다 더 좋은 동형사상이 있다면 이 두 공간은 다른 공간들보다 더 똑같다고 말하기로 해도 되겠다는 것이다.

이런 이상한 이야기는 그만 하고 실제로 좋은 동형사상의 예를 들어보자. 벡터공간V의 쌍대공간 V′은 항상 벡터공간이 되므로 벡터공간 V′의 쌍대공간 V′′도 생각해 볼수 있다. 그리고 앞절의 정리에 의하면 V가 유한차원 공간이면 V′도 유한차원이고 V′과V′′은 동형인 공간이다. 따라서 V와 V′′도 동형이다. V′′을 V의 겹쌍대공간(double dual

space)로 부르기로 하자.

그러면 V가 V′과 동형인 것(V′이 V′′과 동형인 것도 마찬가지이다)과 V가 V′′이 동형인 것에는 아무런 차이도 없는가? 즉 이 두 가지 동형은 모든 면에서 같은 정도의 동형인가? 답은 그렇지 않다는 것이다. 이제부터 우리는 V와 V′′사이에 있는 매우 특별한 동형사상을 알아볼 것이다. 이 두 공간 사이의 동형사상은 공간들 사이의 일반적인 동형사상에 비하여 특별한 점이 있다는 것을 알 수 있다.4

V는 유한차원 벡터공간이라 한다. V 안의 고정된 벡터 x에 대하여 V′ 위에 다음과같이 정의된 함수 ξ를 생각하자:

ξ(l) := l(x) (2.3)

우선 ξ는 V′ 위에 정의된 선형함수임을 확인하여 보자. 임의의 l,m ∈ V′에 대하여

ξ(αl + βm) = (αl + βm)(x) = αl(x) + βm(x) = αξ(l) + βξ(m)

이므로 ξ는 선형함수이다.

x ∈ V에 대하여 이러한 방법으로 ξ ∈ V′′를 대응시키는 사상을 Φ로 나타내기로 하자.

즉,

Φ : V → V′′, Φ(x)(l) = ξ(l) = l(x)

그러면 Φ는 1대1 사상이다. 이를 확인하기 위하여 두 개의 벡터 x, y가 ξ에 대응한다고하자. 그러면 모든 l ∈ V′에 대하여

ξ(l) = l(x) = l(y)

이다. 따라서 모든 l에 대하여

0 = l(x) − l(y) = l(x − y)

4이 말이 옳은 말인지를 확인하려면 V와 V′ 사이에는 이러한 좋은 동형사상이 존재하지 않는다는 것을 증명해야 한다. 아무런 조건 없이는 V와 V′ 사이에 이러한 좋은 동형사상이 존재하지 않지만, 우리는 이 사실을 증명하지 않고 지나가기로 하자.

22 2. 쌍대공간

이다. 앞 절의 정리에서 x − y가 0이 아니면 l(x − y) , 0 이 되는 l이 적어도 하나 존재한다고 하였다. 그러나 l(x − y)는 모든 l에 대하여 0 값을 가지므로 x − y = 0 이지 않으면 안 된다. 즉, x = y 이다.

이제 사상

Φ : V → Φ(V) = Ξ

를 생각하여 보자. 이 사상은 당연히 1대1대응관계이다. 실제로 이 사상은 동형사상이 된다. 왜 그런가? 이것을 확인하려면 임의의 x, y ∈ V에 대하여 Φ(αx + βy)를 계산하여 보아야 한다. 이 함수를 계산하려면 이 함수의 값을 모든 l ∈ V′에서 계산해 보면 된다. 즉,

Φ(αx + βy)(l) = l(αx + βy) = αl(x) + βl(y) = αΦ(x)(l) + βΦ(x)(l)

이 된다. 이 말은

Φ(αx + βy) = αΦ(x) + βΦ(y)

라는 뜻이다. 즉, Φ는 선형함수이다.

위의 이야기를 종합하면 Φ가 V에서 Ξ로 정의된 동형사상이라는 말이다. 따라서 V와Ξ의 차원은 같다. 한편

dim V = dim V′ = dim V′′

이다. 그러므로 dim Ξ = dim V′′이 된다. 따름정리 1.10에 의하여 Ξ = V′′ 이다. 즉, 다음 정리가 성립한다.

정리 2.4. V가 유한차원 벡터공간일 때, 위에서 정의한 사상 Φ는 V와 V′′ 사이의 동형사상이다.

참고. 이 정리의 Φ는 V와 V′′ 사이에 정의된 매우 자연스러운(natural, canon-

ical) 동형사상이다. 여기서 자연스럽다는 말은 수학적인 용어 같아 보이지 않는다.

사실 상당히 어렵지만, 어떤 사상이 자연스럽다는 말을 수학적으로 정의하여 쓸 수있으며, 이 정리의 사상이 수학적으로 자연스럽다는 것을 증명할 수도 있다.5

2.2. 벡터공간의 쌍대성

앞 절의 정리의 내용을 조금 자세히 분석해 보면 매우 재미있는 사실을 알아낼 수 있다. 이 절에서는 이러한 내용을 공부해 본다. 그러나 그 사실이 재미있다는 것을 이해하는데 도움이 되도록 이미 알고 있는 유클리드 공간에서 이러한 내용을 먼저 짚어보고 나간다.

5자세한 내용은 Homology이론 또는 Category이론 등에서 알아볼 수 있다.

2.2. 벡터공간의쌍대성 23

2.2.1. 유클리드 공간의 쌍대성. 간단하게 3차원 유클리드 공간을 알아보자. 2차원공간에서도 똑같은 이야기를 할 수 이다. 이것은 쉬우니까 여러분이 채워 넣는다. n차원유클리드 공간에서의 일반적인 이야기도 별로 어렵지 않다. 3만 n으로 바꾸어 쓰면 된다.

우리 공간은 V = R3 이다. 이 공간에 일상적인 바탕벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)을잡고 이에 대한 좌표함수를 x, y, z로 나타내기로 하자. 이제 V 위의 선형함수 l을 잡으면,

세 실수 a, b, c를 적당히 잡아서 벡터 v = (x, y, z)에서의 값을

l(x, y, z) = ax + by + cz

라고 쓸 수 있다. 따라서 쌍대바탕벡터 x, y, z를 V′의 바탕벡터로 잡을 때, l은 (a, b, c)라는좌표를 가지게 된다. 이제 앞에서 정의한 Φ(v)를 생각해 보자. Φ(v)의 변수 l = (a, b, c)에대하여 생각해 보면

Φ(v)(l) = l(v) = ax + by + cz = xa + yb + zc

이므로, (a, b, c)를 좌표로 주는 V′의 바탕벡터의 쌍대바탕벡터에 대한 Φ(v)의 좌표는 다시 (x, y, z)라고 할 수 있다.

복잡한듯 하지만정리하여보자. (x, y, z)를변수로하여 1차함수 l을보면 l은 (a, b, c)를써서

l(v) = ax + by + cz

로 나타나지만, l의 좌표 (a, b, c)를 변수로 하여 이 함수(관계식)를 보면

l(v) = Φ(v)(l) = xa + yb + zc = v(l)

이라고 쓸 수도 있다. 즉, 벡터 (x, y, z)와 1차함수 (a, b, c)를 함수로서 연결짓는 관계는서로 대등한 관계인 것 처럼 보인다. 즉, 함수를 벡터에 적용할 때 함수는 벡터와는 다른뭔가 추상적인 것 처럼 보이지만, 잘 보면 선형함수는 벡터와 다른 것이 하나도 없어보이며, 선형함수를 벡터처럼 보기 시작하면 이 관계식에서 예전의 벡터 v = (x, y, z)가 오히려 l = (a, b, c)의 선형함수처럼 보인다는 것이다. 이렇게 v를 l의 선형함수로 보는 방법을앞 절에서 Φ(v)로 나타낸 것이고 이것은 매우 자연스러운 방법임을 느낄 수 있다.

이제 이러한 관점에서 위의 V와 V′′는 서로 구별할 필요가 거의 없게 느껴진다. 즉,

V = V′′ 이라고 생각하여도 된다. 이제 V′의 V에 대한 관계나 V′′의 V′에 대한 관계는모두 선형함수의 공간이 그 밑바탕인 벡터공간에 가지는 관계로서 동일한 관계이다. 그런데 V′′ = V라고 생각하고 보면 V′의 V에 대한 관계와 V′′ = V의 V′에 대한 관계는 동일하다고 할 수 있다. 이렇게 서로 다른 두 대상이 서로에게 동일한 관계를 가지는 것을일반적으로 쌍대성(duality)이라고 부른다.6

6쌍대성은 선형대수에서만 나오지 않는다. 대표적인 또 하나의 쌍대성은 사영평면의 기하학에서점들의 집합과 직선들의 집합 사이에 나타난다. 이 내용은 선형대수의 쌍대성과 밀접한 관계에 있으며 대수기하학의 기본을 이룬다. 19세기에 나타난 이러한 개념들은 20세기 초반의 구조주의 사조에힘입어 수학의 추상화에 커다란 변화를 나았으며 지금은 수학의 기본 언어의 하나로 굳어졌다.

24 2. 쌍대공간

2.2.2. 쌍대성. 이제 유한차원 벡터공간 V의 쌍대성에 대하여 알아보자. 우리의 목표는 V와 V′′의 자연스러운 동형관계를 어떻게 잘 이해하고 활용하는가 하는 것이다. 이에는 단순히 이 두 공간 사이의 관계만이 목표가 아니다. 이 두 공간의 부분공간과 또 몫공간들 사이에 있는 여러가지 관계에 대하여 알아보고자 한다.

지금 꼭 필요한 개념은 아니지만 우리는 한 가지 새로운 개념을 소개한다. V의 원소인 벡터 x와 V′의 원소인 선형함수 l에 대하여 이 둘의 결합을 간단히

(l, x) = l(x) = Φ(x)(l)

이라고 나타내기로 하자. 이 함수 (l, x)는 두 개의 변수 l과 x를 가지고 실수값을 갖는 함수이다. 즉,

(·, ·) : V′ × V → R

이다. 이 함수는 특별한 성질을 가지고 있다. 이 함수는 두 변수 l과 x 각각에 대하여 선형함수이다. 이 사실을 식으로 나타내어 보자.

(αl + βm, x) = α(l, x) + β(m, x)

(l, αx + βy) = α(l, x) + β(l, y)(2.4)

이러한 함수는 선형함수와는 종류가 다르다. 이와 같이 두 벡터공간(보통은 같은 차원의공간)에서 변수를 가지고 위의 성질 (2.4)를 만족시키는 함수를 쌍선형함수(bilinear func-

tion) 또는 쌍선형형식(bilinear form)이라고 한다.

예 2.2. 우리가 익히 잘 알고 있는 쌍선형함수로는 내적이 있다. 우리는 아직 내적을정의하지 않았지만 고등학교에서 배워 알고 있는 내적은 이러한 정의를 잘 만족시킨다. 간단히 V = R2라 하자. 이 공간의 두 벡터 v = (a, b)와 w = (c, d)에 대하여

(v,w) = ac + bd

를 보면 이 함수 (·, ·)는 두 변수 v,w에 대하여 각각 선형함수(1차함수)임을 알 수 있다.

이제 쌍선형함수를 간단히 많이 만들어 볼 수 있다.

ω1(v,w) = ac + 2bd, ω2(v,w) = 2ac − bd, det(v,w) = ad − bc

등은 모두 쌍선형함수임을 알아 볼 수 있다.

그러면 벡터공간 V와 V′은 쌍선형함수 (·, ·)에 의하여 서로에게 선형함수로서 작용하고 있다고 할 수 있다. 다시 말하면 V′의 원소 l은 V의 원소 x에 선형함수 (l, x)로 작용한다. 한편 V = V′′의 원소 x = ξ는 V′의 원소 l에 선형함수 (l, x) = (ξ, l)로서 작용하고있다. 이러한 두 작용은 본질적으로 아무런 차이도 없다. 즉 V의 입장에서 바라본 V′과V′의 입장에서 바라본 V는 완전히 동일한 대상처럼 느껴진다.

이 이야기을 유한차원 벡터공간의 쌍대성이라고 한다. 이제 부터 V와 V′′은 대응 Φ에의하여 같은 공간이라고 생각하기로 하자.

2.3. ANNIHILATOR 25

2.3. Annihilator

2.3.1. Annihilator. 부분공간을 공부하는 좋은 방법은 이 부분공간에서 0이 되는 선형함수를 바라보는 것이다. 이러한 생각은 수학에서는 매우 자연스러운 생각이다. 우리가이러한 방법을 사용한 것은 이미 오래 되었다. 중학교에서 직선을 공부하기 위하여 직선의방정식을 공부하였으며 나아가서 포물선을 보기 위하여 포물선의 방정식을 공부하였다.

직선의 방정식 y = ax + b를 공부하는 것이나, 포물선의 방정식 y = x2을 공부하는 것은 사실은 1차함수 ax− y + b나 2차함수 x2 − y를 보며 이 함수가 0이 되는 점들의 집합으로 도형을 바라보는 것이다. 즉, 도형의 성질을 이 도형에서 0 값을 가지는 함수로부터끌어내려 하는 것이다. 따라서 다음과 같은 정의는 자연스럽다.

정의 2.2. U가 V의 부분공간일 때, U 위의 모든 점에서 값이 0인 선형함수 l의 집합을 U의 annihilator라 하며 U0로 나타낸다. 즉,

U0 = { l ∈ V′ | l(x) = 0 for all x ∈ U}.

� 문제 2.4. (1) U0는 V′의 부분공간임을 보여라.

(2) {0}0 = V′ 이고 V0 = {0} ⊂ V′ 임을 보여라.

정리 2.5. 유한차원 공간 V의 부분공간 U에 대하여 두 공간 U⊥와 (V/U)′ 사이에는자연스러운 동형사상이 존재한다. 따라서 다음 등식이 성립한다.

dim U + dim U0 = dim V

dim U0를 U의 여차원(codimension)이라 부르고 codim U로 나타낸다.

증명. 우선 U0에서 (V/U)′으로의 사상을 정의하자: l ∈ U0에 대하여 L ∈ (V/U)′을 다음과 같이 정의한다.

L{x} = L(x + U) := l(x)

우선 사상 L이 잘 정의되었는지(welldefinedness)를 확인하자. 즉, 같은 잉여류를 두 개의 원소 x, y를 써서 나타내었을 때도 L{x}가 같은 값으로 정의되는가를 확인하는 것이다.

이를 알아보기 위하여{x} = x + U = y + U = {y}

라고 하자. 그러면 위의 정의에 따라 L{x} = l(x) 이고 L{y} = l(y) 이다. 이 때, x− y ∈ U이고 l ∈ U0 이므로 l(x − y) = 0 이다. 따라서

L{x} = l(x) = l(y) = L{y}가 되어 사상 L은 잘 정의되었다.

다음은 이러한 대응 l 7→ L이 단사(one-to-one)임을 보이자. 만일 l,m ∈ U0에 대하여l 7→ L 이고 m 7→ L 이라고 하자. 그러면 모든 x ∈ V에 대하여

l(x) = L{x} = m(x)

이므로 l ≡ m 이다. 따라서 대응 l 7→ L은 단사이다.

26 2. 쌍대공간

대응 l 7→ L이 전사(onto)임을 확인하자. 임의의 L ∈ (V/U)′을 잡자. 이제 L을 이용해서 l ∈ U0를 다음과 같이 정의하자:

l(x) := L{x}

그러면 l은 V에서 정의된 선형함수임은 자명하다. 이제 l ∈ U0임을 확인하기 위하여 x ∈U라 하면, {x} = x + U = U = {0} 이므로

l(x) = L{x} = L{0} = 0

가 되어 확인되었다. 이로부터 대응 l 7→ L이 전사임을 알 수 있다. 지금까지 대응 l 7→ L이1대1대응관계임을 알아보았다.

이 대응이 선형사상임을 보이자. 임의의 l,m ∈ U0에 대하여 l 7→ L, m 7→M 이라 하면,

(αL + βM){x} = αL{x} + βM{x} = αl(x) + βm(x) = (αl + βm)(x)

가 되어 αl + βm 7→ αL + βM 임을 알 수 있다. 즉 이 대응은 선형사상이며, 따라서 동형사상이다.

동형인 공간은 같은 차원을 가지므로

dim U0 = dim(V/U)′ = dim V/U = dim V − dim U

가 되어 정리의 등식이 성립한다. �

이제 우리의 관심은 부분공간 U의 annihilator가 과연 어떤 공간인가 하는 것이다.

이에 대한 자세한 내용은 차차 공부할 것이지만 우선 annihilator의 중요한 성질을 하나짚고 나가자.

U가 V의부분공간이면 U0는 V′의부분공간이된다. 이제 U0의 annihilator인 U00는V′′의 부분공간이다. 앞에서 이야기한 대로 V′′ = V라고 동일시 하기로 한 바에 따르면U00는 V의 부분공간이라고 볼 수 있다. 이 때, 다음 정리가 성립한다.

정리 2.6. V와 V′′을 동형사상 Φ에 의하여 동일시 하기로 하면 다음이 성립한다.

U00 = U

증명. 우선 U ⊂ U00임을 보이자. 임의의 x ∈ U와 임의의 l ∈ U0에 대하여 l(x) = 0 이다.

즉, x는 U0의 모든 원소에서 0 값을 가지는 V′′ = V의 원소이다. 따라서 x ∈ U00 이다.

반대쪽 포함관계를 보이기 위하여는 차원을 계산하여 보자.

dim U + dim U0 = dim V = dim V′ = dim U0 + dim U00

이므로 dim U = dim U00 이다. 따라서 U = U00 이다. �

2.3. ANNIHILATOR 27

2.3.2. 쌍대성의 응용. 지금까지 공부한 내용은 어떻게 보면 당연한 사실들이다. 쌍대성에 대하여 여러 개의 정리를 증명하였지만 이 내용들은 알고 나면 당연히 그럴 수 밖에없는 것이고 어찌 보면 익히 잘 알고 있는 사실을 정리한 것 밖에 없는지도 모른다. 그러니 이런 것을 알았다고 대단한 결과라고 할 수 있을 것인가? 그러나 이러한 당연한 이야기에서도 중요한 쓰임새를 찾을 수가 있다. 이것이 구조를 공부하는 이유인지도 모른다.

정리 2.7. 수직선 위의 서로 다른 점 t0, . . . , tn이 주어졌을 때, n차 이하의 모든 다항식 p에 대하여 다음 식을 만족시키는 실수 m0, . . . ,mn이 존재한다:7

∫ 1

0p(t) dt = m0p(t0) + · · · + mnp(tn)

증명. n차 이하의 다항식의 공간 V = Pn을 생각하자. 이 공간은 사상

a0 + a1t + · · · + antn 7→ (a0, . . . , an)

에 의하여 Rn+1과 동형이므로 dimPn = n + 1이다. 이제 선형함수 l j를

l j(p) := p(t j)

라고 정의하자. (즉 p(t j)를 p를 변수로 하는 함수라고 생각하자.) 그러면 l j는 쌍대공간V′의 원소이다. 이제 {l j}는 1차독립임을 보이자.

λ0l0 + · · · + λnln = 0

이라고 하면 V의 임의의 다항함수 p에 대하여

0 = λ0l0(p) + · · · + λnln(p) = λ0p(t0) + · · · + λnp(tn)

이다. n − 1차 다항식qk(t) = (t − t0) · · · ̂(t − tk) · · · (t − tn)8

을 생각하여 보면, 이 함수는 t = tk를 제외한 모든 t j에서 값이 0이 되므로, 위의 식에p = qk를 대입하여 보면,

0 = 0 + · · · + 0 + λkqk(tk) + 0 + · · · + 0

이 된다. qk(tk) , 0 이므로 λk = 0 이다. 따라서 {l j}는 1차독립이다.

한편, dim V = n + 1 이므로 {l j}는 V′의 바탕벡터가 된다. 따라서 V′의 모든 원소는l j들의 1차결합으로 나타낼 수 있다. 이제 문제의 적분

l(p) =

∫ 1

0p(t) dt

로 정의된 함수 l은 p에 대한 선형함수이고 따라서 V′의 원소이다. 그러므로 적당한 실수m0, . . . ,mn에 대하여

l = m0l0 + · · ·mnln

7이러한 공식을 구적법공식(quadrature formula)이라고 한다.8여기서 ̂(t − tk)는 모든 항 가운데 이 항이 빠져 있음을 나타내는 기호이다.

28 2. 쌍대공간

이라고 나타낼 수 있다. 즉 정리의 식이 성립한다. �

� 문제 2.5. 이 정리의 증명 방법을 이용하여 다음 명제를 증명하여라: 수직선 위의 서로 다른 점 t0, . . . , tn이 주어졌을 때, n차 이하의 모든 다항식 p에 대하여 다음 식을 만족시키는 실수 m0, . . . ,mn이 존재한다.

p′(0) = m0p(t0) + · · · + mnp(tn)

� 문제 2.6. n = 2 일 때, 위의 정리와 문제의 명제를 직접 계산하여 증명하여라.

이 절의 요약

(1) 선형함수와 쌍대공간의 정의와 예를 알아본다.

(2) 쌍대공간에는 자연스러운 쌍대바탕벡터가 있다.

(3) 겹쌍대공간은 원래의 벡터공간과 자연스러운 동형사상을 갖는다.

(4) 이러한 자연스러운 동형사상은 원공간에 대한 쌍대공간의 관계가 쌍대공간에 대한 원공간의 관계와 동일함을 설명하여준다. 이를 쌍대성이라 한다.

(5) 이러한 쌍대성은 쌍선형형식으로부터 수학적으로 설명할 수 있다.

(6) Annihilator의 개념을 알고 이의 차원 공식을 이해한다.

(7) 추상적 정리(쌍대성)의 응용 예로서 구적법공식을 알아본다.

CHAPTER 3

선형사상

3.1. 선형사상의 기본성질

앞 절까지 공부한 것은 공간 Rn에서 공부했던 벡터의 계산 이론을 일반적인 벡터공간으로 옮긴 것이다. 이 과정에서 가장 중요한 대상으로 떠오른 것은 선형함수(1차함수)

의 개념이다. 이 선형함수를 잘 활용하는 것이 선형대수의 핵심이다. 그러면 고등학교 때는 1차함수를 벡터의 계산에서 어떻게 활용했는가? 이 때 우리가 항상 사용한 것은 행렬이다. 그리고 이 행렬은 항상 벡터에 곱하여서 사용하였다. 즉 v = (x1, . . . , xn)T가 벡터이고, A = (ai j)가 m × n 행렬이면 A를 v의 왼쪽에 곱할 수 있다. 즉,

Av =

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

x1...

xn

=

a11x1 + · · · + a1nxn...

am1x1 + · · · + amnxn

를 계산하여 얻는 것은 Rm의 벡터이다.

이 행렬과 벡터의 곱셈을 잘 들여다 보면 곱하여 얻은 행렬의 원소들은 실제로 v의1차함수 m개를 늘어놓은 것에 불과함을 알 수 있다 즉 행렬의 곱셈은 여러 선형함수를 묶어 계산하는 기호로서 계산의 효율성을 높이고 생각을 정리해 주는 방법이다. 이 방법의효율성은 이미 잘 알고 있다.

이제 이러한 방법을 벡터공간으로 옮겨서 추상화된 이론에서도 이러한 효율성을 얻으려고 한다. 그러면 이러한 행렬의 곱셈에 해당하는 것은 무엇인가? 우리는 이제부터 보듯이 이것을 일종의 함수(사상)으로 나타내려고 한다. 두 집합 V,W 사이에 정의된 함수f : V →W를 사상(mapping)이라고도 한다.

3.1.1. 선형사상의 정의.

정의 3.1. 스칼라체 K 위에 정의된 두 벡터공간 V,W 사이에 정의된 사상 T : V →W가 선형사상(linear mapping)이라 함은 T가 모든 x, y ∈ V와 α ∈ K에 대하여 다음 두조건을 만족시킴을 뜻한다.

(1) T(x + y) = T(x) + T(y). (Additivity)

(2) T(αx) = αT(x). (Homogeniety)

특히 V = W 일 때 선형사상 T는 선형변환(linear transformation)이라고 부른다.1

1 선형사상의 조건은 특별한 의미를 가지고 있다. 우선 T(x + y) = Tx + Ty라는 식의 의미를 읽어보면 다음과 같다: 공간 V에서 x와 y의 합을 계산한 후 그 합벡터 x + y에서 T의 값을 계산하여보면, x와 y 각각의 벡터에서 T의 값을 계산한 후에 합을 계산한 것과 일치한다는 것이다. 이것을

29

30 3. 선형사상

x에서의 T의 값 T(x)를 흔히 Tx라고도 쓴다.

예 3.1. (1) m × n행렬 A에 대하여 정의된 사상

T : Rn → Rm, Tx := Ax

는 선형사상이다.

(2) 앞에서 공부한 두 벡터공간 사이의 동형사상은 선형사상이다.

(3) d/dt : Pn → Pn 은 선형사상이다.

(4) V′의 모든 원소는 V → K 인 선형사상이다.

(5) X ⊂ V가 부분공간일 때, 포함사상(inclusion map) i : X→ V, i(x) := x 는 선형사상이다.

(6) X ⊂ V가 부분공간일 때, 다음으로 정의되는 몫사상(quotient map) q는 선형사상이다.

q : V → V/X, q(x) := {x} = x + V

� 문제 3.1. 위의 예의 사상들이 선형사상임을 확인하여라.

� 문제 3.2. 선형사상 T : V →W 에 대하여 다음을 보여라.

(1) V의 부분공간 U에 대하여, T에 의한 U의 상 T(U) = {Tx | x ∈ U}는 W의 부분공간이다.

(2) W의 부분공간 U에 대하여, T에 의한 U의 역상 T−1(U) = {x ∈ V | Tx ∈ U}는V의 부분공간이다.

이제 우리는 선형사상의 이론에서 가장 중요한 공간을 정의한다. 이 공간을 눈으로 보듯이 알 수 있게 되면 선형대수를 잘 할 수 있게 될 것이다.

정의 3.2. 선형사상 T : V → W에 대하여 T에 의한 V의 상 T(V)를 T의 치역공간(range space)이라고 하고 RT로 나타낸다.

간단히 말하여 사상 T가 덧셈이라는 셈법을 보존한다고 한다. 즉, 선형사상이란 덧셈법을 보존하는사상이다. 마찬가지로 스칼라배도 보존한다고 할 수 있다. 따라서 선형사상은 벡터공간의 셈법을 보존하는 벡터공간의 구조에 딱 맞는 사상이다.(벡터공간만이 아니라 일반적인 경우에 가지고 있는 구조를 보존하는 사상을 일반적으로 준동형사상(homomorphism)이라고 한다.)

이제 이 조건을 조금 더 분석하여 보자. 이 조건은 V에서의 덧셈 후에 T를 적용하는 것은T를 적용한 후에 W의 덧셈을 하는 것과 같은 결과를 준다고 말하고 있다. 조금 자세하게 쓰면T(x +V y) = Tx +W Ty 라고 할 수 있다. 이제 변수 x, y를 빼고 생각해 보면 덧셈을 한다는 조작과T를 적용하여 값을 계산한다는 조작의 의미에서 보아 두 조작의 순서를 바꾸어도 결과에는 변함이없다는 뜻이 된다.(기호로 나타내면 T ◦ (+V) = (+W) ◦ T 라고 쓸 수 있다.)

이러한 조건을 마주치기는 이번이 처음이 아니다. 중, 고등학교 교과서를 보면서 이러한 말이나오는 곳을 찾아보자. 예를 들어, ( f + g)′ = f ′ + g′이나 lim(an + bn) = lim an + lim bn, 심지어는a(b + c) = ab + ac와 같은 공식들은 모두 위와 똑 같은 식의 이야기를 하고 있다.

우리가 셈을 하며 여러 셈이 혼합될 때, 두 가지 이상의 셈법의 순서를 바꾸어도 문제가 없으면 할만 한 셈이 되지만 그렇지 못한 경우에는 셈이 아주 어려워진다는 사실을 잘(?) 알고 있다. 위의 이야기는 선형사상이 셈을 잘 할 수 있을 만큼 별로 어렵지 않은 대상이라는 뜻이 된다.

3.1. 선형사상의기본성질 31

또, 0의 역상 T−1(0)를 T의 영공간(零空間)(null space)이라고 하고 NT로 나타낸다.

� 문제 3.3. 선형사상 T : V →W 에 대하여 다음을 보여라.

(1) T가 전사(onto)일 필요충분조건은 RT = W 이다..

(2) T가 단사(one-to-one)일 필요충분조건은 NT = {0} 이다.

3.1.2. 차원정리. 위에서 정의한 치역공간과 영공간은 선형사상의 핵심이 되는 중요한공간이다. 이 공간들의 차원에 대하여 중요한 성질이 있다. 우선 예를 들어보자.

2차원 좌표평면 R2에서 실수값을 갖는 선형함수 l(x, y) = x + y를 선형사상으로 생각하여 보자. 그러면 l은 정의역공간은 2차원이고 치역공간은 1차원이다. 이제 이 선형사상의 값이 어떻게 분포되어 있는가를 정의역 공간에서 살펴보면, x + y = k인 각각의 직선위에서 l은 실수값 k를 갖는다. 즉, 선형사상으로서 l은 x + y = 0과 평행인 각각의 직선을 치역공간의 한점 한점으로 보낸다. 따라서 R2의 1차독립인 두 방향 가운데 l의 영공간인 {x + y = 0}와 평행한 방향은 l에 의하여 줄어들어 없어지며, 이 방향이 아닌 방향 하나만이 남아 보내져서 치역을 이루는 것처럼 보인다. 따라서 정의역의 차원인 2차원 가운데 영공간의 차원인 1차원 만큼은 선형사상이 없애버리고, 남는 차원 1차원 만큼만을 살려서 치역을 이룬다고 할 수 있다.

이러한 이야기가 항상 사실이라고 말할 수 있을까? 즉, 모든 선형사상은 정의역에서영공간 만큼을 없앤 나머지와 같은 모양의 치역을 갖는다고 할 수 있는가? 다음 정리에서이와 같은 이야기가 가능함을 증명한다. 이 정리는 선형사상에 대한 가장 중요한 정리이다.

정리 3.1. 유한차원 벡터공간 V에 대하여 T : V →W 가 선형사상이면 다음 식이 성립한다.

dimNT + dimRT = dim V

이 정리는 다음 사실을 증명하면 몫공간에 대한 차원 정리로부터 바로 얻을 수 있다.

도움정리 3.2. 유한차원 벡터공간 V에 대하여 T : V →W 가 선형사상이면 두 공간V/NT와 RT는 동형이다.

증명. 선형사상 T를 사용하여 다음 사상 T̃를 만들자.

T̃ : V/NT → RT ⊂W, T̃{x} = Tx

우리 목표는 이 사상이 동형사상임을 보이는 것이다.

우선 T̃가 선형사상임을 보이자. x, y ∈ V라고 하고, k는 스칼라라 하자. 그러면,

T̃({x} + {y}) = T̃{x + y} = T(x + y) = T(x) + T(y) = T̃{x} + T̃{y}

이고T̃(k{x}) = T̃{kx} = T(kx) = k T(x) = k T̃{x}

이므로 선형사상이다.

32 3. 선형사상

T̃가 one-to-one임을 보이자. T̃{x} = T̃{y}라 하면, T̃의 정의로 부터 Tx = Ty 이므로

0 = Tx − Ty = T(x − y)

가 되어 x − y ∈ NT 임을 알 수 있다. 따라서 {x} = {y}가 되어 one-to-one이다.2

이제 모든 Tx는 T̃{x}이므로 T̃의 치역은 T의 치역과 같아서 RT가 된다. 즉, T̃는 RT로의 전사사상(onto map)이다. 이로부터 T̃는 V/NT에서 RT로의 동형사상임을 알 수 있다. �

3.1.3. 차원정리의 응용. 이 정리를 사용하면 다음과 같은 따름정리들을 간단히 얻을수 있다.

따름정리 3.3. 선형사상 T : V →W에 대하여 다음이 성립한다.

(가) dim W < dim V 이면 x(, 0) ∈ V 가 존재하여 Tx = 0 이 된다.

(나) dim V = dim W 이고 Tx = 0인 벡터가 x = 0 뿐이면 RT = W 이다. 따라서T는 동형사상이다.

(다) dim V = dim W 이고 RT = W 이면 NT = {0} 이다. 따라서 T는 동형사상이다.

증명. (가) dimRT ≤ dim W < dim V 이므로,

dimNT = dim V − dimRT > 0

이다. 즉, NT는 0이 아닌 벡터를 적어도 하나 가지고 있다.

(나) 가정으로부터 NT = {0} 이다. 따라서 dimNT = 0 이다. 그러므로

dimRT = dim V − dimNT = dim V = dim W

가 된다. 따름정리1.10에 의하여 RT = W 이다.

(다) 이것도 (나)와 마찬가지 방법으로 보일 수 있다. �

이제 이 따름정리들을 연립일차방정식에 적용하여 보면, 앞에서 1차연립방정식에 대하여 공부하였던 것 가운데 다음과 같은 중요한 사실들을 설명하여 준다.

따름정리 3.4. V = Rn, W = Rm이라 하고, A = (ai j)는 m × n 실행렬이라고 하자.

T(x) := Ax로 선형사상 T : Rn → Rm을 정의하면 다음이 성립한다.

(가)′ m < n이면 (제차)1차연립방정식∑

j

ai jx j = 0

은 항상 자명하지 않은 해 x = (x1, . . . , xn)T , 0 을 가진다.

2앞절의 문제의 동치명제를 써서 다음과 같이 증명할 수도 있다. 0 = T̃{x} = Tx 라고 하면,

x ∈ NT 이다. 정의에 따라서 {x} = 0이 되어 T̃는 one-to-one이다.

3.2. 선형사상사이의셈법 33

(나)′ m = n이고 위의 제차방정식의 해가 자명한 해 x = 0 뿐이면 (비제차)1차연립방정식

∑

j

ai jx j = yi

는모든벡터(순서쌍) y = (y1, . . . , yn)T에대하여단하나의해 x = (x1, . . . , xn)T을갖는다.

� 문제 3.4. 이 따름정리가 성립하는 이유를 설명하여라.

이 밖에도 다음 예에서와 같은 방법으로 응용할 수 있다. 이러한 응용은 이 밖에도 무수히 많다.

예 3.2. V는 n(> 0)차 미만의 실계수 다항식들의 공간이라고 하자. 실수축에서 서로공통부분을 가지지 않는 n 개의 구간 S1 = [a1, b1], . . . , Sn = [an, bn]이 있을 때, 선형사상T : V → Rn 을 다음으로 정의한다.

Tp = (p1, . . . , pn), pi =1

bi − ai

∫ bi

ai

p(t) dt

이 선형사상의 영공간은 NT = {0} 이다. (따라서 T는 동형사상이다.) 이 사실을 증명하여보자: 각 구간 [ai, bi] 위에서 0이 아닌 다항식 p의 평균값 pi가 0이라고 하면, p는 이 구간에서 양수 값과 음수 값을 모두 가져야 한다. 이제 중간값정리에 의하여 p는 이 구간에서 근을 가진다. 따라서 p는 적어도 n개의 서로 다른 근을 가진다. p의 차수가 n보다 작으므로 p는 다항식 0이다.

이제 위의 따름정리의 (나)′을 적용하여 보면 T가 동형사상임을 알 수 있다. 다시 말하면 n개의 구간에서의 평균값을 어떻게 주더라도 이 값을 평균값으로 하는 n차 미만의다항식을 항상 단 하나 찾을 수 있다는 뜻이다.

� 문제 3.5. 위의 예에서 다음 사실을 설명하여라.

(1) 사상 T는 선형사상이다.

(2) Tp의 각 성분을 구간의 평균값이 아닌 서로 다른 n개의 점에서의 다항식 p의 값으로 바꾸었을 때 어떠한 이야기를 할 수있는가 말해보아라.

3.2. 선형사상 사이의 셈법

선형사상은 Rn에서 행렬을 다루던 것을 벡터공간으로 옮겨 온 것과 같다. 그런데 행렬들은 셈을 할 수 있었으니까, 선형사상들도 행렬과 같이 셈을 할 수 있을까? 이러한 생각은 쉽게 할 수 있는 것은 아니지만 수학에 익숙해지면 이런 질문이 자연스러워진다.

선형사상들의 셈법을 알아보자.

34 3. 선형사상

3.2.1. 덧셈과 스칼라배. 앞장에서 벡터공간의 선형함수들을 다루었다. 선형함수는 스칼라값을 갖는 함수이며 스칼라들은 셈을 할 수 있는 대상이므로 선형함수도 셈을 할 수있게 됨을 알 수 있었다. 이제 선형사상의 치역은 벡터공간이며 벡터공간의 벡터도 셈을할 수 있는 대상이다. 따라서 선형사상도 선형함수와 마찬가지로 셈을 할 수 있다. 선형사상의 덧셈과 스칼라배도 다음과 같이 정의한다.

스칼라체 K 위에 정의된 두 벡터공간 V,W 사이에 정의된 선형사상 S,T : V → W와 스칼라 α ∈ K 에 대하여

(S + T)(x) = S(x) + T(x), (αT)(x) = αT(x)

라 정의하기로 한다. 그러면, S + T와 αT는 각각 선형사상이다.

도움정리 3.5. S,T가 선형사상이고, α가 스칼라이면, S + T와 αT는 각각 선형사상이된다. �

이제 선형사상 전체의 모임의 성질을 알아보자.

정리 3.6. 벡터공간 V에서 W로 정의된 선형사상의 집합 L(V,W)은 위에 정의된 셈법에 대하여 벡터공간을 이룬다.

이 정리를 증명하려면 선형사상 T에 대한 덧셈의 역원을 (−T)(x) := −(Tx)라 정의하면 되며, 영벡터로는 0(x) := 0으로 정의되는 영사상을 쓰면 된다.

� 문제 3.6. 정리 3.6를 증명하여라.

3.2.2. 선형사상의 곱셈. 앞절의 정리는 중요한 정리이지만 이미 충분히 예측된 것이라고 할 수 있다. 사실 선형사상에 대하여는 이보다 더 중요한 사실이 있다. 행렬 사이에곱셈이 있듯이 선형사상들의 곱셈도 생각할 수 있다.

두 선형사상 T : U→ V와 S : V →W에 대하여 두 사상의 합성사상 S ◦ T를 다음과같이 정의하자:3

S ◦ T(x) = S(T(x)).

합성사상은 다음과 같은 좋은 성질을 가진다.

정리 3.7. 합성사상이 잘 정의되는 경우에 다음이 항상 성립한다:

(1) R ◦ (S ◦ T) = (R ◦ S) ◦ T (결합법칙:associativity)

(2) (S1 + S2) ◦ T = S1 ◦ T + S2 ◦ T (분배법칙:distributivity)

(3) S ◦ (T1 + T2) = S ◦ T1 + S ◦ T2 (분배법칙:distributivity)

여기서 볼 수 있듯이 선형사상의 합성을 곱셈과 유사한 성질을 가지고 있다. 이런 이유에서 선형사상의 합성 S ◦ T를 단순히 ST로도 나타낸다.

3이러한 합성은 선형사상에 대하여만 생각할 수 있는 것이 아니다. 이미 다른데서 많이 보아서알고 있듯이 모든 종류의 함수들은 합성함수를 정의할 수 있다.

3.2. 선형사상사이의셈법 35

선형사상의 합성에서 중요한 사상의 하나는 항등사상이다. 항등사상 idV : V → V는

idV(x) := x

로 정의되는 사상이다. 이 사상은 T : V →W와 S : U→ V에 대하여

T ◦ idV = T, idV ◦S = S

라는 성질을 가진다. 한편 0(x) = 0으로 정의되는 영사상은 합성이 정의될 때는 항상 다음성질을 가진다.

0 ◦ S = T ◦ 0 = 0

선형사상 T : V →W, S : W → V가

S ◦ T = idV, T ◦ S = idW

를 만족시킬 때, S를 T의 역사상(inverse mapping)이라 부른다. 역사상의 정의에서 역사상은 단 하나뿐이다. 이 사실은 다음과 같이 확인할 수 있다: 이러한 역사상이 S1,S2 두개가 있다고 하면

S1 = S1 ◦ idW = S1 ◦ (T ◦ S2) = (S1 ◦ T) ◦ S2 = idV ◦S2 = S2

가 되어 두 사상은 일치한다. 선형사상 T의 역사상을 보통 T−1로 나타낸다.

도움정리 3.8. 선형사상 S : U→ V, T : V →W에 대하여 다음이 성립한다.

(1) NS ⊂ NT◦S(2) RT◦S ⊂ RT

� 문제 3.7. 이 도움정리를 증명하여라.

이제 사상의 합성을 써서 다음을 이야기할 수 있다.

정리 3.9. 선형사상 T : V →W에 대하여 다음은 동치이다.4

(1) T는 동형사상이다.

(2) T의 역사상이 존재한다.

증명. T가 동형사상이면 T는 1–1이고 onto이다. 따라서 T의 역함수 S : W → V가 존재한다. 이제 S가 선형사상임을 보이면 된다.

임의의 y1, y2 ∈ W에 대하여 Syi = xi라 하면, Txi = yi이므로, T(αixi) = αiyi 가 되고, 따라서 S(αiyi) = αixi 이다. 그러므로

S(α1y1 + α2y2) = α1x1 + α2x2 = α1(Sy1) + α2(Sy2)

이 되어 S는 선형사상이다.

4이 정리의 내용은 더 일반적인 경우에도 성립한다. 선형사상 T : V →W에 대하여 사상 S1,S2 :

W → V가 존재하여 S1T = idV이고, TS2 = idW이면 T는 동형사상이고 S1 = S2 = T−1이다. 이 사실의증명은 이 정리의 증명과 똑같이 하면 된다.

36 3. 선형사상

이제 역으로 T의 역사상이 존재하면 T가 1–1이고 onto임을 보이자. 도움정리로부터

{0} ⊂ NT ⊂ NS◦T = NidV = {0}이다. 따라서 NT = {0}이 되어 T는 1–1이다. 한편

W ⊃ RT ⊃ RT◦S = RidW = W

이므로 RT = W가 되어 T는 onto이다. 그러므로 T는 동형사상이다. �

역사상이 존재하는 사상은 가역(可逆;invertible)이라고 부른다.

� 문제 3.8. (S−1)−1 = S임을 보여라. 또, 선형사상 S,T가 가역이고 곱 ST가 정의되면,

ST도 가역이며 (ST)−1 = T−1S−1임을 보여라.

3.2.3. 선형변환. 선형사상 T의 정의역과 공변역이 같은 벡터공간이어서

T : V −→ V

와 같이 정의된 경우 이러한 선형사상을 특별히 V 위의 선형변환(linear transformation)

또는 선형작용소(linear operator)라고 부른다.

주어진 벡터공간 V 위에서 정의된 선형변환 전체의 공간 L(V)는 벡터공간을 이루면서 이 위에 합성으로 정의된 곱셈은 덧셈과 좋은 관계를 이루는 셈이 된다.5

실제로 L(V)의 원소 A에 대하여는 선형변환 An을

A0 = idV, An+1 = A ◦ An

으로 정의할 수 있다. 이렇게 정의된 변환 An을 사용하여

p(A) = α0 idV +α1A + α2A2 + · · · + αmAm

과 같이 선형변환의 다항식으로 만들어진 새로운 선형변환을 만들 수 있다.

V = C∞(R)이 미분가능한 함수 f (t)들의 벡터공간일 때, D = d/dt를 생각하면 D :

V → V 로 정의된 선형변환이다. 이제

T = id +D2

은 V의 선형변환이다. 함수 f (t)에 대하여 써 보면

(T f )(t) = f (t) + f ′′(t)

이 된다. 우리가 미분방정식에서 잘 아는 사실은

f ′′(t) = − f (t)

를 만족시키는 함수는 α sin t + β cos t 꼴이라는 것이다. 이 말을 바꾸어 말하면

NT = {α sin t + β cos t} = Span{sin t, cos t}라고 할 수 있다.

5예를 들면 결합법칙과 분배법칙을 만족시키며 곱셈에 대한 단위사상 idV를 가지고 단위사상이나 영사상과의 곱셈은 스칼라체에서와 같은 성질을 가지고 있다.

3.3. 선형사상과행렬 37

3.3. 선형사상과 행렬

3.3.1. 선형사상의 행렬표현. 위에서 이야기했듯이 선형사상을 정의할 때 모델로 삼은 것은 Rn 의 1차함수들을 성분으로 갖는 벡터값 함수이다. 이는 행렬을 사용하여 T(x) =

Ax 꼴로 나타내어지는 것이다. (A는 m × n 행렬이다.) 우리가 선형사상을 굳이 정의하여쓰는 것은 미분방정식과 같이 변수가 함수인 그런 경우에도 선형대수를 적용하여 쓰고 싶다는 것이었다. 이런 응용의 경우에 벡터(이 경우에는 함수)는 매우 큰 공간을 이룬다. 실제로 함수의 공간은 무한차원 공간임을 이미 잘 알고 있다. 이런 공간에서 1차함수를 다루려면 어쩔 수 없이 선형함수, 선형사상을 다루지 않을 수 없다.

그러나 우리가 가장 먼저 궁금하게 느끼는 것은 우리가 다루는 공간이 유한차원 공간이라면(Rn 이라면), 그래서 정의역과 공변역이 모두 이러한 공간인 선형사상은 얼마나 더복잡할 수 있는가이다. 다시 말하면 Rn에서 Rm으로 정의된 선형사상 T는 실제로 행렬을곱하는 꼴의 선형사상 말고도 또 다른 것이 있는가 하는 것이다.6 이에 대한 답은 그렇지않다, 즉, 우리가 알던 선형사상이 그 전부라는 것이다. 증명은 간단하다.

정리 3.10. 사상 T : Rn → Rm이 선형사상이면 적당한 m× n 행렬 A가 존재하여 다음이 성립한다: ∀x ∈ Rn에 대하여

T(x) = Ax.

증명. T(x)의 i번 째 성분을 ti(x)라고 하면, ti는 Rn 위에 정의된 선형함수이다.7 따라서ti는 다음과 같은 꼴이다:

ti = ai1p1 + · · · + ainpn.

여기서 pi는 Rn의 좌표함수이다. 따라서, A = (ai j)라 하면

T(x) = (. . . , ti(x), . . . )T = (. . . ,∑

ai jp j(x), . . . )T = Ax

이다. �

이제 일반적인 유한차원 벡터공간인 경우에는 어떤가? 이 경우에는 선형사상 T : V →W를 곧바로 T(x) = Ax라고 쓸 수는 없다.8 그러나 다음과 같이 생각할 수 있다.

두 유한차원 벡터공간 V,W에 대하여 선형사상 T : V → W가 주어졌을 때, 공간V,W의 바탕벡터를 각각 {x1, . . . , xn}, {y1, . . . , ym}라고 잡으면 V의 임의의 벡터 x에 대하여 x = ξ1x1 + · · ·+ ξnxn, Tx는 Tx = η1y1 + · · ·+ ηmym 이라고 쓸 수 있다. 이 때, 다음 정리가 성립한다.

6만일 이런 것이 있다면 우리가 정의한 선형사상의 개념이 너무 loose한 것일 수 있다. 한편 이와 반대되는 가능성은 선형사상의 정의는 매우 훌륭한 것이며 이러한 정의를 통하여 우리가 통상적으로 알던 선형사상이 아닌, 상상하지 못했던 새로운 예를 알게되는 것이 된다.

7qi : Rm → R를 벡터의 i번 째 성분을 값으로 주는 Rm의 좌표함수라 하면, qi는 선형함수이다.

따라서 ti = qi ◦ T도 선형함수이다.8T(x) ∈W이고 Ax ∈ Rm이다.

38 3. 선형사상

정리 3.11. 위의 상황에서 적당한 m × n행렬 A = (ai j)가 존재하여 다음을 만족시킨다:

ηi =∑

ai jξ j

이를 다시 말하면, 고정된 바탕벡터에 대하여 벡터의 좌표값만을 생각하면 선형사상T는 Rn의 벡터에 Rm의 벡터를 대응시키는 꼴이 되고, 이러한 선형사상은 좌표에 행렬은곱하는 꼴 밖에는 없다는 것이다.

증명. 이 정리의 증명은 단순한 계산이다. Tx j는 W의 벡터이므로 적당한 스칼라 ai j를 써서 다음과 같이 쓸 수 있다:

Tx j =

m∑

i=1

ai jyi.

이를 대입하여 계산하면

Tx = T(∑

j

ξ jx j) =∑

j

ξ jTx j =∑

j

ξ j

∑

i

ai jyi =∑

i

(∑

j

ai jξ j)yi

가 된다. Tx =∑

i ηiyi 와 계수를 비교하면 정리의 식이 성립한다. �

이정리의 행렬 A를바탕벡터 x와 y에대한선형사상 T의 행렬표현이라고하고 [T]yx로

나타낸다.

이 정리는 단순하지만 이 정리의 증명을 잘 이해하고 활용하기 위하여 적어도 위와는다른 두 가지 방법으로 이 계산을 써 보고 익혀 두도록 한다.

그 하나는 벡터와 행렬을 완전히 풀어서 쓰는 것이다. 즉 정리에 있는 ∑ 기호를 쓰지않는 것이다. 이렇게 해 보면 Tx j를 yi의 1차결합으로 나타내는 행렬과 좌표벡터 (ηi)를(ξ j)의 1차결합으로 나타내는 행렬이 서로 transpose 관계임을 알 수 있다.9 이의 자세한계산은 여러분에게 맡겨 둔다. 단순히 모두 풀어서 써 보면 된다.(지겹지만 꼭 해봐야 하는 것이다.)

또 하나는 이 계산에서 벡터나 행렬의 성분을 사용하지 않는 것이다. 이를 위하여는기호를 정리하여 둘 필요가 있다. 벡터에는 행벡터와 열벡터가 있다. 우리는 어떤 벡터를어떤 꼴로 나타낼지를 미리 정하기로 한다. 우선 벡터 x, Tx등의 벡터의 성분은 열벡터를사용하려고 한다. (많은 책이 이렇게 나타낸다.) 따라서 벡터 x는 다음과 같이 쓰게 된다:

x =∑

j

ξ jx j = (x1, . . . , xn)

ξ1...

ξn

= xξ.

9조금 어렵지만 노력해서 익혀두어야 하는 것은 ai j가 들어간 summation(∑

)에서 i를 쓰는가 j를쓰는가 하는 것이 행렬을 그냥 곱하는가 아니면 전치해서 곱하는가 하는 것임을 알아낼 수 있도록연습하는 것이다.

3.3. 선형사상과행렬 39

여기서, x = (x1, . . . , xn)이고, ξ = [ξ1, . . . , ξn]T 이다. 마찬가지로 Tx = yη라고 하고, 행렬 A는 다음 관계식에서 결정된다고 하자.

Tx = (Tx j) = (yi)(ai j) = yA

그러면 위의 정리 증명의 계산은 다음과 같다:

Tx = T(xξ) = T(x)ξ = yAξ,

여기서 Tx = yη와 계수비교하면η = Aξ

를 얻는다.

� 문제 3.9. 변수 t에 대한 n–차 이하인 다항식의 공간 Pn 위에 정의된 미분사상 d/dt :

Pn → Pn을 바탕벡터 {1, t, t2, . . . , tn}에 대하여 행렬로 나타내어라.

선형사상의 행렬에 대하여 알아야 할 첫 번째 사실은 선형사상의 합성에 해당하는 행렬은 무엇인가이다.

T : U → V, S : V → W가 선형사상이고, U,V,W의 바탕벡터를 각각 하나씩 잡아x, y, z라 하자. 이 바탕벡터에 대한 T와 S의 행렬표현과 합성사상 S ◦ T의 행렬표현을 생각해 보자.

임의의 x ∈ U를 잡고 x = xξ라 하면 Tx의 y에 대한 좌표는 [T]yxξ가 된다. 마찬가

지로 S(Tx)의 z에 대한 좌표는 [S]zy[T]y

xξ가 된다. 이것이 (S ◦ T)x의 z에 대한 좌표인[S ◦ T]z

xξ 와 일치하여야 하므로 모든 ξ에 대하여 [S ◦ T]zxξ = [S]z

y[T]yxξ 라야 한다. 따라

서[S ◦ T]z

x = [S]zy[T]y

x

가 성립한다. 즉 합성사상의 행렬표현은 각각의 행렬의 곱이 된다.

� 문제 3.10. (1) 공간 V의 바탕벡터를 하나 고정했을 때, 항등사상 id : V → V를이 바탕벡터에 대하여 나타낸 행렬은 항등행렬임을 보여라.

(2) 선형사상 T : V → W가 역사상 T−1 : W → V를 가질 때, 공간 V,W의 고정된바탕벡터에 대하여 T와 T−1를 나타낸 행렬은 서로 역행렬임을 보여라.

3.3.2. 행렬의 기본공간. 선형사상의 영공간과 치역공간처럼 행렬의 곱셈에 대하여도기본공간을 정의하여 사용한다. m × n 행렬 A가 열벡터공간 Rn의 벡터의 왼쪽에 곱셈으로 작용하여 정의된 선형사상

TA(x) = Ax : Rn → Rm

에 대하여, 이 사상의 영공간을 NA, 치역공간을 RA로 나타낸다. 즉,

NA ={x | x ∈ Rn, Ax = 0}RA ={Ax | x ∈ Rn}

40 3. 선형사상

NA를 A의 영공간, RA을 A의 열공간(column space)이라고 부른다. 마찬가지로 AT 에대한 공간도 정의하여 쓴다. 즉, AT의 영공간 NAT를 A의 left null space, AT의 열공간 RAT를 A의 행공간(row space)이라고 한다. 이 네 개의 공간을 행렬 A의 기본공간(fundamental spaces)이라고 한다.

3.3.3. 바탕벡터의 변환. 선형사상을 행렬로 나타낼 때 가장 먼저 궁금한 것은 주어진 선형사상을 얼마나 여러 가지 행렬로 나타낼 수 있는지, 또는 역으로 얼마나 많은 선형사상이 같은 행렬로 나타내지는지, 그리고 같은 선형사상에서 만든 행렬들 사이에는 어떤관계가 있는지 같은 것들이다.

이 질문에 대답하는 것은 쉬운 일이 아니며 아마도 지금부터 끝까지 하는 이야기가 전부 이에 대한 답이라고 해도 된다. 이 절에서는 첫 번째 답으로 한 선형사상을 두 개의 서로 다른 바탕벡터에 대하여 행렬로 나타낼 때 이 두 행렬이 어떤 관계에 있는가를 알아보기로 한다.

T : V →W 가 선형사상이고 V의 두 바탕벡터 x, x′과 W의 두 바탕벡터 y, y′을 생각하자.

그러면 앞에서 알아본 바에 의해

Tx = y[T]yx , Tx′ = y′[T]y′

x′

이다. 이제 x′의 모든 벡터는 바탕벡터 x의 일차결합으로 나타낼 수 있으므로 적당한 행렬 A에 대하여 xA = x′이 된다. 마찬가지로 적당한 행렬 B에 대하여 yB = y′이라고 쓸수 있다. 이를 위의 둘째 식에 대입하면

TxA = yB[T]y′

x′

따라서y[T]y

x A = yB[T]y′

x′

이다. 즉,

[T]yx A = B[T]y′

x′

이 성립한다.

도움정리 3.12. 위에서 행렬 A와 B는 정칙행렬이다.

증명. x′을 x의 일차결합으로 나타내면 xA = x′이다. 마찬가지로 x을 x′의 일차결합으로나타내면 x′C = x라고 나타낼 수 있다. 따라서

x = x′C = xAC

이다. 즉 AC = I 가 되어 A는 역행렬을 갖는다. B에 대하여도 마찬가지이다. �

이 도움정리를 사용하면 위의 두 행렬 사이의 관계를

B−1[T]yx A = [T]y′

x′

3.4. 수반사상(ADJOINT) 41

라고 나타낼 수 있다.

이제 특별히 V = W 인 경우 즉 선형변환 T : V → V인 경우를 알아보자. 우리가 위의 정리를 잘 사용하는 경우는 이 경우이다.

정리 3.13. V의 바탕벡터 x와 x′에 대하여 xA = x′이라 하면 선형변환 T : V → V에대하여 다음이 성립한다:

A−1[T]xxA = [T]x′

x′ .

정칙행렬 A가 있어서 두 행렬 P,Q가 조건

A−1PA = Q

를 만족시키면 P와 Q는 서로 닮음(similar)이라고 한다.

3.4. 수반사상(Adjoint)

선형사상은 한 벡터공간(정의역)의 벡터에 작용하여 다른 공간(치역)의 벡터를 대응시켜 준다. 이러한 작용은 이 벡터공간에만 작용하는 것이 아니라 이 공간들과 관련된 다른공간에도 작용한다. 주어진 벡터공간과 가장 밀접한 관계에 놓여 있는 벡터공간은 이 공간의 쌍대공간이다. 따라서 우리가 가장 먼저 알아볼 것은 쌍대공간에 이 선형사상이 어떻게 작용하는가 이다. 수반사상이란 이러한 작용의 결과로 쌍대공간에 작용하는 새로운 사상의 이름이다.10

3.4.1. 수반사상의 정의. T : V →W 가 선형사상이면, l ∈W′에 대하여 합성함수

T′(l) := l ◦ T : V T−→ V l−→ K

를 생각하여 보자. 이 합성함수는 선형사상 T와 선형함수 l의 합성이므로 선형함수가 된다. 따라서 이 함수는 V 위의 선형함수이고 V′의 원소가 된다. 즉, T와 합성하는 작용에의하여 W′의 원소에는 V′의 원소가 대응된다. 이 원소를 T′(l)이라 하자. 임의의 x ∈ V에대하여 보면 T′은

T′(l)(x) = (l ◦ T)(x) = l(T(x))

에 의하여 정의된다.11

이렇게 정의된 T′ : W′ → V′은 선형사상이 된다. 이를 확인하여 보자: 임의의 l1, l2 ∈W와 α1, α2 ∈ K에 대하여

T′(α1l1 + α2l2)(x) = (α1l1 + α2l2)(Tx) = α1l1(Tx) + α2l2(Tx) = (α1T′(l1) + α2T′(l2))(x)

이므로 T′은 선형이다. 이 선형사상 T′을 T의 수반사상(隨伴寫像;Adjoint)이라고 부른다.

10선형사상이 있으면 항상 이에 따라서(수반하여) 나타나는 사상이므로 이렇게 이름한다.11이 관계식은 앞에서 공부한 방법으로 나타내면 더 잘 알 수 있다. 즉 선형함수의 값을 벡터

와 괄호로 묶는 기호를 쓰면 이 관계식은 다음과 같다:

(T′(l), x) = (l,T(x)), 또는 (T′l, x) = (l,Tx).

42 3. 선형사상

� 문제 3.11. 수반사상에 대하여 다음이 성립함을 확인하여라.

(1) 0′ = 0 (2) (id)′ = id (3) (T + S)′ = T′ + S′ (4) (αT)′ = αT′

(5) (S ◦ T)′ = T′ ◦ S′ (6) (T−1)′ = (T′)−1

앞에서 우리는 차원이 유한한 경우에는 두 벡터공간 V와 V′′을 같은 공간이라고 생각하기로 하였다. 이런 경우 수반사상도 다음과 같이 간단히 생각할 수 있다.

정리 3.14. T : V →W가 유한차원 벡터공간 위에 정의된 선형사상이면 다음이 성립한다.

T′′ = T

증명. T′′ : V′′ → W′′은 자연스럽게 T′′ : V → W 라고 생각할 수 있으므로 x ∈ V에 대하여 T′′x를 생각하여 보자. T′′x는 W = W′′의 벡터라고 보면 l ∈ W′에 작용하므로 그작용은

(T′′x)(l) = x(T′l) = (T′l)(x) = l(Tx) = (Tx)(l)

이라고 할 수 있다. 모든 l ∈W′′에 대하여 성립하므로 T′′x = Tx 이다. �

3.4.2. 수반사상의 행렬표현. 공간의 바탕벡터를 잡고 이에 대하여 좌표로 나타내어진 벡터에 대하여 수반사상은 어떻게 나타내어지는가? 간단히 생각하여 보아도 V′,W′에잡은 바탕벡터에 따라 T′의 행렬표현은 마구 달라지게 되므로 V와 V′의 바탕벡터, 그리고 W와 W′의 바탕벡터에 좋은 관계가 있지 않으면 T와 T′의 행렬표현은 좋은 관계를 기대할 수 없다.

이 때, V와 V′ 사이에 좋은 관계를 갖고 있는 바탕벡터로는 쌍대바탕벡터 외에는 알고 있는 것이 없다. 따라서 V의 바탕벡터 x = {x1, . . . , xn}을 잡았다면 V′은 x의 쌍대바탕벡터 φ = {φ1, . . . , φn}을 잡고, W의 바탕벡터 y = {y1, . . . , ym}을 잡았다면 V′은y의 쌍대바탕벡터 ψ = {ψ1, . . . , ψm}을 잡기로 하자. 이제 이 바탕벡터에 대하여 선형사상 T : V →W와 이의 수반사상 T′ : W′ → V′을 나타내어 보기로 하자.

T의 행렬표현을 A라 하고, T′의 행렬표현을 B라 하자. 즉, Tx = yA를 만족시키고,

T′ψ = φB를 만족시킨다. 이를 풀어 써 보자. 이것은

Tx j =∑

paipyp, T′ψi =

∑

qbqiφq

라는 뜻이다. 이제 (T′ψi)x j를 두 가지 방법으로 계산하여 보자.

(T′ψi)x j = ψi(Tx j) = ψi(∑

papjyp) =

∑

papjψi(yp) =

∑

papjδip = ai j

이다. 한편,

(T′ψi)x j =∑

qbqiφq(x j) =

∑

qbqiδqj = b ji

이므로 이 두 식을 비교하면 ai j = b ji임을 알 수 있다. 즉, AT = B이다. 다시 말하면 쌍대바탕벡터에 대한 T′의 행렬표현은 T의 행렬표현의 전치행렬이 됨을 알 수 있다.

3.4. 수반사상(ADJOINT) 43

이는 다음과 같은 간단한 생각과 잘 일치한다. Rn의 일차함수는

l = (α1, . . . , αn)T, l(x) = lTx = α1ξ1 + · · · + αnξn = (α1, . . . , αn)

ξ1...

ξn

과 같이 나타낼 수 있다. 이제 T(x) = Ax라 하면 (T′l)(x)는

(T′l)(x) = lT(T(x)) = lT(Ax) = (lTA)x = (ATl)Tx

가 되어 T′을 나타내는 행렬은 AT가 되는 것이 자연스럽다.

3.4.3. 수반사상의영공간과치역공간. T의수반사상 T′의영공간과치역공간은 T의기본공간들과 밀접한 관계를 가지고 있다. 우선 행렬에서 알아보자. m×n 행렬 A에 대하여 RA는 Ax꼴의 벡터 전체이다. 한편 NAT는 ATl = 0인 l 전체이며, 이는 lTA = 0인 l전체이다. 이제 이 두 공간의 벡터를 내적하여 보면

lT(Ax) = lTAx = (ATl)Tx = 0x = 0

이 항상 성립함을 알 수 있다. 즉 NAT의 모든 벡터 l은 RA 위에서 항상 0값을 갖는다(즉,

RA와 수직이다)는 사실을 알 수 있다. 한편, RA와 수직인 벡터는 NAT 뿐임을 보일 수있다. 이러한 사실은 단순히 행렬에 대하여만 성립하는 것이 아니어서 선형사상에 대하여다음과 같은 정리가 있다.

정리 3.15. 선형사상 T : V →W에 대하여 다음이 성립한다.

(RT)0 = NT′ , (RT′)0 = NT

증명. T′′ = T이므로 앞의 관계식이 성립하면, 뒤의 관계식은 자동으로 성립한다. 따라서앞의 관계식만을 증명하자.

(⊂) l ∈ (RT)0라 가정하자. 이 말은 임의의 y = Tx ∈ RT(∀x ∈ V)에 대하여 l(y) = 0이라는 뜻이다. 따라서

∀x ∈ V, 0 = l(Tx) = (T′l)x

이다. 그러므로 T′l = 0이 된다. 즉, l ∈ NT′ 이다.

(⊃) 역으로 l ∈ NT′이라고 가정하자. 그러면, T′l = 0이다. 이 말은

∀x ∈ V, 0 = (T′l)x = l(Tx)

라는 뜻이다. 즉, y = Tx 꼴의 모든 y에 대하여 l(y) = 0이라는 말이고, 이말은 다시 말하면 l이 RT 위에서 0값을 가진다는 말이다. 따라서, l ∈ (RT)0 이다. �

따름정리 3.16. dimRT = dimRT′ .

44 3. 선형사상

증명. 기본공간의 차원정리에서

dimNT′ + dimRT′ = dim W′

가 성립한다. 한편 annihilator의 차원정리에서

dim(RT)0 + dimRT = dim W

가 성립한다. 위의 정리로부터 좌변의 첫항은 일치하고, 또 우변이 일치하므로 따름정리의관계식이 나온다. �

따름정리 3.17. 선형사상 T : V → W에 대하여 dim V = dim W 이면 다음이 성립한다:

dimNT = dimNT′ .

이 정리의 응용을 하나 알아보자.

� 문제 3.12. m < n이라 하고 l1, . . . , lm은 n차원 벡터공간 V 위의 1차함수라고 하자.

적당한 벡터 x ∈ V가 존재하여 y j(x) = α j ( j = 1, . . . ,m) 이기 위하여 α1, . . . , αm가 만족시켜야 할 조건을 찾아라?

또, 이 결과는 1차연립방정식의 해에 대하여 무엇을 말하고 있는가?

이 문제를 어떻게 해결하는가?

li는 V에서 R로의 1차함수이다. 따라서 (l1, . . . , lm)이라고 쓰면 이것은 V에서 Rm으로의 선형사상을 정의한다. 이 선형사상을 S라고 하자.

이제 모든 i = 1, . . . ,m 에 대하여 li(x) = αi라 함은 S(x) = (α1, . . . , αm) 라는 뜻이다. 그러므로 문제에서와 같은 x가 존재한다는 말은 v = (α1, . . . , αm)라는 Rm의 벡터가S의 range RS에 속한다는 말과 같다. 이제 교과서 위의 정리를 사용하면 이 말은 벡터v = (α1, . . . , αm)가 (NS′)0에 속한다는 말과 동치이다. 이 말을 풀어 써보자.

v ∈ (NS′)0 ⇔∀l ∈ NS′에 대하여 l(v) = 0 ⇔[ S′l = 0 ⇒ l(v) = 0 ] ⇔[ [ ∀z에 대하여 S′l(z) = l(Sz) = 0 ] ⇒ l(v) = 0 ] ⇔이 말을 풀어 쓰면

[ S′l = l ◦ S 라는 1차함수가 상수함수 0이면 l(v) = 0 이다. ]

(Rm)′의 원소인 Rm의 1차함수 l은λ1k1 + · · · + λmkm 꼴로 나타낼 수 있으므로S′l = l ◦ S = λ1l1 + · · · + λmlm 이다.

따라서 위의 말은 다음과 동치이다.

3.4. 수반사상(ADJOINT) 45

⇔ [ λ1l1 + · · · + λmlm = 0 ⇒ λ1α1 + · · · + λmαm = 0 ]

이제 이것을 방정식에 적용하여 보자. li(x) = αi라는 것은 1차방정식이다. 따라서 문제는 m개의 비제차인 n원 1차 연립방정식에서 상수항 αi들에 대하여 방정식의 해가 적어도 하나 존재하기 위한 αi들의 필요충분조건을 구하라는 것이다. 그 답으로 얻은 조건은다음과 같다. 즉, li들이 1차종속일 경우에만 문제가 되며, 이 경우에는 li의 1차결합으로0함수를 만들 수 있을 때 이 1차결합과 똑 같은 모양으로 αi의 1차결합을 만들면 이것도항상 0이 된다는 조건을 αi들이 만족하여야만 이러한 해 x가 있다는 뜻이다. �

CHAPTER 4

행렬식

47

CHAPTER 5

고유값과 고유벡터

49

CHAPTER 6

내적: 유클리드 기하

51

CHAPTER 7

행렬의 대각화: 2차함수

53

CHAPTER 8

Jordan 형식: 일반적인 대각화

55

CHAPTER 9

몇 가지 응용과 공식

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