elite resolve afa2009 mat

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O ELITE RESOLVE AFA 2009 MATEMTICA

1

MATEMTICA

QUESTO 26

Sobre as retas ( )r ( )1 10 3 0k x y k + + = e 2( )1 (1 )

x ts

y k t= = + onde

k, t \ , pode-se afirmar que a) podero ser paralelas coincidentes para algum valor de k b) se forem paralelas, no tero equao na forma reduzida. c) sempre podero ser representadas na forma segmentaria. d) nunca sero perpendiculares entre si.

Resoluo Alternativa D Por hiptese, temos:

( r ) (1 k)x +10y + 3k = 0 10

1kmr= , onde mr o coeficiente

angular da reta r;

( s ) = = = + = +

22 1 (1 )(2 )

1 (1 )x t

t x y k xy k t

+ + = + + 1 2(1 ) (1 ) 0 (1 ) 2 1y k x k x k y k = 0 Logo, ms=

11k , onde ms o coeficiente angular da reta s;

Assim:

a) Falsa. Se r e s so paralelas: 1k9k91

1k10

1k === ; Se k = 1, temos que: ( r ) 10y + 3 = 0 e ( s ) y + 1 = 0, que so as equaes gerais das retas r e s. Com isso, tais retas nunca sero coincidentes.

b) Falsa. Alm disso: = = 3( ) ( ) 110

r y e s y , que so as

respectivas equaes reduzidas. c) Falsa. Como y constante, ela no tem representao segmentaria. d) Verdadeira. Se r e s so perpendiculares:

= = = 21 1. 1 ( 1) 1010 1r sk k

m m k .

Como (k 1)2 = 10 no tem soluo real, uma vez que, em \ , (k 1)2 sempre no negativo, as retas nunca podero ser perpendiculares entre si.

QUESTO 27 Os vrtices de um triangulo ABC so os centros das circunferncias:

2 21

2 22

2 23

( ) 2 4 1 0

( ) 4 4 12 8 15 0

( ) ( 7) ( 3) 8

x y x y

x y x y

x y

+ + =+ + =

+ + =

O tetraedro cuja base o triangulo ABC e cuja altura, em metros, igual mdia aritmtica dos quadrados dos raios das circunferncias acima, tambm em metros, possui volume, em 3m , igual a

a) 212

b) 494

c) 492

d) 214

Resoluo Alternativa B Precisamos encontrar os centros e os raios das trs circunferncias. Temos: ( )1 2 22 1 4 4 1 1 4x x y y+ + + + = + + ( ) ( ) ( )22 21 2 6x y+ + = Logo: ( )1,2C e = 6R ( )2 + + =2 2 153 2 04x y x y + + + + = + +2 29 15 93 2 1 1

4 4 4x x y y

( ) ( ) + + = 2

223 1 72

x y

Logo: 3,12

C e = 7R

( )3 ( ) ( ) ( ) + + = 22 27 3 8x y Logo: ( )7, 3C e = 8R A rea da base do tetraedro dada por:

=2D

A , onde

= = =

2

1 2 13 21 211 12 2 4

7 3 1

D A m

A altura do tetraedro dada por:

( ) ( ) ( )+ + + += = =2 2 26 7 8 6 7 8 73 3

h m

Ento: 31 1 21 497

3 3 4 4tetraedro baseV A h m= = =

QUESTO 28

Suponha um terreno retangular com medidas de 18 m de largura por 30 m de comprimento, como na figura abaixo:

B

C

A

D

Um jardineiro deseja construir nesse terreno um jardim elptico que tenha os dois eixos com o maior comprimento possvel. Ele escolhe dois pontos fixos P e Q, onde fixar a corda que vai auxiliar no traado. Nesse jardim, o jardineiro pretende deixar para o plantio de rosas uma regio limitada por uma hiprbole que possui:

eixo real com extremidades em P e Q; excentricidade 5

4e =

Considerando o ponto A coincidente com a origem do plano cartesiano e a elipse tangente aos eixos coordenados, no primeiro quadrante, julgue as afirmativas abaixo. (01) O centro da elipse estar a uma distncia de 3 34 m do ponto A (02) Para fazer o traado da elipse o jardineiro precisar de menos de 24 m de corda. (04) O nmero que representa a medida do eixo real da hiprbole, em metros, mltiplo de 5 (08) Um dos focos dessa hiprbole estar sobre um dos eixos coordenados.

A soma dos itens verdadeiros pertence ao intervalo

a) [7,11[ b) [5,7[ c) [1,5[ d) [11,15] Resoluo Alternativa A

Do enunciado, podemos fazer a seguinte figura: y C A x

O P Q

F

E

15 30

9

B

B 18

L

Da figura, temos que: I) o eixo maior da elipse mede a = 15 m; II) o eixo menor da elipse mede b = 9 m; (01) Correta: Aplicando Pitgoras no tringulo AFO, temos: (AO)2=(AF)2+(FO)2 ( ) 343AO306915AO 222 ==+= ;



2

(02) Falsa: Pela definio de elipse, a soma das distncias de qualquer ponto aos focos constante, e igual a duas vezes o eixo maior. Como 2a = 30, PL + QL = 30, para qualquer ponto L da elipse. Assim, para fazer o traado, o jardineiro deve fixar as duas extremidades de uma corda de 30 m nos pontos P e Q e, mantendo a corda esticada (impondo a soma das distncias igual a 30), rotacionar o ponto L em torno do centro do jardim. (04) Falsa: Como os focos da elipse (P e Q) so as extremidades do eixo real da hiprbole, o comprimento desse eixo dado pela distncia focal da elipse. Usando a relao notvel na elipse, temos:

= + = + =2 2 2 2 2 215 9 12e e e e ea b c c c Logo, o comprimento do eixo real da hiprbole tambm 12 (no um mltiplo de cinco). (08) Correta: O eixo real da hiprbole possui extremidades P e Q. Logo, a medida do semi-eixo real da hiprbole igual medida de PO, que na questo a distncia focal da elipse. Como a

excentricidade da hiprbole dada por = hh

cea

, onde ch a distncia

focal da hiprbole e ah a medida do semi-eixo real da hiprbole (igual distncia focal da elipse), temos:

= =5 154 12

hh

c c

Logo a distncia focal da hiprbole 15. Como o eixo focal est contido na reta que passa por P e Q, ambos os focos esto sobre esta reta, distantes 15 m de O. Portanto, as coordenadas dos focos so

( )1 0, 9F = e ( )2 30, 9F = , logo, um dos focos se encontra sobre o eixo das ordenadas (um dois eixos coordenados). Portanto, a soma dos itens verdadeiros 9, que est entre 7 e 11.

QUESTO 29 Considere todos os nmeros complexos z = x + yi, onde x\ , y \ e 1i = , tais que 21

1z

i +

Sobre esses nmeros complexos z, correto afirmar que a) nenhum deles imaginrio puro. b) existe algum nmero real positivo. c) apenas um nmero real. d) so todos imaginrios.

Resoluo Alternativa C

Temos que 22 2 1

1 1 2i i= = =+ +

Logo 21 11

z z i z ii

= +

Como z x y i= + : 1z i ( ) ( ) ( )2 22 21 1 1 1 1 1x y i x y x y+ + +

Portanto, (x,y) so representados pelos pontos de um crculo de raio 1 e centro (0,1), incluindo sua borda:

y

x 1

Pela figura, como y representa a parte imaginria de z e x sua parte real, ento: a) Incorreta, pois todos os pontos internos ao crculo e que esto sobre o eixo y so imaginrios puros, exceto o ponto (x,y) = (0,0). b) Incorreta, pois o nico nmero real z z = 0. c) Correta, pois h somente um nmero real z, que z = 0. d) Incorreta, pois h um nmero z real (z = 0).

QUESTO 30 O polinmio 3 2 21( ) 2P x mx nx mx n= + , onde { },m n \ unitrio e no divisvel por 2( )P x x= Sabe-se que 1( ) 0P x = admite duas razes simtricas. Sobre as razes de 1( ) 0P x = INCORRETO afirmar que a) nenhuma delas nmero imaginrio. b) todas so nmeros inteiros. c) uma delas um nmero par. d) o nmero n uma das razes.

Resoluo Alternativa D Como 2( )P x x= no divide 1( )P x temos que x=0 no raiz de 1( )P x e, portanto, 2 0 0n n . Consideremos que o polinmio de grau trs (m 0): como o polinmio 1( )P x unitrio, temos que m=1.

Sejam r1, r2 e r3 as razes de 3 2 21( ) 2P x x nx x n= + . Assim, aplicando a relao de Girard para a soma das razes, temos:

( )+ + = + + =1 2 3 1 2 32 21n

r r r r r r n

Considerando r1 e r2 as razes simtricas de 1( )P x , temos que r1 + r2 = 0, de modo que r3 = 2n, ou seja, 1(2 ) 0P n = . Substituindo, temos:

( ) ( ) ( )( )

= + = + = = = =

3 2 21

3 3 2

(2 ) 2 2 2 2 0

8 8 2 0 2 0 0 ou 2

P n n n n n n

n n n n n n n n

Como 0n temos 2n = . Assim, fatorando 1( )P x temos ( ) ( ) ( )( )3 2 2 21( ) 4 4 4 4 4 1P x x x x x x x x x= + = = .

Desse modo, as razes de P1(x) so -1, 1 e 4, ou seja, nenhuma delas nmero imaginrio, todas so nmeros inteiros e uma delas um nmero par. O nmero n = 2 no uma das razes, o que tornaria a alternativa D incorreta. NOTA: Esta questo passvel de anulao, pois seria perfeitamente possvel considerar que o polinmio de grau 2 (m = 0), uma vez que a questo abre a possibilidade para qualquer valor real de m e n , com a condio { },m n \ . Nesse caso, como o polinmio unitrio, temos:

12 12

n n = = e 21 1( ) 4P x x= + Assim, as razes de P1(x) so dadas por:

2 1 1 10 14 4 2 2

ix x+ = = = = Estas razes tambm so simtricas, estando o polinmio

21

1( )4

P x x= + de acordo com todas as condies da questo. Deste modo, ambas as razes so nmeros imaginrios, nenhuma nmero inteiro, nenhuma nmero par e n no uma das razes, o que tornaria todas as alternativas incorretas. Tambm note que no possvel que o polinmio tenha grau menor que dois, pois neste caso, teramos m = 0 e n = 0 (o que contradiz

2 0 0n n , condio necessria para excluir 2( )P x x= como um divisor de 1( )P x )

QUESTO 31 Sr. Osvaldo possui certa quantia com a qual deseja adquirir um eletrodomstico. Caso a loja oferea um desconto de 40%, ainda lhe faltaro 1000 reais. Se o Sr. Osvaldo aplicar sua quantia a juros (simples) de 50% ao ms, ajunta, em trs meses, o montante correspondente ao valor do eletrodomstico sem o desconto. Assim, o valor do eletrodomstico e da quantia que o Sr. Osvaldo possui somam, em reais, a) 4000 b) 7000 c) 5000 d) 8000



3

Resoluo Alternativa B Sejam: x = quantia que o Sr. Osvaldo possui inicialmente y = valor do eletrodomstico sem desconto Temos:

( )1 0,4 10000,6 1000 6 10 10000

50 2 3 2 5 23100

y xy x y x

x x y x yx x y

= + = + = + + = =+ =

3 5 5000 20005 50002

y x xx yy

= + = ==

Portanto, a soma do valor do eletrodomstico e da quantia que o Sr. Osvaldo possui somam, em reais, 7000.

QUESTO 32 Perguntaram a Gabriel qual era seu horrio de trabalho e ele respondeu: Habitualmente comeo s 6 horas da manh minha jornada de trabalho que de 8 horas dirias, divididas em dois expedientes.

Cumpro no primeiro expediente 34

dessa jornada, tenho um intervalo

de almoo de 1 hora e 45 minutos e retorno para cumprir o tempo que falta, ou seja, o segundo expediente. Hoje, excepcionalmente, quando cheguei, o relgio de ponto registrou

um horrio tal que o tempo transcorrido do dia era igual aos 411

do

tempo restante do dia e eu fui, ento, alertado que estava atrasado. Acertei meu relgio pelo relgio de ponto e, para compensar meu

atraso, pretendo cumprir os 34

de minha jornada e sair para almoar

reduzindo o tempo de meu intervalo de almoo em 15

. Imediatamente

retornarei para o trabalho e sairei no meu horrio habitual. Considerando que o relgio de ponto estivesse certo e em perfeito funcionamento, correto afirmar que, nesse dia, Gabriel, com sua pretenso

a) ficar devendo 1160

de sua jornada diria.

b) sair para o almoo antes de 12 horas e 23 minutos. c) retornar aps o intervalo de almoo, exatamente, s 13 horas e 50 minutos. d) cumprir sua jornada diria na ntegra e ainda sobraro dois minutos.

Resoluo Alternativa A Normalmente Gabriel tem o seguinte horrio de trabalho: 1 Expediente: 6h 12h ( 3 4 de 8 horas) Almoo: 12h 13h45 (105 minutos) 2 Expediente: 13h45 15h 45min ( 14 de 8 horas) No dia de hoje o relgio de ponto registrou o seguinte horrio x (em horas):

( )= = = =4 . 24 11 96 4 15 96 6,411

x x x x x x

Desta forma, o horrio marcado era 6h24min. Como Gabriel pretende

cumprir os 34

de sua jornada, ele trabalhar por 6 horas antes de sair

para o almoo. Porm, o tempo de almoo foi reduzido em 15

, que

equivalente a =4.105 845

min, e o horrio de sada ser o habitual, ou

seja, 15h 45min. Temos: 1 Expediente: 6h 24min 12h 24min Almoo: 12h 24min 13h 48min

2 Expediente: 13h 48min 15h 45min Como Gabriel chegou do almoo 3 minutos atrasado em relao ao seu horrio habitual e sair no mesmo horrio, ele ficar devendo 3 min. Sua jornada habitual de 8 horas, ou seja 480 minutos. Logo

ficar devendo 3 1480 160

= de sua jornada.

QUESTO 33 Se :f \ \ uma funo afim crescente de raiz 0r < , :g \ \ uma funo linear decrescente e :h A \ uma funo definida por

[ ] [ ]20 71( )

( ) ( )h x

f x g x=

i, ento, o conjunto A, mais amplo possvel,

dado por a) ] [r,0 b) ] , [r + {0} c) ] ,0[ { }r d) ] ,0[

Resoluo Alternativa C Como f(x) uma funo afim que tem r < 0 como raiz ento ela dada por f(x) = a.(x r), para algum valor real a > 0, uma vez que a funo crescente. Da mesma maneira, como g(x) uma funo linear decrescente ento ela dada por g(x) = mx, para algum valor real m, com m < 0.

Como 20 7

1h(x)

[f(x)] .[g( x)]=

, temos que essa funo s est

definida nos reais se 20 7[f(x)] .[g( x)] 0 > , uma vez que no podemos calcular a raiz quadrada de nmeros negativos no conjunto \ . Como 20[f(x)] 0 , temos que h(x) est definida em \ se e somente se g(-x) < 0. Assim, temos

= < <



4

b) Verdadeira. Note que as retas geradas por f(x) e g(x) so paralelas, estando o grfico de g sempre acima do grfico de f, de modo que

x \ temos g(x) f(x)> . c) Verdadeira. Pelo grfico, se x < a, temos que a reta da funo f(x) est abaixo da reta da funo g(x), e a reta da funo g(x) est abaixo da reta da funo h(x). Assim, temos que se x < a

f(x) g(x) h(x) < < . d) Falsa. Observe que se a < x < 0 ento temos f(x) g(x) h(x)< < , o que torna a afirmao incorreta.

QUESTO 35 Considere que g: B\ , definida por 2( )g x bx cx a= + funo par e possui como grfico o esboo abaixo.

Marque a alternativa INCORRETA. a) Se = +[ , [B a , ento a funo g sobrejetora. b) A funo :t \ \ dada por ( ) ( )t x g x a= + positiva x \ c) b c a< < d) A funo :h \ \ dada por ( ) ( )h x g x a= possui um zero real duplo.

Resoluo Alternativa B Se ( )g x uma funo par, ento:

( ) ( )= \,g x g x x Em particular, para x = 1, temos ( 1) (1)g g = e, portanto:

+ = =2 2( 1) ( 1) 1 1 0b c a b c a c Logo: ( ) = 2g x bx a . Como a parbola tem sua concavidade voltada para cima, o coeficiente do x2 deve ser positivo. Assim, 0 0b b > < . Alm disso, pelo grfico, segue que (0) 0 0h a a= < > Vamos agora analisar cada alternativa. a) Correta. A imagem da funo ( ) = 2g x bx a [ [= +Im( ) ,g a . Como essa imagem coincide com o contra-domnio de g, conclui-se que a funo ( )g x sobrejetora. b) Incorreta. A funo ( ) ( )= + = 2t x g x a bx tem como grfico uma parbola tangente ao eixo dos x no ponto = 0x . Logo =(0) 0g . c) Correta. Como = 0c , > 0a e < 0b , ento <



5

QUESTO 37 Considere as funes reais +\ \*:f tal que ( ) xf x a= , +\ \*:g tal que ( ) xg x b= , +\ \*:h tal que ( ) xh x c= . Sabendo-se que 0 1a b c< < < < , marque a alternativa INCORRETA. a) A funo real :s M D definida por ( ) ( ) 1s x g x= + positiva

x M b) < . Assim, segue que se ax log 2< , ento f(x) 2 0h(x) 1

\ b)

12

x x

12x 1 0 x

2 > >

Combinando essas condies, temos que o logaritmo s existe se 1

x2

> . Reescrevendo nossa funo, temos que nesse intervalo

vlida a relao 33x 4

f(x) log2x 1

+ = . Assim:

3

3x 4 3x 4f(x) 1 log 1 3

2x 1 2x 1+ + < < temos 3x + 4 > 0 e 2x 1 > 0 segue que 3x 4 7

3 3x 4 6x 3 x2x 1 3

+ < + < > . Assim, o conjunto soluo

da inequao f(x) < 1 dado por 7

S x | x3

= > \ .



6

QUESTO 39 Um estudo sobre a concentrao de um candidato em provas de memorizao indicou que, com o tempo decorrido, sua capacidade de reao diminui. A capacidade de reao ( )E , 0E > , e o tempo decorrido ( )t , medido em horas, podem ser expressos pela relao 2 11

3

tEt

+=

Sendo assim, INCORRETO afirmar que a) a concentrao tende a ser mxima por volta de 20 minutos do incio da prova. b) a cada intervalo de 1 h de prova h uma queda de 33,3% na capacidade de reao. c) a capacidade de reao nunca menor que 2. d) se a capacidade de reao 24, ento o tempo t decorrido maior que 24 minutos.

Resoluo Alternativa B Considere a funo 2 1 6 31 3 1

3

t tEtt

+ += = , com t medido em horas.

Analisando cada uma das alternativas, temos:

a) Verdadeira. Se 13

t , temos que 1 03

t E . Desse modo, a capacidade de reao tende a ser mxima quando o tempo

for de 1.(60 minutos)=20 minutos3

de prova.

b) Falsa. Considerando as capacidades de reao E1 e E2 calculadas nos instantes t e (t + 1), respectivamente, temos:

12 1 6 3

1 3 13

t tEtt

+ += = 2

2( 1) 1 6( 1) 3 6 91 3( 1) 1 3 2( 1)3

t t tEt tt

+ + + + += = =+ ++

A variao de capacidade dada por 2 1E E E . = A taxa de decrescimento, por sua vez, dada por:

2

1 1

6 96 9 3 13 21 1 16 3 3 2 6 3

3 1

tEE t ttD

tE E t tt

+ + += = = = + + +

Assim: 218t

D =21t+( ) 29 18t 21t+( )

2 2 2

6 15 518 21 6 18 21 6 6 7 2t t t t t t

+ = =+ + + + + + Na equao acima, nota-se que a taxa de decrescimento depende do instante t, no sendo constante como diz a alternativa. Ainda podemos tomar um contra-exemplo, assumindo t=2, e calculando a taxa de decrescimento de 2 horas a 3

horas: 5 5 12,5% 33,3%6 4 7 2 2 40

D = = = + + c) Verdadeira. Temos por hiptese que 0E > . Alm disso o tempo sempre positivo e portanto 2 1 1 10 01 3 3

3

tE t tt

+= > > >

, ou seja a

funo s est definida para valores de 13

t > . Agora, suponha que a capacidade de reao possa ser menor que 2. Assim:

6 3 6 3 6 3 6 2 52 2 0 0 03 1 3 1 3 1 3 1

13 1 03

t t t tEt t t t

t t

+ + + += < < < < < , temos um absurdo e assim, a capacidade de reao nunca ser menor que 2. d) Verdadeira. Se a capacidade de reao 24, temos:

6 3 24 6 3 72 24 66 273 1

0,41 horas t 24,5 minutos

tE t t tt

t

+= = + = =

QUESTO 40 Considere num mesmo plano os pontos da figura abaixo, de tal forma que: (I) AW CW EW GW IW LW NW PW

(II) BW DW FW HW JW MW OW QW

(III) m m m m mAWB BWC CWD PWQ QW A

(IV) PC AE CG EI GL IN NA LP a

A rea da regio sombreada da figura, em funo de a, a) 2 212 8 2a a b) 2 26 4 2a a+ c) 2 212 8 2a a+ d) 2 26 4 2a a

Resoluo Alternativa D Analisando as condies I, II, III e IV conclumos que nossa figura simtrica em relao ao ponto W. A partir da condio III temos:

m m m m mm m m m m+ + + + + =

360

360 22,516

AWB BWC CWD PWQ QW A

AWB BWC CWD PWQ QW A

x

y

Como AW CW EW GW IW LW NW PW e BW DW FW HW JW MW OW QW Temos que os tringulos WAB, WCB, WCD, WED, WEF, WGF, WIH, WIJ, WLJ, WLM, WNM, WNO, WPO, WPQ e WAQ so congruentes (lado, ngulo, lado) e portanto:

...AB BC OP PQ QA x

Como BW DW FW HW JW MW OW QW e m m m m m 2 22,5 45oQWB BWD DWF MWO OWQ = Temos que os tringulos WBD, WDF, WFH, WHJ, WJM, WMO, WOQ e WQB, so issceles congruentes (lado, ngulo, lado) e portanto:

OQ QB BD DF FH HJ JM OM y O ngulo da base destes tringulos ainda apresentam ngulo de 180 45 67,5

2 =



7

Observando os tringulos formados pela figura, pode-se dizer que os ngulos

l l l l l l ( )l l l l l l

180 3.22,5 67,5

45oW AB WCB WCD W ED W PQ W AQ

W AB WCB WCD W ED W PQ W AQ

E assim, os ngulos l l l l l 2 45 90QAB BCD DEF MNO OPQ =

Assim, temos ento que 22y x

x y a

= + =

De modo que a (2 2)a

2x x 2 a x x22 2

+ = = =+ . A regio sombreada formada por oito tringulos retngulos cuja rea

dada por 2x

2.

Assim, a rea dessa regio dada por: 2

2 22 2x (2 2)a a (6 4 2)rea 8. 4. 4. 6a 4a 2

2 2 4

= = = =

QUESTO 41 Ultimamente, vrios adereos tm sido utilizados em bailes e em festas noturnas. Em alguns casos, l pelas tantas horas, so distribudos culos coloridos, colares, chapus e plumas. um dos momentos de maior descontrao da festa. Em geral, acima da pista de dana, colocado um objeto luminoso, chamado sputinik.

Considere um sputinik construdo do seguinte modo:

1) toma-se um cubo de aresta 3p cm 2) em cada encontro de trs arestas, retira-se um tetraedro cuja base um tringulo eqiltero de lado p 2 cm e 3) no slido restante, so acopladas pirmides triangulares de altura 3p 3 cm e pirmides octogonais de altura 3p cm; ambos os tipos de pirmides so retas e possuem bases coincidentes com as faces desse slido. Se o volume desse sputinik 3 3xp cm , ento x um nmero do intervalo a) [78, 83 [ b) [73, 78 [ c) [83, 88 [ d) [88, 103 ]

Resoluo Alternativa A Observe o cubo abaixo:

I) De cada vrtice tiramos um tetraedro tri-retngulo como o indicado na figura e em seu lugar colocamos uma pirmide triangular. Assim retira-se 6 tetraedros tri-retngulos e acoplam-se 6 pirmides triangulares. II) Em cada face que apresenta formato octogonal, acoplada uma pirmide, e portanto acoplam-se 6 pirmides de base octogonais.

A partir disso, o volume do sputinik pode ser calculado da seguinte maneira:

= + +8. 6. 8.SPUTINIK CUBO TETRAEDRO PIRMIDEOCTOGONAL PIRMIDETRIANGULARV V V V V Separadamente, vamos determinar cada um destes volumes.

1) CUBO:

( )33 33 27CUBOV a p p= = = cm3 2) TETRAEDRO:

31 13 3 2 6TETRAEDRO base

p p pV A h p = = = cm3

3) PIRMIDE DE BASE OCTOGONAL: A base deve se acoplar com a face do slido. Assim, observe a figura abaixo, que representa a base da pirmide e tambm a face do slido na qual ela ser acoplada:

p

3p

2p

p

p

A rea da base de cada pirmide octogonal pode ser calculada como:

( )2 2 2 2 24

.3 4. 9 2 72

OCTOGONAL QUADRADO TRINGULO RETNGULOA A A

p pp p p p cm

= == = =

Como a altura dessa pirmide de 3p cm, ento seu volume ser

dado por: = =2 31.7 .3 73PIRMIDEOCTOGONAL

V p p p cm3

4) PIRMIDE DE BASE TRIANGULAR: As pirmides de base triangular sero acopladas nas faces restantes (onde foi retirado o tetraedro, apresentando mesma base). A rea da base de cada tetraedro acoplado (e tambm dos que foram retirados) pode ser calculada da seguinte forma:

( )= = =2 2 22 . 3 .2. 3 . 34 4 2TRINGULO

p p pA cm2

Como a altura dessa pirmide de 3 3p cm, ento seu volume ser dado por:

= =2

31 3 3. .3 33 2 2PIRMIDETRIANGULAR

pV p p cm3

Finalmente, temos: = + +8. 6. 8.SPUTINIK CUBO TETRAEDRO PIRMIDEOCTOGONAL PIRMIDETRIANGULARV V V V V

= + + =3

3 3 3 3327 8. 6.7 8.6 2SPUTINIKpV p p p xp

[ [4 23927 42 12 79,6... 78, 833 3

x x + + = =

QUESTO 42 Considere a funo real [ ]: 1,3f A definida por ( ) 1 2 6

2 1

xsenf x

=

Sabendo-se que a funo f inversvel, correto afirmar que um possvel intervalo para o conjunto A

a) 7,3 3 b)

7 10,3 3

c) 4 10,3 3 d)

4 7,3 3

Resoluo Alternativa D Por hiptese, temos:

f(x)= .62

xsen2162

xsen)2(112

62xsen1

+=

=

Como Im(f)=[1,3], temos que:

f(x)=1 062

xsen162

xsen21 =

=

+ ;

f(x)=3 162

xsen362

xsen21 =

=

+ ;

Assim: 162

xsen0

;



8

Para que tal funo admita inversa, devemos ter, dentro do intervalo [0,2 ] :

62

x2

ou262

x0 , pois so os intervalos na qual o

seno est entre 0 e 1 e admitem um nico valor para a imagem. Logo:

+

+ +

4 40 ;2 6 2 6 2 2 6 3 3 3 3

4 7 4 7;2 2 6 2 6 2 6 3 3 3 3

x x x x

oux x x x

A alternativa que contm um desses intervalos a alternativa D.

QUESTO 43 Em relao funo real f definida por ( ) ( ) ( )2 21 8s 2 cos 2 2f x en x x= INCORRETO afirmar que

a) ( ) [ ]Im 2, 1f = b) tem seu valor mnimo como imagem de algum ,

8 4x

c) estritamente crescente em 3,16 16

d) seu perodo igual a 8

Resoluo Alternativa C A funo ( ) ( ) ( )= 2 21 8.s n 2 .cos 2 2f x e x x pode ser reescrita como

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 21 2. 2. 2 .cos 2 2 1 2. 4 2f x sen x x sen x= = ( ) ( )= cos 8 2f x x

Veja o grfico abaixo:

Agora vamos analisar as alternativas uma a uma. a) Verdadeira: Como ( ) ( ) 0 cos 8 1 2 cos 8 2 1x x , podemos afirmar que [ ]= Im( ) 2, 1f b) Verdadeira: O valor mnimo da funo assumido quando:

( )cos 8 0 82

x x k = = + = + ], 16 8

kx k

Fazendo = 1k , temos: = + = 3 ,

16 8 16 8 4x

c) Falsa: Observando o grfico acima, temos:

Em 0,16 a funo decrescente;

Em ,16 8 a funo crescente;

Em 3,

8 16 a funo decrescente;

Em 3 ,16 4

a funo crescente.

Portanto a funo no estritamente crescente em 3,

16 16.

d) Verdadeira: O perodo da funo ( ) ( )= cos 8g x x igual a =28 4

. Mas o perodo da funo ( ) ( )= cos 8 2f x x igual a =1

2 4 8, devido ao mdulo, que altera o sinal das imagens

negativas, tornando-as positivas. Compare com o grfico acima. Uma maneira alternativa seria observar que um perodo completado a cada vez que a funo atinge seu valor mximo, que no caso 1. Portanto, resolvemos:

( ) ( ) ( )= = = = cos 8 2 1 cos 8 1 cos(8 ) 1f x x x x 8x k = ,

8k x k

=] , k ]

Assim, cada acrscimo de 8

no valor de x representa um perodo

completo para a funo f. Em outras palavras, o perodo de f igual a

8

.

QUESTO 44 Considere as proposies abaixo.

I) A soma dos infinitos termos da seqncia cujo termo geral 3nn ,

*n` , converge para 34

II) Se 2cos3kka = ; *k ` , o valor de 1 2 97...a a a+ + + zero.

III) Se ( )3, ,a b formam uma progresso geomtrica de razo q e ( ), ,45a b , uma progresso aritmtica de razo r, com ,a b` , ento

6rq=

Pode-se afirmar que, entre as proposies, a) todas so falsas b) apenas duas so falsas c) apenas uma falsa d) todas so verdadeiras

Resoluo Alternativa C I. Verdadeira. Numa progresso geomtrica 1 2 3( , , , )a a a de razo q tal que |q| < 1, sabemos que a soma de todos os termos dessa

progresso converge para o valor: 1lim1nna

Sq+

=

A seqncia 2 3 41 2 3 4, , , ,...3 3 3 3

. A soma dos infinitos termos dada

por = + + + +2 3 41 2 3 4 ...3 3 3 3S . Esta soma pode ser decomposta numa

soma de infinitas progresses geomtricas, todas de razo 13

, da

seguinte maneira:

+ + + + = =

+ + + = =

+ + = =

+ = =

"

"

"

"

# #

2 3 4

2 3 4

3 4

4

11 1 1 1 13

13 3 3 3 213

11 1 1 19

13 3 3 613

11 1 127

13 3 1813

11 181

13 5413



9

Observe que cada uma dessas parcelas pode ser vista como um

termo da progresso geomtrica 1 1 1

( , , , )2 6 18

" .

Portanto, essa soma vale: = + + + = =

11 1 1 32... 12 6 18 41

3

S .

II. Falsa. A seqncia dada pode ser escrita como

972 4 6cos ,cos ,cos ,...,3 3 3

a . O valor da soma dado por:

= + + + + = + + 97 972 4 6 1 1cos cos cos ... 1 ...3 3 3 2 2

S a a

Podemos ver que a soma se anula a cada trs termos, logo o nico

termo que sobra = = 972 1cos3 2

a .

III. Verdadeira. Como ( )3, ,a b formam uma PG, temos: = =

223

3ab a b . Alm disso, ( ), ,45a b uma PA, ento:

+= + = 452 452

ab a b .

Ento: = + = = + = + =

2

22 2453 2 3 135 2 3 135 0

3 2452

ab a a a a a aab

Segue que: = 9a ou = `152

a . Logo: = 9a .

Substituindo, temos: = 27b , = = =27 39

bqa

e = = =27 9 18r b a .

Logo, = =18 63

rq

.

QUESTO 45

Joo Victor e Samuel so dois atletas que competem numa mesma maratona. Num determinado momento, Joo Victor encontra-se no ponto M, enquanto Samuel encontra-se no ponto N, 5 m a sua frente. A partir desse momento, um observador passa a acompanh-los registrando as distncias percorridas em cada intervalo de tempo de 1 segundo, conforme tabelas abaixo.

Joo Victor

Intervalo Distncia (m)

1 12

2 34

3 98

#

#

Samuel

Intervalo Distncia (m)

1 12

2 34

3 1,0

#

#

Sabe-se que os nmeros da tabela acima que representam as distncias percorridas por Joo Victor formam uma progresso geomtrica, enquanto os nmeros da tabela acima que representam as distncias percorridas por Samuel formam uma progresso aritmtica. Com base nessa informaes, INCORRETO afirmar que ao final do a) 6 Segundo, Joo Victor ter alcanado Samuel b) 5 Segundo, Joo Victor j ter atingido o ponto N c) 5 Segundo, Samuel percorreu uma distncia igual que os separava nos pontos M e N d) 8 segundo, Joo Victor estar mais de 8 metros frente de Samuel.

Resoluo Alternativa A As distncias percorridas em cada intervalo por Joo Victor formam uma PG. Calculamos a razo por:

22 1

1

3 4 31 2 2

dd d q qd

= = = = Logo a distncia percorrida no ensimo intervalo dada por:

11

11 32 2

nn

nd d q

= = A distncia total percorrida at o final do ensimo intervalo ser a soma da PG:

( )1Joo Victor

1 3 12 21 3 131 21

2

n

n nd qD

q

= = =

As distncias percorridas em cada intervalo por Samuel formam uma PA. Calculamos a razo por:

2 1 2 13 1 14 2 4

d d r r d d= + = = = Logo a distncia percorrida no ensimo intervalo dada por:

( ) ( )1 111 2 4nn

d d n r= + = +

A distncia total percorrida at o final do ensimo intervalo ser a soma da PA:

1Samuel

1 1 132 2 4

2 2 8n

na a nD n n n

+ + + + = = = Assim, aps n segundos a partir do ponto M, Joo Victor est numa

posio J= 123 n

e Samuel na posio

S=5+8

40n3n8

nn35n8

n3 22 ++=

++=

+ .

Com isso, podemos montar o seguinte esquema: I) n=5:

J= 123 5

= 243 2111 6,632 32

m =

S= m108

405.352 =++ II) n=6:

J= 123 6

= 729 6651 10,464 64

m =

S= m75,118

406.362 =++ III) n=8:

J= 123 8

= 6561 63051 24,6256 256

m =

S= m168

408.382 =++ Aps o quinto segundo, Joo Victor j atingiu o ponto M (5 metros aps sua posio inicial). Tambm neste momento Samuel havia percorrido 5 metros, atingindo a posio de 10 metros. Logo as alternativas B e C so verdadeiras. Aps o sexto segundo, Joo Victor ainda no alcanou Samuel estando a alternativa A incorreta. Aps o oitavo segundo, Joo Victor est a uma distncia de aproximadamente 8,6 m, o que torna a alternativa D tambm correta.

QUESTO 46 As senhas de acesso a um determinado arquivo de um microcomputador de uma empresa devero ser formadas apenas por 6 dgitos pares, no nulos. Sr. Jos, um dos funcionrios dessa empresa, que utiliza esse microcomputador, dever criar sua nica senha. Assim, INCORRETO afirmar que o Sr. Jos



10

a) poder escolher sua senha dentre as 122 possibilidades de form-las. b) poder escolher dentre 120 possibilidades, se decidir optar por uma senha com somente 4 dgitos iguais. c) ter 4 opes de escolha, se sua senha possuir todos os dgitos iguais. d) ter 480 opes de escolha, se preferir uma senha com apenas 3 dgitos iguais.

Resoluo Alternativa B Como ele s pode usar dgitos pares e no nulos, a senha ter dgitos escolhidos do conjunto {2, 4, 6, 8}. Vamos julgar cada afirmao:

a) Correta. Para criar a senha, o Sr. Jos tem 4 possibilidades de escolha para cada dgito. Logo, pelo princpio fundamental da contagem, ele tem 4.4.4.4.4.4=46=212 possibilidades distintas de criar a sua senha.

b) Incorreta. Se a senha tiver 4 dgitos iguais, ela ser da forma ABCCCC, com A, B e C distintos. Temos 4 possibilidades para escolher o dgito que se repete (um dos elementos do conjunto {2, 4, 6, 8}). Para escolher os outros dois, diferentes daquele que ir se repetir 4

vezes, temos 3

32 =

possibilidades.

Depois de feita essa escolha, permutamos a seqncia ABCCCC, que ser uma permutao de 6 letras com repetio de 4 delas:

46

6!30

4!P = = . Portanto, temos 4.3.30 = 360 possibilidades de criar a senha com 4 dgitos iguais.

c) Correta. Se a senha tiver todos os seis dgitos iguais, temos as seguintes possibilidades: 222222, 444444, 666666 ou 888888. Nesse caso, basta escolher o nico dgito que se repetir por seis vezes na senha.

d) Correta. Seguindo o raciocnio do item (b), temos que a senha ser da forma ABCDDD, com A, B, C e D distintos. Para escolher o dgito que se repete, temos 4 possibilidades. Automaticamente, os outros trs dgitos aparecero uma vez cada. Depois de feita essa escolha, permutamos a seqncia ABCDDD, que uma permutao de 6 letras com repetio de 3 delas:

3

6

6! 1203!P = = .

Portanto, temos 4.120 = 480 possibilidades de criar a senha com exatamente 3 dgitos iguais.

QUESTO 47

Com relao ao binmio 2 2n

xx

+ correto afirmar que: a) se n impar, seu desenvolvimento possui um nmero impar de termos. b) possui termo independente de x, n *` c) a soma de seus coeficientes binomiais igual a 64 quando esse binmio possui seis termos. d) se o 5 termo do desenvolvimento desse binmio, segundo as potncias decrescentes de x, 560 2x , ento n igual a 7.

Resoluo Alternativa D

O binmio n

2x2x

+ pode ser escrito, em sua notao somatrio, como:

=

=

=

=

+

n

0p

p3n2pn

0p

ppn2

n2 x.2

pn

x2)x(

pn

x2x .

Sabemos que: a) Incorreta: O nmero de termos de um binmio um a mais do que o expoente do binmio, que no caso n. Assim, o binmio tem n+1 termos;

b) Incorreta: O termo geral do polinmio 2 32 .p n pn

xp

, com p ` , variando de 0 a n. Existe termo independente se for possvel que o expoente de x seja nulo, o que ocorre para 2 3 0n p = . Portanto, o binmio admitir termo independente se

3n2p = . Isto s ser possvel

se n for um mltiplo de 3. c) Incorreta: A soma dos coeficientes de um binmio obtida fazendo

x=1, que no caso n

2121

+ , que 3n. Logo, se o binmio tem seis termos, n=5 e a soma dos coeficientes 243; d) Correta: Tomando o termo geral de tal binmio, temos:

2 3 2

2 3 2 ( )2 560

2 560 ( )p n p

p

n p In

x x nIIp

p

= = =

com p ` , 0,1,...p n=

Quanto maior p, menor a potncia de x. Como tal termo segundo as potncias decrescentes de x o 5, conclui-se que p=4. Assim, em (I), temos: 2n 3.4=2 n=7. Se n =7, verifica-se a equao (II): 56016.352

47 4 ==

QUESTO 48

No lanamento de um dado viciado, a face 6 ocorre com o dobro da probabilidade da face 1, e as outras faces ocorrem com a probabilidade esperada em um dado no viciado de 6 faces numeradas de 1 a 6. Dessa forma, a probabilidade de ocorrer a face 1 nesse dado viciado

a) 19

b) 23

c) 13

d) 29

Resoluo Alternativa A

Num dado no viciado, a probabilidade de sair cada uma das seis

faces 16

.

No dado viciado em questo, temos:

1(2) (3) (4) (5)6

(6) 2 (1)

p p p p

p p

= = = = =

Como a probabilidade total igual a 1, temos:

(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1p p p p p p+ + + + + =

1 1 1 1(1) 2 (1) 16 6 6 6

p p+ + + + + = 4 13 (1) 16 3

p = = 1(1)9

p =

QUESTO 49 Um trailer de sanduches anunciou para segunda-feira, a seguinte promoo:

Saboreie: 1 X-bacana, 1 poro de batatas fritas, 1 refrigerante em lata, e pague apenas y reais.

Como o movimento da noite de segunda-feira estava fraco, o proprietrio resolveu manter os preos individuais de cada componente da oferta para quaisquer combinaes de pedidos dos produtos citados. Assim, as famlias A, B e C pagaram juntas 56 reais pelos produtos consumidos, conforme o quadro abaixo:



11

Quantidade Famlia X-bacana

Poro de fritas

Refrigerante em lata

A 5 4 4

B 3 0 2

C 1 2 2 Sabendo-se que a famlia A gastou 3 reais a mais que o dobro do valor gasto pela famlia B e que a famlia C gastou 3 reais a menos que a famlia B, INCORRETO afirmar que a) 6 refrigerantes em lata custam tanto quanto 10 pores de batatas fritas b) O preo y da promoo sugerida no ultrapassa R$ 7,50 c) a famlia B poderia ter optado por pedir duas promoes e sua despesa seria a mesma d) a famlia B gastou o equivalente a 30% das despesas das famlias A e C juntas.

Resoluo Alternativa D Sendo a, b e c os preos pagos, respectivamente, pelas famlias A, B e C, temos:

562 3

3

a b ca bc b

+ + = = + =

Substituindo as duas ltimas equaes na primeira, vem que: (2 3) ( 3) 56 4 56 14b b b b b+ + + = = =

Logo: 2 14 3 3114 3 11

ac= + = = =

Isto , a famlia A gastou R$ 31,00, a famlia B gastou R$ 14,00, e a famlia C gastou R$ 11,00. Agora, vamos denotar, na condio da oferta, por x o preo do X-bacana, por f o preo da poro de batatas fritas e por r o preo do refrigerante em lata. De acordo com os dados da tabela e com os valores determinados que cada famlia gastou, montamos o seguinte sistema linear:

5 4 4 313 0 2 141 2 2 11

x f rx f rx f r

+ + = + + = + + =

Multiplicando a ltima equao por 2 e adicionando primeira, temos:

5 2 31 2 11 3 9 3x x x x = = = Substituindo o valor de x na segunda equao:

3 3 2 14 2,5r r + = = Substituindo os valores de x e r na terceira equao:

3 2 2 2,5 11 2 3 1,5f f f+ + = = = Assim, o preo do X-bacana R$ 3,00, da poro de fritas R$ 1,50 e do refrigerante R$ 2,50. Vamos agora julgar cada afirmao:

a) Correta. 6 6 2,5 1510 10 1,5 15

rf= = = =

. Assim, ambos custam R$ 15,00.

b) Correta. 3 1,5 2,5 7y x f r= + + = + + = . Assim, o preo da promoo R$ 7,00. c) Correta. Se tivesse optado por duas promoes, o gasto seria 2 2 7 14y = = . Esses R$ 14,00 correspondem exatamente ao gasto da famlia B. d) Incorreta. As famlias A e C juntas gastaram R$ 42,00. Como a

famlia B gastou R$ 14,00, isso equivale a 14 1 33,3%42 3

= do valor gasto pelas outras duas famlias juntas.

QUESTO 50 Analise as preposies e classifique-as em verdadeiro (V) ou falso (F). ( ) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 em que

det(3 ) 36A = . Se dividirmos a 1 linha de A por 2 e multiplicarmos a 2 coluna de A por 4, o valor de det A ser 8.

( ) Sejam M e N matrizes quadradas de ordem 3 e N aM= , a *\ . Sabendo-se que 3det

2M = , det( ) 96tN = e que tN

a transposta de N, ento a vale 12.

( ) Se

2

2

2

bc a aA ac b b

ab c c= e

2 3

2 3

2 3

111

a aB b b

c c= , ento A=B.

( ) Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n. correto afirmar que ( )( ) 2 2A B A B A B+ = , quaisquer que sejam A e B.

Marque a seqncia correta. a) V V F F b) F V F V c) V F V F d) V F V V

Resoluo Alternativa C (I) Verdadeiro. Como a matriz de ordem 2,

2det(3 ) 3 det 36 9 det det 4A A A A= = = . Assim, se dividirmos a primeira linha de A por 2, seu determinante ser dividido por 2, e ao multiplicarmos a segunda coluna de A por 4, seu determinante ser multiplicando por 4.

Logo, teremos 4 4det ' det 4 82 2

A A= = = . (II) Falso. Como det det 96tN N= = , e as matrizes so de ordem 3, temos:

3det det( ) detN aM N aM a M= = = 3 3396 64

2a a= = 4a =

(III) Verdadeiro. Ao multiplicarmos uma fila de uma matriz por um mesmo nmero, seu determinante fica multiplicado por esse nmero. Expandindo o determinante A, de acordo com o teorema de Laplace, pela primeira coluna, temos:

22 2 2

2 1 1 2 1 3 12 2 2

2

( 1) ( 1) ( 1)bc a a

b b a a a aA ac b b bc ac abc c c c b bab c c

+ + += = + + =

2 2 21 1 2 1 3 1

2 2 21 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)b b b b a a a a a a a a

c c c c c c c c b b b b+ + + = + + =

2 32 3 2 3 2 3

1 1 2 1 3 1 2 32 3 2 3 2 3

2 3

11 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1

1

a ab b a a a a b b Bc c c c b b c c

+ + += + + = =

(IV) Falso. Distribuindo a multiplicao, temos: 2 2( )( )A B A B A AB BA B+ = +

Porm, a multiplicao de matrizes no uma operao comutativa, isto , nem todas as matrizes A e B satisfazem AB BA= , de modo que as duas matrizes intermedirias AB e BA no necessariamente sejam iguais e, portanto, a soma AB BA + no corresponde necessariamente matriz nula de ordem n. Assim, a igualdade apresentada na afirmao no vlida para quaisquer matrizes A e B de ordem n.

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