(elementary of abstract algebra) 4 * 0 %...

สำนกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร

พชคณตนามธรรมเบองตน(Elementary of Abstract Algebra)

ดร. ปณศยา พฒนางกร

ตวอยาง

ปณศยา พฒนางกร พชคณตนามธรรมเบองตน.

1. พชคณตนามธรรม QA162 ISBN 978-616-7398-19-8 eISBN 978-616-314-119-4 ลขสทธของรองศาสตราจารย ดร. ปณศยา พฒนางกร สงวนลขสทธ ฉบบพมพครงท 1 เดอนกรกฎาคม 2555 (พมพเพมครงท 1) จานวน 200 เลม ฉบบอเลกทรอนกส (e-book) กนยายน 2557 จดพมพและจาหนายโดย สานกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร อาคารธรรมศาสตร 60 ป ชน U1 มหาวทยาลยธรรมศาสตร ถนนพระจนทร กรงเทพฯ 10200 โทร. 0-2223-9232, 0-2613-3801-2 โทรสาร 0-2226-2083 (สานกงานศนยรงสต โทร. 0-2564-2859-60) e-mail address: [email protected] พมพทหางหนสวนจากด เอมแอนดเอมเลเซอรพรนต นายสมชาย ดาขา ผพมพผโฆษณา แบบปกโดยนายณรงคฤทธ สงหทอง ฉบบพมพครงท 1 เดอนกนยายน 2553 จานวน 300 เลม ฉบบพมพครงท 1 เดอนกรกฎาคม 2555 จานวน 200 เลม (พมพเพมครงท 1)

ราคาเลมละ 190.- บาท

ตวอยาง

สารบญ

คานา (7)

บทท 1 ความรพนฐาน

1

1.1 บทนยามและสญลกษณของเซต 1

1.2 พชคณตเบองตนของเซต 7

1.3 ความสมพนธสมมล 13

1.4 ฟงกชน 23

1.5 การดาเนนการทวภาค 36

บทท 2 สมบตของจานวนเตม

45

2.1 หลกการอปนยเชงคณตศาสตร 45

2.2 การหารลงตว 55

2.3 ขนตอนวธการหาร 59

2.4 ตวหารรวมมาก 62

2.5 ขนตอนวธแบบยคลด 76

2.6 ตวคณรวมนอย 82

2.7 จานวนเฉพาะ 87

2.8 คอนกรเอนซ 92

ตวอยาง

บทท 3 กรป 111

3.1 บทนยามและตวอยางของกรป 111

3.2 สมบตเบองตนของกรป 118

3.3 กรปวฏจกร 122

3.4 กรปยอยและทฤษฎบทลากรานจ 128

3.5 กรปยอยปรกตและกรปผลหาร 139

3.6 โฮโมมอรฟซมและไอโซมอรฟซม 146

3.7 กรปสมมาตร 159

บทท 4 รง

181

4.1 บทนยามและตวอยางของรง 181

4.2 สมบตเบองตนของรง 190

4.3 ไอดลและรงผลหาร 198

4.4 โฮโมมอรฟซมและไอโซมอรฟซม 205

4.5 รงพหนาม 217

บทท 5 ฟลด

225

5.1 บทนยามสมบตเบองตนของฟลด 225

5.2 ฟลดของผลหาร 231

5.3 การแยกตวประกอบของพหนามบนฟลด 237

บรรณานกรม 253

ดชน 255

ดชนสญลกษณ 270

(6)

ตวอยาง

คานา

หนงสอ พชคณตนามธรรมเบองตน เลมน ผเขยนรวบรวมขนเพอเปนการแนะนาพชคณตนามธรรม (Abstract Algebra) ซงเปนสาขาหนงของคณตศาสตร ซงเหมาะสาหรบนกศกษาทเรยนวชาเอกคณตศาสตร และคณตศาสตรประยกต รวมถงบคคลทวไปทมความสนใจและมพนฐานเบองตนเกยวกบทฤษฎจานวนและการพสจน

หนงสอเลมนประกอบดวย 5 บท ซงแตละบทจะเปนพนฐานในการศกษาในบทตอ ๆ ไป นอกจากน ผอานสามารถศกษาไดเขาใจมากยงขนถาไดทาแบบฝกหดตอนทายของแตละหวขอ และแบบฝกหดบางขอจะเปนพนฐานหรอแนวทางในการทาความเขาใจในหวขอตอ ๆ ไป

บทท 1 ประกอบดวยความรพนฐานเกยวกบเซต ความสมพนธสมมล ฟงกชน และการดาเนนการทวภาค ซงเปนสวนสาคญในการศกษาพชคณต

บทท 2 กลาวถงสมบตของจานวนเตมทนาสนใจ อนไดแก หลกการอปนยเชงคณตศาสตรขนตอนวธการหาร ตวหารรวมมาก ทฤษฎบทการแยกตวประกอบไดอยางเดยว และคอนกรเอนซ ซงจะนาไปใชประกอบการศกษาเรองกรปตอไป

บทท 3 ไดใหบทนยามและสมบตเบองตนของกรป รวมถงไดกาหนดนยามของกรปวฏจกร กรปยอย กรปยอยปรกตและกรปผลหาร และในหวขอท 3.6 ไดใหบทนยามและศกษาสมบตทสาคญของโฮโมมอรฟซมและไอโซมอรฟซมของกรปซงเปนความสมพนธระหวางกรป 2 กรป นอกจากน ยงมการพสจนทฤษฎบทลากรานจ และทฤษฎบทเคยเลย ซงถอวาเปนทฤษฎบททสาคญบทหนง สาหรบในหวขอท 3.7 เราไดใหบทนยามของการเรยงสบเปลยนและกรปสมมาตร ซงเปนตวอยางของกรปตวอยางหนงทนาสนใจ

ตวอยาง

บทท 4 ไดกลาวถงระบบคณตศาสตรทประกอบดวยเซต และการดาเนนการ 2 การดาเนนการทสอดคลองกบสมบตชดหนง นนคอเราไดใหบทนยามของรง และไดศกษาสมบตเบองตนของรง นอกจากน ยงไดศกษาเกยวกบไอดล รงผลหาร โฮโมมอรฟซมและไอโซมอรฟซมของรง และรงพหนาม อกดวย

บทท 5 ไดใหบทนยามของฟลด และศกษาสมบตเบองตนของฟลด ตลอดจนศกษาสมบตของฟลดของผลหาร และการแยกตวประกอบของพหนามบนฟลด

เนองจากหนงสอเลมนมเนอหาเกยวกบพชคณตนามธรรมเบองตนเทานน ดงนนเนอหาอาจจะไมครอบคลมเนอหาทงหมดของพชคณตนามธรรมทว ๆ ไป อยางไรกตาม ผเขยนหวงเปนอยางยงวาหนงสอเลมนจะเปนประโยชนแกนสต นกศกษา และผทสนใจ

สดทายน ผเขยนขอกราบขอบพระคณบดาและมารดาเปนอยางสง สาหรบความรกและกาลงใจตลอดมา ขอขอบคณอาจารยของผเขยนทกทานททาใหผเขยนรกและซาบซงในคณตศาสตร ซงผเขยนมอาจลมพระคณได

รองศาสตราจารย ดร. ปณศยา พฒนางกร

มถนายน 2553

(8)

ตวอยาง

บทท 1

ความรพนฐาน ( Basic Concepts )

ในบทนไดรวบรวมความรพนฐานเกยวกบเซต ความสมพนธ ฟงกชน และการดาเนนการทวภาค พอเปนสงเขป เพอเปนพนฐานในการศกษาเรองทเกยวของในบทตอไป

ลกษณนามทใชเรยกสงทเอามารวมกนมหลายคา เชน ชด ฝง กลม พวก หม โขลง คณะ เปนตน แตในทางคณตศาสตรนนเราใชคาวา “ เซต ” ซงเปนคาอนยาม ( undefined term ) แทนลกษณนามดงกลาว ดงบทนยามตอไปน

บทนยามและสญลกษณของเซต ( Definition and Notation of a Set ) 1.1

บทนยาม 1.1.1 เซต ( set ) เปนคาซงใชแทนกลมของสงตาง ๆ ทมคณลกษณะบางประการรวมกน และสงทประกอบกนเปนเซตเรยกวาสมาชกของเซต ( element of a set )

ตวอยาง

2 บทท 1 ความรพนฐาน

โดยทวไปนยมใชอกษรตวพมพใหญในภาษาองกฤษแทนเซต และใชอกษรตวพมพเลกในภาษาองกฤษแทนสมาชกของเซต ในหนงสอเลมนจะใชสญลกษณตาง ๆ ดงน

Z แทนเซตของจานวนเตม

+Z แทนเซตของจานวนเตมบวก −Z แทนเซตของจานวนเตมลบ แทนเซตของจานวนธรรมชาตหรอเซตของจานวนนบ แทนเซตของจานวนตรรกยะ + แทนเซตของจานวนตรรกยะบวก แทนเซตของจานวนจรง + แทนเซตของจานวนจรงบวก และ แทนเซตของจานวนเชงซอน

เพอความสะดวกในการเขยนบรรยายเซตจงมการกาหนดสญลกษณตาง ๆ ดงตอไปน สญลกษณ a = b หมายถง “ a และ b เปนสงเดยวกน ”

สญลกษณ a ≠ b หมายถง “ นเสธของ a = b ” สญลกษณ ∈ แทนคาวา “ เปนสมาชกของ ” และ สญลกษณ ∉ แทนคาวา “ ไมเปนสมาชกของ ” นนคอ ถา A เปนเซตใด ๆ แลวจะไดวา

สญลกษณ a ∈ A หมายถง a เปนสมาชกของเซต A และ สญลกษณ a ∉ A หมายถง a ไมเปนสมาชกของเซต A ตวอยางเชน ถาให A แทนเซตของจานวนเตมลบทมากกวา 4− แลวจะไดวา { 1, 2, 3}A = − − − ดงนน 1 A− ∈ ,

2 A− ∈ , 3 A− ∈ แต 4 A− ∉ เปนตน จะเหนวา เซตเปนคาแจมชด ( well-defined ) กลาวคอ ถา A เปนเซตและ a เปนสง ๆ หนงแลว a ∈ A หรอ a ∉ A อยางใดอยางหนงเทานน สาหรบการเขยนเซตนนโดยทวไปทนยมกนม 2 แบบดงน

1. การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชกของเซต ( Tabular form ) คอการเขยนสมาชกทก ตวลงในวงเลบปกกา “ { } ” และคนสมาชกแตละตวดวยเครองหมายจลภาค “ , ” ตวอยางเชน เซต { 1, 2, 15 } หรอถาให A เปนเซตของสระทงหมดในภาษาองกฤษ แลวจะเขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชกของเซตไดเปน { , , , , }A a e i o u= เปนตน

ตวอยาง


สาหรบในกรณทเซตนน ๆ มจานวนสมาชกมากและเรยงลาดบอยางเปนระบบ สามารถเขยนสมาชกเพยง 2 – 3 ตวแรก แลวใชจด 3 จด “ … ” (เทานน) เพอเปนการละไวในฐานทเขาใจวาสมาชกทตามมาประกอบดวยอะไรบาง เชน เซต +Z = { 1, 2, 3, … } เปนตน

ในกรณททราบสมาชกตวสดทายของเซต สามารถเขยนสมาชกตวสดทายไวในเซตดวย เชน ถาให X แทนเซตของจานวนเตมบวกทนอยกวา 30 แลว X {1,2,3, ,29}= … ทาใหทราบวา

สมาชกทเวนไวคอ 4 ถง 28 เปนตน 2. การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของเซต ( set – builder form ) คอการเขยนคณสมบต

ของสมาชกลงไปเพอใหทราบวาสงใดเปนสมาชกของเซตนน หรอกลาวไดวาเปนการเขยนเซตโดยใชตวแปร ตามดวยเครองหมาย “ | ” แทนคาวา “ ซง ” หรอ “ โดยท ” แลวอธบายคณสมบตของตวแปรดงกลาว

เซตทเขยนคณสมบตของสมาชกลงไปนนจะใชสญลกษณแทนดวย { x | P(x) } เมอ x เปนสมาชกของเซตนน ๆ และอานวา “ เซตของสมาชก x ทงหมดททาให P(x) เปนจรง ” เชน ถา B เปนเซตของจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 แลวจะเขยนเซต B แบบบอกเงอนไขของเซตไดเปน

B = { x | x เปนจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 } = { 2x | x = 1, 2, 3, 4, 5 } สญลกษณ { x | P(x) } เรยกวา “ set – builder notation ” ตวอยางเชน

(1) ถา X แทนเซตของจานวนเตมทสอดคลองกบสมการ 2 6 7 0x x− − = แลวสามารถเขยน

เซต X ไดดงน แบบแจกแจงสมาชกของเซต : X { 1,7}= −

แบบบอกเงอนไขของเซต : X { |x x= ∈Z และ 2 6 7 0x x− − = }

(2) ถา Y แทนเซตของจานวนจรงทอยระหวาง 1− กบ 1 แลวไมสามารถเขยนเซต Y แบบแจกแจงสมาชกของเซตได แตสามารถเขยนเซต Y แบบบอกเงอนไขของเซตไดดงน

Y { |x x= ∈ และ 1 1}x− < <

พจารณาตวอยางขางตนทให B แทนเซตของจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 อก

ครงหนง จะเหนวา B = { 2, 4, 6, 8, 10 } ซงถาเราจะเขยนเซต B ใหมเปน B = { 4, 8, 10, 2, 6 }

ตวอยาง


หรอ B = { 6, 10, 8, 4, 2 } หรอ B = { 10, 8, 6, 4, 2 } การเขยนดงกลาวกยงสอความหมายเดยวกน เพราะกยงใหความหมายแกเราวาจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 มอะไรอยบางนนเอง สงเกตไดวาตาแหนงของสมาชกในเซตนนไมสาคญ จากเซต B ดงกลาวถาเราเขยนใหมเปน B = { 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10 } หรอ B = { 2, 2, 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 10, 10 } หรอ B = { 2, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 10, 10, 10, 10 } การเขยนดงกลาวกยงสอความหมายเดยวกน เพราะไมวาจะเขยน 2 ซากครงกตามกยงคงหมายถง 2 เปนจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 ทานองเดยวกบการเขยน 4, 6, 8 และ 10 ไมวาจะเขยนซากครงในเซตนกยงคงหมายถง 4, 6, 8 และ 10 เปนจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 ดงนนจงไดขอสงเกตวาสมาชกทซากนในเซตเดยวกนถอวาเปนเพยงตวเดยว

ตวอยางเชน

(1) ถา A = { 1, 2, 3, 5, 7 } และ B = { 2, 3, 5, 5, 7, 1 } แลว A = B

(2) ถา A = { x ∈Z | 2 3 2 0x x− + = } และ B = { x ∈Z | 0 3x< < } แลว A = B

(3) { x ∈ | 2 2x + < 0 } = ∅ (4) { x ∈Z | 2 1x = } = ∅

บทนยาม 1.1.2 เซต A เทากบเซต B ( A is equal to B ) กตอเมอ ทกสมาชกของ A เปน สมาชกของ B และทกสมาชกของ B เปนสมาชกของ A ( นนคอ A และ B มสมาชกเหมอนกน ) ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ

A = B ถาเซต A และเซต B มสมาชกบางตวแตกตางกน เรากลาววาเซต A ไมเทากบ

เซต B ( A is not equal to B ) ในกรณนเขยนแทนดวยสญลกษณ A ≠ B เซตทไมมสมาชกหรอจานวนสมาชกเทากบศนย เรยกวาเซตวาง ( empty set or null set or void set ) ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ { } หรอ ∅ และเรยกเซตทไมเปนเซตวางวาเซตไมวาง ( non – empty set )

ตวอยาง


ตวอยางเชน ถา {0,1,2},A = { 10, 20, 30}B = − − − และ C { ,{ }}= ∅ ∅ แลวจะไดวา ~A B แตเซต A ไม

เทยบเทากบเซต C

หมายเหต เราเรยก B วาเซตยอยไมแท ( improper subset ) ของ B ตวอยางเชน

(1) ถา S = { 1, 2, 3 } แลวจะไดวา S มทงหมด 8 เซตยอย ดงน ∅ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} และ {1, 2, 3} (2) ถา A = { 10, 20, 30 } และ B = { 10, 20, 30, 40, 50 } แลว A ⊂ B

เพอความสะดวกเราจะใหทกเซตทกลาวถงเปนเซตยอยของเซตใหญเซตหนง ซงเรยกวา เอกภพสมพทธ ( relative universe or universal set ) และเขยนแทนเอกภพสมพทธดวย U

กลาวคอเอกภพสมพทธเปนเซตทกาหนดขน โดยมขอตกลงวาตอไปจะกลาวถงแตสมาชกของเซตนเทานน จะไมมการกลาวถงสงใดทไมเปนสมาชกของเซตน

บทนยาม 1.1.3 เซต A เทยบเทากบเซต B ( A is equivalence to B ) กตอเมอ สามารถจบค กนแบบหนงตอหนงทวถง ( one-to-one correspondence ) ระหวางสมาชกของเซต A และเซต B พอด ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ

~A B

บทนยาม 1.1.4 เซต A เรยกวาเปนเซตยอย ( subset ) ของเซต B กตอเมอ ทก ๆ สมาชกของ A เปนสมาชกของ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ

A ⊆ B หรอ B⊇ A ถา A ⊆ B และ A≠ B แลวเรยก A วาเปนเซตยอยแท ( proper subset ) ของ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ A⊂ B และถามสมาชกอยางนอยหนงตวของ A ทไมเปนสมาชกของ B เรากลาววา A ไมเปนเซตยอยของ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ

A ⊄ B

ตวอยาง


ตวอยางเชน กาหนดให K { |x= 22 1 0x x+ − = } จะไดวา

1{ , 1}2K = − เมอเอกภพสมพทธ U แทนเซตของจานวนตรรกยะ

K { 1}= − เมอเอกภพสมพทธ U แทนเซตของจานวนเตมลบ

K =∅ เมอเอกภพสมพทธ U แทนเซตของจานวนเตมบวก

และ 1{ }2K = เมอเอกภพสมพทธ U แทนเซตของจานวนจรงบวก เปนตน

ทฤษฎบทตอไปนเปนผลทไดจากบทนยามทเกยวกบเซตดงทไดกลาวไปแลว

จะเหนไดวา เซตบางเซตสามารถนบจานวนสมาชกของเซตได แตบางเซตกไมสามารถนบจานวนสมาชกของเซตได ตวอยางเชน เซต M = { |x∈Z 0 9}x≤ ≤ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}= ม

สมาชกทงหมด 10 ตว ในขณะทเซต { |N x= ∈ 0 9}x≤ ≤ ไมสามารถบอกไดวาสมาชกของเซต

N มอะไรบางและมจานวนสมาชกเทาไร

ทฤษฎบท 1.1.1 กาหนดให A, B และ C เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U จะไดวา (1) A ⊆ A, ∅ ⊆ A และ A ⊆ U (2) A ⊆ ∅ กตอเมอ A = ∅ (3) { }x ⊆ A กตอเมอ x ∈ A (4) ถา A ⊆ B และ B ⊆ C แลว A ⊆ C (5) ถา A = B กตอเมอ A ⊆ B และ B ⊆ A

บทนยาม 1.1.5 เซตจากด ( finite set ) คอเซตทมจานวนสมาชกเทากบจานวนนบจานวนหนง นนคอเซต A เปนเซตจากด กตอเมอ

A 1 2{ , , , }ka a a= …

โดยท k∈ และจานวนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวยสญลกษณ ( )n A นอกจากน เราเรยกเซตวางวาเซตจากด และเรยกเซตทไมใชเซตจากดวาเซตอนนต ( infinite set )

ตวอยาง


ตวอยางเชน (1) { |A x x += ∈Z และ 5 1 10}x + > เปนเซตอนนต

(2) { |B x x= ∈ และ 5 1 10}x + = =∅ เปนเซตจากด

(3) { |C x x= ∈ และ 20 5 1 10}x> + > เปนเซตอนนต

(4) { |D x x= ∈Z และ 20 5 1 10}x> + > เปนเซตจากด

แบบฝกหดทายหวขอ 1.1

1. จงเขยนสมาชกทงหมดของเซตตอไปน

1.1 { x ∈ | 2x = 3 }

1.2 { m ∈ Z | 2m = 3 } 1.3 { m ∈ Z | mn = 60 สาหรบบาง n ∈Z }

1.4 { m ∈ Z | 2m m− < 115 } 1.5 { x ∈ +Z | 1 < x < 8 }

1.6 { x ∈ Z | 22 6x x+ − = 0 } 2. จงพสจนทฤษฎบท 1.1.1

3. จงพสจนวาทกเซตยอยของเซตจากดเปนเซตจากด

4. จงพสจนวาทกเซตทมเซตยอยเปนเซตอนนตจะเปนเซตอนนต

5. ให A เปนเซตจากดทมสมาชก n ตว จงพสจนวาเซตยอยของ A มอยทงหมด 2n เซตยอย

ในหวขอนจะกลาวถงพชคณตของเซตหรอการดาเนนการระหวางเซต ( operation on sets ) ถา A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U แลวการดาเนนการระหวางเซต A และ B ซง

พชคณตเบองตนของเซต ( Elementary Algebra of Sets ) 1.2

ตวอยาง


ประกอบดวย การดาเนนการยเนยน อนเตอรเซกชน ผลตาง และสวนเตมเตม นน ผลลพธทไดจะเปนเซตใหมทสรางขนจากเซต A และ B ทกาหนดใหดงกลาว ซงจะนยามดงน

ตวอยางเชน กาหนดให A = {2, 4, 6} และ B = {1, 2, 5, 7} เมอเอกภพสมพทธ U = {1, 2, 3, …, 10} จะไดวา A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 7} A ∩ B = { 2 } A − B = { 4, 6 } B − A = { 1, 5, 7 } U − A = A′ = { 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10 }

B′ = { 3, 4, 6, 8, 9, 10 } และ (A − B) ∩ ( B − A) = ∅

บทนยาม 1.2.1 ยเนยน ( union ) ของเซต A และเซต B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ A ∪ B คอเซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของเซต A หรอเปนสมาชกของ

เซต B นนคอ A ∪ B = { x | x ∈ A หรอ x ∈ B }

อนเตอรเซกชน ( intersection ) ของเซต A และเซต B ซงเขยนแทนดวย สญลกษณ A ∩ B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทอยทงในเซต A และเซต

B นนคอ A ∩ B = { x | x ∈ A และ x ∈ B }

ผลตาง ( difference ) ของเซต A และเซต B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ A – B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทอยในเซต A แตไมอยในเซต B นน

คอ A – B = { x | x ∈ A และ x ∉ B }

เรยกผลตาง U − A วาสวนเตมเตม ( complement ) ของเซต A และเขยนแทนดวยสญลกษณ

A′ หรอ cA ถา A ∩ B = φ แลวเซต A และเซต B เรยกวาเปนเซตไมมสวนรวม

( disjoint set ) ตวอยาง


สญลกษณ ยเนยน และอนเตอรเซกชนของเซตจานวน n เซตคอ 1 2, , , nA A A… เขยนแทนดวย

สญลกษณ 1

n

iiA

=∪ และ

1

n

iiA

=∩ ตามลาดบ นนคอ

1

n

iiA

=∪ = 1 2 nA A A∪ ∪ ∪

และ 1

n

iiA

=∩ = 1 2 nA A A∩ ∩ ∩

จากบทนยามของยเนยน และอนเตอรเซกชน จะไดทฤษฎบทตอไปน

การพสจน

เราจะพสจนขอ (4) ทวา A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ( สาหรบขอทเหลอจะเวนไวเปนแบบฝกหด )

สมมตให x ∈ A ∪ (B ∩ C) ดงนน x ∈ A หรอ x ∈ B ∩ C

กรณท 1 ถา x ∈ A แลว x ∈ A ∪ B และ x ∈ A ∪ C

นนคอ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

กรณท 2 ถา x ∈ B ∩ C แลว x ∈ B และ x ∈C

จาก x ∈B จะได x ∈ A ∪ B และ

จาก x ∈C จะได x ∈ A ∪ C

ดงนน x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

ทฤษฎบท 1.2.1 กาหนดให A, B, C และ D เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U จะไดวา (1) A ∪ A = A = A ∩ A (2) A ∪ B = B ∪ A และ A ∩ B = B ∩ A (3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C และ

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (4) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) และ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (5) A ∪ ∅ = A และ A ∩ ∅ = ∅ (6) A ∪U = U และ A ∩U = A (7) A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B (8) ถา A ⊆ C และ B ⊆ D แลว A ∪ B ⊆ C ∪ D

และ A ∩ B ⊆ C ∩ D ตวอยาง


จากทงสองกรณ จะไดวา x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) นนคอ A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ในทางกลบกน สมมตให x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ดงนน x ∈ A ∪ B และ x ∈ A ∪ C

จาก x ∈ A ∪ B จะได x ∈ A หรอ x ∈B และ

จาก x ∈ A ∪ C จะได x ∈ A หรอ x ∈C ดงนน x ∈ A หรอ x ∈ B ∩ C นนคอ x ∈ A ∪ (B ∩ C) เพราะฉะนน (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) สรปไดวา A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

ตวอยางเชน กาหนดให {2,4,6,8}A = และ {0,2,4,6,8,10}B = จะไดวา A ⊆ B นอกจากนยงไดอกวา

A ∩ B {2,4,6,8} A= = และ A ∪ B {0,2,4,6,8,10} B= =

ทฤษฎบทตอไปนสามารถพสจนไดโดยอาศยบทนยามของยเนยน อนเตอรเซกชน และสวนเตมเตม

ทฤษฎบท 1.2.2 กาหนดให A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U จะไดวาขอความ ตอไปนสมมลกน

(1) A ⊆ B (2) A = A ∩ B (3) B = A ∪ B

ทฤษฎบท 1.2.3 กาหนดให A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U จะไดวา (1) A = (A ∩ B) ∪ (A − B)

(2) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ (3) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ (4) ถา A ⊆ B แลว B′ ⊆ A′ (5) (A′)′ = A, ∅ ′ = U และ U ′ = ∅

(6) A ∪ A′ = U และ A ∩ A′ = ∅

ตวอยาง

ตวอยาง

(elementary of abstract algebra) 4 * 0 %...

Documents