สำนกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร
พชคณตนามธรรมเบองตน(Elementary of Abstract Algebra)
ดร. ปณศยา พฒนางกร
ตวอยาง
ปณศยา พฒนางกร พชคณตนามธรรมเบองตน.
1. พชคณตนามธรรม QA162 ISBN 978-616-7398-19-8 eISBN 978-616-314-119-4 ลขสทธของรองศาสตราจารย ดร. ปณศยา พฒนางกร สงวนลขสทธ ฉบบพมพครงท 1 เดอนกรกฎาคม 2555 (พมพเพมครงท 1) จานวน 200 เลม ฉบบอเลกทรอนกส (e-book) กนยายน 2557 จดพมพและจาหนายโดย สานกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร อาคารธรรมศาสตร 60 ป ชน U1 มหาวทยาลยธรรมศาสตร ถนนพระจนทร กรงเทพฯ 10200 โทร. 0-2223-9232, 0-2613-3801-2 โทรสาร 0-2226-2083 (สานกงานศนยรงสต โทร. 0-2564-2859-60) e-mail address: [email protected] พมพทหางหนสวนจากด เอมแอนดเอมเลเซอรพรนต นายสมชาย ดาขา ผพมพผโฆษณา แบบปกโดยนายณรงคฤทธ สงหทอง ฉบบพมพครงท 1 เดอนกนยายน 2553 จานวน 300 เลม ฉบบพมพครงท 1 เดอนกรกฎาคม 2555 จานวน 200 เลม (พมพเพมครงท 1)
ราคาเลมละ 190.- บาท
ตวอยาง
สารบญ
คานา (7)
บทท 1 ความรพนฐาน
1
1.1 บทนยามและสญลกษณของเซต 1
1.2 พชคณตเบองตนของเซต 7
1.3 ความสมพนธสมมล 13
1.4 ฟงกชน 23
1.5 การดาเนนการทวภาค 36
บทท 2 สมบตของจานวนเตม
45
2.1 หลกการอปนยเชงคณตศาสตร 45
2.2 การหารลงตว 55
2.3 ขนตอนวธการหาร 59
2.4 ตวหารรวมมาก 62
2.5 ขนตอนวธแบบยคลด 76
2.6 ตวคณรวมนอย 82
2.7 จานวนเฉพาะ 87
2.8 คอนกรเอนซ 92
ตวอยาง
บทท 3 กรป 111
3.1 บทนยามและตวอยางของกรป 111
3.2 สมบตเบองตนของกรป 118
3.3 กรปวฏจกร 122
3.4 กรปยอยและทฤษฎบทลากรานจ 128
3.5 กรปยอยปรกตและกรปผลหาร 139
3.6 โฮโมมอรฟซมและไอโซมอรฟซม 146
3.7 กรปสมมาตร 159
บทท 4 รง
181
4.1 บทนยามและตวอยางของรง 181
4.2 สมบตเบองตนของรง 190
4.3 ไอดลและรงผลหาร 198
4.4 โฮโมมอรฟซมและไอโซมอรฟซม 205
4.5 รงพหนาม 217
บทท 5 ฟลด
225
5.1 บทนยามสมบตเบองตนของฟลด 225
5.2 ฟลดของผลหาร 231
5.3 การแยกตวประกอบของพหนามบนฟลด 237
บรรณานกรม 253
ดชน 255
ดชนสญลกษณ 270
(6)
ตวอยาง
คานา
หนงสอ พชคณตนามธรรมเบองตน เลมน ผเขยนรวบรวมขนเพอเปนการแนะนาพชคณตนามธรรม (Abstract Algebra) ซงเปนสาขาหนงของคณตศาสตร ซงเหมาะสาหรบนกศกษาทเรยนวชาเอกคณตศาสตร และคณตศาสตรประยกต รวมถงบคคลทวไปทมความสนใจและมพนฐานเบองตนเกยวกบทฤษฎจานวนและการพสจน
หนงสอเลมนประกอบดวย 5 บท ซงแตละบทจะเปนพนฐานในการศกษาในบทตอ ๆ ไป นอกจากน ผอานสามารถศกษาไดเขาใจมากยงขนถาไดทาแบบฝกหดตอนทายของแตละหวขอ และแบบฝกหดบางขอจะเปนพนฐานหรอแนวทางในการทาความเขาใจในหวขอตอ ๆ ไป
บทท 1 ประกอบดวยความรพนฐานเกยวกบเซต ความสมพนธสมมล ฟงกชน และการดาเนนการทวภาค ซงเปนสวนสาคญในการศกษาพชคณต
บทท 2 กลาวถงสมบตของจานวนเตมทนาสนใจ อนไดแก หลกการอปนยเชงคณตศาสตรขนตอนวธการหาร ตวหารรวมมาก ทฤษฎบทการแยกตวประกอบไดอยางเดยว และคอนกรเอนซ ซงจะนาไปใชประกอบการศกษาเรองกรปตอไป
บทท 3 ไดใหบทนยามและสมบตเบองตนของกรป รวมถงไดกาหนดนยามของกรปวฏจกร กรปยอย กรปยอยปรกตและกรปผลหาร และในหวขอท 3.6 ไดใหบทนยามและศกษาสมบตทสาคญของโฮโมมอรฟซมและไอโซมอรฟซมของกรปซงเปนความสมพนธระหวางกรป 2 กรป นอกจากน ยงมการพสจนทฤษฎบทลากรานจ และทฤษฎบทเคยเลย ซงถอวาเปนทฤษฎบททสาคญบทหนง สาหรบในหวขอท 3.7 เราไดใหบทนยามของการเรยงสบเปลยนและกรปสมมาตร ซงเปนตวอยางของกรปตวอยางหนงทนาสนใจ
ตวอยาง
บทท 4 ไดกลาวถงระบบคณตศาสตรทประกอบดวยเซต และการดาเนนการ 2 การดาเนนการทสอดคลองกบสมบตชดหนง นนคอเราไดใหบทนยามของรง และไดศกษาสมบตเบองตนของรง นอกจากน ยงไดศกษาเกยวกบไอดล รงผลหาร โฮโมมอรฟซมและไอโซมอรฟซมของรง และรงพหนาม อกดวย
บทท 5 ไดใหบทนยามของฟลด และศกษาสมบตเบองตนของฟลด ตลอดจนศกษาสมบตของฟลดของผลหาร และการแยกตวประกอบของพหนามบนฟลด
เนองจากหนงสอเลมนมเนอหาเกยวกบพชคณตนามธรรมเบองตนเทานน ดงนนเนอหาอาจจะไมครอบคลมเนอหาทงหมดของพชคณตนามธรรมทว ๆ ไป อยางไรกตาม ผเขยนหวงเปนอยางยงวาหนงสอเลมนจะเปนประโยชนแกนสต นกศกษา และผทสนใจ
สดทายน ผเขยนขอกราบขอบพระคณบดาและมารดาเปนอยางสง สาหรบความรกและกาลงใจตลอดมา ขอขอบคณอาจารยของผเขยนทกทานททาใหผเขยนรกและซาบซงในคณตศาสตร ซงผเขยนมอาจลมพระคณได
รองศาสตราจารย ดร. ปณศยา พฒนางกร
มถนายน 2553
(8)
ตวอยาง
บทท 1
ความรพนฐาน ( Basic Concepts )
ในบทนไดรวบรวมความรพนฐานเกยวกบเซต ความสมพนธ ฟงกชน และการดาเนนการทวภาค พอเปนสงเขป เพอเปนพนฐานในการศกษาเรองทเกยวของในบทตอไป
ลกษณนามทใชเรยกสงทเอามารวมกนมหลายคา เชน ชด ฝง กลม พวก หม โขลง คณะ เปนตน แตในทางคณตศาสตรนนเราใชคาวา “ เซต ” ซงเปนคาอนยาม ( undefined term ) แทนลกษณนามดงกลาว ดงบทนยามตอไปน
บทนยามและสญลกษณของเซต ( Definition and Notation of a Set ) 1.1
บทนยาม 1.1.1 เซต ( set ) เปนคาซงใชแทนกลมของสงตาง ๆ ทมคณลกษณะบางประการรวมกน และสงทประกอบกนเปนเซตเรยกวาสมาชกของเซต ( element of a set )
ตวอยาง
2 บทท 1 ความรพนฐาน
โดยทวไปนยมใชอกษรตวพมพใหญในภาษาองกฤษแทนเซต และใชอกษรตวพมพเลกในภาษาองกฤษแทนสมาชกของเซต ในหนงสอเลมนจะใชสญลกษณตาง ๆ ดงน
Z แทนเซตของจานวนเตม
+Z แทนเซตของจานวนเตมบวก −Z แทนเซตของจานวนเตมลบ แทนเซตของจานวนธรรมชาตหรอเซตของจานวนนบ แทนเซตของจานวนตรรกยะ + แทนเซตของจานวนตรรกยะบวก แทนเซตของจานวนจรง + แทนเซตของจานวนจรงบวก และ แทนเซตของจานวนเชงซอน
เพอความสะดวกในการเขยนบรรยายเซตจงมการกาหนดสญลกษณตาง ๆ ดงตอไปน สญลกษณ a = b หมายถง “ a และ b เปนสงเดยวกน ”
สญลกษณ a ≠ b หมายถง “ นเสธของ a = b ” สญลกษณ ∈ แทนคาวา “ เปนสมาชกของ ” และ สญลกษณ ∉ แทนคาวา “ ไมเปนสมาชกของ ” นนคอ ถา A เปนเซตใด ๆ แลวจะไดวา
สญลกษณ a ∈ A หมายถง a เปนสมาชกของเซต A และ สญลกษณ a ∉ A หมายถง a ไมเปนสมาชกของเซต A ตวอยางเชน ถาให A แทนเซตของจานวนเตมลบทมากกวา 4− แลวจะไดวา { 1, 2, 3}A = − − − ดงนน 1 A− ∈ ,
2 A− ∈ , 3 A− ∈ แต 4 A− ∉ เปนตน จะเหนวา เซตเปนคาแจมชด ( well-defined ) กลาวคอ ถา A เปนเซตและ a เปนสง ๆ หนงแลว a ∈ A หรอ a ∉ A อยางใดอยางหนงเทานน สาหรบการเขยนเซตนนโดยทวไปทนยมกนม 2 แบบดงน
1. การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชกของเซต ( Tabular form ) คอการเขยนสมาชกทก ตวลงในวงเลบปกกา “ { } ” และคนสมาชกแตละตวดวยเครองหมายจลภาค “ , ” ตวอยางเชน เซต { 1, 2, 15 } หรอถาให A เปนเซตของสระทงหมดในภาษาองกฤษ แลวจะเขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชกของเซตไดเปน { , , , , }A a e i o u= เปนตน
ตวอยาง
1.1 บทนยามและสญลกษณของเซต 3
สาหรบในกรณทเซตนน ๆ มจานวนสมาชกมากและเรยงลาดบอยางเปนระบบ สามารถเขยนสมาชกเพยง 2 – 3 ตวแรก แลวใชจด 3 จด “ … ” (เทานน) เพอเปนการละไวในฐานทเขาใจวาสมาชกทตามมาประกอบดวยอะไรบาง เชน เซต +Z = { 1, 2, 3, … } เปนตน
ในกรณททราบสมาชกตวสดทายของเซต สามารถเขยนสมาชกตวสดทายไวในเซตดวย เชน ถาให X แทนเซตของจานวนเตมบวกทนอยกวา 30 แลว X {1,2,3, ,29}= … ทาใหทราบวา
สมาชกทเวนไวคอ 4 ถง 28 เปนตน 2. การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของเซต ( set – builder form ) คอการเขยนคณสมบต
ของสมาชกลงไปเพอใหทราบวาสงใดเปนสมาชกของเซตนน หรอกลาวไดวาเปนการเขยนเซตโดยใชตวแปร ตามดวยเครองหมาย “ | ” แทนคาวา “ ซง ” หรอ “ โดยท ” แลวอธบายคณสมบตของตวแปรดงกลาว
เซตทเขยนคณสมบตของสมาชกลงไปนนจะใชสญลกษณแทนดวย { x | P(x) } เมอ x เปนสมาชกของเซตนน ๆ และอานวา “ เซตของสมาชก x ทงหมดททาให P(x) เปนจรง ” เชน ถา B เปนเซตของจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 แลวจะเขยนเซต B แบบบอกเงอนไขของเซตไดเปน
B = { x | x เปนจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 } = { 2x | x = 1, 2, 3, 4, 5 } สญลกษณ { x | P(x) } เรยกวา “ set – builder notation ” ตวอยางเชน
(1) ถา X แทนเซตของจานวนเตมทสอดคลองกบสมการ 2 6 7 0x x− − = แลวสามารถเขยน
เซต X ไดดงน แบบแจกแจงสมาชกของเซต : X { 1,7}= −
แบบบอกเงอนไขของเซต : X { |x x= ∈Z และ 2 6 7 0x x− − = }
(2) ถา Y แทนเซตของจานวนจรงทอยระหวาง 1− กบ 1 แลวไมสามารถเขยนเซต Y แบบแจกแจงสมาชกของเซตได แตสามารถเขยนเซต Y แบบบอกเงอนไขของเซตไดดงน
Y { |x x= ∈ และ 1 1}x− < <
พจารณาตวอยางขางตนทให B แทนเซตของจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 อก
ครงหนง จะเหนวา B = { 2, 4, 6, 8, 10 } ซงถาเราจะเขยนเซต B ใหมเปน B = { 4, 8, 10, 2, 6 }
ตวอยาง
4 บทท 1 ความรพนฐาน
หรอ B = { 6, 10, 8, 4, 2 } หรอ B = { 10, 8, 6, 4, 2 } การเขยนดงกลาวกยงสอความหมายเดยวกน เพราะกยงใหความหมายแกเราวาจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 มอะไรอยบางนนเอง สงเกตไดวาตาแหนงของสมาชกในเซตนนไมสาคญ จากเซต B ดงกลาวถาเราเขยนใหมเปน B = { 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10 } หรอ B = { 2, 2, 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 10, 10 } หรอ B = { 2, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 10, 10, 10, 10 } การเขยนดงกลาวกยงสอความหมายเดยวกน เพราะไมวาจะเขยน 2 ซากครงกตามกยงคงหมายถง 2 เปนจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 ทานองเดยวกบการเขยน 4, 6, 8 และ 10 ไมวาจะเขยนซากครงในเซตนกยงคงหมายถง 4, 6, 8 และ 10 เปนจานวนเตมคบวกทนอยกวาหรอเทากบ 10 ดงนนจงไดขอสงเกตวาสมาชกทซากนในเซตเดยวกนถอวาเปนเพยงตวเดยว
ตวอยางเชน
(1) ถา A = { 1, 2, 3, 5, 7 } และ B = { 2, 3, 5, 5, 7, 1 } แลว A = B
(2) ถา A = { x ∈Z | 2 3 2 0x x− + = } และ B = { x ∈Z | 0 3x< < } แลว A = B
(3) { x ∈ | 2 2x + < 0 } = ∅ (4) { x ∈Z | 2 1x = } = ∅
บทนยาม 1.1.2 เซต A เทากบเซต B ( A is equal to B ) กตอเมอ ทกสมาชกของ A เปน สมาชกของ B และทกสมาชกของ B เปนสมาชกของ A ( นนคอ A และ B มสมาชกเหมอนกน ) ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ
A = B ถาเซต A และเซต B มสมาชกบางตวแตกตางกน เรากลาววาเซต A ไมเทากบ
เซต B ( A is not equal to B ) ในกรณนเขยนแทนดวยสญลกษณ A ≠ B เซตทไมมสมาชกหรอจานวนสมาชกเทากบศนย เรยกวาเซตวาง ( empty set or null set or void set ) ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ { } หรอ ∅ และเรยกเซตทไมเปนเซตวางวาเซตไมวาง ( non – empty set )
ตวอยาง
1.1 บทนยามและสญลกษณของเซต 5
ตวอยางเชน ถา {0,1,2},A = { 10, 20, 30}B = − − − และ C { ,{ }}= ∅ ∅ แลวจะไดวา ~A B แตเซต A ไม
เทยบเทากบเซต C
หมายเหต เราเรยก B วาเซตยอยไมแท ( improper subset ) ของ B ตวอยางเชน
(1) ถา S = { 1, 2, 3 } แลวจะไดวา S มทงหมด 8 เซตยอย ดงน ∅ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} และ {1, 2, 3} (2) ถา A = { 10, 20, 30 } และ B = { 10, 20, 30, 40, 50 } แลว A ⊂ B
เพอความสะดวกเราจะใหทกเซตทกลาวถงเปนเซตยอยของเซตใหญเซตหนง ซงเรยกวา เอกภพสมพทธ ( relative universe or universal set ) และเขยนแทนเอกภพสมพทธดวย U
กลาวคอเอกภพสมพทธเปนเซตทกาหนดขน โดยมขอตกลงวาตอไปจะกลาวถงแตสมาชกของเซตนเทานน จะไมมการกลาวถงสงใดทไมเปนสมาชกของเซตน
บทนยาม 1.1.3 เซต A เทยบเทากบเซต B ( A is equivalence to B ) กตอเมอ สามารถจบค กนแบบหนงตอหนงทวถง ( one-to-one correspondence ) ระหวางสมาชกของเซต A และเซต B พอด ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ
~A B
บทนยาม 1.1.4 เซต A เรยกวาเปนเซตยอย ( subset ) ของเซต B กตอเมอ ทก ๆ สมาชกของ A เปนสมาชกของ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ
A ⊆ B หรอ B⊇ A ถา A ⊆ B และ A≠ B แลวเรยก A วาเปนเซตยอยแท ( proper subset ) ของ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ A⊂ B และถามสมาชกอยางนอยหนงตวของ A ทไมเปนสมาชกของ B เรากลาววา A ไมเปนเซตยอยของ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ
A ⊄ B
ตวอยาง
6 บทท 1 ความรพนฐาน
ตวอยางเชน กาหนดให K { |x= 22 1 0x x+ − = } จะไดวา
1{ , 1}2K = − เมอเอกภพสมพทธ U แทนเซตของจานวนตรรกยะ
K { 1}= − เมอเอกภพสมพทธ U แทนเซตของจานวนเตมลบ
K =∅ เมอเอกภพสมพทธ U แทนเซตของจานวนเตมบวก
และ 1{ }2K = เมอเอกภพสมพทธ U แทนเซตของจานวนจรงบวก เปนตน
ทฤษฎบทตอไปนเปนผลทไดจากบทนยามทเกยวกบเซตดงทไดกลาวไปแลว
จะเหนไดวา เซตบางเซตสามารถนบจานวนสมาชกของเซตได แตบางเซตกไมสามารถนบจานวนสมาชกของเซตได ตวอยางเชน เซต M = { |x∈Z 0 9}x≤ ≤ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}= ม
สมาชกทงหมด 10 ตว ในขณะทเซต { |N x= ∈ 0 9}x≤ ≤ ไมสามารถบอกไดวาสมาชกของเซต
N มอะไรบางและมจานวนสมาชกเทาไร
ทฤษฎบท 1.1.1 กาหนดให A, B และ C เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U จะไดวา (1) A ⊆ A, ∅ ⊆ A และ A ⊆ U (2) A ⊆ ∅ กตอเมอ A = ∅ (3) { }x ⊆ A กตอเมอ x ∈ A (4) ถา A ⊆ B และ B ⊆ C แลว A ⊆ C (5) ถา A = B กตอเมอ A ⊆ B และ B ⊆ A
บทนยาม 1.1.5 เซตจากด ( finite set ) คอเซตทมจานวนสมาชกเทากบจานวนนบจานวนหนง นนคอเซต A เปนเซตจากด กตอเมอ
A 1 2{ , , , }ka a a= …
โดยท k∈ และจานวนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวยสญลกษณ ( )n A นอกจากน เราเรยกเซตวางวาเซตจากด และเรยกเซตทไมใชเซตจากดวาเซตอนนต ( infinite set )
ตวอยาง
1.2 พชคณตเบองตนของเซต 7
ตวอยางเชน (1) { |A x x += ∈Z และ 5 1 10}x + > เปนเซตอนนต
(2) { |B x x= ∈ และ 5 1 10}x + = =∅ เปนเซตจากด
(3) { |C x x= ∈ และ 20 5 1 10}x> + > เปนเซตอนนต
(4) { |D x x= ∈Z และ 20 5 1 10}x> + > เปนเซตจากด
แบบฝกหดทายหวขอ 1.1
1. จงเขยนสมาชกทงหมดของเซตตอไปน
1.1 { x ∈ | 2x = 3 }
1.2 { m ∈ Z | 2m = 3 } 1.3 { m ∈ Z | mn = 60 สาหรบบาง n ∈Z }
1.4 { m ∈ Z | 2m m− < 115 } 1.5 { x ∈ +Z | 1 < x < 8 }
1.6 { x ∈ Z | 22 6x x+ − = 0 } 2. จงพสจนทฤษฎบท 1.1.1
3. จงพสจนวาทกเซตยอยของเซตจากดเปนเซตจากด
4. จงพสจนวาทกเซตทมเซตยอยเปนเซตอนนตจะเปนเซตอนนต
5. ให A เปนเซตจากดทมสมาชก n ตว จงพสจนวาเซตยอยของ A มอยทงหมด 2n เซตยอย
ในหวขอนจะกลาวถงพชคณตของเซตหรอการดาเนนการระหวางเซต ( operation on sets ) ถา A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U แลวการดาเนนการระหวางเซต A และ B ซง
พชคณตเบองตนของเซต ( Elementary Algebra of Sets ) 1.2
ตวอยาง
8 บทท 1 ความรพนฐาน
ประกอบดวย การดาเนนการยเนยน อนเตอรเซกชน ผลตาง และสวนเตมเตม นน ผลลพธทไดจะเปนเซตใหมทสรางขนจากเซต A และ B ทกาหนดใหดงกลาว ซงจะนยามดงน
ตวอยางเชน กาหนดให A = {2, 4, 6} และ B = {1, 2, 5, 7} เมอเอกภพสมพทธ U = {1, 2, 3, …, 10} จะไดวา A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 7} A ∩ B = { 2 } A − B = { 4, 6 } B − A = { 1, 5, 7 } U − A = A′ = { 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10 }
B′ = { 3, 4, 6, 8, 9, 10 } และ (A − B) ∩ ( B − A) = ∅
บทนยาม 1.2.1 ยเนยน ( union ) ของเซต A และเซต B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ A ∪ B คอเซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของเซต A หรอเปนสมาชกของ
เซต B นนคอ A ∪ B = { x | x ∈ A หรอ x ∈ B }
อนเตอรเซกชน ( intersection ) ของเซต A และเซต B ซงเขยนแทนดวย สญลกษณ A ∩ B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทอยทงในเซต A และเซต
B นนคอ A ∩ B = { x | x ∈ A และ x ∈ B }
ผลตาง ( difference ) ของเซต A และเซต B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ A – B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทอยในเซต A แตไมอยในเซต B นน
คอ A – B = { x | x ∈ A และ x ∉ B }
เรยกผลตาง U − A วาสวนเตมเตม ( complement ) ของเซต A และเขยนแทนดวยสญลกษณ
A′ หรอ cA ถา A ∩ B = φ แลวเซต A และเซต B เรยกวาเปนเซตไมมสวนรวม
( disjoint set ) ตวอยาง
1.2 พชคณตเบองตนของเซต 9
สญลกษณ ยเนยน และอนเตอรเซกชนของเซตจานวน n เซตคอ 1 2, , , nA A A… เขยนแทนดวย
สญลกษณ 1
n
iiA
=∪ และ
1
n
iiA
=∩ ตามลาดบ นนคอ
1
n
iiA
=∪ = 1 2 nA A A∪ ∪ ∪
และ 1
n
iiA
=∩ = 1 2 nA A A∩ ∩ ∩
จากบทนยามของยเนยน และอนเตอรเซกชน จะไดทฤษฎบทตอไปน
การพสจน
เราจะพสจนขอ (4) ทวา A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ( สาหรบขอทเหลอจะเวนไวเปนแบบฝกหด )
สมมตให x ∈ A ∪ (B ∩ C) ดงนน x ∈ A หรอ x ∈ B ∩ C
กรณท 1 ถา x ∈ A แลว x ∈ A ∪ B และ x ∈ A ∪ C
นนคอ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
กรณท 2 ถา x ∈ B ∩ C แลว x ∈ B และ x ∈C
จาก x ∈B จะได x ∈ A ∪ B และ
จาก x ∈C จะได x ∈ A ∪ C
ดงนน x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
ทฤษฎบท 1.2.1 กาหนดให A, B, C และ D เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U จะไดวา (1) A ∪ A = A = A ∩ A (2) A ∪ B = B ∪ A และ A ∩ B = B ∩ A (3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C และ
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (4) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) และ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (5) A ∪ ∅ = A และ A ∩ ∅ = ∅ (6) A ∪U = U และ A ∩U = A (7) A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B (8) ถา A ⊆ C และ B ⊆ D แลว A ∪ B ⊆ C ∪ D
และ A ∩ B ⊆ C ∩ D ตวอยาง
10 บทท 1 ความรพนฐาน
จากทงสองกรณ จะไดวา x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) นนคอ A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ในทางกลบกน สมมตให x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ดงนน x ∈ A ∪ B และ x ∈ A ∪ C
จาก x ∈ A ∪ B จะได x ∈ A หรอ x ∈B และ
จาก x ∈ A ∪ C จะได x ∈ A หรอ x ∈C ดงนน x ∈ A หรอ x ∈ B ∩ C นนคอ x ∈ A ∪ (B ∩ C) เพราะฉะนน (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) สรปไดวา A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
ตวอยางเชน กาหนดให {2,4,6,8}A = และ {0,2,4,6,8,10}B = จะไดวา A ⊆ B นอกจากนยงไดอกวา
A ∩ B {2,4,6,8} A= = และ A ∪ B {0,2,4,6,8,10} B= =
ทฤษฎบทตอไปนสามารถพสจนไดโดยอาศยบทนยามของยเนยน อนเตอรเซกชน และสวนเตมเตม
ทฤษฎบท 1.2.2 กาหนดให A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U จะไดวาขอความ ตอไปนสมมลกน
(1) A ⊆ B (2) A = A ∩ B (3) B = A ∪ B
ทฤษฎบท 1.2.3 กาหนดให A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U จะไดวา (1) A = (A ∩ B) ∪ (A − B)
(2) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ (3) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ (4) ถา A ⊆ B แลว B′ ⊆ A′ (5) (A′)′ = A, ∅ ′ = U และ U ′ = ∅
(6) A ∪ A′ = U และ A ∩ A′ = ∅
ตวอยาง
ตวอยาง