el descubrimiento del calculo

EL DESCUBRIMIENTODEL CALCULO

1 Introduccion.

Isaac Newton (1642-1727) en 1664-1666 y G. W. Leibniz (1646-1716) en 1675descubrieron independientemente el calculo diferencial e integral. Sus enfoquesy conceptos son distintos, pero llegan basicamente a los mismos resultados, lle-gando a un calculo tambien algo distinto del que usamos ahora. Hasta entonces,en el periodo 1615-1660, se habıa usado el calculo infinitesimal por matematicosde gran talla como Kepler, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Fermat, Wallis, Gregory,Barrow, etc. Pero los metodos para hallar cuadraturas, y tangentes a curvas oproblemas relacionados eran como una especie de matematica artesanal dondecada ejemplo resolvıa un problema concreto, bien adaptado a la forma particularde cada objeto en cuestion. El gran merito de lo que llamamos calculo diferen-cial e integral es el de ser un algoritmo general que vale para todas expresionesanalıticas a la vez y que se basa en que los procesos de calculo de tangentes(derivacion) y cuadraturas (integracion) son procesos inversos el uno del otro.

Isaac Newton (1642-1727) nacio el 25 de Diciembre de 1642 segun el calen-dario Juliano, todavıa usado por entonces en Inglaterra, o el 4 de Enero de 1643con respecto a nuestro calendario Gregoriano. Fue profesor de matematicas enCambridge y luego jefe de la casa de la moneda en Londres. Sus principales ideasfueron desarrolladas en 1664-1666 cuando estaba recluido en su casa natal de laaldea de Woolsthorpe, ya que el Trinity College de Cambridge, donde Newtonera estudiante, estuvo cerrado por la epidemia de la peste. Alli desarrollo susideas de la gravitacion universal, de la teorıa de los colores y sobre la serie delbinomio y el calculo de fluxiones.

De naturaleza entonces tımida era reacio a publicar sus resultados, para asievitar las posibles crıticas y controversias de sus contemporaneos. En Octubrede 1666 escribio un tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi, un tratadosobre series infinitas que circulo en forma de manuscrito entre los miembros de laRoyal Society. Hay otro tratado sobre fluxiones y series infinitas de 1671 y otrosobre la cuadratura de curvas de 1693. Sin embargo estos fueron publicadoshasta bien tarde y algunos solo lo fueron despues de su muerte. De analysifue publicado en 1711 y el tratado sobre cuadratura de curvas, De Quadratura

1

2 EL DESCUBRIMIENTO DEL CALCULO

Curvarum de 1693 aparecio como un apendice de su Opticks en 1704. Su obramas famosa, donde expone su teorıa de la gravitacion universal, los Principia,fue publicada en 1687, pero sus argumentos son muy geometricos y solo danuna idea de sus metodos del calculo infinitesimal.

De entre el trabajo matematico de Newton, profundo y poderoso, se puedendistinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de po-tencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raıces deecuaciones y de inversion de series, relacion inversa entre diferenciacion e inte-gracion y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en eltiempo. Newton estuvo muy interesado tambien en optica, dinamica, alquimia,cronologıa de la historia y en la interpretacion de las sagradas escrituras.

Gotfried Wilhem Leibniz (1646-1716) era hijo del vice-presidente de la facul-tad de filosofıa de la universidad de Leipzig. De joven, estudio filosofıa, derechoy lenguas clasicas. Su principal interes estuvo centrado en desarrollar una es-pecie de lenguaje simbolico para representar los conceptos fundamentales delpensamiento humano y las maneras de combinar estos sımbolos para llegar aconceptos mas elaborados. Esta idea filosofica, que tiene relacion con la combi-natoria, fue ya algo en parte elaborada por franciscano mallorquın Ramon Llull(1235-1316) en su Arte Luliano.

Poco despues de acabar sus estudios, Leibniz empezo en 1672 una misiondiplomatica en Paris donde permanecerıa unos cuatro anos hasta 1676. Allıconocio a numerosos filosofos y miembros de la alta sociedad, en particularal holandes C. Huygens (1629-1695), entonces miembro de la recien creadaAcademie Royale des Sciences. Como curiosidad Huygens le planteo a Leib-niz que hallara la suma de los inversos de los numeros triangulares. Mediantesumas y diferencias Leibniz fue capaz de hallar la suma de esta serie y entoncescrecio su interes en estudiar matematicas, cuya formacion hasta entonces habıasido muy escasa. Huygens le recomendo que leyera la renovada edicion en latınde van Schooten de la Geometrie de Descartes y los trabajos de Pascal. Laentrada matematica de Leibniz fue entonces impresionante, ya que le llevo aldescubrimiento del calculo en 1675 y su elaboracion y publicacion en dos cortosartıculos del Acta Eruditorum despues en 1684 y 1686, el primero sobre calculodiferencial y el segundo sobre calculo integral.

El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artıculosque publico en Acta y por sus cartas personales y manuscritos que se conservanen Hannover. Entre estos documentos estan los manuscritos fechados el 25, 26y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia lacuadratura de curvas y desarrolla su calculo diferencial e integral.

Uno de los ingredientes fundamentales del calculo de Leibniz son las reglaspara la manipulacion de los sımbolos “

∫” y “d” de la integral y la diferencial.

Esto refleja sus ideas filosoficas de buscar un lenguaje simbolico y operacionalpara representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que losrazonamientos y argumentos se puedan escribir por sımbolos y formulas. Enmatematicas su calculo es en parte esto, un algoritmo para escribir los metodosgeometricos de cuadraturas y tangentes por medio de sımbolos y formulas. Lasotras dos ideas fundamentales del calculo de Leibniz son la relacion entre la

1. INTRODUCCION. 3

sumas de sucesiones con las diferencias de sus terminos consecutivos y el llamadotriangulo caracterıstico.

Leibniz paso la mayor parte del resto de su vida en Alemania, como consejerodel duque de Hannover. Aparte de la invencion y del desarrollo de su calculo yen la solucion de problemas geometricos y de ecuaciones diferenciales, Leibniztiene otros trabajos en solvabilidad de ecuaciones y determinantes y escribio ycontribuyo enormemente en practicamente todos los campos del conocimientohumano, religion, polıtica, historia, fısica, mecanica, tecnologıa, logica, geologıa,linguıstica e historia natural.

Aunque oscuros y difıciles de leer, los dos artıculos de Acta de Leibniz de1684 y 1686 fueron leidos por los hermanos Jakob y Johann Bernoulli. JakobBernoulli era profesor de matematicas en Basilea y su hermano Johann, unostrece anos mas joven, le sucedio despues en 1705. Ambos entendieron notable-mente el simbolismo y los conceptos de Leibniz y publicaron varios artıculos enActa a partir de 1690. Despues iniciaron una intensa y productiva correspon-dencia con Leibniz, resolviendo en unos pocos anos numerosos problemas enlos que el nuevo calculo demostro toda su fuerza, tales como el la isocrona, lacatenaria, la tractriz, la isocrona paracentrica o la braquistocrona.

Jakob Bernoulli lanzo el desafıo, en 1690,

de hallar la curva que formarıa una cadena suspendida por sus dos extremos. Galileo, en

1638, ya habıa concluido erroneamente que la curva era un arco de circunferencia. Arriba

aparece el grabado original de la publicacion de Leibniz de Junio de 1691. Encontrar esta

curva, la catenaria, fue uno de los primeros grandes exitos del nuevo calculo.


2 Isaac Newton (1642-1727).

2.1 La serie del binomio.

La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Apareceexpuesta en dos cartas, la Epistola prior de Junio de 1676 y la Epistola posteriorde Octubre de 1676, que mando al secretario de la Royal Society of London,Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz.

Newton observa que el entonces conocido desarrollo

(a + x)n = an +n

1an−1x +

n(n− 1)1 · 2

an−2x2 + · · ·+ xn

se puede generalizar para exponentes fraccionarios α = pq como una suma in-

finita

(a + x)α = aα +α

1aα−1x +

α(α− 1)1 · 2

aα−2x2 + · · ·

Newton hallo este resultado cuando estaba intentando estudiar la cuadratura delcırculo y = (1−x2)1/2. Comparo las formulas para y = (1−x2)0, y = (1−x2)1/2,y = (1 − x2)2/2, y = (1 − x2)3/2, y = (1 − x2)4/2, . . .. De la primera, tercera,quinta, etc. se pueden hallar sus cuadraturas entre 0 y x ya que son sumas decuadraturas de terminos en xn ya conocidas. De esta forma la

2. ISAAC NEWTON (1642-1727). 5

cuadratura de y = (1− x2)0 es x

cuadratura de y = (1− x2)2/2 es x− 13x3

cuadratura de y = (1− x2)4/2 es x− 23x3 + 1

5x5


5x5 − 17x7


5x5 − 47x7 + 1

9x9

etc.

Examinando los coeficientes de estas expresiones, Newton observa que losdenominadores que aparecen son los impares 1, 3, 5, 7, . . ., mientras que los nu-meradores son sucesivamente {1}, {1, 1}, {1, 2, 1}, {1, 3, 3, 1}, {1, 4, 6, 4, 1}, etc.que son los numeros combinatorios que aparecen en el triangulo aritmetico dePascal, cuya fila n esta formada por

1, n,n(n− 1)

1 · 2,n(n− 1)(n− 2)

1 · 2 · 3, . . .

Por analogıa, supone que las mismas expresiones deben de ser validas paraexponentes fraccionarios, esto es, que para n que sea n = p

q , los numeradoressigan la sucesion anterior (ahora infinita) poniendo este valor de n. Por ejemplopara n = 1

2 , la cuadratura de y = (1− x2)1/2 serıa

x−12

3x3 −

18

5x5 −

116

7x7 −

5128

9x9 − · · ·

ya que(1/20

)= 1

(1/21

)=

12

(1/22

)=

1/2(1/2− 1)2

=−18(

1/23

)=

1/2(1/2− 1)(1/2− 2)6

=116

, ...

De donde deduce que, para que aparezca esta cuadratura integrando termino atermino, y = (1− x2)1/2 debe de tener el desarrollo infinito

(1− x2)1/2 = 1− 12x2 − 1

8x4 − 1

16x6 − 5

128x8 − · · ·

Para asegurarse de que esta analogıa da resultados correctos, Newton suponeque estas series infinitas se comportan como polinomios con un numero infinitode terminos y a los que se les puede aplicar las reglas aritmeticas usuales desuma, producto, division, extraccion de raıces, etc. Comprueba por ejemplo que


la anterior suma infinita del desarrollo de (1−x2)1/2 multiplicada por si misma,da despues de simplificar efectivamente 1 − x. De manera analoga compruebatambien por un algoritmo aritmetico de extraccion de raıces cuadradas, queaplicado a 1− x le da formalmente el mismo resultado.

La misma formula del binomio vale tambien para exponentes negativos. Asipor ejemplo

(1+x)−1 = 1+(−1)x+(−1)(−2)

1 · 2+

(−1)(−2)(−3)1 · 2 · 3

+ · · · = 1−x+x2−x3 + · · ·

Expresion que Newton comprueba tambien al aplicar el algoritmo de la divisionde polinomios a 1

1 + x .El uso de estas series infinitas da dos ventajas importantes. Por un lado

permite extender muchos algoritmos del calculo, tales como cuadraturas, deuna manera sistematica a todo tipo de curvas, incluso tracendentes, simplementeintegrando termino a termino. Por otro lado simplifica y aproxima las formulassi no se tienen en cuenta terminos de orden superior.

Por ejemplo Newton observa que

√7 =

√9(

1− 29

)= 3

(1− 2

9

) 12

=

= 3(

1− 19− 1

162− 1

1458− 5

52488− 7

472392− · · ·

)' 2.64576

y obteniene una gran precision con solo unos pocos terminos.Tambien, utilizando el desarrollo

11 + x

= (1 + x)−1 = 1− x + x2 − x3 + · · ·

e integrando termino a termino Newton encuentra de esta manera tan sencilla laserie de Mercator de log(1+x), esto es, la cuadratura de la hiperbola. Utilizandoesta serie y las propiedades del logaritmo Newton se recrea y va calculandodespues los logaritmos de 1 ± 0.1, 1 ± 0.2, de 2 = 1.2×1.2

0.8×0.9 , etc. con hasta unos50 decimales.

2.2 De Analysi.

Esta monografıa circular de 1669 que mando Newton a sus amigos y que fuepublicado mucho despues en latın en 1711 contiene ya las ideas esenciales delcalculo de Newton. Empieza dando unas reglas para calcular cuadraturas, cuyaprimera dice asi:

REGULA I. Si axmn = y; Erit

an

m + nx

m+nn = Areae ABD.

2. ISAAC NEWTON (1642-1727). 7

De Analysi, traduccion inglesa (1745).

Mas tarde en este mismo tratado da un procedimiento para hallar la orde-nada de una curva cuya cuadratura ABD esta dada. El proceso es interesanteya que es de alguna forma el comienzo del calculo diferencial e integral y dondese ve el papel inverso que juegan la diferenciacion y la integracion. Lo explicacon un ejemplo, aunque es claramente generalizable.

De acuerdo con la figura sean z =area(ABD), y = BD, x = AB, Bβ = o.Elijamos ahora v = BK de tal manera que area (BDδβ) = area( BKHβ) = ov.

Consideremos por ejemplo la curva para la cual

z =23x

32

para facilitar los calculos, elevamos al cuadrado la realcion anterior para obtenerz2 = 4

9x3. Por la eleccion que hemos hecho de v tambien se tiene

(z + ov)2 =49(x + o)3


esto esz2 + 2zov + o2v2 =

49(x3 + 3x2o + 3xo2 + o3)

Simplificando z2 = 49x3 en cada lado de esta expresion y dividiendo por o queda

2zv + ov2 =49(3x2 + 3xo + o2)

Newton toma ahora Bβ infinitamente pequeno. De la figura se observa entoncesque v = y y que los terminos que contienen o se anulan, de donde

2zy =43x2

Sustituyendo ahora el valor de z, resulta finalmente y = x1/2.

Newton introduce despues un metodo iterativo para resolver ecuaciones queahora lleva su nombre. Pone como ejemplo el resolver la ecuacion

y3 − 2y − 5 = 0

Observa primero que y = 2 es una aproximacion de la solucion. Escribe luegoy = 2 + p y lo sustituye en la ecuacion para encontrar

p3 + 6p2 + 10p− 1 = 0

Como p es pequeno, elimina los terminos p3, 6p2, para obtener 10p− 1 = 0, dedonde p = 0.1. De este modo y = 2.1 es la segunda aproximacion de la raızbuscada.

Toma ahora p = 0.1 + q, que sustituıdo en la ecuacion para p da

q3 + 6.3q2 + 11.23q + 0.061 = 0

Tomando otra vez su parte lineal 11.23q + 0.061 = 0, obtiene q = −0.0054, loque da el nuevo valor aproximado de la solucion y = 2.0946. Newton da unpaso mas en este ejemplo escribiendo −0.0054 + r = q, y despues sustituir enla ecuacion para q y seguir el mismo proceso llega de este modo a la nuevaaproximacion y = 2.09455147.

Newton aplica luego este metodo para resolver ecuaciones f(x, y) = 0 masgenerales. Toma como ejemplo

y3 + a2y + axy − 2a3 − x3 = 0

y observa que si x = 0, entonces y = a es la solucion. Esta es la primeraaproximacion. Escribe como antes a + p = y, que sustituıdo en la ecuacion dala cubica en p

p3 + 3ap2 + (4a2 + ax)p + a2x− x3 = 0

2. ISAAC NEWTON (1642-1727). 9

cuya parte lineal es (4a2 + ax)p + a2x− x3 = 0, de solucion

p =−a2x + x3

4a2 + ax= −x

4+ · · ·

De donde toma y = a − x4 como la segunda aproximacion. Escribe ahora q =

−x4 + p, etc., y continuando de esta forma va obteniendo la serie

y = a− x

4+

x2

64a+

131x3

512a2+

509x4

16384a3+ · · ·

Mas adelante utiliza un proceso parecido para invertir series. Considera elejemplo de tomar como z el area debajo de la hiperbola y = 1

1+x , esto es

z = x− 12x2 +

13x3 − 1

4x4 +

15x5 + · · ·

Para invertir esta serie, toma primero sus cinco primeros terminos, esto esla ecuacion

15x5 − 1

4x4 +

13x3 − 1

2x2 + x− z = 0

la va resolviendo y considerando mas terminos de la serie a invertir. De estaforma va obteniendo

x = z +12z2 +

16z3 +

124

z4 +1

120z5 + · · ·

que es la serie de la funcion exponencial ez. Aunque sin utilizar el numero e,esta es la primera vez que aparece esta serie en matematicas.

A partir de su binomio, Newton encuentra tambien series trigonometricas.Si consideramos la circunferencia de radio 1, de acuerdo con la figura

es x = AQ = sin θ, θ = arcsinx, de manera que

θ = 2 · area(OQR) = 2 · [area(ORQB)− area(OQB)] =

= 2[∫ x

0

√1− x2 dx− 1

2x√

1− x2]


Por el desarrollo del binomio√

1− x2 = 1 − x2

2 − x4

8 − x6

16 − · · ·, de dondeintegrando termino a termino∫ x

0

√1− x2 dx = x− 1

6x3 − 1

40x5 − 1

112x7 − · · ·

mientra que

x√

1− x2 = x(1− x2

2− x4

8− x16

16− · · ·)

sustituyendo y despues de simplificar queda

θ = x +16x3 +

340

x5 +5

112x7 + · · ·

Inviertiendo ahora la serie Newton obtiene

x = sin θ = θ − 16θ3 +

1120

θ5 − 15040

θ7 + · · ·

Encuentra luego la serie de cos θ como cos θ =√

1− sin2 θ y calcula las cuadrat-uras de la cicloide y luego de la cuadratriz, de ecuacion x = y cot y primeroinvirtiendo esta ecuacion para encontrar la serie de y = y(x) y luego integrandotermino a termino.

2.3 El metodo de Fluxiones.

Newton da luego otra version de su calculo en “Methodus Fluxiorum et SerierumInfinitorum” que fue escrito en 1671 y publicado en 1736. Wallis, con permisode Newton, incluyo el metodo de fluxiones en la paginas 390–396 de su Algebra.

Newton concibe las cantidades matematicas como el movimiento continuode un punto que traza una curva. Cada una de estas cantidades variables queaparecen x, y, . . ., son “fluentes” y sus velocidades, designadas por x, y, . . .son sus “fluxiones”. La parte infinitesimal pequena en la que un fluente seincrementa por unidad infinitesimal de tiempo o, es xo, el momento del fluente.

El problema fundamental es, dada una relacion entre fluentes hallar la relacionentre sus fluxiones, y recıprocamente, dada una relacion entre fluxiones hallarla correspondiente relacion entre fluentes.

La relacion entre fluxiones a partir de los fluentes es facil de hallar, ya quesi la relacion entre fluentes es, digamos, y = f(x), en un pequeno intervaloo de tiempo x se incrementa a x + ox, y se incrementa a y + oy, y al sery + oy = f(x + ox) sera

y =f(x + ox)− f(x)

o

2. ISAAC NEWTON (1642-1727). 11

Al ser o infinitamente pequeno se cancelan los terminos que contienen o y aparecela relacion entre fluxiones buscada. Por ejemplo para y = x3 obtenemos

y =(x + ox)3 − x3

o=

3x2xo− 3xx2o2 + o3

o= 3x2x + 3xx2o + o2

Luego elimina los terminos que contienen o ya que “se le supone infinita-mente pequeno” , quedando

y = 3x2x

y por tanto, la relacion entre fluxiones es

y

x= 3x2

La misma tecnica funciona cuando y(x) es un polinomio en x. En los demascasos utiliza su binomio, por ejemplo para y =

√1 + x

y =

√1 + (x + xo)−

√1 + x

o

desarrollando por el binomio√

1 + x = 1− x2 −

x2

8 −· · ·, despues de sustituir,

simplificar y dividir por o aparece yx como una serie infinita.

Aplica tambien su metodo al caso de tener dada una curva en la formaf(x, y) = 0. Da de hecho el caso de la cubica

x3 − ax2 + axy − y3 = 0

Para hallar la relacion entre fluxiones, sustituye x por x+ xo e y por y + yo.Resulta

(x + xo)3 − a(x + xo)2 + a(x + xo)(y + yo)− (y + yo)3 = 0

Despues de operar y simplificar restando la relacion x3−ax2 +axy−y3 = 0,cancela los terminos con o2 y o3 por ser despreciables frente a o, y divide ahorapor o para obtener

3x2x− 2axx + ayx + axy − 3y2y = 0

de donde obtiene la relacion de fluxiones

y

x=

3x2 − 2ax + ay

3y2 − ax

Newton es consciente de las dificultades de rigor que tienen estos conceptos yposteriormente refina su interpretacion en “De Quadratura Curvarum” , escritoen 1676 y publicado en 1704. Aquı habla de “ultimas proporciones” (“ultimateratios” ). Dice: “Por ultima proporcion de cantidades evanescentes debemos en-tender el cociente de estas cantidades, no antes de que desvanezcan, ni despues,pero tal como van desvaneciendo.”


Intuitivamente, esto viene a ser nuestro concepto de derivada interpretadacomo lımite

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

El proceso inverso, esto es, de hallar la relacion entre fluentes a partir de susfluxiones, o resolver ecuaciones diferenciales, es mas complicado y no siemprefunciona. Newton da como primer ejemplo

3x2x− 2axx + ayx + axy − 3y2y = 0

que es el recıproco del caso anterior, donde obtiene x3 − ax2 + axy − y3 = 0invirtiendo el proceso. Luego da ejemplos mas complicados.

2.4 Calculo de Newton del numero π

Aparece en su “Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum”, de 1671. Newtonconsidera la circunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2

(x− 12)2 + y2 =

14

Despejando y en funcion de x de la ecuacion de la circunferencia y usandoel desarrollo del binomio

y = x1/2(1− x)1/2 = x1/2

[1− x

2− x2

8− x3

16− 5

128x4 − 7

256x5 − · · ·

]=

= x1/2 − 12x3/2 − 1

8x5/2 − 1

16x7/2 − 5

128x9/2 − 7

256x11/2 − · · ·

Calcula entonces el area debajo de la curva integrando termino a termino

A(x) =23x3/2 − 1

5x5/2 − 1

28x7/2 − 1

72x9/2 − 5

704x11/2 − · · ·

Luego para x = 1/4, el area de la region ADB es igual a

area (ADB) =112

− 1160

− 13584

− 136864

− 51441792

− · · · = 0.0767737208 . . .

2. ISAAC NEWTON (1642-1727). 13

Calcula luego la misma area por geometrıa, ya que

area (ADB) = area (sector ACD)− area (triangulo DBC)

Para evaluar esta ultima relacion calcula primero

BD =

√(12

)2

−(

14

)2

=√

34

Luego se observa de los lados del triangulo BCD que el angulo en C es de 60o.De donde

area (sector ACD) =13

area (semicircunferencia) =13

(12π

(12

)2)

=π

24

Mientras que

area (triangulo DBC) =12BC ×BD =

12

(14

)(√3

4

)=√

332

Por tanto

area (ADB) =π

24−√

332

Igualando los dos valores encontrados anteriormente para esta area resulta

π

24−√

332

= 0.0767737208 . . .

y por consiguiente

π ≡ 24

(0.0767737 +

√3

32

)= 3.141607404 . . .

valor que aquı hemos calculado sumando solo cinco terminos de la serie, siendocorrecto hasta cuatro decimales (el error es 1.47× 10−5). Newton de hecho usa20 terminos del binomio para llegar a calcular π con 16 decimales correctos.

Luego dice “I am ashamed to tell you how many figures I carried thesecalculations, having no other business at the time” (Me averguenzo de decirlecuantas cifras he calculado, no teniendo nada mas que hacer en aquel momento).A pesar de sus afirmaciones, este es un nuevo paso de gigante en el calculo delnumero π.


3 W.G. Leibniz (1646-1716).

3.1 Sumas y diferencias.

Cuando a sus 26 anos conocio en 1672 a Huygens en Paris, este le planteo elproblema de sumar los inversos de los numeros triangulares

11

+13

+16

+110

+115

+ · · ·+ 2n(n + 1)

+ · · ·

Leibniz observo que cada termino se puede descomponer como

2n(n + 1)

= 2(

1n− 1

n + 1

)de donde

11

+13

+16

+110

+115

+ · · · = 2(

1− 12

)+ 2

(12− 1

3

)+ 2

(13− 1

4

)+ · · · = 2

Leibniz, tal como hizo en la suma de la serie de los inversos de los numerostriangulares, consideraba sumas y diferencias de sucesiones de numeros. Ob-servo por ejemplo que dada la sucesion a0, a1, a2, · · · , an , si consideramos lasucesion de diferencias d1, d2, · · · , dn , donde di = ai − ai−1 . Entonces

d1 + d2 + · · ·+ dn = (a1 − a0) + (a2 − a1) + · · ·+ (an − an−1) = an − a0

es decir, la suma de diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre elultimo y el primer termino de la sucesion original.

3. W.G. LEIBNIZ (1646-1716). 15

Por ejemplo, dada la sucesion de cuadrados

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, · · · , n2

sus primeras diferencias son

1, 3, 5, 7, 9, 11, · · · , 2n− 1

ya que i2 − (i − 1)2 = 2i − 1. Luego se sigue que la suma de los n primerosnumeros impares es n2

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2

Leibniz utiliza este metodo en otros casos. Por ejemplo en relacion a la seriegeometrica

1, q, q2, . . . , qn, . . .

obtiene∞∑

n=0

qn =1

1− q

3.2 El calculo de Leibniz.

Leibniz no tardo en aplicar a la geometrıa sus observaciones de que las sumas desucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos inversos el uno del otro.Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesion deordenadas equidistantes y1, y2, y3, . . . , yn

Si suponemos que la distancia entre estas ordenadas es 1, entonces su sumay1+y2+y3+ · · ·+yn es una aproximacion de la cuadratura de la curva, mientrasque la diferencia entre dos sucesivas y′is da aproximadamente la pendiente de sutangente. Ademas, cuanto mas pequena sea la unidad 1 elegida, mejor sera laaproximacion. Si la unidad se pudiera elegir infinitamente pequena, entonces lasaproximaciones serıan exactas, la cuadratura serıa igual a la suma de ordenadasy la pendiente de la tangente serıa igual a la diferencia de ordenadas. De estaforma y por su analogıa con las sucesiones numericas, Leibniz observa que ladeterminacion de cuadraturas y el calculo de tangentes son operaciones inversasla una de la otra.

Leibniz considera una curva como una poligonal de infinitos lados donde dyes la diferencia infinitesimal de dos ordenadas consecutivas, dx la diferencia de


dos abscisas consecutivas e∫

ydx representa la suma de los pequenos rectangulosinfinitesimales ydx.

De esta forma el teorema fundamental del calculo aparece como obvio. Estoes, para hallar el area debajo de una curva con ordenadas y, debemos hallaruna curva de ordenadas z de tal manera que dz

dx = y, en cuyo caso es tambien∫ydx = z.

En la primera notacion de sus manuscritos Leibniz escribe

omn · ` = y

donde omn es omnia, que en latın significa suma, y donde ` son diferencias.Con ello empieza a desarrollar su calculo y la expresion simplemente significaque la suma de las primeras diferencias de una sucesion que empieza por 0 esigual al ultimo termino. Despues ira cambiando su notacion y escribe la anteriorrelacion como

∫dy = y que es la que usamos actualmente. El signo integral

∫no es mas que una S elongada que significa suma.

La idea de su calculo es que las formulas y relaciones geometricas se realicende manera casi automatica por medio de las reglas del calculo de diferencias

d(x + y) = dx + dy

d(xy) = x dy + y dx

d(xy ) = y dx− x dy

y2

d(xn) = nxn−1 dx etc.

Para demostrar por ejemplo la regla d(xy) = xdy + ydx, calcula la diferenciaentre dos terminos consecutivos de la sucesion producto xy

d(xy) = (x + dx)(y + dy)− xy = xdy + ydx + dxdy

y luego omite la cantidad dxdy por ser infinitamente mas pequena en com-paracion con los otros terminos.

De esta regla Leibniz deduce la integracion por partes∫xdy = xy −

∫ydx

Aunque las demuestra como teoremas, siempre que puede intenta relacionarsus operaciones analıticas con resultados geometricos familiares. Por ejemplopara esta ultima integracion por partes, observa que es tambien la adicion deareas ∫

xdy +∫

ydx = xy

de acuerdo con la figura

3. W.G. LEIBNIZ (1646-1716). 17

Para probar

d(y

x

)=

xdy − ydx

x2

escribedy

x=

y + dy

x + dx− y

x=

xdy − ydx

x2 + xdx

y otra vez cancela xdx del denominador por ser pequeno frente a x2.

Otra relacion es por ejemplo ∫ydy =

y2

2

Para su prueba, piensa en terminos de la funcion y = x. Tal como se observaen la figura el area del triangulo ABC es la suma de los ydy, para pequenos dy,

pero esta area es y2

2 .

En sus aplicaciones geometricas, dado un punto P = (x, y) sobre una curva,tal como se observa de la figura

aparecen las llamadas subtangente s = TA, tangente t = TP , normal n =PB y subnormal ν = AB. Todas estas variables tienen entitad propia y estan


relacionadas unas con otras. Por ejemplo se tiene por la semejanza

y

s=

ν

y

Para cada una de estas variables se pueden considerar tambien sus difer-encias. Si consideramos las diferencias dx y dy, el pequeno triangulo PQR sellama el triangulo caracterıstico y se tiene por ejemplo la relacion

dy

dx=

y

s

Todo este calculo y en especial su notacion resulto ser muy manejable y degran utilidad, lo que contribuyo decisivamente a su exito. Notacion y conceptoson virtualmente inseparables. Por ejemplo la regla de la cadena para z = f(y)e y = g(x) que nosotros escribimos como primero la composicion h(x) = f(g(x)y luego

h′(x) = f ′(g(x))g′(x)

en su notacion diferencial es simplemente

dz

dx=

dz

dy· dy

dx

Aunque desde el punto de vista logico le falta rigor a esta formula simbolica,ya que cancela dy′s como si fueran numeros reales, no solo halla correctamenteal resultado sino que sugiere ademas la manera de demostrarla, reemplazandolas diferenciales dx, dy, dz por incrementos finitos ∆x, ∆y,∆z y pasando luegoal lımite.

Leibniz tardo unos anos en presentar estas ideas en publico ya que era unaformulacion intuitiva, pero que tenıa el problema de trabajar con cantidadesinfinitamente pequenas y esto no estaba rigurosamente definido ni era muyaceptable en matematicas. Su primera publicacion fue un corto artıculo tituladoNova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus, quae nec fractasnec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus, (Unnuevo metodo para maximos y mınimos y tangentes, no impedido por cantidadesracionales o irracionalesy un singular nuevo tipo de calculo para ellas), queaparecio en 1684 en Acta eruditorum.

En este trabajo original, despues de introducir su calculo, Leibniz da tresejemplos de la aplicaciones, el primero prueba el principio ya conocido porDescartes y Fermat de que el angulo de incidencia es igual al angulo de re-fraccion, el segundo es un problema geometrico. Luego, dice Leibniz:

“Y esto es solo el comienzo de una mucho mas sublime Geometrıa, de proble-mas incluso mucho mas difıciles y de los mas bonitos de matematicas aplicadas,los cuales sin nuestro calculo diferencial o algo similar nadie podrıa atacar contanta facilidad. Anadiremos como apendice la solucion del problema que DeBeaune propuso a Descartes, quien lo intento resolver el el Vol. 3 de sus Let-tres, pero sin exito”

3. W.G. LEIBNIZ (1646-1716). 19

En realidad Descartes habıa encontrado practicamente la naturaleza de estacurva, pero carecıa de instrumentos adecuados para su solucion. Este problemay otros que fueron apareciendo despues pusieron de manifiesto la potencia delnuevo calculo. Exponemos este problema en la seccion siguiente.

3.3 El problema de De Beaune.

El problema que Florimont De Beaune habıa propuesto originalmente a Descartesen 1639 es: Hallar una curva cuya subtangente sea una constante dada a.

De la relaciondx

dy=

s

y

obtenemos tomando s = a

a dy = y dx

Leibniz considera dx = b constante, lo que equivale a tener las abscisas enprogresion aritmetica. Tomando k = b/a, la relacion anterior da

dy = k y

Esto es, los incrementos dy son proporcionales a sus las ordenadas y.Mas concretamente, si tomamos la sucesion de abscisas

x0 = x, x1 = x + b, x2 = x + 2b, x3 = x + 3b, . . .

que estan en progresion aritmetica, al ser dy1 = y1 − y0 = ky1, sera y1 = k1y0

para la constante k1 = 1k+1 . Luego las correspondientes ordenadas

y0, y1 = k1y0, y2 = k21y0, y3 = k3

1y0, . . .

estan en progresion geometrica.Leibniz concluye diciendo que la curva es una “logarıtmica”.En nuestro calculo actual de la relacion diferencial que define la curva ady =

ydx, obtenemos

ady

y= dx


de donde integrando a log y = x + C. (Observese que la notacion que usamosahora para este proceso es la original). Leibniz viene a describir una poligonalsolucion de una ecuacion en diferencias que aproxima a la exponencial y suecuacion diferencial correspondiente, siendo la aproximacion cada vez mejor amedida que dx se va haciendo infinitesimo.

3.4 Desarrollo del seno a partir de su ecuacion diferencial.

Leibniz utiliza series de potencias para resolver muchas de us ecuaciones difer-enciales. Por ejemplo consideremos la figura donde aparece el primer cuadrantede la circunferencia de radio 1, donde P = (x, y) y θ es el angulo que formaPOB.

Por semejanza de triangulos

dx

dy=

y√1− y2

Ademas por el teorema de Pitagoras dx2 + dy2 = dθ2. Elevando al cuadradola primera relacion, despejando dx2 y sustituyendo en la segunda obtenemosdespues de simplificar

dy2 + y2dθ2 = dθ2

que es la ecuacion diferencial que verifica y = sin θ. Para resolver esta ecuacionLeibniz considera dθ como constante y aplica el operador d a la ecuacion. Seobtiene d[dy2 + y2dθ2] = 0, de donde por la regla del producto

d[dy · dy + y2dθ2] = 2(dy)(d dy) + 2y dy dθ2 = 0

esto esd2y

dθ2= −y

que es la ecuacion diferencial de segundo orden de y = sin θ. Ahora Leibnizsupone que podemos escribir la serie de potencias con coeficientes indetermina-dos

y = sin θ = bθ + cθ3 + eθ5 + fθ7 + gθ9 + · · ·

4. RESUMEN Y DESARROLLO POSTERIOR. 21

donde ha tomado el termino constante igual a cero al ser sin 0 = 0 y solo tomapotencias impares al ser sin θ impar. Diferenciando dos veces esta expresion seobtiene

d2y

dθ2= 2 · 3cθ + 4 · 5eθ3 + 8 · 9gθ7 + · · ·

que debe ser igual a −y = −bθ−cθ3−eθ5−fθ7−gθ9−· · ·. Igualando coeficientesse obtiene

2 · 3c = −b4 · 5e = −c8 · 9g = −f. . .

De donde tomando b = 1 como condicion inicial obtenemos sucesivamente c =− 1

3! , e = 15! , f = − 1

7! , g = 19! , . . ., esto es

sin θ = θ − 13!

θ3 +15!

θ5 − 17!

θ7 +19!

θ9 − · · ·

Obtiene por tanto con su metodo de diferencias la relacion que ya habıa obtenidoNewton en 1676 con su serie del binomio.

4 Resumen y desarrollo posterior.

Una vez que hemos descrito con detalle separadamente las ideas de Newtony Leibniz en el desarrollo del calculo como una nueva y coherente disciplinamatematica vamos a comparar y contrastar ambos procedimientos.

Tal como hemos visto Newton concibe la derivada de y = f(x) como elcociente entre fluxiones y/x donde considera las fluxiones x, y como las veloci-dades en que cambian los fluentes x, y. Su concepcion es cinematica. En cambioLeibniz considera el cociente anterior dy/dx como cociente entre diferencias. Laintegral para Newton es una integral definida, es el fluente a determinar parauna fluxion dada. Para Leibniz la integral es, en cambio, una suma infinita dediferenciales. A pesar de estas diferencias de concepto luego ambos la calculande la misma forma, como un proceso inverso de derivadas. Ambos desarrollan elmismo calculo desde puntos de vista distintos y observan como inversos los pro-cesos de diferenciacion e integracion. Antes se habıan calculado areas, volumesy tangentes, pero eran razonamientos particulares para cada caso concreto sinque se observara con claridad que el calculo de areas y el de tangentes son in-versos uno del otro. El nuevo calculo es universal, en el sentido en que se aplicadel mismo modo a todo tipo de funciones. Newton y Leibniz lo aplicaron conexito para calcular areas como la cisoide o la cicloide, tangentes, longitudes dearco, problemas de maximos y mınimos, geometricos, etc.

Para ilustrar con un ejemplo sencillo los conceptos del calculo de Newton yde Leibniz, veamos como calcularıan ambos la tangente a la parabola y2 = axen un punto M = (x, y) de la figura


Dada la relacion entre fluentes y2 = ax Newton calcularıa primero la relacionentre sus fluxiones: de

(y + oy)2 = a(x + ox)

elevando al cuadrado

y2 + 2yoy + o2y2 = ax + oax

Simplificando y dividiendo por o resulta

2yy + oy2 = ax

de donde cancelando luego los terminos que contienen o se obtiene 2yy = ax,esto es

y

x=

a

2y

que nos darıa la pendiente de la tangente.En el primer libro de texto de calculo diferencial, Analyse des Infinitement

Petits, de l’Hospital de 1696, aparece exactamente el ejemplo que estamos calcu-lando. De hecho la figura geometrica anterior esta tomada del este libro, seccion2, pag. 12. Su solucion, siguiendo de diferencias de Leibniz dice asi:

“Si se quiere que ax = yy exprese la relacion de AP a PM , la curva AMsera una parabola que tendra por parametro la recta dada a y tendra, tomandodiferencias en cada miembro

a dx = 2y dy

por tanto dx = 2ydy/a y

PT =ydx

dy=

2yy

a= 2x

donde hemos sustituıdo yy por su valor ax. De donde se deduce que si se tomacomo PT el doble de AP y se considera la recta MT , ella sera tangente en elpunto M . Ce qui etait propose”.

Para Newton la derivada como cociente entre fluxiones, o como “razon ultimade cantidades evanescentes” presentaba problemas de rigor logico. Para Leibnizsin embargo, el cociente dy/dx era “simplemente” un cociente con interpretaciongeometrica clara. Los problemas de interpretacion se volvıan mas agudos al con-siderar derivadas de mayor orden. Debido a su facilidad y al genial tratamientoque tuvo por parte de los hermanos Bernoulli y por Euler el calculo de Leibniz

5. REFERENCIAS 23

empezo a cosechar grandes exitos. Sus seguidores se preocupaban menos desus aspectos logicos y mas de sus aplicaciones ya que era un calculo que fun-cionaba. Permitio resolver problemas tales como el de la braquistocrona o de lacatenaria que habıan sido intratables hasta entonces. En cambio en Inglaterralos matematicos se preocuparon mucho mas por los problemas de rigor logico,paralizando con ello su aplicacion. Una vigorosa y malintencionada exposicionde las inconsistencias del nuevo calculo fue la que escribio el obispo anglicano dela diocesis de Cloyne (Irlanda) George Berkeley(1685-1753). Berkeley escribioen 1734 un ensayo titulado The Analyst, or A Discourse Addressed to an In-fidel Mathematician. El “matematico infiel” era Edmund Halley (1656-1742),el famoso astronomo y amigo de Newton, quien parece ser que convencio a unconocido sobre la inutilidad de la doctrina cristiana y este rehuso el consueloespiritual de Berkeley cuando estaba en su lecho de muerte.

Este es un parrafo del argumento de Berkeley:

“Y ¿Que son las fluxiones? Las velocidades de incrementos evanes-centes. Y ¿Que son estos mismos incrementos evanescentes? Ellosno son ni cantidades fimnitas, ni cantidades infinitamente pequenas,ni nada. ¿No las podrıamos llamar fantasmas de cantidades que handesaparecido?”

A finales de 1690 Leibniz fue duramente atacado por los seguidores de New-ton, quienes le acusaban de plagio. Su principal argumento fueron las cartas queNewton le habıa mandado via Oldenburg. Al irse incrementando los ataquesLeibniz pidio en 1711 a la Royal Society of London, de la que era miembro, paraque interviniera en el asunto. La Royal Society nombro una comision para queestudiara el caso y en 1712, movida mas que nada por motivos de nacionalismo ymaniobrada por Newton, decidio que Leibniz habıa en efecto plagiado a Newton.Hoy sabemos que tanto Newton como Leibniz desarrollaron independientementesu calculo.

Este desafortunado incidente separo en dos bandos los matematicos de Inglaterray del Continente por mucho tiempo. La ironıa del destino, fue que la victoria in-glesa hizo que sus matematicos rehusaran sistematicamente el uso de los metodosde Leibniz, cerrando para si con ello el tremendo desarrollo que la matematicatuvo en el siglo XVIII.

5 Referencias

1. http://www.geocities.com/grandesmatematicos/

2. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/index.html

3. Ch.C. Gillispie, “Dictionary of Scientific Biography”, es una excelenteenciclopedia de biografıas de cientıficos.

4. Antonio J. Duran, “Historia, con personajes de los conceptos del calculo”Alianza Universidad AU 861, un ameno y completo librito de bolsillo quetrata sobre estos temas.


Analyse des Infiniments Petits de Guillaume Francois l’ Hospital,

primer libro de texto de calculo, 1696

Instituzioni Analitiche , de Marıa Gaetana Agnesi, 1748, otro de losprimeros textos de calculo, aquı aparece la versiera, conocida despues

como la bruja de Agnesi. Observese el magnıfico frontispicio de la obra.

el descubrimiento del calculo

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