el conjunto de los números reales es completo -supremo e Ínfimo

8/17/2019 El Conjunto de Los Números Reales Es Completo -Supremo e Ínfimo

1/19

El conjunto de losnúmeros reales esCompleto

Completitud de los Números RealesSupremo (Sup) e Ínfmo (In)Caracterización del Sup y del In

Los números reales/ Completitud de los números reales


2/19

Cota Superior e Inerior

Todos los conjuntos que trataremos en estapresentación contienen algún elemento.

Un conjunto A puede no tener cota superior.

El conjunto A está acotado superiormente si A tiene una cota superior finita.

DefiniciónUn número M es una cota superior de un conjunto Asi, para todos los elementos a de A, a ≤ M.

Oser!ación



3/19


4/19

Cotas de Enteros Racionales y Reales

Oser!aciones

Todo conjunto no !ac"o de númerosreales, con un número finito deelementos, está acotado. Entre los

elementos de un conjunto finito e#istesiempre un elemento ma$or $ otro menorque todos los demás.

%

Todo conjunto no !ac"o de números

enteros, acotado superiormente, tienesiempre un elemento superior a los demásque es tami&n un entero. 'ste es lamenor cota de dic(o conjunto.

)



5/19

Cotas de Enteros Racionales y Reales

Oser!aciones

* +onsiderar el conjunto de números reales A = r - r ) ).

El conjunto de las cotas superiores racionales de loselementos de A no tiene un elemento inferior atodos los demás.

0Esto significa que el conjunto de los númerosracionales no es completo1

Este conjunto claramente está acotado superior einferiormente.

Esto es deido al (ec(o de que no es racional.



6/19

Supremo

Definición

La cota superior más peque2a del conjunto A se

llama el supremo del conjunto A.

3otación sup4 A5 6 el supremo del conjunto A.

7ea A un conjunto no !ac"o de números realesacotado superiormente.

El conjunto A tiene una cota superior menor a

las demás cotas superiores.

+ompletitud de los 3úmeros 8eales



7/19

Supremo

Ejemplo

sup 9%,%,),: 6 :.

7ea A = % 9 );n | n natural .

Entonces sup4 A5 6 %.



8/19

Ínfmo

Definición

La cota inferior ma$or del conjunto A se llama el

ínfimo del conjunto A.

3otación inf4 A5 6 el "nfimo del conjunto A.

7ea A un conjunto no !ac"o de números reales

acotado inferiormente.

El conjunto A tiene una cota inferior mayor a las

demás cotas inferiores.

+ompletitud de los 3úmeros 8eales



9/19

Ínfmo

Ejemplo

inf 9%,%,),: 6 9% .

7ea A = % < );n | n natural.

Entonces inf4 A5 6 %.



10/19


11/19

Caracterización del Supremo

Demostración 4continuación5

Teorema

>ara comproar que la condición ) tami&n se cumple,supongamos que es falsa. Entonces e#iste un númeropositi!o ε tal que no e#isten elementos a del conjunto

A con -s 9 a| ? ε .Entonces s 9 @ es tami&n una cota superior de A.Esto es imposile, $a que s es la cota superior máspeque2a del conjunto A.

s 6 sup4 A 5 s" $ sólo si=

%.

).

∀ ∈ ≥:a A s a

ε ε ∀ > ∃ ∈ −


12/19



Teorema

7upongamos a(ora que s cumple las condiciones % $ ).


%.

).

Tenemos que demostrar que s es la cota superiormínima del conjunto A.

La condición % implica que s es una cota superior de A.

∀ ∈ ≥:a A s a

ε ε ∀ > ∃ ∈ −


13/19



Teorema

>ara demostrar que s es la cota superior mínima,suponemos que no lo es.


%.

).

Entonces e#istir"a una cota superior t de A, t < s.

>or lo tanto s – t > A. >or tanto s no cumplir"a lacondición ) para ε = s – t.

∀ ∈ ≥:a A s a

ε ε ∀ > ∃ ∈ −


14/19

Caracterización del Ínfmo

Teorema

r 6 Bnf4 A 5 s" $ sólo si= %.

).

∀ ∈ ≤:a A r a

ε ε ∀ > ∃ ∈ −


15/19

!sando las Caracterizaciones

Definición

>ara un conjunto A, A " R, se define) A por

Enunciado

7uponiendo que sup4 A 5 ? C,

sup4 ) A 5 6 )sup4 A 5.

{ }= ∈2 2 / A a a A



16/19


Enunciadosup4 ) A 5 6 )sup4 A 5.

Teorema s 6 sup4 A 5 s" $ sólo si= %.

%.).

Demostración usando=

∀ ∈ ≥:a A s a

ε ε ∀ > ∃ ∈ −


17/19


Enunciado sup4 ) A 5 6 )sup4 A 5.

a ≤ sup4 A 5 de donde )a ≤ )sup4 A 5

>or tanto ) sup4 A 5 sup4 ) A 5.

Demostración

∀ ∈a A



18/19


Enunciado sup4 ) A 5 6 )sup4 A 5.

Demostración

ultiplicando por ) otenemos -)sup4 A 5 – )a - ? ε.

7ea ε F A. Tenemos que demostrar quetal que -)sup4 A 5 – )a - ? ε.

+omo ε /) F A, tal que

-sup4 A 5 – a - ? ε /).

'sto demuestra el enunciado.


∃ ∈a A

∃ ∈a A


19/19

C#lculo en una $aria%le

&utor' ia Sepp*l*

+raducción al espa,ol'-.li/ &lonso

0erardo Rodr12uez&2ust1n de la 3illa

el conjunto de los números reales es completo -supremo e Ínfimo

Documents