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Números Reales INECUACIONES o DESIGUALDADES DESIGUALDADES Una desigualdad en una variable es una expresión donde se establece una relación entre dos cantidades. Las relaciones de orden son: <, >, , DESIGUALDADES Ejemplos: 2 x + 4 < 6 x + 1 6 x + 3 ≤−8 x 7 5 x + 8 3 x 2 > 3x 2 Solución de desigualdades Por resolver una desigualdad se entiende determinar los intervalos o combinación de intervalos de números reales que satisfacen la desigualdad. Para resolver una desigualdad se utilizan los axiomas de los números reales.

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NúmerosReales

INECUACIONESoDESIGUALDADES

DESIGUALDADES

• Unadesigualdadenunavariableesunaexpresióndondeseestableceunarelaciónentredoscantidades.

• Lasrelacionesdeordenson:

<, >, ≤, ≥

DESIGUALDADES

• Ejemplos:

2x + 4 < 6x +1−6x + 3≤ −8x − 7

−5x + 8 ≥ 3

x2 > 3x − 2

Solucióndedesigualdades

• Porresolverunadesigualdadseentiendedeterminarlosintervalosocombinacióndeintervalosdenúmerosrealesquesatisfacenladesigualdad.

• Pararesolverunadesigualdadseutilizanlosaxiomasdelosnúmerosreales.

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RECORDATORIO

Propiedadesdeorden:• Alsumarunnúmeroseconservalarelacióndeorden.

• Almultiplicarporunnúmeropositivo,seconservalarelacióndeorden.

• Almultiplicarporunnúmeronegativo,seinviertelarelacióndeorden.

EJEMPLO0

• Ejemplo0:Resolverlasdesigualdades

• Tarea:RealizarlosejerciciosdeKhanAcademy:desigualdadesdeunpaso.

5x >12−2x <12

EJEMPLO1

• Ejemplo1:resolverladesigualdad

• Solución:unatécnicaesutilizarlosaxiomasdelosnúmerosrealesparatransformarladesigualdadalaforma:,odondeesalgunodelasrelacionesdeordenyesunnúmeroreal.

2x + 4 < 6x +1

x Δ r r Δ xΔ

r

EJEMPLO12x + 4 < 6x +1

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EJEMPLO2

• Ejemplo2:resolverladesigualdad

• Solución:

−6x + 3≤ −8x − 7

EJERCICIOS

Ejercicios1:Resolver:

RealizarlosejerciciosdeKhanAcademy:• Desigualdadesdedospasos• Desigualdadeslinealesdevariospasos

x + 2 < 3x +1−7x + 4 ≤ −9x − 8

EJEMPLO

• Ejemplo4:resolverladesigualdad

• Solución:observarquelavariablesoloocurreenla“partecentral”deladesigualdad.Pararesolverladesigualdad,seusanlosaxiomasdemanerade“aislar”lavariable

x Δ r

3< 5x − 72

≤10

EJEMPLO4

• Solución:

3< 5x − 72

≤10

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yademás

EJEMPLO4

• Solucióncomointervalo

x ∈ 135, 275

⎛⎝⎜

⎤⎦⎥

EJERCICIO

• Ejercicio2:resolverladesigualdad

−2 < 6 − 2x4

≤ 5

EJEMPLO

• Ejemplo4:resolverladesigualdad

• Solución:Setienendosposiblescasos,segúnelsignodeldenominador,observarqueeldenominadornopuedesercero.

x − 8x + 4

≥ 5

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quesecumpla

éstadesigualdad o éstadesigualdad

EJEMPLO4

Caso1:sieldenominadorespositivo,estoes,

semultiplicaporyseobtieneladesigualdadAlreducirseobtieneLasoluciónalcaso1es:todoslosnúmerosxquecumplelasdesigualdades:

x + 4 > 0, o sea, x > −4

x + 4x − 8 ≥ 5(x + 4)

x ≤ −7

(x ≤ −7) y (x > −4)

EJEMPLO4

Elintervalosolucióneslainterseccióndeestosintervalos,queesunconjuntovacío

EJEMPLO4

Caso2:eldenominadoresnegativo,estoes,

semultiplicaporysetieneladesigualdad

x + 4 < 0, o sea, x < −4

x + 4x − 8 ≤ 5(x + 4)

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Ejemplo3

• Lasoluciónaladesigualdadeslaunióndelassolucionesdeloscasos1y2

Osea:

∅ ∪ [-7,4) = [-7,4)x∈ [-7,4)

EJEMPLO5

Ejemplo5:resolverladesigualdad

Solución:seprocedeaexpresarladesigualdadcomounproductodebinomios:

0

x2 > 3x − 2

x2 − 3x + 2 > 0 (x −1)(x − 2) > 0

EJEMPLO5

Ladesigualdadindicaqueelproductodelosbinomios,debeserpositivo.Entoncessetienendosposibilidades(casos):a)Ambosbinomiossonpositivosyb)ambossonnegativosy

x −1> 0

(x −1)(x − 2)

x − 2 > 0

x −1< 0 x − 2 < 0

EJEMPLO5

Caso1:ambosbinomiossonpositivos:

osea:

quetienecomosolución:

x −1> 0 y x − 2 > 0

x >1 y x > 2

(1,∞)∩ (2,∞)

x ∈(2,∞)

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EJEMPLO5

Caso2:ambosbinomiossonnegativos:

osea:

quetienecomosolución:

x −1< 0 y x − 2 < 0

x <1 y x < 2

(−∞,1)∩ (−∞,2)

x ∈(−∞,1)

EJEMPLO5

Lasolucióndeladesigualdadseobtieneconlaunióndelassolucionesacadacaso(secumplauncaso,osecumplaelotro)

lasolución:

(−∞,1)∪ (2,∞)

x ∈(−∞,1)∪ (2,∞)

EJERCICIO2

Ejercicio2:Resolverladesigualdad

Solución:x2 + 2x − 8 ≤ 0

EJERCICIOS

Resolverejerciciosdellibrodetexto:1.5:Desarrollesucompetencia2,7,8,9,11,13,15,16,17,21,23,27,31,35,41,49

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VALORABSOLUTO

Definición:

Algunosejemplosdenúmeros

x = x si x ≥ 0x si x < 0

⎧⎨⎩

VALORABSOLUTO

Conecuacionesdeunavariable,elresultadodependedelvalordelavariable• Ejemplo6:

x + x =x + x = 2x , si x ≥ 0−x + x = 0 ,si x < 0

⎧⎨⎪

⎩⎪

EJEMPLO7

Ejemplo7:

• para

• para

x − 2 + x

x − 2 ≥ 0

x − 2 < 0

EJEMPLO7

Enresumen

x − 2 + x =2x − 2, si x ≥ 2

2, si x < 2⎧⎨⎪

⎩⎪

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PROPIEDADESDELVALORABSOLUTO

Deladefiniciónsedesprende:

1. x ≥ 02. x = 0 si y solo si x = 0

3. x = −x

4. x ⋅ y = x ⋅ y

5. xy=xy

, para y ≠ 0

DESIGUALDADESYELVALORABSOLUTO

Propiedadesdelvalorabsoluto 1. x < a si y solo si − a < x < a

2. x > a si y solo si x < −a ó x > a3. x + y ≤ x + y

5. Si y ≥ 0, entonces x = y si y solo si

x = y para x ≥ 0−x = y para x < 0

⎧⎨⎪

⎩⎪

4. x ≤ x y − x ≤ x

DESIGUALDADESCONVALORABSOLUTO

Ejemplo8.Resolverladesigualdad

Solución:Recordarlapropiedad

queaplicadaalejemplo(a=30):

x − 4 < 30

x < a si y solo si − a < x < a

−30 < x − 4 < 30

Ejemplo8

Alsimplificartenemos

lasoluciónenformadeintervalo

−26 < x < 34

x ∈(−26,34)

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EJEMPLO9

Ejemplo9:Resolverladesigualdad

Solución:Recordarlapropiedad(a=20)

Queaplicadaalejemplo

3x + 5 > 20

x > a si y solo si x < −a ó x > a

3x + 5 < −20 ó 3x + 5 > 20

EJEMPLO9

Alresolverlasdesigualdades

Lasolucióncomointervalo

x < − 253

ó x > 5

x ∈ −∞,− 253( )∪ 5,∞( )

EJERCICIO3

Ejercicio3:Resolverladesigualdad Solución:Recordarlapropiedad

−5x + 8 ≤10

x < a si y solo si − a ≤ x ≤ a

−10 ≤ −5x + 8 ≤10

EJERCICIO4

• Ejercicio4:Resolverladesigualdad

• Solución:Aplicarlapropiedad

−2x +17 ≥10

x > a si y solo si x ≤ −a ó x ≥ a

−2x +17 ≤ −10 ó -2x+17 ≥10

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EJERCICIOS

• Resolverejerciciosdellibrodetexto:1.5:Desarrollesucompetencia53,54,55,57,61,65,66