eksamen 23.11 - matematikk.net · eksamen mat1008 matematikk 2t hausten/høsten 2011 side 11 av 24...

Eksamen 23.11.2011

MAT1008 Matematikk 2T

Nynorsk/Bokmål

Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 2 av 24

Nynorsk

Eksamensinformasjon

Eksamenstid: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del 2 skal leverast inn seinast etter 5 timar.

Hjelpemiddel på Del 1: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar.

Hjelpemiddel på Del 2: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon.

Framgangsmåte: Du skal svare på alle oppgåvene. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing.

Rettleiing om vurderinga: Poeng i Del 1 og Del 2 er berre rettleiande i vurderinga. Karakteren blir fastsett etter ei samla vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du

− viser rekneferdigheiter og matematisk forståing − gjennomfører logiske resonnement − ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan ta i

bruk fagkunnskap i nye situasjonar − kan bruke formålstenlege hjelpemiddel − vurderer om svar er rimelege − forklarer framgangsmåtar og grunngir svar − skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar,

nemningar, tabellar og grafiske framstillingar


DEL 1 Utan hjelpemiddel

På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlane nedanfor.

Binomisk fordeling: −= = ⋅ ⋅ −

( ) (1 )k n knP X k p p

k

Talet på uavhengige forsøk er n. X er talet på gonger A inntreffer. ( ) =P A p i kvart forsøk.

Hypergeometrisk fordeling:

−⋅

− = =

( )

m n m

k r kn

r

P X k

m element i D. n m− element i D . r element blir trekte tilfeldig. X er talet på element som blir trekte frå D.


Oppgåve 1 (16 poeng)

a)

Kor mykje kostar éi flaske vatn, og kor mykje kostar eitt eple?

b)

A, B og C er tre punkt i eit koordinatsystem. Dei tre punkta dannar ein trekant. Kva for eit av dei tre symbola ⇒ eller ⇐ eller ⇔ skal stå i kvar av dei to boksane som er merkte 1) og 2) nedanfor? Grunngi svara dine.

[ ]= 4,3AB

= 5AB

+ =2 2 2

AB AC BC

⋅ = 0AB AC

c)

Dersom vinklane i ein trekant er °30 , °60 og °90 , er hypotenusen dobbelt så lang som den kortaste kateten. Bruk dette til å finne °sin30 .

40 kroner 32 kroner Kj

elde

r: ht

tp:/

/ww

w.ri

ngne

s.no

/bra

nds/

mer

keva

rene

/sid

er/i

msd

al.a

spx

http

://w

ww

.epl

ehus

et.n

o/om

_epl

ehus

et.a

spx

(29.

01.2

011)

2)

1)


d)

Eva har éin pakke blåbærgelé, to pakkar kiwigelé, to pakkar sitrongelé og tre pakkar bringebærgelé. Ho tek tilfeldig to pakkar gelé.

1) Kva er sannsynet for at den første pakken ho tek, er kiwigelé?

2) Kva er sannsynet for at ho tek to pakkar kiwigelé?

3) Kva er sannsynet for at ho tek éin pakke kiwigelé og éin pakke blåbærgelé?

e)

Skriv så enkelt som mogleg

2

2

8 1616

x xx− +−

Kjel

de: h

ttp:/

/ww

w.k

raftf

oods

nord

ic.c

om/k

raft/

pa

ge?s

iteid

=kra

ft-pr

d&lo

cale

=non

o1&

Page

c Re

f=32

04&

Mid

=320

4 (0

8.03

.201

1)


f)

Lise har fire rosa og tre brune krus. Ho tek tilfeldig fire krus.

Finn sannsynet for at ho tek to rosa krus og to brune krus.

Oppgåve 2 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved ( ) 2 2 8f x x x= + − . a) Finn nullpunkta til f ved rekning.

b)

Bruk ( )′f x til å finne eventuelle ekstremalpunkt på grafen til f.

c) Lag ei skisse av grafen til f.

Funksjonen g er gitt ved ( ) = +2 1g x x . Grafen til f har ein tangent som er parallell med grafen til g. d) Finn likninga for denne tangenten.

Kjel

de: h

ttp:/

/ww

w.m

oods

shop

.dk/

picv

iew

.asp

?pid

=36

(0

2.03

.201

1)


DEL 2

Med hjelpemiddel


Fredrik har montert ei markise for å hindre sollys frå å komme inn gjennom eit vindauge. Teikninga ovanfor viser vindauget og markisa sett frå sida. a) Rekn ut lengda L av markiseduken når armane på markisa ligg vassrett, dvs. når

∠ = °90v .

Fredrik ønskjer at markisa skal ta bort alle solstrålar når ∠ = °20u . b) Forklar at da må ∠ = °140v .

c) Rekn ut lengda L når ∠ = °140v .



Haile Gebrselassie frå Etiopia har vore ein av dei beste langdistanseløparane i verda. I tabellen nedanfor ser du dei beste tidene hans på nokre distansar.

Distanse x (i meter) 1 500 3 000 5 000 10 000 15 000 16 093 25 000 42 195

Tid T (i minutt) 3,550 7,417 12,656 27,033 41,633 44,400 71,617 123,988

a) Bruk regresjon til å vise at ( ) −= ⋅ ⋅3 1,071,44 10T x x er ein modell for tida T som

funksjon av distansen x for resultata til Gebrselassie.

b) Teikn grafen til T .

c) Kor lang tid vil Gebrselassie bruke på ein halvmaraton (21097,5 m) ifølgje modellen i a)?

Pete Riegel har laga ein modell som viser samanhengen mellom tida 1T ein løpar bruker på ein distanse 1D , og tida 2T løparen bruker på ein distanse 2D . Modellen ser slik ut:

1,06

2 2

1 1

T DT D

=

d) Ta utgangspunkt i tida Gebrselassie bruker på 25 000 m, og rekn ut kor lang tid han vil bruke på ein halvmaraton ifølgje Riegels modell. Korleis passar dette svaret med modellen du fann i a)?

Kjel

de: h

ttp:/

/ww

w.ti

me-

to-ru

n.co

m/m

arat

hon/

toky

o/

co

meb

ack-

haile

-geb

rsel

assi

e-po

stpo

ned

(03.

03.2

011)

Kjel

de: h

ttps:

//ne

tfile

s.ui

uc.e

du/b

penc

e2/w

ww

/Geb

/Geb

.htm

l (2

5.11

.10)

Kj

elde

: http

://w

ww

.runn

ersw

orld

.co.

uk/g

ener

al/r

ws-

race

-tim

e-pr

edic

tor/

1681

.htm

l (25

.11.

10)

http://www.time-to-run.com/marathon/wp-content/uploads/geb.590.jpg�


Oppgåve 5 (6 poeng) Den årlege rapporten frå Helsedirektoratet, ”Nøkkeltall for helsesektoren”, som blei lagd fram i februar 2011, viser ifølgje dagbladet.no at 16-åringar i Noreg er late!

Tenk deg at 51,4 % av 16-åringane i Noreg er gutar.

a) Kor stor prosentdel av 16-åringane her i landet oppfyller ikkje det tilrådde nivået

med ein time fysisk aktivitet om dagen?

b) Kor stor prosentdel av 16-åringane som oppfyller det tilrådde nivået, er jenter?

Ved ein skole er det 244 jenter. 12 av jentene oppfyller det tilrådde nivået med ein time fysisk aktivitet om dagen. Vi trekkjer tilfeldig 10 jenter. c) Kva er sannsynet for at akkurat to av desse jentene oppfyller det tilrådde nivået med

ein time fysisk aktivitet om dagen?

Kjel

de: h

ttp:/

/ww

w.d

agbl

adet

.no/

2011

/02/

10/

nyhe

ter/

arbe

idsl

iv/u

tdan

ning

/liv

sstil

/pol

itikk

/ 15

3867

56/

(03.

03.2

010)



Figuren ovanfor viser eit parallellogram ABCD. Vi set =AB a

og =AD b

. a) Uttrykk BD

og AC

ved hjelp av a

og b

. b) Vis at ⋅ = ⋅ − ⋅AC BD b b a a

E er midtpunktet på AC. c) Uttrykk BE

ved hjelp av a

og b

, og vis at E også er midtpunkt på BD.

Ein rombe er eit parallellogram der alle sidene er like lange. Ei kjend setning frå geometrien seier at eit parallellogram er ein rombe dersom og berre dersom diagonalane står vinkelrett på kvarandre. d) Bruk resultatet frå b) til å vise dette.


Oppgåve 7 (8 poeng) Strekninga s meter ei jernkule som blir sleppt, fell i løpet av tida t sekund, er gitt ved

= ⋅ 24,9s t Oslo Plaza, ein av dei høgaste bygningane i Noreg, er ca. 117 meter høg. Tenk deg at ei jernkule blir sleppt frå toppen av Oslo Plaza. a)

Kor lang tid vil det ta før kula treffer bakken?

b)

Kor langt fell kula i løpet av det første sekundet? Kor langt fell kula i løpet av det andre sekundet? Kor langt fell kula i løpet av det tredje sekundet?

Tenk deg at ein person slepper ei jernkule frå toppen av Oslo Plaza. Eit sekund seinare slepper ein annan person, som står ved eit vindauge 10 m nedanfor toppen, ei tilsvarande jernkule. c)

Bruk for eksempel resultatet i b) til å forklare at kula som blir sleppt frå toppen, tek igjen kula som blir sleppt frå vindauget.

d)

Kor lang tid går det frå den første kula blir sleppt, til dei to kulene er i same høgd? Kor høgt over bakken er kulene da?

Kjel

de: h

ttp:/

/uk.

ask.

com

/wik

i/Li

st_o

f_ta

llest

_bui

ldin

gs_i

n_Sc

andi

navi

a (2

7.04

.201

1)


Bokmål

Eksamensinformasjon

Eksamenstid: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler på Del 1: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Hjelpemidler på Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte: Du skal svare på alle oppgavene. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:

Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

− viser regneferdigheter og matematisk forståelse − gjennomfører logiske resonnementer − ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i

bruk fagkunnskap i nye situasjoner − kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler − vurderer om svar er rimelige − forklarer framgangsmåter og begrunner svar − skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger,

benevninger, tabeller og grafiske framstillinger


DEL 1 Uten hjelpemidler

På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor.

Binomisk fordeling: −= = ⋅ ⋅ −

( ) (1 )k n knP X k p p

k

Antall uavhengige forsøk er n. X er antall ganger A inntreffer. ( ) =P A p i hvert forsøk.

Hypergeometrisk fordeling:

−⋅

− = =

( )

m n m

k r kn

r

P X k

m elementer i D. n m− elementer i D . r elementer trekkes tilfeldig. X er antall elementer som trekkes fra D.


Oppgave 1 (16 poeng)

a)

Hvor mye koster én flaske vann, og hvor mye koster ett eple?

b)

A, B og C er tre punkter i et koordinatsystem. De tre punktene danner en trekant. Hvilket av de tre symbolene ⇒ eller ⇐ eller ⇔ skal stå i hver av de to boksene merket 1) og 2) nedenfor? Begrunn svarene dine.

[ ]= 4,3AB

= 5AB

+ =2 2 2

AB AC BC

⋅ = 0AB AC

c)

Dersom vinklene i en trekant er °30 , °60 og °90 , er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. Bruk dette til å finne °sin30 .

40 kroner 32 kroner

Kild

er: h

ttp:/

/ww

w.ri

ngne

s.no

/bra

nds/

mer

keva

rene

/sid

er/i

msd

al.a

spx

http

://w

ww

.epl

ehus

et.n

o/om

_epl

ehus

et.a

spx

(29.

01.2

011)

2)

1)


d)

Eva har én pakke blåbærgelé, to pakker kiwigelé, to pakker sitrongelé og tre pakker bringebærgelé. Hun tar tilfeldig to pakker gelé.

1) Hva er sannsynligheten for at den første pakken hun tar, er kiwigelé?

2) Hva er sannsynligheten for at hun tar to pakker kiwigelé?

3) Hva er sannsynligheten for at hun tar én pakke kiwigelé og én pakke blåbærgelé?

e)

Skriv så enkelt som mulig

2

2

8 1616

x xx− +−

Kild

e: h

ttp:/

/ww

w.k

raftf

oods

nord

ic.c

om/k

raft/

pa

ge?s

iteid

=kra

ft-pr

d&lo

cale

=non

o1&

Page

c Re

f=32

04&

Mid

=320

4 (0

8.03

.201

1)


f)

Lise har fire rosa og tre brune krus. Hun tar tilfeldig fire krus.

Finn sannsynligheten for at hun tar to rosa krus og to brune krus.

Oppgave 2 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved ( ) 2 2 8f x x x= + − . a) Finn nullpunktene til f ved regning.

b)

Bruk ( )′f x til å finne eventuelle ekstremalpunkter på grafen til f.

c) Lag en skisse av grafen til f.

Funksjonen g er gitt ved ( ) = +2 1g x x . Grafen til f har en tangent som er parallell med grafen til g. d) Finn likningen for denne tangenten.

Kild

e: h

ttp:/

/ww

w.m

oods

shop

.dk/

picv

iew

.asp

?pid

=36

(0

2.03

.201

1)


DEL 2

Med hjelpemidler

Oppgave 3 (6 poeng)

Fredrik har montert en markise for å hindre sollys fra å komme inn gjennom et vindu. Tegningen ovenfor viser vindu og markise sett fra siden. a) Regn ut lengden L av markiseduken når markisens armer ligger vannrett, dvs. når

∠ = °90v .

Fredrik ønsker at markisen skal ta bort alle solstråler når ∠ = °20u . b) Forklar at da må ∠ = °140v .

c) Regn ut lengden L når ∠ = °140v .


Oppgave 4 (8 poeng)

Haile Gebrselassie fra Etiopia har vært en av verdens beste langdistanseløpere. I tabellen nedenfor ser du hans beste tider på noen distanser.

Distanse x (i meter) 1 500 3 000 5 000 10 000 15 000 16 093 25 000 42 195

Tid T (i minutter) 3,550 7,417 12,656 27,033 41,633 44,400 71,617 123,988

a) Bruk regresjon til å vise at ( ) −= ⋅ ⋅3 1,071,44 10T x x er en modell for tiden T som

funksjon av distansen x for Gebrselassies resultater.

b) Tegn grafen til T .

c) Hvor lang tid vil Gebrselassie bruke på en halvmaraton (21097,5 m) ifølge modellen i a)?

Pete Riegel har laget en modell som viser sammenhengen mellom tiden 1T en løper bruker på en distanse 1D , og tiden 2T løperen bruker på en distanse 2D . Modellen ser slik ut:

1,06

2 2

1 1

T DT D

=

d) Ta utgangspunkt i tiden Gebrselassie bruker på 25 000 m, og regn ut hvor lang tid han vil bruke på en halvmaraton ifølge Riegels modell. Hvordan passer dette svaret med modellen du fant i a)?

Kild

e: h

ttp:/

/ww

w.ti

me-

to-ru

n.co

m/m

arat

hon/

toky

o/

co

meb

ack-

haile

-geb

rsel

assi

e-po

stpo

ned

(03.

03.2

011)

Kild

e: h

ttps:

//ne

tfile

s.ui

uc.e

du/b

penc

e2/w

ww

/Geb

/Geb

.htm

l (2

5.11

.10)

Ki

lde:

http

://w

ww

.runn

ersw

orld

.co.

uk/g

ener

al/r

ws-

race

-tim

e-pr

edic

tor/

1681

.htm

l (25

.11.

10)

http://www.time-to-run.com/marathon/wp-content/uploads/geb.590.jpg�


Oppgave 5 (6 poeng) Helsedirektoratets årlige rapport ”Nøkkeltall for helsesektoren” som ble lagt fram i februar 2011, viser ifølge dagbladet.no at 16-åringer i Norge er late!

Anta at 51,4 % av 16-åringene i Norge er gutter.

a) Hvor stor andel av 16-åringene her i landet oppfyller ikke det anbefalte nivået med

en time fysisk aktivitet om dagen?

b) Hvor stor andel av 16-åringene som oppfyller det anbefalte nivået, er jenter?

Ved en skole er det 244 jenter. 12 av jentene oppfyller det anbefalte nivået med en time fysisk aktivitet om dagen. Vi trekker tilfeldig 10 jenter. c) Hva er sannsynligheten for at akkurat to av disse oppfyller det anbefalte nivået med

en time fysisk aktivitet om dagen?

Kild

e: h

ttp:/

/ww

w.d

agbl

adet

.no/

2011

/02/

10/

nyhe

ter/

arbe

idsl

iv/u

tdan

ning

/liv

sstil

/pol

itikk

/ 15

3867

56/

(03.

03.2

010)


Oppgave 6 (8 poeng)

Figuren ovenfor viser et parallellogram ABCD. Vi setter =AB a

og =AD b

. a) Uttrykk BD

og AC

ved hjelp av a

og b

. b) Vis at ⋅ = ⋅ − ⋅AC BD b b a a

E er midtpunktet på AC. c) Uttrykk BE

ved hjelp av a

og b

, og vis at E også er midtpunkt på BD.

En rombe er et parallellogram der alle sidene er like lange. En kjent setning fra geometrien sier at et parallellogram er en rombe hvis og bare hvis diagonalene står vinkelrett på hverandre. d) Bruk resultatet fra b) til å vise dette.


Oppgave 7 (8 poeng) Strekningen s meter en jernkule som slippes, faller i løpet av tiden t sekunder, er gitt ved

= ⋅ 24,9s t Oslo Plaza, en av Norges høyeste bygninger, er ca. 117 meter høy. Tenk deg at en jernkule slippes fra toppen av Oslo Plaza. a)

Hvor lang tid vil det ta før kulen treffer bakken?

b)

Hvor langt faller kulen i løpet av det første sekundet? Hvor langt faller kulen i løpet av det andre sekundet? Hvor langt faller kulen i løpet av det tredje sekundet?

Tenk deg at en person slipper en jernkule fra toppen av Oslo Plaza. Et sekund senere slipper en annen person, som står ved et vindu 10 m nedenfor toppen, en tilsvarende jernkule. c)

Bruk for eksempel resultatet i b) til å forklare at kulen som slippes fra toppen, tar igjen kulen som slippes fra vinduet.

d)

Hvor lang tid går det fra den første kulen slippes, til de to kulene er i samme høyde? Hvor høyt over bakken er kulene da?

Kild

e: h

ttp:/

/uk.

ask.

com

/wik

i/Li

st_o

f_ta

llest

_bui

ldin

gs_i

n_Sc

andi

navi

a (2

7.04

.201

1)


Blank side.

Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon 23 30 12 00 www.utdanningsdirektoratet.no

eksamen 23.11 - matematikk.net · eksamen mat1008 matematikk 2t hausten/høsten 2011 side 11 av 24...

Documents