1. Kinematikai alapfogalmak. A pálya, a sebesség és a gyorsulás definíciója. Sebesség, és gyorsulás lokális koordinátái. Mozgás leírása különböző koordináta-rendszerekben. A kinematika a mozgás matematikai leírása, az ok feltárása nélkül. Mozgásról akkor beszélünk, ha egy test változtatja a helyzetét más testekhez képest. Tekintsünk a továbbiakban tömegpontokat. A tömegpont olyan test, melynek jellemző méretei kicsik a pálya méreteihez képest. Ellentétben a geometriai ponttal a tömegpontnak van kiterjedése. Például egy eldobott kréta darabka mérete, eltörpül a hajítás pályájának méretéhez képest, ezért tömegpontnak tekinthető. A tömegpont mozgása során érintett pontok halmazát pályának nevezzük. Vonatkoztatási testnek nevezzük azt a merev testet, amihez a többi test mozgását viszonyítjuk. A merev test tetszőleges két pontjának távolsága időben állandó.

x y

z

OKoordináta rendszer

Vonatkoztatásirendszer

pálya

Vonatkoztatási test

( )r t

A vonatkoztatási test és egy hozzá rögzített koordinátarendszer együttese a vonatkoztatási rendszer (VR). Ebben a tömegpont pillanatnyi helyzetét egy rendezett számhármassal, a koordinátáival adhatjuk meg. A leggyakrabban használt koordináta rendszerek:

- Derékszögű, vagy Descartes koordináta rendszer, - Síkbeli polár koordináta rendszer, - Henger koordináta rendszer, és - Gömbi koordináta rendszer.

A helyvektor a vonatkoztatási rendszer origójából a tömegponthoz húzott vektor ( )r r t= . Ha a tömegpont mozog, akkor a helyvektor az idő függvénye. Tegyük fel, hogy a tömegpont elmozdul a pálya mentén az 1. pontból a 2. pontba. Ekkor az elmozdulásvektor: rΔ .

x y

z

O

Vonatkoztatásirendszer

pálya( )1r t

( )2r t

rΔsΔ

( ) ( )2 1r r t r tΔ = − , 2 1t t>

Ívkoordináta alatt a pályagörbén egy tetszőleges ponttól mért előjeles ívhosszat értjük, és s-sel jelöljük. Az út az ívkoordináták adott idő alatti megváltozása. s rΔ Δ≥ . A helyvektor

megadható az ívkoordináta függvényében is: ( )r r s= . Tekintsük most a tömegpont elmozdulását tΔ idő alatt:

x y

z

O pálya

( )r t

( )r t tΔ+

rΔ

Ekkor az átlagsebesség definíció szerint: átl

rvt

ΔΔ

= , a pillanatnyi sebességvektor pedig:

A pillanatnyi sebességvektor pedig:

0limt

r drv rt dtΔ

ΔΔ→

= = =i

Mivel az elemi elmozdulás vektor dr egybeesik a pálya ívelemével, így a sebességvektor mindig érintő irányú. Ha a helyvektort az ívkoordináta segítségével írjuk fel, akkor:

( )r r s= dr dr dsvdt ds dt

= =

Az érintő irányú egységvektor definíciója: drds

τ = , és 1τ =

A pályasebesség, a sebességvektor hossza:

0dsv vdt

= = ≥

A sebességvektor: v vτ=

Az érintő irányú egységvektor pedig: vv

τ =

A pályasebesség az ívkoordináta idő szerinti differenciálhányadosa, a befutott út a pályasebesség idő szerinti integrálja a megfelelő időintervallumra. Figyelembe véve az integrál geometriai jelentését, az a pályasebesség idő grafikon görbe alatti területe.

dsv sdt

= =i

2

1

t

t

s vdt= ∫

( )v t

1t t2t

s

A gyorsulásvektor definíciója:

0limt

v dva v rt dtΔ

ΔΔ→

= = = =iii

A sebesség és gyorsulás természetes, vagy lokális koordinátái:

v vτ=

( ) 2dv d d d ds da v v v v v v vdt dt dt ds dt ds

τ τ ττ τ τ τ= = = + = + = +i i i

mivel 1d ndsτ

ρ= , ahol ρ a görbületi sugár, n pedig a normális egységvektor, így:

2va v nτρ

= +i

Az érintő vagy pálya menti gyorsulás: ta v=i

.

A normális vagy centripetális gyorsulás: 2

nvaρ

= .

Egyenletes mozgás esetén a pályagyorsulás zérus. Egyenletesen változó mozgás esetén a pályagyorsulás zérustól különböző állandó (v lineárisan változik az idő függvényében). Egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén 0a = . A mozgás leírása derékszögű Descartes koordinátarendszerben: A koordináták: , ,x y z , az egységvektorok: , ,i j k , az egységvektorok ilyen sorrendben

jobbsodrású rendszer alkotnak{ }, ,i j k . A mozgást akkor ismerjük, ha tudjuk a helyvektor

időfüggését: ( )r r t= .

x

y

z

O

( )r t

i

( ), ,x y z

j

k

A pálya paraméteres egyenletrendszere:

( )( )( )

x x t

y y t

z z t

=

=

=

A helyvektor, illetve a helyvektor hossza: r xi yj zk= + + , 2 2 2r x y z= + +

A sebességvektor definíciója:

( )dr dv xi yj zkdt dt

= = + +

Az egységvektorok mind irányukat, mind nagyságukat tekintve állandóak, így deriváltjuk

eltűnik: 0i j k= = =ii i

.

v x i y j z k= + +i i i

,

x y zv v i v j v k= + +

A sebesség koordináták: xv x=i

, yv y=i

, és zv z=i.

A pályasebesség:

2 2 2x y zv v v v= + + , vagy 2 2 2v x y z= + +

i i i

A gyorsulás definíciója:

dv da x i y j z kdt dt

⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

i i i

a x i y j z k= + +ii i i i i

,

x y za a i a j a k= + +

A gyorsulás Descartes koordinátái: xa x=i i

, ya y=i i

, és za z=i i

. A gyorsulásvektor hossza:

2 2 2a x y z= + +ii ii ii

. A mozgás leírása henger koordinátarendszerben: A koordináták: , , zρ ϕ , az egységvektorok: e e kρ ϕ , az egységvektorok ilyen sorrendben

jobbsodrású rendszer alkotnak: { }, ,e e kρ ϕ .

z

O

( )r t

( ), , zρ ϕ

k

eρ

ρ0ϕ =

eϕk

ϕ

A pálya paraméteres egyenletrendszere: ( )( )( )

t

t

z z t

ρ ρ

ϕ ϕ

=

=

=

A helyvektor: r e zkρρ= + .

A sebességvektor a definícióból következően:

v e e z kρ ϕρ ρϕ= + +i i i

Az ,e eρ ϕ egységvektorok változtatják az irányukat, így a deriváltjuk már nem zérus.

Körmozgás esetén: állandóRρ = = , így 0ρ =i

, v R e R eϕ ϕϕ ω= =i

, ahol a szögsebesség: ddtϕω ϕ= =

i, így:

v Rϕ ω=

A szöggyorsulás a szögsebesség változási gyorsasága: ddtωβ ω= =

i

Egyszerű mozgások:

1. egyenes vonalú egyenletes mozgás: áll.v s vt= =

2. egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás

állandóa = , 0v v at= + , és 20 2

as v t t= +

3. egyenletes körmozgás: áll. tω ϕ ω= =

4. egyenletesen változó körmozgás:

állandóβ = , 0 tω ω β= + , és 20 2t tβϕ ω= +

2. Dinamikai alapfogalmak. Newton axiómák. Erőtörvények. Mozgásegyenletek. Akció-reakció tétele. Szuperpozíció axiómája. Pillanatnyi teljesítmény, mozgási energia, teljesítménytétel. A dinamika alapfogalmai Kölcsönhatások típusai: test – test test – mező A magára hagyott tömegpont olyan részecske, amely nem áll kölcsönhatásban sem más tömegponttal, sem pedig mezővel. A mechanika I. axiómája (Newton): Van olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a magára hagyott tömegpont sebessége állandó. Ezt tehetetlenségi vagy inercia-rendszernek nevezzük. Inercia-rendszerben a testek állandó mozgásállapotának fenntartásához külső hatásra nincs szükség. A tapasztalat szerint az állócsillagokhoz kötött vonatkoztatási rendszer minden esetben inercia-rendszernek tekinthető. A Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer sok esetben inercia-rendszernek tekinthető. A tömeg bevezetése: A testek az I. axiómának megfelelően tehát tehetetlenek, különböző mértékben ellenállnak a mozgásállapot változásnak. A testek tehetetlenségének mértékét tömegnek nevezzük. A tömeg SI egysége a kg (platina-irídium henger Sèvres). 1kg egyenlő 1 dm3 4ºC hőmérsékletű víz tömegével. A többi test tömegének bevezetését kinematikai mennyiségek mérésére vezethetjük vissza. Tekintsünk egy ismeretlen tömegű testet, és párkölcsönhatásban ütköztessük az etalon tömeggel. Párkölcsönhatásnak nevezzük két test kölcsönhatását, ha más testekkel vagy mezőkkel nem állnak kölcsönhatásban. A tapasztalat szerint a két test sebességváltozása mindig ellentétes irányú egymással, és a fellépő sebességváltozások nagyságának hányadosa a kölcsönhatásban résztvevő testpárra jellemző, nem függ a kölcsönhatás módjától. Tapasztalatok:

x ev K vΔ Δ= − , ahol 0K > , illetve

x

e

vK

vΔ

=Δ

Ezek után minden testhez egyértelműen egy tömeget rendelhetünk, az alábbi előírással:

ex e

x

vm m

vΔ

=Δ

, ahol 1em kg= .

A fenti tapasztalatok alapján: 0e e x xm v m vΔ + Δ =

( ) ( ) 0e e x xm v m vΔ + Δ =

( ) 0e e x xm v m vΔ + = A tömegpont lendülete definíció szerint: p mv= , így a két kölcsönhatásba álló test összes lendülete ö e xp p p= + ,

0öpΔ = Párkölcsönhatás során tehát a pont pár lendülete nem változik.

II. Impulzusmegmaradási axióma: Inerciarendszerben párkölcsönhatás során a rendszer impulzusa nem változik. Megj.: lendület vagy impulzus III. Erőaxióma: A kölcsönhatás erősségének mértékét erőnek nevezzük. A tapasztalat szerint inercia rendszerben a kölcsönhatás erősségének értékéül a lendületváltozási gyorsaságot fogadjuk el. Az erő tehát a lendület idő szerinti első deriváltja:

p F=i

ha .m áll= :

( )d dvmv m ma Fdt dt

= = =

mr F=ii

A fenti egyenletet mozgásegyenletnek nevezzük. Az ( )r t úgynevezett mozgástörvény meghatározásához ismerni kell az erőtörvényeket. Azt a formulát, amely megadja, hogy hogyan függ az erő, a helytől, az időtől, és a sebességtől, erőtörvénynek nevezzük.

, ,F F r r t⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

i

a) helytől függő erők:

- gravitációs 2 rmMF er

γ= −

- rugalmas xF Dx= −

- Coulomb 2 rQqF k er

=

b) sebességtől függő erők: - folyadéksúrlódási erő F vκ= −

- közegellenállási erő 2 vF vv

β= −

c) explicite az időtől függő erő - harmonikus gerjesztő erő 0 cosF F tω=

Lorentz erő ( ),F Qv B r t= × Az erőaxióma állandó tömeg esetén F ma= , ami derékszögű koordinátarendszerben:

, , , , , ,xm x F x x y y z z t⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ii i i i,

, , , , , ,ym y F x x y y z z t⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ii i i i,

, , , , , ,zm z F x x y y z z t⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ii i i i,

három másodrendű közönséges differenciálegyenlet. Az integrálás során 3x2 = 6 integrációs állandó jelenik meg, ezeket a kezdeti feltételekből határozhatjuk meg. A dinamika alapegyenlete, vagy mozgásegyenlet

( ), ,mr F r v t=ii

Az akció reakciótétele Tekintsünk két kölcsönhatásban lévő tömegpontot egy IR-ben. Írjuk fel az erőaxiómát az egyes tömegpontokra:

121p F=i

, 2 21p F=i

( )12 21 1 21 2 0F F p p p p p+ = + = + = =i i ii .

Az impulzus megmaradás axiómája miatt, tehát

12 21F F= − Az akció-reakciótétele szerint IR-ben párkölcsönhatás során, a két test ugyanakkora, de ellentétes irányú erőt fejt ki egymásra. IV. A szuperpozíció axiómája Tegyük fel, hogy egy tömegpont egyidejűleg több kölcsönhatásban vesz részt:

D Ém

1a

vasgolyó gravitációsmezőben

2a

vasgolyó mágnesesmezőben

Egyidejű két kölcsönhatás esetén a tapasztalat szerint: 1 2a a a= + ,

1 2ma ma ma= + ,

1 2F F F= + . Ha egy test egyidejűleg több kölcsönhatásban is részt vesz, akkor az egyes kölcsönhatásokhoz külön-külön tartozó erők vektori összege adja a részecske lendületváltozási gyorsaságát IR-ben. Teljesítmény: A v sebességgel mozgó részecskére ható F erő pillanatnyi teljesítménye definíció szerint:

P F v= ⋅ Mozgási energia: A mozgási vagy kinetikus energia:

212

T mv=

Teljesítménytétel: /F ma v= ⋅ ,

F v mv v⋅ = ⋅i

, 2

2vP m

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

i

, vagy 2

2d vP mdt⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

dTPdt

= , illetve P T=i

A részecskére ható erők teljesítménye egyenlő a részecske mozgási energiájának változási gyorsaságával.

3. A mechanikai munka definíciója. A munkatétel. Fizikai mező, erőtér fogalma. A konzervatív mező és tulajdonságai. Potenciális energia. A mechanikai energiatétel. Munka: Ha a tömegpont F erő hatására elmozdul, és a linearizált elmozdulása dr , akkor az erő a ponton W F drδ = ⋅ elemi munkát végez.

pálya

F

d rPα

12

cosW F drδ α= ,

dr a linearizált elmozdulás: dr vdt v dt dsτ τ= = =

Ha a tömegpont F erő hatására elmozdul az 12 pályaíven, akkor a munkát az erő vonalintegrálja adja az 12 görbeíven.

2

121

W F dr= ⋅∫ .

2 2

1 1

2

121

t t

t t

W F dr F v dt Pdt= ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫

A munka tehát a pillanatnyi teljesítmény időintegrálja. 2 2

1 1

2

121

s s

s s

W F dr F ds F dsττ= ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫

Az erőnek csak a tangenciális komponense végez munkát. Integráljuk a teljesítménytételt egy t1 t2 időintervallumra

2 2

1 1

,t t

t t

dT dTP Pdt dtdt dt

= → =∫ ∫ ,

12 2 1W T T= − , ahol 21

2T mv=

Valamely időközben a részecske mozgási energiája annyit változik amennyi munkát az erők ezalatt végeztek rajta. Ez az állítás a munkatétel. Fizikai mező, erőtér: Fizikai mezőről akkor beszélünk, ha a tér valamely tartományában és valamely időközben, az akkor és ott jelenlévő tömegpontra erő hat és ez a helykoordináták és az idő folytonos differenciálható függvénye.

a) stacionárius a mező, ha 0Ft

∂=

∂, azaz ( )F F r=

b) tömegarányos a mező, ha Ffm

= , f független az erőt elszenvedő test tömegétől,

kizárólag a mezőt jellemzi neve: térerősség

c) homogén a mező, ha ( )F F t= , tehát a helytől nem függ A továbbiakban tekintsünk stacioner mezőket. Szemléltetésük erővonalakkal történhet. Ezek olyan irányított görbék, melyeknek érintő egységvektora megmutatja az érintési pontbeli erő irányát.

d rP erővonal

F

Az erővonalak differenciálegyenlete:

0F dr× = Konzervatív mező: Konzervatív mező az olyan stacionárius erőtér, amelyben az elemi munka teljes differenciál, vagyis van olyan függvénye a helykoordinátáknak, melynek teljes linearizált megváltozása az elemi munka. A ( )V r függvényt melynek negatív megváltozása az elemi munka, potenciális helyzeti vagy kölcsönhatási energiának hívjuk.

( )W F r dr dVδ = ⋅ = − Derékszögű Descartes koordinátarendszerben:

x y zF dr F dx F dy F dz⋅ = + + , V V VdV dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂− = − − −

∂ ∂ ∂, így

x y zV V VF dx F dy F dz dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂+ + = − − −

∂ ∂ ∂,

azaz

xVFx

∂= −

∂, y

VFy

∂= −

∂, z

VFz

∂= −

∂,

Röviden vektor alakban: F V grad V= −∇ = −

ahol a nabla vektor:

i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

, vagy , ,x y z

⎧ ⎫∂ ∂ ∂∇ = ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭

Konzervatív mezőben az erő a helyzeti energia negatív gradiense. Írjuk fel a kapcsolatot konzervatív mezőben az erő által végzett munka és a potenciális energia között:

W dVδ = −

[ ] [ ]2

22 1 1 212 1

112

W F dr dV V V V V V= ⋅ = − = − = − − = −∫ ∫ ,

Az erő által végzett munka az 1, 2 pontok között egyenlő a potenciális energia negatív megváltozásával, azaz éppen a kezdő és végpontbeli helyzeti vagy potenciális energia különbségét adja. Ez azt jelenti, hogy a munkavégzés konzervatív mezőben két pont között független a görbétől, csak a kezdő és végponttól függ:

2 2

1( ) 1( )a b

F dr F dr⋅ = ⋅∫ ∫

(a)

(b)1

2

Konzervatív mezőben egy zárt görbe mentén végzett munka zérus:

1 1 0F dr V V⋅ = − =∫

0g

F dr⋅ =∫ , vagy 0

0W =

A potenciális energia értéke egy állandó erejéig határozatlan. Azt a helyet, ahol a potenciális energiát 0-nak választjuk, tetszőlegesen vehetjük fel. Legyen a referencia pont az 0r , és válasszuk itt a potenciális energiát zérusnak, ( )0 0V r = , ekkor a potenciális energia egy tetszőleges 1r pontban:

dV F dr− = ⋅ 0 0

1 1

r r

r r

dV Fdr− = −∫ ∫

( ) ( )0

1

1 0

r

r

V r V r F dr− = ⋅∫

( )0

1

1

r

r

V r F dr= ⋅∫

A tömegpont potenciális energiája az 1r pontban egyenlő azzal a munkával, amit a konzervatív mező végez, miközben a tömegpont elmozdul az 1r pontból az 0r referencia pontba. Írjuk fel a munkatételt konzervatív mezőben:

12 2 1W T T= − ,

12 1 2W V V= − ,

1 2 2 1V V T T− = − ,

1 1 2 2T V T V+ = + Vezessük be a mechanikai energiát úgy, mint a mozgási és helyzeti energia összegét:

E T V= + , 1 2E E=

Konzervatív mezőben a mechanikai energia állandó. Ez a mechanikai energia megmaradásának tétele. Tételezzük fel, hogy nem-konzervatív erők is hatnak, a konzervatív erők mellett. A természetben ezek gyakran egyidejűleg hatnak egy tömegpontra. Ilyenkor:

12 12 2 1K NKW W T T+ = −

12 1 2KW V V= −

12KW a konzervatív erők munkája, 12

NKW pedig a nem-konzervatív erőké.

12 2 2 1 1NKW T V T V= + − −

12 2 1NKW E E= −

Ha nem-konzervatív erők is hatnak, akkor a munkájuk egyenlő a mechanikai energia megváltozásával.

4. Lineáris csillapítatlan szabad rezgés. Lineáris csillapított szabad rezgés. Gyenge csillapítás. Ger-jesztett rezgés. Amplitúdó rezonancia. Lineáris csillapítatlan szabad rezgés: Tételezzük fel, hogy a tömegpontra a kvázielasztikus vagy közel rugalmas erő hat, ez a kitéréssel arányos, de azzal ellentétes irányú:

, 0xF Dx D= − > Ekkor a tömegpont mozgásegyenlete:

m x Dx= −i i

Oldjuk meg ezt a másodrendű differenciálegyenletet az x(t) függvényre:

Dx xm

= −i i

Vezessük be a következő jelölést: 20

Dm

ω =

Ekkor az egyenlet: 20x xω= −

i i,

20 0x xω+ =

i i

Ez egy másodrendű, homogén, lineáris, állandó együtthatójú, és közönséges differenciálegyenlet. Az általános megoldás a két független partikuláris megoldás lineáris kombinációja. A partikuláris megoldások:

1 0sinx tω= ,

2 0cosx tω= . Lineáris kombinációjuk:

1 0 2 0( ) sin cosx t C t C tω ω= + , vagy más alakban:

( )0( ) sinx t A tω δ= + Az első megoldásban 1C , és 2C , a másodikban pedig A , és δ integrációs állandók. A kitérés maximális értéke az amplitúdó A , δ pedig a kezdőfázis, 0ω a körfrekvencia. A rezgés periódusideje T:

0

2 2 mTD

π πω

= =

A rezgés frekvenciája:

01fT

= .

A kitérés idő függvény látható a következő ábrán:

T

x

t

A

A− A rugalmas erő konzervatív erő, ekkor igaz, hogy:

F V= −∇ V a potenciális energia. Egy dimenzióban:

xVFx

∂= −

∂

a rugalmas erő pedig: xF Dx= −

VDxx

∂− = −

∂

Így a potenciális energia: 21

2V Dx C= +

Válasszuk nullának a potenciális energiát az egyensúlyi helyzetben, így 0C = . A rugalmas potenciális energia tehát:

( ) 212

V x Dx= .

Lineáris csillapított szabad rezgés: A tömegpontra a már ismert rugalmas erő hat xF Dx= − , valamint egy (folyadék) súrlódási vagy csillapító erő, amely kis sebesség esetén a sebességgel arányos, de vele ellentétes irányú:

xS xκ= −i,

0κ > csillapítási tényező.

m x Dx xκ= − −i i i

,

0Dx x xm mκ

+ + =i i i

.

Bevezetve a két szokásos jelölést:

2mκα = , 0

Dm

ω =

A homogén, lineáris, másodrendű differenciálegyenlet: 202 0x x xα ω+ + =

i i i

A megoldást keressük az alábbi formában: t

px eλ= 2 2

02 0t t te e eλ λ λλ αλ ω+ + = , de 0teλ ≠ , így a karakterisztikus egyenlet:

2 202 0λ αλ ω+ + = .

Ennek a gyökei: 2 2

12 0λ α α ω= − ± − . A három lehetséges eset: Ha 2 2

0 0α ω− < , akkor gyenge csillapítás, ha 2 20 0α ω− = , akkor kritikus csillapítás, ha pedig

2 20 0α ω− > , akkor erős csillapítás esete valósul meg. Amennyiben a gyökök különböznek,

akkor a két egymástól független partikuláris megoldás lineáris kombinációját kell venni: 1 2

1 2( ) t tx t C e C eλ λ= + . Gyenge csillapítás esetén vezessük be a következő jelölést:

2 20γ ω α= − ,

12 iλ α γ= − ± A megoldás:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2i t i t t i t i tx t C e C e e C e C eα γ α γ α γ γ− + − − − −= + = +

Az Euler-relációt felhasználva: cos sinie iϕ ϕ ϕ= + ,

( ) ( ) ( )1 2cos sin cos sintx t e C t i t C t i tα γ γ γ γ−= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

( ) ( ) ( )1 2 1 2cos sintx t e C C t i C C tα γ γ−= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ . A differenciálegyenlet általános megoldása:

( ) [ ] ( )cos sin sint tx t e A t B t Ce tα αγ γ γ δ− −= + = + , A folyamatot a csillapodás miatt kváziperiódikusnak nevezzük. A kitérés idő függvény pedig:

x

t

Megjegyzés: Ha 0α ω= tejesül, akkor a kritikus csillapításnak megfelelő megoldás:

( )1 2( ) tx t C C t e α−= + . Ha 0α ω> , akkor erős csillapítás van, ilyenkor:

( )1 2( ) t t tx t C e C e eβ β α− −= + , ahol 2 20β α ω= −

Gerjesztett lineáris rezgés, rezonancia: Tekintsünk egy olyan mozgást, ahol a tömegpontra a már ismert két erőn kívül egy periodikus gerjesztő erő hat melynek ω a körfrekvenciája.

xF Dx= − kvázielasztikus erő,

xS xκ= −i közegellenállás,

0 cosxF F tω= gerjesztő erő. A mozgásegyenlet:

0 cosm x Dx x F tκ ω= − − +i i i

A jelölések:

2 00 02 , , FD f

m m mκα ω= = = ,

20 02 cosx x x f tα ω ω+ + =

i i i.

Ez egy másodrendű, lineáris, állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet, melynek általános megoldása a homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának az összege:

inh.ált hom.ált inh.partx x x= + . Mivel hom.áltx időben exponenciálisan csökken, ezért elegendő idő után elhanyagolhatóvá válik. Az állandósult állapotban inh.ált inh.partx x= . A rezgés megindulását követő tranziens jelenségtől eltekintünk és az állandósult megoldást keressük. Ezt jelöljük x-szel.

20 02 cosx x x f tα ω ω+ + =

i i i

Vegyük fel az alábbi segédegyenletet, melyben i a komplex egység: 20 02 sini y i y i y if tα ω ω+ + =

ii i

a két egyenletet összegezve és bevezetve az új komplex változót z x iy= + ,

az alábbi egyenletet nyerhetjük: 20 02 i tz z z f e ωα ω+ + =

i i i

Az átírás során felhasználtuk az Euler-relációt: cos sinie iϕ ϕ ϕ= + .

Keressük ennek a komplex egyenletnek a megoldását a következő alakban: ( )i tz Ae ω δ−= .

( ) ( ) ( )2 20 02i t i t i t i tA e Ai e Ae f eω δ ω δ ω δ ωω α ω ω− − −− + + =

Egyszerűsítsük az egyenletet az i te ω taggal: 2 2

0 02iAe i fδ ω α ω ω− ⎡ ⎤− + + =⎣ ⎦ ,

( ) ( )2 20 0cos sin 2A i i fδ δ ω ω αω⎡ ⎤− − + =⎣ ⎦ .

Ez egy komplex algebrai egyenlet, melyet két valós egyenlettel tudunk kielégíteni: ( )2 2

0 0cos 2 sinA fδ ω ω αω δ⎡ ⎤− + =⎣ ⎦

( )2 20sin 2 cos 0A δ ω ω αω δ⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ .

Az egyenletrendszer két ismeretlenje A , és δ , és a megoldásuk:

2 20

2tan αωδω ω

=−

,

( )022 2 2 2

0 4

fAω ω α ω

=− +

A keresett megoldás valós része pedig: ( ) ( )cosx t A tω δ= −

Az általunk felvett megoldás tehát valóban kielégíti a differenciál egyenletet, ha A és δ az előbb meghatározott alakú. A stacionárius megoldás tehát egy egyszerű harmonikus rezgés. A létrejövő rezgés körfrekvenciája megegyezik a gerjesztő erő körfrekvenciájával és azt δ fáziskéséssel követi. A rezgés amplitúdója függ a gerjesztő erő amplitúdójától és körfrekvenciájától. A következő ábra azt mutatja, hogy a létrejövő rezgés amplitúdója maximális értéket vesz fel egy bizonyos frekvencián. Ezt rezonancia frekvenciának nevezzük. A két különböző görbe különböző csillapításokhoz tartozik. Ha a csillapítás csökken, a rezonanciagörbe élesebbé válik.

rωO

A

ω

1α

2α

1 2α α<

Ez a megoldás, amit korábban alkalmaztunk csak a tranziens folyamat lejátszódása után írja le a rezgést. Ha a tranziensre is kíváncsiak vagyunk, akkor más módszerrel kell a differenciál egyenletet megoldani.

5. Pontrendszerek mechanikája. A kontinuumok Euler-féle leírása. Tömegmérleg. Bernoulli-egyenlet. Hidrosztatika. Felhajtóerő és Arhimédesz törvénye. Tömegpontrendszerek Tömegpontok meghatározott halmaza, mindig ugyanazok a pontok tartoznak hozzá. A pontok száma legyen n, az i-edik pont tömege pedig mi. A pontrendszer tagjai egymással is meg a külvilággal is kölcsönhatásban állhatnak. Az egymással való kölcsönhatáshoz rendelt erőket belső erőknek, a külvilággal való kölcsönhatást leíró erőket pedig külső erőknek nevezzük.

test - test kölcsönhatás: ikF az erő, amelyet a k-adik fejt ki az i-edik pontra

Belső erők

test - mező kölcsönhatás:*

ikF az erő, amely a k-adik pont mezőjében az i-edikre hat

ik ik ikB F F∗

= + a teljes belső erő. Az akció reakció tétele miatt ik kiF F= − .

Általában ik kiF és F∗ ∗

nem egymásnak az ellentettje. A mechanikában azonban a legtöbb esetben fennáll az akció – reakció elve a *-os erők között is, ezért a továbbiakban feltesszük, hogy ik kiF F

∗ ∗= − .

Az i-edik pontra ható teljes külső erő legyen iF . A rendszer i-edik elemének mozgásegyenlete:

i ikik

p F B•

= +∑ , i = 1,2 … n , 0iiB =

Ezt az n – számú egyenletet adjuk össze:

i ikii i i k

p F B•

= +∑ ∑ ∑∑

Legyen p a rendszer összimpulzusa

ii

p p=∑ ekkor ii

p p• •

= ∑

jelölje ii

F F=∑ a pontrendszerre ható összes külső erőt. Mivel a kettős összeg párokba

rendezhető pl: ik kiB B= − , így bármely pár összege 0 és így az egész összeg eltűnik. Így az impulzustétel pontrendszerre:

p F•

= . A pontrendszer impulzusának változási gyorsasága egyenlő a pontrendszerre ható külső erők összegével. Tömegközéppont az a geometriai pont, amelyre a tömegpontrendszer sztatikai nyomatéka

eltűnik, azaz 0iii

m r ′ =∑

x y

z

O

ir

cr

C

imir ′

i i cr r r′ = − ,

( ) 0i cii

m r r− =∑

0i ci ii i

m r r m− =∑ ∑

iii

c

ii

m rr

m=∑∑

.

A tömegközéppont helye egyértelműen meghatározható. A tömegközéppont helyvektorát úgy kapjuk, hogy az origóra számolt teljes sztatikai nyomatékot elosztjuk a pontrendszer teljes tömegével. Legyen i

im m=∑ . A tömegközéppont sebessége:

1 1 1c ic ii i i

i i iv r m r m v p

m m m

• •

= = = =∑ ∑ ∑

cpvm

= .

A pontrendszer impulzusa egyenlő össztömegének és a tömegközéppontja sebességének szorzatával. Deriváljuk a fenti egyenletet az idő szerint:

cp Fam m

•

= = , így

cma F= . Ez a tömegközépponti tétel (az impulzustétel más alakja). A tömegközéppont gyorsulását úgy számíthatjuk ki, hogy a pontrendszerre ható külső erők összegét elosztjuk a pontrendszer össztömegével. Zárt a mechanikai rendszer, ha külső erők nem hatnak rá. Inerciarendszerben a zárt tömegpontrendszer tömegközéppontja nem gyorsulhat, vagy áll, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Kontinuumok mechanikája: A kontinuum olyan anyag, amelyben a fizikai mennyiségek eloszlását a helykoordináták folytonos differenciálható függvényei írják le. Az Euler-féle leírással foglalkozunk. Ilyenkor a

( ),v v r t= , ( ),p p r t= , illetve a ( ),r tρ ρ= függvények előállítása a cél. A kontinuumáramlás áramvonalakkal szemléltethető, ezek olyan görbék, melynek bármely pontbeli érintője tartó egyenese az ottani sebességvektornak.

áramvonal

v

d r

Az áramvonalak differenciálegyenlete: 0v d r× = Tömegmérleg (kontinuitási egyenlet): A tömeg megmaradó mennyiség, nem keletkezik, és nem tűnik el. Matematikai alakban fogalmazzuk meg ezt. Tekintsünk egy nyugvó V térfogatot. A dt idő alatt a dA felületen kiáramló tömeg:

dA

A

V

vdtdhγ

vdA

cosdm dAdh dAv dt v dAdtρ ρ γ ρ= = = ⋅

Időegység alatt dA felületen kiáramló tömeg: dm v dAdt

ρ= ⋅

A zárt felületen kiáramló tömeg

A

v dAρ ⋅∫

A V térfogatban foglalt tömeg változási gyorsasága pedig:

V

d dVdt

ρ∫

Így a kontinuitási egyenlet integrális alakja, amely a tömegmegmaradást fejezi ki:

V A

d dV v dAdt

ρ ρ= − ⋅∫ ∫

Az idő szerinti differenciálás és a helykoordináták szerinti integrálás sorrendje felcserélhető. Az egyenlet másik oldalán pedig alkalmazzuk a Gauss integrál átalakítási tételt így:

( )V V

dV v dVtρ ρ∂

= − ∇ ⋅∂∫ ∫ , azaz ( ) 0

V

v dVtρ ρ∂⎡ ⎤+∇ ⋅ =⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ ,

( ) 0vtρ ρ∂+∇ ⋅ =

∂

Ez utóbbi egyenlet a tömegmegmaradás törvényének differenciális vagy lokális alakja. A nabla vektort már korábban láthattuk:

nabla∇ =

i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

Stacionárius vagy időben állandósult áramlás esetén

0d dVdt

ρ =∫ ,így 0v dAρ ⋅ =∫

dA

vdA

2A

1A

palástA

1 palást 2

0A A A

v dA v dA v dAρ ρ ρ⋅ + ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫

A palástra vonatkozó integrál eltűnik:

palást

0A

v dAρ ⋅ =∫

1 1 1 2 2 2 0v A v Aρ ρ− + = Így a kontinuitási egyenlet vékony áramcsőre stacionárius áramlás esetén:

1 1 1 2 2 2v A v Aρ ρ= , ha a közeg összenyomhatatlan, .állρ =

1 1 2 2v A v A= . A Bernoulli egyenlet: Összenyomhatatlan folyadék stacionárius áramlása vékony áramcsőben, homogén gravitációs mezőben. Munkatétel segítségével származtatható:

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

p v gh p v ghρ ρ ρ ρ+ + = + +

Hidrosztatika: Az összes fizikai mennyiség időben állandó, alkalmas vonatkoztatási rendszerből 0v =

0, 0, 0v pt t t

ρ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂.

A folyadék egy pontjában a nyomás a felületre merőleges erő és a pont körüli kicsiny felület hányadosa:

dFpdA

=

ha p állandó= egy véges felületen, akkor FpA

= , így F pA= .

A folyadékrészek súlyából származik a hidrosztatikai nyomás. Az egymás fölött elhelyezkedő folyadékrétegek egymásra nyomóerőt fejtenek ki. Szabadon eső folyadékban nincs hidrosztatikai nyomás, ilyenkor az érintkező felületek között megszűnik az erő. Tekintsünk nyugvó folyadékot homogén gravitációs mezőben. A szabad felszínen a nyomás legyen 0p .

ρ

dy

y

0

dG

( )p dp A+

pA

0p

Szemeljük ki a folyadék belsejében egy hasábot melynek vastagsága dy keresztmetszete A súlya dG . Legyen az alaplapján a nyomás p a fedőlapján p dp+ . A folyadékhasáb egyensúlyának feltétele, hogy a rá ható erők eredője nulla.

( ) 0pA dG p dp A+ − + = , 0dG dpA− = ,

Ady g dpAρ = , dpgdy

ρ =

A fenti egyenletből az látszik, hogy a nyomás lineáris függvénye a y mélységnek.

0p p gyρ= + A hidrosztatikai nyomás folyadék szabad felszíne alatt y mélységben gyρ az edény alakjától független, 0p pedig a szabadfelszíni nyomás Felhajtóerő, Archimedes törvénye:

ρfolyadékG

felF

0p

ρ

testG

felF

0p

A folyadékba vagy gázba merülő test hatásfelületén ébredő nyomóerőrendszer eredője függőlegesen felfelé mutat és nagysága megegyezik a kiszorított folyadék vagy gáz súlyával. Ezt az erőt nevezzük felhajtóerőnek. Támadáspontja a kiszorított folyadék tömegközéppontjában van.

6. A belső energia. Extenzív, intenzív állapotjelzők. Hőközlés, munkavégzés. Kvázisztatikus térfogati munka. A hőtan első főtétele. A kinetikus gázelmélet elemei, a gáz nyomása. Az egyatomos ideális gáz belső energiája. Szabadsági fok fogalma. Ekivipartició tétele. Hőtan Tárgyalásának két irányzata:

1. fenomenologikus, leíró módszer, az anyag szerkezetét nem vizsgálja 2. statisztikus mechanikai tárgyalásmód, részecskék mozgásának, kölcsönhatásának

vizsgálata A mi tárgyalásunk döntően fenomenologikus lesz, az ideális gáz belső energiájának származtatásától eltekintve. A sokelemű anyaghalmazok belső energiájára utaló jelek: A tapasztalatok szerint a sokelemű anyaghalmazoknak belső energiája van. Erre utal például a súrlódás, amikor a mozgási energia egy része elvész a folyamatban, de a test és a felület kissé felmelegszik. Szintén a belső energiára utal a Brown mozgás. A kálium-permanganát (KMnO4) oldódása vízben azt mutatja, hogy a víz részecskéi nagysebességgel ütköznek a festék rögöcskékkel. Tapasztalataink szerint ez a sebesség a növekvő hőmérséklettel nő. A részecskéknek tehát sebességük, és így mozgási energiájuk van. Mivel számuk igen nagy 6⋅1023 nagyságrendű ez a mozgási energia nem hanyagolható el. Belső energia: A sokelemű anyaghalmaz belsőenergiája magában foglalja a molekulák rendezetlen mozgásához tartozó kinetikus energiát és a Van der Waals kölcsönhatásuk potenciális energiáját. Nem tartozik a belső energiába a rendezett mozgás kinetikus energiája, és a külső mezőkkel való kölcsönhatás potenciális energiája. Állapotjelzők: A sokelemű anyaghalmaz egészére vonatkozó makro fizikai műszerrel mérhető mennyiségek. Például nyomás, térfogat, hőmérséklet, tömeg stb.

1. Extenzív mennyiségek: tartományon értelmezettek és összeadódóak (additívak) térfogat V tömeg m belső energia E

2. Intenzív mennyiségek: pontban értelmezettek és kiegyenlítődőek nyomás p hőmérséklet T

Termikus egyensúly: Ha a sokelemű anyaghalmazban az intenzitás paraméterek helyről helyre változnak, megindul az extenzív mennyiségek áramlása. A folyamat akkor ér véget, ha az intenzív paraméterek kiegyenlítődtek, s eloszlásuk homogénné vált. Ekkor termikus egyensúlyról beszélünk. A tapasztalatok szerint a sokelemű anyaghalmaz energiája megváltoztatható például

- rendezett mozgás révén (hengerbe zárt gáz összenyomása dugattyúval), ilyenkor munkavégzésről beszélünk (W)

- rendezetlen mozgás révén (gáztartály a fűtőtesten), ezt hő közlésnek nevezzük (Q) A hőtan I. főtétele: A termodinamika, vagy hőtan I. főtétele értelmében a sokelemű anyaghalmaz belső energiájának megváltozása egyenlő a rendszeren végzett munka és a rendszerrel közölt hő összegével.

E Q WΔ = + 0Q > a környezet hőt közöl a rendszerrel 0Q < a rendszer hőt ad le

W a környezet munkája a rendszeren 'W a rendszer munkája a környezeten

'W W= − . Kvázi sztatikus térfogati munka:

- közel egyensúlyi állapotokon keresztül valósul meg (lassú) - tekintsünk folyadékot vagy gázt

Ap

dsF= pA

F ′F

F a környezet által kifejtett erő, 'F a gáz által kifejtett erő, és 'F F= − .

'F F pA= = W pAdsδ = − , mivel tágul a gáz, így dV Ads=

Az elemi kvázi sztatikus térfogati munka: W pdVδ = − . Véges folyamatra pedig:

a környezet munkája: 2

1

12

V

V

W pdV= −∫ , a rendszer munkája pedig 2

1

'12

V

V

W pdV= ∫ .

A rendszer által végzett munka geometriai jelentése: a pV síkon a görbe alatti terület. p

1V V2V

12W ′

Ha 0dV > a gáz kitágul, akkor 0W pdVδ = − < , illetve ' 0W pdVδ = > . Ha 0dV < a gázt összenyomjuk, akkor 0W pdVδ = − > , illetve ' 0W pdVδ = < . A hőtan első főtétele elemi folyamatra: A belső energia elemi megváltozása egyenlő az elemi végzett munka és az elemi közölt hő összegével

dE W Qδ δ= + A belső energia állapotjellemző, míg a munkavégzés és a hő közlés folyamatjellemzők. Gázok hőtana: Tekintsünk a továbbiakban ideális gázt.

1. az összes molekula sajáttérfogata elhanyagolható az edény térfogatához képest 2. a molekulák közötti kohéziós erő elhanyagolható 3. a rendszertelen mozgás során a molekulák a fallal és egymással ütköznek, ez utóbbi

igen ritka 4. a molekulák ütközését teljesen rugalmasnak tételezzük fel 5. a gáz egyatomos (pontszerű golyócskák)

Tekintsük az alábbi dugattyúval elzárt hengert. Legyen N golyók száma, m0 egy golyó tömege, V térfogat, és xv a falra merőleges sebesség komponens. A térfogategységben levő

golyók száma NnV

= .

A

V v

vxv

0m

N

- egy részecske falra merőleges lendületváltozása 02x xp m vΔ = , - adott tΔ idő alatt xv t AΔ térfogatból származó golyók ütközhetnek a fallal, - számuk xn v t AΔ , így - a teljes lendületváltozásuk x xp p nv t AΔ = Δ Δ

A dugattyúra kifejtett erő: 20

02 2x x

xm v nv t ApF m v An

t tΔΔ

= = =Δ Δ

.

Az ebből származó nyomás pedig 2

02 xFp m v nA

= = .

Mivel a részecskék sebessége nem egyforma 2xv -et cseréljük 2

xv -ra. Csak a részecskék egyik

fele mozog ebben az irányban így a 2-es szorzót elhagyhatjuk, 20 xp m v n= .

Mivel az atomok ugyanolyan valószínűséggel mozognak bármely irányban, így jogos feltételezni, hogy

2 2 2x y zv v v= =

A részecskék sebességnégyzet átlaga 2 2 2 2

x y zv v v v= + + , így 2 23 xv v= , illetve 2 213xv v=

20

13

p m v n=

20

1 22 3

Np m vV

=

20

2 13 2

pV N m v=

Bevezetve egy részecske átlagos mozgási energiáját: 20

12

m vε = , E Nε= az ideális gáz belső

energiája. Ideális gáz esetén a Van der Waals-féle potenciális energia elhanyagolható 23

pV Nε= , így

32

E pV=

Az egymástól független energiatárolási lehetőségek számát szabadsági foknak nevezzük, jele: f. Egyatomos gáz esetén f = 3, kétatomos molekulák esetén f = 5, többatomos molekulájú a gáz esetén f = 6.

2 xfE pV f Nε= =

2xpVN

ε =

Tapasztalataink alapján célszerű a hőmérsékletet, mint az egy szabadsági fokra jutó energiával arányos mennyiséget definiálni. A gáz T abszolút hőmérséklete alatt egy gázrészecske egy szabadsági fokára jutó átlagos energiával arányos mennyiséget értünk:

12x kTε =

ahol a k az arányossági tényező neve Boltzmann állandó. Az ekvipartíció tétele kimondja, hogy időátlagban a gáz bármelyik részecskéjére és bármely szabadságfokára azonos energia 12

kT jut.

7. Az ideális gáz állapotegyenlete. Gázhőmérő. Az első főtétel alkalmazása speciális állapotváltozásokra. Izochor, izobár, izoterm és adiabatikus folyamatok. Gázhőmérő, abszolút hőmérséklet: Felhasználva az ekvipartíció tételét és az ideális gáz belső energiájának eredményét juthatunk az ideális gáz állapotegyenletéhez:

12 2pV kTN

= , így pV NkT=

Tekintsünk jég-víz keveréket és forrásban levő vizet. Jelölje a külső nyomást kp . A vékony üvegcsőben lévő ideális gázt egy pici higany cseppecske zárja el a külvilágtól. Helyezzük az üvegcsövet jég-víz keverékbe és mérjük meg a gázoszlop hosszát 0l . Forrásban lévő víz esetén ezt jelölje fl . Az abszolút hőmérsékleti skálán a két hőmérséklet legyen 0T , és fT .

0 oC

jég víz keverék

100 oC

forrásban lévő víz

Az ideális gáz állapotegyenletét felírva a két ideális gázra nyerhetjük: 0 0kp Al NkT=

k f fp Al NkT= . A a cső keresztmetszete és N a részecskék száma. Az egyenletek különbségét majd a megfelelő különbséget :

( ) ( )0 0k f fp A l l Nk T T− = −

0 0

0 0

f fl l T Tl T− −

=

Legyen száz egység a forrásban lévő víz és a jég-víz keverék hőmérséklete között az abszolút hőmérsékleti skálán is:

0 100fT T K− =

00

0

100 273f

lT K Kl l

= =−

.

A jég olvadáspontjához az abszolút hőmérsékleti skálán a 0 273T K= -t a forráshoz a 373fT K= -t rendeljük.

A relatív atom vagy molekulatömeg egy viszonyszám, amely megadja, hogy egy atom vagy molekula tömege hányszorosa az úgynevezett atomi tömegegységnek. 271 1,66 10ATE kg−= ⋅ .

A 12C szénizotóp tömegének 112

-ed részéhez történik a hasonlítás. A mól tömeg az 1 mólnyi

mennyiségű anyag tömege. Egy mól anyag tömege az anyag annyi grammja amennyi egy részecskéjének relatív atom illetve molekulatömege, jele: M. Normál állapotnak nevezzük a 273 K hőmérsékletet és 1,01⋅105 Pa nyomást. Jelölje AN az Avogadro számot:

23 16,022 10ANmól

= ⋅

A AmN nN NM

= =

pV NkT= 231,37 10 Jk

K−= ⋅

AmpV N kTM

=

Bevezetve az általános gázállandót AR N k= :

8,314 JRmólK

=

Az ideális gáz állapotegyenletének másik alakja: mpV RTM

= .

Ideális gáz belső energiája és megváltozása, amennyiben a tömege nem változhat:

2 2f f mE NkT RT

M= =

2 2f f mE Nk T R T

MΔ Δ Δ= =

Az I. főtétel alkalmazása speciális állapotváltozásokra: 1. Izochor folyamat során állandóV = , így térfogati munkavégzés nincs 12 0W = .

12 12 12E Q WΔ = +

12 12E QΔ =

12 122f m R T Q

MΔ⋅ ⋅ =

A 2vf Rc

M= ⋅ kifejezés értéke csak az anyagi minőségre jellemző állandó, az állandó

térfogaton vett fajhő, mértékegysége [ ] 1vJc

kgK= . A folyamat során felvett vagy leadott hő

tehát: 12 12vQ c m TΔ=

Legyen állandó a térfogat mellett a részecskeszám, illetve a tömeg, ilyenkor az ideális gáz állapotegyenletéből:

pV NkT=

állandópT=

p

V

állandóV =

1

2

1p

2p

2. Izobár folyamat esetén a nyomás állandóp = .

12 12 12E Q WΔ = +

12 122f mE R T

MΔ Δ= ⋅ ⋅ .

Mivel állandó a nyomás a környezet által végzett munkát könnyen kiszámíthatjuk:

( ) ( )2

12 2 1 2 11 p áll

mW pdV p V V R T TM=

= − = − − = − −∫

A térfogati munkát a két állapotra felírt állapotegyenlet segítségével írhattuk át úgy, hogy benne a hőmérsékletváltozás szerepeljen:

1 1mpV RTM

= , illetve 2 2mpV RTM

= .

12 12 122f m mR T Q R T

M MΔ Δ= −

12 122pc

f R RQ m TM M

Δ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

12 12pQ c m TΔ= ahol pc az állandó nyomáson vett fajhő

2p vf R R Rc c

M M M= + = +

A Robert-Mayer egyenlet:

p vRc cM

= +

12pf Rc

M⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Szokás használni az adiabatikus kitevőt, aminek definíciója: 2

22

2

p

v

fc f

fc fκ

++

= = = .

Legyen állandó a nyomás mellett a részecskeszám, illetve a tömeg, ilyenkor az ideális gáz állapotegyenletéből:

pV NkT= ,

állandóVT=

p

V

állandóp =

1V 2V

1T 2T

3. Izoterm folyamat során állandóT = , ilyenkor a belső energia állandó megváltozása nulla,

12 0EΔ = , így az első főtételből:

12 12 12E Q WΔ = +

12 120 Q W= +

12 12W Q− =

A környezet által végzett munka:2

1

12

V

V

W pdV= −∫ , azonban pV állandó= , így például

1 1pV pV= , ebből a nyomás kifejezhető 1 1pVpV

= .

2

1

1 1 21 1

1

lnV

V

pV VW dV pVV V

= − = −∫ , ekkor

212 1 1

1

ln VQ pVV

= .

Legyen állandó a hőmérséklet mellett a részecskeszám, illetve a tömeg, ilyenkor az ideális gáz állapotegyenletéből:

állandópV = Az izoterm állapotváltozás képe a p-V állapotsíkon egy hiperbola.

p

V

constantT =

1

2

1p

2p

2V1V 4. Adiabatikus folyamat során hő felvétel és hő leadás nincs: 12 0Q = .

12 12 12E Q WΔ = +

12 12E WΔ = . Ilyenkor az állapotjelzők közötti kapcsolatot a Poisson egyenletek adják. Ezek származtatására nincs módunk, csak a végeredményt adjuk meg:

állandópV κ = , vagy felhasználva, hogy pV NkT=

1 állandóTV κ− = Ilyenkor az állapotjelzők közötti kapcsolatot a Poisson egyenletek adják. .pV állκ = illetve, felhasználva, hogy pV NkT=

NkTpV

= , ekkor .NkT V állV

κ⋅ = 1 .TV állκ − =

8. Erőgépi és hűtőgépi körfolyamatok. Carnot-féle körfolyamat és hatásfoka. Redukált hő. Reverzibilis és irreverzibilis folyamatok. Entrópia. A termodinamika második főtétele. Folyadékok és szi-lárd anyagok hőtana. Hőtágulás. Szilárd anyagok fajhője. Halmazállapot változások Körfolyamatok, a Carnot ciklus: Körfolyamatoknak nevezzük az olyan állapotváltozások sorozatát, melynek során a kiindulási és végállapot megegyezik, s így a rendszer belső energiája nem változik.

p

V

oW ′

0 0 0E Q WΔ = + ,

0 0W Q− =

0 0

'W Q=

A körfolyamat során a felvett és leadott hők algebrai összege egyenlő a körfolyamat során a rendszer által végzett munkával. Bármilyen körfolyamatra igaz, hogy az egy ciklus alatt hasznosítható munka egyenlő a p-V állapotsíkon ábrázolt körfolyamat által körülfogott terület nagyságával. A hőt megfelelő kazán és hűtő alkalmazásával ciklikusan részben mechanikai munkává alakító berendezést hőerőgépnek nevezzük. A hőerőgépi körfolyamat termikus hatásfoka alatt értjük a hasznos munka és a kazánból egy ciklus során felvett vagy befektetett hő hányadosát.

0'

be

WQ

η =

Erőgépi körfolyamat esetén: 0

' 0W > . Ilyenkor a rendszer hőt vesz fel a kazántól melynek egy részét leadja a hűtőnek, és közben pozitív munkát végez. A hőerőgép a felvett hő egy részét tehát ciklusonként pozitív mechanikai munkává alakítja.

Kazán

Hűtő

Hőerőgép

oW ′

1T

2T

A körfolyamatok fordított körüljárási irányban is lejátszathatóak. Ilyenkor a folyamatot a gázon végzett munkavégzések tartják fenn, s a ciklus során az alacsony hőmérsékletű hőtartály hőmérséklete csökken, a magasabb hőmérsékletű hőtartály hőmérséklete nő. Ez a hűtőgép és a hőszivattyú működési elve. A hűtőgépek mechanikai munkavégzés révén hőt szállítanak az alacsonyabb hőmérsékletű hőtartályból a magasabb hőmérsékletű hőtartályba. A hűtött térből elvont hő a hasznos eleme a folyamatnak. Hűtőgépi körfolyamat esetén:

0' 0W < .

oW

Kazán

Hűtő

Hűtőgép

1T

2T

Mind elméleti mind gyakorlati szempontból fontos kérdés, hogy milyen az a körfolyamat, amely a kazánból felvett hőnek legnagyobb hányadát alakítja hasznosítható munkává. S. Carnot kimutatta, hogy ebből a szempontból az ideális hőerőgép ciklusát izoterm tágulási, adiabatikus tágulási, izoterm összenyomási és adiabatikus összenyomási folyamatok határolják.

p

1T

V

2T

1

2

3

4

1Q

2Q

oW ′

Jelőlje a Carnot-ciklusban 1Q a kazánból felvett hőt, 2Q a hűtőnek leadott hőt, ekkor a termikus hatásfok:

0 0

1 2

1

'

be be

W Q Q QQ Q Q

η += = =

Legyen a munkavégző közeg ideális gáz, jelölje 1T a kazán 2T a hűtő hőmérsékletét, akkor belátható, hogy

1 2 2

1 1

1T T TT T

η −= = −

Ez a kifejezés a Carnot körfolyamat termikus hatásfoka. A Carnot körfolyamat hatásfoka tehát csak a folyamatban résztvevő hőtartályok hőmérsékletétől függ, s független a gáz anyagi minőségétől. Egy hőerőgép csak úgy működhet, ha egy melegebb és egy hidegebb környezettel van kölcsönhatásban az izoterm szakaszokon. Az ideális hőerőgép a gáz belső energiájának legfeljebb egy részét hasznosíthatja. Ez a hányados az ideális hőerőgép elvi hatásfoka s ennek értéke mindig kisebb 1-nél. Carnot tétele: Bizonyítható, hogy a Carnot körfolyamat hatásfoka a legjobb mindazon körfolyamatok között ami a 1T és 2T hőmérsékletek között lejátszódhat.

1 2 1 2

1 1

Q Q T TQ T+ −

= , így 2 2

1 1

1 1Q TQ T

+ = − , és 2 1

2 1

Q QT T

= −

1 2

1 2

0Q QT T

+ =

Egy elemi termodinamikai folyamatra az elemi redukált hő:

. . . Qe r hTδ

=

Például az 1→2 állapotváltozásra 2 2

1

1 1 11 1

1 QQ QT T Tδ δ= =∫ ∫

A Carnot körfolyamatra tehát a redukált hők összege zérus. 0QTδ

=∫ .

A termodinamika II. főtétele, az entrópia fogalma: Reverzibilisnek nevezzük az olyan termodinamikai folyamatokat, amelyek visszafelé is végrehajthatóak anélkül, hogy a környezetben maradandó változás lépne fel. A kvázi sztatikus folyamat annál közelebb áll a reverzibilis folyamathoz, minél sűrűbben vannak az egyensúlyállapotok. A Carnot körfolyamatból feltételeztük, hogy kvázi sztatikus tehát reverzibilis. Az összes súrlódással járó folyamat irreverzibilis. A természetben lejátszódó folyamatok mind irreverzibilisek. A reverzibilis folyamatok ideális határesetet jelentenek. A termodinamika első főtétele kimondja, hogy a természetben lejátszódó folyamatoknál az energia változatlan marad, de nem mond semmit a folyamatok irányáról. A termodinamika II. főtétele szerint nem lehetségesek olyan körfolyamatok, amelynek egyetlen eredménye az, hogy egy hőtartályból felvett hővel egyenértékű munkavégzés történik (Thomson). Belátható, hogy amennyiben a Carnot-ciklus megvalósításakor a dugattyú, súrlódással mozog, akkor a termikus hatásfokra az alábbi összefüggés nyerhető:

2

1

1 TT

η ≤ − , ebből következik, hogy 1 2

1 2

0Q QT T

+ ≤ , másképpen:

0QTδ

≤∫

A Clausius egyenlőtlenség szerint a redukált hők összege egy körfolyamat során nem lehet pozitív. Az entrópia egy állapotfüggvény, melynek értéke pl. az A és B állapotokra jellemző, és megváltozása pedig a reverzibilis úton végbemenő folyamathoz szükséges redukált hők összege.

( ) ( ).rev

B

A

QS S B S ATδ

Δ = − = ∫

Tapasztalati tény (axióma), hogy a hőszigetelt sokelemű anyaghalmazban csak olyan folyamat mehet végbe, amely során nő a halmaz entrópiája (fokozódik a rendezetlenség). Ha az entrópia elérte maximumát, akkor tovább nem változik, beáll a termikus egyensúly. Ez a hőtan II főtétele, és ez szabja meg a folyamatok irányát. Adiabatikus rendszerben

0SΔ ≥ . Folyadékok és szilárd anyagok hőtana: 1. Hőtágulás: A szilárd és folyékony anyagokban a hőmérséklet növelésével az alkotórészek rezgési energiája megnő, az egyes részecskék egyensúlyi állapotai eltávolodnak egymástól, s az anyag kitágul. A lineáris hőtágulás törvénye szerint egy vékony rúd hosszának változása arányos az eredeti 0l hosszával, a hőmérséklet TΔ megváltozásával, és α a lineáris hőtágulás együtthatója az anyagi minőségre jellemző állandó.

0l l TΔ α Δ= ⋅ ⋅

( )0 0 1l l l l TΔ αΔ= + = + A térfogati hőtágulás törvénye szerint egy szilárd test térfogatának változása arányos az eredeti 0V térfogatával, a hőmérséklet TΔ megváltozásával, és a β térfogati hőtágulási együttható az anyagi minőségre jellemző állandó. Könnyen belátható, hogy szilárd testek esetén a térfogati hőtágulási együttható. 3β α= . Folyadékok esetében csak a térfogati hőtágulási együtthatónak van jelentése.

0V V TΔ β= ⋅Δ ,

( )0 0 1V V V V Tβ= + Δ = + ⋅Δ 2. A fajhő értelmezése szilárd anyagokra és folyadékokra, Dulong-Petit szabály: A kristályt melegítve, a rezgési energia növekszik. A kristályban egy részecske a tér három irányában mozoghat, és három irányban távolodhat el az egyensúlyi helyzetétől, a különböző

irányokba történő kitérésekhez tartozó kölcsönhatási energiákra is 12x kTε = átlagos energia

jut az ekvipartició törvényének megfelelően. A kristályban a szabadsági fokok száma tehát f = 6, így egy részecske átlagos energiája:

16 32

kT kTε = = ,

a kristály energiája pedig: 3E N NkTε= = . A kristály energiájának megváltozása pedig: 12 3E N Nk TΔ ε Δ= = .

Ha a kristállyal 12Q hőt közlünk, akkor 12 12Q EΔ= , mivel a térfogai munka elhanyagolható:

12 0W = , így 12 3Q Nk T C TΔ Δ= = . A a szilárd test hőkapacitása alatt értjük az alábbi mennyiséget: 3C Nk= . A Dulong-Petit szabály szerint a kristály hőkapacitása csak a golyók számától függ, független az anyagi minőségtől.

123NkQ m T c m Tm

Δ Δ= = ,

ahol c a szilárd test fajhője: 3 3 3

o

Nk k kc mm mN

= = =

Megmérve a fajhőt, kiszámítjuk egy részecske om tömegét. 3. Halmazállapot változások Olvadás: A tapasztalat szerint a m tömegű anyag megolvasztásához szükséges hő arányos a megolvasztott mennyiség tömegével s az arányossági tényezőt olvadáshőnek nevezzük.

oQ L m= . Az anyagi minőségre jellemző olvadáshő:

oQLm

= , mértékegysége:[ ]oJLkg

= .

Az olvadással ellentétes folyamat a kristályosodás vagy fagyás. Forrás: A forrás egy olyan párolgási jelenség, amely a folyadék teljes térfogatára kiterjed. A forrásponti hőmérséklethez tartozó párolgáshő a forráshő. A tapasztalat szerint az elforraláshoz szükséges hő arányos az elforralt anyag mennyiségével, fQ L m= . Az anyagi

minőségre jellemző forráshő: fQLm

= , mértékegysége: fJLkg

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ .

A párolgással és a forrással ellentétes folyamat a lecsapódás vagy kondenzáció.

9. Az elektrosztatika alapjelenségei. Elektromos töltés, térerősség. A Coulomb-féle erőtörvény. Az elektrosztatikus mező első alaptörvénye. Ponttöltés tere és potenciálja. Dipólus fogalma, pont-szerű dipólusra ható nyomaték. Elektromos alapjelenségek: 1. Bizonyos testek (borostyánkő, üveg, ebonit) megdörzsölve apró tárgyakat magukhoz vonzanak. 2. Két bőrrel megdörzsölt üveg között taszítás (ezt választották ⊕ -nak), egy bőrrel dörzsölt üveg és egy gyapjúval dörzsölt borostyánkő között vonzás lép fel. 3. Az elektromos állapot érintéssel átvihető egyik testről a másikra. Ha a megdörzsölt üvegrudat hozzáérintjük szigetelőtalpon álló fémpohárhoz akkor a fémpohár élén a piciny alufólia mint egy elektroszkóp elektromos állapotot jelez, a taszító hatás miatt szétáll.

++

++

+

4. Két összeillesztett fémtesthez megdörzsölt üveg rudat közelítünk, mindkét fémtest elektromos állapotba kerül. Az üvegrúd jelenlétében szétválasztva őket, majd az üvegrudat eltávolítva az elektromos állapot megmarad.

+ + + + +

+ +++ + _ __ __

+ + + + ++ +++ + _ __ __

5. Ha megdörzsölt üveg rudat közelítünk műanyag hengerhez, akkor a homlokfelületek elektromos állapotot jeleznek. Megállapítások: A megdörzsölt testek körül úgynevezett elektromos mező jön létre. Elektromos töltés: Azt a mennyiséget, amely megmutatja, hogy a test milyen mértékben vesz részt az elektromos kölcsönhatásban elektromos töltésnek nevezzük (Q). Amelyik testre ugyanabban a mezőben k-szoros erő hat, annak töltése is k-szoros. A töltés előjeles mennyiség. Egynemű töltések taszítják egymást, különnemű töltések vonzzák egymást. A töltés érintéssel átvihető az egyik testről a másikra. A semleges testen is van töltés de a ⊕ és – töltések egyforma mennyiségben vannak jelen. Vezetőknek nevezzük az olyan testeket, amelyekben a töltések képesek makroszkopikus elmozdulásra. Elektromos vezetőkben az elektromos töltés megosztható, a jelenség neve influencia. Szigetelők esetén a töltések elmozdulása csak mikroszkopikus méretű lehet, a molekula méretével megegyező nagyságrendű. 9 1010 10 m− −− . A szigetelőkben bekövetkező töltéselmozdulás jelenséget polarizációnak nevezzük. Tapasztalataink szerint az elektromos töltés megmaradó mennyiség, nem keletkezhet, és nem tűnhet el. Az elektromos mező jellemzése, térerősség: Az elektromos mező pontról pontra történő jellemzéséhez ponttöltéseket használunk. A pontszerű töltött testre ható erő a tapasztalat szerint arányos a töltésével a két mennyiség

hányadosa már független a test töltésétől, kizárólag a mezőt jellemzi a pontszerű test helyén. Ez az elektromos térerősség vektor E .

töltött test

F

q

( ) ( )F PE P

q=

A tér jellemző iránya a pozitív töltésre ható erő irányával egyezik meg. A térerősség megadja a szóban forgó pontba helyezett pozitív egységnyi töltésre ható erőt irány és nagyság szerint.

Mértékegysége:[ ] 1 1N VEC m

= =

Ha két vagy több töltés létesíti a mezőt, akkor a térerősség az egyes töltések által külön-külön létesített mezőkhöz tartozó térerősségek vektori összege. Ez az elv az elektromos mezők független szuperpozíciója.

1 2F F F= + , így 1 2qE qE qE= + , és 1 2E E E= + Coulomb törvény1785: Nyugvó ponttöltés vákuumban centrális és konzervatív elektromos mezőt létesít. Az erőcentrum maga a töltött pont. A Q ponttöltés mezőjében egy másik q ponttöltésre ható erő nagysága arányos a töltésekkel és fordítottan arányos a pontok távolságának négyzetével.

Q

rre

F

q

2 rqQF k er

=

29

29 10 NmkC

= ⋅ , neve:Coulomb állandó.

Egynemű töltések között taszítás, külön neműek között vonzás lép fel.

A k arányossági tényező értéke a töltésegységtől függ. Egységnyi (1 Coulomb) annak a pontszerű testnek a töltése, amely egy ugyanakkora töltésű, tőle vákuumban 1 m-re levő pontot 99 10 N⋅ erővel taszít.

0

14

kπε

= , így 01

4 kε

π= a vákuum permittivitása.

Mivel az inercia rendszerben nyugvó ponttöltés mezője konzervatív, a szuperpozíció elve értelmében bármilyen az inercia rendszerben nyugvó töltéselrendezés is konzervatív elektromos mezőt kelt. Ez az elektrosztatikus mező. A ponttöltés elmozdulása során végzett munka:

1212 12 12

W Fdr qEdr q Edr= = =∫ ∫ ∫ .

Így a két pont közötti feszültség: 12

1212

WU Edrq

= = ∫

Az elektromos feszültség független a töltéstől csak a mezőre és a benne felvett két pontra jellemző. Az elektromos feszültség számértéke megmutatja, hogy az elektromos mező az egységnyi pozitív töltésen mennyi munkát végez, miközben az egyik pontból a másikba szállítja.

[ ] 1 1volt 1JU VC

= = =

Ismeretes, hogy konzervatív mezőben az elemi munka a potenciális energia negatívjának teljes differenciálja:

W Fdr dV qEdrδ = = − = Vd Edrq

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠

dU Edr− = Az egységnyi töltés potenciális energiát elektrosztatikai potenciálnak nevezzük, és megállapodás szerint az elektrosztatikai potenciált a végtelenben vesszük zérusnak.

VUq

=

Integrálás után:

12 12

dU Edr− =∫ ∫ , azaz 1 2 12U U U− =

Az elektrosztatikus mezőben a feszültség csak a kezdő és végponttól függ és egyben a potenciálkülönbség ellentettje, azaz a kezdőpont potenciálja mínusz a végpont potenciálja. Elektrosztatikus mezőben zárt vonal mentén a feszültség zérus.

0Edr =∫ Ez egyben az elektrosztatika I. alaptörvényének integrális alakja. Mivel konzervatív mezőben F gradV= − , ha az egyenletet elosztjuk a töltéssel E gradU= − . A térerősség a potenciál negatív gradiense, más alakban: E U= −∇ . Az integrális egyenletből a Stokes integrál átalakítási tétel felhasználásával juthatunk az alaptörvény differenciális vagy lokális alakjához: 0rotE = . Határozzuk meg egy tetszőleges pont potenciálját:

dU Edr− = , integrálva P P

dU Edr∞ ∞

− =∫ ∫ , azaz ( ) ( )P

U P U Edr∞

− ∞ = ∫ .

Ha ( ) 0U ∞ = a választásunk, akkor ( )P

U P Edr∞

= ∫ . Egy tetszőleges pont potenciálja

megmutatja, hogy mennyi munkát végez az elektrosztatikus mező, amíg az egységnyi pozitív töltést a tér P pontjából a végtelenbe szállítja. Ponttöltés elektromos mezője és potenciálja:

+Q

rre

E

Mivel FEq

= , és 2 rQqF k er

= , így a

ponttöltés elektromos mezője 2 rQE k er

= .

Határozzuk meg a ponttöltés potenciálját:

2 2rQ QdU Edr k e dr k drr r

− = = = , integrálva

2r r

QdU k drr

∞ ∞

∗∗

− =∫ ∫ ,

( ) ( ) 1

r

U r U kQr

∞

∗

⎡ ⎤− ∞ = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) kQU rr

=

Elektromos dipólus: Az elektromos dipólus egy pozitív ponttöltésből Q és egy ugyanolyan nagyságú negatív ponttöltésből (-Q) áll melyek távolsága l. Ha l kicsiny a feladatban előforduló egyéb távolságokhoz képest, akkor pontszerű dipólusról beszélünk.

+Ql

-Q

A dipólus nyomaték, vagy dipólus momentum definíciója p Ql= .

Pontszerű dipólusra ható forgatónyomaték külső elektromos mezőben: +Ql

-Q C

F QE− = − ( )F Q E EΔ+ = +

E EΔ+E

A C pontra a forgatónyomaték:

( ) ( )2 2 2Cl l lM QE Q E dE Ql E Q dE p E

⎛ ⎞= − × − + − × + = × + × ≈ ×⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Ha a dipólus pontszerű, akkor l nagyon kicsi 9 1010 10l m− −≈ − és ezért dE kicsi.

CM p E= ×

Ez a forgatónyomaték akkor szűnik meg, ha p E vagyis a dipólus befordult a tér irányába, vagy azzal pont ellentétesen áll. Ha p és E egyirányú, akkor 0CM = , és az egyensúlyi helyzet stabil, vagyis kitérítve a dipólust ebből a helyzetből a létrejövő nyomaték igyekszik visszaforgatni abba. Ha p és E pont ellentétes irányú, akkor bár a nyomaték nulla, de az egyensúlyi helyzet instabil, ilyen esetben, ha a dipólust kitérítjük akkor a létrejövő nyomaték a stabil egyensúlyi helyzet felé próbálja forgatni. Gyakran töltések bonyolultabb rendszere is dipólussal helyettesíthető.

10. Elektromos polarizáció, polarizáció vektor, elektromos indukció vektor. Elektromos fluxus. Az elektromos mező forrástörvénye. Töltéseloszlások. Határfeltételek az elektrosztatikában. Elektromos polarizáció: Szokás bevezetni a tömegközéppont analógiájára a töltésközéppontot. Ennek definíciója:

i i

i

Q rr

Q= ∑∑

Egy molekulán belül külön értelmezzük a pozitív negatív töltések töltésközéppontját. Apoláris molekulák esetén a ⊕ és – töltések töltésközéppontja egybeesik például: 2 2, ....H O . Poláris molekulák esetén a ⊕ és –töltésközéppontok nem esnek egybe, távolságuk

9 1010 10 m− −−∼ , így kicsiny dipólusokként modellezhetőek például 2 2, , ...HCl CO H O . Indukált polarizáció: az alkalmazott elektromos mező, az egybeeső töltésközéppontokat széthúzza így a molekula dipólussá válik, ha már eleve volt valamekkora dipólus nyomatéka akkor az pedig megnő. A ⊕ töltés az E irányában a – töltés azzal ellentétesen mozdul el. Poláros és apoláros molekulák esetén egyaránt fellép. Rendeződési polarizáció: Csak poláros molekulájú anyagokban fordulhat elő. Az elektromos mező a dipólus molekulákat a saját irányába forgatja be, annál inkább minél erősebb a tér és minél alacsonyabb a hőmérséklet. A jelenség erőteljesen hőmérsékletfüggő, szemben az indukált polarizációval. Vákuumban az elektromos mező leírására egyetlen vektor az E térerősség vektor elegendő. Kémiai anyagban azonban egy további vektor bevezetése szükséges, amely az anyag polarizáltságának mértékét adja meg.

VΔA

pΔ

Legyen A, a szigetelőanyag (dielektrikum) egy tetszőleges pontja, VΔ egy kis térfogatelem az A pont körül. Legyen pΔ a VΔ térfogatban foglalt molekulák dipólus nyomatékának eredője, akkor az A pontban a polarizációvektor definíció szerint:

( )0

limA VV

pP AVεΔ

Δ →

Δ=

Δ.

Mértékegysége:[ ] 21 CPm

= .

Első közelítésben az alábbi lineáris anyagegyenlet igaz: 0P Eχ ε= ⋅ , ahol χ egy dimenzió nélküli szám, neve dielektromos szuszceptibilitás. Vákuumban, illetve vezetőben 0χ = , szigetelőanyagban 0χ > . Elektromos indukcióvektor: Az elektromos indukció vektort az alábbi lineáris kombinációval vezethetjük be. Segítségével

egyszerű alaptörvény írható fel. 0D E Pε= + . Mértékegysége: [ ] 21 CDm

=

Ha felhasználjuk az első közelítést a definícióban :

0D E Pε= + , akkor 0 0D E Eε χ ε= +

( )0 1 rD Eε ε= + ,

0 rD Eε ε= , ahol 1rε χ= + a relatív permittivitás, 0 rε ε ε= pedig az úgynevezett abszolút permittivitás, ez megadja, hányszor nagyobb az illető szigetelő vagy dielektrikum permittivitása a vákuuménál. Az elektromos mező szemléltetésére az indukcióvonalakat használhatjuk. Ezek olyan irányított görbék, amelyeknek az érintő egységvektora egyirányú az érintési pontbeli elektromos indukcióval.

τ

indukcióvonal

D

Megállapodás szerint az indukcióvonalakat olyan sűrűn vesszük fel, hogy a rájuk merőleges egységnyi felületen éppen D számú indukcióvonal haladjon át. Az elektromos fluxus mindig irányított felületre vonatkozik és számértéke megadja a felületet átdöfő indukcióvonalak előjeles számát. Amennyiben az indukcióvonal a felületelem vektorral megegyező irányban döfi a felületet akkor az +1 járulékot ad, ha ellenkező irányban, akkor –1 a járuléka.

d s

d A

+1 járulék

-1 járulék

Tekintsünk dA felületet, és számítsuk ki a felületre az elektromos indukciófluxust. A felületvektor AΔ , zárjon be α szöget az indukcióvektorral. Ha AΔ elegendően kicsiny, akkor az indukció már homogénnek tekinthető, és az elemi kicsiny indukciófluxus:

cosd D dA D dAΨ α= =

dA D

dA n dA=α

cosdA α

Egy tetszőleges nyílt A felületre pedig úgy kaphatjuk meg a fluxust, hogy az elemi járulékokat összegezzük.

A

DdAΨ = ∫

Felhasználva, hogy az indukció mértékegysége:[ ] [ ] 21 CD Pm

= = , az indukciófluxus

mértékegysége: [ ] 1CΨ = . A mezőt keltő töltés és a kialakuló elektromos mező indukcióvektora közötti kapcsolat felírásához tekintsünk egy vákuumban elhelyezett ponttöltést, és számoljuk ki a fluxusát egy

zárt felületre. A zárt felület legyen egy r sugarú koncentrikus gömb. A Q ponttöltés legyen vákuumban.

Q

r

D

dA

Mivel a ponttöltés által keltett térerősség ismert: 2

0

14 r

QE erπε

= ⋅ , az elektromos indukcióra

vonatkozó egyenlet segítségével nyerhetjük: 0D Eε= , illetve 2

14 r

QD erπ

= ⋅ .

Így a zárt felületre a fluxus: 2

2 21

1 44 4

o

r rA A

Q QDdA e e dA r Qr r

ππ π

Ψ = = ⋅ = =∫ ∫

A

DdA Q=∫ .

Ha a Q töltést körülölelő zárt felület nem egy koncentrikus gömb az eredményünk akkor is változatlanul érvényes, hiszen bármely a Q töltést magába foglaló zárt felületre a fluxus ugyanennyi, mivel a Q-ból kiinduló összes indukcióvonal átdöfi a Q-t magába foglaló zárt felületet. Ezt mutatják a következő ábrák.

Q

r

D

Q

r

D

Q

r

D

Ha a felület nem foglalja magába a Q töltést, akkor a fluxus nulla. Ahol az indukcióvonal bemegy ott –1 a járulék, ahol kijön ott +1. Tapasztalat szerint tetszőleges töltéselrendezés estén és kémiai anyag jelenlétében is igaz, hogy zárt rögzített felületre az elektromos fluxus egyenlő a felületben foglalt összes töltéssel.

VA

DdA Q=∫

A fenti egyenlet az elektrosztatika II. alaptörvénye, gyakran Gauss törvénynek nevezik. QV a V térfogatban foglalt töltések algebrai összegét jelenti, A pedig a V térfogat burkoló felülete. Az elektromos indukcióvonalak forrásai a pozitív töltések, nyelői pedig a negatív töltések, más szóval az indukcióvonalak a pozitív töltésen erednek és a negatív töltésen végződnek. Szorítkozzunk a továbbiakban térfogaton eloszló töltésre. A térfogati töltéssűrűség definíciója:

0limA VV

QV

ρ∈Δ

Δ →

Δ=

Δ, mértékegysége [ ] 31 C

mρ = .

A lokális vagy differenciális alak előállításához alkalmazni kell a Gauss-Osztogradszkíj integrál átalakítási tételt.

A V

DdA DdV= ∇∫ ∫ , ahol

{ }, , , , yx zx y z

DD DD divD D D Dx y z x y z

∂⎧ ⎫ ∂ ∂∂ ∂ ∂∇ = = ⋅ = + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

VA

DdA Q=∫

V V

DdV dVρ∇ =∫ ∫

( ) 0V

D dVρ∇ − =∫

mivel ez bármely V térfogatra teljesül így 0D ρ∇ − = . 0D∇ =

Ez a Gauss törvénynek vagy az elektromos mező forrástörvényének lokális alakja. Az elektrosztatikus mező két alaptörvénye:

0g

VA

Edr

DdA Q

⎫=⎪⎪⎬

= ⎪⎪⎭

∫

∫ integrális alakok

0E

D ρ

⎫∇× = ⎪⎬

∇ = ⎪⎭ differenciális alakok

Határfeltételek (peremfeltételek) az elektrosztatikában: Tekintsük két különböző közeg határfelületét. Vegyünk fel a két közeg határfelületén egy irányított görbeívet (AB), illetve egy zárt görbét. Alkalmazzuk az elektrosztatika első alaptörvényét: 0

g

Edr =∫ , azaz 1 2 2 2 2 1 1 1

0A A A B B B B A

Edr Edr Edr Edr+ + + =∫ ∫ ∫ ∫

21

AP B

1A

2B

1B1P

2A2P

Közelítsük a 1P és 2P pontokat a P-hez, azaz húzzuk rá az 1 1A B és 2 2A B íveket az AB ívre,

ekkor 1 2

0A A

Edr →∫ , és 2 1

0B B

Edr →∫ , mivel a tartományok 0-hoz tartanak.

2 2

2A B AB

Edr E dr→+∫ ∫ , 2E a térerősség a határon, de még a 2-es közegben

1 1

1 1B A BA AB

Edr E dr E dr→ = −∫ ∫ ∫ , 1E a határon, de az 1-es közegben, így

( )2 1 0AB

E E dr− =∫

Mivel az ívhossz felírható a tangenciális egységvektorral dr dsτ=

2 1

2 1 0t tAB E E

E E dsτ τ⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ,

mivel bármely AB -re teljesül így 2 1t tE E= . Az elektromos térerősség érintő irányú

összetevője a határfelületen folytonosan megy át. Két közeg határfelületén vegyünk fel egy zárt görbét, és minden pontjában a felületi normálist. A keletkező palástfelületet határoljuk le 2A -vel és 1A -el a két közegben. A nyert

zárt felületre alkalmazzuk a Gauss törvényt: VA

DdA Q=∫

P1A

2APA

21

2

1

AP

1A

2An

1 2A Ap A V A

DdA DdA DdA dV dAρ σ+ + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , itt

( )0

limP AA

QPA

σ∈Δ

Δ →

Δ=

Δ a felületi töltéssűrűség. Közelítsük az 1A és 2A felületeket az A-ra ekkor a

palástfelület és a térfogat nullához tart, így az integrálok 0-hoz tartanak: 0

Ap

DdA→∫ , és 0V

dVρ →∫

Ugyanakkor pedig:1

1A A

DdA D dA→∫ ∫ , ahol 1D az indukció a határon de még az 1-es közegben,

ben, és 2

2A A

DdA D dA→∫ ∫ , ahol 2D az indukció a határon de még az 2-es közegben.

( ) ( )1 2

1 2

n nA A AD D

D n dA D n dA dAσ−

− + =∫ ∫ ∫ ,

( )2 1 0n nA

D D dAσ− − =∫ ,

mivel bármely A-ra igaz 2 1n nD D σ− =

Az elektromos indukcióvektor normális koordinátája a határfelületen általában ugrást szenved melynek mértéke a felületi töltéssűrűség. Csak akkor folytonos ha 0σ = .

11. Vezetők elektrosztatikus mezőben. A kapacitás fogalma. Kondenzátorok. Síkkondenzátor kapacitása. Az elektrosztatikus tér energiája, energiasűrűsége. Vezetők az elektrosztatikus mezőben: Ha egy vezetőben elektromos tér van jelen, az a szabad töltéshordozókat rendezett mozgásra készteti. Sztatikai állapot akkor állhat be, ha a vezetőben nincs elektromos mező, és a térerősség nulla 0E = (egyébként a szabad elektronok rendezetten mozognának). Ebből következően a vezetőben bármely két pont között a feszültség nulla.

2

12 1 21

0U U U Edr= − = =∫ .

Sztatikai állapotban a vezető térfogata és felülete ekvipotenciális, vagyis potenciálja állandó. A térerősség nulla 0E = , ez azt is jelenti, hogy a térerősség tangenciális komponense is nulla

0tE = . Mivel E tangenciális összetevője nem ugrik két közeg határfelületén, a vezetőt határoló szigetelőanyagban a felület mentén az elektromos térerősségnek tangenciális összetevője nincs, vagyis a vezető körül a szigetelőben a térerősség mindenütt merőleges a vezető felületére.

vezető

szigetelőE

0E =

Továbbá mivel vezetőben 0E = , így 0D = , felhasználva az alapegyenletet D ρ∇ = , nyerhetjük, hogy 0ρ = . Sztatikában a vezető belsejében többlettöltés nincs. A vezetőre vitt töltés a külső felületre húzódik. 2 1n nD D δ− = , de 1 0nD = , így 2nD σ= . Magányos vezetőtest kapacitása: Vizsgáljuk meg, hogyan függ egy magányos vezető potenciálja a rá felhordott töltéstől. A szuperpozíció elve miatt, ha a vezető töltését a k-szorosára növeljük, akkor a tér minden pontjában E is a k-szorosára nő. Így a potenciálja is k-szorosára változik. A vezető potenciálja:

P

U Edr∞

= ∫ , és ( ) 0U ∞ =

Tehát a vezető potenciálja tehát arányos a vezetőre vitt töltéssel, hányadosuk állandó ez nevezzük a vezető kapacitásának:

QCU

=

Mértékegysége: [ ] 1 1 1CC farad FV

= = =

Számoljuk ki egy magányos vezető gömb kapacitását. Előbb határozzuk meg a vezető

potenciálját, az integrálást egy sugárirányú egyenesre végezzük el. A térerősség: 2 rQE k er

= .

vezető

U

Q

R

( ) 2 rRR

Q Q QU R k e dr k kr r R

∞∞ ⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ , így a kapacitása

04Q Q RC RQU kkR

πε= = = =

A magányos vezető gömb kapacitása arányos a sugarával. Belátható azonban, hogy a fémtestek vákuumbeli kapacitása túlságosan kicsiny hétköznapi méretek esetén. A kapacitás megnövelésének egyik módja, hogy a feltöltött vezető közelébe egy másik földelt vezetőt helyezünk. Így az integrálás útja lerövidül, a potenciál csökken, a kapacitás nő. A kondenzátor két vezető test (armatúrák vagy fegyverzetek) amelyek dielektrikummal vannak elszigetelve egymástól. A pozitív fegyverzetről induló indukcióvonalak a negatív fegyverzeten végződnek, a két fegyverzet töltése ellentetten egyenlő.

1r

2r

E

1r 2r r

Az elrendezés kapacitása a pozitív fegyverzet töltésének és a két fegyverzet közötti

potenciálkülönbségnek a hányadosa. 12

QCU

+

= , vagy röviden QCU

= .

vezető(1)

szigetelő(2)

σ+

+

++

+0E =

2nD σ=

Már bemutattuk, hogy vezető és szigetelő határán, de már a szigetelőben az elektromos tér

normális irányú, és 2nD σ= , ekkor 20

nr

E σε ε

= . Ha tehát vákuum helyett valamilyen

dielektrikummal szigeteljük a kondenzátort, akkor a térerősség lecsökken az rε -ed részére és vele együtt a feszültség. Így a kapacitás megnő, ez a kapacitásnövelés másik módja. Síkkondenzátor kapacitása:

Tekintsünk a továbbiakban egy síkkondenzátort. Jelölje d a fegyverzetek közötti távolságot. Legyen d jóval kisebb, mint a lemezek bármely lineáris mérete.

σ+ σ−

A

d

0 rε ε

A két fegyverzet között D σ= , így

0 r

E σε ε

=

2 2

12 120 01 1 r r

U E dr dr dσ σε ε ε ε

= = =∫ ∫

012

0

r

r

Q A AC dU dσ ε εσε ε

+

= = =

Az elektrosztatikus mező energiája: Tekintsünk egy kondenzátort, melynek kapacitása C. Töltsük fel töltetlen állapotból úgy, hogy végül Q legyen a töltése. Egy közbülső állapotban jelölje a pillanatnyi állapot töltését q és a feszültséget U. Egy kicsiny dq töltést szállítsunk át az egyik lemezről a másikra, ekkor a végzett munka dW Udq= .

( )q t+

A

d

( )q t−

dq

( )U t

Mivel qCU

= , így qdW dqC

= , és a teljes feltöltés során végzett munka 2

0

12

Q QW qdqC C

= =∫ .

A kondenzátor energiája, tehát 2

2QWC

= , illetve más alakban 21 12 2

W QU CU= = .

Tekintsünk egy síkkondenzátort: a kondenzátor belsejében a szélektől eltekintve a mező homogénnek tekinthető. Az energiája:

1 1 1 12 2 2 2

W QU AEd DE Ad DEVσ= = = = .

Felhasználtuk, hogy mivel QA

σ = illetve a térfogat V Ad= , a térerősség pedig UEd

= .

Az elektromos mező energiasűrűsége: 12

Ww DEV

= = , mértékegysége [ ] 31 Jwm

= . Ez a

kifejezés bármilyen elektromos mezőben megadja az elektromos energiasűrűséget. Ha a tér egy tetszőleges pontjában az elektromos térerősség E és az indukcióvektor D , akkor a pont

körül felvett kicsiny dV térfogatban 12

dW DEdV= elektromágneses energia található. Egy

véges V térfogatban pedig: 12V V

W wdV DEdV= =∫ ∫ .

12. Az elektromos áramlás. Áramsűrűség vektor. Vezetési áramsűrűség vezető kristályban. Áram-erősség fogalma. Töltés megmaradás törvénye, integrális és differenciális alak. Áramforrások, elektromotoros erő. Stacionárius elektromos áramlás alaptörvényei. Az elektromos áramlás: Tekintsünk két feltöltött vezetőt. Legyen 1 2U U> .

vezető vezető

vezetővezető

U 1 U 2

UC 1 C 2

Ha a két feltöltött fémtestet vezetővel összekötjük, akkor a magasabb potenciálú test, töltést veszít, a másik pedig töltést vesz fel. A töltésáramlás addig tart, ameddig az egyesített vezető test potenciálja ki nem egyenlítődik. A folyamatban a potenciál (intenzív mennyiség) kiegyenlítődése következik be töltés áramlás (extenzív mennyiség) révén. A potenciálkülönbség, a töltések mozgását részben rendezetté teszi, s a rendezetlen hő mozgásra egy rendezett mozgás szuperponálódik. Az elektromos áramlás a töltéshordozók rendezett mozgását jelenti: Az elektromos áramlás létrejöttének feltételei:

1. legyenek szabad töltéshordozók, és 2. legyen jelen elektromos mező.

Megállapodás szerint az elektromos áramlás iránya a pozitív töltéshordozók (valóságos vagy elképzelt) áramlásának irányával egyezik meg. Elektromos áramsűrűség: Az elektromos áramsűrűség abszolút értéke megmutatja, hogy az áramlási irányra merőleges egységnyi keresztmetszeten időegység alatt mennyi töltés áramlik át. Iránya megegyezik a

pozitív töltéshordozók áramlási irányával. Mértékegysége: [ ] 2 21 1C AJsm m

= = . Az elektromos

áramsűrűség vektornak két összetevője van: J v jρ= +

A konvektív vagy szállítási áramsűrűség vρ , míg a konduktív vagy vezetési áramsűrűség j . Tekintsünk nyugvó kristályos vezetőt, 0ρ = , így abban csak konduktív áram lép fel. Származtassuk le a vezetési áramsűrűséget.

A

ev tΔ

ev

tΔ idő alatt ev t AΔ nagyságú térfogatból jutnak át az elektronok a vezető A keresztmetszetén.

Így az átjuttatott töltés nagysága e ee n v t A− Δ , ahol e− az elektron töltése, en a vezetési elektronok számsűrűsége, és ev az elektronok átlagos driftsebessége. A definíció alapján:

e e

e e

e n v t Aj e n v

t A− Δ

= = −Δ

, illetve vektoriálisan:

e ej e n v= − .

Az elektromos áram iránya a negatív töltések áramlási sebességével ellentétes, a pozitív töltések (képzelt) áramlásának irányával megegyező. Az elektromos áramerősség irányított felületre vonatkozó mennyiség. Megmutatja, hogy az illető felületen időegység alatt mennyi töltés áramlik át. Ha a + töltések a normális irányában áramlanak akkor az áram pozitív. Az áramerősség tehát előjeles mennyiség.

n

J

A

Mértékegysége [ ] 1 1 1CI amper As

= = = . A 1 2,t t időközben az A felületen átáramló töltés, az

áramerősség integrálásával nyerjük a kérdéses időközre. ( )I t

1t t2t

Q

2

1

t

A At

Q I dt= ∫

Töltésmegmaradás törvénye: Mivel az elektromos töltés éppúgy extenzív és megmaradó mennyiség, mint a tömeg, ezért a töltésmegmaradás törvényét formailag ugyanolyan egyenlet írja le mint a tömegmegmaradásét. Ennek integrális alakja

V A

d dV JdAdt

ρ = −∫ ∫ .

ρ : térfogati töltéssűrűség, J v jρ= + pedig áramsűrűség, A pedig a rögzített V térfogat zárt burkolófelülete.

V V

dV JdVtρ∂

= ∇∂∫ ∫

Mivel a V térfogat rögzített ezért a hely szerinti integrálás és az idő szerinti differenciálás sorrendje felcserélhető. A jobb oldalon pedig a Gauss - Osztogradszkij tételt alkalmaztuk.

0V

J dVtρ∂⎛ ⎞+∇ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫

Mivel az integrál bármely V térfogatra eltűnik, a differenciális, vagy lokális alak:

0Jtρ∂+∇ =

∂.

Áramforrások: Ha a töltésekre egyedül az elektromos mező hat, akkor a kezdeti potenciál különbségek hamar kiegyenlítődnek és az áramlás véget ér. A töltésáramlás fenntartásához szükség van olyan idegen (nem elektromos) erőre, amely a pozitív töltéshordozókat visszakényszeríti az eredetileg magasabb potenciálú helyre és ezzel megteremti a folyamatos áramlás lehetőségét. Az olyan berendezéseket, amelyekben ilyen idegen erők működnek áramforrásoknak nevezzük. Kémiai természeti erők működnek a galvánelemben és az akkumulátorban.

Mágneses természetű erők a generátorokban és a dinamóban. Legyen F ∗ a q töltésre ható

idegen erő, akkor az idegen térerősség FEq

∗∗ = . Az elektromotoros erő pedig:

E dr∗+−

+−

= ∫E , mértékegysége [ ] 1V=E .

Az elektromotoros erő megmutatja, hogy mennyi munkát végez az idegen erő a pozitív egységtöltésen, míg ez a töltés az áramforrás belsejében a negatív pólustól elmozdul a pozitív pólusig.

W F dr qE dr∗ ∗ ∗−+

−+ −+

= =∫ ∫ ,

WE dr

q

∗∗−+

−+−+

= = ∫E .

Feltételezhetjük, hogy az elektromotoros erő független attól, milyen pályán mozog a töltés az áramforrás belsejében. Az olyan vezetőt, amelyben nincsenek idegen erők, fogyasztóknak nevezzük. ( )0E∗ = A fogyasztóban az áram a magasabb potenciálú ponttól az alacsonyabb

potenciálú pont felé folyik. Az áramforrásban pedig a – pólustól a ⊕ pólus felé folyik az áram.

I

4CuSO

ZnCu

4ZnSO

+ −

Stacionárius elektromos áramlási tér: Az összes fizikai mennyiség idő független, (csak a helytől függenek) de a töltések időben állandósult módon áramlanak. A stacionárius elektromos mező konzervatív, örvénymentes mező. Az ezt leíró alaptörvény integrális-, és differenciális alakja már ismert:

0g

Edr =∫ , illetve 0E∇× = , ilyenkor E U= −∇ .

Stacionárius áramlás esetén a töltésmérlegből a baloldal eltűnik, mivel a V térfogatban a töltés

már nem változhat, így 0V

d dVdt

ρ =∫ . Ekkor kaphatjuk a stacionárius áramlás a második

alaptörvényének integrális-, és differenciális alakját. 0

A

J dA =∫ , illetve 0J∇ = .

A peremfeltételek két közeg határán: 1 2t tE E= , az elektromos térerősség tangenciális

komponense folytonos, illetve mivel J divergenciája nulla, azaz nincsenek forrásai, így 1 2n nJ J= tehát a J normális összetevője szintén folytonos.

13. Differenciális és integrális Ohm törvény. Vékony vonalas vezető ellenállása. Az ellenállást befolyásoló tényezők. Ohm törvény teljes áramkörre. Egyenáramú hálózatok. Kapcsolat az elektromos térerősség és a létrejövő áramsűrűség között, differenciális Ohm-törvény:

Kristályos vezetőben vizsgáljuk az áramlást: e ej e n v= − , egy kiszemelt szabad elektron

sebessége legyen v V u= + . Itt V a rendezett mozgás sebessége, u pedig a rendezetlen mozgás sebessége. Mivel u u T= ∼ , ezért u V . Jelölje λ a közepes szabad úthosszat,

az elektronoknak az ionokkal való két egymást követő ütközése között átlagosan befutott

útját. Ekkor átlagosan uλτ = idő telik el két egymást követő ütközés között. Két ütközés

között az elektron gyorsulása: ( )e

ee e

e E EFam m

∗− += =

Mivel ütközéskor a rendezett mozgás megszűnik, így az ütközés után közvetlenül 0V = a következő ütközés előtt pedig

( )max ee

eV a E Em u

λτ ∗−= = + .

A rendezett mozgás átlagsebessége tehát max0

2eVv +

=

( )2ee

ev E Em u

λ ∗= − + .

Tekintve, hogy e ej e n v= − így:

( )2

2e

e

nej E Em uλ ∗= + .

Vezessük be a fajlagos vezetőképességet: 2

2e

e

nem uλγ = , így nyerhetjük a differenciális Ohm-

törvényt: ( )j E Eγ ∗= + .

A fajlagos vezetőképesség reciproka a fajlagos ellenállás 1ργ

= , ekkor j E Eρ ∗= + .

Fémek esetén a hőmérséklet növekedésével en nem változik számottevően, de u nő így γ a vezetőképesség csökken. Félvezetők esetén a hőmérséklet növekedésével en gyorsabban nő, mint az u így végül a vezetőképesség nő. A differenciális Ohm-törvény vagy Ohm féle anyagi egyenlet nem egy szigorú arányosság j és E között, mivel a γ nem független j -től. Például fémekben ha nő a j akkor a

hőmérséklet is növekszik és γ lecsökken.

Megjegyzés:Szupravezetés (Kamerling Onnes). Bizonyos anyagok vezetőképessége egy

meghatározott hőmérsékleten végtelenné válik. Ólom esetén például 7K∼ és 1 0γ= . Az

eddig tárgyalt modell a szupravezetés leírására nem alkalmas, ilyenkor az elektron hullám tulajdonságát kell felhasználni. Az Ohm-törvény integrális alakja vezetőben:

Fogyasztóban nincs idegen tér: 0E∗ = Tekintsük az alábbi fogyasztót, és írjuk fel a potenciálkülönbséget P0 és P között, valamint az áramerősséget.

+

_

P0

P

U E dr−

+

= ∫ , illetve A

I J dA= ∫

Homogén vezetőben folyó áram erőssége (állandó hőmérsékleten) a tapasztalat szerint arányos a vezető két vége közötti feszültséggel. Hányadosukat a vezető két vége közötti ellenállásnak nevezzük, jele R.

A

E drURI J dA

−

+= =∫

∫

Az ellenállás mértékegysége [ ] 1 1 1VR ohmA

= = = Ω .

Számoljuk ki a vékony, állandó keresztmetszetű vezető ellenállását. Vékony vonalas vezetőről akkor beszélhetünk, ha a vezető keresztmetszetét jellemző méret elhanyagolható a vezető hosszához képest. (ilyenkor vékony áramcsőnek tekinthető).

l

A I+ −

U E dr E dr E dr E l− − −

+ + +

= = = =∫ ∫ ∫ , a differenciális Ohm-törvény segítségével: U E l J lρ= = ,

A

I J dA J A= =∫

U E l J l lRI J A J A A

ρ ρ= = = = .

lRA

ρ= .

Ha a vezetőszál mentén a fajlagos ellenállás vagy a keresztmetszet változik, akkor

( ) ( )g

dsR sA s

ρ= ∫ .

Az ellenállást befolyásoló tényezők:

1. anyagi minőség

2. mechanikai igénybevétel (összenyomáskor általában csökken, nyújtáskor nő) nyúlásmérő bélyeg

3. hőmérséklet Tapasztalat szerint növekvő hőmérséklettel a fémek és a legtöbb fémötvözet ellenállása nő, a szén, a konstantán ötvözet, a félvezetők (és elektrolitok) ellenállása csökken. A fémek, az ötvözetek és a szén fajlagos ellenállásának hőmérsékletfüggését leíró hatványsor:

( )20 1 ...T T Tρ ρ α β= + Δ + Δ + , ahol

( )T Tρ ρ= , és ( )0 0Tρ ρ= , ami általában 0 oC-hoz vagy 20 oC-hoz tartozik, 0T T TΔ = − . Néhány száz oC-os tartomány esetén a hőmérsékletfüggés lineárisnak tekinthető:

( )0 1T Tρ ρ α= + Δ α a lineáris hőtágulás együtthatója, ha 0α > akkor PTK, ha 0α < NTK ellenállásról beszélünk. Ha a vezeték hőtágulásától eltekintünk, akkor

( )0 1TR R Tα= + Δ Integrális Ohm-törvény teljes áramkörre: Tekintsünk egy vékony vonalas vezetőkből és áramforrásból álló zárt áramkört. A vékony vonalas vezetők ellenállását koncentrált paraméterrel szemléltetjük, és R-rel jelöljük. Az áramforrásnak, mint vezetőtestnek az ellenállását jelölje r, −ezt belső ellenállásnak nevezzük −, elektromotoros erejét pedig E . Határozzuk meg, hogyan függ az áramerősség az áramforrás, és az áramkör adataitól. Integráljuk a differenciális Ohm-törvényt erre a zárt hurokra. A g görbe irányítása megegyezik az áram irányával. A zárt g görbét két részből tesszük össze: bg g gκ= + , jelöli a zárt görbe áramforráson kívüli és áramforáson belüli részét.

r

I

E

R

j E Eρ ∗= + ,

( )g g

j ds E E dsρ ∗= + ⋅∫ ∫

0 . 0

0

k bg g g g

mivel a stac mivel az elektromotoroselektromos mező áramforráson erőkonzervatív kívül E

E ds E ds E ds E ds

∗

− +∗ ∗ ∗

+ −

= =

=

+ = +∫ ∫ ∫ ∫

b bg g g g g

R r

ds dsj ds j ds j ds I IA A

κ κ

ρ ρ ρ ρ ρ− + − +

+ − + −

= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Felhasználva, hogy dsj ds jds IA

= = , ahol I a körben folyó áram, A pedig a vezető

keresztmetszete. Ekkor:

( )I R r= +E , illetve IR r

=+E

Ez a teljes áramkörre vonatkozó integrális Ohm-törvény. A kör áramának I erőssége arányos az áramforrás ε elektromotoros erejével és fordítva arányos a fogyasztó valamint az áramforrás belső ellenállásának összegével. Ha R = 0 akkor nyerhetjük a rövidzárási áramot:

rövI r=E

rE I

RO Az R ellenállású fogyasztóra jutó feszültséget kapocsfeszültségnek nevezzük, ez egyben az áramforrás pólusai között mérhető feszültség:

KU IR Irε= = − Az áramforrás kapocsfeszültsége 0I ≠ esetén mindig kisebb, mint az elektromotoros erő E .

KRU IRR r

= =+

E

E kU

RO Ha R r akkor 0I ≈ és KU ≈ E , ez az üres járási állapot, ha R r akkor I

r=E és

0KU ≈ , ez a rövidzár állapot.

14. Kirchoff törvények. A Joule-törvény integrális alakja. Kirchoff törvények alkalmazása. Ellenállás-ok soros és párhuzamos kapcsolása. Wheatstone-híd kapcsolás. Mérőműszerek méréshatárának kiterjesztése. Összetett áramkörök (vonalas hálózatok): Tekintsünk a továbbiakban vonalas vezetőkből és áramforrásokból összeállított hálózatokat. Csomópont a hálózat azon pontja ahol kettőnél több vezeték fut be. Ág a hálózat olyan szakasza, amelynek két vége csomópont a belsejében azonban nincs több csomópont. Egy ágon belül az áramerősség mindenütt megegyezik. Az egy ágon belüli elemeket sorosan kapcsoltak nevezzük. A hurok a hálózat olyan zárt irányított vonala, amely a hálózat ágaiból épül fel. Párhuzamosnak nevezzük a fogyasztók kapcsolását akkor, ha a megfelelő sarkaik azonos potenciában vannak. Kirchoff I. törvénye (csomóponti törvény): Stacionárius esetben a töltésmegmaradás törvénye: 0

A

J dA⋅ =∫ . Ha ezt vékony vonalas

vezetőkben folyó áramokra alkalmazzuk, akkor 1

0n

ii

I=

=∑ egyenletet nyerhetjük. Egy

csomópontba befolyó és onnan kifolyó áramok algebrai (előjeles) összege zérus. Az előjelezés az alábbiak szerint történik: 0I > ha 0J dA⋅ > , és 0I < ha 0J dA⋅ <

1I

dA

2I

4I

3I5I

Pl.: 3 4 5 1 2 0I I I I I+ + − − = Kirchoff II. törvénye (hurok törvény): Egy hurok mentén a feszültségek algebrai összege zérus.

10

n

ii

U=

=∑

A hálózatszámítás menete: - az egyes ágakban tetszés szerinti áramirányokat vesszük fel, - felírjuk az egymástól független csomóponti törvényeket, - megfelelő számú hurokban tetszőleges körüljárási irányt veszünk fel, - felírjuk a hurok törvényeket, ellenálláson áthaladva megegyező áramirány és

körüljárás esetén +IR egyéként –IR, ideális áramforráson áthaladva előbb pozitív pólusát érintve +E egyébként –E ,

- a csomóponti és huroktörvények alkotta, az áramokban lineáris egyenletrendszert megoldjuk az ismeretlenekre.

A Kirchoff törvények alkalmazásai: 1. Ellenállások soros kapcsolása: A Kirchoff törvények alkalmazásával könnyen belátható, hogy a soros kapcsolás helyettesítő vagy eredő ellenállása az egyes ellenállások összege.

nR1R 2R eR=

A helyettesítő vagy eredő ellenállás:1

n

e ii

R R=

=∑

2. Ellenállások párhuzamos kapcsolása: Ha az ellenállásokat párhuzamosan kapcsoljuk, akkor az eredő ellenállás reciproka egyenlő az egyes ellenállások reciprokainak összegével:

1

1 1n

iieR R=

=∑

1R

2R

nR

eR=

3. Feszültségosztó (potenciométeres) kapcsolás. Gyakran előfordul az, hogy egy fix feszültségű áramforrás segítségével változtatható feszültséget kell előállítanunk. Ezt a feladatot valósíthatjuk meg terheletlen feszültségosztó kapcsolás segítségével:

xR

I

E

R

A B

A főkörben folyó áramerősség I

R=E , így az xR ellenálláson eső feszültség

xAB x

RU R IR

= = E . A terheletlen potenciométer két kapcsán megjelenő feszültség lineáris

függvénye az xR ellenállásnak, és 0 ABU≤ ≤ E .

EABU

RO xR Terhelt potenciométeres kapcsolás esetén a változtatható feszültséget egy fogyasztóra kötjük. Ilyenkor a karakterisztika már nem lineáris.

xR

I

E

R

A BKR

EABU

RO xR

1KR

2KR

1 2K KR R>

4. Feszültségmérő és árammérő műszerek méréshatárának kiterjesztése Feszültségmérő előtét ellenállásának méretezése. U feszültséget akarunk mérni egy Um méréshatárú műszerrel, ilyenkor egy Re ellenállást alkalmazunk.

mR

U

eR

eU mU

VI

m eU U U+ = .

eR és mR soros kapcsolása miatt m e

m e

U UIR R

= = , az előtétre eső feszültség ee m

m

RU UR

= .

1e em m m

m m

R RU U U UR R

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

A méréshatár n-szeres kiterjesztése esetén 1 e

m m

RUnU R

= = + , tehát, az előtét ellenállás: eR

( )1e mR n R= − Árammérő sönt ellenállásának méretezése. I áramot akarunk mérni egy Im méréshatárú műszerrel, ilyenkor egy Rs ellenállást alkalmazunk.

mRIA

sRsI

mI

m sI I I= +

sR és mR párhuzamos kapcsolása miatt m m s sI R I R= , így a sönt árama ms m

s

RI IR

= .

1m mm m m

s s

R RI I I IR R

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

A méréshatár n-szeres kiterjesztése esetén 1 m

m s

RInI R

= = + tehát a sönt ellenállás sR

1m

sRR

n=

−.

5. Ellenállásmérés Ohm törvénye alapján mutatás műszerekkel

„Kis ellenállás” mérése: x VR R . Ilyenkor xURI

= , és a mérés relatív hibája

1x x

x V V

R RR R R

ε = ≈+

xR

I

E

VRV

AU

„Nagy ellenállás” mérése esetén ha A xR R , inkább az alábbi kapcsolást alkalmazzuk:

xR

I

E

VRV

AAR

U

Az ismeretlen ellenállás ilyenkor is x

URI

= , és a mérés relatív hibája: 2A

x

RR

ε = . A digitális

műszerek pontosabbak, az áramköri viszonyokat gyakorlatilag nem befolyásolják. A digitális műszerek pontosabbak, az áramköri viszonyokat gyakorlatilag nem befolyásolják. A digitális feszültségmérőben alkalmazott tranzisztoros erősítő miatt a belső ellenállás nagy 10MΩ∼ . Az árammérést szintén feszültségmérésre vezetik vissza. 6. Ellenállásmérés Wheatstone-híddal Tekintsük az alábbi kapcsolást, legyen xR az ismeretlen ellenállás, 2R pedig egy szabályozható ellenállás. Az elrendezést összeállítva a galvanométeren áram fog folyni. Az

2R ellenállást addig szabályozzuk, amíg a híd árammentes nem lesz, 0GI ≈ . Ekkor a Wheatsone-híd kiegyenlített állapotban van. Az ilyen mérési módszert nullmódszernek nevezzük. Az alkalmazásához egy érzékeny árammérő úgynevezett galvanométer kell. A kiegyenlített állapotra felírhatóak az alábbi hurokegyenletek:

R

G

3R

2I

E

xR 2R

4R

3I+ +

2 3 3 0xI R I R− = , és 2 2 3 4 0I R I R− = .

2 3 3xI R I R=

2 2 3 4I R I R=

Végül az ismeretlen ellenállás: 32

4x

RR RR

= ⋅ .

A Wheatsone híd 61 10Ω Ω− tartományban használható ellenállás mérésére. A stacionárius áram munkája és teljesítménye: Ha a fogyasztó be és kivezetése közötti feszültség 12U és rajta t idő alatt Q It= töltés áramlik át, akkor a mező munkája: 12 12W QU U I t= = . Ez annak a munkának az értéke, amit a mező végez, az 12U feszültségű szakaszon t idő alatt miközben a vezetékben I erősségű áramot hajt. Az elektromos mező munkája megegyezik a vezeték belső energiájának növekedésével. Az Ohm törvény segítségével ezt két további alakban is kifejezhetjük. Amennyiben a fogyasztó

ellenállása R, az elektromos áram munkája: 2

2 1212

UW U I t I R t tR

= ⋅ = ⋅ = . Homogén fémes

fogyasztó esetén termikus egyensúlyban a fogyasztó éppen annyi úgynevezett Joule hőt ad le a környezetének, mint amennyi munkát az elektromos mező végez. A stacionárius áram által végzett munka mértékegysége joule, de a gyakorlatban használják a kWh egységet is:

61 3,6 10kWh J= ⋅ . A stacionárius áram teljesítménye pedig: 2

2 1212

UP U I I RR

= = = .

Teljes áramkör esetén az idegen erők munkája az áramforrásban:

( )2

2W Q I t I R r t tR rεε ε∗ = = = + =+

P Iε∗ = Belátható, hogy egy R ellenállású homogén fémes fogyasztót, és ε elektromos erejű r belső ellenállású áramforrást tartalmazó teljes áramkörben a generátor munkája maradéktalanul Joule-hővé alakul.

Írásbeli vizsgakérdések

1. A sebesség definíciója drvdt

=

2. A gyorsulás definíciója 2

2

dv d radt dt

= =

3. A gyorsulás természetes koordinátái (1) nvtvaρ

2.+=

4. Sebesség és gyorsulás Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben (2)

kzjyixakzjyixv.........

, ++=++=

5. Sebesség henger koordináta-rendszerben (1) kzeev...

++= ϕρ ϕρρ

6. Erőaxióma (2) FrmFp ==...

, 7. Erőaxióma, állandó tömeg esetén, derékszögű koordinátarendszerben, x-komponens (1) ( , , )xm x F r v t=

8. Akció-reakció tétele (1) 1,22,1 FF −=

9. A munka definíciója (1) ∫=2,1

2,1 rdFW

10. A pillanatnyi teljesítmény (1) P F v= ⋅ 11. A munka számolása a pillanatnyi teljesítmény segítségével (1) 1,2

1,2

W F vdt= ∫

12. Konzervatív mezőben egy zárt görbén végzett munka (1) 1,2

0Fdr =∫

13. Munkatétel (1) W T T T mv1 2 2 121

2, ,= − =

14. Teljesítmény tétel (1) 2

21, mvT

dtdTP ==

15. Mechanikai energiatétel konzervatív mezőben (1) állandóE T V= + = 16. Mechanikai energiatétel, ha nem-konzervatív erők is vannak (1) .

1,2 2 1nkW E E= −

17. Rugalmas erő erőtörvénye (1) DxFx −= 18. Lineáris csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenlete (1) Dxxm −= 19. Lineáris csillapítatlan szabadrezgés kitérés-idő függvénye (1) ( ) ( )δω += tAtx 0sin 20. Lineáris csillapított szabad rezgés mozgásegyenlete (1) xKDxxm −−= 21. Lineáris gyengén csillapított szabadrezgés kitérés-idő függvénye (1) ( ) ( )δγα += − teCtx tsin 22. Gerjesztett lineáris rezgés mozgásegyenlete (1) 0 cosmx Dx Kx F tω= − − + 23. Gerjesztett lineáris rezgés kitérés-idő függvénye (1) ( ) ( )sinx t A tω δ= −

24. Kontinuitási egyenlet integrális és differenciális alakja (2) ( ) 0, =∇+−=∫ ∫ vt

AdvdVdtd

V A

ρ∂ρ∂ρρ

25. Kontinuitási egyenlet vékony áramcsőre (1) 222111 AvAv ρρ =

26. Bernoulli-egyenlet (1) állandóvghp =++ 2

21 ρρ

27. Hidrosztatikai nyomás (1) gypp ρ+= 0 28. Hőtan I. főtétele, elemi és véges folyamatra (2) WQEWQdE +=Δ+= 2,1,δδ

29. Kvázisztatikus térfogatimunka (1) ∫−=2

1

V

V12 pdVW

30. Ideális gáz belső energiája (1) NkTfpVfE22

==

31. Az ekviparició tétele (1) 12x kTε =

32. Ideális gáz állapotegyenlete (2) RTMmpVNkTpV == ,

33. Poisson egyenlet (1) állandópV κ =

34. Termikus hatásfok definíciója (1)

o

be

WQ

η ='

35. Carnot-ciklus termikus hatásfoka (1) 1

21TT

−=η

36. A Clausius egyenlőtlenség (1) 0QTδ

≤∫

37. Szilárdtestek lineáris és térfogati hőtágulása (2) ( ) ( )0 01 , 1l l T V V Tα β= + Δ = + Δ

38. Coulomb-törvény (1) rerQQkF 2

21=

39. Elektromos térerősség definíciója (1) qFE =

40. Két pont közötti potenciál különbség (1) ∫=2,1

2,1 sdEU

41. Az elektrosztatika I. alaptörvénye, integrális és differenciális alak (2) ∫ =×∇=c

EsdE 0,0

42. Elektromos térerősség és potenciál kapcsolata (1) E gradU U= − = −∇

43. Ponttöltés elektromos tere és potenciálja (2) rQkUe

rQkE r == ,2

44. Az elektromos indukcióvektor definíciója (1) 0D E Pε= +

45. Lineáris anyagegyenlet (kapcsolat az elektromos indukció és az elektromos térerősség között (1) 0 rD Eε ε=

46. Az elektrosztatika Gauss-törvénye, integrális és differenciális alak (2) ρ=∇=∫ DQAdDA

,

47. Határfeltételek az elektrosztatikában (2) 1 2t tE E= , 2 1n nD D σ− =

48. Kapacitás definíciója (1) UQC =

49. Síkkondenzátor kapacitása (1) 0 rACd

ε ε=

50. A kondenzátor energiája (1) 212

W CU=

51. Az elektromos mező energiasűrűsége (1) 12

w DE=

52. Elektromos áramsűrűség (szállítási és vezetési) (1) jvJ += ρ 53. Áramsűrűség nyugvó vezető kristályban (1) eevenj −=

54. Töltésmegmaradás törvénye, integrális és differenciális alak (2) 0, =∇+−= ∫∫ Jt

AdJdVdtd

AV ∂∂ρρ

55. Elektromotoros erő (1) sdE∫+−

+− =,

*,ε

56. A stacionárius elektromos mező második alaptörvénye (2) 0, 0A

J dA J= ∇ =∫

57. Differenciális Ohm-törvény (1) ( )*EEj += γ

58. Ohm törvény integrális alakja (1)

A

EdrURI JdA

−

+= =∫

∫

59. Vékony vonalas vezető ellenállása (1) lRA

ρ=

60. Ohm-törvény teljes áramkörre (1) ( )rRI +=ε

61. Kirchoff-törvények, csomóponti és hurok törvény (2) 0,011

== ∑∑==

n

ii

n

ii UI

62. Wheatstone-féle hídkapcsolás ismeretlen ellenállása (1) 3

42 R

RRRx =

63. Joule-törvény integrális alakja (1) IUP 2,12,1 =