División de un segmento en una razón dada Integrantes:

Antes de comenzar… Debemos recordar que:

La razón entre dos números a y b es una comparación entre ellos y la denotamos por a:b o a/b.

La razón entre dos trazos o segmentos es el cociente entre sus medidas.

Teorema particular de Thales Si se traza una recta paralela a un lado

del triángulo, entonces los segmentos determinados sobre los otros lados son proporcionales. En la figura

y se cumple que:

División interior de un segmento en una razón dada.

Dividir interiormente un segmento en la razón dada m : n consiste en encontrar un punto P en el interior del segmento tal que se cumpla que:

División Exterior de un segmento en una razón dada.

Dividir exteriormente un segmento en la razón dada m : n consiste en encontrar un punto P en la prolongación de tal que se cumpla que:

Si m<n

Falta dibujo

División Armónica de un segmento.

Dividir armónicamente un segmento en la razón m : n consiste en dividirlo interiormente y exteriormente en la misma razón, esto es encontrar dos puntos, P en el interior de y Q en la prolongación de , de modo que se cumpla que:

Los puntos A,P,B,Q conforman un conjunto de puntos armónicos

Falta dibujo Si m<n

Falta dibujo

Circunferencia de Apolonio Si el trazo está

dividido armónicamente por los puntos P y Q, entonces la circunferencia que tiene por diámetro se denomina CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO

Teorema de la Bisectriz Interior

La bisectriz interior de un angulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados. En la figura ABC es un triángulo cualquiera y es la bisectriz del ángulo ACB.

Se cumple que

Teorema de la bisectriz Exterior

La bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.

En la figura, ABC es un triángulo cualquiera y es la bisectriz del ángulo BCE.

Se cumple que:

Corolario La bisectriz de un ángulo interior de un

triángulo y la bisectriz exterior correspondiente al mismo ángulo dividen armónicamente al lado opuesto del triángulo, es decir lo dividen en la misma razón (que es la razón en que están los lados que forman el ángulo).

En el triángulo ABC de la figura, es bisectriz del ángulo ACB y es bisectriz del ángulo BCF.

Se cumple que:

Sección Aurea o División Aurea La sección áurea de un segmento es la división

armónica de él en media y extrema razón, esto es, la razón entre el segmento menor y el mayor es la misma que hay entre el segmento mayor y el segmento completo.

Tomemos un segmento de longitud 1 y realicemos en el esta división.

Sea 1 el segmento menor que resulta de la división y x el segmento mayor, entonces (1+x) es el segmento completo y se cumple:

Al resolver esta ecuación obtenemos una ecuación cuadrática cuya solución positiva es:

Este numero se llama número de oro, es un numero irracional y generalmente se designa con la letra griega , su valor aproximadamente es 1,618…

Rectángulo Áureo Si un rectángulo de lados a y b (a<b) es

tal, que se cumple la proporción: , se denomina rectángulo dorado porque sus lados están en proporción áurea.

Podemos construir un rectángulo áureo de la siguiente manera:

Este proceso se puede ir haciendo sucesivamente y se logra una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hasta el vértice O de una espiral logarítmica y que modela el crecimiento de armónico de muchos elementos presentes en la naturaleza, como plantas , animales, y se asemeja muchísimo a una caracola.

Y s i tomamos un triángulo isósceles cuyos lados estén en relación ·urea, y bisecamos uno de los ángulos de la base de 72 grados, veremos que obtenemos otro triángulo con las mismas propiedades del original, y si continuamos el proceso veremos que se obtiene un conjunto de triángulos arremolinados.