digitalni automati

5/27/2018 digitalni automati

1/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Digitalni automat je univerzalni sekvencijski sklop, ijeponaanjeovisisamo o sadanjem i prethodnim ulaznim podacima-dogaajima. Radautomata moese objasniti kroz teoriju sustava s upravljanjem.

Digitalni automati

Proces

AutomatSustav

Razni utjecaji

Sustav ine proces i automat. Okolina djeluje na proces remetei njegovrad, dok automat pokuava odrati proces u optimalnim uvjetima rada,kako bi realizirao postavljenu funkciju cilja.


2/68

Digitalni automati-111001

01001

110010

100111

11001

01001

Automat mjeri stanje procesa i razluuje sva njegova bitna stanja.Kaemo da proces mora biti mjerljiv, kako bi upravljanje moglofunkcionirati. Automat posjeduje ugraenoznanje o procesu.

On na osnovi sadanjeg i prethodnih dogaajau procesu moe odreditioptimalnu akciju ili niz akcija. Tim akcijama automat treba dovesti

proces u optimalni reimrada.

Da bi to bilo mogue, automat mora raspolagati i dovoljnim skupom

akcija, kako bi mogao kompenzirati bilo koji predvidivi utjecaj okoline.Kaemo da proces mora biti upravljiv, kako bi upravljanje moglofunkcionirati.


3/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Digitalni automati-2

Ukoliko vrijednosti izlaznih promjenjivih zavise ne samo od trenutnihvrijednosti ulaznih promjenjivih nego i odprolihvrijednosti (parovaulaza-izlaza) za digitalni sustav se kaeda je sekvencijalnisustav iliautomat.

X1(t) ..

.Xn(t)

KOMBINACIONAMREA

.

.

.

MEMORIJA

Y1Yr

...... Y1(t)...Yp(t)

Z1

Zm


4/68

Apstraktni model automata11001

01001

110010

100111

11001

01001

Postoje slijedeevrste digitalnih automata:

Konani-ima konaanbroj stanja, konanumemoriju;

Digitalni-raspolaedigitalnim ulazima i izlazima;

Diskretni- radi u diskretnom vremenu;

Determinirani-jednoznanoobavlja svoju funkciju;

Specificirani:potpuni- moguisvi nizovi ulaznih dogaaja;nepotpuni-moguisamo neki nizovi ulaznih dogaaja;

Sinkroni-diskretno vrijeme je definirano taktnim signalom.


5/68

SINHRONE i ASINHRONE sekvencijalne mree11001

01001

110010

100111

11001

01001

Kod sinhronih mrea ulazi, izlazi i interna stanja se mijenjaju udiskretnim vremenskim trenucima, definiranim prekosinhronizacijskog ulaza osnovnom frekvencijom takta sustava, tj.

taktom.

Kod asinhronih sekvencijalnih mrea stanja se mogu mijenjati u bilokoje vrijeme, a ulazi mogu biti signali razine koji se javljaju u

proizvoljnom intervalu vremena.

TAKT

X

S

Z

a)

X

b)

S

Z


6/68

Formalni matematiki opis sekvencijalnih mrea11001

01001

110010

100111

11001

01001

Apstraktni automat je matematiki model prekidakog upravljakogautomata koji se zadaje skupom iz pet elemenata:

W=(X, Y, S, , ,)

gdje su:

Xili U = (x1, x2, ..., xn)- skup ulaznih signala ili ulazni alfabet

Yili I = (y1, y

2, ..., y

m) - skup izlaznih signala ili izlazni alfabet

S = (s1, s2, ..., sk) - skup stanja ili alfabet stanja, a

s0

- poetno stanje - funkcija prijelaza koja realizira

preslikavanje skupa S XS

- funkcija izlaza koja realizirapreslikavanje skupa S XY


7/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Apstraktni automat-1

Ulazni simbol pojavljuje se u diskretnom vremenskom trenutku na ulazuu automat. On predstavlja svu informaciju koju automat dobiva od

procesa u tom diskretnom trenutku, i dva se ulazna simbola ne mogu

pojaviti istovremeno. Vremenski niz ulaznih simbola, koji se pojavljuju u

uzastopnim diskretnim trenucima, ini ulaznu sekvencu ili ulaznu rije.

I je skup izlaznih simbola ili izlazni alfabet, a oni su u stvarnom

automatu kodirani kodnim rijeimaizlaznih varijabli Y:

Izlazni simbol "ij" pojavljuje se u diskretnom vremenskom trenutku naizlazu automata. On predstavlja svu informaciju koju automat daje

procesu u tom diskretnom trenutku, i dva se izlazna simbola ne mogu

pojaviti istovremeno. Vremenski niz izlaznih simbola, koji se pojavljuju

u uzastopnim diskretnim trenucima, ini izlaznu sekvencu ili izlaznurije.


8/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


S je skup unutranjih stanja automata, a ona su u stvarnom automatukodirani kodnim rijeima varijabli Z:

S=(Sl,S2,...,Sn)

Z=(z1,z2,...,zk)

Varijable Z su zapravo izlazi bistabila kojima je realizirana memorija

automata. Stanje automata Sj" je jedino stanje koje automat zauzima u

diskretnom trenutku. Ono predstavlja svu informaciju koju automat imao prethodnim dogaajima u procesu. Vremenski niz stanja, koji se

pojavljuju u uzastopnim diskretnim trenucima, ini trajektoriju iliputanju stanja kroz koje prolazi automat.


9/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Funkcija prijelaza, odreuje slijedee stanje automata na osnovusadanjegstanja i sadanjegulaza:

, : sn+1= (s,U)n SxU S

U funkciju prijelaza uvrtavamopar stanje-ulazni simbol, a taj par je lanKartezijevog produkta skupova S i U. Kartezijev produkt dvaju skupova

je skup, koji sadri sve ureene parove od po jednog lana iz svakogskupa. Kaemoda funkcija prijelaza obavlja preslikavanje iz skupa svih

parova SxU u skup stanja S.

Funkcija izlaza T. odreuje sadanjiizlaz automata. Razlikujemo Mealyi Moore model automata.


10/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

MILI JEV i MUROV AUTOMAT

U odnosu na funkciju izlaza u praksi se susreudva sluaja:

Automati prve vrste ili Milijevi (Mealy) automati definiraju funkciju

izlaza u obliku

Y(i)= (S(i), X(i))

Automati druge vrste ili automati Mura (Moore) definiraju funkciju

izlaza Y(i)= (S(i))

Izraz za funkciju izlaza automata Mura ne oznaavada je izlaz neovisano ulazu, nego samo injenicuda je utjecaj ulaza na izlaz izraenprekostanja.

Oigledno je da je klasa Murovih automata obuhvaena klasomMilijevih, odnosno, Milijev automat ima Murov automat koji mu je

ekvivalentan.

Ukoliko su ulazna i izlazna abeceda stanja konane,automat se naziva

KONANIM.


11/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

MILI JEV i MUROV AUTOMAT-1

Kod Mealy modela automata funkcija izlaza ovisi o sadanjemstanju i

sadanjemulazu. Kaemoda obavlja preslikavanje iz skupa SxU u skupI. Mealy automat veu diskretnom periodu u kojem primi ulazni simbol,generira izlazni simbol. Stoga mu izlaz za jedan diskretni period prethodi

Moore automatu, a redovito Mealy automat za istu fimkciju treba manji

broj stanja. Mealy automat je osjetljiv na promjene ulaznog simbolaunutar diskretnog perioda, pa treba voditi rauna da li je ulazni nizstvarno usklaen sa diskretnim vremenom.

Kod Moore modela automata funkcija izlaza ovisi samo o sadanjem

stanju. Kaemo da obavlja preslikavanje iz skupa S u skup I. Mooreautomat u diskretnom periodu u kojem primi ulazni simbol najprije preeu stanje, pa tek u slijedeem diskretnom periodu generira izlazni simbol.Stoga mu izlaz za jedan diskretni period kasni za Mealy automatom, te

redovito za istu funkciju treba vei broj stanja. Moore automat nijeosjetljiv na promjene ulaznog simbola unutar diskretnog perioda, pa ne


12/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Zapisivanje automata

Automat zapisujemo tablicom prijelaza i izlaza, i grafom.

Za Mealy automat, tablica prijelaza i izlazaprikazana je na slici

To su dvije dvodimenzionalne tablice, koje najee crtamo zajednoSvaki redak pripada jednom stanju automata, koja su popisana s lijeve

strane tablice. Time je definiran skup stanja. Svaki stupac odgovara

jednom ulaznom simbolu, koji su popisani u prvom retku tablice (dva

puta, posebno za tablicu prijelaza i posebno za tablicu izlaza). Time jedefiniran skup ulaznih simbola.


13/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Zapisivanje automata-1

Svako mjesto u tablici prijelaza i izlaza odgovara jednom paru stanja iulaznog simbola, odreenom retkom i stupcem na ijem se presjekumjesto nalazi. Time mjesto odgovara jednom lanu kartezijevog produktaSxU.

U tablici prijelaza u svako mjesto upisujemo stanje iz skupa S, a to je

stanje u koje e prijei automat za promatrani par sadanjeg stanja iulaznog simbola.

U tablici izlaza, u svako mjesto upisujemo izlazni simbol iz skupa I, a to

je izlazni simbol koji automat generira u sadanjemtrenutku. Svi izlaznisimboli upisani u tablicu ine skup izlaznih simbola I.


14/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Za Moore automat, tablica prijelaza i izlaza prikazana je na slici

To su jedna dvodimenzionalna i jedna jednodimenzionalna tablica, koje

najee crtamo zajedno. Svaki redak pripada jednom stanju automata,

koja su popisana s lijeve strane tablice. Time je definiran skup stanja.Svaki stupac tablice prijelaza odgovara jednom ulaznom simbolu, koji su

popisani u prvom retku tablice. Time je definiran skup ulaznih simbola.

Tablica izlaza ima samo jedan stupac. Svako mjesto u tablici prijelaza

odgovara jednom paru stanja i ulaznog simbola, u koje upisujemo

slijedee stanje kao za Mealy automat


15/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


U tablici izlaza, u svako mjesto upisujemo izlazni simbol iz skupa I, a to

je izlazni simbol koji automat generira u sadanjemtrenutku. Kako izlazMoore automata ovisi samo o stanju, tablica ima jedan stupac. Svi izlazni

simboli upisani u tablicu ine skup izlaznih simbola I.

Za potpuno specificirani automat, popunjena su sva mjesta u tablicama.Za nepotpuno specificirani automat neka mjesta nisu popunjena. To znaida smo pretpostavili ogranienja na ulaznoj sekvenci, tako da su samoneki nizovi ulaznih simbola mogui. Zbog toga e i neki parovi stanje -

ulazni simbol biti nemogui, pa za njih nije potrebno definirati funkcijuprijelaza, kao ni funkciju izlaza za Mealy automat.

Ova preslikavanja moemo kasnije defmirati proizvoljno, premapotrebama minimizacije sklopa.


16/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

METODEZADAVANJA KONANOG AUTOMATATablini metod1/2

tablica prelaza tablica izlaza

X/S S0 S1... Sk X/S S0 S1... Sk

X1...

Xm

(S0, X1)...

(S0, Xm)

(S1, X1) ...(Sk, X1). . .

(S1, Xm) ...(Sk, Xm)

X1...

Xm

(S0, X1)...

(S0, Xm)

(S1, X1) ...(Sk, X1). . .

(S1, Xm) ...(Sk, Xm)

Primjer 1

Tablice prelaza i izlaza za konaan automat prve vrste

A1 tabela prelaza

S0 S1 S2

X1

X2

S2

S0

S0

S2

S0

S1

A1 tabela izlaza

S 0 S 1 S 2

X 1

X 2

Y 1

Y 1

Y 1

Y 2

Y 2

Y 1


17/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

METODE ZADAVANJA KONANOG AUTOMATATablini metod2/2

Primjer 2

A2 tabela prelazaS0 S1 S2 S3

X1

X2

S1

S2

S2

-

S3

S1

-

S1

A2 tabela izlaza

X1

X2

Y1

Y2

Y3

-

Y3

Y1

-

Y2

Tablice prelaza i izlaza za nepotpuno definiran automatPrimjer 3

Opi Murov automat; b) za konaan Murov automat

(S 0 ) ... (S k ) Y 1 Y 1 Y 3 Y 2 Y 3

S 0 ... S kA3

S 0 S 1 S 2 S 3 S 4

X 1

X 2

S 1

S 3

S 4

S 1

S 4

S 1

S 2

S 0

S 2

S 0

X 1

. . .

X p

(S 0 , X 1 ) ... (S k , X 1 )

. . .

(S 0 , X p ) ... (S k , X p )


18/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Graf automata

To je usmjereni graf kod kojeg vorita (oznaena krugovima)predstavljaju stanja, a usmjerene duine predstavljaju prijelaze. Uvorita upisujemo oznaku stanja, a uz duine (prijelaze) upisujemoulazne simbole, koji te prijelaze uzrokuju. Na taj je nain definiranafunkcija prijelaza. Jedno vorite i jedna duinaine par stanje - ulazni

simbol, pa uz njih piemo i izlazni simbol Mealy automata. Na taj jenain definirana i funkcija izlaza. Graf Mealyevog automata prikazujeslika.


19/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Graf automata-1

To je usmjereni graf kod kojeg vorita opet predstavljaju stanja, a

usmjerene duine prijelaze. Uz oznaku stanja piemo oznaku izlaznogsimbola, pa je time definirana funkcija izlaza Moore automata.

Za nepotpuno specificirane automate, iz svakog stanja nee biti

definirani prijelazi za sve ulazne simbole.


20/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Zadavanje automata grafom

Y1

S0

S4 S1

S3 S2

X2

Y3

X2

Y2 Y3

X2

X1

Y1

X1

X2

X1

X1

Y1

X2

Y2

S0 S2

S1

S3

X1

Y1

X2

Y3

X1

Y2

Y1

X1

Y3X2

automat A2

automat A3

X1

Y2

X2

S0

S1 S2

Y1

X1

Y2X2

X2Y1

automat A1

X1

Y1

X1

X2


21/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Apstraktna sinteza automata

Sintezu automata obavljamo u dvije faze, kroz apstraktnu i strukturnusintezu. Apstraktna se odnosi na definiranje automata kao matematskog

modela, a strukturna se odnosi na sintezu konkretnog digitalnog sklopa.

Koraci sinteze su:

APSTRAKTNA SINTEZA - zadavanje automata

minimizacija automata

STRUKTURNA SINTEZA

- kodiranje stanja, ulaza i izlaza

- uvrtavanjekodova, prepoznavanje

tablica prijelaza za pojedine bistabile* tablica istine za izlazne varijable- realizacija automata

* opim bistabilima i logikim vratima* MD strukturom i D bistabilima (MDD)


22/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Zadavanje automata

Zadavanje automata je postupak poetnog formalnog zapisivanjaautomata. Na osnovu ideje u funkciji automatapokuavamoga zapisati sprvenstvenom eljomda zapis bude toan.Automat poetno zadajemo koritenjem jednog od tri mogua pristupa.To su zadavanje automata kao transformatora sekvence, kao akceptora

sekvence, te korak po korak.

Sva tri pristupa za neki problem rezultiraju istim automatom.

Zadavanje sutomata kao transformatora sekvence provodi se krozpostavljanje pravila o transformaciji ulazne na izlaznu sekvencu. Ova

pravila spadaju u grupu matematskih gramatika. Govorimo o

preslikavanju ulazne sekvence na izlaznu.


23/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Zadavanje automata-1

Zadavanje automata kao akceptora sekvence provodi su krozprepoznavanje sekvenci koje izazivaju pojavu nekog simbola na izlazu.

Koriste se metode zadavanja kao toje jezik regularnih izraza. Govorimoo transformaciji ulazne sekvence na izlazni simbol.

Zadavanje automata metodom korak po korak provodi se kroz analizu

svakog mogueg para stanje-ulazni simbol. Neposredno se crta grafautomata, po mogunosti u obliku potpunog stabla. Za velike automate

potpuno stablo je preveliko (eksplozija stanja) pa se koriste reducirani

grafovi prema snalaljivostidizajnera.

Govorimo o transformaciji ulaznog simbola, uz stanje, na izlazni simbol.


24/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Rad automata znatno ovisi o karakteru ulazne sekvence. Radi se o tome

da su nekad uzastopni simboli nezavisni jedan od drugog, a nekad inepovezane nizove, rijei. Govorimo o dvije vrste ulazne sekvence:

o sekvenci bez strukture, i

o sekvenci sa strukturom.

Sekvenca bez strukture je beskonana sekvenca ulaznih simbola, kodkoje se traenasekvenca moepojaviti u proizvoljnom trenutku. Nekadsu ak mogua preklapanja sekvenci na koje automat reagira, pa moramoodluiti da li e preklopljena sekvenca djelovati kao ona koja nije

preklopljena. Automat mora u svakom trenutku biti u stanju voditi raunao bilo kojem poetnom dijelu sekvence koji se je upravo desio.


25/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Sekvenca sa strukturomje beskonana sekvenca ulaznih simbola, kojase sastoji od beskonanog niza konanih sekvenci. Traenasekvenca seovdje moedesiti nakon tose desi prethodna. Automat mora analiziratiulazni niz sinkrono s pojavom konanih sekvenci.

Obino pretpostavljamo da je automat ukljuen u trenutku kadazapoinje slijedea konana sekvenca, pa je prvi simbol kojeg automat

primi ujedno prvi simbol konane sekvence.

Konane sekvence mogu biti iste duljine, ali ne moraju. Ukoliko sekoriste sekvence razliite duljine, odravanjeje mogue samo ako kraasekvenca nije sadranana poetku niti jedne od duihsekvenci.


26/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Kod metode korak po korak crtamo graf u obliku potpunog stabla

Potpuno stablo je

karakterizitano zasebnim

prijelazima u nova stanja za

svaki par stanja i ulaznogsimbola. Stoga se kod veihautomata broj stanja vrlo brzo

poveava. Karakteristika jepotpunog stabla, da za svaki niz

dogaaja (za svaku ulaznusekvencu) generira zasebno

stanje. To znai da je automat usvakom trenutku u mogunostirazlikovati (razluiti) koja se

tono sekvenca stvarno desila uneposrednojprolosti.


27/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


U praksi, veliki broj sekvenci za automat nema znaenje, a neke imajuisto znaenje kao i druge.

Stoga je nepotrebno realizirati automat koji e razluivati svaku ulaznusekvencu za sebe. Naprotiv, nastojat emo koristiti automat koji ima

najmanju razluivost, dovoljnu za izvrenje zadane funkcije. Takavautomat ima najmanji broj stanja.

Na ovom osnovu zasniva se kasnije minimizacija automata.


28/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Za Moore sutomat i sekvencu sa strukturompotpuni graf izgleda


29/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Radi se o sekvencama duljine po 3 simbola, a potpuno stablo ima ukupno

4 razine (raunajui i korijen).Openito, za Moore automat potpuno stablo e imati n+1 razina, gdje jen duljina konane sekvence.

Od poetka rada, automat analizira konanu ulaznu sekvencu i donosiodluku u jednom od stanja posljednje razine.

U ovom primjeru, u stanjima sloi sl, daje aktivni izlazni simbol. Ta stanja

se nazivaju akceptorska stanja, jer je sekvenca prepoznata i simbol

generiran.

Prvi slijedei simbol je veprvi simbol slijedee konane sekvence, paprijelazi iz svih stanja idu u stanja s2 i s3. Ovo je karakteristino zasekvencu sa strukturom.


30/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Za Moore automat i sekvencu bez strukturepotpuni graf izgleda


31/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Struktura potpunog stabla i odluivanje automata od poetka rada su istikao za sekvencu sa strukturom. Meutim, nakon donoenja odlukeautomat prelazi u stanja posljednje razine (n+1 za Moore automat) zato

jer u obzir uzima i prethodnih n-1 simbola, kao da je poeo iz poetka.

Npr. ako je u stanju sl4 primljen simbol u2, posljednja tri simbola suu2,u1,u2, a to bi nas od poetka odvelo u stanje s13, pa upravo u to stanje

prelazimo iz stanja s14sa u2.

Posebno kontroliramo prijelaze iz akceptorskih stanja. Ako elimosprijeiti preklapanje, za ta stanja odredimo prijelaze u stanja s2i s3, kaoza sekvencu sa strukturom.


32/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Za Mealy automat i sekvencu sa strukturom imamo


33/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Odmah uoavamo da graf ima svega n razina, jednu manje nego zaMoore automat.

To je posljedica naina rada Mealy automata koji izlaz generira naosnovu stanja i ulaznog simbola.

Nakon toje primljen trei simbol donosi se odluka bez prijelaza u novostanje. Kako je odluka ve donesena, a simbol pripada staroj sekvenci,svi prijelazi za stanja posljednje razine idu u stanje s1.


34/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Za Mealy automat i sekvencu bez strukturepotpuni graf je


35/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Za Mealy automat i sekvencu bez strukturepotpuni graf je

Graf je opet po strukturi isti kao za sekvencu sa strukturom, osim toprijelazi posljednje razine stanja idu u istu, posljednju razinu. Na isti

nain kao prije kontroliramo prijelaze akceptorskih stanja.


36/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Minimizaci ja automata

Dva automata mogu biti razliita, kad obavljaju razliitu funkciju, a

mogu biti i isti, kad su isti po strukturi i (naravno) obavljaju istufunkciju. Dva automata mogu biti razliiti po strukturi, a obavljati istufunkciju: takva dva automata su ekvivalentni.

Postojanje ekvivalentnih automata objanjavamo ranije spomenutomsposobnou razluivanja ulazne sekvence. Ako dva automata nisu isti, arade istu funkciju, tada jedan od njih nepotrebno razluuje ulaznesekvence, iako na kraju za njih donosi istu odluku kao da ih nije razluio.Minimizaciju provodimo sa ciljem pronalaenjaoptimalnog apstraktnogautomata, onog koji e rezultirati minimalnim sekvencijalnim sklopom.

Kako automat s najmanjom razluivou ima najmanji broj stanja,proglaavamo ga minimalnim. Cilj minimizacije je pronai minimalanautomat ekvivalentan zadanom, odnosno ako je zadani veminimalan,dokazati njegovu minimalnost.


37/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Ekvivalentnost automata

Dva automata (A i B) sn ekvivalentna ako ponu s radom izpoetnog stanja so, te za istu proizvoljnu sekvencu na ulazu daju istusekvencu na izlazu.

Istovjetnost izlaznih sekvenci mora biti ostvarena za proizvoljnu,dakle bilo koju ulaznu sekvencu. U praksi, dovoljno je s testiranjem

ii do duljine sekvence koja je jednaka broju stanja veeg automata. Ekvivalentni automati se ne mogu razlikovati u skupovima ulaznih i

izlaznih simbola, jer nee biti zadovoljen zahtjev istovjetnosti ulazne iizlaznih sekvenci. Oni se mogu razlikovati samo u skupu stanja, a

minimalan je onaj s najmanjim brojem stanja. Stanja koja nepotrebno razluuju ulazne sekvence, jer za njih automat

donosi istu odluku, nazivamo ekvivalentnim stanjima.


38/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Ekvivalentnost automata-1

Nuan uvjet ekvivalencije kae da su dva stanja potencijalnoekvivalentna ako su im reci u tablici izlaza automata identini.

Dovoljan uvjet ekvivalencije kaeda su dva stanja ekvivalentna ako jezadovoljen nuanuvjet, te ako su im reci u tablici prijelaza automataisti.

Da bi dobili minimalni automat dovoljno je otkriti podskupoveekvivalentnih stanja, te sva stanja nekog podskupa zamijeniti s jednim

stanjem. Metode zapronalaenjepodskupova ekvivalentnih stanja su:

metode primitivne matrice,

HufmannMealy algoritam i Paul-Unger algoritam-tablica implikanata.


39/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

MINIMIZACIJA BROJA STANJA KONANIH AUTOMATA

Pod minimizacijom broja stanja konanihautomata podrazumijeva seproces dobijanja automata koji ima minimalan broj stanja u odnosu nasve automate koji realiziraju zadati zakon funkcioniranja automata.

U matematikom smislu, stanja Si i Sj su k-razluiva ako postoji

ulazna rijex(t, t+k-1) takva da je:Z(x(t, t+k-1), Si) Z(x(t, t+k-1), Sj)

Ukoliko dva stanja nisu k-razluivaza bilo koju vrednost k, onda sekaeda su ekvivalentna.

Drugim rijeimaukoliko promatranjem izlaza automata u dva razliitastanja nije mogue uoiti razlike kae se da su ta dva stanjaekvivalentna, odnosno, da se mogu zamijeniti jednim stanjem.


40/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Metoda minimizacije primitivne matr ice

Provodi se nad primitivnom tablicom neposrednom primjenom

nunog i dovoljnog uvjeta ekvivalentnosti stanja. Metoda polazi odpretpostavke da su sva stanja neekvivalentna, te primjenom uvjeta

traieventualno ekvivalentna stanja.

Neposredna primjena nunogi dovoljnog uvjeta ima dvije mane. Prva

je u tome, to je dovoljan uvjet prestrog, jer ne vodi rauna oeventualno neotkrivenim ekvivalentnostima slijedeih stanja. Ovo jemogue djelom kompenzirati iterativnom primjenom uvjetaekvivalentnosti. Druga mana proizlazi iz prve, a to je da primjena

uvjeta ne moeuvijek dati minimalni automat. To je lako ilustrirati naprimjeru


41/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Metoda minimizacije primitivne matrice-1

Stanja sli s2su ekvivalentna, a metoda primitivne tablice to ne moe

otkriti. Prednost je metode primitivne tablice to se moe provestinad primitivnom tablicom bez viestrukogprepisivanja, pa slui za

poetnu redukciju automata. Osim toga, kad je automat poetnozadan potpunim ili djelominim stablom, metoda primitivne tablicesigurno daje minimalni automat.

Metoda primitivne tablice provodi se u koracima:

1.Traimostanja s istim recima u tablici prijelaza i izlaza2. Prekriimosve retke ekvivalentnih stanja osim jednoga3. Sve oznake prekrienih stanja zamijenimo oznakom onog

neprekrienog4. Nastavimo postupak dok ima ekvivalentnih stanja.


42/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Primitivna tablica-2

1.Traimo stanja s istim recima u tablici prijelaza i izlaza

2. Prekriimo sve retke ekvivalentnih stanja osim jednoga

3. Sve oznake prekrienih stanja zamijenimo oznakom onog neprekrienog

4. Nastavimo postupak dok ima ekvivalentnih stanja.


43/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Primitivna tablica-3

Ispiemo tablicu prijelaza i izlaza minimalnog automatai nacrtamo graf


44/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Implikativna tablica

U

postupku minimizacije automata koristiemo implikativnutablicu. To je specijalna dijagonalna tablicapomoukoje se dolazi doklasa ekvivalentnih stanja.

Tablica se formira na slijedeinain: vertikalno (kolone, vrste) unosimo sva stanja izuzev prvog,

horizontalno (retci) sva stanja izuzev zadnjeg (radi kraegzapisivanjaunosimo samo indekse stanja), tako da e za automat sa k-stanja,implikativna tabela imati k-1 kolona i isto toliko redaka;

oznake kolone i retci se interpretiraju kao koordinate elijetablice;na osnovi tablice prelaza/izlaza popunjavamo sve elije implikativnetablice, a zatimpretraujemotabelu.


45/68

Minimizaci ja primjenom implikativne tablice11001

01001

110010

100111

11001

01001

X\S

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S120 S2/0 S4/0 S6/0 S8/0 S10/0 S4/0 S10/0 S8/0 S10/1 S4/0 S2/0 S2/0

1 S3/0 S5/0 S7/0 S9/0 S12/0 S12/0 S12/0 S1/0 S1/0 S1/0 S1/0 S1/0

X\S S1 S2 S3 S4 S5 S6 S8 S10 S11 S9

0 S2 S4 S6 S8 S10 S4 S8 S4 S2 S101 S3 S5 S5 S9 S11 S1 1 S1 S1 S1 S1


46/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Implikativna tablica-1

Da bismo ispravno popunili tablicu, potrebno je pridravati seslijedeihpravila:1 U elije, ije koordinate ine neekvivalentna stanja (za isti ulaznisignal, izlazi su razliiti)unosimo znak X;2. U elije,ijekoordinate ineekvivalentna stanja (za isti ulazni signal,izlazi su isti) unosimo parove indeksa narednih stanja automata zaodgovarajueulaze (najprije manji, pa veiindeks), i to bez ponavljanja.Ukoliko su stanja ista, ne upisujemo nita;3. Ukoliko je elijasa koordinatama (i,j) precrtana, moraju se precrtati i

elijekoje i-j sadrekao obuhvaenipar;4. Koordinate neprecrtanih elijapredstavljaju meusobno ekvivalentnastanja.


47/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Minimizaci ja primjenom implikativne tablice

X\S S1 S2 S3 S4 S5 S6 S8 S10 S11 S9

0 S2 S4 S6 S8 S10 S4 S8 S4 S2 S101 S3 S5 S5 S9 S11 S1 1 S1 S1 S1 S1

2 - 43 - 5

2 - 63 - 5 4 - 6-2 - 83 - 9

4 - 85 - 9

6 - 85 - 9

2 - 103 - 11

4 - 105 - 11

6 - 105 - 11

8 - 109 - 11

2 - 4

3 - 112 - 81 - 32 - 41 - 3

-1 - 3

-

5 - 114 - 81 - 5

-1 - 52 - 41 - 5

4 - 6

5 - 116 - 81 - 54 - 61 - 52 - 61 - 5

4 - 8

9 - 11-

1 - 94 - 81 - 92 - 81 - 9

4 - 10

-8 - 101 - 114 - 101 - 112 - 101 - 11

4 - 81 - 11

-1 - 112 - 41 - 11

4 - 8-

2 - 8-

2 - 4-

x x x x x x x x x

11

10

8

6

5

4

3

2

9


48/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Minimizaci ja primjenom implikativne tablice-1

2 - 43 - 5

2 - 63 - 5

4 - 6-

2 - 83 - 9

4 - 85 - 9

6 - 85 - 9

2 - 10

3 - 11

4 - 10

5 - 11

6 - 10

5 - 11

8 - 10

9 - 112 - 43 - 112 - 81 - 3

2 - 41 - 3

-1 - 3

-5 - 114 - 81 - 5

-1 - 52 - 41 - 5

4 - 65 - 116 - 81 - 5

4 - 61 - 52 - 61 - 5

4 - 89 - 11

-1 - 9

4 - 81 - 92 - 81 - 9

4 - 10-

8 - 101 - 11

4 - 101 - 112 - 101 - 11

4 - 81 - 11

-1 - 112 - 41 - 11

4 - 8-

2 - 8-

2 - 4-

x x x x x x x x x

11

10

8

6

5

4

3

2

9

1 2 3 4 5 6 8 10 11


49/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


2 - 43 - 5

2 - 63 - 5 4 - 6-2 - 83 - 9

4 - 85 - 9

6 - 85 - 9

2 - 103 - 11

4 - 105 - 11

6 - 105 - 11

8 - 109 - 11

2 - 43 - 112 - 81 - 32 - 4

1 - 3-

1 - 3

-5 - 114 - 81 - 5

-

1 - 52 - 41 - 5

4 - 65 - 116 - 81 - 54 - 6

1 - 52 - 61 - 5

4 - 89 - 11

-1 - 94 - 8

1 - 92 - 81 - 9

4 - 10-

8 - 101 - 114 - 10

1 - 112 - 101 - 11

4 - 81 - 11

-

1 - 112 - 41 - 11

4 - 8

-2 - 8

-2 - 4

-x x x x x x x x x

11

10

8

6

5

4

3

2

9

1 2 3 4 5 6 8 10 11


50/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


2 - 43 - 5

2 - 63 - 5

4 - 6-

2 - 83 - 9

4 - 85 - 9

6 - 85 - 9

2 - 10

3 - 11

4 - 10

5 - 11

6 - 10

5 - 11

8 - 10

9 - 112 - 43 - 112 - 81 - 3

2 - 41 - 3

-1 - 3

-5 - 114 - 81 - 5

-1 - 52 - 41 - 5

4 - 65 - 116 - 81 - 5

4 - 61 - 52 - 61 - 5

4 - 89 - 11

-1 - 9

4 - 81 - 92 - 81 - 9

4 - 10-

8 - 101 - 11

4 - 101 - 112 - 101 - 11

4 - 81 - 11

-1 - 112 - 41 - 11

4 - 8-

2 - 8-

2 - 4-

x x x x x x x x x

11

10

8

6

5

4

3

2

9

1 2 3 4 5 6 8 10 11

Si i j i li k i bl i 4


51/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Sinteza primjenom impli kativne tabl ice -4

S11 -

S10 -

S8 -

S6 (S6, S10)

S5 (S5, S11), (S6, S10)

S4 (S5, S11), (S6, S10)S3 (S3, S5, S11), (S6, S10)

S2 (S3, S5, S11), (S2, S6, S10)

S1 (S1, S3, S5, S11), (S2, S6, S10)klase

ekvivalencije(S1, S3, S5, S11), (S2, S6, S10)

(S4), (S8), (S9),

2 - 43 - 5

2 - 63 - 5

4 - 6-

2 - 83 - 9

4 - 85 - 9

6 - 85 - 9

2 - 10

3 - 11

4 - 10

5 - 11

6 - 10

5 - 11

8 - 10

9 - 112 - 43 - 112 - 81 - 3

2 - 41 - 3

-1 - 3

-5 - 114 - 81 - 5

-1 - 52 - 41 - 5

4 - 65 - 116 - 81 - 5

4 - 61 - 52 - 61 - 5

4 - 89 - 11

-1 - 9

4 - 81 - 92 - 81 - 9

4 - 10-

8 - 101 - 11

4 - 101 - 112 - 101 - 11

4 - 81 - 11

-1 - 112 - 41 - 11

4 - 8-

2 - 8-

2 - 4-

x x x x x x x x x

11

10

8

6

5

4

3

2

9

1 2 3 4 5 6 8 10 11

110010 St kt i t t t


52/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Strukturna sinteza automata

Strukturnu sintezu automata obavljamo na osnovu modela prema slici

110010 St kt i t t t 1


53/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Strukturna sinteza automata-1

Model automata se sastoji od kombinacione logike strukture (KLS) imemorije.

Memorija automata sastoji se od k bistabila. Izlazi memorije, k varijabli

iz skupa Z, su izlazi pojedinih bistabila memorije.

Svaka kodna rije varijabli Z predstavlja jedno stanje, dakle svu

informaciju koju memorija moedati o svim prethodnim dogadajima naulazu u automat.

Memorija ima k ili 2k ulaza, ovisno o vrsti bistabila.

To su signali koji dolaze sa KLS i koji odreuju slijedee stanjememorije. Stanje memorije se mijenja u trenutku nastupa aktivnog dijelataktnog signala, koji je zajedniki za sve bistabile.

110010 St kt i t t t 2


54/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Strukturna sinteza automata-2

Kombinaciona logika struktura ima vanjske ulaze, elektrine varijableiz skupa X, na koje dolaze kodne rijei kojima su kodirani ulaznisimboli, te vanjske izlaze, elektrine varijable iz skupa Y, na kojima segeneriraju kodne rijei kojima su kodirani izlazni simboli.

KLS takoer raspolaeunutranjimulazima na koje dolaze varijable izskupa Z, a to su gore spomenuti izlazi bistabila memorije, te unutranje

izlaze preko kojih upravlja prijelazima memorije.KLS na osnovu vanjskih i unutranjih ulaza X i Z (gdje kodne rijei

predstavljaju ulazne simbole i stanja automata) generira kontrolne

signale na ulaz bistabila i time upravlja prijelazom memorije. Kako je

time odreeno sljedee stanje automata, istovremeno je i realiziranafunkcija prijelaza automata. Znanje o radu automata sadranoje u KLS.KLS na osnovu vanjskih i unutranjih ulaza (Mealy) ili samo

unutranjihulaza (Moore) generira kodne rijei varijabli y na vanjskimizlazima. Time je realizirana funkcija izlaza automata. I ovdje je znanje

koncentrirano u KLS.

110010 K di j t j l i i l


55/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Kodiranje stanja ulaza i izlaza

Veza izmeu apstraktnog i konkretnog automata ostvaruje se krozkodiranje ulaznih i izlaznih simbola, te stanja automata. Stoga je prvi

korak strukturne sinteze, a na osnovu poznavanja modela realizacije,

kodiranje skupova ulaznih i izlaznih simbola, te stanja.

Kodiranje ulaznih i izlaznih simbola ovisi o okolini automata. Preko ovihkodnih rijei automat komunicira s izvoritem i odreditem informacije(s procesom), pa kodovi moraju biti usklaeni. Stoga esto nemamoslobodu kodiranja, vesu nam ulazni i izlazni kod zadani.

Kodiranje stanja je unutranjastvar automata. Vesmo rekli, da stanjeautomata predstavlja znanje o prethodnim dogaajima na ulazu. Moglobi se pomisliti da emo dogaaje jednostavno pamtiti u memorijiautomata. Iako je i to mogue, sigurno nije racionalno. Stanja emokodirati minimalnim brojem bistabila, odnosno koncentriranim kodom.

110010 K di j t j l i i l 1


56/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Kodiranje stanja ulaza i izlaza-1

Kodiranje stanja automata ima neposredan utjecaj na veliinu KLS, jere raspored nula i jedinica u konanici odreivati mogunostminimizacije Booleovih funkcija koje definiraju KLS. Na alost, ne

postoji egzaktna metoda kodiranja koja bi rezultirala minimalnim

sklopom. Stoga se koristimo strategijom na osnovi susjednosti.

Kodiranje po kriteriju susjednosti obavlja se tako, da stanjima izmeukojih postoji mogunost prijelaza, nastojimo dodijeliti susjednekompleksije, ili kompleksije sa to manjom distancom. Minimalnadistanca u kodnim rijeima rezultira promjenom stanja jednog ili svega

nekoliko bistabila memorije kod promjene stanja automata. Ovdje sepolazi od pretpostavke, da e promjena stanja malog broja bistabilamemorije, povoljno utjecati na minimalnost KLS. Ova je pretpostavka

prilino neutemeljena, ali kako nemamo boljeg kriterija, koristimokriterij susjednost.

110010 Kodiranje stanja la a i i la a 2


57/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Kodiranje stanja ulaza i izlaza-2

U praksi stanja po kriteriju susjednosti kodiramo primjenom

Veitchevog dijagrama.

Za automat A1kodiramo skupove ulaznih i izlaznih simbola, te stanja.

Poetnostanje obinokodiramo kodnom rijei0.

110010 Kodirane tabli ce ulaza izlaza i stanja


58/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

Kodirane tabli ce ulaza, izlaza i stanja

X1 X2

W0 0 0W1 0 1

W2 1 0

b) ulazni simbol

Q1 Q2

S0 0 0S1 0 1

S2 1 0

S3 1 1

a) stanja

Z1 Z2

Y0 0 0

Y1 0 1Y2 1 1

Y3 1 0

c) izlazni simboli

X1X2

ME1

ME2

Y1

Y2

Z1

Z2

Q1

Q2

Q1

Q2

K M

110010 I nterpretaci ja kodiranog automata


59/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

I nterpretaci ja kodiranog automata

Kodove dobivene

postupkom kodiranja

uvrtavamo u tablicuprijelaza i izlaza automata.

Pri tome umjesto

dvodimenzionalne, koristimo

jednodimenzionalnu tablicu.U toj tablici redom

nabrajamo parove stanje-

ulazni simbol, dakle lanove

Kartezijevog produkta SxU

Za apstraktni automat,

jednodimenzionalna tablica

prikazana je na slici

110010 I nterpretaci ja kodiranog automata 1


60/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001

I nterpretaci ja kodiranog automata-1

Ovaj oblik tablice samo je osnovica za upis kodova. Naime, nakon

upisa kodova (umjesto simbola i stanja) dobivamo kodne rijei, koje jemnogo povoljnije poslagati prirodnim binarnim nizom:

Svaki redak opet pripada paru stanje-ulazni simbol, ali su sada oni

poredani po kriteriju prirodnog binarnog niza kodnih rijei. Kodna rijepara dobivena je pripajanjem kodne rijei ulaznog simbola s desnakodnoj rijei stanja. Tako ukupna kodna rijeini lijevu stranu tablice.



61/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


S desne strane imamo najprije dio koji s odnosi na prijelaze. Tu su

kodne rijei stanja, ali u slijedeem trenutku. Desno imamo kodne rijeiizlaza u sadanjemtrenutku.

Uoimo najprije da svaka kodna rije stanja u slijedeem trenutku,ovisi o kodnoj rijei stanja i ulaznog simbola u sadanjem trenutku. Na

isti nain ovisi i kodna rijeizlaza, ali u sadanjemtrenutku.Ako o lijevoj strani ovisi kodna rijes desne strane, tada o desnoj strani

ovisi i svaki pojedini bit s desne strane.

Promatramo li sada itavu lijevu stranu tablice i stupac npr. zl desne

strane, vidjet emo da je to potpuna tablica prijelaza za bistabil zl. Istotako, moemo identificirati potpune tablice prijelaza za ostale bistabile.Ove tablice su nestandardne utoliko, tose stanje bistabila u sadanjemtrenutku ne nalazi na poziciji najmanje znaajnog bita. O tome trebavoditi rauna kod koritenjatablica.



62/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Istim razmatranjem zakljuit emo da itava lijeva strana tablice istupac za npr. yl ine tablicu istine za izlaznu varijablu y1. To vrijedi i zaostale varijable y.

Nakon uvrtavanja kodova, tablicu prijelaza i izlaza automata

promatramo kao kombiniranu tablicu prijelaza bistabila z i tablicu istineizlaznih varijabli y. Na tom osnovu moemo obaviti sintezu KLS

primjenom poznatih postupaka sinteze opih bistabila i Booleovihfunkcija.

KLS se zapravo sastoji od malih dijelova, KLS za pojedine bistabile i

KLS za pojedine Booleove funkcije izlaznih varijabli.



63/68

11001

01001

110010

100111

11001

01001


Za primjer automata A1 tablica s upisanim kodovima je

110010 Realizaci ja automata


64/68

11001

01001

00 0

100111

11001

01001

Realizaci ja automata

Realizacija automata provodi se kroz sintezu sklopovlja prema

osnovnom modelu(KLS i Memorija).Sinteza memorije se provodi izborom vrste i izraunavanjem broja

bistabila (po kriteriju jednoznanosti kodiranja stanja automata).Sinteza kombinacione logike strukture se provodi koritenjem

prepoznatih dijelova kodirane tablice prijelaza i izlaza automata:potpunih tablica prijelaza bistabila memorije i tablica istine za izlazne

varijable.

KLS automata je zapravo sastavljen od KLS pojedinih opih bistabila iKLS kojima realiziramo Booleove funkcije izlaznih varijabli. Sintezu

svakog pojedinog dijela obavljamo koritenjemranije razradenih metodasinteze opih bistabila i realizacije booleovih funkcija.

U samoj realizaciji moemo koristiti integrirane krugove niske razineintegracije (bistabili i logika vrata), ili integrirane krugove srednje

razine integracije (multipleksere, demultipleksere i registre)

110010 Realizaci ja automata-1


65/68

11001

01001

100111

11001

01001

Realizaci ja automata-1

Kod realizacije automata bistabilima i logikim vratima,biramo NI ili

NILI vrata, te neki od standardnih bistabila.

Prihvatljivi su svi standardni bistabili, unato tome toRS i JK imajupo dva ulaza. Booleove funkcije koje opisuju te ulaze po kompleksnosti

zajedno odgovaraju funkciji za bistabil s jednim ulazom (D ili T).Kompleksnost sklopa vie ovisi o mogunosti minimizacije , dakle onainu na koji su kodirana stanja, ulazni simboli i izlazni simboli.

110010


66/68

Realizaci ja automata-211001

01001

100111

11001

01001

X1(t)

X1(t)

...

K M

z(t)

M

ME1

ME2

MEk

...

.

.

.

.

.

.

INICIJALIZACIJA

ST

Idealni takt-1 0 1 2 3 4 5 6

a)

b)

110010 Kanonika struktura Milijevog i Murovog automata


67/68

11001

01001

100111

11001

01001

Kanonika struktura Milijevog i Murovog automata

a)

X(t)

K M1

STREGISTAR

STANJA

S(t)

K M2

Z(t)

b)

X(t)

K M1

STREGISTAR

STANJAS(t)

K M2

Z(t)

110010 Elementarni automati i mree


68/68

11001

01001

100111

11001

01001

Elementarni automati i mree

R

ST

S

ST

VODEIF -FST PRATEIF -F

R

S

Q1Q2

Q2Q2

a)

aktivanvodei

aktivan

pratei

TAKTR

Q1

Q2

digitalni automati

Documents