Popović Ognjenka

• Konačni automati se mogu shvatiti kao Tjuringove mašine koje ne poseduju memoriju, odnosno trake u koje bi se mogli smestiti pomoćni i izlazni podaci.

• Konačni automati mogu jedino menjati svoja stanja u zavisnosti od ulaznih podataka, tako da samo zaustavljanjem u nekom od unapred izdvojenih stanja signaliziraju da li te podatke prihvataju ili ne.

• Konačni automati se uprkos ovakvim ograničenjima koriste u praksi, recimo u modulima za leksičku analizu prevodilaca programskih jezika, gde vrše izdvajanje leksičkih celina, poput brojeva i imena iz izvornog zapisa programa.

Def: Konačni automat

• Konačni automat je uređena petorka M=(S, s, F, A, ∂), gde su:

• S – konačan skup stanja• s Є S početno stanje• F – skup završnih stanja• A – alfabet• ∂ : S х A → S funkcija prelaza koja svakom paru

koji se sastoji od stanja q Є S i znaka a Є A pridružuje neko stanje q’ Є S.

• Rad konačnog automata intuitivno se shvata na sledeći način: na početku rada, automat se nalazi u stanju s. Zatim se učita znak sa ulaza i prelazi u stanje definisano funkcijom ∂. Postupak se ponavlja tako što se čita znak po znak i menjaju stanja, sve dok se ne stigne do kraja ulaza. Pošto se neki znak učita i dovede do eventualne promene stanja, konačni automat se na njega više ne vraća. Zato je za opis situacije u kojoj se nalazi konačni automat dovoljno opisati tekuće stanje, i preostali, još nepročitani deo ulazne reči.

• Kao i u slučaju Tjuringovih mašina, ovaj opis se naziva konfiguracija.

• Konfiguracija je uređeni par (q, w), gde je q Є S stanje, i w Є A* reč na alfabetu A.

• Računski korak je svaki par konfiguracija ( q, w ), ( q’, w’) gde je w = aw’, a Є A i ∂( q, a) = q’.

• Izračunavanje je niz konfiguracija sa osobinom da svake dve uzastopne konfiguracije čine računski korak.

• Sa ( q, w) ı– M (p, u) ćemo označiti da postoji izračunavanje automata M čiji je prvi element konfiguracija ( q, w) a poslednji (p, u).

• Konačni automat M = (S, s, F, A, ∂) prihvata reč w Є A*, ako za neko završno stanje q Є F važi ( s, w ) ı– M ( q, ε).

• L(M) će označavati jezik, tj skup svih reči koje prihvata konačni automat M.

• Primer: neka je konačni automat M = [ {q0, q1} , q0, {q0}, {a, b}, ∂] gde je funkcija ∂ definisana sa ∂(q0, a)=q0, ∂(q0, b)=q1, ∂(q1, a)=q1, ∂(q1, b)=q0.

• Jezik L(M) je skup svih reči koje sadrže paran broj pojava znaka b. Na primer, izračunavanje koje odgovara (q0, aabba) ı– M ( q0, ε) je niz konfiguracije (q0, aabba), (q0, abba), (q0, bba), (q1, ba), (q0, a), ( q0, ε), pa M prihvata reč aabba

• Konačni automati se prikazuju i pomoću dijagrama, direktnih grafova čiji su čvorovi označeni stanjima, a ivice znacima alfabeta. Postojanje ivice označene sa b koja ide od čvora označenog stanjem q0 ka čvoru označenom sa q1 znači da u odgovarajućem konačnom automatu ∂(q0, b)=q1.

• Na slici 1 je dat dijagram koji prikazuje prethodno opisani konačni automat. Ponekad se, kao na slici, završna stanja ističu time što su zaokružena.

Slika 1dijagram za konačni automat iz

predhodnog primera

• Slično nedeterminističkim Tjuringovim mašinama, postoje i nedeterministički konačni automati koji se od do sada razmatranih, determinističkih, razlikuju po tome što funkcija ∂ : S x A→ P(S) svakom paru (q, a) Є S x A pridružuje neki podskup skupa svih stanja. Ideja ovog pristupa je da se iz tekućeg stanja q kada se učita znak a, prelazi u jedno od stanja sadržanih u ∂(q, a). Pri tome se ne precizira koje je to naredno stanje.

• I nedeterministički konačni automati se mogu opisati dijagramom , ali sada iz jednog čvora može izlaziti više ivica označenih istim znakom, koje vode u različite čvorove.

• U slučaju determinističkih konačnih automata, ulazna reč je jedinstveno određivala stanje do koga se dolazi od početnog stanja. Kod nedeterminističkih konačnih automata to nije slučaj, ali se prihvatanje reči definiše analogno.

• Nedeterministički konačni automat prihvata reč w Є A*, ako za neko završno stanje q Є F postoji bar jedan niz konfiguracija koje predstavljaju izračunavanje za koje je poslednji član oblika (q, ε).

• Iako je naizgled pojam nedeterminističkog konačnog automata opštiji od determinističkog, pokazuje se da to nije tako.

• Def: dva konačna automata M1 i M2 su ekvivalentna ako je L(M1)=L(M2).

• Teorema: Jezik L je prihvaćen nekim nedeterminističkim konačnim automatom ako i samo ako je prihvaćen nekim determinističkim konačnim automatom.

• Dokaz: neka je M = (S, s, F, A, ∂) nedeterministički konačni automat. Konstruisan je njemu ekvivalentan konačni automat M’ = (S’, s’, F’, A, ∂’) gde su S’=P(S) partitivni skup skupa S, s’={s}, F’={q’ Є S’ : q’ F ≠0} I ∂’({q1,…qn}, a) = Un

i=1 ∂(qi, a).

• Jasno je da je M’ deterministički konačni automat. Sa (q1....qn) s, w, M označimo da su q1....qn sva stanja do kojih se radom nedeterminističkog automata M može doći ya ulaznu reč w. Indukcijom po dužini reči w se lako pokazuje da je (q1....qn) s, w, M ako i samo ako ({s}, w) ı– M’ ({q1.....qn}, ε). Za praznu reč tvrđenje trivijalno važi. Neka je i dalje w=ua, aЄA. Prema indukcijskoj pretpostavci {p1.....pj}s, u, M ako i samo ako ({s}, u) ı– M’ ({p1.....pj}, ε). Dalje je (q1....qn) s, w, M = Uj

i=1 ∂(pi, a), što je upravo definicija za ∂’ ({p1.....pj}, a), pa je tvrdjenje dokazano .

• Sada neposredno sledi da za svaku reč w, wЄL(M) ako i samo ako w Є L(M’), jer za reč w postoji izračunavanje automata M koje dovodi do nekog završnog stanja q ako i samo ako izvršavanje automata M’ za w dovodi do stanja koje sadrži q, a koje je završno stanje za M.

• Ova jednakost se koristi kad god je u nekoj situaciji pogodno raditi sa jednom ili drugom vrstom automata, a da dokazano važi za sve konačne automate.

Odnos regularnih jezika i konačnih automata

• Sledeća teorema dovodi u vezu gramatike tipa 3 i konačne automate i zapravo znači da je jezik L regularan ako i samo ako postoji konačni automat M takav da je L=L(M).