desarrollo de la primera unidad.docx

7/23/2019 Desarrollo de la primera unidad.docx

1/26

INSTITUTO TECNOLOGICO DE BOCADEL RIO

INGENIERIA EN GESTION

EMPRESARIAL

MATERIA: CALCULO INTEGRAL

SEMESTRE: 10

TEMA: DESARROLLO DE LA

UNIDAD 1

ALUMNA: RIVERA PRIETO

A.KAREN

DOCENTE: JOSE PROUDINAT


2/26

Unidad 1 Teorema Fundamental del Clculo

El clculo est en el corazn de las matemticas y se compone de dosoperaciones bsicas que son, integracin y diferenciacin. Exista lanecesidad de cerrar la brecha entre estas dos operaciones y por tantoel Teorema Fundamental del lculo fue dise!ado. Este teorema estdi"idido en dos partes, a saber# El $rimer Teorema Fundamental dellculo y el %egundo Teorema Fundamental del lculo.

&e acuerdo con el $rimer Teorema Fundamental del lculo, para unafuncin f# '( la cual es una funcin continua de un inter"alo con

rango desde )p, q*, existe una funcin integral indefinida F de lafuncin dada en el mismo inter"alo de forma que,

Este teorema ayuda a establecer una conexin entre la integracinindefinida que es +nicamente de origen algebraico y la integracindefinida que es +nicamente de origen geomtrico. Tambin sugiere laexistencia de una anti deri"ada para cada funcin que sea continua.

&emos un "istazo a un e-emplo para tener una comprensin msprofunda.


3/26

&e acuerdo con el %egundo Teorema Fundamental del lculo, parauna funcin f# ' ( la cual es una funcin continua de un inter"aloabierto donde haya un punto x dentro de este inter"alo abiertoentonces una funcin integral indefinida F de la funcin dada serdefinida como,

Entonces para cada punto en el inter"alo abierto de la funcin dada sepuede concluir que,

En trminos simples se puede afirmar que para cualquiera de lasfunciones su integral definida se puede calcular con la ayuda decualquiera de sus anti deri"adas.

El segundo teorema es altamente utilizado para aplicaciones prcticasdado que con el uso de este teorema se hace muy fcil calcular laintegral definida de una funcin.

El Teorema Fundamental del lculo se ha modificado para hacerlocon"eniente para resol"er algunos de los problemas de las cur"as locual pude ser establecido como, para una funcin f# ' ( la cual


4/26

tiene una integral indefinida continua en alg+n rea limite la cual en s

contiene una cur"a parametrizada ,

%i el Teorema Fundamental del lculo se combina con la /egla de laadena, algunos los resultados de inters procedentes del clculopueden ser obtenidos. $or e-emplo, sea f0z1 una funcin continuasobre el inter"alo )p, q* y asuma que g0z1 es diferenciable en el mismointer"alo, entonces podemos afirmar que,

omo sabemos que la /egla de la adena establece que,

2na forma generalizada para la expresin puede ser,

$ara la expresin anterior ambas funciones g0z1 y "0z1 sondiferenciables en el inter"alo dado. 2n e-emplo hara las cosas msfciles de entender,


5/26

3qu F0x1 no posee una forma explcita de s misma.

1.1 Medicin Aproximada De Figuras Amorfas

4edida 3proximada de Figuras 3morfas

alcular las reas de una figura regular es una tarea muy fcil, por locual la sustitucin de la longitud, anchura u otras cantidades en lafrmula producira el resultado.

%in embargo, la estimacin del rea ba-o la cur"a de las funciones noes tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no frmulas directaspara estimar esta rea.

5a integracin puede ser utilizada fructferamente en una situacin

seme-ante.

Existen cuatro grficas posibles para las cuales el rea necesita sere"aluada.

Estas son# 6 uando el rea est limitada por la cur"a y 7 f0x1, el e-e xy las ordenadas x 7 a y x 7 b.


6/26

El grfico de la funcin se muestra a continuacin,

$ara estimar el rea de tal figura, considere que el rea ba-o la cur"aest compuesto por un gran n+mero de delgadas tiras "erticales.

%uponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dxpara laanchura. El rea de esta tira elemental sera, d3 7 y dx donde y 7 f0x1

El rea total 3 de la regin entre el e-e x, la ordenada x 7 a y x 7 b y lacur"a y 7 f 0x1 ser la sumatoria de las reas de todas las tiraselementales en toda la regin o la zona limitada.

Esto produce la frmula, 3 7 d3 7 y dx 7 f0x1 dx 5a integral anteriorpuede ser e"aluada mediante poner la funcin en su lugar eintegrndola.

8 5a segunda situacin es cuando el rea est delimitada por la cur"ax 7 g0y1, el e-e y, y las ordenadas y 7 y6 y y8 7 y. 5a grfica de la

funcin se muestra a continuacin,


7/26

3suma que el rea ba-o la cur"a est compuesta de un gran n+merode tiras delgadas horizontales. %ea una tira arbitraria dy para la alturay x para la longitud. El rea de esta tira elemental sera, d3 7 x dydonde x 7 g0y1

El rea total 3 de la regin entre el e-e x, la ordenada y 7 y6 y y8 7 y, yla cur"a x 7 g0y1 ser la sumatoria de las reas de todas las tiraselementales en toda la regin o el rea limitada. Esto produce la

frmula, 3 7 d3 7 x dy 7 g0y1 dy

9 %e presenta una tercera situacin cuando la cur"a en cuestin seencuentra por deba-o del e-e x, entonces f0x1 es menor que cero desdex 7 a hasta x 7 b, el rea limitada por la cur"a y 7 f0x1 y las ordenadasx 7 a y x 7 b, y el e-e x es negati"o.

$ero el "alor numrico del rea debe ser tomado en consideracin,entonces

3 7 : f0x1 dx:

; 2na +ltima posibilidad sera que una parte de la cur"a est porencima del e-e x y otra parte est por deba-o del e-e x. %ea 36 el readeba-o del e-e x y 38 el rea por encima del e-e x. $or lo tanto, el realimitada por la cur"a y 7 f0x1, el e-e x y las ordenadas x 7 a y x 7 bsern,


8/26

3 7 :36: < 38

Tomemos ahora un e-emplo para entender la solucin de talesproblemas,

Encuentre el rea de la regin limitada por la cur"a y8 7 x y las rectasx 7 6, x 7 ; y por el e-e x.

5a cur"a y8 7 x es una parbola con su "rtice en el origen. El e-e de xes la lnea de simetra la cual es el e-e de la parbola. El grfico de lafuncin dada sera,

El rea de la regin limitada es,

3 7 y dx 7 dx 7 8=9 )x9=8*6; 7 8=9 );9=8 > 69=8* 7 8=9 )? > 6* 7 6;=9

1.2 Notacin Sumatoria

En muchas ocasiones las operaciones matemticas requieren laadicin de una serie de n+meros para generar la suma total de todos

los n+meros de la serie. En tal escenario se hace difcil escribir laexpresin que representa este tipo de operacin. El problemaempeora a medida que incrementan los n+meros en la serie. 2nasolucin es utilizar los primeros n+meros de la serie, luego puntossuspensi"os y finalmente los +ltimos n+meros de la serie, como semuestra a continuacin,


9/26

Esta expresin representa una operacin que incluye la suma de losprimeros cien n+meros naturales. En esta expresin hemos usndolos

puntos suspensi"os, los tres puntos en la sucesin, para simbolizar laausencia de n+meros en la serie.

2na solucin a+n me-or es hacer uso del smbolo sumatorio o sigma.Este es un tipo de tcnica abre"iada que ofrece una alternati"a mscon"eniente para representar la operacin sumatoria. $uede serrepresentada de la siguiente manera,

3qu se representa la "ariable o los trminos en la serie. El operadorsigma es un smbolo de la @recia antigua, donde fue utilizado comoletra may+scula del alfabeto %. 2na representacin tpica de laoperacin sumatoria utilizando el smbolo sumatorio se representa,

5a "ariable que aparece en la parte derecha del smbolo es elAElemento TpicoB, el cual ser sumado con la operacin sumatoria.%iempre existe un lmite inferior y un lmite superior de la operacin loscuales estn representados por deba-o y por encima del smbolo

sumatorio. 5a "ariable, representando el lmite de la operacin, seescribe deba-o del smbolo sumatorio hacia la izquierda del lmiteinferior.

El lmite de la operacin se inicia a partir del "alor hacia el ladoderecho del ndice de la "ariable y termina en el "alor escrito sobre elsmbolo sumatorio. El lmite inferior de la operacin es llamado en


10/26

ocasiones punto de partida, por lo tanto, el lmite superior es llamadopunto final.

5a expresin mostrada arriba se calcula como,

7 x6 < x8 < x9 < C < xnD6 < xn

4ientras que algunos matemticos estn a fa"or de la escritura de lanotacin completa cada "ez que se "a a escribir una operacin denotacin sumatoria, algunos de ellos estn a fa"or de escribirlasolamente cuando se requiere producir la suma de algunas de lascantidades disponibles del con-unto de cantidades, y de escribir una"ersin abre"iada cuando se "a a producir la suma de los "alores delcon-unto completo. 3 modo de e-emplo, ser"ira a los fines en el +ltimo

caso.

Es posible ele"ar al cuadrado cada uno de los trminos y luegoproducir la suma de todas las cantidades cuadradas. Tal operacin sepuede denotar como,

7 x68 < x88 < x98 < C < xnD68 < xn8

5a notacin abre"iada de la expresin anterior sera x8. Es esencialrecordar que esta notacin es completamente diferente de 0 x18 dado

que esta +ltima expresin denota una operacin en la que primero sesuman todos los trminos y luego se ele"a al cuadrado el resultadoobtenido, mientras que la operacin anterior denota una expresin enla cual se produce la suma de trminos que ya estaban ele"ados alcuadrado.

tra operacin interesante que se puede realizar utilizando el smbolosumatorio es la sumatoria de productos "ectoriales. Tal operacin sepuede denotar como,


11/26

1.3 Sumas De Riemann

En las matemticas , una suma de /iemann es una suma de un gran

n+mero de peque!as particiones de una regin. %e puede utilizar paradefinir la integracin de la operacin. El mtodo fue nombrado por elmatemtico alemn ernhard /iemann .

Gamos f # & / una funcin definida en un subcon-unto, & , de larecta real, / . &e-a que yo 7 ) a , b * es un inter"alo cerrado contenidoen & , y de-ar

ser una particin de H , donde


12/26

5a suma de /iemann de f sobre H con la particin $ se define como

5a eleccin de xIi J Ken el inter"alo )'I LiD6M, xIi*es arbitraria.

E-emplo# opciones especficas de xIi J Kdarnos diferentes tipos desumas de /iemann#

%i xIi J K 7 xI LiD6Mpara todos los i , entonces % se llama suma de/iemann izquierda . %i xIi J K 7 xIipara todos los i , entonces % sellama suma de /iemann derecha . %i xIi J K 7 N tfrac L6M L8M 0xIi < xI LiD6M1para todos los i , entonces % se llama una suma de /iemann

medio . El promedio de izquierda y derecha de la suma de /iemann esla suma trapezoidal . %i se da que

donde "Iies el supremo de f sobre )'I LiD6M, xIi*, entonces % se definecomo una suma de /iemann superior . &el mismo modo, si "Iies elnfimo de f ms )'I LiD6M, xIi*, entonces % es una menor suma de/iemann .

ualquier suma de /iemann en una particin dada 0es decir, paracualquier eleccin de xIi J Kentre xI LiD6My xIi1 est contenida entre laparte inferior y las sumas de /iemann superiores. 2na funcin sedefine para ser integrable /iemann si los inferior y superior sumas de/iemann se "uel"en cada "ez ms cerca como la particin consiguems fino y ms fino. Este hecho tambin se puede utilizar para laintegracin numrica .

1.4 Definicin de Integra Definida

5a integracin es el proceso in"erso de la diferenciacin. 5aintegracin nos da la libertad para dirigir en el espacio. %e pueden


13/26

clasificar en dos tipos, a saber, la integracin indefinida y la integracindefinida. 2na integracin indefinida es aquella que no tiene lmites,mientras que una integracin definida es aquella que est integradacon respecto a ciertos lmites. 5a notacin con"encional de la integraldefinida es la siguiente,

Encima se muestra la integracin definida de alg+n f0x1 dentro del

inter"alo )a, b*. Es importante que la funcin dada, la cual serintegrada para alg+n inter"alo sea continua para el inter"alo en el cualse "a a integrar. 5a integral de /iemann es un caso especial de laintegral definida en la cual x es esencialmente un n+mero real.

2na integral definida se representa ms com+nmente como,

3qu, la funcin dada se di"ide en n inter"alos de igual longitud n

yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada inter"alo.


14/26

$ara el e-emplo ilustrado arriba, la interpretacin analtica resulta serlas lneas definidas por las expresiones, y 7 O, y 7 f0x1, x 7 b y x 7 a,como se muestra en el grfico anterior. 5a suma del rea sombreadaes igual a nuestra expresin f0x1 dx.

3qu, el n+mero deba-o del signo de la integracin que es a, es ellmite inferior de la integracin definida, mientras que el n+mero queest por encima del signo de la integracin que es b, es el lmitesuperior de integracin. En con-unto se denominan lmites de

integracin. %in embargo, es esencial que el lmite inferior sea menorque el lmite superior.

2na interesante interpretacin de la integracin definida es el Teoremadel ambio Total. $ara alguna funcin f0x1, fP0x1 da la razn de"ariacin de la funcin dada, entonces

da la "ariacin neta de la funcin dada para alg+n inter"alo )p, q*. Entrminos simples, se puede afirmar que la integracin definida de larazn de "ariacin de una funcin produce la "ariacin total de los


15/26

"alores de la funcin. En la expresin dada anteriormente, est claroque la diferencia f0b1 D f0a1 da la "ariacin total de la funcin dada f0x1en sus lmites de integracin.

Geamos ahora un e-emplo ilustrati"o para tener una comprensin ms

profunda del tema.

09y8 < 8y


16/26

1.! "eorema De #xistencia

En matemticas, un teorema de existencia es un teorema con unenunciado que comienza existe0n, o ms generalmente para todo x,

y,.existe0n1 .

Esto es, en trminos ms formales de lgica simblica, es un teoremacon un enunciado in"olucrando el cuantificador existencial.

4uchos teoremas no lo hacen explcitamente, como es usual en ellengua-e matemtico estndar, por e-emplo, el enunciado de que lafuncin seno es una continua, o cualquier teorema escrito en lanotacin .

1.$ Funcin %rimiti&a

$ara algunas funciones de la forma f0x1# ' (, la primiti"a se definecomo cualquier otra funcin la cual cuando es diferenciada nos da denue"o la funcin original f0x1.

Esto significa que f0x1 es la deri"ada de su funcin primiti"a o que lafuncin primiti"a es la integral de la presente funcin f0x1.

$or tanto, podemos decir que si F0x1 es la funcin primiti"a de f0x1entonces F0x1 < c es tambin su funcin primiti"a para los "aloresdistintos de c sin ning+n preDrequisito para obtener a c.

3qu F0x1 < c representa a la familia de funciones primiti"as. 3l asignardistintos "alores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia.

@eomtricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiarcualquiera de las cur"as paralelas a ellos.

Existen muchos sinnimos para las funciones primiti"as tales comoprimiti"a integral, anti deri"ada, etc.

4atemticamente, para una funcin "alorada real f0x1, la cual, para uninter"alo abierto 0a, b1, es de naturaleza continua, tenemos unafuncin primiti"a F0x1 la cual es tambin una funcin "alorada real


17/26

deri"able para el mismo inter"alo abierto 0a, b1 y es continua para uninter"alo cerrado )a, b*.

Esto puede ser representado como,

5a funcin primiti"a de cualquier funcin puede ser encontrada atra"s del proceso de integracin o anti diferenciacin.

omo se mencion anteriormente no existe solo una funcin primiti"asino que existe toda una familia de tales funciones.

3hora bien, @0x1 es un miembro de la familia de la funcin primiti"aF0x1 si esta satisface la condicin,

3qu c es la constante arbitraria de integracin.

5a funcin primiti"a a "eces se denomina tambin como integralindefinida para la funcin f0x1.

%abemos que es posible calcular el "alor de una integral definida parala funcin f0x1 al calcular el "alor de la funcin primiti"a en el lmitesuperior e inferior de la funcin y encontrando la diferencia entre losdos.

$or tanto se puede establecer que,

Esto significa que nunca tenemos una sola funcin primiti"a F0x1 parala funcin dada f0x1.


18/26

Tambin que para la funcin dada f0x1 de grado n, la funcin primiti"aF0x1 ser de un grado ms alto que el de la funcin dada.

2n punto digno de mencin es que a tra"s de la declaracin anteriorpodemos relacionar las integrales definidas con las integrales

indefinidasU esto es parte del teorema fundamental del clculo.

%in embargo, no es esencial que exista una funcin primiti"a paracada funcin.

$ara que una funcin primiti"a exista, es necesario que la funcindada sea continua en un inter"alo abierto arbitrario.

Vo todas, pero una entre las muchas funciones primiti"as se puedeobtener mediante el clculo de la integral definida de la funcin"ariando el lmite superior de integracin.

%i intentamos "ariar el lmite inferior tambin, podemos obtener otrasfunciones primiti"as, sin embargo no es posible calcularlas todas deesta manera.

5a funcin primiti"a se puede conseguir mediante el clculo de laintegracin de la funcin dada, por lo tanto, la funcin primiti"a de QySsera

QyS

Q)yS


19/26

5a primera parte del teorema, a "eces llamado el primer teoremafundamental del clculo, que muestra una integracin indefinida puedeser re"ertida por una diferenciacin. Esta parte del teorema tambin esimportante, ya que garantiza la existencia de primiti"as para funcionescontinuas.

5a segunda parte, a "eces llamado el segundo teorema fundamentaldel clculo , le permite a uno calcular el integral definida de unafuncin mediante el uso de cualquiera de sus infinitas primiti"as . Estaparte del teorema tiene aplicaciones prcticas inestimables, ya quesimplifica notablemente el clculo de integrales definidas.

3dems de su fsicamente intuiti"a representacin, tambin hay unageomtricamente intuiti"a representacin del teorema.

$ara una funcin continua y 7 f 0 x 1 cuya grfica se representargrficamente como una cur"a, cada "alor de x tiene una funcin derea correspondiente 3 0 x 1, que representa el rea deba-o de la cur"aentre O y x . 5a funcin 3 0 x 1 puede no ser conocida, pero se da querepresenta el rea ba-o la cur"a.

El rea ba-o la cur"a entre x y x < h puede ser calculada mediante lab+squeda de la zona comprendida entre O y x < h , luego restando elrea entre O y x . En otras palabras, el rea de esta AcintaB sera una0 x < h 1 D 3 0 x 1 .


20/26

1.* (acuo De Integraes Definidas

El clculo de la integral definida se denomina a menudo comointegracin numrica o cuadratura numrica o simplemente

cuadratura.

%in embargo, este es utilizado generalmente ms para una ecuacindimensional, para las ecuaciones con ms de una dimensin, el usode la palabra cuba tura es ms adecuado.

%e utiliza para calcular la solucin numrica aproximada de unaintegral definida dada.

Existen "arias formas para calcular la solucin de un problema de

integral definida.

%in embargo, en esencia todos estos mtodos intentan tomar unae"aluacin de la integral dada en un n+mero de puntos en los lmitesestablecidos de la integracin y entonces encontrar una solucinaproximada al problema completo, lo cual es solamente una solucinaproximada.

%in embargo, en todo este proceso una gran cantidad de errores deaproximacin entran en nuestra solucin y por este moti"o no nos

acercamos a la solucin real.

2n enfoque inteligente para superar este problema es reducir eln+mero de puntos para el cual se est calculando la funcin dada.

Geamos ahora algunos mtodos para encontrar una solucin.

6 Waciendo uso de las frmulas bsicas de integracin#

Este es el mtodo ms bsico para resol"er una integral definida. %e

utiliza principalmente en los lugares que se puede sustituirdirectamente el "alor de la frmula de integracin.

( finalmente, se reemplaza la "ariable con los lmites superior einferior respecti"amente y se procede a encontrar la solucin. 3lgunasde las frmulas de integracin ms comunes son#


21/26

D Esta frmula es aplicable para todos los "aloresde n, excepto X6.

D &onde Y es una constante yx es la "ariable utilizada en laintegracin.

D &onde Y es una constante.

D

D

8 /esol"iendo la expresin a tra"s del lgebra#

Este es de nue"o un mtodo muy bsico para resol"er las integralesdefinidas. En este mtodo, aumentamos la potencia de cada "ariablepor uno y tambin mo"emos el nue"o "alor de la potencia aldenominador de la "ariable, adems se a!ade una nue"a constante alfinal. El "alor de la constante se modifica para la "ariable deintegracin con la constante como su coeficiente. 4ire el e-emplo

ilustrado a continuacin para entender el concepto.

0x < 61 0x > 61 dx

7 0x8 > 61 dx, utilizando la frmula de lgebra simple.

7 x9=9 > x < c dx

Finalmente esta integral puede ser resuelta para sus lmites superior einferior.

9 Hntegracin por sustitucin#

Es un mtodo importante para resol"er integrales. En este mtodotenemos una funcin principal y el integrando se define como lamultiplicacin de la funcin principal y la deri"ada de esta funcinprincipal.


22/26

3hora permitimos que la funcin principal sea representada porcualquier "ariable, sea z, por tanto tenemos,

z 7 g0x1 and dz= dx 7 gP0x1

dz 7 gP0x1 dx

%ustituya los "alores en la expresin real como

3hora esta expresin puede resol"erse como cualquier otra integral yfinalmente sustituya el lmite superior e inferior de nue"o en laexpresin.

En muchas ocasiones es necesario cambiar los lmites de integracinya que la "ariable de integracin se ha modificado.

&emos un "istazo a un e-emplo.

x sin0x81 dx z 7 x8 dz 7 8x dx x sin0x81 dx 7 Z sin0x81 8x dx Z sin 0z1dz D6=8 )cos0x81 < c*OQ

Vunca est explcitamente fi-ado para cualquier problema que elmismo sea un problema a resol"er por sustitucinU sino que esto seencuentra a tra"s de la solucin del integrando.

&espus de llegar a la etapa final de cada mtodo simplementesustituimos la "ariable una sola "ez para el lmite superior en toda la

expresin y luego para el lmite inferior en toda la expresin yfinalmente restamos las dos para obtener la respuesta final.


23/26

1.1+ Integraes Impropias

&e acuerdo con la definicin de integrales, tenemos una funcin queest limitada de ambos lados superior e inferior para alg+n inter"alo

Hcon rango )p, q*.

3hora, en tal escenario dos casos pueden ocurrir,

6. la funcin que tenemos se con"ierte en ilimitada en uno o ambosde sus lados.

8. , el inter"alo para el cual la funcin es definida en s se con"ierteilimitado, ya sea de un solo lado o de ambos lados.

En tal situacin la integral que tenemos se llama integral impropia.

2na integral impropia es un tipo de integral definida dondeo los lmitesde la integracin o la funcin alcanzan el infinito.

Esto puede ocurrir una o "arias "eces para los lmites de integracindados.

Entendamos ahora el caso H en profundidad.

$ara que la funcin se "uel"a ilimitada tenemos dos posibilidades o lafuncin se con"ierte en ilimitada para el inter"alo superior o la funcinse "uel"e ilimitada para el inter"alo inferior.


24/26

En este caso tenemos el "alor de la funcin alcanzando el infinito parael lmite inferior de la funcin.

( en este caso tenemos el "alor de la funcin alcanzando el infinitopara el lmite superior de la funcin.

Vo es posible adoptar la manera usual para encontrar la respuesta delproblema en tal escenario.

3s que otra forma de obtener la respuesta es la que se ilustra acontinuacin.

%uponga que una funcin alcanza el infinito para su lmite inferior.

3hora para encontrar la suma del rea cubierta por la grfica de lafuncin, haga uso de los mtodos de los lmites.

%uponga que tenemos un grfico definido para una funcin g0x1, ypara las expresiones x 7 p y x 7 q.

Esta funcin no est acotada para el "alor de p.

3hora para calcular la suma del rea ba-o la grfica asumimos una"ariable que tiende hacia el lmite inferior de la funcin y lamultiplicamos con la integracin de la funcin para un nue"o lmiteinferior en esta nue"a "ariable. $or tanto obtenemos,


25/26

%i la funcin alcanza el infinito para ms de un punto en el inter"alodado entonces, en consecuencia rompemos el inter"alo y la "ariabledebe ser elegida de tal forma que se encuentre entre todos los puntosdados.

3hora cambiemos nuestro enfoque hacia el segundo caso.

En este caso tenemos el lmite superior del inter"alo yendo hacia elinfinito que es )p, < 1.

( en este caso tenemos el lmite inferior del inter"alo dirigindosehacia el infinito que es 0D , q*.


26/26

Gamos ahora a comprender el procedimiento para resol"er dichafuncin. %ea una integral para la cual el lmite superior de integracintiende hacia el infinito.

3hora supongamos una "ariable cuyo "alor tiende hacia el infinito para

calcular el lmite.

3hora multiplique este lmite con la integracin de la funcin donde ellmite superior para la integracin es la nue"a "ariable.

2n enfoque similar se puede utilizar para el lmite inferior en el quereemplazamos el lmite inferior de integracin con la nue"a "ariable.

Tomemos ahora un e-emplo,

g0x1 7 6= 8[8 > x sobre el inter"alo )O, 6*.

6= 8[8 > x dx

7 6= 8[8 > x dx < 6= 8[8 > x dx < 6= 8[8 > x dx

Esto es porqueU tenemos la funcin que tiende al infinito en los puntos

O y O.Q.

3hora la ecuacin anterior se puede resol"er como una integraldefinida normal.

desarrollo de la primera unidad.docx

Documents