d02-richiami3 u5l4 campionamento e discretizzazione

7/25/2019 d02-Richiami3 u5l4 Campionamento e Discretizzazione

1/82

D02

Sistemi di controllo industriali

D02

Campionamento e discretizzazione

Campionamento di segnali a tempo continuo (TC)Discretizzazione di un sistema TC

Corrispondenze fra modello a TC ed equivalente atempo discreto (TD)Approssimazione nel dominio della frequenzaScelta del passo di campionamento

2


2/82

D02


D02

Campionamento ideale di un segnale

Campionamento ideale di y(t) con passo Ts y(k)

t0 t1 tk tTs

y(t)

0 1 k k

y(k)

2

4


3/82

D02

Relazione tra yL(s) e yZ(z)

)k(y)z(ye)t(y)s(y ZL Z

y(t)

Problema: trovare il legame fra

5

D02



y(t) y(k)


6


4/82

D02



y(t) y(k)

yL(s)


7

D02



y(t) y(k)

yL(s) yZ(z)

Z


8


5/82

D02



y(t) y(k)

yL(s) yZ(z)

?


9

D02

yZ(z) funzione di yL(s) (1/7)Ipotesi

yL(s) razionale

yL(s) ha N poli distinti h con h=1,2,,NCiascun polo h ha molteplicit mh1Dora in avanti verranno omessi i pedici L e Zalle rispettive trasformate: yL(s)y(s);

yZ(z)y(z)

Si dimostra che tra y(s) e y(z) sussiste la seguente

relazione

N

1h ssT

0k

k

h

sezz

)s(yResz)k(y)z(y

yZ(z) funzione di yL(s) (1/4)

10


6/82

D02

Alcune relazioni equivalenti

N

1h sTsim

im

h

m

1ihi

N

1h sTs

mh1m

1m

h

N

1h sTs

dove,ezz

s)!im(1C

ezz

)s(y)s(s)!1m(

1

ezz

)s(yRes)z(y

h

sh

hh

h

s

h

h

h

h

s


11

D02

1qn&1n,q

1n)1(

qn

E

1E,0E

e

con

Ez)z(

zTezz

s

s)s(y)s(

)!1i(1

C

q

1

nqq,n

0,01,0

Tdh

im

1jj,im

jim1jdh1im

dh

dhim

s

sTsim

im

s1i

mh

1i

hi

sh

h

h

h

h

h

h

sh

h

h

h


12


7/82

D02

1qn&1n,q

1n)1(

qn

E

1E,0E

e

con

Ez)z(

zTezz

s

s

)s(y)s(

)!1i(

1C

q

1

nqq,n

0,01,0

Tdh

im

1jj,im

jim1jdh1im

dh

dhim

s

sTsim

im

s1i

mh

1i

hi

sh

h

h

h

h

h

h

sh

h

h

h

Polinomio di grado mh-i-1 in z


13

D02

1qn&1n,q

1n)1(

qn

E

1E,0E

e

con

Ez)z(

zTezz

s

s)s(y)s(

)!1i(1

C

q

1

nqq,n

0,01,0

Tdh

im

1jj,im

jim1jdh1im

dh

dhim

s

sTsim

im

s1i

mh

1i

hi

sh

h

h

h

h

h

h

sh

h

h

h

Polo TD equivalente al polo TC h


14


8/82

D02

1qn&1n,q

1n)1(

qn

E

1E,0E

e

con

Ez)z(

zTezz

s

s

)s(y)s(

)!1i(

1C

q

1

nqq,n

0,01,0

Tdh

im

1jj,im

jim1jdh1im

dh

dhim

s

sTsim

im

s1i

mh

1i

hi

sh

h

h

h

h

h

h

sh

h

h

h

Numeri euleriani


15

D02

I primi numeri euleriani

1 2 3 4 5 61 1

2 1 1

3 1 4 1

4 1 11 11 1

5 1 26 66 26 1

6 1 57 302 302 57 1

n q


16


9/82

D02

Caso particolare 1

Tutti i poli h di y(s) sono semplici

con

N

1h dh

hN

1h sTs

h

zzr

ezz

)s(yRes)z(y

h,1m

hs

hh

sh

sshh

Tdh

)s(yRes)s(y)s(re

17

D02

Caso particolare 2

y(s) ha un solo polo , di molteplicit m>1

con

im

1jj,im

jim1jd1im

d

dim

s

sTsim

im

Ez)z(

zTezz

s s

sTsim

imm

1ii sez

zs)!im(

1C)z(y

m

)s(

)s(N)s(y

s1i

1i

iT

d

s

)s(N

)!1i(

1C,e s

18


10/82

D02

Caso particolare 3

y(s) ha solo un polo , di molteplicit m>1

con

sTd e

1m

1jj,1m

j1m1jdm

d

d1m

s Ez)z(zT

)!1m(1

K)z(y

m)s(K)s(y

19

D02

Si dimostra che vale anche la relazione seguente

con

Altra relazione yL(s) yZ(z)

s

s T2

n )zlog(T

1

ss

s s

)jns(yT

1

2

)0t(y)z(y

pulsazione di campionamento

20


11/82

D02

Altra relazione yL(s) yZ(z)

n)zlog(

T1

sss s

)jns(yT12 )0k(y)z(y

s

s

T

2pulsazione di campionamento

Si dimostra che vale anche la relazione seguente

con

21

D02

Spettro dei segnali y(t) e y(k) (1/2)

Definizione di spettro di y(t)

Definizione di spettro di y(k)

Utilizzando la relazione della diapositiva precedente

jsy )s(y)(S

t

sTjk ezy)z(y)(S

n

jsss

ezy)jns(y

T1

2)0k(y

)z(y)(S sTjk

22


12/82

D02

n js

ssez

y )jns(yT

1

2

)0k(y)z(y)(S sTj

k


23

D02

ns

sezy

njss

sezy

)n(jyT1

2)0k(y)z(y)(S

)jns(yT1

2)0k(y

)z(y)(S

sTjk

sTjk


24


13/82

D02

)Tsin()Tcos(z ss Spettro di y(t) traslato

di ns in

ns

sezy

n jss

sezy

)n(jyT1

2)0k(y

)z(y)(S

)jns(yT

1

2

)0k(y)z(y)(S

sTjk

sTj

k


25

D02

)Tsin()Tcos(z ss

Syk() periodico in con periodo s

ns

sezy

njss

sezy

)n(jyT1

2)0k(y)z(y)(S

)jns(yT1

2)0k(y

)z(y)(S

sTjk

sTjk


26

Spettro di y(t) traslato

di ns in


14/82

D02

Spettro di y(t)

Ipotesi: y(t) a banda limitata 0

00-

)(Sty

27

D02

Spettro di y(k)

NB: in questo caso si ha

0ss

0 2ovvero2

2s

s0

2s

0-s-

)(Sky

28


15/82

D02

Spettro di y(k)


0ss

0 2ovvero2

s00-s-

)(Sky

29

2s

2s

D02

Spettro di y(k)


0ss

0 2ovvero2

s00-s-

)(Sky

30

2s

2s


16/82

D02

Spettro di y(k)


.....

0ss

0 2ovvero2

.....

s00-s-

)(Sky

31

2s

2s

D02

Ricostruzione di y(t)


.....

0ss

0 2ovvero2

.....

s00-s-

)(Sky

32

2s

2s


17/82

D02


s00-s-

Filtro passa basso ideale

33

2s

2s

D02



0ss

0 2ovvero2

s00-s-

34

2s

2s

Spettro ricostruito)(S)(S

tk yfiltratoy


18/82

D02

Aliasing nello spettro di y(k) (1/3)

NB: in questo caso si ha invece

0ss

0 2ovvero2

s0-s-

)(Sky

s2s2- 0

35

2s

2s

D02



0ss

0 2ovvero2

s0-s-

)(Sky

s2s2- 0

36

2s

2s


19/82

D02


0ss

0 2ovvero2

s0-s-

)(Sky

s2s2- 0

37

2s

2s


D02


0ss

0 2ovvero2

s0-s-

)(Sky

s2s2-

Aliasing

0

38

2s

2s



20/82

D02


0ss

0 2ovvero2

s00-s-

)(Sky

s2s2-

39

2s

2s


D02


.....

0ss

0 2ovvero2

.....

s00-s-

)(Sky

s2s2-

40



21/82

D02


0ss

0 2ovvero2

s00-s-

)(Sky

s2s2-

Aliasing41

2s

2s


D02


0ss

0 2ovvero2

s00-s-

)(Sky

s2s2-

42

2s

2s


Spettro ricostruito


22/82

D02


0ss

0 2ovvero2

s00-s- s2s2-

43

2s

2s


Spettro originario

)(S/)(Stk yfiltratoy

Spettro ricostruito

D02

Il fenomeno dellaliasing si verifica se, per 0 limitato,ss/2, siritrovano nel segnale TD a frequenze B=|sA| (foldoverAF ribaltata in BF)

NB: B e A sono simmetriche rispetto a s/2s/2 detta pulsazione di foldover o pulsazionedi Nyquist

2s

N

44



23/82

D02

o Il fenomeno dellaliasing si verifica se, per 0 limitato,

ss/2, siritrovano nel segnale TD a frequenze B=|sA| (foldoverAF ribaltata in BF)

o NB: B e A sono simmetriche rispetto a s/2

o s/2 detta pulsazione di foldover o pulsazionedi Nyquist

2s

N

B=|s A|

Pi in generale:

B=|hs A|

con h intero

Pi in generale:

B=|hs A|

con h intero

45


D02

Se 0 (come nei casi reali) allora il fenomenodellaliasing sempre (teoricamente) verificato,

qualunque sia s

2s

s

2s

s-

)(Sky

46



24/82

D02

Il fenomeno dellaliasing presente se

E opportuno limitare lanalisi nel semiperiodo

In tali condizioni, lunico alias presente in BF in

47

Aliasing nello spettro di y(k): nota

20 s

2s

A

s

A

s

A

AsB

round21

tronch

conh

D02

Ricostruzione di y(t) in generale (1/2)

La ricostruzione di un segnale reale a partire dai suoicampioni non pu essere effettuata in modo

assolutamente accuratoPerch, come gi detto, lo spettro di un segnale realecampionato presenta sempre il fenomeno dellaliasing(che al pi potrebbe essere trascurabile)Perch il filtro passa basso ideale non fisicamenterealizzabile (un filtro passa basso reale distorce lo spettrodel segnale filtrato)

48


25/82

D02

2s

2s

Filtro passa basso ideale Filtro passa basso reale

49

Ricostruzione di y(t) in generale (2/2)

D02

Aliasing esempio 1 (1/4)

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

tempo

y(t),

y(k)

50


26/82

D02


0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

tempo

y(t),

y(k)

51

D02


0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

tempo

y(t),

y(k)

10T

11/10T

1T63.0

91.6

28.6

B

s

A

AsB

s

A

52


27/82

D02


53

t)k(sin(t)ydicampioniaieequivalent

iT)k(sin

TT2ikiTsiniTsiniy

tsinty

s1

ss1

s

ss1

k

s1camp.nto

camp.nto1

D02


54


iT)k(sinT

T

2ikiTsiniTsiniy

tsinty

s1

ss1

s

s

s1

k

s1

camp.nto

camp.nto1


28/82

D02



iT)k(sin

TT2ikiTsiniTsiniy

tsinty

s1

ss1

s

ss1

k

s1camp.nto

camp.nto1

Sinusoidi di pulsazioni 1ks,campionate a pulsazione s,

sono caratterizzate dai medesimi campioni

55

D02


0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

tempo

y(t),

y(k)

56


29/82

D02


tempo

y(t),

y(k)

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

57

D02


tempo

y(t),

y(k)

)tsin(5.0e1010)t(y AtA

51T02.1T

1T

3123.0

16.6

28.6

33.0

B

s

A

y

AsB

s

A

A

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

58


30/82

D02


2 4 6 8 10 12 14-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Modulo(dB)

0

s59

D02


2 4 6 8 10 12 14-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Modulo(dB)

0

2s

60


31/82

D02


2 4 6 8 10 12 14-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Modulo(dB)

0

s261

D02


2 4 6 8 10 12 14-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Modulo(dB)

0

s2s s2

A

62


32/82

D02


2 4 6 8 10 12 14-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Modulo(dB)

0

s2s s2

A

As

63

D02


2 4 6 8 10 12 14-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Modulo(dB)

0

s2s s2

AAs2

64


33/82

D02


2 4 6 8 10 12 14-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Modulo(dB)

0

s2s s2

Aliasing

65

D02

Filtro antialiasing

Per evitare (limitare) il fenomeno dellaliasing siricorre comunemente al filtraggio del segnale

mediante filtro PB analogico di banda Baa con

dove c rappresenta la pulsazione di crossover dellacatena aperta del sistema di controllo

NBaac

NBaac

ovvero

66


34/82

D02


D02

Il problema

Dato un sistema a TC determinare il/un modelloequivalente a TD (discretizzazione)

Facendo riferimento al sistema TC in esame, ilproblema della discretizzazione si pone nellambito didue diversi contesti

A il sistema TC reale e il campionamento realmente eseguito utilizzando un ADC e un DAC con undato dispositivo di tenuta

B il sistema TC noto solo attraverso un suo modellomatematico (fdt o VS) e su di esso non effettivamenteeseguita alcuna operazione di campionamento (es:controllore progettato)

68


35/82

D02

Sistema reale(con DAC e ADC)

I diversi contesti

I due contesti tipo

Sistema virtuale(controllore progettato)

metodo obbligato metodo arbitrario

in genere hold equivalence vari

A B

69

D02

Contesto A

Nella lezione Sistemi di controllo digitali statointrodotto lo schema di riferimento seguente

fs u(t)u(k) fs y(k)S

y(t)C(z)

r(k)

+

zoh

70


36/82

D02

Contesto A

F(s)fs u(t)u(k) fs y(k)y(t)

C(z)r(k)

+

zoh

71

Nella lezione Sistemi di controllo digitali stato

introdotto lo schema di riferimento seguente

D02

Contesto A

Nella lezione Sistemi di controllo digitali statointrodotto lo schema di riferimento seguente

Problema: calcolare F(z)

fs u(t)u(k) fs y(k)y(t)C(z)

r(k)

+

zoh F(s)

72


37/82

D02

Pi in generale: dato un sistema a TC,

campionato con passo Ts, con KADCKDAC=1 edelemento di tenuta di tipo zoh, determinare ilmodello a TD equivalente

NB: si dovr tenere presente che tra un istante dicampionamento e il successivo u(t) costante

(a motivo dello zoh)

metodo hold equivalence

Contesto A il problema in generale

73

D02

Contesto B

Esempio: con una qualunque procedura di progettoviene determinata la fdt del compensatore a TC C(s)

u(t)C(s)

e(t)

74


38/82

D02

Contesto B

Esempio: con una qualunque procedura di progetto

viene determinata la fdt del compensatore a TC C(s)

Determinare lequivalente a TD di C(s) implicacalcolare il legame (in k o in z) tra e(k) e u(k)

u(t)C(s)

e(t)

75

D02

Contesto B



u(t)C(s)

e(t)

fsfs

u(k)e(k)

76


39/82

D02




Contesto B

u(t)C(s)

e(t)

fsfs

u(k)e(k)

77

D02

Contesto B



u(t)C(s)

e(t)

fsfs

u(k)e(k)

78


40/82

D02




Contesto B

u(t)C(s)

e(t)

fsfs

u(k)e(k)

79

D02

Contesto B



u(t)C(s)

e(t)

fsfs

u(k)e(k)

80


41/82

D02




Contesto B

u(t)C(s)

e(t)

fsfs

u(k)e(k)

81

D02



Contesto B

u(k)e(k)C(z)

u(t)C(s)

e(t)

fsfs

82


42/82

D02

Pi in generale: data la fdt C(s), i cui segnali di

ingresso e(t) e di uscita u(t) sono campionaticon passo Ts, determinare un modello a TDequivalente

NB: si dovr tenere presente che tra un istante dicampionamento e il successivo lingresso e(t)non ha una forma nota a priori (sono noti solo

i campioni e(k))

metodi diversi

Contesto B il problema in generale

83

D02



43/82

D02

Contesto A: metodo hold equivalence (HE)

ADC sulluscita

DAC con zoh sullingressoIngresso come una successione di gradiniMetodo obbligatorio: invarianza della risposta algradino (negli istanti di campionamento) holdequivalence HE

85

D02

Per le fdt vale il seguente risultato

che pu essere interpretato come segue

camp

1

s

1

)s(FLz

1z

)z(F

Da G(s) a G(z) mediante HE

86


44/82

D02


camp

1

s1)s(FL

z1z)z(F


Trasformata L della risposta al gradino (in s)

87

D02



Antitrasformata L della risposta al gradino (in t)

camp

1

s

1

)s(FLz

1z

)z(F

88


45/82

D02


Risposta al gradino campionata (in k)


camp

1

s1)s(FL

z1z)z(F

89

D02


Trasformata Z della risposta al gradino campionata (in z)


90

camp

1

s

1

)s(FLz

1z

)z(F


46/82

D02


Inverso della trasformata Z del gradino campionato (in z)


camp

1

s1)s(FL

z1z)z(F

91

D02

F(z) equivalente alla F(s) (hold equivalent)



camp

1

s

1

)s(FLz

1z

)z(F

92


47/82

D02

Da A, B, C, D a As, Bs, Cs, Ds mediante HE

Per i modelli in VS vale il seguente risultato

CC

BdeB

eA

s

T

0

As

ATs

s

s

DDs

93

D02

Discretizzazione con Matlab

Il comando Matlab che calcola il modello discretoequivalente c2d

>> Gz=c2d(Gs,Ts,zoh)per le fdt, oppure>> VSd=c2d(VSc,Ts,zoh)

per i modelli VS

94


48/82

D02

Caratteristiche dellHE (1/4)

La fdt F(s) sia caratterizzata da n poli , da m zeri ,

da m


49/82

D02


Lespressione

pu essere sostituita dalla seguente

s

s

s

ss

2T0Ts0T

elimelimlim

ji

2T

s

,maxdove

ee sss

97

D02


Lespressione

pu essere sostituita dalla seguente

F(z) ha n1 zeri complessivamente,indipendentemente dal numero m di zeri di F(s)

)z(Brootslim 1-m-nss0Ts

)z(Broots 1-m-nss s

98


50/82

D02

HE mappatura s z

La mappatura dei poli, da TC a TD, ovvero da s in z,

rappresentata dalla seguente relazionesT

s e

s z

1

99

D02

HE mappatura s

z

NB: poli stabili in s restano stabili in z

s z

1

100


51/82

D02

Note finali

Se la condiziones >> non vale, allora non

sono pi valide le approssimazioni relativeagli zeri s e ss di F(z)

Si ricorda che il guadagno stazionario (di posizione,di velocit, di accelerazione, ) di una fdt in z dato dalla seguente espressione

dove i il numero di integratori TD di F(z) (ovvero ilnumero di poli in +1)

)z(FT

1zlimK

i

1zst

101

D02

Sia data la fdt F(s) aventeGuadagno stazionario 5

Polo semplice in 2 rad/sDue poli complessi coniugati con

Pulsazione naturale 10 rad/sFattore di smorzamento 0.1

scelto un passo di campionamento Ts=0.1 s F(z)

HE Esempio 1

)100ss()2s(1000

)s(F 2

periodo oscill. 0.63 s

102


52/82

D02

HE confronto fra i DdB

-60

-40

-20

0

20

100

101

102

-1080

-900

-720

-540

-360

-180

0

(rad/sec)

s

F(z)

F(s)Ts=0.1 sTs=0.1 s

Modulo(dB)

Fase(deg)

103

D02

HE DdB per differenti Ts

-60

-40

-20

0

20

Modulo(dB)

10-1

100

101

102

-360

-270

-180

-90

0

Fa

se(deg)

(rad/sec)

Ts=0.2 s

Ts=0.05 s

Ts=0.3 s

F(s)

Ts=0.1 s

104


53/82

D02

Contesto B: diversi metodi

Lobiettivo quello di determinare lequivalente a TD

C(z) di una fdt a TC C(s)In questo caso, come gi detto, tra un istante dicampionamento e il successivo lingresso non ha unaforma nota a priori (si presuppongono noti solo icampioni)Lequivalenza tra C(z) e C(s) pu essere stabilita

sia nel dominio t che nel dominio

105

D02

Altri metodi di discretizzazione (1/4)

In particolare, per il progetto del controllo, importante che risulti valida la seguente

approssimazione

Una prima soluzione si potrebbe ottenere utilizzandola forma inversa della mappatura sz gi trovatanel problema del campionamento

Njsez0per,)s(C)z(C sTj

s

sTT )zlog(sez

s

106


54/82

D02


In particolare, per il progetto del controllo,

importante che risulti valida la seguenteapprossimazione

Una prima soluzione si potrebbe ottenere utilizzandola forma inversa della mappatura sz gi trovata

nel problema del campionamento

Njsez0per,)s(C)z(C sTj

s

sT

T)zlog(

sez s

107

D02


In tal modo diventa semplice calcolare la fdt a TD

Tale metodo conduce per a una fdt C(z) nonrazionale opportuno, invece, determinare C(z) in formarazionale e di ordine finito pari allordine di C(s)

sT)zlog(

s)s(C)z(C

108


55/82

D02

Facendo riferimento alla risposta in frequenza

allora

pu essere approssimata per

Tre diverse approssimazioni portano a tre diversimetodi di discretizzazione

10ovvero0conjsN

N

Nsj

sT eez

0sTperovvero0j sN


109

D02

Si approssimi z come segue

Questo metodo corrisponde ad approssimare lederivate prime nel modello ingressouscita in t con ilseguente rapporto incrementale

Metodo Eulero in avanti EA (1/3)

s

ssT

T

1zscuidasT1ez s

sT

1z)k(e

T)k(e)1k(e

ovvero)t(eT

)t(e)Tt(e

ss

s

s

110


56/82

D02


Questo metodo corrisponde anche ad eseguire

lintegrazione numerica del blocco descritto da C(s)con il metodo di Eulero in avanti

)t(e

sTtt

sTt )t(eT)t(e)Tt(e

d)(e)t(e

d)(e)Tt(e

ss

Tt

t

Tt

0s

s

s

111

D02

La mappatura dei poli e degli zeri, da TC a TDovvero da s in z, rappresentata dalle seguenti

relazioni 1T,1T ssss

s z

1


112


57/82

D02


s z

1

NB: poli stabili in s possono diventareinstabili in z; forte distorsione rispetto

alla mappatura esTs

113

D02



Metodo di Eulero allindietro EI (1/3)

ss

sTsT

zT

1zscuida

sT1

1

e

1ez

s

s

szT

1zTz1

)k(eT

)1k(e)k(e

ovvero)t(e

T

)Tt(e)t(e

ss

1

s

s

s

114


58/82

D02

Questo metodo corrisponde anche ad eseguire

lintegrazione numerica del blocco descritto da C(s)con il metodo di Eulero indietro

)t(e

sTtt

sTt )t(eT)Tt(e)t(e

d)(e)Tt(e

d)(e)t(e

ss

t

Tt

s

t

0

s


115

D02

La mappatura dei poli e degli zeri, da TC a TDovvero da s in z, rappresentata dalle seguenti

relazionis

ss

s T11,

T11

s z

1

116



59/82

D02


s z

1

NB: poli stabili in s restano stabili in z;forte distorsione rispetto alla

mappatura esTs

117

D02

Metodo di Tustin TU (1/5)



1z

1z

T

2scuida

2sT1

2sT1

e

eez

ss

s2Ts

2TssT

s

ss

s2

1zT

1z2

)k(e)1k(eT

)k(e)1k(e

ovvero2

)t(e)Tt(eT

)t(e)Tt(e

ss

s

s

s

118


60/82

D02

2)k(e)1k(e

T)k(e)1k(e

2)t(e)Tt(e

T)t(e)Tt(e

s

ss

s

Media aritmetica delle derivate in t+Ts e in t

119


D02

Questo metodo corrisponde anche ad eseguirelintegrazione numerica del blocco descritto da C(s)

con il metodo di Tustin o dei trapezi

2)t(e)Tt(e

T)t(e)Tt(e

d)(e)t(e

d)(e)Tt(e

ss

s

Tt

t

Tt

0s

s

s

)t(e

sTtt

sTt

120



61/82

D02

La mappatura dei poli e degli zeri, da TC a TD

ovvero da s in z, rappresentata dalle seguentirelazioni

2/T12/T1

,2/T12/T1

s

ss

s

ss

s z

1

121


D02


s z

1

NB: poli stabili in s restano stabili in z;disorsione solo per |

|

N

122


62/82

D02

Il comando Matlab che calcola il modello discreto

equivalente c2d>> Gz=c2d(Gs,Ts,tustin)per le fdt, oppure>> VSd=c2d(VSc,Ts,tustin)

per i modelli VS

123


D02

Metodo mappatura diretta MD1 (1/2)

La fdt F(s) sia caratterizzata da n poli , da m zeri ,da m


63/82

D02

Non esiste comando Matlab che calcoli il modello

discreto equivalente secondo il metodo MD1

125


D02

La fdt F(s) sia caratterizzata da n poli , da m zeri ,da m


64/82

D02

Bnm1(z) e (z+1)nm1 hanno il medesimo

DdB della fase

(importante dal punto di vista del progetto neldominio della frequenza)

127


D02

Il comando Matlab che calcola il modello discretoequivalente c2d

>> Gz=c2d(Gs,Ts,matched)per le fdt, oppure>> VSd=c2d(VSc,Ts,matched)

per i modelli VS

128



65/82

D02


D02

Sia data la fdt C(s) aventeGuadagno stazionario 10

Polo semplice nellorigineDue poli complessi coniugati con

Pulsazione naturale 10 rad/sFattore di smorzamento 0.1

Differenti metodi di discretizzazione (1/2)

)100s2s(s

1000)s(C 2

periodo oscill. 0.63 s

130


66/82

D02

Si calcoli lequivalente a tempo discreto C(z),

ipotizzando un passo di campionamento Ts prima di0.1 e poi di 0.01 secondiN.B:

Ts=0.1 N=31.4 3nTs=0.01 N=314 30n

Nelle diapositive seguenti sono riportati i DdB dellefdt C(s), CHE(z), CEA(z), CEI(z), CTU(z), CMD1(z),CMD2(z)


131

D02

Si calcoli lequivalente a tempo discreto C(z),ipotizzando un passo di campionamento Ts prima di

0.1 e poi di 0.01 secondiN.B:Ts=0.1 N=31.4 3nTs=0.01 N=314 30n



Sistema a TC

132


67/82

D02



Ts=0.1 N=31.4 3nTs=0.01 N=314 30n


Hold equivalence


133

D02

Eulero in avanti





134


68/82

D02



Ts=0.1 N=31.4 3nTs=0.01 N=314 30n


Eulero all'indietro


135

D02




Tustin


136


69/82

D02



Ts=0.1 N=31.4 3nTs=0.01 N=314 30n


Mappatura diretta 1


137

D02


0.1 e poi di 0.01 secondiN.B:Ts=0.1 N=31.4 3n (campionato male)Ts=0.01 N=314 30n (campionato bene)


Mappatura diretta 2


138


70/82

D02

Confronto dei DdB per Ts=0.1

-100

-50

0

Modulo(dB

)

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

Fase(d

eg)

(rad/sec)

C

CEACEI

CMD1,CHE

CMD2CTU

CEACEI

CCTU

CMD1, CHECMD2,

Ts=0.1

N

139

D02

Confronto dei DdB per Ts=0.01

Fase(deg)

Modulo

(dB)

(rad/sec)

CEA

CEI,

CCMD1,CHE,CMD2CTU

CEA

CEI

CCTU

CEA

CMD1, CHECMD2,

Ts=0.01

N

-100

-50

0

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

140


71/82

D02

Confronto Ts=0.1 Ts=0.01

Modulo(dB

)

Fase(d

eg)

(rad/sec)

Ts=0.1

N

-100

-50

0

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

141

Buona approssimazione

D02


Fase(deg)

Modulo

(dB)

(rad/sec)

Ts=0.01

N

-100

-50

0

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

142



72/82

D02


Modulo(dB

)

Fase(d

eg)

(rad/sec)

Ts=0.1

N

-100

-50

0

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

143


D02


Fase(deg)

Modulo

(dB)

(rad/sec)

Ts=0.01

N

-100

-50

0

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

144



73/82

D02


Modulo(dB

)

Fase(d

eg)

(rad/sec)

Ts=0.1

N

-100

-50

0

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

145


D02


Fase(deg)

Modulo

(dB)

(rad/sec)

Ts=0.01

N

-100

-50

0

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

146



74/82

D02

Hold equivalent HE

Un sistema reale a dati campionati stato

rappresentato con il seguente schema a blocchi

ADCDAC

fsy(t) y(k)zoh

fs u(t)F(s)

u(k)

camp

1

s1

)s(FLz

1z)z(u)z(y

)z(F

147

D02

Un sistema reale a dati campionati statorappresentato con il seguente schema a blocchi

Risposta in frequenza dellHE

sTjez)z(F

148

La risposta in frequenza analizzata mediante

fsy(t) y(k)zoh

fs u(t)F(s)

u(k)


75/82


76/82

D02

Ipotesi: zoh(s) approssimato dalla fdt G2(s)

12/Ts2/sT1 1)s(G 2s2

s2

Nn 1.186.0

Approssimazione in s dellHE (3/4)

js2js2

)s(F)s(F)s(GsTjez)z(F

151

La risposta in frequenza approssimata da

zoh(s) F(s)

D02

101

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

Fa

se(deg)

-40

-20

0

20

Modulo(dB)

(rad/sec)

F2(s)

F(z)

Fh(s)

F1(s)

Ts=0.1 sTs=0.1 s

Approssimazione in s dellHE (4/4)

152


77/82

D02

Note finali (1/2)

Il progetto del controllore basato sulla risposta in

frequenza di F(z)Nellipotesi che


78/82

D02


D02

Passo di campionamento in base al contesto

Il passo di campionamento Ts va scelto in base al tipodi contesto

Analisi di un segnale o di un sistemaProgetto di un sistema di controllo

156


79/82

D02

Ts per lanalisi di un segnale

Il passo di campionamento Ts va scelto in base al tipo

di contestoAnalisi di un segnale o di un sistema

segnale0

0s

max

dove

2

157

D02

Ts per lanalisi di un sistema

ji

s

,max

dove

2

158

Il passo di campionamento Ts va scelto in base al tipodi contesto

Analisi di un segnale o di un sistema


80/82

D02

Ts per il progetto del controllo (1/4)

Il passo di campionamento Ts va scelto in base al tipo

di contesto

Progetto di un sistema di controllo

Diversi criteri

159

D02

La scelta del passo di campionamento da usare inun sistema di controllo va effettuata sulla base di

diversi criteriTali criteri fanno riferimento alle seguenti grandezzePasso di campionamento, Ts; pulsazione dicampionamento s=2/Ts; pulsazione di NyquistN=s/2=/TsPulsazione di crossover della catena aperta, c

Banda passante della catena chiusa, B


160


81/82

D02

Tempo di salita della risposta al gradino in catena

chiusa, tsBanda passante delleventuale filtro antialiasing, B_aaDinamica in AF della catena aperta, AF_caBanda dei disturbi, dTempo di ritardo puro della catena aperta, rit_caCostante di tempo minima delle variazioni

parametriche, var_p


161

D02

Criteri di scelta del passo di campionamentoC1

C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

cN

BN 2/tT ss

)101(/90 Nc

aa_BN

AF_caN

dN

4/T rit_cas 2/T var_ps


162


82/82

D02

Criteri di scelta del passo di campionamento

C1 C2 C3 C4 C5 C6

C7 C8 C9

Sostituzioni consigliate:

)505(1 )505(


163

cN BN

2/tT ss )101(/90 Nc

aa_BN

AF_caN

dN 4/T rit_cas 2/T var_ps

Note finali

Si noti che tutte le relazioni precedenti portano a unlimite superiore di Ts

Esistono altri criteri che ne inducono un limiteinferiore

d02-richiami3 u5l4 campionamento e discretizzazione

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