curva caracteristica de operaciÓn curvas co suponiendo el siguiente plan de muestreo simple por...
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CURVA CARACTERISTICA DE OPERACIÓNCurvas CO
Suponiendo el siguiente plan de muestreo simple por atributos, definido por:
n= 60 c = 1
En cada lote se extraen aleatoriamente 60 muestras de las cuales si cero o a lo mas una muestra es defectuosa, el lote es aceptado.
Si se encuentran 2 ó mas muestras defectuosas el lote es rechazado o retenido para inspección 100%.
… surge la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado?
La respuesta es a través de las curvas de Operación [Curvas CO] para el citado plan.
La curva CO de un plan proporciona una caracterización del desempeño potencial del mismo ya que con esta se puede saber la probabilidad de aceptar o rechazar un lote. (Gutiérrez H., 1998)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
O,0
0
O,0
3
O,0
6
O,0
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O,1
2
O,1
5
Proporción de Artículos defectuosos en el lote, p
Pro
ba
bil
idad
de
Ac
epta
ció
n d
el l
ote
, Pa
n=60c=1
Curva CO
Plan de Muestreo
100% Aceptación
Proporción de Artículos
defectuosos
Obtención de la curva CO:
Suponiendo un lote de un flujo continuo de productos de tamaño N que es grande respecto del tamaño de la muestra.
La distribución de artículos defectuosos k, en una muestra aleatoria de tamaño n, es binomial con parámetros n y p; donde p es la proporción de artículos defectuosos en el lote.
La probabilidad de observar exactamente k defectuosos en la muestra esta dada por la ecuación:
knk ppk
nkP
)1()(
.,...,2,1,0 nk
Donde:
p Es la proporción de artículos defectuosos en el lote
Son las combinaciones de n elementos tomados de k en k.
)!(!
!
knk
n
k
n
k
n
11·2·3·4·5·6·7·8·9·10
1·2·3·4·5·6·7·8·9·10
)!010(!0
!10
0
10
Ejemplo:
En un proceso de fabricación que produce una gran cantidad de artículos, se sabe que en promedio el 2% de ellos son defectuosos. Los artículos son empacados en cajas de 10 y se quiere saber cual es la probabilidad de que no haya ningún articulo defectuoso en cada caja. Se quiere saber P(0) en cada caja:
82,0)0(
98,0)0(
)02,01()0(
)02,01(02,0)!010(!0
!10)0(
)02,01(02,00
10)0(
10
10
0100
0100
P
P
P
P
P
El 82% de las cajas no tendrán ningún artículo defectuoso. El restante 18% tendrá al menos 1 artículo defectuoso.
Si quisiera saber la probabilidad de que las cajas tengan exactamente 1 artículo defectuoso P(1), entonces:
167,0)1(
)98,0)(02,0(10)1(
)02,01(02,0)!110(!1
!10)1(
)02,01(02,01
10)1(
9
1101
1101
P
P
P
P
El 16,7% de las cajas tendrán 1 artículo defectuoso.
La probabilidad de obtener un numero de defectos menor o igual a 1, se obtiene:
P(0) + P(1)
Ejemplo: Calcular la probabilidad de aceptar un lote que tenga 2% de artículos defectuosos (p=0,02) con el plan n=60, c=1, es igual a la probabilidad de que k sea menor que o igual a 1, es decir, es igual a la probabilidad de obtener 0 artículos defectuosos mas la probabilidad de obtener 1.
n=60p=0,02k=0k=1
P(0) = 0,2976P(1) = 0,3633
P(0) + P(1) = 0,6619 66,19% de aceptar
Para el plan n=60 y c=1, considerando diversos valores de p (proporción de artículos defectuosos) se realiza la curva CO.
Proporcion de artículos
defectuosos, p
Probabilidad de
aceptación, P(a)
0,001 0,9982
0,005 0,9634
0,01 0,8787
0,015 0,7727
0,02 0,6619
0,03 0,4592
0,04 0,3022
0,05 0,1915
0,06 0,1179
0,07 0,0709
0,08 0,0417
0,1 0,0137
0,15 0,0006
Curva CO Para la probabilidad de aceptacion del plan n=60, c=1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,05 0,1 0,15 0,2
Proporcion de artículos defectuosos en el lote, p
Pro
bab
ilid
ad d
e ac
epta
r el
lote
, Pa
Para realizar una curva CO para un plan de muestreo con tamaño de muestra n y número de aceptación c, se calcula la posibilidad de aceptación P(k), para diferentes valores de la proporción de artículos defectuosos p, es decir:
)(...)2()1()0()( cPPPPkP
Para la obtención de la curva CO en cualquier plan de muestreo simple por atributos n,c, es común usar la distribución de Poisson. Ya que cuando el tamaño de la muestra es mayor que 15 y la proporción de articulos defectuosa p es menor que 0,1 esta se aproxima bien a la binomial.
,......3,2,1,0!
)()(
Kk
npekP
knp
e=2,71828
CURVA CO IDEAL
Suponiendo que queremos rechazar los lotes que tengan una proporción de artículos defectuosos mayor que 1% y aceptar los que tienen 1% o menos.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
O,0
0
O,0
1
O,0
2
O,0
3
O,0
4
O,0
5
Proporción de Artículos defectuosos en el lote, p
Pro
bab
ilid
ad d
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cep
tac
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del
lote
, Pa
Curva CO Idealpara la calidad p=0,01 (1%)
PROPIEDADES DE LAS CURVAS CO
1. NO EXISTE UN PLAN DE MUESTREO QUE TENGA UNA CURVA CO IDEAL.
Es decir que pueda distinguir perfectamente los lotes “buenos” de los “malos”.
Todo plan de muestreo tiene el riesgo de rechazar la buena calidad o aceptar la mala calidad.
Los planes tienen mayor probabilidad de “aceptar la buena calidad” y una menor probabilidad de “aceptar la mala calidad”.
2. AL AUMENTAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRA JUNTO CON EL NÚMERO DE ACEPTACION SE OBTIENEN CURVAS CO QUE SE ACERCAN MAS A LA IDEAL.
Poseen mayor potencial para distinguir la buena calidad de la mala.
Ejemplo de planes:Plan n= 60 c=1 Probabilidad de aceptarlo = 0,302Plan n= 120 c=2 Probabilidad de aceptarlo = 0,137Plan n= 240 c=4 Probabilidad de aceptarlo = 0,035
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0,2
0,4
0,6
0,8
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0
O,0
3
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5
Proporción de Artículos defectuosos en el lote, p
Pro
bab
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ad
de
Ace
pta
ció
n d
el l
ote
, P
a
El ultimo plan dejará pasar el 3,5% de los lotes con 4 artículos defectuosos
3. EL CRITERIO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA IGUAL A UN PORCENTAJE DEL TAMAÑO DEL LOTE ES UN MAL CRITERIO
Es frecuente encontrar casos en los que el tamaño de la muestra es igual a un cierto porcentaje del tamaño del lote y el numero de aceptación permanece constante con C=0.
Ejemplo de planes:N=300 n= 30 c=0 p=0,05 P(0)=0,214N=500 n= 50 c=0 p=0,05 P(0)=0,0769 N=800 n= 80 c=0 p=0,05 P(0)=0,0165
En el primer caso se aceptará el 21,4% de los lotes, el segundo un 7,69% y el tercero 1,65%.
Obtener el tamaño de la muestra con tal criterio es inadecuado.
0
0,2
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O,0
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Proporción de Artículos defectuosos en el lote, p
Pro
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te, P
a
4. AL DISMINUIR EL NÚMERO DE ACEPTACION LA CURVA CO CAE MAS RAPIDAMENTE Y CON ELLO LOS PLANES SE VUELVEN MAS ESTRICTOS.
Esto se aprecia en el siguiente plan de muestreo:
Ejemplo de planes:n= 80 c=0 p=0,05 P(0)=0,214n= 80 c=1 p=0,05 P(0)=0,0769 n= 80 c=2 p=0,05 P(0)=0,0165
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0
Proporción de Artículos defectuosos en el lote, p
Pro
bab
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taci
ón
del
lote
, Pa
5. LOS PLANES CON c=0 NO SIEMPRE SON LOS MAS APROPIADOS
Son cóncavas hacia arriba por lo que la probabilidad de aceptar disminuye más rápidamente. Esto hace que sean planes extremadamente exigentes para el proveedor y en algunos casos costosos para el cliente.
Ejemplo de planes:
n= 80 c=0n= 50 c=0n= 30 c=0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
O,0
0
O,0
3
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2
O,1
5
Proporción de Artículos defectuosos en el lote, p
Pro
bab
ilid
ad d
e A
cep
taci
ón
del
lote
, Pa
Ejercicios
Determine la probabilidad de aceptar un lote que tenga un 3% de artículos defectuosos (p=0,03) con los siguientes planes de muestreo:
n=50 c=0n=80 c=1n=100 c=2
Nota: Recuerde que para determinar la probabilidad de aceptación para c=2 es necesario obtener P(0)+P(1)+P(2)
Determine cual de los siguientes planes de muestreo es mas riguroso para una proporción de artículos defectuosos de 5%:
N=200 n=20 c=0N=500 n=50 c=0N=675 n=67 c=0
Un lote con 4% de artículos defectuosos con cual de los siguientes lotes se encontrará una probabilidad de aceptarlos del 3,5%.
n=60 c=1n=120 c=2n=240 c=4
Ejercicios 2
1. Señale que efecto provocará en el muestreo el siguiente caso, se mantiene constante el número de muestras y se modifica el número de aceptación, ¿Qué sucederá con la Curva de Operación?
n= 50 c=0 p=0,02n= 50 c=1 p=0,02n= 50 c=2 p=0,02
2. Un proveedor habitual suministra tapas para tarros de conserva. A lo largo de los años se ha observado que el 2% de las tapas son defectuosas. Si se inspecciona una muestra de 100 unidades, ¿Cuál es la probabilidad de que 4 sean defectuosas?
3. Un cliente para comprar un lote de 1100 tarros de pintura desea utilizar un plan de muestreo que es de 90 unidades de las cuales para aceptar el lote solo 2 deben ser defectuosos. El departamento de control de calidad estima que el plan de muestreo no es adecuado y solicita apoyo de la norma NCh2237 realizando un muestreo simple normal con NCA=0,15 es decir: n=80 y c=1. ¿Qué es mas conveniente para la empresa?
4. Realice una curva CO para el siguiente plan de muestreo: a) n=50 c=1b) n=85 c=2