CURS 1: Relatii binare

Conf. dr. Constantin-Cosmin Todea

Cluj-Napoca

Bibliografie:1) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica, Ed. Mega2012 ;2) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica-Problemepentru seminarii, studiu individual si examen, Ed. Mega 2012

;3) Cursurile si seminariile scrise (de fiecare-individual!):http://users.utcluj.ro/∼todeacos/TeachingISA.html

Prescurtari:T.A.=Tema acasa; Thm=Teorema; Defn=Definitie;Pb=Problema; s.n.= se numeste;pt=pentru; Prop= Propozitie; Ex=Exemplu; Exc=Exercitiu;R=Raspuns; U.a.s.e.= Urmatoarele afirmatii sunt echivalente.

Bibliografie:1) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica, Ed. Mega2012 ;2) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica-Problemepentru seminarii, studiu individual si examen, Ed. Mega 2012

;3) Cursurile si seminariile scrise (de fiecare-individual!):http://users.utcluj.ro/∼todeacos/TeachingISA.html

Prescurtari:T.A.=Tema acasa; Thm=Teorema; Defn=Definitie;Pb=Problema; s.n.= se numeste;pt=pentru; Prop= Propozitie; Ex=Exemplu; Exc=Exercitiu;R=Raspuns; U.a.s.e.= Urmatoarele afirmatii sunt echivalente.

Bibliografie:1) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica, Ed. Mega2012 ;2) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica-Problemepentru seminarii, studiu individual si examen, Ed. Mega 2012 ;3) Cursurile si seminariile scrise (de fiecare

-individual!):http://users.utcluj.ro/∼todeacos/TeachingISA.html

Prescurtari:T.A.=Tema acasa; Thm=Teorema; Defn=Definitie;Pb=Problema; s.n.= se numeste;pt=pentru; Prop= Propozitie; Ex=Exemplu; Exc=Exercitiu;R=Raspuns; U.a.s.e.= Urmatoarele afirmatii sunt echivalente.

Bibliografie:1) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica, Ed. Mega2012 ;2) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica-Problemepentru seminarii, studiu individual si examen, Ed. Mega 2012 ;3) Cursurile si seminariile scrise (de fiecare-individual!):http://users.utcluj.ro/∼todeacos/TeachingISA.html

Prescurtari:T.A.=Tema acasa; Thm=Teorema; Defn=Definitie;Pb=Problema; s.n.= se numeste;pt=pentru; Prop= Propozitie; Ex=Exemplu; Exc=Exercitiu;R=Raspuns; U.a.s.e.= Urmatoarele afirmatii sunt echivalente.

Bibliografie:1) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica, Ed. Mega2012 ;2) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica-Problemepentru seminarii, studiu individual si examen, Ed. Mega 2012 ;3) Cursurile si seminariile scrise (de fiecare-individual!):http://users.utcluj.ro/∼todeacos/TeachingISA.html

Prescurtari:T.A.=Tema acasa; Thm=Teorema; Defn=Definitie;Pb=Problema; s.n.= se numeste;pt=pentru; Prop= Propozitie; Ex=Exemplu; Exc=Exercitiu;R=Raspuns; U.a.s.e.= Urmatoarele afirmatii sunt echivalente.

SEMINAR:-PREZENTA si ACTIVITATEA deosebita la seminar sepoate transforma ın BONUS la nota de la examen;

EXAMENUL: este format din1) PARTIAL (scris) - care se da dupa CURSUL 7 si consta din 4probleme de tipul celor din seminar sau curs;2) EXAMEN SCRIS ın sesiune - care consta din alte 4 problemetip seminar sau curs (alese de dupa Cursul 7), daca nota de lapartial este MAI MARE SAU EGALA de 5; daca NU, ın sesiune(sau Restante ,), se da din nou si Partialul!

SEMINAR:-PREZENTA si ACTIVITATEA deosebita la seminar sepoate transforma ın BONUS la nota de la examen;

EXAMENUL: este format din

1) PARTIAL (scris) - care se da dupa CURSUL 7 si consta din 4probleme de tipul celor din seminar sau curs;2) EXAMEN SCRIS ın sesiune - care consta din alte 4 problemetip seminar sau curs (alese de dupa Cursul 7), daca nota de lapartial este MAI MARE SAU EGALA de 5; daca NU, ın sesiune(sau Restante ,), se da din nou si Partialul!

SEMINAR:-PREZENTA si ACTIVITATEA deosebita la seminar sepoate transforma ın BONUS la nota de la examen;

EXAMENUL: este format din1) PARTIAL (scris) - care se da dupa CURSUL 7 si consta din 4probleme de tipul celor din seminar sau curs;

2) EXAMEN SCRIS ın sesiune - care consta din alte 4 problemetip seminar sau curs (alese de dupa Cursul 7), daca nota de lapartial este MAI MARE SAU EGALA de 5; daca NU, ın sesiune(sau Restante ,), se da din nou si Partialul!

SEMINAR:-PREZENTA si ACTIVITATEA deosebita la seminar sepoate transforma ın BONUS la nota de la examen;

EXAMENUL: este format din1) PARTIAL (scris) - care se da dupa CURSUL 7 si consta din 4probleme de tipul celor din seminar sau curs;2) EXAMEN SCRIS ın sesiune - care consta din alte 4 problemetip seminar sau curs (alese de dupa Cursul 7), daca nota de lapartial este MAI MARE SAU EGALA de 5; daca NU,

ın sesiune(sau Restante ,), se da din nou si Partialul!

SEMINAR:-PREZENTA si ACTIVITATEA deosebita la seminar sepoate transforma ın BONUS la nota de la examen;

EXAMENUL: este format din1) PARTIAL (scris) - care se da dupa CURSUL 7 si consta din 4probleme de tipul celor din seminar sau curs;2) EXAMEN SCRIS ın sesiune - care consta din alte 4 problemetip seminar sau curs (alese de dupa Cursul 7), daca nota de lapartial este MAI MARE SAU EGALA de 5; daca NU, ın sesiune(sau Restante ,),

se da din nou si Partialul!

SEMINAR:-PREZENTA si ACTIVITATEA deosebita la seminar sepoate transforma ın BONUS la nota de la examen;

EXAMENUL: este format din1) PARTIAL (scris) - care se da dupa CURSUL 7 si consta din 4probleme de tipul celor din seminar sau curs;2) EXAMEN SCRIS ın sesiune - care consta din alte 4 problemetip seminar sau curs (alese de dupa Cursul 7), daca nota de lapartial este MAI MARE SAU EGALA de 5; daca NU, ın sesiune(sau Restante ,), se da din nou si Partialul!

RELATII BINARE

Motivare (Utilitate):

Pagina de FACEBOOK, status ”ıntr-o relatie”;

Vom ınvata despre partitii care apar ın data mining, ”minaride date”;

Sa putem rezolva macar 1 problema de la PARTIAL;

Motivare (Utilitate):

Pagina de FACEBOOK,

status ”ıntr-o relatie”;

Vom ınvata despre partitii care apar ın data mining, ”minaride date”;

Sa putem rezolva macar 1 problema de la PARTIAL;

Motivare (Utilitate):

Pagina de FACEBOOK, status ”ıntr-o relatie”;

Vom ınvata despre partitii care apar ın data mining, ”minaride date”;

Sa putem rezolva macar 1 problema de la PARTIAL;

Motivare (Utilitate):

Pagina de FACEBOOK, status ”ıntr-o relatie”;

Vom ınvata despre partitii care apar ın data mining, ”minaride date”;

Sa putem rezolva macar 1 problema de la PARTIAL;

Motivare (Utilitate):

Pagina de FACEBOOK, status ”ıntr-o relatie”;

Vom ınvata despre partitii care apar ın data mining, ”minaride date”;

Sa putem rezolva

macar 1 problema de la PARTIAL;

Motivare (Utilitate):

Pagina de FACEBOOK, status ”ıntr-o relatie”;

Vom ınvata despre partitii care apar ın data mining, ”minaride date”;

Sa putem rezolva macar 1 problema de la PARTIAL;

1.1. Relatii binare:

Exemplu (∗)

Fie A = {a1, a2, a3, a4} , B = {b1,b2,b3} si R ⊆ A ×B datade

R = {(a1,b1), (a1,b3), (a2,b2), (a2,b3), (a4,b1)}.(A,B;R)- exemplu de relatie binara.

Fie A si B doua multimi oarecare.

Definitia 1.1.1

Se numeste relatie binara de la A la B orice submultime R ⊆ A×B.

Notatii:

(A,B;R) este o relatie;

Daca (a,b) ∈ A ×B apartine lui R atunci notam (a,b) ∈ R sauaRb si citim

”a este ın relatia R cu b“;

Exista relatia minimala R = Ø si relatia maximala R = A ×B;

RA,B=toate relatiile binare de la A la B, iar ∣RA,B ∣ = 2∣A∣⋅∣B ∣

(∣A∣ = numarul de elemente din A, daca A este finita. )

1.1. Relatii binare:

Exemplu (∗)

Fie A = {a1, a2, a3, a4} , B = {b1,b2,b3} si R ⊆ A ×B datade R = {(a1,b1), (a1,b3), (a2,b2), (a2,b3), (a4,b1)}.

(A,B;R)- exemplu de relatie binara.

Fie A si B doua multimi oarecare.

Definitia 1.1.1

Se numeste relatie binara de la A la B orice submultime R ⊆ A×B.

Notatii:

(A,B;R) este o relatie;

Daca (a,b) ∈ A ×B apartine lui R atunci notam (a,b) ∈ R sauaRb si citim

”a este ın relatia R cu b“;

Exista relatia minimala R = Ø si relatia maximala R = A ×B;

RA,B=toate relatiile binare de la A la B, iar ∣RA,B ∣ = 2∣A∣⋅∣B ∣

(∣A∣ = numarul de elemente din A, daca A este finita. )

1.1. Relatii binare:

Exemplu (∗)

Fie A = {a1, a2, a3, a4} , B = {b1,b2,b3} si R ⊆ A ×B datade R = {(a1,b1), (a1,b3), (a2,b2), (a2,b3), (a4,b1)}.(A,B;R)- exemplu de relatie binara.

Fie A si B doua multimi oarecare.

Definitia 1.1.1

Se numeste relatie binara de la A la B orice submultime R ⊆ A×B.

Notatii:

(A,B;R) este o relatie;

Daca (a,b) ∈ A ×B apartine lui R atunci notam (a,b) ∈ R sauaRb si citim

”a este ın relatia R cu b“;

Exista relatia minimala R = Ø si relatia maximala R = A ×B;

RA,B=toate relatiile binare de la A la B, iar ∣RA,B ∣ = 2∣A∣⋅∣B ∣

(∣A∣ = numarul de elemente din A, daca A este finita. )

1.1. Relatii binare:

Exemplu (∗)

Fie A = {a1, a2, a3, a4} , B = {b1,b2,b3} si R ⊆ A ×B datade R = {(a1,b1), (a1,b3), (a2,b2), (a2,b3), (a4,b1)}.(A,B;R)- exemplu de relatie binara.

Fie A si B doua multimi oarecare.

Definitia 1.1.1

Se numeste relatie binara de la A la B orice submultime R ⊆ A×B.

Notatii:

(A,B;R) este o relatie;

Daca (a,b) ∈ A ×B apartine lui R atunci notam (a,b) ∈ R sauaRb si citim

”a este ın relatia R cu b“;

Exista relatia minimala R = Ø si relatia maximala R = A ×B;

RA,B=toate relatiile binare de la A la B, iar ∣RA,B ∣ = 2∣A∣⋅∣B ∣

(∣A∣ = numarul de elemente din A, daca A este finita. )

1.1. Relatii binare:

Exemplu (∗)

Fie A = {a1, a2, a3, a4} , B = {b1,b2,b3} si R ⊆ A ×B datade R = {(a1,b1), (a1,b3), (a2,b2), (a2,b3), (a4,b1)}.(A,B;R)- exemplu de relatie binara.

Fie A si B doua multimi oarecare.

Definitia 1.1.1

Se numeste relatie binara de la A la B orice submultime R ⊆ A×B.

Notatii:

(A,B;R) este o relatie;

Daca (a,b) ∈ A ×B apartine lui R atunci notam (a,b) ∈ R sauaRb si citim

”a este ın relatia R cu b“;

Exista relatia minimala R = Ø si relatia maximala R = A ×B;

RA,B=toate relatiile binare de la A la B, iar ∣RA,B ∣ = 2∣A∣⋅∣B ∣

(∣A∣ = numarul de elemente din A, daca A este finita. )

1.1. Relatii binare:

Exemplu (∗)

Fie A = {a1, a2, a3, a4} , B = {b1,b2,b3} si R ⊆ A ×B datade R = {(a1,b1), (a1,b3), (a2,b2), (a2,b3), (a4,b1)}.(A,B;R)- exemplu de relatie binara.

Fie A si B doua multimi oarecare.

Definitia 1.1.1

Se numeste relatie binara de la A la B orice submultime R ⊆ A×B.

Notatii:

(A,B;R) este o relatie;

Daca (a,b) ∈ A ×B apartine lui R atunci notam (a,b) ∈ R sauaRb si citim

”a este ın relatia R cu b“;

Exista relatia minimala R = Ø si relatia maximala R = A ×B;

RA,B=toate relatiile binare de la A la B, iar ∣RA,B ∣ = 2∣A∣⋅∣B ∣

(∣A∣ = numarul de elemente din A, daca A este finita. )

1.1. Relatii binare:

Exemplu (∗)

Fie A = {a1, a2, a3, a4} , B = {b1,b2,b3} si R ⊆ A ×B datade R = {(a1,b1), (a1,b3), (a2,b2), (a2,b3), (a4,b1)}.(A,B;R)- exemplu de relatie binara.

Fie A si B doua multimi oarecare.

Definitia 1.1.1

Se numeste relatie binara de la A la B orice submultime R ⊆ A×B.

Notatii:

(A,B;R) este o relatie;

Daca (a,b) ∈ A ×B apartine lui R atunci notam (a,b) ∈ R sauaRb si citim

”a este ın relatia R cu b“;

Exista relatia minimala R = Ø si relatia maximala R = A ×B;

RA,B=toate relatiile binare de la A la B, iar ∣RA,B ∣ = 2∣A∣⋅∣B ∣

(∣A∣ = numarul de elemente din A, daca A este finita. )

1.1. Relatii binare:

Exemplu (∗)

Fie A = {a1, a2, a3, a4} , B = {b1,b2,b3} si R ⊆ A ×B datade R = {(a1,b1), (a1,b3), (a2,b2), (a2,b3), (a4,b1)}.(A,B;R)- exemplu de relatie binara.

Fie A si B doua multimi oarecare.

Definitia 1.1.1

Se numeste relatie binara de la A la B orice submultime R ⊆ A×B.

Notatii:

(A,B;R) este o relatie;

Daca (a,b) ∈ A ×B apartine lui R atunci notam (a,b) ∈ R sauaRb si citim

”a este ın relatia R cu b“;

Exista relatia minimala R = Ø si relatia maximala R = A ×B;

RA,B=toate relatiile binare de la A la B, iar ∣RA,B ∣ = 2∣A∣⋅∣B ∣

(∣A∣ = numarul de elemente din A, daca A este finita. )

1.1. Relatii binare:

Exemplu (∗)

Fie A = {a1, a2, a3, a4} , B = {b1,b2,b3} si R ⊆ A ×B datade R = {(a1,b1), (a1,b3), (a2,b2), (a2,b3), (a4,b1)}.(A,B;R)- exemplu de relatie binara.

Fie A si B doua multimi oarecare.

Definitia 1.1.1

Se numeste relatie binara de la A la B orice submultime R ⊆ A×B.

Notatii:

(A,B;R) este o relatie;

Daca (a,b) ∈ A ×B apartine lui R atunci notam (a,b) ∈ R sauaRb si citim

”a este ın relatia R cu b“;

Exista relatia minimala R = Ø si relatia maximala R = A ×B;

RA,B=toate relatiile binare de la A la B, iar

∣RA,B ∣ = 2∣A∣⋅∣B ∣

(∣A∣ = numarul de elemente din A, daca A este finita. )

1.1. Relatii binare:

Exemplu (∗)

Fie A = {a1, a2, a3, a4} , B = {b1,b2,b3} si R ⊆ A ×B datade R = {(a1,b1), (a1,b3), (a2,b2), (a2,b3), (a4,b1)}.(A,B;R)- exemplu de relatie binara.

Fie A si B doua multimi oarecare.

Definitia 1.1.1

Se numeste relatie binara de la A la B orice submultime R ⊆ A×B.

Notatii:

(A,B;R) este o relatie;

Daca (a,b) ∈ A ×B apartine lui R atunci notam (a,b) ∈ R sauaRb si citim

”a este ın relatia R cu b“;

Exista relatia minimala R = Ø si relatia maximala R = A ×B;

RA,B=toate relatiile binare de la A la B, iar ∣RA,B ∣ = 2∣A∣⋅∣B ∣

(∣A∣ = numarul de elemente din A, daca A este finita. )

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B, intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,diferenta R1 ∖ R2, complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1 si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:

A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B, intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,diferenta R1 ∖ R2, complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1 si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}

Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B, intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,diferenta R1 ∖ R2, complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1 si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:

Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B, intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,diferenta R1 ∖ R2, complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1 si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B, intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,diferenta R1 ∖ R2, complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1 si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B, intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,diferenta R1 ∖ R2, complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1 si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B,

intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,diferenta R1 ∖ R2, complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1 si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B, intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,

diferenta R1 ∖ R2, complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1 si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B, intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,diferenta R1 ∖ R2,

complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1 si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B, intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,diferenta R1 ∖ R2, complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1

si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

1.1.2 Moduri de reprezentare a relatiilor:

1 Prin enumerarea elementelor celor trei multimi:A = {ai ∣i ∈ I}, B = {bj ∣j ∈ J}, R = {(ak ,bp)∣(k,p) ∈M ⊆ I × J}Vezi exemplul (∗) de la ınceput.

2 Prin graf orientat:Se figureaza cele doua multimi A si B iar pentru fiecarepereche aRb se traseaza o sageata de la a ∈ A la b ∈ B.Pentru exemplul (∗) vezi desen.

3 Reprezentare carteziana.

1.1.3 Operatii cu relatii:Daca R1 si R2 ∈RA,B , deci R1 ⊆ A ×B, R2 ⊆ A ×B, atunci putemdefini ın mod natural: reuniunea R1⋃R2 ⊆ A ×B, intersectiaR1⋂R2 ⊆ A ×B,diferenta R1 ∖ R2, complementara lui R1

CA×B(R1) = (A ×B) ∖ R1 si diferenta simetricaR1∆R2 = (R1 ∖ R2)⋃(R2 ∖ R1).

Definitia compunerii a 2 relatii:

Fie (A,B;R) si (C ,D;S) doua relatii.

Compunerea relatiei S cu Reste relatia (A,D,S ○ R), S ○ R ⊆ A ×D, data de:

(a,d) ∈ S ○ Rdef⇐⇒ ∃x ∈ B ⋂C astfel ıncat (a, x) ∈ R si (x ,d) ∈ S .

Daca B ⋂C=Ø ⇒ S ○R =Ø si de aceea, de obicei, se compundoar relatii de tipul (A,B;R) cu (B,D;S).

Exemplu pe grafice orientate: FieR = {(a1,b1), (a2,b2), (a2,b3)} ⊂ A ×B,S = {(b1,d2), (b2,d1), (b2,d2), (b3,d3))} ⊂ B ×D atunci:S ○ R = {(a1,d2), (a2,d1), (a2,d2), (a2,d3)} ⊂ A ×D.

”Pe grafuri orientate arcele lui S ○ R se obtine prelungindarcele lui R cu arcele lui S , daca se pot face prelungiri.”

Relatia reciproca (inversa) a lui R ⊆ A ×B este R−1 ⊆ B ×Adata de:

bR−1adef⇐⇒ aRb.

Definitia compunerii a 2 relatii:

Fie (A,B;R) si (C ,D;S) doua relatii. Compunerea relatiei S cu Reste relatia (A,D,S ○ R), S ○ R ⊆ A ×D, data de:

(a,d) ∈ S ○ Rdef⇐⇒ ∃x ∈ B ⋂C astfel ıncat (a, x) ∈ R si (x ,d) ∈ S .

Daca B ⋂C=Ø ⇒ S ○R =Ø si de aceea, de obicei, se compundoar relatii de tipul (A,B;R) cu (B,D;S).

Exemplu pe grafice orientate: FieR = {(a1,b1), (a2,b2), (a2,b3)} ⊂ A ×B,S = {(b1,d2), (b2,d1), (b2,d2), (b3,d3))} ⊂ B ×D atunci:S ○ R = {(a1,d2), (a2,d1), (a2,d2), (a2,d3)} ⊂ A ×D.

”Pe grafuri orientate arcele lui S ○ R se obtine prelungindarcele lui R cu arcele lui S , daca se pot face prelungiri.”

Relatia reciproca (inversa) a lui R ⊆ A ×B este R−1 ⊆ B ×Adata de:

bR−1adef⇐⇒ aRb.

Definitia compunerii a 2 relatii:

Fie (A,B;R) si (C ,D;S) doua relatii. Compunerea relatiei S cu Reste relatia (A,D,S ○ R), S ○ R ⊆ A ×D, data de:

(a,d) ∈ S ○ Rdef⇐⇒ ∃x ∈ B ⋂C astfel ıncat (a, x) ∈ R si (x ,d) ∈ S .

Daca B ⋂C=Ø ⇒ S ○R =Ø si de aceea, de obicei, se compundoar relatii de tipul (A,B;R) cu (B,D;S).

Exemplu pe grafice orientate: FieR = {(a1,b1), (a2,b2), (a2,b3)} ⊂ A ×B,S = {(b1,d2), (b2,d1), (b2,d2), (b3,d3))} ⊂ B ×D atunci:S ○ R = {(a1,d2), (a2,d1), (a2,d2), (a2,d3)} ⊂ A ×D.

”Pe grafuri orientate arcele lui S ○ R se obtine prelungindarcele lui R cu arcele lui S , daca se pot face prelungiri.”

Relatia reciproca (inversa) a lui R ⊆ A ×B este R−1 ⊆ B ×Adata de:

bR−1adef⇐⇒ aRb.

Definitia compunerii a 2 relatii:

Fie (A,B;R) si (C ,D;S) doua relatii. Compunerea relatiei S cu Reste relatia (A,D,S ○ R), S ○ R ⊆ A ×D, data de:

(a,d) ∈ S ○ Rdef⇐⇒ ∃x ∈ B ⋂C astfel ıncat (a, x) ∈ R si (x ,d) ∈ S .

Daca B ⋂C=Ø ⇒ S ○R =Ø si de aceea, de obicei, se compundoar relatii de tipul (A,B;R) cu (B,D;S).

Exemplu pe grafice orientate: FieR = {(a1,b1), (a2,b2), (a2,b3)} ⊂ A ×B,S = {(b1,d2), (b2,d1), (b2,d2), (b3,d3))} ⊂ B ×D atunci:S ○ R = {(a1,d2), (a2,d1), (a2,d2), (a2,d3)} ⊂ A ×D.

”Pe grafuri orientate arcele lui S ○ R se obtine prelungindarcele lui R cu arcele lui S , daca se pot face prelungiri.”

Relatia reciproca (inversa) a lui R ⊆ A ×B este R−1 ⊆ B ×Adata de:

bR−1adef⇐⇒ aRb.

Definitia compunerii a 2 relatii:

Fie (A,B;R) si (C ,D;S) doua relatii. Compunerea relatiei S cu Reste relatia (A,D,S ○ R), S ○ R ⊆ A ×D, data de:

(a,d) ∈ S ○ Rdef⇐⇒ ∃x ∈ B ⋂C astfel ıncat (a, x) ∈ R si (x ,d) ∈ S .

Daca B ⋂C=Ø ⇒ S ○R =Ø si de aceea, de obicei, se compundoar relatii de tipul (A,B;R) cu (B,D;S).

Exemplu pe grafice orientate: FieR = {(a1,b1), (a2,b2), (a2,b3)} ⊂ A ×B,

S = {(b1,d2), (b2,d1), (b2,d2), (b3,d3))} ⊂ B ×D atunci:S ○ R = {(a1,d2), (a2,d1), (a2,d2), (a2,d3)} ⊂ A ×D.

”Pe grafuri orientate arcele lui S ○ R se obtine prelungindarcele lui R cu arcele lui S , daca se pot face prelungiri.”

Relatia reciproca (inversa) a lui R ⊆ A ×B este R−1 ⊆ B ×Adata de:

bR−1adef⇐⇒ aRb.

Definitia compunerii a 2 relatii:

Fie (A,B;R) si (C ,D;S) doua relatii. Compunerea relatiei S cu Reste relatia (A,D,S ○ R), S ○ R ⊆ A ×D, data de:

(a,d) ∈ S ○ Rdef⇐⇒ ∃x ∈ B ⋂C astfel ıncat (a, x) ∈ R si (x ,d) ∈ S .

Daca B ⋂C=Ø ⇒ S ○R =Ø si de aceea, de obicei, se compundoar relatii de tipul (A,B;R) cu (B,D;S).

Exemplu pe grafice orientate: FieR = {(a1,b1), (a2,b2), (a2,b3)} ⊂ A ×B,S = {(b1,d2), (b2,d1), (b2,d2), (b3,d3))} ⊂ B ×D atunci:

S ○ R = {(a1,d2), (a2,d1), (a2,d2), (a2,d3)} ⊂ A ×D.

”Pe grafuri orientate arcele lui S ○ R se obtine prelungindarcele lui R cu arcele lui S , daca se pot face prelungiri.”

Relatia reciproca (inversa) a lui R ⊆ A ×B este R−1 ⊆ B ×Adata de:

bR−1adef⇐⇒ aRb.

Definitia compunerii a 2 relatii:

Fie (A,B;R) si (C ,D;S) doua relatii. Compunerea relatiei S cu Reste relatia (A,D,S ○ R), S ○ R ⊆ A ×D, data de:

(a,d) ∈ S ○ Rdef⇐⇒ ∃x ∈ B ⋂C astfel ıncat (a, x) ∈ R si (x ,d) ∈ S .

Daca B ⋂C=Ø ⇒ S ○R =Ø si de aceea, de obicei, se compundoar relatii de tipul (A,B;R) cu (B,D;S).

Exemplu pe grafice orientate: FieR = {(a1,b1), (a2,b2), (a2,b3)} ⊂ A ×B,S = {(b1,d2), (b2,d1), (b2,d2), (b3,d3))} ⊂ B ×D atunci:S ○ R = {(a1,d2), (a2,d1), (a2,d2), (a2,d3)} ⊂ A ×D.

”Pe grafuri orientate arcele lui S ○ R se obtine prelungindarcele lui R cu arcele lui S , daca se pot face prelungiri.”

Relatia reciproca (inversa) a lui R ⊆ A ×B este R−1 ⊆ B ×Adata de:

bR−1adef⇐⇒ aRb.

Definitia compunerii a 2 relatii:

Fie (A,B;R) si (C ,D;S) doua relatii. Compunerea relatiei S cu Reste relatia (A,D,S ○ R), S ○ R ⊆ A ×D, data de:

(a,d) ∈ S ○ Rdef⇐⇒ ∃x ∈ B ⋂C astfel ıncat (a, x) ∈ R si (x ,d) ∈ S .

Daca B ⋂C=Ø ⇒ S ○R =Ø si de aceea, de obicei, se compundoar relatii de tipul (A,B;R) cu (B,D;S).

Exemplu pe grafice orientate: FieR = {(a1,b1), (a2,b2), (a2,b3)} ⊂ A ×B,S = {(b1,d2), (b2,d1), (b2,d2), (b3,d3))} ⊂ B ×D atunci:S ○ R = {(a1,d2), (a2,d1), (a2,d2), (a2,d3)} ⊂ A ×D.

”Pe grafuri orientate arcele lui S ○ R se obtine prelungindarcele lui R cu arcele lui S , daca se pot face prelungiri.”

Relatia reciproca (inversa) a lui R ⊆ A ×B este R−1 ⊆ B ×Adata de:

bR−1adef⇐⇒ aRb.

Definitia compunerii a 2 relatii:

Fie (A,B;R) si (C ,D;S) doua relatii. Compunerea relatiei S cu Reste relatia (A,D,S ○ R), S ○ R ⊆ A ×D, data de:

(a,d) ∈ S ○ Rdef⇐⇒ ∃x ∈ B ⋂C astfel ıncat (a, x) ∈ R si (x ,d) ∈ S .

Daca B ⋂C=Ø ⇒ S ○R =Ø si de aceea, de obicei, se compundoar relatii de tipul (A,B;R) cu (B,D;S).

Exemplu pe grafice orientate: FieR = {(a1,b1), (a2,b2), (a2,b3)} ⊂ A ×B,S = {(b1,d2), (b2,d1), (b2,d2), (b3,d3))} ⊂ B ×D atunci:S ○ R = {(a1,d2), (a2,d1), (a2,d2), (a2,d3)} ⊂ A ×D.

”Pe grafuri orientate arcele lui S ○ R se obtine prelungindarcele lui R cu arcele lui S , daca se pot face prelungiri.”

Relatia reciproca (inversa) a lui R ⊆ A ×B este R−1 ⊆ B ×Adata de:

bR−1adef⇐⇒ aRb.