PROBLEMAS

Oscilaciones y ondas 4M. armónico simple: 1Onda armónica (formato seno): 2Onda estacionaria: 1

Gravitatoria 4Satélite que gira en una órbita: 2Cuerpos en caída libre: 2

Campo eléctrico 4Equilibrio mecánico: 1Cargas puntuales: 2Equilibrio electrostático: 1

Magnetismo e inducción EM 4Fuerza magnética conductores: 1Movimiento cargas en campo B: 2Inducción electromagnética: 1

TIPOLOGÍA HASTA 2015-16

TIPOLOGÍA CURSO 2016-17

PROBLEMAS:QUEDA IGUAL EXCEPTO LO INDICADOEXPRESAMENTE A CONTINUACIÓN:Desaparecen los enunciadosespecíficos de MAS y ondasestacionarias y se sustituyen por….

CAMBIO!!!

(QUEDA IGUAL EN 2017)

(QUEDA IGUAL EN 2017)

(QUEDA IGUAL EN 2017)

(QUEDA IGUAL EN 2017)

Oscilaciones y ondas armónicas :2 enunciados sobre ecuación de onda,velocidad de propagación, energía, potenciae intensidad de la onda y suma de ondasarmónicas

Ejemplos en hojas siguientes

COORDINACIÓN DE FÍSICA

1

(c) Si la potencia de la sirena es 154 W y el receptor de escucha se encuentra a 50 m de distancia, ¿cuál esla intensidad del sonido al llegar al receptor? ¿Cuál sería la intensidad en un segundo receptor situado tresveces más lejos que el primero? (Téngase en cuenta que se trata de ondas esféricas tridimensionales)

txπ P ·1360·4sin21 3/2·1360·4sin22 πtxπ P

2

sin2

cos2sinsin bababa

Una sirena emite simultáneamente dos señales acústicas que se propagan por igual en todas direcciones.Las ecuaciones de las ondas que llegan a un receptor de escucha instalado a cierta distancia son:

Ayuda:

(a) Calcular la longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de estas ondas sonoras.(b) Calcular la ecuación de la onda resultante de su superposición en el receptor. ¿Qué longitud de onda yqué frecuencia tiene dicha onda resultante?

(La amplitud de presión es P0 = 2 Pa, x está en m y t en s)

3/2·1360·4sin·1360·4sin 221 txπtxπ PPP

txπ a ·1360·4 3/2·1360·4 txπ b

3·1360·4sin

3cos2 ·2 πtxπ P

32π ba

3·1360·4

2πtxπ ba

21

3cos

3·1360·4sin2 πtxπ P

(a) Ambas tienen igual número de ondas e igual frecuencia angular1rad·m 4 k 1rad·s 1360 m 5.0

422

k

z f H 680

21360

2

Ambas se propagan a igual velocidad 1m·s 4034

1360 k

v

(b) Sumamos las dos ecuaciones de onda con ayuda de la relación

2

sin2

cos2sinsin bababa

PROBLEMA 1

La longitud de onda y la frecuencia de la ondaresultante de la superposición son las mismas que lasde las ondas componentes, ya que sus parámetrosfrecuencia angular y número de ondas son iguales.Pero la superposición de ambas tiene una fase inicialdiferente. 2

1P

2P

21 PPP

txπ P ·1360·4sin21 3/2·1360·4sin22 πtxπ P

3/2·1360·4sin·1360·4sin 221 txπtxπ PPP

3·1360·4sin2 πtxπ P

Representación gráfica de la superposición de ondas (no se pide, sólo se ofrece como ilustración)

(m) x

(Pa) P Propagación

PROBLEMA 1 (CONTINUACIÓN)

Receptor 2

(3 veces más lejos)A medida que las ondas sonoras se alejan dela fuente, su energía se distribuye sobre unárea esférica de radio cada vez mayor. Portanto su intensidad (energía por unidad detiempo y unidad de superficie) será cada vezmás pequeña:

12 3rr 1r

2321 W·m10 · 90.4

05 · · 4154

I

2

11 4

/rtEI

Instantánea del eje X en t = 0

2

22 4

/rtEI

Receptor 1

Receptor 2

Aquí el cociente E/trepresenta la energía porunidad de tiempo de lasirena, es decir, su potencia.

(c) Si la potencia de la sirena es 154 W y el receptor de escucha se encuentra a 50 m de distancia, ¿cuáles la intensidad del sonido al llegar al receptor? ¿Cuál sería la intensidad en un segundo receptor situadotres veces más lejos que el primero?

Receptor 1

Receptor 1

Receptor 2 2421 W·m10 · 45.5

051 · · 4154

I

3

Alternativa una vez calculada I1, puede obtenerse I2por la ley inversa del cuadrado de la distancia

22

21

1

2

rr

II

2

122

21

12 31

I

rrII 24 W·m10 · 45.5

Dos fuentes F1 y F2 emiten ondas planas de igual longitud de onda = 6 m y amplitud A = 0.04 m que se propagan con velocidad v =120 m/s en el sentido positivo del eje X. La distancia entre F1 y F2es igual a /3 y consideramos F1 como origen de coordenadas.

PROBLEMA 2

a) Escribir la ecuación de la onda F1, sabiendo que para x= 0 y t = 0 esta función de onda vale cero.b) Escribir la ecuación de la onda de F2, sabiendo que para x = /3 y t = 0 esta función de onda es igual a cero.c) Calcular por superposición la ecuación de las ondas que alcanzan un punto genérico del eje x, situado a laderecha de F2, y especificando su fase inicial.

2

sin2

cos2sinsin bababaAyuda:

a) Ecuación de onda de F1 se propaga en sentido positivo del eje X 11 sin tkxAy

Parámetros de ambas ondas: 1m · rad 36

22

k

kv

1rad·s 40120 · 3

vk

11 40

3sin04.0 txy

Determinamos la fase 1 cuando t = 0 se verifica y1 = 0

00 · 400 · 3

sin04.0 11

y

Posición de F1, origen de coordenadas

01

txy 40

3sin04.01

1F 2Fx

3/ Propagación

x , y están en m y t en s

4

Comentario para los profesores: además del desfase d1 = 0, hay otra solución posible, que es d1 = p. Esto significa que la función también es solución válida.

txy 40

3sin04.01

La interpretación de la solución d1 = 0 es que en x = 0 la función está creciendo, yd1 = p significa que está decreciendo. Aquí se resuelve el problema adoptandosolo la primera de ellas (fórmula coloreada arriba), pero se deja constanciaexpresa de que la otra posibilidad es perfectamente válida también, a tenor delenunciado del problema.

PROBLEMA 2 (CONTINUACIÓN)

b) Ecuación de onda de F2 se propaga en sentido positivo del eje X 22 sin tkxAy

Parámetros de ambas ondas: 1m · rad 36

22

k

kv

1rad·s 40120 · 3

vk

22 40

3sin04.0

txy

Determinamos la fase 2 cuando t = 0 se verifica y2 = 0 la posición del foco F2 es x = /3 = 2 m

00 · 402 · 3

sin04.0 22

y

Posición de F2, situado /3 a la

derecha del origen de coordenadas

32 40

3sin04.02

txy

Mismas A, y k que y1.

0 3

22

rad 3

2 2

x , y están en m y t en s

5

Dos fuentes F1 y F2 emiten ondas planas de igual longitud de onda = 6 m y amplitud A = 0.04 m que se propagan con velocidad v =120 m/s en el sentido positivo del eje X. La distancia entre F1 y F2es igual a /3 y consideramos F1 como origen de coordenadas.a) Escribir la ecuación de la onda F1, sabiendo que para x= 0 y t = 0 esta función de onda vale cero.b) Escribir la ecuación de la onda de F2, sabiendo que para x = /3 y t = 0 esta función de onda es igual a cero.c) Calcular por superposición la ecuación de las ondas que alcanzan un punto genérico del eje x, situado a laderecha de F2, y especificando su fase inicial.

2

sin2

cos2sinsin bababaAyuda:

1F 2Fx

3/ Propagación

Comentario para los profesores: además de d2 = 0, hay otra solución posible, que proviene de la ecuación

2 3

2

Es decir, d2 = p/3 también es solución válida para el desfase, así que también es una ecuación de onda válida. La interpretación de cada uno de los casos es análoga a la explicada en el apartado previo.Igual que lo dicho anteriormente, mantenemos el formato de la primera de ellas (coloreada) al resolver el problema.

3 40

3sin04.02

txy

PROBLEMA 2 (CONTINUACIÓN 2)

c) Superposición de las ondas F1+F2.

txy 40

3sin04.01

32 40

3sin04.02

txy

3/2·40·

3sin·40·

3sin 04.021 txπtxπ yyy

txπ a ·1360·4 3/2·1360·4 txπ b

3·40·

3sin

3cos2 ·04.0 πtxπ P

32π ba

3·40·

32πtxπ ba

21

3cos

3·40·

3sin04.0 πtxπ y

2

sin2

cos2sinsin bababa

x , y están en m y t en s

6

Dos fuentes F1 y F2 emiten ondas planas de igual longitud de onda = 6 m y amplitud A = 0.04 m que se propagan con velocidad v =120 m/s en el sentido positivo del eje X. La distancia entre F1 y F2es igual a /3 y consideramos F1 como origen de coordenadas.a) Escribir la ecuación de la onda de F1, sabiendo que para x = 0 y t = 0 esta función de onda vale cero.b) Escribir la ecuación de la onda de F2, sabiendo que para x = /3 y t = 0 esta función de onda es igual a cero.c) Calcular por superposición la ecuación de las ondas que alcanzan un punto genérico del eje x, situado a laderecha de F2, y especificando su fase inicial.

2

sin2

cos2sinsin bababaAyuda:

1F 2Fx

3/ Propagación

Comentario para los profesores:aplicamos la fórmula de ayuda paraobtener la superposición basándonosen los formatos de las ecuacionesseleccionadas anteriormente, perodejando constancia de que cabe usarcombinaciones de ambos formatospara obtener otros resultados deinterferencias válidas compatiblescon el enunciado del problema.

PROBLEMA 2 (CONTINUACIÓN 3)

Representación gráfica de la superposición de ondas (no se pide, sólo se ofrece como ilustración)

(m) x

(m) y Propagación

1F

1y

2F

2y

txy 40

3sin04.01

32 40

3sin04.02

txy

3·40·

3sin04.0 πtxπ y

x , y están en m y t en s

m 2x

21 yyy

3/x Instantánea del eje en t = 07

Dos fuentes F1 y F2 emiten ondas planas de igual longitud de onda = 6 m y amplitud A = 0.04 m que se propagan con velocidad v =120 m/s en el sentido positivo del eje X. La distancia entre F1 y F2es igual a /3 y consideramos F1 como origen de coordenadas.a) Escribir la ecuación de la onda F1, sabiendo que para x= 0 y t = 0 esta función de onda vale cero.b) Escribir la ecuación de la onda de F2, sabiendo que para x = /3 y t = 0 esta función de onda es igual a cero.c) Calcular por superposición la ecuación de las ondas que alcanzan un punto genérico del eje x, situado a laderecha de F2, y especificando su fase inicial.

2

sin2

cos2sinsin bababaAyuda:

1F 2Fx

3/ Propagación

(a) Calcular la longitud de onda, el número de ondas y la frecuencia angular de estas ondas luminosas.(b) Escribir las ecuaciones de estas ondas, expresando todos sus parámetros en unidades S.I.

txk EE ··sin01

2

sin2

cos2sinsin bababa

Dos ondas luminosas de la misma frecuencia (f = 6·1014 Hz) se propagan en el vacío en la dirección ysentido negativo del eje de las X, estando la segunda de ellas desfasada +p/2 radianes respecto a laprimera. La amplitud del campo eléctrico de ambas es la misma, E0 = 750 V/m.

Ayuda:

(c) Calcular la ecuación de la onda resultante de su superposición. ¿Qué longitud de onda y qué frecuenciatiene dicha onda resultante?Dato: velocidad de la luz en el vacío c = 3·108 m/s.

(a) Cálculo de los parámetros de la onda.

167 m · rad 10 · 4

10 · 522

k

11514 rad·s 10 · 2.110 · 6 · 2 2 f

fc · m 10 · 5s 10 · 6

m·s 10 · 3 7114

18

fc

PROBLEMA 3

(b) Tomamos la fase inicial de la primera onda como cero

txE ·10 · .21 ·10 · 4sin750 1561

Propagación sentido x negativas

E en V/m, x en m y t en s

La segunda onda tiene su fase adelantada +/2 respecto a la primera 2/··sin02 txk EE

2/·10 · .21 ·10 · 4sin750 1562 txE E en V/m, x en m y t en s

8

PROBLEMA 3 (CONTINUACIÓN)

c) Superposición E = E1 + E2

2/·10·2.1·10·4sin·10·2.1·10·4sin 750 15615621 txtx EEE

22π ba

4·10·2.1·10·4

2156

tx ba

22

4cos

2

sin2

cos2sinsin bababa

txE ·10 · .21 ·10 · 4sin750 1561 2/·10 · .21 ·10 · 4sin750 156

2 txE

txa ·10·2.1·10·4 156 2/·10·2.1·10·4 156 txb

4·10·2.1·10·4sin

4·cos2 · 750 156

txE

4·10·2.1·10·4·sin2 750 156

txE

E en V/m, x en m y t en s

(a) Calcular la longitud de onda, el número de ondas y la frecuencia angular de estas ondas luminosas.(b) Escribir las ecuaciones de estas ondas, expresando todos sus parámetros en unidades S.I.

2

sin2

cos2sinsin bababa

Dos ondas luminosas de la misma frecuencia (f = 6·1014 Hz) se propagan en el vacío en la dirección ysentido negativo del eje de las X, estando la segunda de ellas desfasada +p/2 radianes respecto a laprimera. La amplitud del campo eléctrico de ambas es la misma, E0 = 750 V/m.

Ayuda:

(c) Calcular la ecuación de la onda resultante de su superposición. ¿Qué longitud de onda y qué frecuenciatiene dicha onda resultante?Dato: velocidad de la luz en el vacío c = 3·108 m/s.

La superposición de ondas de igual longitudde onda y frecuencia da como resultado otraonda de iguales parámetros y f, pero engeneral tendrá una fase inicial diferente.

9

PROBLEMA 3 (CONTINUACIÓN 2)

4·10·2.1·10·4·sin2 750 156

txE

E en V/m, x en m y t en s

(a) Calcular la longitud de onda, el número de ondas y la frecuencia angular de estas ondas luminosas.(b) Escribir las ecuaciones de estas ondas, expresando todos sus parámetros en unidades S.I.

2

sin2

cos2sinsin bababa

Dos ondas luminosas de la misma frecuencia (f = 6·1014 Hz) se propagan en el vacío en la dirección ysentido negativo del eje de las X, estando la segunda de ellas desfasada +p/2 radianes respecto a laprimera. La amplitud del campo eléctrico de ambas es igual, E0 = 750 V/m.

Ayuda:

(c) Calcular la ecuación de la onda resultante de su superposición. ¿Qué longitud de onda y qué frecuenciatiene dicha onda resultante?Dato: velocidad de la luz en el vacío c = 3·108 m/s.

(nm) x

(V/m) E Propagación

1E

2E

21 EEE

Representación gráfica de la superposición de ondas (no se pide, sólo se ofrece como ilustración)

txE ·10 · .21 ·10 · 4sin750 1561

2/·10 · .21 ·10 · 4sin750 1562 txE

La escala del eje X está en nanómetros para mayor claridad de la figura (1 nm = 10-9 m).La longitud de onda es nm 500m 10 · 5 7

Instantánea del eje X en t = 010

(a) Calcular la longitud de onda, el número de ondas y la frecuencia angular de la señal acústica. Escribir laecuación de la onda que recibe el buque de superficie, expresando todos sus parámetros en unidades S.I.

(c) Si la intensidad que alcanza el fondo es 1/64 de la que alcanza el navío de superficie, ¿Cuál es laprofundidad del mar en ese punto?

El sonar de un submarino emite una señal acústica de potencia 1.02 W y frecuencia 4500 Hz que se propaga através del agua del mar por igual en todas direcciones. Un buque de superficie situado a 50 m encima delsubmarino detecta esta señal con una amplitud de 10 Pa. Si la velocidad de propagación del sonido en el aguamarina es 1500 m/s, se pide:

(b) Calcular la intensidad de la onda que alcanza el buque de superficie.

PROBLEMA 4

m 50

a) Ecuación de la onda sonora en superficie. Calculamos parámetros

1m · rad 63/1

22 k

1s · rad 90004500 · 2 2 f

fv · m 31

45001500

fv

tkxAP sin

txP ·9000·6sin10

Presión P en Pa, x en m y t en s)Al escribir la ecuación de onda hemos supuesto que la fase inicial de laseñal recibida en el buque de superficie es igual a cero, ya que no seestablece ninguna condición al respecto. Sería igualmente válidosuponer cualquier otra fase inicial. También se ha supuesto que elsentido ascendente hacia la superficie es el de las x positivas.

b) Intensidad en superficie25

21 W·m10 · 25.305 · · 4

02.1

I

2

11 4

/rtEI

= potencia/área

c) Profundidad:La intensidad en el fondo es igual a I2 = I1/64

El fondo se encuentra a una distancia del submarino 8 veces mayor que el buque de superficie = 8×50 = 400 m.Profundidad = 50 + 400 = 450 m

222

211 · · rIrI

1I

2I

2r

1r

1127

51

2 W·m10 · 07.564

10 · 25.364

II

(c) Razonar cómo variaría la energía transportada por esta onda si, manteniendo invariables los demásparámetros, la amplitud fuese 10 cm en lugar de 5 cm.

(a) Escribir la ecuación de la onda viajera y calcular su velocidad de propagación, expresando todos susparámetros en unidades S.I.(b) Calcular la velocidad de vibración transversal del punto de la cuerda x = 0.80 m para t = 0.01 s.

PROBLEMA 5

a) Cálculo de k y 1m · rad 25.160.1

22 k

1s · rad 5052 · 2 2 f

tkxAy sinEcuación de onda viajera:

Calculamos fase inicial con la condición m 05.0 0 ; 0 ytx

0 · 500 · 25.1sin05.005.0 1sin rad 2/ 2/ · 50 · 25.1sin05.0 txyx, y en m; t en s

b) Velocidad de vibración transversal: derivamos la ecuación de onda respecto al tiempo

2/ · 50 · 25.1cos50 · 05.0 txdtdy 2/ · 50 · 25.1cos5.2 tx

s 01.0 ; m 80.0 txParticularizamos en 2/01.0 · 50.800 · 25.1cos5.201.0;80.0

txdtdy

m/s 5.2cos5.22/ 5.0 cos5.201.0;80.0

txdtdy

A lo largo de una cuerda horizontal se propaga en el sentido X positivo una onda viajera transversal defrecuencia 25 Hz y longitud de onda 1.60 m. Su amplitud es 5 cm, y la elongación del punto x = 0 es y = +5cm cuando t = 0.

12

c) La energía que transporta la onda es proporcional a la amplitud al cuadrado 2 AE

Velocidad de propagación 1s · m 4025.1

50

kv

Por tanto, si la amplitud fuese 10 cm (doble), la energía aumentaría 22 = 4 veces EAAE 442 22