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COMPORTAMENTO

MECCANICO DEI

MATERIALI COMPOSITI

R. Frassine

Dipartimento di Chimica, Materiali e Ingegneria Chimica G. NattaPolitecnico di Milano — Piazza L. da Vinci, 32 — 20133 Milano

5a Scuola AIMAT: MATERIALI COMPOSITIIschia Porto (NA) 15-19 aprile 2002

INDICE

1. Generalità sulla meccanica dei solidi elastici anisotropi ......................... 1

2. Simmetrie nei materiali compositi ........................................................... 9

3. Notazioni ingegneristiche ........................................................................ 15

4. Modelli micromeccanici per compositi a fibre continue ......................... 21

5. Effetto di carichi agenti in direzioni diverse dalle direzioni principali .... 31

6. Sequenze di laminazione .......................................................................... 34

7. Cenni di teoria della laminazione ............................................................. 39

8. Bibliografia .............................................................................................. 42

R. Frassine “Comportamento meccanico dei materiali compositi”- 5a SCUOLA AIMAT

1

1. Generalità sulla meccanica dei solidi elastici anisotropi

Uno degli obiettivi più frequenti nella progettazione di una struttura è il calcolo della deformazione

subita dal corpo (cioé del cambiamento delle sue dimensioni e/o della sua forma) per effetto dei

carichi applicati. La capacità di una struttura di resistere al cambiamento di forma e dimensioni

dipenderà strettamente, oltre che dalla geometria e dal tipo di vincoli, dalla natura e dalle proprietà

dei materiali utilizzati (ad esempio, una gomma darà luogo ad una struttura cedevole mentre un

acciaio ad una rigida).

Il comportamento meccanico dei solidi isotropi a piccole deformazioni è completamente

caratterizzato da soli due parametri caratteristici del materiale, ad esempio il modulo di Young, E,

ed il modulo a taglio, G. Questa semplicità deriva dal fatto che le proprietà di un materiale isotropo

sono le stesse in tutte le direzioni, e quindi il progettista di una struttura non deve preoccuparsi di

far corrispondere la direzione delle sollecitazioni applicate con la direzione di massima rigidezza o

resistenza del materiale.

La risposta meccanica di un materiale composito è invece, in generale, fortemente dipendente dalla

direzione nella quale viene sollecitato. Il pneumatico di un’automobile, ad esempio, sarà rigido

nella direzione delle corde di rinforzo, ma molto deformabile in direzione perpendicolare. Per

carichi applicati a 45° il comportamento sarà intermedio tra questi due. E’ perciò evidente che la

progettazione di una struttura costituita da materiali anisotropi richiederà la conoscenza delle

proprietà meccaniche in tutte le possibili direzioni di applicazione dei carichi.

Questa esigenza può essere soddisfatta sperimentalmente soltanto nel caso di strutture sollecitate in

modo semplice, effettuando ad esempio prove di trazione, compressione o flessione nelle

particolari direzioni in cui si prevede verranno applicati i carichi. Situazioni di sollecitazione

complesse (più realistiche), tuttavia, necessiterebbero la caratterizzazione della risposta del

materiale in tutte le direzioni, rendendo proibitivi i costi di una campagna sperimentale in

laboratorio.


2

Considerazioni di meccanica dei solidi anisotropi, fortunatamente, dimostrano che le proprietà in

qualunque direzione dipendono da un numero limitato di proprietà misurate in direzioni opportune,

dette direzioni di “simmetria”, che sono strettamente associate alla struttura interna del materiale

(microstruttura).

Le teorie meccaniche formulate per i materiali anisotropi hanno perciò due obiettivi principali:

a) stabilire il numero minimo di esperimenti necessari per caratterizzare le proprietà

fondamentali delle varie classi di materiali;

b) prevedere la risposta meccanica del materiale per qualunque direzione di sollecitazione a

partire da tali proprietà.

In questa lezione introduttiva verranno enunciati alcuni principi generali e ricavate alcune relazioni

utili per l’analisi sia degli aspetti micromeccanici (microscopici) che macromeccanici

(macroscopici) del comportamento dei materiali compositi.

E’ prassi comune in campo ingegneristico distinguere tra due tipi fondamentali di deformazione:

allungamento e taglio. L’allungamento (la deformazione dilatazionale più semplice da realizzare

in laboratorio) implica il cambiamento delle dimensioni di un corpo senza distorsione di forma,

mentre il taglio ne modifica la forma senza cambiamento di volume.

Nel primo caso si definiscono le seguenti quantità:

Sforzo di trazione:

σ = F

A

Deformazione di trazione:

ε = −L L

Lo

o


3

mentre per il taglio si utilizzano le seguenti definizioni:

Sforzo di taglio:

τ = F

A

Deformazione a taglio:

γ β β= = ≈X

Yo

tan( )

In generale, il comportamento del materiale viene descritto assegnando una relazione di

proporzionalità semplice tra uno sforzo e la deformazione corrispondente (legge di Hooke):

σ = C ε

dove il fattore di proporzionalità, C, è una proprietà caratteristica (intrinseca) del materiale ed è

detto costante elastica. Se applichiamo questa legge di proporzionalità ai due casi di

sollecitazione sopra definiti otteniamo:

modulo di Young: C E→ = σε

modulo a taglio: C G→ = τγ

Esiste un’altra grandezza frequentemente associata con la deformazione elongazionale, detta

coefficiente di Poisson, che viene usata per descrivere l’entità della contrazione laterale in una

direzione perpendicolare alla direzione di carico:

coeff. Poisson: νεε

= − per

par

Il coefficiente di Poisson vale 0.5 se la variazione di volume durante la deformazione è nulla

(LoAo = AL).


4

Questo tipo di comportamento presuppone che, se lo sforzo viene rimosso (σ = 0), la

deformazione venga completamente recuperata (comportamento elastico). I solidi reali

obbediscono in prima approssimazione alla legge di Hooke soltanto a piccole deformazioni; il

significato di questa affermazione può essere illustrato considerando l’espansione in serie di

MacLaurin dell’energia elastica per unità di volume (energia specifica) del sistema:

U( ) U (dUd

)12

(d Ud

)16

(d Ud

)o

2

22

3

33ε

εε

εε

εε= + + + + ......

Per un sistema all’equilibrio a ε = 0, l’energia elastica è minima e dU/dε = 0, da cui:

U( ) U12

16o

2 3ε ε ε= + + +C D ......

dove C e D sono rispettivamente la derivata seconda e terza di U rispetto alla deformazione,

valutate per ε = 0. Lo sforzo applicato è dato da σ = dU/dε, da cui:

σ ε ε= + +C D12

2 ......

A piccole deformazioni, tali per cui ε2 << ε, l’equazione precedente si riduce alla nota legge di

Hooke σ = C ε.

Le proprietà del materiale sono dunque legate al contenuto di energia del sistema dalla seguente

relazione:

Cd U

d=

=

2

20

ε ε

Questa relazione può essere utilizzata per estendere la legge di Hooke, valida per il caso

monodimensionale, a corpi elastici soggetti ad uno stato di sollecitazione tridimensionale.

Vediamo ora come è possibile generalizzare questi semplici concetti basati sull’esame di casi

monodimensionali al caso più generale di sollecitazioni comunque dirette rispetto agli assi di

simmetria del corpo. E’ conveniente fare riferimento ad un cubetto infinitesimo di materiale in

modo che le forze ad esso applicate possano essere trattate come sforzi (forze per unità di

superficie) ed assegnare un sistema di assi cartesiani ortogonali con gli assi paralleli agli spigoli del

cubo, come illustrato nella figura seguente.


5

La forza F1 sia applicata ad una faccia del cubo e sia inclinata di un certo angolo rispetto alla sua

normale e1 (vettore unitario). Proiettando la forza secondo gli assi di riferimento si ottengono le

sue componenti cartesiane σij:

ˆ ˆ ˆ ˆF e e e1 11 1 12 2 13 3= + +σ σ σ

in cui il primo indice identifica la normale alla faccia del cubo e il secondo indice la direzione di

proiezione. Con questa notazione gli sforzi normali sono indicati da indici ripetuti (es. 11) mentre

quelli di taglio da indici diversi (es. 13).

Le altre forze applicate al materiale sulle facce di normali e2 e e3 potranno essere rappresentate da

un’analoga equazione, per cui in generale:

ˆ ˆF ei ij jj

==

∑σ1

3

(i = 1, 2 ,3)

La serie di equazioni che rappresentano tutte le forze applicate al cubetto elementare può essere

rappresentata in forma simbolica come segue:

F e= [ ]σ

in cui il simbolo F rappresenta una matrice ad una sola colonna di forze, il simbolo e rappresenta

una matrice ad una sola colonna di versori e il simbolo [σ] rappresenta la matrice bidimensionale

delle varie componenti di sforzo σij. In notazione esplicita l’equazione precedente diventa:


6

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

F

F

F

e

e

e

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

=

σ σ σσ σ σσ σ σ

La matrice [σ] è detta tensore degli sforzi. Con l’uso di analoghe convenzioni per le

componenti della deformazione ε è possibile scrivere gli spostamenti ∆i applicati a ciascuna faccia

del cubo come somma dei tre termini nelle tre diverse direzioni. Le tre equazioni si possono

rappresentare in notazione contratta come segue:

∆ = [ ]ε e

in cui [ε] è detto tensore di deformazione.

I due tensori sopra definiti sono entrambi simmetrici, per cui σij = σji e εij = εji (con i, j = 1,

2, 3). Il numero di componenti di sforzo e deformazione indipendenti si riduce così da nove a sei.In notazione ingegneristica σij = τij e εij = γij /2 (per i ≠ j).

Definito così lo stato di sforzo e deformazione generalizzato al caso tridimensionale, la relazione

tra le due (equazione costitutiva) può essere ottenuta dall’espressione della densità di energia

elastica espansa in serie di Taylor:

U( ) U B B B B o 11 11 12 12 13 13 ij ijε ε ε ε ε= + + + + +......

+ + + + + +12

12

12

12

2C C C Cijkl ij kl1111 11 1112 11 12 1211 12 11ε ε ε ε ε ε ε...... ......

in cui:

BU

ijij

ij

==

∂∂ε

ε 0

CU

ijklij kl

ij kl

== =

∂∂ε ∂ε

ε ε

2

0

in cui i diversi indici i, j, k, l possono assumere valori di 1, 2 e 3. Lo sforzo può essere ricavatoeffettuando la derivata prima dell’espressione dell’energia rispetto a εij in condizioni di equilibrio,

per cui Uo = Umin e di conseguenza Bij = 0 (l’energia del sistema è ad un minimo). Si ottiene

perciò, analogamente al caso monodimensionale:

σ εij ijkl klC ===∑∑lk 1

3

1

3


7

Per descrivere il comportamento meccanico di un solido elastico si richiede quindi, in generale, la

determinazione di un tensore del quart’ordine, che implica 34 = 81 parametri. Per la condizione disimmetria del tensore (Cijkl = Cijlk = Cjikl = Cjilk), tuttavia, il numero di parametri indipendenti

si riduce a 36.

In virtù della simmetria dei tensori di sforzo e deformazione (σij = σji e εij = εji), tuttavia,

soltanto sei componenti di sforzo e deformazione sono indipendenti, e questo si riflette sulla

matrice delle proprietà elastiche.

E’ conveniente a questo punto numerare in ordine progressivo tali componenti indipendenti

facendo uso della seguente notazione:

1) σii = σi εii = εi

2) τ23 = σ23 = σ4 γ23 = 2ε23= ε4

3) τ13 = σ13 = σ5 γ13 = 2ε13= ε5

4) τ12 = σ12 = σ6 γ12 = 2ε12= ε6

Questa contrazione di indici riduce l’ordine del tensore elastico da 4 e 2 e, applicando la

seguente convenzione:

C Cij kl p q( )( ) ( )( )→

che implica, ad esempio, C1111=C11 e C1112=C16, l’equazione precedente diventa:

σσσσσσ

1

2

3

4

5

6

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

=

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

εεεεεε

1

2

3

4

5

6

Anche il tensore [C] così definito gode della proprietà di simmetria (Cij = Cji) e di conseguenza il

numero di costanti elastiche indipendenti si riduce a 21.


8

Ciascuna costante elastica ha un preciso significato fisico dato dalla seguente equazione:

CU

iji j

= ∂∂ε ∂ε

2

La caratterizzazione completa della matrice delle costanti elastiche richiede dunque l’effettuazione

di 21 prove meccaniche, che di solito sono un’opportuna combinazione di prove di trazione e di

taglio per ragioni di semplicità sperimentale. Il numero di prove può tuttavia essere sensibilmente

ridotto se il materiale possiede qualche tipo di simmetria; fortunatamente, la quasi totalità dei

materiali compositi di interesse ingegneristico ricade in questo caso per ragioni legate

essenzialmente alla ripetitività di alcune caratteristiche microstrutturali.

Il metodo usato per stabilire il tipo di simmetria del materiale (e quindi il numero di costanti

elastiche indipendenti) è molto semplice e diretto: una rassegna delle forme più comuni di

microstruttura indica che, assoggettando il corpo a certe rotazioni, non è possibile distinguere il

materiale ruotato da quello originale. Affinché questo sia contemplato dalla matrice delle costantielastiche, è necessario che certi Cij si elidano in combinazione con altri Ckl. Qui di seguito

verranno esaminati alcuni dei casi più comuni di simmetria incontrati in pratica in ordine di

semplificazione crescente.


9

2. Simmetrie nei materiali compositi

Il tipo più semplice di simmetria (cioé la simmetria più “asimmetrica”) tra quelle caratteristiche dei

materiali compositi è quella rispetto ad un piano. In pratica, questa forma è piuttosto rara e

potrebbe essere attribuita ad un ipotetico composito a fibre discontinue nel quale le fibre contenute

nei diversi quadranti si orientino alternativamente come illustrato nella figura seguente.

In questo caso il piano di normale e3 che contiene e1 ed e2 è un piano di simmetria del materiale,

in quanto si suppone che le proprietà al di sotto di tale piano siano identiche a quelle al di sopra. E’

anche evidente che una rotazione di 180° rispetto all’asse e3 lascerebbe inalterata la disposizione

delle fibre. Qualsiasi rotazione attorno agli altri assi, invece, ne provocherebbe l’alterazione. Di

conseguenza, l’asse e3 è un doppio asse di simmetria per il materiale.

Questa condizione si esprime imponendo che le costanti elastiche del materiale ruotato (C’)

debbano essere esattamente uguali a quelle originali (C). La matrice ruotata può essere calcolata

con la formula seguente:

[C’] = [T3] [C] [T3]t

in cui l’apice “t” indica una matrice trasposta (che si ottiene scambiando righe con colonne). Lamatrice [T3] caratteristica della rotazione attorno all’asse 3 è riportata nella tabella seguente.


10

Per φ = 0 le due matrici [T] e [T]t risultano diagonali e uguali, con gli elementi della diagonale Tii

=1 per i = 1, 2, 3 e Tii =-1 per i = 4, 5. Di conseguenza l’equazione di trasformazione si

semplifica nella forma seguente:

C T T Cij ii jj ij' =

Affinché C’ sia uguale a C deve essere:

C T Tij ii jj1 0−( ) =

Un controllo dei diversi valori di “i” e “j” mostra che la quantità tra parentesi è uguale a 0 per la

maggior parte dei termini, rendendo l’equazione precedente automaticamente soddisfatta. Tuttavia,

alcune particolari combinazioni danno valori di 1 2−( ) =T Tii jj . Per queste combinazioni, l’unico

modo di soddisfare la condizione precedente è di porre a zero le costanti elastiche corrispondenti.

Si ottiene così:

C14 = C15 = C24 = C25 = C34 = C35 = C46 = C56 = 0

Le costanti elastiche indipendenti si riducono così a 13 (21 meno 8).


11

Un grado di simmetria più elevato è quello posseduto dai materiali cosidetti ortotropi. Questa

simmetria è molto comune nel campo dei compositi in quanto è posseduta, ad esempio, dalle

lamine a fibre continue o dai laminati simmetrici, ma anche il compensato di legno, i film

polimerici orientati e alcuni metalli calandrati possono ricadere in questa categoria di materiali.

Questo tipo di simmetria è caratterizzato da tre piani di simmetria mutuamente perpendicolari tra di

loro. In aggiunta al piano di simmetria perpendicolare all’asse e3, discusso nell’esempio

precedente, in questo caso il materiale è simmetrico anche rispetto al piano perpendicolare all’assee2. La simmetria rispetto a due piani tra loro perpendicolari implica necessariamente la simmetria

rispetto al terzo.

Con ragionamenti analoghi all’esempio precedente (rotazioni di 180° rispetto agli assi di simmetriadevono lasciare inalterata la matrice di costanti elastiche) si ottiene che anche i termini C16, C26,

C36 e C45 devono annullarsi. Le costanti elastiche indipendenti si riducono perciò a 9 (13 meno

4):

C

C C C

C C C

C C C

C

C

C

[ ] =

11 12 13

12 22 23

13 23 33

44

55

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

I materiali compositi ortotropi, quindi, richiedono soltanto 9 prove sperimentali per essere

completamente caratterizzati.


12

Nella maggior parte delle situazioni pratiche, il progettista di strutture in composito è interessato

alle proprietà del materiale nel piano e1- e2. In questo caso le costanti elastiche per un angolo

arbitrario di rotazione φ attorno all’asse e3 possono essere calcolate in base alla seguente

relazione:[C’] = [T3(φ)] [C] [T3(φ)]t

Deve essere osservato che la matrice [C’] trasformata secondo un angolo arbitrario non possiedepiù la simmetria ortotropica, cioé i termini C’16, C’26, C’36 e C’45 non sono più necessariamente

nulli.

In alcuni casi, l’arrangiamento delle fibre nel piano 2-3 (piano “trasversale” della lamina o del

laminato) può essere considerato a sua volta simmetrico, ad esempio a cella quadrata come

illustrato nella figura seguente.

La simmetria quadrata riduce ulteriormente il numero delle costanti elastiche indipendenti. In

questo caso, infatti, la microstruttura del materiale è simmetrica per 4 rotazioni (0°, 90°, 180° e

270°) rispetto all’asse e1. Di conseguenza si ha:

[C’] = [T3 (φ = nπ/2)] [C] [T3 (φ = nπ/2)]t = [C]

Questa condizione comporta le seguenti relazioni per alcuni elementi della matrice:

C22 = C33 , C12 = C13 , C55 = C66

Le costanti elastiche indipendenti si riducono perciò a 6 (9 meno 3) per il caso di fibre a

disposizione quadrata e la matrice delle costanti elastiche risulta:


13

C

C C C

C C C

C C C

C

C

C

[ ] =

11 12 12

12 22 23

12 23 22

44

66

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Se l’arrangiamento delle fibre è del tipo a cella esagonale, la simmetria è ulteriormente

aumentata in quanto la microstruttura del materiale risulta simmetrica per 6 rotazioni (0°, 60°,

120°, 180°, 240° e 300°) rispetto all’asse e1. Questo stabilisce un’altra condizione speciale sulle

componenti della matrice delle costanti elastiche:

C C C44 22 23

12

= −( )

Le costanti elastiche indipendenti si riducono perciò a 5 (6 meno 1) per il caso di fibre a

disposizione esagonale e la matrice risulta:

C

C C C

C C C

C C C

C C

C

C

[ ] =−( )

11 12 12

12 22 23

12 23 22

22 23

66

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 012

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Il caso più frequente, tuttavia, è quello di una disposizione casuale (disordinata) di fibre nel piano

2-3, dovuta alle condizioni pratiche di fabbricazione dei compositi. La disposizione delle fibre è

dunque, in media, uniforme nel piano stesso e quindi le proprietà elastiche devono mantenersi

invariate per qualunque rotazione rispetto all’asse e1.

Con ragionamenti analoghi ai precedenti si dimostra che le relazioni sono in questo caso identiche

a quelle ottenute per la disposizione esagonale e la matrice risulta quindi la stessa:


14

C

C C C

C C C

C C C

C C

C

C

[ ] =−( )

11 12 12

12 22 23

12 23 22

22 23

66

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 012

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Se il materiale fosse perfettamente isotropo, infine, la matrice si semplificherebbe ulteriormente

in quanto le proprietà dovrebbero essere indipendenti dalla direzione anche nei piani 1-2 e 2-3. Si

ottengono in questo caso le seguenti relazioni supplementari:

C11 = C22 , C12 = C23 , C44 = C66

Le costanti elastiche indipendenti si riducono perciò a 2 (5 meno 3) e la matrice risulta:

C

C C C

C C C

C C C

C C

C C

C C

[ ] = −( )

−( )

−( )

11 12 12

12 11 12

12 12 11

11 12

11 12

11 12

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 012

0 0

0 0 0 012

0

0 0 0 0 012


15

3. Notazioni ingegneristiche

Le considerazioni precedenti possono risultare di più agevole comprensione se si convertono le

costanti elastiche [C] e [S] nelle più tradizionale costanti “ingegneristiche” E (modulo di Young),ν (coefficiente di Poisson), G (modulo di taglio) e K (modulo di volume) per le quali esistono

tecniche consolidate di caratterizzazione sperimentale.

Le costanti ingegneristiche avranno in generale valori diversi nelle diverse direzioni. Si consideri

ad esempio un laminato a fibre continue e unidirezionali per il quale 1 sia la direzione delle fibre, 2

quella trasversale e 3 quella normale al piano 1-2 come illustrato nella figura seguente.

E’ lecito attendersi che il modulo di Young in direzione delle fibre, E1, sia maggiore di quello in

direzione trasversale, E2, che a sua volta può essere diverso da quello in direzione perpendicolare,

E3. Le stesse cosiderazioni varranno per i moduli di G12, G13, G23.

Le costanti ingegneristiche sono meglio interpretabili in termini di risposta meccanica del materiale

a sollecitazioni semplici, mentre la descrizione teorica basata su [C] e [S] è più adatta all’analisi del

comportamento delle strutture sollecitate in modo complesso. A seconda del caso in esame potrà

essere necessario passare dall’una all’altra ed è quindi opportuno disporre di formule di

interconversione.

Non si considererà qui il caso di materiale completamente anisotropo; le relazioni verranno

presentate per un materiale con simmetria ortotropica e per i casi di simmetrie speciali visti in

precedenza, per i quali il numero di costanti elastiche indipendenti si riduce sensibilmente rispetto

al caso generale.


16

Le relazioni che si ottengono per il caso di simmetria ortotropica sono elencate qui di seguito:

C EE

EJ11 1

3

22321= −

ν C C E J13 31 3 12 23 13= = +[ ] ν ν ν

C EE

EJ22 2

3

11321= −

ν C C E E J12 21 2 12 3 13 23= = +[ ]ν ν ν

C EE

EJ33 3

2

11221= −

ν C CE

EE E J23 32

3

11 23 2 12 13= =

+[ ] ν ν ν

C G44 23= C G55 13= C G66 12=

in cui:

JE

E

E

E

E

E

E

E

=−

−

−

−

1

1 2 3

112 23 13 13

2 3

1232 3

2122 2

1

ν ν ν ν ν ν

Le costanti elastiche sono dunque completamente determinate se sono note le seguenti nove

costanti ingegneristiche:

E1, E2, E3, ν12, ν13, ν23, G12, G13, G23

Un’altra costante di interesse pratico è il modulo di volume, K, che consente di calcolare la

deformazione di un corpo soggetto ad una pressione idrostatica:

KE E E

E E E E E E=

− −( ) + −( ) +1 2 3

12 13 2 3 23 1 3 1 21 2 2 1 2ν ν ν

Questo esempio mostra che ogni costante in eccesso rispetto alle nove necessarie per caratterizzare

completamente un materiale ortotropo può essere calcolata in base alle precedenti. Deve essere

osservato che prove di trazione monoassiale effettuate in direzione dei tre assi di simmetriaortotropica del materiale sarebbero di per sè sufficienti a determinare nove costanti (E1, E2, E3,

ν12, ν13, ν23, ν21, ν31, ν32) ma che soltanto sei sono indipendenti, in quanto, per la

condizione di simmetria del tensore, valgono le seguenti relazioni:


17

ν ν

ν ν

ν ν

12

1

21

2

13

1

31

3

23

2

32

3

E E

E E

E E

=

=

=

;

;

Di conseguenza, per caratterizzare completamente la risposta meccanica del materiale è necessario

effettuare tre prove supplementari di sollecitazione a taglio.

Per gradi di simmetria superiori le costanti indipendenti si riducono in proporzione. Se il materiale

possiede una simmetria trasversale di tipo “quadrato” (fibre disposte a cella quadrata) si ottengono

le seguenti tre relazioni supplementari:

E2 = E3; ν12 = ν13 (ν21 = ν31); G12 = G13

e le costanti ingegneristiche indipendenti diventano le sei seguenti:

E1, E2, ν12, ν23, G12, G23

L’espressione del modulo di volume si semplifica di conseguenza:

KE E

E E=

−( ) + −( )1 2

12 2 23 11 4 2 1ν ν

Infine, l’isotropia trasversale (fibre disposte a cella esagonale o casualmente) fornisce un’altra

relazione supplementare tra le proprietà a taglio e quelle a trazione:

GE

232

232 1=

+( )ν

che riduce le costanti ingegneristiche indipendenti alle 5 seguenti:

E1, E2, ν12, ν23, G12


18

In quest’ultimo caso, dunque, per caratterizzare completamente la risposta meccanica del materiale

sono sufficienti due prove di trazione (una in direzione delle fibre e l’altra in direzione normale) ed

una a taglio.

Come già osservato nella parte introduttiva, il progettista è di solito interessato a determinare la

deformazione di una struttura a partire dai carichi applicati. Allo scopo può essere più conveniente

utilizzare la seguente equazione costitutiva:

ε σ= [ ]S

Anche i termini della matrice di cedevolezza del materiale,[S], possono essere espressi in funzionedelle costanti ingegneristiche Ei, νij, Gij nel modo seguente:

S

E E E

E E E

E E E

G

G

G

[ ] =

− −

− −

− −

10 0 0

10 0 0

10 0 0

0 0 01

0 0

0 0 0 01

0

0 0 0 0 01

1

21

2

31

3

12

1 2

32

3

13

1

23

2 3

23

31

12

υ υ

υ υ

υ υ

per un materiale ortotropo e:


19

S

E E E

E E E

E E E

E

G

G

[ ] =

− −

− −

− −

+( )

10 0 0

10 0 0

10 0 0

0 0 02 1

0 0

0 0 0 01

0

0 0 0 0 01

1

12

1

13

1

12

1 2

23

2

13

1

23

2 2

23

2

12

12

υ υ

υ υ

υ υ

υ

per un materiale trasversalmente isotropo. Queste matrici risultano molto più semplici delle

precedenti matrici [C] se espresse in termini delle costanti ingegneristiche e vengono quindi più

frequentemente impiegate.

La tabella seguente riporta le principali relazioni tra le diverse costanti ingegneristiche per

materiali isotropi:

Proprietà Relazioni tra le proprietà

E = 3 1 2( )− ν K 93

KG

K G+

ν = E G

G

− 22

3 26 2

K G

K G

−+

G = E

2 1( )+ ν3 1 2

2 1( )

( )−

+νν

K

K = E

3 1 2( )− νEG

G E9 3−


20

Le relazioni tra le costanti elastiche e le costanti ingegneristiche per i casi particolari di materiali

anisotropi qui esaminati sono invece riportati nella tabella seguente.


21

4. Modelli micromeccanici per compositi a fibre continue

Le difficoltà insite nella determinazione sperimentale delle costanti elastiche necessarie a

caratterizzare il comportamento meccanico dei compositi, dovute in parte al numero di prove

necessarie ma anche alla necessità di controllare con precisione sia la disposizione delle fibre

rispetto all’asse di carico sia le deformazioni subite dal materiale, giustifica la ricerca di semplici

modelli di previsione di tali proprietà a partire dalle caratteristiche microstrutturali del materiale.

Benché tali metodi mostrino maggiore utilità nel campo dei compositi a fibra discontinua, dove la

microstruttura del materiale (in particolare l’orientazione delle fibre) si sviluppa in modo diverso a

seconda delle condizioni di flusso subite durante l’operazione di trasformazione e preclude quindi

completamente la possibilità di una caratterizzazione sperimentale diretta per ogni possibile caso,

essi rivestono comunque una certa importanza anche per il caso più semplice di lamine

unidirezionali a fibre continue. La previsione delle proprietà dei compositi a fibra

discontinua può essere convenientemente vista, almeno nella maggior parte dei casi, come una

generalizzazione delle considerazioni svolte per i compositi a fibra continua.

Va sottolineato che la determinazione delle proprietà dei laminati compositi a fibra continua

(ottenuti, nel caso più semplice, per sovrapposizione successiva di un numero anche molto elevato

di lamine unidirezionali) può essere effettuata con tecniche di calcolo basate sulla cosiddetta “teoria

della laminazione”, che presuppone soltanto la conoscenza delle proprietà delle singole lamine.

La conoscenza delle proprietà meccaniche della lamina, dunque, può essere vista come un punto di

partenza per prevedere le proprietà di un laminato costituito da lamine comunque orientate. In

questo paragrafo concentreremo quindi l’attenzione esclusivamente sul caso elementare di un

composito a fibre continue unidirezionali.

Le più importanti proprietà che possono essere determinate mediante teorie micromeccaniche sono:

moduli di Young, Eij

coefficienti di Poisson, ννννij

moduli di taglio, Gij

coefficienti di espansione termica, ααααij

Tutte queste proprietà possono agevolmente essere trattate in termini di proprietà medie e di

risposta media complessiva del sistema composito. Le teorie micromeccaniche definiscono quindi,

a partire dalle proprietà dei costituenti, una sorta di composito “equivalente” al composito reale,

che non è più un materiale eterogeneo anche se si mantiene anisotropo (operazione di

“omogeneizzazione”).


22

Queste teorie non sono invece adeguate a prevedere le proprietà di resistenza (ad esempio il carico

di rottura) dei materiali compositi, in quanto queste ultime dipendono molto spesso da fenomeni

localizzati in punti ben precisi del materiale (difetti, interfacce, ecc.).

Nel prosieguo verranno utilizzati indifferentemente i simboli “L” (direzione longitudinale) o “1”

(asse cartesiano di riferimento) per indicare le proprietà in direzione delle fibre, i simboli “T”

(trasversale) o “2” per le proprietà in direzione trasversale nel piano del laminato e i simboli “P”

(perpendicolare) o “3” per quelle in direzione perpendicolare al piano del laminato, come indicato

nella figura seguente.

Ad esempio, E1 = EL e ν12 = νLT.

La matrice polimerica può di solito essere considerata isotropa, per cui si rendono necessari per la

sua caratterizzazione soltanto due costanti elastiche indipendenti. La presenza di cariche

inorganiche può, in alcuni casi, indurre anisotropia anche nella matrice e rendere necessaria una

caratterizzazione più complessa.

Le fibre di vetro sono anch’esse isotrope, mentre altre fibre, come quelle di carbonio o

arammidiche, sono di solito trasversalmente isotrope e quindi le proprietà in direzione

perpendicolare all’asse possono essere molto diverse da quelle in direzione longitudinale.

Sfortunatamente, la determinazione sperimentale delle proprietà trasversali delle fibre è di fatto

molto difficile, per cui i dati reperibili in letteratura non sono sempre attendibili.

Anche nel caso più semplice di costituenti isotropi, tuttavia, il numero di costanti elastiche

indipendenti necessarie per caratterizzare un composito unidirezionale dipenderà

dall’impaccamento delle fibre (vedi paragrafo precedente).


23

I modelli più semplici fanno uso di analogie meccaniche (molle) o elettriche (resistenze) come

illustrato nella figura seguente.

La risposta longitudinale viene trattata come se tutti i componenti reagissero in parallelo alla

sollecitazione applicata. Per una sollecitazione meccanica, ad esempio, l’assunzione si traduce nel

considerare tutti i componenti soggetti alla stessa deformazione. Si ottiene così:

P v PL i L ii

n

==∑

1

dove vi indica la frazione in volume del componente i-esimo e P la proprietà considerata.


24

Se il valore della proprietà per una fase (ad esempio le fibre) è molto maggiore di quelle delle altre

fasi, con questa regola di “miscela” essa diventa il contributo dominante rendendo gli altri

trascurabili.

La risposta trasversale viene invece analizzata come se i componenti reagissero in serie. Per una

sollecitazione meccanica, quindi, tutti i componenti saranno soggetti allo stesso sforzo. Si ottiene

così:

1

1P

v

PT i

ni

T i

==∑

In questo caso è la proprietà di valore minore a diventare dominante rispetto alle altre. Ad esempio,

il modulo in direzione trasversale di un composito unidirezionale è dominato dal contributo della

matrice.

I modelli basati su “analogie” di tipo meccanico o elettrico forniscono previsioni in eccellente

accordo con i dati sperimentali per le proprietà longitudinali, mentre quelle in direzione trasversale

e i moduli a taglio sono di solito sottostimati (valori sperimentali più elevati).

Il principale limite di questi modelli risiede nella grossolana approssimazione dello stato di sforzo e

deformazione all’interno del materiale, che viene assunto uniforme. L’onere computazionale

richiesto da modelli analitici più accurati, tuttavia, ha incoraggiato l’introduzione di modelli semi-

empirici, tra cui quello di Halpin-Tsai è il più utilizzato.

I modelli semplificati finora esaminati non sono modelli microstrutturali in senso stretto, in quanto

l’ipotesi di combinare tra loro gli sforzi e le deformazioni “medie”prescinde dalla struttura delle

diverse fasi.

Gli stessi risultati, infatti, si sarebbero potuti ottenere considerando un ipotetico composito in cuitutte le fibre siano raggruppate in una striscia di volume V·vf e collegate in parallelo con una

striscia di sola matrice di volume pari a V·vm. come mostrato nella figura seguente.


25

Ciò nonostante, i valori previsti per le proprietà in senso longitudinale sono in buon accordo con i

dati sperimentali e questi semplici modelli sono quindi in grado di prevedere con buonaapprossimazione EL, νLT, αL e buona parte delle proprietà di trasporto delle lamine

unidirezionali a fibre continue.

Un sommario delle relazioni da utilizzare per prevedere le diverse proprietà è riportato nella tabella

seguente, in cui le proprietà delle fibre compaiono esplicitamente con un indice numerico per

sottolineare come queste possano a loro volta essere materiali anisotropi (ad esempio, fibre di

carbonio o arammidiche).

PROPRIETA’ FORMULA

Modulo longitudinale, E1 vf E1f + vm Em

Coefficiente di Poisson longitudinale, n12

vf ν12f + vm νm

Coefficiente di espansione termicalongitudinale, a1

(vf α1f E1f + vm αm Em) / E1

Proprietà di trasporto longitudinali, q1(conduttività termica, conduttività elettrica,coefficiente di diffusione, ecc.)

vf q1f + vm qm


26

La previsione delle proprietà nelle altre direzioni richiede necessariamente una descrizione più

accurata dello stato di sforzo e deformazione all’interno del materiale associato alla specifica

struttura delle fasi.

Il modello più semplice per la previsione delle proprietà trasversali combina i due modelli finora

esaminati (modello in serie e in parallelo) per tenere conto che la matrice è distribuita in modo

intermittente tra i diversi strati di fibre.

Questa situazione è illustrata schematicamente nella figura seguente per il caso di fibre distribuite a

cella rettangolare.

La porzione tratteggiata (le fibre) e quella ombreggiata (la matrice compresa tra le fibre in direzione

del carico applicato) si combinano in serie tra di loro, mentre la porzione rimanente (la matrice che

separa le colonne di fibre) reagisce in parallelo con le prime due.

Queste tre fasi verrano nel seguito contraddistinte dagli indici “fs” (fibre in serie), “ms” (matrice

in serie) e “mp” (matrice in parallelo). Le frazioni in volume che competono a ciascuna fase

dipenderanno dalla microstruttura del materiale in termini di distanza tra le fibre, diametro delle

fibre e tipo di arrangiamento. Alcuni esempi relativi a semplici casi sono riportati nella figura

seguente.


27

Poiché le fasi “s” sono in parallelo con la fase “p”, il modulo in direzione trasversale, E2, sarà

dato dalla seguente espressione:

E v E v Emp m mp s2 1= + −( ) *

in cui Es* è il modulo “efficace” della regione in cui le fibre e la matrice si combinano in serie, che

può essere calcolato nel modo seguente:

EE E

v E v Esf m

fs m fs f

* =+ −( )1

Combinando le due espressioni precedenti e tenendo conto che vfs = vf (1-vmp) si ottiene:

EE E v v v v v E

v E v E Ef m mp mp f mp f m

mp f f f m2

21

1=

− −( ) +−( ) − −( )


28

Allo scopo di separare l’influenza dei parametri microstrutturali da quella delle proprietà delle fasi

può essere conveniente riarrangiare l’equazione come segue:

E

EE E

E Ev

E E

E Ev

mf m

f mf

f m

f mf

2

1

1

=

+−

+

−−

+

ξξ

ξ

in cui la geometria del rinforzo è stata isolata nel parametro ξ:

ξ =− −

v v

v vmp f

f mp1

Questa quantità, detta “fattore di rinforzo” (reinforcing factor), è utilizzata nel modello come

parametro di “scala” tra la combinazione in serie e quella in parallelo. Infatti:

EE E

v E v Ef m

f m f f2 1

0=+ −( ) =; ξ

E v E v Ef f f m2 1= + −( ) → ∞; ξ

Valori intermedi forniscono previsioni intermedie tra questi due casi limite. L’equazione sopra

ricavata è detta di Halpin-Tsai.

I valori di ξ possono essere calcolati in base al tipo di arrangiamento ed ai parametri della fase

dispersa, come illustrato nella figura della pagina precedente. Si ottiene ad esempio:

cella rettangolare con a=2d e b=d: ξ =1,83

cella quadrata con a=d: ξ =0

cella esagonale con h=1.5d: ξ =0.46

Il fattore di rinforzo è tuttavia di solito trattato come un parametro empirico, che viene di volta in

volta determinato in base a prove sperimentali.


29

Una volta determinato ξ su un sistema composito per una particolare frazione in volume di fibre, è

possibile prevedere la variazione della proprietà di interesse al variare della frazione in volume dirinforzo (a patto che ξ non cambi al cambiare di vf). In alternativa al metodo diretto sperimentale,

è possibile utilizzare alcuni modelli di previsione indiretta del valore di ξ per calcolare le proprietà

meccaniche delle lamine unidirezionali.

Le considerazioni più semplici possono essere fatte riguardo alla direzione longitudinale: in questocaso, infatti, la frazione di matrice interdispersa tra le fibre, vms, è nulla (le fibre sono continue e

di lunghezza illimitata) e quindi il fattore di rinforzo ξ = vmp vf / (1- vf - vmp) tende all’infinito.

Si ricade perciò nel caso del modello in parallelo e questo dimostra che l’equazione di Halpin-Tsai

consente, in base a semplici considerazioni sulla microstruttura del materiale, di prevedere

correttamente le proprietà anche in questa direzione.

Il confronto tra i risultati di simulazioni numeriche e quelli ottenuti con metodi variazionali ha

consentito di individuare alcuni valori del fattore di rinforzo da utilizzare per il calcolo delle

proprietà in direzione trasversale. Tali valori sono elencati nella tabella seguente.

Proprietà’ Trasversali ξξξξ Equazione “esatta”

Modulo a taglio nel piano, GLT 1

Modulo di volume (sforzo piano)kT

0((((*)))) G

kTTm

Tm

Modulo a taglio trasversale, GTT 1((((*)))) k

k GTm

Tm TTm+ 2

Generica proprietà di trasporto,

qT (#)

1

Modulo di trazione trasversale, ET 1((((*))))E

k G E

E k G k GTT TT L

L T TT T TT LT

=+( ) +

44 2ν

Coeff. di Poisson trasversale, ννννTT —ν ν23

212

2= −

−

E

k

E

ET

TLT

T

L

(#): conduttivit termica ed elettrica, coefficienti di diffusione, ecc.

(*): valore approssimato


30

Mentre i valori delle proprietà a taglio possono essere previsti con buona approssimazioneutilizzando i valori del fattore di rinforzo indicati in tabella, si raccomanda di calcolare ET e νT T

in base alle equazioni “esatte” riportate nell’ultima colonna.

I valori approssimati della colonna centrale sono stati ottenuti dalle equazioni suddette assumendoche la matrice polimerica sia vetrosa e abbia comportamento isotropo, per cui GTTm = Gm ,

νLTm = νTTm = νm = 0.33 e kTm = Gm/(1 - 2 νm). Questo caso è riscontrato assai

frequentemente nei materiali compositi più comuni, per cui l’utilizzo dell’equazione di Halpin-Tsai

risulta particolarmente semplice nella maggior parte dei casi pratici.


31

5. Effetto di carichi agenti in direzioni diverse dalle direzioniprincipali del materiale

Anche nel caso del composito più semplice (lamina a fibre continue e unidirezionali) soggetto ad

una sollecitazione semplice (ad es. trazione o compressione monoassiale), gli assi di simmetria del

materiale composito non coincidono necessariamente con gli assi di simmetria del corpo o del

sistema di carico.

E’ quindi necessario disporre di relazioni generali che ci consentano di trasformare gli sforzi e le

deformazioni al variare dell’angolo di rotazione, θ, delle fibre rispetto alla direzione della

sollecitazione.

Queste relazioni possono essere derivate in modo relativamente semplice applicando la condizione

sulle rotazioni rigide del sistema di riferimento già illustrata in precedenza:

[C’] = [T3] [C] [T3]t

Si ottengono le seguenti relazioni (si omette la dimostrazione):


32

1 1 1 2 1

1

4

12

12

1

2 2

2

4

E E G E EX

= + −

+cos sin cos sinθ ν θ θ θ

1 1 1 2 1

1

4

12

12

1

2 2

2

4

E E G E EY

= + −

+sin sin cos cosθ ν θ θ θ

12

2 2 4 1 1

1 2

12

1 12

2 2

12

4 4

G E E E G GXY

= + + −

+ +( )ν θ θ θ θsin cos sin cos

ν ν θ θ θ θXY XEE E E G

= +( ) − + −

12

1

4 4

1 2 12

2 21 1 1sin cos sin cos

in cui “1” e “2” rappresentano gli assi di riferimento del materiale nel piano della lamina e “X” e

“Y” le coordinate di riferimento del sistema di carico (vedi figura). La rotazione del sistema di

carico rispetto agli assi di riferimento del materiale consente di individuare due nuove costanti

ingegneristiche, dette coefficienti di mutua influenza di Lekhnitskii, definite come segue:

η εγi ij

i

ij, = ; η

γεij i

ij

i, =

in cui la prima relazione è valida per τij = τ e tutti gli altri sforzi nulli, mentre la seconda vale per

σi = σ sempre in assenza di altre componeneti di sforzo.

Il primo coefficiente caratterizza dunque la deformazione estensionale in direzione “i” che ha luogo

per effetto di uno sforzo di taglio nel piano “ij”, mentre il secondo coefficiente caratterizza la

deformazione a taglio nel piano “ij” generata da uno sforzo normale agente nella direzione “i”.

Il coefficiente del second’ordine nij,i può essere calcolato, note le costanti ingegneristiche,

utilizzando una delle due equazioni seguenti:

η ν θ θ ν θ θXY X XEE E G E E G, sin cos sin cos= + −

− + −

2 2 1 2 2 1

1

12

1 12

3

2

12

1 12

3

η ν θ θ ν θ θXY Y YEE E G E E G, sin cos sin cos= + −

− + −

2 2 1 2 2 1

1

12

1 12

3

2

12

1 12

3


33

Un’implicazione importante della presenza di questi coefficienti è che prove di trazione

monoassiale effettuate in direzioni diverse dalle direzioni principali del materiale produrranno una

“distorsione” a taglio del materiale oltre all’estensione assiale, come illustrato nella figura

seguente.


34

6. Sequenze di laminazione

I compositi strutturali vengono solitamente ottenuti per sovrapposizione di strati sottili di fibre di

rinforzo continue, unidirezionali o tessute, impregnate di resina (lamine) e disposte in direzioni

opportune, fino al raggiungimento dello spessore finale desiderato. Questa operazione viene detta

“laminazione”.

La sequenza di laminazione (cioé l’ordine di successione dell’orientazione delle diverse lamine

lungo lo spessore del laminato) viene stabilita in fase di progettazione del componente ed è

caratterizzata da un codice di laminazione (laminate orientation code). Assegnato un asse

di riferimento sul laminato (asse x), ogni lamina viene identificata con un numero che rappresenta

l’angolo tra la direzione delle fibre e l’asse x (in caso di tessuti si fa riferimento alla direzione

dell’ordito). L’orientazione delle lamine viene elencata in sequenza a partire dalla prima lamina

deposta, utilizzando una barra come elemento di separazione se gli angoli sono differenti. Per

delimitare l’inizio e la fine del codice si utilizzano le parentesi quadre.

[30/0/90]

Se due o più strati adiacenti sono orientati con lo stesso angolo, si può evitare la ripetizione del

numero utilizzando un indice.

[90/03/90]


35

Per angoli di valore uguale ma segno opposto si utilizzano i simboli “+” e “-”, che non devono

quindi essere accorpati con l’uso degli indici.

[0/+45/-45/90] oppure [0/±45/90]

Allo scopo di limitare la distorsione dei componenti dovuta sia alla contrazione termica a seguito

del ciclo di consolidamento che all’applicazione di carichi esterni (fenomeno di “accoppiamento”

delle deformazioni) è frequente il ricorso a sequenze di laminazione simmetriche rispetto al

piano di mezzeria del laminato. In questo caso è necessario specificare soltanto metà della

sequenza di impilamento degli strati. I laminati simmetrici sono identificati dal suffisso “S”

applicato alla parentesi quadra.

[90/02/30] S

Se il numero degli strati è dispari la lamina centrale, elencata per ultima nella sequenza, viene

soprassegnata ad indicare che si trova centrata sul piano di simmetria.

[90/02/30/0] S


36

Sequenze ripetitive possono essere indicate in modo sintetico facendo uso di parentesi tonde e

utilizzando un indice per quantificare il numero di ripetizioni.

[45/0/90/45/0/90/45/0/90] S ---> [45/0/90)3] S oppure [45/0/90] 3S

Infine, se il laminato è ibrido (cioé costituito da lamine di natura diversa, contenenti ad esempio

fibre di carbonio o fibre arammidiche) il codice standard viene parzialmente modificato in modo da

contenere anche l’indicazione della natura delle fibre.

[02G/45Gr/90Gr] S ; [03B/±45Gr/902Gr] S

in cui G indica il vetro (glass), Gr il carbonio (graphite) e B il boro (boron).

La quantità di fibre da disporre in una determinata direzione viene stabilita in base alle

sollecitazioni di esercizio del componente, ma la sequenza di laminazione viene assegnata in modo

da ridurre o eliminare i problemi di accoppiamento tra le deformazioni , per prevenire la

distorsione del laminato per effetto degli sforzi termici residui o dei carichi esterni applicati.

Questo effetto può essere descritto schematicamente in base a semplici considerazioni qualitative.

Consideriamo ad esempio una piastra rettangolare di materiale soggetta a forze di trazione

contenute nel piano.

Se il materiale è omogeneo ed isotropo (ad esempio un metallo o un vetro) la piastra si allungherà

in direzione della forza applicata e si contrarrà nelle due direzioni ortogonali (effetto “Poisson”).

La stessa piastra costituita da una sequenza di strati di fibre disposti ad angoli diversi potrà subire,

in generale, tutte le deformazioni seguenti:

- allungamento in direzione del carico e contrazione in direzione trasversale;

- deformazione di taglio;

- deformazione di flessione;

- deformazione di torsione.

La particolare combinazione (accoppiamento) di queste deformazioni dipenderà dalla sequenza di

laminazione degli strati.

Se non esiste accoppiamento tra due modi di deformazione, cioé se ciascun modo ha luogo

indipendentemente dall’altro, la sequenza di laminazione si dice bilanciata (rispetto a quel

particolare tipo di deformazione).

Per i laminati sottili comunemente impiegati nella realizzazione di compsiti strutturali esistono tre

tipi fondamentali di accoppiamento:


37

a) deformazioni nel piano e deformazioni flessionali (cioé sforzi di tipo membranale

provocano deformazioni di flessione e viceversa);

b) deformazioni normali e di taglio nel piano;

c) deformazioni flessionali e torsionali (cioé la flessione provoca una torsione e viceversa).

Nel linguaggio comune, una sequenza di laminazione di dice bilanciata se non presenta

accoppiamento di tipo (a).

Consideriamo ad esempio i due laminati seguenti:

1) [±30/02/±30]

2) [±30/0]S

Durante il raffreddamento al termine del ciclo di consolidamento gli strati di entrambi i laminati si

contrarranno della stessa quantità in direzione delle fibre: se trascuriamo in prima approssimazione

la contrazione termica trasversale, questo effetto produrrà uno stato di sollecitazione complesso,

ma contenuto nel piano di laminazione (stato di sforzo piano). Considerando i momenti delle forze

rispetto al piano di simmetria, tuttavia, solo il laminato simmetrico presenterà momenti uguali e

contrari nei diversi strati al di sopra e al di sotto di tale piano, e quindi deformazione flessionale

nulla.

Con sequenze di laminazione non simmetriche risulta quindi impossibile ottenere lastre piane.

Per esemplificare l’accoppiamento di tipo (b), consideriamo un laminato tutto costituito da fibre

orientate a 30° rispetto ad un asse “x” di riferimento. Questo laminato non presenta accoppiamento

di tipo (a), ma, qualora soggetto a forze normali contenute nel piano e dirette secondo “x” subirà

una deformazione a taglio (vedi figura al Par. precedente).

L’accoppiamento di tipo (c) è più difficile da rappresentare in modo intuitivo, ma si può assumere

che il contributo alla torsione di ciascuno strato dipenda dalla sua distanza dal piano di simmetria

elevata al cubo (h3).

Consideriamo ad esempio il seguente laminato:

[±45]2S

Questo laminato, se inflesso, va soggetto ad una torsione rilevante, con contributo maggiore da

parte degli strati più esterni. Per contrastare questo effetto è conveniente spostare gli strati a -45°

verso l’esterno, cambiando la sequenza di laminazione:

[+45/(-45)2/+45]S


38

Si ottiene in questo modo un dimezzamento della deformazione di torsione a pari flessione rispetto

al caso precedente. Questo risultato può essere ulteriormente migliorato aumentando artificialmente

la distanza degli strati più esterni dal piano di simmetria, ad esempio introducendo strati a 0°:

[+45/(-45)2/0/+45/0] S

Quest’ultimo laminato presenta accoppiamento di tipo (c) del tutto trascurabile.

In conclusione, l’effetto predominante degli strati più esterni è stato compensato variando il

numero degli strati interni antagonisti ed aumentando la loro distanza dal piano di simmetria. Un

metodo alternativo consiste nell’utilizzare lamine di spessore diverso.

Va infine osservato che nessuno dei laminati considerati in quest’ultimo caso presenta

accoppiamento di tipo (a) o (b).


39

7. Cenni di teoria della laminazione

Le proprietà elastiche dei laminati dipendono strettamente sia dalle proprietà elastiche delle lamine

che li costituiscono che dall’orientazione delle singole lamine attraverso lo spessore. Queste due

informazioni costituiscono la condizione per l’applicazione della cosiddetta “teoria della

laminazione”. Le ipotesi alla base di questa teoria sono alquanto restrittive, ma possono ritenersi

valide nelle normali condizioni d’impiego per laminati realizzati a regola d’arte, almeno finché le

sollecitazioni applicate sono entità tale da non provocare un danneggiamento del materiale. Esse

sono:

a) perfetta adesione tra le lamine;

b) interfaccia tra le lamine di spessore infintesimo;

c) lastra sottile.

In queste ipotesi, un composito laminato simmetrico (vedi Par. precedente) soggetto, ad esempio,

ad una forza di trazione contenuta nel suo piano e diretta secondo un asse “x” si deformerà come

se fosse un materiale omogeneo in virtù della condizione di perfetta adesione tra le lamine, che

implica la continuità degli spostamenti attraverso lo spessore. La sua rigidezza “equivalente”,

tuttavia, sarà una combinazione delle proprietà elastiche possedute dalle singole lamine di cui è

costituito nella particolare direzione “x” in esame.

Ad esempio, un ipotetico laminato [0/90]s sollecitato in direzione x = 0° mostrerà un modulo E0 >

Ex > E90 . Inoltre, sempre nell’ipotesi di perfetta adesione tra le lamine e quindi di deformazione

omogenea del laminato, lo sforzo che si genera nelle diverse lamine potrà essere anche molto

diverso, dando luogo a forti discontinuità sulle interfacce. Se il laminato non fosse simmetrico (adesempio [0/90]

2) questa differenza di sforzo nelle diverse lamine provocherebbe una sua

distorsione fuori dal piano per il fenomeno dell’accoppiamento delle deformazioni già accennato

nel Par. precedente.

Almeno da un punto di vista intuitivo, questo effetto può essere facilmente compreso

immaginando di deformare separatamente le lamine a 0° e quelle a 90°, in modo da portarle alla

stessa defomazione finale (naturalmente facendo uso di sforzi diversi ...). Se, sempre

mantenendole deformate, si immagina poi di incollarle tra di loro e di rimuovere le forze applicate,

è facile concludere che il laminato andrà soggetto a una distorsione a causa del diverso modulo

delle lamine. Questo effetto, oltre ai già citati problemi di espansione termica differenziale che il

laminato può subire durante il processo di produzione, fa sì che la maggior parte dei laminati di

uso industriale presenti sequenze di laminazione simmetriche.


40

A titolo di esempio, si consideri il seguente laminato simmetrico:

[0/90/0] S

Supponendo che tutti gli strati abbiano lo stesso spessore, il rapporto tra lo spessore totale degli

strati a 0° e quello degli strati a 90° sarà dunque 3/2. Questo rapporto, in generale, può anche

essere visto come il rapporto tra le frazioni in volume, v i, dei singoli strati rispetto al volume

totale del laminato, v0/v90 = 3/2.

Il laminato in esame è un solido ortotropo, in quanto evidentemente presenta tre direzioni di

simmetria mutuamente ortogonali, coincidenti con le direzioni 0° e 90° e con la normale al piano del

laminato. Il suo comportamernto meccanico è dunque completamente caratterizzato dalla seguente

matrice delle costanti elastiche (vedi Par. 2):

C

C C C

C C C

C C C

C

C

C

[ ] =

11 12 13

12 22 23

13 23 33

44

55

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

che, per il caso in esame di sollecitazione contenuta nel piano del laminato si riduce ulteriormente:

C

C C

C C

C

[ ] =

11 12

12 22

66

0

0

0 0

Ciascuna costante elastica del laminato può essere calcolata sommando le costanti elastiche delle

singole lamine (Cij0 ; Cij90) nel modo seguente:

Cij = v0 Cij0 + v90 Cij90 = 3/5 Cij0 + 2/5 Cij90

in stretta analogia con il modello in parallelo utilizzato per prevedere le proprietà longitudinali (E1,ν12, ecc.) delle singole lamine unidirezionali, che si basa anch’esso sull’ipotesi di uguale

deformazione delle fasi (vedi Par. 4).


41

Esplicitando l’equazione precedente per ciascuna componente del tensore si ottiene quindi:

C11 = 3/5 C11 + 2/5 C22

C12 = 3/5 C12 + 2/5 C12 = C12

C22 = 3/5 C22 + 2/5 C11

C66 = 3/5 C66 + 2/5 C66 = C66

in cui le quantità in grassetto indicano le costanti del laminato.

Sequenze di laminazione simmetriche più complesse possono essere trattate in modo analogo

generalizzando l’equazione precedente come segue:

C vij ij k kk

N

C= [ ]=

∑1

Sequenze di laminazione non simmetriche richiedono invece una trattazione specifica, in quanto è

necessario in questo caso tenere conto anche dei fenomeni di accoppiamento delle deformazioni.


42

8. Bibliografia

• “Concise encyclopedia of Composite Materials” A. Kelly Ed., Pergamon Press (1994)

• D. Hull “An introduction to composite materials” Cambridge University Press (1981)

• N. L. Hancox and R. M. Mayer “Design data for reinforced plastics: a guide for engineersand designers” Chapman & Hall (1994)

• “Advanced composite materials: products and manufacturers” D. J. De Renzo Ed., NDC,Park Ridge (1988)

• “Advanced aerospace materials” H. Buhl ed., Springer-Verlag (1992)

• J. Aboudi “Mechanics of composite materials: a unified micromechanical approach”Elsevier (1991)

• M. Daniel & O. Ishai “Engineering mechanics of composite materials” Oxford UniversityPress (1994)

• B. D. Agarwal & L. J. Broutman “Analysis and performance of fiber composites” Wiley-Interscience (1990)

• P. C. Powell “Engineering with fibre-polymer laminates” Chapman & Hall (1994)

• R. M. Jones “Mechanics of composite materials” Hemisphere (1975)

• “Delaware composites design encyclopedia - Vol.2: Micromechanical material modeling” J.M.Withney & R.L. McCullough Eds., Technomic (1990)

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