complemento ortogonal
TRANSCRIPT
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 1/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)
V e.v. con producto interno ,
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 2/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)
V e.v. con producto interno , S ⊂ V subconjunto cualquiera
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 3/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)
V e.v. con producto interno , S ⊂ V subconjunto cualquiera
llamamos complemento ortogonal de S al conjunto
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 4/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)
V e.v. con producto interno , S ⊂ V subconjunto cualquiera
llamamos complemento ortogonal de S al conjunto
S ⊥ =
{v
∈V : v
⊥s
∀s
∈S
}
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 5/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usual
l l i d d ió l
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 6/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1, 1, 1)}
l t t l i d d ió t l
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 7/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1, 1, 1)}
S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 8/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V =R
3
con producto interno usualS = {(1, 1, 1)}
S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}=
{(x , y , z ) :
(x , y , z ), (1, 1, 1)
= 0
}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 9/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usual
S = {(1, 1, 1)}
S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}= {(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 1, 1) = 0}= {(x , y , z ) : x + y + z = 0}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 10/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usual
S = {(1, 1, 1)}S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}
= {(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 1, 1) = 0}=
{(x , y , z ) : x + y + z = 0
}= {(x , y ,−x − y ) : x , y ∈ R}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 11/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usual
S = {(1, 1, 1)}S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}
= {(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 1, 1) = 0}=
{(x , y , z ) : x + y + z = 0
}= {(x , y ,−x − y ) : x , y ∈ R}= {x (1, 0,−1) + y (0, 1,−1) : x , y ∈ R}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 12/100
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usual
S = {(1, 1, 1)}S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}
= {(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 1, 1) = 0}= {(x , y , z ) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y ) : x , y ∈ R}= {x (1, 0,−1) + y (0, 1,−1) : x , y ∈ R}
S ⊥ = [(1, 0,−1), (0, 1,−1)]
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 13/100
p g p p p y g
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C 0[0, 1] con el producto f ,g =
10 f (t )g (t )dt
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 14/100
p g p p p y g
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C 0[0, 1] con el producto f ,g =
10 f (t )g (t )dt S = {1} donde 1(t ) ≡ 1 para todo t
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 15/100
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C 0[0, 1] con el producto f ,g = 1
0 f (t )g (t )dt S = {1} donde 1(t ) ≡ 1 para todo t
S ⊥ = {g : 1,g = 0}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 16/100
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C 0[0, 1] con el producto f ,g = 1
0 f (t )g (t )dt S = {1} donde 1(t ) ≡ 1 para todo t
S ⊥ = {g : 1, g = 0}
= {g : 1
0 g (t ) dt = 0}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 17/100
complemento ortogonal es subespacio
complemento ortogonal es subespacio
proposiciónV e.v. con producto interno
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 18/100
complemento ortogonal es subespacio
complemento ortogonal es subespacio
proposiciónV e.v. con producto interno
S ⊂ V subconjunto cualquiera
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 19/100
complemento ortogonal es subespacio
complemento ortogonal es subespacio
proposiciónV e.v. con producto interno
S ⊂ V subconjunto cualquiera
⇒ S ⊥ subespacio vectorial de V
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 20/100
complemento ortogonal es subespacio
demostración
0 ∈ S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 21/100
complemento ortogonal es subespacio
demostración
0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 22/100
complemento ortogonal es subespacio
demostración
0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 23/100
complemento ortogonal es subespacio
demostración
0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √
tomamos v ,w
∈S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 24/100
complemento ortogonal es subespacio
demostración
0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √
tomamos v ,w
∈S ⊥
queremos ver que αv + β w ∈ S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 25/100
complemento ortogonal es subespacio
demostración
0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √
tomamos v ,w
∈S ⊥
queremos ver que αv + β w ∈ S ⊥
ahora, para cada s ∈ S
αv + β w , s =
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 26/100
complemento ortogonal es subespacio
demostración
0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √
tomamos v ,w ∈ S ⊥
queremos ver que αv + β w ∈ S ⊥
ahora, para cada s ∈ S
αv + β w , s =α
v , s
+ β
w , s
=
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 27/100
complemento ortogonal es subespacio
demostración
0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √
tomamos v ,w ∈ S ⊥
queremos ver que αv + β w ∈ S ⊥
ahora, para cada s ∈ S
αv + β w , s =α
v , s
+ β
w , s
=
α.0 + β.0 = 0
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 28/100
complemento ortogonal es subespacio
demostración
0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √
tomamos v ,w ∈ S ⊥
queremos ver que αv + β w ∈ S ⊥
ahora, para cada s ∈ S
αv + β w , s =α
v , s
+ β
w , s
=
α.0 + β.0 = 0
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 29/100
proposición
proposición
proposición
V e.v. con producto interno
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 30/100
proposición
proposición
proposición
V e.v. con producto interno
S ⊂ V subespacio vectorial
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 31/100
proposición
proposición
proposición
V e.v. con producto interno
S ⊂ V subespacio vectorial
B = {s 1, . . . , s k } base de S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 32/100
proposición
proposición
proposición
V e.v. con producto interno
S ⊂ V subespacio vectorialB = {s 1, . . . , s k } base de S
entonces
v ∈ S
⊥
⇔ v ⊥s i ∀i = 1, . . . , k
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
i ió
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 33/100
proposición
demostración
⇒) obvio
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
i ió
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 34/100
proposición
demostración
⇒) obvio√
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 35/100
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v
⊥s i para todo i = 1, . . . ,k
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 36/100
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v
⊥s i para todo i = 1, . . . ,k
⇒ para todo s ∈ S tenemos:
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 37/100
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v
⊥s i para todo i = 1, . . . ,k
⇒ para todo s ∈ S tenemos:s = α1s 1 + · · · + αk s k
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 38/100
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v
⊥s i para todo i = 1, . . . ,k
⇒ para todo s ∈ S tenemos:s = α1s 1 + · · · + αk s k
v , s =
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 39/100
p opos c ó
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v
⊥s i para todo i = 1, . . . ,k
⇒ para todo s ∈ S tenemos:s = α1s 1 + · · · + αk s k
v , s = v , α1s 1 + . . . αk s k
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 40/100
p p
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v
⊥s i para todo i = 1, . . . ,k
⇒ para todo s ∈ S tenemos:s = α1s 1 + · · · + αk s k
v , s = v , α1s 1 + . . . αk s k = α1v , s 1 + · · · + αk v , s k
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 41/100
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v
⊥s i para todo i = 1, . . . ,k
⇒ para todo s ∈ S tenemos:s = α1s 1 + · · · + αk s k
v , s = v , α1s 1 + . . . αk s k = α1v , s 1 + · · · + αk v , s k = 0
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 42/100
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v
⊥s i para todo i = 1, . . . ,k
⇒ para todo s ∈ S tenemos:s = α1s 1 + · · · + αk s k
v , s = v , α1s 1 + . . . αk s k = α1v , s 1 + · · · + αk v , s k = 0
⇒ v ∈ S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 43/100
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v ⊥s i para todo i = 1, . . . ,k
⇒ para todo s ∈ S tenemos:s = α1s 1 + · · · + αk s k
v , s = v , α1s 1 + . . . αk s k = α1v , s 1 + · · · + αk v , s k = 0
⇒ v ∈ S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 44/100
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usual
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 45/100
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usual
S = {(x , y , z ) : x + y + z = 0} (subespacio)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 46/100
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usual
S = {(x , y , z ) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} base de S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 47/100
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usual
S = {(x , y , z ) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} base de S
S ⊥=
{(x , y , z ) :
(x , y , z ), (1, 0,
−1)
=
(x , y , z ), (0, 1,
−1)
= 0
}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 48/100
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usual
S ={
(x , y , z ) : x + y + z = 0}
(subespacio)
B = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} base de S
S ⊥={(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 0,−1) = (x , y , z ), (0, 1,−1) = 0}={(x , y , z ) : x − z = 0 y y − z = 0}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 49/100
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usual
S =
{(x , y , z ) : x + y + z = 0
}(subespacio)
B = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} base de S
S ⊥={(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 0,−1) = (x , y , z ), (0, 1,−1) = 0}=
{(x , y , z ) : x
−z = 0 y y
−z = 0
}={(z , z , z ) : z ∈ R}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 50/100
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usual
S =
{(x , y , z ) : x + y + z = 0
}(subespacio)
B = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} base de S
S ⊥={(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 0,−1) = (x , y , z ), (0, 1,−1) = 0}=
{(x , y , z ) : x
−z = 0 y y
−z = 0
}={(z , z , z ) : z ∈ R}S ⊥=[(1, 1, 1)]
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 51/100
proposición
proposición
V e.v. con producto interno
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
i ió
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 52/100
proposición
proposición
V e.v. con producto interno
S ⊂ V s.e.v. de dimensión finita
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
i ió
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 53/100
proposición
proposición
V e.v. con producto interno
S ⊂ V s.e.v. de dimensión finita
⇒ V = S ⊕ S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
d t ió
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 54/100
demostración
Vamos a probar:1 V = S + S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
d t ió
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 55/100
demostración
Vamos a probar:1 V = S + S ⊥
2 S ∩ S ⊥ = { 0}
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 56/100
demostración
Vamos a probar:1 V = S + S ⊥
2 S ∩ S ⊥ = { 0}empezamos por
1 V = S + S ⊥:
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 57/100
demostración
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 58/100
demostración
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 59/100
demostración
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 60/100
demostración
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S queremos probar que v
−v S
∈S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 61/100
demostración
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S queremos probar que v
−v S
∈S ⊥
porque entonces tenemos que:
v = v S + v − v S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 62/100
demostración
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S queremos probar que v
−v S
∈S ⊥
porque entonces tenemos que:
v = v S + v − v S ↑ ↑
∈ S ∈ S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 63/100
demostración
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S queremos probar que v
−v S
∈S ⊥
porque entonces tenemos que:
v = v S + v − v S ↑ ↑
∈ S ∈ S ⊥
y eso probaría que V = S + S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 64/100
demostración
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S porque entonces tenemos que:
v = v S + v − v S ↑ ↑
∈ S ∈ S ⊥
y eso probaría que V = S + S ⊥
veamos entonces que v − v S ⊥S :
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 65/100
demostración
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v
−v S
⊥S :
v − v S , s j =v −k
i =1v , s i , s j
(def. v S )
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 66/100
demostración
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v
−v S
⊥S :
v − v S , s j =v −k
i =1v , s i , s j
(def. v S )
= v , s j −k i =1v , s i s i , s j (linealidad)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 67/100
de ost ac ó
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v
−v S
⊥S :
v − v S , s j =v −k
i =1v , s i , s j
(def. v S )
= v , s j −k i =1v , s i s i , s j (linealidad)
= v , s j − v , s j (s i , s j = δ ij )
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 68/100
empezamos por1 V = S + S ⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v
−v S
⊥S :
v − v S , s j =v −k
i =1v , s i , s j
(def. v S )
= v , s j −k i =1v , s i s i , s j (linealidad)
= v , s j − v , s j = 0
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 69/100
empezamos por1 V = S + S ⊥:
{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v − v S ⊥S :
v − v S , s j =v −k
i =1v , s i , s j (def. v S )= v , s j −k
i =1v , s i s i , s j (linealidad)= v , s j − v , s j = 0
2 S ∩ S ⊥
= { 0}:supongamos v ∈ S ∩ S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 70/100
empezamos por1 V = S + S ⊥:
{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v − v S ⊥S :
v − v S , s j =v −k
i =1v , s i , s j (def. v S )= v , s j −k
i =1v , s i s i , s j (linealidad)= v , s j − v , s j = 0
2 S ∩ S ⊥
= { 0}:supongamos v ∈ S ∩ S ⊥
⇒ v ⊥s para todo s ∈ S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 71/100
empezamos por1 V = S + S ⊥:
{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v − v S ⊥S :
v − v S , s j =v −k
i =1v , s i , s j (def. v S )= v , s j −k
i =1v , s i s i , s j (linealidad)= v , s j − v , s j = 0
2 S ∩ S ⊥
= { 0}:supongamos v ∈ S ∩ S ⊥
⇒ v ⊥s para todo s ∈ S también para s = v
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 72/100
empezamos por1 V = S + S ⊥:
{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v − v S ⊥S :
v − v S , s j =v −k
i =1v , s i , s j (def. v S )= v , s j −k
i =1v , s i s i , s j (linealidad)= v , s j − v , s j = 0
2 S ∩ S ⊥
= { 0}:supongamos v ∈ S ∩ S ⊥
⇒ v ⊥s para todo s ∈ S también para s = v ⇒ v ⊥v
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 73/100
empezamos por1 V = S + S ⊥:
{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v − v S ⊥S :
v − v S , s j =v −k
i =1v , s i , s j (def. v S )= v , s j −k
i =1v , s i s i , s j (linealidad)= v , s j − v , s j = 0
2 S ∩ S ⊥
= { 0}:supongamos v ∈ S ∩ S ⊥
⇒ v ⊥s para todo s ∈ S también para s = v ⇒ v ⊥v
⇒v = 0
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 74/100
empezamos por1 V = S + S ⊥:
{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:
v S =k
i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v − v S ⊥S :
v − v S , s j =v −k
i =1v , s i , s j (def. v S )= v , s j −k
i =1v , s i s i , s j (linealidad)= v , s j − v , s j = 0
2 S ∩ S ⊥
= { 0}:supongamos v ∈ S ∩ S ⊥
⇒ v ⊥s para todo s ∈ S también para s = v ⇒ v ⊥v
⇒v = 0
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 75/100
observación
V e.v. con producto interno
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 76/100
observación
V e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 77/100
observación
V e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
⇒ (S ⊥)⊥ = S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 78/100
observación
V e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
⇒ (S ⊥)⊥ = S
(ejercicio)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 79/100
V e.v. con producto interno.
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 80/100
V e.v. con producto interno.
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 81/100
V e.v. con producto interno.
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 82/100
V e.v. con producto interno.
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 83/100
V e.v. con producto interno.
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :P S (v ) := v S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 84/100
V e.v. con producto interno.
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :P S (v ) := v S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 85/100
V e.v. con producto interno.
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :P S (v ) := v S
dimV < ∞
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 86/100
V e.v. con producto interno.
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :P S (v ) := v S
dimV < ∞B = {s 1, . . . , s k } base de S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 87/100
V e.v. con producto interno.
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥
⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :P S (v ) := v S
dimV < ∞B = {s 1, . . . , s k } base de S
⇒ P S (v ) =k
i =1v , s i s i
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
observaciones
observación
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 88/100
1 P S (v ) no depende de la base B
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
observaciones
observación
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 89/100
1 P S (v ) no depende de la base B
2
V = S ⊕ S ⊥
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
observaciones
observación
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 90/100
1 P S (v ) no depende de la base B
2
V = S ⊕ S
⊥
⇒ v = P S (v ) + P S ⊥(v )
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 91/100
teorema
V e.v. con producto interno
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 92/100
teorema
V e.v. con producto interno
S s.e.v. de dimensión finita
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 93/100
teorema
V e.v. con producto interno
S s.e.v. de dimensión finita
⇒ ∀s ∈ S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 94/100
teorema
V e.v. con producto interno
S s.e.v. de dimensión finita
⇒ ∀s ∈ S
v
−P S (v )
≤ v
−s
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 95/100
v − s 2 = v − s , v − s
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 96/100
v − s 2 = v − s , v − s =
P S (v ) + P S ⊥(v )
−s ,P S (v ) + P S ⊥(v )
−s
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 97/100
v − s 2 = v − s , v − s =
P S (v ) + P S ⊥(v )
−s ,P S (v ) + P S ⊥(v )
−s = P S (v ) − s ,P S (v ) − s + 2P S (v ) − s ,P S ⊥(v )+
+ P S ⊥(v ),P S ⊥(v )
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 98/100
v − s 2 = v − s , v − s =
P S (v ) + P S ⊥(v )
−s ,P S (v ) + P S ⊥(v )
−s
= P S (v ) − s ,P S (v ) − s + 2P S (v ) − s ,P S ⊥(v )++ P S ⊥(v ),P S ⊥(v )= P S (v ) − s 2 + P S ⊥(v )2
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 99/100
v − s 2 = v − s , v − s =
P S (v ) + P S ⊥(v )
−s ,P S (v ) + P S ⊥(v )
−s
= P S (v ) − s ,P S (v ) − s + 2P S (v ) − s ,P S ⊥(v )++ P S ⊥(v ),P S ⊥(v )= P S (v ) − s 2 + P S ⊥(v )2
⇒ se alcanza el mínimo en s = P S (v ) ∈ S
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
7/16/2019 Complemento ortogonal
http://slidepdf.com/reader/full/complemento-ortogonal 100/100
v − s 2 = v − s , v − s =
P S (v ) + P S ⊥(v )
−s ,P S (v ) + P S ⊥(v )
−s
= P S (v ) − s ,P S (v ) − s + 2P S (v ) − s ,P S ⊥(v )++ P S ⊥(v ),P S ⊥(v )= P S (v ) − s 2 + P S ⊥(v )2
⇒ se alcanza el mínimo en s = P S (v ) ∈ S