complemento ortogonal. proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal...

complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal

Complemento ortogonal. Proyección ortogonal

Jana Rodriguez HertzGAL2

IMERL

7 de setiembre de 2010


definición

complemento ortogonal

definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉

S ⊂ V subconjunto cualquierallamamos complemento ortogonal de S al conjunto

S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}


definición


definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉S ⊂ V subconjunto cualquiera

llamamos complemento ortogonal de S al conjunto

S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}


definición


definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉S ⊂ V subconjunto cualquierallamamos complemento ortogonal de S al conjunto

S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

V = R3 con producto interno usual

S = {(1,1,1)}

S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}

S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y) : x , y ∈ R}


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y) : x , y ∈ R}= {x(1,0,−1) + y(0,1,−1) : x , y ∈ R}


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y) : x , y ∈ R}= {x(1,0,−1) + y(0,1,−1) : x , y ∈ R}

S⊥ = [(1,0,−1), (0,1,−1)]


ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

V = C0[0,1] con el producto 〈f ,g〉 =∫ 1

0 f (t)g(t) dt

S = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t

S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}


ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2


0 f (t)g(t) dtS = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t

S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}


ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2


0 f (t)g(t) dtS = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t

S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}= {g :

∫ 10 g(t) dt = 0}


complemento ortogonal es subespacio


proposiciónV e.v. con producto interno

S ⊂ V subconjunto cualquiera⇒ S⊥ subespacio vectorial de V




proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subconjunto cualquiera

⇒ S⊥ subespacio vectorial de V




proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subconjunto cualquiera⇒ S⊥ subespacio vectorial de V



demostración

~0 ∈ S⊥

⇒ S⊥ 6= ∅√

tomamos v ,w ∈ S⊥

queremos ver que αv + βw ∈ S⊥

ahora, para cada s ∈ S

〈αv + βw , s〉 =



demostración

~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅

√




〈αv + βw , s〉 =



demostración

~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√




〈αv + βw , s〉 =



demostración

~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√




〈αv + βw , s〉 =α〈v , s〉+ β〈w , s〉 =



demostración

~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√




〈αv + βw , s〉 =α〈v , s〉+ β〈w , s〉 =α.0 + β.0 = 0


proposición

proposición


S ⊂ V subespacio vectorialB = {s1, . . . , sk} base de Sentonces

v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k


proposición

proposición

proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subespacio vectorial

B = {s1, . . . , sk} base de Sentonces

v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k


proposición

proposición

proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subespacio vectorialB = {s1, . . . , sk} base de S

entonces

v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k


proposición

proposición

proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subespacio vectorialB = {s1, . . . , sk} base de Sentonces

v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k


proposición

demostración

⇒) obvio

√

⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:

s = α1s1 + · · ·+ αk sk

〈v , s〉 =

〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉

= 0

⇒ v ∈ S⊥


proposición

demostración

⇒) obvio√


s = α1s1 + · · ·+ αk sk

〈v , s〉 =


= 0

⇒ v ∈ S⊥


proposición

demostración

⇒) obvio√

⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k

⇒ para todo s ∈ S tenemos:

s = α1s1 + · · ·+ αk sk

〈v , s〉 =


= 0

⇒ v ∈ S⊥


proposición

demostración

⇒) obvio√


s = α1s1 + · · ·+ αk sk

〈v , s〉 =


= 0

⇒ v ∈ S⊥


proposición

demostración

⇒) obvio√


s = α1s1 + · · ·+ αk sk

〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉

= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉

= 0

⇒ v ∈ S⊥


proposición

demostración

⇒) obvio√


s = α1s1 + · · ·+ αk sk

〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉

= 0

⇒ v ∈ S⊥


proposición

demostración

⇒) obvio√


s = α1s1 + · · ·+ αk sk

〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉 = 0

⇒ v ∈ S⊥


ejemplo

ejemplo

ejemplo

V = R3 con el producto usual

S = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S

S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}


ejemplo

ejemplo

ejemplo

V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)

B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S

S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}


ejemplo

ejemplo

ejemplo

V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S

S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}


ejemplo

ejemplo

ejemplo


S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}={(x , y , z) : x − z = 0 y y − z = 0}


ejemplo

ejemplo

ejemplo


S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}={(x , y , z) : x − z = 0 y y − z = 0}={(z, z, z) : z ∈ R}


ejemplo

ejemplo

ejemplo


S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}={(x , y , z) : x − z = 0 y y − z = 0}={(z, z, z) : z ∈ R}

S⊥=[(1,1,1)]


proposición

proposición


S ⊂ V s.e.v. de dimensión finita⇒ V = S ⊕ S⊥


proposición

proposición

proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V s.e.v. de dimensión finita

⇒ V = S ⊕ S⊥


proposición

proposición

proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V s.e.v. de dimensión finita⇒ V = S ⊕ S⊥


proposición

demostración

Vamos a probar:1 V = S + S⊥

2 S ∩ S⊥ = {~0}empezamos por

1 V = S + S⊥:

vS =∑k

i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:

〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k

i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉

2 S ∩ S⊥ = {~0}:

supongamos v ∈ S ∩ S⊥

⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0


proposición

demostración

Vamos a probar:1 V = S + S⊥2 S ∩ S⊥ = {~0}

empezamos por1 V = S + S⊥:

vS =∑k


〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración


agarremos un vector v ∈ V cualquiera,

vS =∑k


〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración


agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:

vS =∑k


〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración


agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =

∑ki=1〈v , si〉si ∈ S

veamos entonces que v − vS⊥S:

〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración




queremos probar que v − vS ∈ S⊥


〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración





porque entonces tenemos que:

v = vS + v − vS

↑ ↑∈ S ∈ S⊥


〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración






v = vS + v − vS↑ ↑∈ S ∈ S⊥


〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración






v = vS + v − vS↑ ↑∈ S ∈ S⊥

y eso probaría que V = S + S⊥


〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración





v = vS + v − vS↑ ↑∈ S ∈ S⊥

y eso probaría que V = S + S⊥


〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración





〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración





〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k

i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)

= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉

2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración





〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k

i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 (〈si , sj〉 = δij)

2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración





〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k

i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0

2 S ∩ S⊥ = {~0}:




proposición

demostración


{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =



〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k


2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥



proposición

demostración





〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k



⇒ v⊥s para todo s ∈ S

también para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0


proposición

demostración





〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k



⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v

⇒ v⊥v⇒ v = ~0


proposición

demostración





〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k



⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v

⇒ v = ~0


proposición

demostración





〈v − vS, sj〉 =⟨

v −∑k

i=1〈v , si〉, sj

⟩(def. vS)

= 〈v , sj〉 −∑k





proposición

observación

observaciónV e.v. con producto interno

S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥

⇒ (S⊥)⊥ = S(ejercicio)


proposición

observación

observaciónV e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥



proposición

observación


⇒ (S⊥)⊥ = S

(ejercicio)


proposición

observación




proyección ortogonal


V e.v. con producto interno.

S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥

⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V

definición (proyección ortogonal)

proyección ortogonal de v :PS(v) := vS

dim V <∞B = {s1, . . . , sk} base de S⇒ PS(v) =

∑ki=1〈v , si〉si




V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥

⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V

definición (proyección ortogonal)

proyección ortogonal de v :PS(v) := vS







⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V

definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :

PS(v) := vS







⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V

definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS







⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V


dim V <∞

B = {s1, . . . , sk} base de S⇒ PS(v) =






⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V


dim V <∞B = {s1, . . . , sk} base de S

⇒ PS(v) =∑k

i=1〈v , si〉si





⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V





observaciones

observación

1 PS(v) no depende de la base B

2 V = S ⊕ S⊥

⇒ v = PS(v) + PS⊥(v)


observaciones

observación

1 PS(v) no depende de la base B2 V = S ⊕ S⊥

⇒ v = PS(v) + PS⊥(v)


teorema

teorema

teoremaV e.v. con producto interno

S s.e.v. de dimensión finita⇒ ∀s ∈ S

‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖


teorema

teorema

teoremaV e.v. con producto internoS s.e.v. de dimensión finita

⇒ ∀s ∈ S

‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖


teorema

teorema

teoremaV e.v. con producto internoS s.e.v. de dimensión finita⇒ ∀s ∈ S

‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖


teorema

demostración

‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉

= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2<〈PS(v)− s,PS⊥(v)〉++ 〈PS⊥(v),PS⊥(v)〉= ‖PS(v)− s‖2 + ‖PS⊥(v)‖2

⇒ se alcanza el mínimo en s = PS(v) ∈ S


teorema

demostración

‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉

= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2<〈PS(v)− s,PS⊥(v)〉++ 〈PS⊥(v),PS⊥(v)〉= ‖PS(v)− s‖2 + ‖PS⊥(v)‖2



teorema

demostración

‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2<〈PS(v)− s,PS⊥(v)〉++ 〈PS⊥(v),PS⊥(v)〉

= ‖PS(v)− s‖2 + ‖PS⊥(v)‖2



teorema

demostración

‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2<〈PS(v)− s,PS⊥(v)〉++ 〈PS⊥(v),PS⊥(v)〉= ‖PS(v)− s‖2 + ‖PS⊥(v)‖2


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