com - phanloaitoan 12 - chuong 2-levandoan

5/11/2018 com - PhanLoaiToan 12 - Chuong 2-LeVanDoan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/com-phanloaitoan-12-chuong-2-levandoan 1/82

Phân loi và phng pháp gii toán 12 www.MATHVN.comwww.MATHVN.comwww.MATHVN.comwww.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn

Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit www.mathvn.com - 1 -

HÀM SỐ LŨY THỪ A – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARITChươ ng

Bài 1: LŨY THỪ A – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪ A VỚ I HÀM SỐ THỰ C

1. Kiến thức cơ bản

Gọi a và b là những số thực dươ ng, x và y là những số thực tùy ý

. . .....n a a a a a =

x x

x

a a

b b

=

.x y x y a a a +=

x y x y a a =

1x

x y n

y n

a a a

a a

− −= ⇒ = ( )( )

0

01 1 ,0

u x u x x

x

∀ = ⇒ = ≠

( ) ( ) .y x

x y x y a a a = = .n n n a b ab=

( ). .x

x x a b a b= ( )m

n n m a a =

2. Lư u ý

Nếu 0a < thìx a chỉ xác định khi x ∀ ∈ ℤ .

Nếu 1a > thì a a α β α β > ⇔ > .

Nếu 0 1a < < thì a a α β α β > ⇔ < .

( )n1

lim 1 2,718281828459045...

n

x e

n →∞

= + ∈ ≃ ℕ .

Để so sánh1s

a và 2s b . Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (vớ i n là bội số chung của s1 và s2 ) ⇒ Hai

số so sánh mớ i lần lượ t là An và B

n . Từ đó so sánh A và B ⇒ k ết quả so sánh của

1s a và 2s

b .

Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì ⇒ Số tiền thu đượ c (cả vốn lẫn lãi)

là: ( )1N

C A r = + .

3. Bài tập áp dụng

Bài 1. Vớ i ,a b là các số thực dươ ng. Hãy rút gọn các biểu thức sau:

1/

9 2 6 4

7 7 5 58 : 8 3 .3A = −

2/

( ) ( )

3 1 3 4

03 2

2 .2 5 .5

10 : 10 0, 25B

− −

− −

+=

−

3/ ( )4

2 3

5 45 0,2C

−− = +

4/

1 3

3 50,75 1 1

81125 32

D

− −

− = + −

5/ ( ) ( )

1 2 222

03 3 3

0, 001 2 .64 8 9E

− −

= − − − + 6/

2 3 5 5

2 .8F

−

=

n số a



Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.comwww.MATHVN.comwww.MATHVN.comwww.MATHVN.com Phân loi và phng pháp gii toán 12

- 2 - www.mathvn.com www.mathvn.com www.mathvn.com www.mathvn.com Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit

7/

23 43. 3 : 3G

= 8/

2 7

2 7 1 7

10

2 .5H

+

+ +=

9/ ( ) ( )2

1,530, 04 0,125I

− −

= − 10/ ( )0,75 5

21

0,2516

J

−− = +

11/

( ) ( )40,75 23 1,5

3

5 49 2 6 4 5 3

7 7 5 5 2 4

1 1. 0, 04 0,125

16 8

8 : 8 3 .3 . 5 0,2

K

−−− −

− −

−

+ − =

− +

12/

1 9 1 321 1 4 4 2 22 2

1 5 1 1

4 4 2 2

1 2 : .b b a a b b

L a ba a

a a b b

−

−

− − = − + − − − −

13/

4 1 1 1 13 6 33 3 2 3 6: : . . . :M a a a a a a a a a

= +

14/ ( )3 5

3 2 1 2 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2

2 5 1 5

64 .2 .2 : 25 5 .5

2 .3N

++ − − − + − −

+ +

= + −

15/ 2

3 43. 3 : 3O =

16/ ( )3 32 2 1

6 6 6

3 3 3 332 2 2 22

a b ab a bP a b a

a ab b a b

− − + = − − + − + −

Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau:

1/ 34−

và24−

2/ 32 và

1,72 3/ 22−

và 1 4/ ( )1

0,013−

và 1

5/

1,4

1

2

và

2

1

2

6/

1

9

π và

3,14

1

9

7/

2

1

3

và

3

1

3

8/

3 10 và5 20

9/ 4 5 và 3 7 10/ 17 và 3 28 11/ 4 13 và 5 23 12/ 54 và 74

13/ ( )2

0,01−

và ( )2

10−

14/

2

4

π và

6

4

π 15/

2 35−và

3 25−14/

3005 và3008

15/ ( )3

0,001−

và3 100 16/

24 và ( )2

0,125−

17/ ( )3

2−

và ( )5

2−

18/

4

4

5

−

và

5

5

4

19/ 100,02−

và1150 20/

5

2

2

π và

10

3

2

π 21/

2

3

5

−

và

2

2

2

−

22/ ( )1

43 1− và ( )2

23 1−

Bài 3. So sánh hai số ,m n nếu:

1/ 3, 2m < 3, 2n

2/ ( )2m

> ( )2n

3/ 1

9

m

và1

9

n

4/ 3

2

m

>3

2

n

5/ ( )5 1m

− < ( )5 1n

− 6/ ( )2 1m

− < ( )2 1n

−

Bài 4. Có thể k ết luận gì về cơ số a nếu:

1/

( ) ( )

2 1

3 31 1a a − −

− < − 2/

( ) ( )

3 1

2 1 2 1a a − −

+ > + 3/

0,2

21a

a

− <





4/ ( ) ( )1 1

3 21 1a a − −

− > − 5/ ( ) ( )3

242 2a a − > − 6/

1 1

2 21 1

a a

− >

7/ 3 7a a < 8/

1 1

17 8a a − −

< 9/ 0,25 3a a − −<

Bài 5. Đơ n giản các biểu thức sau:

1/ ( ) ( )3 2

3 7 2 71 . . . 7 .

8 7 14A

= − − − − − 2/

( ) ( )

( ) ( )

2 64

6 42

3 . 15 .8

9 . 5 . 6B

− −=

− −

3/

3 2

2 34 8C = + 4/

23 5

232D

− =

5/ ( ) ( )

( ) ( )

7 34

4 5

18 .2 . 50

25 . 4

E − −

=

− −

6/ ( ) ( )

( )

3 36

42

3

125 . 16 . 2

25 . 5

F − −

=

−

7/ ( )

( ) ( )

23 1 3 4

0 33 2 2

2 .2 5 .5 0, 01

10 : 10 0,25 10 . 0, 01

G

−− −

−− − −

+ −=

− +

8/

1 1 1 1 1

3 3 3 3 34 10 25 2 5H = − + +

9/

435 4

3

4. 64. 2

32I

= 10/

5 5 5

23 5

81. 3. 9. 12

3 . 18. 27. 6

J =

Bài 6. Viết các biểu thức sau vớ i dạng lũy thừa vớ i số mũ hữu tỉ:

1/ ( )4 32. , 0A x x x = ≥ 2/ ( )5 3. , , 0b a

B a ba b

= ≠ 3/ 5 3

2 . 2 2C =

4/ 3 32 3 2

. .3 2 3

D = 5/ 4 3 8E a = 6/

5 2

3

b bF

b b

=

Bài 7. Đơ n giản các biểu thức sau:

1/

1,5 1,50,5 0,5

0,50,5 0,5

0,5 0,5

.2.

a b a bba bA

a b a b

+ −+= +

− +2/

0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

2 2 1.

12 1

a a a B

a a a a

+ − + = − −+ +

3/

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

21 1

2 2

3 3.

2

x y x y x y C

x y x y

+ − − = + − −

4/

1 1 1 1 3 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2.

x y x y x y y D

x y x y xy x y xy x y

− + = + − + − + −

5/

1 2 2 1 2 4

3 3 3 3 3 3.E a b a a a b

= − + + 6/

1 1 1 1 1 1

4 4 4 4 2 2. .F a b a b a b

= − + +





7/

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

2 2 1.

12

a a a G

a a a a

+ − + = − − +

8/ ( )

( )( )

11 2 2 2

2

11

. 12

a b c b c a H a b c

bc a b c

−−

−

−−

+ + + − = + + + − +

9/

3 3

6 6

a bI

a b

−=

−

10/

4

:ab ab b

J ab

a ba ab

− = − − +

11/

442

2

42

a x x a K a x a x

a x ax

+ = − + + + 12/

3 32 2

3 3 3 332 2 2 26

6 6

2

a x ax a x

a x a ax x L x a x

+ −+

− − += −−

13/

3

4 43 3

4 4

1 1

1 1

x x x M

x x x x

x x

− = − + − −

− +

14/

3 3 33 3 2 2 2 23

3 33 32

2:

a a a b a b a b abN a

a ba ab

− + − = +

−−

15/

53 3

2 55 2102 27.

3. 32 2 .32 3

y O y

y

−

+ = + − +

16/

1 1 1 1

3 3 3 3

1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3

8 2

62 4 2

b a a b a bP

a b a a b b− − − − −

− − = + − + +

17/

32

1 123

4 4

3 8 3:

a b a Q a b

b a a b

= + +

18/ ( ) ( )

1

2 21

12

12 1

4

a bR a b ab

b a

− = + + −

Bài 8. Giải các phươ ng trình sau:

1/ 54 1024x = 2/

1

5 2 8.

2 5 125

x + =

3/ 1 3 1

832

x − =

4/ ( )2

2 13 3

9

x x

− =

5/ 2 8 27

.9 27 64

x x − =

6/

2 5 6

31

2

x x − + =

7/ 2 81 0, 25

.320,125 8

x

x

−

− =

8/ 0, 2 0, 008x = 9/

3 7 7 3

9 7

49 3

x x − − =

10/ 5 .2 0, 001x x = 11/ ( ) ( ) 112 36

x x = 12/

1 1 17 .428

x x − − =

Bài 9. Giải các bất phươ ng trình sau:

1/ 0,1 100x > 2/ 310,04

5

x >

3/ 100

0, 39

x >

4/ 27 . 49x +

5/

2

1 19

3 27

x + <

6/ 1

39 3

x <

7/ ( ) 13. 327

x > 8/

1 127 .33

x x − < 9/ 3 12 1

64

x

>






1/ 22 2 20x x ++ = 2/

13 3 12x x ++ = 3/ 15 5 30x x −+ =

4/ 1 14 4 4 84x x x − ++ + = 5/

24 24.4 128 0x x − + = 6/ 1 2 14 2 48x x + ++ =

7/ 3.9 2.9 5 0x x −− + = 8/ 2 5 63 1x x − + = 9/

14 2 24 0x x ++ − =





Bài 2: LOGARIT

1. Kiến thứ c cơ bản

a/ Định ngh ĩ a

Vớ i 0, 1, 0a a b> ≠ > ta có: loga b a bα

α= ⇔ = . Chú ý: loga b có ngh ĩ a khi

0, 1

0

a a

b

> ≠ >

Logarit thập phân:10

lg log logb b b= =

Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln loge

b b=

b/ Tính chất

Cho 0, 1a a > ≠ và , 0b c > . Khi đó:

Nếu 1a > thì log loga a

b c b c > ⇔ > Nếu 0 1a < < thì log loga a

b c b c > ⇔ <

log 1 0a =

log 1a a =

log

b

a a b=

loga

b

a b=

c/ Các qui tắc tính logarit

Cho 0, 1a a > ≠ và , 0b c > . Ta có:

( )log . log loga a a

b c b c = + log log loga a a

bb c

c

= −

log . loga a

b bβ β = 2log 2 log

a a b b=

d/ Các công thức đổi cơ số

Cho , , 0a b c > và , 1a b ≠ . Ta có:

log

log log . log loglog

a

b a b a

a

c c b c c

b= ⇒ =

1log

loga

b

ba

= ,ln

loglna

bb

a =

( )1

log . log , 0a a

b bβ

β β

= ≠

1log log

a

a

b b= −

1

log1 1

log log

ab

a b

c

c c

=

+

log logc a b ba c =


Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

1/ 2 1

4

log 4.log 2A = 2/ 5 27

1log . log 9

25B = 3/

3log

a C a =

4/ 32log 2log 3

4 9D = + 5/ 2 2

log 8E = 6/ 9 8log 2 log 27

27 4F = +

7/

3 4

1

3

7

1

log . log

loga a

a

a a

G a = 8/ 3 8 6log 6.log 9.log 2H = 9/ 3 812 l og 2 4 log 5

9I +

=





10/ 3 9 9log 5 log 36 4 log 7

81 27 3J = + + 11/ 75log 8log 6

25 49K = + 12/ 53 2 lo g 45L

−=

13/ 6 8

1 1

log 3 log 49 4M = + 14/ 9 2 125

1 log 4 2 log 3 log 273 4 5N

+ −= + +

15/ ( ) ( ) ( )0 0 0lg tan1 lg tan2 ... lg tan89P = + + + 16/ ( ) ( )8 4 2 2 3 4log log log 16 . log log log 64Q =

17/ ( )3

5 l og 2

33 log log 28R = + 18/ 3

1 1 1

3 3 3

12 log 6 log 400 3 log 452S = − +

Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán.

1/ Cho12

log 27 a = . Tính6

log 16 theo a .

2/ Cho2

log 14 a = . Tính49 7

log 32 và49

log 32 theo a .

3/ Cho2 2

log 5 ; log 3a b= = . Tính3

log 135 theo ,a b .

4/ Cho15

log 3 a = . Tính25

log 15 theo a .

5/ Cho log 3a b = . Tính

3

log b

a

b

a

6/ Cho lg 3 0, 477= . Tính ( )81

1lg9000;lg 0,000027 ;

log 100.

7/ Cho log 5a

b = . Tính logab

b

a

8/ Cho7

log 2 a = . Tính1

2

log 28 theo a .

9/ Cho log 13a

b = . Tính3 2log

b

a

ab .

10/ Cho25 2

log 7 ; log 5a b= = . Tính 3 5

49log

8theo ,a b .

11/ Cho lg 3 ; lg 2a b= = . Tính125

log 30 theo ,a b .

12/ Cho30 30


log 1350 theo ,a b .

13/ Cho14 14


log 28 theo ,a b .

14/ Cho2 3 7

log 3 ; log 5 ; log 2a b c = = = . Tính140

log 63 theo , ,a b c .

15/ Cho log 7a

b = . Tính3

loga b

a

b

16/ Cho27 8 2

log 5 ; log 7 ; log 3a b c = = = . Tính6

log 35 theo , ,a b c .

17/ Cho49 2

log 11 ; log 7a b= = . Tính 3 7

121log

8theo ,a b .

Bài 3. Cho 0, 1a a > ≠ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1

log 1 log 2 ( )a a

a a +

+ > + ∗

HD: Xét( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1

1 1

log 2 log 2 loglog 2 . log

2log 1

a a a

a a

a

a a a A a a

a

+ + +

+ +

+ + += = + ≤

+

( ) ( ) ( ) ( )21 1

log 2 log 11

2 2

a a a a a

+ + + + = < = ⇒ (Đpcm).





Bài 4. So sánh các cặp số sau:

1/ 3

log 4 và4

1log

32/

3

0,1log 2 và

0,2log 0, 34 3/

3

4

2log

5và

5

2

3log

4

4/ 1

3

1log

80

và1

2

1log

15 2+

5/ 13

log 150 và17

log 290 6/ 6log 32 và

6

1log

23

7/ 7

log 10 và11

log 13 8/ 2

log 3 và3

log 4 9/ 9

log 10 và10

log 11

HD: 4/ CM:1 1

3 2

1 1log 4 log

80 15 2< <

+

5/ CM:13 17

log 150 2 log 290< <

7/ Xét 7 7 77 11

7

log 10.log 11 log 13log 10 log 13

log 11A

−= − =

7 7 77

1 10.11.7 10 11

log log . log 0log 11 7.7.13 7 7

= + >

8/, 9/ Sử dụng Bất đẳng thức ( )∗ bài tập 3.

Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (vớ i giả thiết các biểu thức đã cho có ngh ĩ a)

1/ log log

a a c b

b c =

2/ ( )log log

log1 log

a a

ax

a

b x bx

x

+=

+

3/ log .log

log logloga b

a b

ab

c c c c

c + =

4/ log

1 loglog

a

a

ab

c b

c = +

5/ ( )1

log log log ,3 2c c c

a ba b

+= + vớ i 2 2 7a b ab+ =

6/ ( ) ( )1

log 2 2 log 2 log log ,2a a a a

x y x y + − = + vớ i 2 24 12x y xy + =

7/ ( )a3 1

lg lg lg4 2

ba b

+= + , vớ i 2 29 10a b ab+ =

8/ ( ) ( ) ( ) ( )log log 2 log . logb c c b c b c ba a a a + − + −+ = vớ i2 2 2

a b c + =

9/ ( )

2 3 4

11 1 1 1 1...

log log log log log 2 logk a a a a a a

k k

x x x x x x

++ + + + + =

10/ log . log . log

log . log log . log log . loglog

a b C

a b b c c a

abc

N N N N N N N N N

N + + =

11/

1

1 lg10 z x −= vớ i1

1 lg10 x y −= và

1

1 lg10 y z −=

12/

2 3 2009 2009 !

1 1 1 1...

log log log logN N N N + + + =





13/ log log log

log log loga b a

b c c

N N N

N N N

−=

−vớ i , ,a b c lần lượ t theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.





Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪ A – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1. Kiến thức cơ bản

1.1/ Khái niệm

a/ Hàm số lũy thừa y x α= ( α là hằng số)

Số mũ α Hàm số y x α= Tập xác định D

n α = (n nguyên dươ ng) n y x = D = ℝ

n α = (n nguyên dươ ng âm hoặc 0n = ) n y x = { }\ 0D = ℝ

α là số thực không nguyên y x α= ( )0,D = +∞

Lưu ý: Hàm số

1

n y x = không đồng nhất vớ i hàm số ( ), *n y x n = ∈ ℕ

b/ Hàm số mũ ( ), 0, 1x

y a a a = > ≠

Tập xác định: D = ℝ

Tập giá trị: ( )0,T = +∞

Tính đơ n điệu

Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

Dạng đồ thị:

c/ Hàm số logarit ( )log , 0, 1a

y x a a = > ≠

Tập xác định: ( )0,D = +∞

Tập giá trị: T = ℝ

Tính đơ n điệu

Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Dạng đồ thị:

○ Khi 1a > hàm số đồng biến.

○ Khi 0 1a < < : hàm số nghịch biến.

1a >

x

y

x

y

1 1

x y a = x y a =

O O

0 1a < <

○ Khi 1a > hàm số đồng biến.

○ Khi 0 1a < < : hàm số nghịch biến.

loga

y x =

1a >

x

y

O 1

loga

y x =

x

y

0 1a < <

O

1





1.2/ Giớ i hạn đặc biệt

( )1

0

1lim 1 lim 1

x

x

x x x e

x → →±∞

+ = + =

( )0

ln 1lim 1x

x

x →

+=

0

1lim 1

x

x

e

x →

−=

1.3/ Đạo hàm

Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợ p

( ) ( )'

1. , 0x x x α αα −= > ( ) .'

1. 'u u u α αα −⇒ =

( )'

. lnx x a a a = ( )'

. l n . 'u u a a u u ⇒ =

( )'

x x e e = ( )'

. 'u u e e u ⇒ =

( )

' 1

log lna x x a = ( )

' '

log lna

u

u u a ⇒ =

( ) ( )' 1

ln , 0x x x

= > ( )' '

lnu

u u

⇒ =

LuLuLuLu ýýýý: ( )'

1

1

.

n

n n x

n x −= ( )

'

1

'

.

n

n n

u u

n u −⇒ =


Bài 1. Tính các giớ i hạn sau:

1/ lim1

x

x

x

x →+∞

+ 2/

1

1lim 1

x

x

x x

+

→+∞

+ 3/

2 11lim

2

x

x

x

x

−

→+∞

+ −

4/

1

33 4lim

3 2

x

x

x

x

+

→+∞

− + 5/

1lim

2 1

x

x

x

x →+∞

+ − 6/

2 1lim

1

x

x

x

x →+∞

+ −

7/ ln 1

limx e

x

x e →

−

−8/

2

0

1lim

3

x

x

e

x →

−9/

1lim

1

x

x

e e

x →

−

−

10/ 0

lim

sin

x x

x

e e

x

−

→

−11/

sin 2 sin

0lim

x x

x

e e

x →

−12/

1

lim 1x

x x e

→+∞

−

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1/ 24 3 1y x x = − − 2/ ( )

12 44y x x = + − 3/ ( )

32 3 2y x x = − +

4/ 3

y x x x = + + 5/ 3

1 1 1y

x x x

= + + 6/ ( ) ( )( )1 . 1

m n m n y x x

+= − +

7/ 3 2 1y x x = + + 8/ 4

1

1

x y

x

+=

−9/

2

52

2

1

x x y

x

+ −=

+

10/ ( )3 sin 2 1y x = + 11/ 3 2cot 1y x = + 12/

3

31 21 2

x y x

−=+

Vớ i 0x > nếu n chẳn.

Vớ i 0x < nếu n lẻ.





13/ 33

sin4

x y

+= 14/

11 5 99 6y x = + 15/

2

42

1

1

x x y

x x

+ +=

− +


1/ ( )2 2 2 x y x x e = − + 2/ ( )2 2 x y x x e −= + 3/ 2 sinx y e x −=

4/ 22x x y e += 5/

13

x x

y xe −

= 6/ 2

2

x x

x x

e e y

e e

+=

−

7/ cos2x x y e = 8/

2

3

1

x

y x x

=− +

9/ cotcos . x y x e =


1/ ( )2ln 2 3y x x = + + 2/ ( )2log cosy x = 3/ ( ).ln cosx y e x =

4/ ( ) ( )22 1 ln 3y x x x = − + 5/ ( )3

1

2

log cosy x x = − 6/ ( )3log cosy x =

7/ ( )ln 2 1

2 1

x y

x

+=

+8/

( )ln 2 1

1

x y

x

+=

+9/ ( )2ln 1y x x = + +

Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức đượ c chỉ ra:

1/ ( )

2

22. ; ' 1x

y x e xy x y −

= = − 2/ ( ) 1 ; 'x x y x e y y e = + − =

3/ 4 2 ; ''' 2 ' 12 0x x y e e y y y −= + + − = 4/

2. . ; '' 3 ' 2 0x x y a e b e y y y − −= + + + =

5/ sin ; '' 2 ' 2 0x y e x y y y −= + + = 6/ ( )

4

cos ; 4 0x y e x y y −= + =

7/ sin ; ' cos sin '' 0x y e y x y x y = − − = 8/

2 sin 5 ; '' 4 29 0x y e x y y y = − + =

9/ 21

; '' 2 '2

x x y x e y y y e = − + = 10/ 4 2 ; ''' 13 12 0x x y e e y y y −= + − − =

Bài 6. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức đượ c chỉ ra:

1/ 1

ln ; ' 11

y y xy e x

= + = + 2/ ( )

1; ' ln 1

1 lny xy y y x

x x = = −

+ +

3/ ( ) ( ) 2sin ln cos ln ; ' '' 0y x x y xy x y = + + + = 4/ ( )

2 2 21 ln; 2 ' 1

1 ln

x y x y x y

x x

+= = +

−

5/

22 21

1 ln 1 ; 2 ' ln '2 2

x y x x x x y xy y = + + + + + = + 6/ ( )( ) ( )

2 2

2

21 2010 ; ' 11

x x xy y x e y e x x = + + = + ++

Bài 7. Giải các phươ ng trình và bất phươ ng trình sau vớ i các hàm số đượ c chỉ ra:

1/ ( ) 2'( ) 2 ( ) ; ( ) 3 1x f x f x f x e x x = = + + 2/ 31

'( ) ( ) 0 ; ( ) ln f x f x f x x x x

+ = =

3/ ( ) ( ) '( ) '( ) ; ( ) ln 5 ; ( ) ln 1 f x g x f x x x g x x > = + − = − 4/ 2 1 1 2'( ) 0 ; ( ) 2 7 5x x f x f x e e x − −= = + + −

5/ 2 11

'( ) '( ) ; ( ) .5 ; ( ) 5 4 ln 52

x x f x g x f x g x x +< = = +

Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1/ 4y x −= 2/

14y x = 3/

12y x

−= 4/

5y x =





5/ 5y x −= 6/ 2x y = 7/ 4 x y −= 8/ ( )1

2

x

y =

9/ 2

logy x = 10/ 1

2

logy x = 11/ ( )ln 1y x = + 12/ ( )ln 1 3y x = −

Bài 4: PHƯƠ NG TRÌNH MŨ

1. Cơ sở lý thuyết

1.1/ Phươ ng trình mũ cơ bản

Vớ i 0, 1a a > ≠ thì0

logx

a

ba b

x b

>= ⇔ =

1.2/ Phươ ng pháp giải một số phươ ng trình mũ thườ ng gặp

Bài giải tham khảo

1/ Giải phươ ng trình: ( ) ( ) 3

0, 04 625. 5 1

x

=

( ) ( )1 13

2 4 23 313 13

1 5 5 .5 5 5 23 6

x x x x − −⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

2/ Giải phươ ng trình: ( ) 1 80,125.16 2

32x − =

( ) ( )3

1213 4 4 4 2

5

2 1 92 2 . 2 2 2 4 4

2 82

x x x x

− −− −⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ =

3/ Giải phươ ng trình: ( )2 2 1

8 8 5

2 .5 0, 001. 10

x x x

−− −

= ( )3

( ) ( )2

283 5 5 8 2 5 23 2.5 10 .10 10 10 8 2 5 1; 6

x x x x x x x x

−− − − −⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − =

ĐƯ A VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HÓA

Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng( ) ( ) f x g x a a =

Vớ i 0, 1a a > ≠ thì ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x = ⇔ =

Trườ ng hợ p cơ số a có chứa ẩn thì:

( )( )1

1 0M N a

a a a M N M N

== ⇔ − − = ⇔ =

Logarit hóa: ( )( ) ( ) ( ) log . ( ) f x g x

a a b f x b g x = ⇔ =

Thí dụ 1. Giải các phươ ng trình mũ sau (đưa về cùng cơ số)

1/ ( ) 30, 04 625. 5x

= ( )1 2/ 1 8

0,125.1632

x − = ( )2

3/ ( )2 2 1

8 8 52 .5 0, 001. 10x

x x −

− − = ( )3 4/ 32 1 3 33 .15 .5 9x x x − − = ( )4

5/ 5.3 3.2 7.2 4.3x x x x + = − ( )5 6/ 1 2 1 1 25 5 5 3 3 3x x x x x x − − + − −+ + = + + ( )6





4/ Giải phươ ng trình:32 1 3 33 .15 .5 9x x x − − = ( )4

( ) ( )2 2

2 1 3 3 3 5 13 32 1

4 3 .3 . 5 .5 3 3 3 5 13 3

x x x x x x x − − −⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

5/ Giải phươ ng trình: 5.3 3.2 7.2 4.3x x x x + = − ( )5

( ) ( ) ( )2

3 35 3 5 4 2 7 3 3 .9 2 .4 2

2 2

x

x x x x x

− ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = −

6/ Giải phươ ng trình:1 2 1 1 25 5 5 3 3 3x x x x x x − − + − −+ + = + + ( )6

( ) ( ) ( )2 0

2 2 2 3 5 56 5 5 5 1 3 3 3 1 1 2

3 3

x

x x x

−

− − ⇔ + + = + + ⇔ = = ⇔ =


1/ Giải phươ ng trình:5 33 5

x x

= ( )1

( ) ( ) ( ) ( )5 3

3 3 3 3 35

3

51 log 3 log 5 5 3 log 5 log 5 log log 5

3

x x

x

x x x

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2/ Giải phươ ng trình:

( )

3

1 1x

x −

+ =

( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 33 3 3 3 3

3

5log 22 log 3 log 2 5 2 log 2 1 2 log 2 5 log 2

1 2 log 2x x x x x x −⇔ = ⇔ = − ⇔ + = ⇔ =

+

3/ Giải phươ ng trình: ( ) ( )1 3

2 2x x

x x − −

+ = + ( )3

Điều kiện:0 2 1 2 1

11 0 1

x x x

x x

< + ≠ − < ≠ − ⇔ ⇔ ≥ − ≥ ≥

( ) ( ) ( )

( )

( )

2

12 1

3 03 2 1 . 1 3 01 3

1 3

x Lx

x x x x x x

x x

= − + = − ≥⇔ + − − − − = ⇔ ⇔ − = − − = −

2

33

2 57 10 0

5

x x

x x x x

x

≥ ≥ =⇔ ⇔ ⇒ = − + = =

4/ Giải phươ ng trình: ( ) ( )2 5 4 4

2 23 3x x x

x x − + +

+ = + ( )4

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 22

2 04 3 1 5 4 4 0 5 4 4 0

x VN x x x x

x x x

+ = ⇔ + − − + − + = ⇔ − + − − =

Thí dụ 2. Giải các phươ ng trình mũ sau (logarit hóa)

1/ 5 33 5

x x

= ( )1 2/ 5 23 2x x −= ( )2

3/ ( ) ( )1 3

2 2x x

x x − −

+ = + ( )3 4/ ( ) ( )2 5 4 4

2 23 3x x x

x x − + +

+ = + ( )4





( )

( )

( )

( )

2

2

1; 4 1; 4

5 4 4 00; 6

;1 4;;1 4;

0; 65 4 4 0

x x

x x x VN x x

x x

x x x x x

∈ ∈ − + − − − = ⇔ ⇔ ⇔ = = ∈ −∞ ∪ +∞∈ −∞ ∪ +∞ = =− + − − =


1/ Giải phươ ng trình: 9 5.3 6 0x x − + = ( )1

( ) ( ) ( ) ( ) 2

21 3 5.3 6 0 3 5.3 6 0 1'x

x x x ⇔ − + = ⇔ − + =

Đặt 3 0x t = > . Khi đó: ( ) ( )( )

2

21' 5 6 0 3

t N t t t N

=⇔ − + = ⇔ =

Vớ i3

2 3 2 log 2x t x = ⇒ = ⇔ = .

Vớ i3

3 3 3 log 3 1x t x = ⇒ = ⇔ = = .

2/ Giải phươ ng trình:1 22 15.2 8 0x x + + − = ( )2

( ) ( ) ( ) 2

22 2.2 15.2 8 0 2. 2 15.2 8 0 2 'x x x x ⇔ + − = ⇔ + − =

Đặt 2 0x t = > . Khi đó: ( ) ( )( )

2 12 ' 2 15 8 0 28

t N t t

t L

=⇔ + − = ⇔

= −

ĐẶT ẨN SỐ PHỤ

Dạng 1: ( ) ( )

( )

( ), 0

00

f x

f x t a t

P a P t

= >= ⇔ =

Dạng 2: ( )( )

2 ( ) 2 ( ). . 0 f x

f x f x a ab bα β λ+ . + =

⇒ Chia hai vế cho2 ( ) f x b , rồi đặt ẩn phụ

( )

0

f x

a t

b

= > (chia cơ số lớ n nhất).

Dạng 3: ( ) ( ) f x f x a b m + = vớ i . 1a b = . Đặt ( ) ( ) 1 f x f x t a bt

= ⇒ = .

Thí dụ 1. Giải các phươ ng trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn)

1/ 9 5.3 6 0x x − + = ( )1 2/ 1 22 15.2 8 0x x + + − = ( )2

3/ 1 25 5 124x x + −− = ( )3 4/

15 5 4 0x x −− + = ( )4

5/ 2 2 23 2.3 27 0x x − −− − = ( )5 6/

15 25 6x x −+ = ( )6

7/ 3 3 3 3 4 4 33 3 3 3 10x x x x + − + −+ + + = ( )7 8/ ( ) ( )7 4 3 2 3 6

x x

+ + + = ( )8

9/ 2 2sin cos9 9 6x x + = 9 10/

2 21 2 sin 2 cos4 9.4 5x x − −+ = 10





Vớ i2

1 1 12 log 1

2 2 2x t x x = ⇒ = ⇔ = ⇔ = −

3/ Giải phươ ng trình:1 25 5 124x x + −− = ( )3

( ) ( )

25

3 5.5 124 0 3 '5

x

x ⇔ − − =

Đặt 5 0x t = > . Khi đó: ( )( )( )

2

25253 ' 5 124 0 5 124 25 0

0,2

t N t t t

t Lt

=⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = −

Vớ i5

25 5 25 log 25 2x t x = ⇒ = ⇔ = =

4/ Giải phươ ng trình:15 5 4 0x x −− + = ( )4

Điều kiện: 0x ≥

( ) ( )

5

4 5 4 0 4 '5

x

x ⇔ − + =

Đặt 5 0x t = > . Khi đó: ( )( )( )

2

154 ' 4 0 4 5 0

5

t N t t t

t Lt

=⇔ − + = ⇔ + − = ⇔ = −

Vớ i 01 5 1 5 5 0 0x x t x x = ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

5/ Giải phươ ng trình:2 2 23 2.3 27 0x x − −− − = ( )5

( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 1 1 15 3 2.3.3 27 0 3 6.3 27 0 5 '

x x x x − − − −⇔ − − = ⇔ − − =

Đặt 13 0x t −= > . Khi đó: ( ) ( )( )

2

35 ' 6 27 0 9

t Lt t

t N

= −⇔ − − = ⇔ =

Vớ i 1 1 29 3 9 3 3 1 2 1x x t x x − −= ⇒ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

6/ Giải phươ ng trình: ( ) 15 25 6 6x x −+ =

( )( ) ( )

( ) 2

2

25 25 256 5 6 0 5 6 0 5 6 0 6 '

25 5 5

x x x

x x x

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =

Đặt 5 0x t = > . Khi đó:

( ) ( )( )( )( )

( )

3 2

2

525 1 21

6 ' 6 0 6 25 0 5 5 02

1 21

2

t N

t t t t t t t N t

t L

= +⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ = − =

Vớ i 5 5 1 0x t x = ⇒ = ⇔ = .

Vớ i5

1 21 1 21 1 215 log

2 2 2x t x

+ + + = ⇒ = ⇔ = .

7/ Giải phươ ng trình:3 3 3 3 4 4 33 3 3 3 10x x x x + − + −+ + + = ( )7





( ) ( ) 3 3 3 3

3 3

27 81 1 17 27.3 81.3 10 27. 3 81. 3 10 7 '

3 3 3 3

x x x x

x x x x

⇔ + + + = ⇔ + + + =

Đặt1 1

3 2 3 . 23 3

x x

x x

Côsi

t = + ≥ =

3

3 3 2 3 3

2 3 3

1 1 1 1 13 3 3.3 . 3.3 . 3 33 3 3 3 3

x x x x x

x x x x x t t t ⇒ = + = + + + ⇔ + = −

Khi đó: ( ) ( ) ( ) 3

3 3 3 10 107 ' 27 3 81 10 2

27 3t t t t t N ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = >

Vớ i ( ) 10 1 10

3 7 ''3 33

x

x t = ⇒ + =

Đặt 3 0x y = > . Khi đó: ( )( )

( )

2

31 10

7 '' 3 10 3 0 13

3

y N

y y y y y N

=⇔ + = ⇔ − + = ⇔ =

Vớ i 3 3 3 1x y x = ⇒ = ⇔ =

Vớ i1 1

3 13 3

x y x = ⇒ = ⇔ = −

8/ Giải phươ ng trình: ( ) ( )7 4 3 2 3 6x x

+ + + = ( )8

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

8 2 3 2 3 6 0 2 3 2 3 6 0 8 '

x x x x

⇔ + + + − = ⇔ + + + − =

Đặt ( )2 3 0

x

t = + > . Khi đó: ( ) ( )( )

2

28 ' 6 0 3

t N t t t L

=⇔ + − = ⇔ = −

Vớ i ( ) ( )2 32 2 3 2 log 2

x

t x +

= ⇒ + = ⇔ =

9/ Giải phươ ng trình:2 2sin cos9 9 6x x + = ( )9

Cách 1: Phươ ng pháp đặt ẩn phụ vớ i 1 ẩn.

( ) ( ) 2 2 2

2

1 cos cos cos

cos

99 9 9 6 9 6 0 9 '

9

x x x

x

−⇔ + = ⇔ + − =

Đặt ( )2

cos9 , 1 9x t t = ≤ ≤ . Khi đó: ( ) 29

9 ' 6 0 6 9 0 3t t t t t ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ =

Vớ i ( )2 2cos 2 cos 1 23 9 3 3 3 2 cos 1 0 cos 2 0 ,

4 2x x k

t x x x k π π

= ⇒ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ

Cách 2: Phươ ng pháp đặt ẩn phụ vớ i 2 ẩn dẫn đến hệ phươ ng trình.

Đặt ( )

2

2

sin

cos

9, 1 , 9

9

x

x

u u v

v

= ≤ ≤ =

. Khi đó: 2 2 2 2sin cos sin cos

6

. 9 .9 9 9x x x x

u v

u v +

+ = = = =

Theo định lí Viét, thì ,u v chính là nghiệm của phươ ng trình:2 0X SX P − + =

2 20 6 9 0 3X SX P X X u v ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = =





( )2 2 2sin cos cos9 9 3 9 3 ,

4 2x x x k

x k π π

⇔ = = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ

Cách 3: Phươ ng pháp ướ c lượ ng 2 vế (dùng bất đẳng thức Cauchy).

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:2 2 2 2sin cos sin cos9 9 2 9 .9 2. 9 6

Côsi x x x x + ≥ = =

Dấu “=” xảy ra khi: ( )2 2sin cos 2 29 9 sin cos cos 2 0 ,

4 2x x k x x x x k π π= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ





10/ Giải phươ ng trình:2 21 2 sin 2 cos4 9.4 5x x − −+ = ( )10

( ) ( )

2

2 2

2

2cos1 2 cos 2 cos

2cos

4 910 4 9.4 5 0 5 0 10 '

4 4

x x x

x

− + −⇔ + − = ⇔ + − =

Đặt ( ) 22cos4 , : 1 16x t ÐK t = ≤ ≤ .

Khi đó: ( )( )( )

2

18910 ' 5 0 20 36 0

24

t Lt t t

t N t

=⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ =

Vớ i ( ) 2

12 cos 22

1 12 4 2 4 2 cos cos ,

2 2 3x t x x x k k

ππ= ⇒ = = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + ∈ ℤ


1/ Giải phươ ng trình: 25 15 2.9x x x + = ( )1

( ) ( )

2

15 9 3 31 1 2. 2. 1 0 1'

5 525 25

x x x x

x x

⇔ + = ⇔ − + =

Đặt:3

0

5

x

t = >

. Khi đó: ( )( )

( )

2

11' 2 1 0 1

2

t N

t t

t L

=⇔ − − = ⇔

= −

. Vớ i3

1 1 0

5

x

t x = ⇒ = ⇔ =

2/ Giải phươ ng trình:1 19 13.6 4 0x x x + +− + = ( )2

( ) ( )

2

9 6 3 32 9.9 13.6 4.4 0 9. 13. 4 0 9. 13. 4 0 2 '

4 4 2 2

x x x x

x x x

⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + =

Đặt:3

02

x

t = >

. Khi đó: ( )( )

( )

2

12 ' 9 13 4 0 4

9

t N

t t t N

=⇔ − + = ⇔ =

Vớ i3

1 1 02

x

t x = ⇒ = ⇔ =

Vớ i4 3 4

29 2 9

x

t x = ⇒ = ⇔ = −

3/ Giải phươ ng trình:2 149 2.35 7.5 0x x x +− − = ( )3

( ) ( )

2

49 35 7 73 49 2.35 35.25 0 2. 35 0 2. 35 0 3 '

25 25 5 5

x x x x

x x x

⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − =

Thí dụ 2. Giải phươ ng trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 2: Chia hai vế cho cơ số lớ n nhất hoặc nhỏ nhất)

1/ 25 15 2.9x x x + = ( )1 2/ 1 19 13.6 4 0x x x + +− + = ( )2

3/ 2 1

49 2.35 7.5 0x x x +

− − = ( )3 4/

1 1 1

2.4 6 9x x x

+ = ( )4





Đặt:7

05

x

t = >

. Khi đó: ( )( )( )

2

73 ' 2 35 0

5

t N t t

t L

=⇔ − − = ⇔ = −

Vớ i7

5

77 7 log 7

5

x

t x = ⇒ = ⇔ =


1 1 1

2.4 6 9x x x + = ( )4

Điều kiện: 0x ≠

( ) ( )

21 1 1

4 6 2 24 2. 1 0 2. 1 0 4 '

9 9 3 3

x x x x

⇔ + − = ⇔ + − =

Đặt:2

03

x

t = >

. Khi đó: ( )( )

( )

2

14 ' 2 1 0 1

2

t L

t t t N

= −⇔ + − = ⇔ =

Vớ i2

3

1 2 1 1log

2 3 2 2

x

t x = ⇒ = ⇔ =


1/ Giải phươ ng trình: ( ) ( )2 3 2 3 4x x

+ + − = ( )1

Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 . 2 3 1 2 3 . 2 3 1 1 2 3 . 2 3 1x x x

x + − = ⇔ + − = = ⇔ + − =

Đặt: ( ) ( )( ) ( )

( )1 1 12 3 0 2 3 0 2 3

2 3 2 3

x x x

x x t t

t

−

= + > ⇒ − = = > ⇒ = = −

+ −

( )( )( )

2

2 3 011 4 4 1 0

2 3 0

t N t t t

t t N

= + >⇔ + = ⇔ − + = ⇔

= − >

Vớ i ( )2 3 2 3 2 3 1x

t x = + ⇒ + = + ⇔ =

Vớ i ( )2 3 2 3 2 3 1x

t x −

= − ⇒ − = − ⇔ = −

2/ Giải phươ ng trình:3 3

5 2 6 5 2 6 10x x + + − =

( )2

( ) ( ) ( ) ( ) 3 3

2 5 2 6 5 2 6 10 0 2 'x x

⇔ + + − − =

Thí dụ 3. Giải các phươ ng trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3)

1/ ( ) ( )2 3 2 3 4x x

+ + − = ( )1 2/ 3 35 2 6 5 2 6 10

x x + + − = ( )2

3/ ( ) ( ) 35 21 7 5 21 2x x

x +− + + = ( )3 4/ ( ) ( )sin sin

8 3 7 8 3 7 16x x

+ + − = ( )4





Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( )3 3 35 2 6 . 5 2 6 1 5 2 6 . 5 2 6 1 1x x x

+ − = ⇔ + − = =

Đặt: ( ) ( ) ( )3 3 315 2 6 0 5 2 6 5 2 6

x x x

t t t

−

= + > ⇒ − = ⇒ = −

( ) ( )( )

2

5 2 6 012 ' 10 0 10 1 0

5 2 6 0

t N t t t

t t N

= + >⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ = − >

Vớ i ( ) 35 2 6 5 2 6 5 2 6 1 3

3

x x

t x = + ⇒ + = + ⇔ = ⇔ =

Vớ i ( ) 35 2 6 5 2 6 5 2 6 1 3

3

x x

t x −

= − ⇒ − = − ⇔ − = ⇔ = −

3/ Giải phươ ng trình: ( ) ( ) 35 21 7 5 21 2x x

x +− + + = ( )3

Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

5 21 . 5 21 4 5 21 . 5 21 4 5 215 21

x x x x x

x + − = ⇔ + − = ⇔ − =+

Đặt: ( ) ( ) 45 21 0 5 21 0

x x x

t t

= + > ⇒ − = >

( ) 3 243 7. 2 7 8.2 4 0

x x x x t t t

t

+⇔ + = ⇔ − + =

( )( )

( )

2

4.2 3.22 0

7' 16.4 7.4 9.4 3.22

07

x x x

x x x x

x

t N

t N

+ = = >∆ = − = = ⇒

= >

Vớ i ( ) 22 5 21 2 1 0

5 21

x x

x x t x = ⇒ + = ⇔ = ⇔ = +

Vớ i ( ) 2

5 21

2 2 25 21 7 log 7

7 7 5 21

x x x x

t x +

= ⇒ + = ⇔ = ⇔ = +

4/ Giải phươ ng trình: ( ) ( )sin sin

8 3 7 8 3 7 16x x

+ + − = ( )4

Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( )sin sin

sin8 3 7 . 8 3 7 1 8 3 7 . 8 3 7 1 1x x

x + − = ⇔ + − = =

Đặt: ( ) ( ) ( )sin sin sin1

8 3 7 0 8 3 7 8 3 7x x x

t t t

−

= + > ⇒ − = ⇒ − =

( )( )( )

2

8 3 7 014 16 16 1 0

8 3 7 0

t N t t t

t t N

= + >⇔ + = ⇔ − + = ⇔

= − >

Vớ i ( ) ( ) sin

8 3 7 8 3 7 8 3 7 sin 1 2 ,2

x

t x x k k π

π= + ⇒ + = + ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ

Vớ i ( ) ( ) sin

8 3 7 8 3 7 8 3 7 sin 1 ,2

x

t x x l l π

π−

= − ⇒ − = − ⇔ = − ⇔ = − + ∈ ℤ






1/ Giải phươ ng trình: ( ) 3 5 2 1x x = −

Ta có: 1x = là một nghiệm của phươ ng trình( )1

Mà ( ) 3x f x = đồng biến trên ℝ và ( ) 5 2g x x = − đồng biến trên ℝ .

⇒ Phươ ng trình ( )1 có một nghiệm duy nhất là 1x = .

2/ Giải phươ ng trình: 4 3 5x x x + = ( )2

Ta có: 2x = là một nghiệm của phươ ng trình( )2

( ) ( ) 4 3

2 1 2 '5 5

x x ⇔ + =

. Xét hàm số: ( ) 4 3

5 5

x x

y f x = = +

, x ∀ ∈ ℝ

( ) ( )4 4 3 3' ' . ln . ln 0,

5 5 5 5

x x

y f x x y f x = = + < ∀ ∈ ⇒ =

ℝ nghịch biến trên ℝ và ( )2 0 f = .

Vớ i ( ) ( ) ( )2 2 1 2 'x f x f > ⇔ < = ⇒ : vô nghiệm.

Vớ i ( ) ( ) ( )2 2 1 2 'x f x f < ⇔ > = ⇒ : vô nghiệm.

Vậy phươ ng trình có nghiệm duy nhất là: 2x =

3/ Giải phươ ng trình:2 1 2 2 1 1 22 3 5 2 3 5x x x x x x − + + ++ + = + + ( )3

( )2 1 2 2 1 1 23 2 3 5 2 3 5x x x x x x − + + +⇔ + + = + +

22 2 1 12

3 5.5 2 3 5.52

x x x x x x + +⇔ + + = + +

( ) 2 2 2 1 1 12 2.3 10.5 2 2.3 10.5 3 'x x x x x x + + +⇔ + + = + + dạng ( ) ( )v f u f =

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠ N ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Xét phươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 1 f x g x =

Đoán nhậno

x là một nghiệm của phươ ng trình ( )1 (thông thườ ng là những số lân cận số 0).

Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của ( ) f x và ( )g x để k ết luậno

x là nghiệm duy nhất:

o ( ) f x đồng biến và ( )g x nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).

o ( ) f x đơ n điệu và ( )g x c = (hằng số).

Nếu ( ) f x đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( ) ( ) f u f v u v = ⇔ = .

Lưu ý:

Hàm số bậc nhất: ( ), 0y ax b a = + ≠

+ Đồng biến khi: 0a >

+ Nghịch biến khi : 0a <

Hàm số mũ:x y a =

+ Đồng biến khi: 1a >

+ Nghịch biến khi: 0 1a < <

Thí dụ 1. Giải các phươ ng trình mũ sau (sử dụng tính đơ n điệu của hàm số)

1/ 3 5 2x x = − 2/ 4 3 5x x x + =

3/ 2 1 2 2 1 1 22 3 5 2 3 5x x x x x x − + + ++ + = + + 5/ ( )

3 3

36. 2 3 9.8 4.27x x x x + = +





Xét hàm số: ( ) 2 2.3 10.5 ,t t t f t t = + + ∀ ∈ ℝ

Ta có: ( ) ( )' 2 . ln 2 2.3 . ln 3 10.5 . ln 5 0t t t f t f t = + + > ⇒ đồng biến trên ℝ .

Phươ ng trình( )3 ' có dạng: ( ) ( )2 1 2 1 1 f x f x x x x = + ⇔ = + ⇔ =


( )

3 3

36. 2 3 9.8 4.27x x x x + = +

( )4

( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 3 28 27

4 2 3 2 3 2 3 4 '4 9

x x x x x x x x − −⇔ + = + ⇔ + = + dạng ( ) ( )v f u f =

Xét hàm số ( ) 2 3 ,t t f t t = + ∀ ∈ ℝ

Ta có: ( ) ( )' 2 .ln 2 3 . ln 3 0,t t f t t y f x = + > ∀ ∈ ⇒ =ℝ đồng biến trên ℝ

Phươ ng trình ( )4 ' có dạng: ( ) ( )3 3 31

3 2 3 2 3 2 02

x f x f x x x x x

x

== − ⇔ = − ⇔ − + = ⇔

= −


1/ Giải phươ ng trình: ( ) ( )4 .9 5 .3 1 0x x x x + − + + = ( )1

Đặt: 3 0x t = > . Khi đó: ( ) ( ) ( )21 4 . 5 . 1 0x t x t ⇔ + − + + =

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 22

5 31

2 4

5 4 4 6 9 3 5 3 142 4

x x t

x x x x x x

x x t x x

+ + + = = +

∆ = + − + = + + = + ⇒ + − − = = ++

Vớ i 1 3 1 0x t x = ⇒ = ⇔ =

Vớ i( ) ( )

4 0 410 1

3 . 4 1 1'4 34

x x

x x t

x x x

+ > > − = > ⇔ ⇔ + =+ = +

Phươ ng trình ( )1' có một nghiệm là 1x = − .

Xét hàm số: ( ) ( ) ( )3 . 4 , 4;x f x x x = + ∀ ∈ − +∞

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )' 3 . 4 . ln 3 3 3 . 4 . ln 3 1 0, 4;x x x f x x x x = + + = + + > ∀ ∈ − +∞

( ) f x ⇒ đồng biến ( )4;x ∀ ∈ − +∞ và ( ) 1g x = là hàm không đổi.

1x ⇒ = − là nghiệm duy nhất của phươ ng trình( )1'

Vậy phươ ng trình( )1 có hai nghiệm là 0; 1x x = = −

2/ Giải phươ ng trình: ( )2 22 24 7 .2 12 4 0x x x x + − + − = ( )2

Đặt:2

2 0x t = > . Khi đó: ( ) ( )2 2 22 7 . 12 4 0t x t x ⇔ + − + − =

Thí dụ 2. Giải phươ ng trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 1, loại không hoàn toàn và k ết hợ p tính đơ n điệu)

1/ ( ) ( )4 .9 5 .3 1 0x x x x + − + + = 2/ ( )2 22 24 7 .2 12 4 0x x x x + − + − =





( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 22 2 2 2 2

2 22

7 14

27 4 12 4 2 1 17 1

32

x x t

x x x x x x x

t x

− + + = =∆ = − − − = + + = + ⇒

− − −= = −

Vớ i2 2 24 2 4 2 2 2x t x x = ⇒ = = ⇔ = ⇔ = ±

Vớ i( )

( ) 2

2

2

2

2 2

3 0 3; 33 0

2 3 2 3 2 'x x

x x t x

x x

− > ∈ − = − > ⇔ ⇔ = − + =

Xét hàm số ( ) ( ) 2 22 , 3; 3x f x x x = + ∀ ∈ −

( ) ( )2 2

' 2 .2 . ln 2 2 2 2 .ln 2 2x x f x x x x = + = + .

Cho ( ) ( )2 2

2 0' 0

2 . ln 2 2 0 : 2 . ln 2 2 0,x x

x f x

VN do x

== ⇔

+ = + > ∀ ∈

ℝ0x ⇔ =

Bảng biến thiên:

x −∞ 3− 0 3 +∞

( )' f x – 0 +

( ) f x

11 11

1

Vớ i ( )3; 0x ∈ − ( )' 0 f x ⇒ < : ( ) f x nghịch biến.

Nếu ( ) ( ) ( )1 1 3 2 ' :x f x f < − ⇔ > − = ⇒ vô nghiệm.

Nếu ( ) ( ) ( )1 1 3 2 ' :x f x f > − ⇔ < − = ⇒ vô nghiệm.

⇒ ( )3; 0x ∈ − thì phươ ng trình( )2 ' có nghiệm duy nhất là 1x = − .

Vớ i ( ) ( )0; ' 0 :x f x ∈ +∞ ⇒ > ( ) f x đồng biến.

Nếu ( ) ( ) ( )1 1 3 2 ' :x f x f < ⇔ < = ⇒ vô nghiệm.

Nếu ( ) ( ) ( )1 1 3 2 ' :x f x f > ⇔ > = ⇒ vô nghiệm.

⇒ ( )0;x ∈ +∞ thì phươ ng trình ( )2 ' có nghiệm duy nhất là 1x = .

Vậy phươ ng trình( )2 có 4 nghiệm là: 1; 2x x = ± = ±

ĐƯ A VỀ PHƯƠ NG TRÌNH TÍCH, TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM VÀ NGHIỆM PHƯƠ NG TRÌNH BẬC 2

Phươ ng trình tí ch:0

. 00

AA B

B

== ⇔ =

Tổng hai số không âm: 2 2 000

AA B B

=+ = ⇔ =

Phươ ng pháp đối lập: Xét phươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 1 f x g x =

Nếu ta chứng minh đượ c( )

( )

f x M

g x M

≥ ≤

thì ( )( )

1( )

f x M

g x M

=⇔ =






1/ Giải phươ ng trình: 25.2 10 5 25x x x − + = ( )1

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 25.2 25 2 .5 5 0 25 2 1 5 2 1 0 2 1 25 5 0

2 1 0 2 1 0

225 5 0 5 25

x x x x x x x x x

x x

x x

x

x

⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ − − =

− = = = ⇔ ⇔ ⇔ =− = =

2/ Giải phươ ng trình: 112.3 3.15 5 20x x x ++ − = ( )2

( ) ( ) ( )

( )( )

3

2 12.3 3.3 .5 5.5 20 0 3.3 4 5 5 5 4 0

5 4 0 : 5 4 0, 5 55 4 3.3 5 0 3 log

3.3 5 0 3 3

x x x x x x x

x x

x x x

x

VN do x x

⇔ + − − = ⇔ + − + =

+ = + > ∀ ∈⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ = − =

ℝ

1/ Giải phươ ng trình: ( ) ( )2 12 3 3 1 4.3 1x x x x +− = − − ( )1

Cách 1: Nghiệm của phươ ng trình bậc 2 (theo x )

( ) ( )21 2 3 1 4.3 . 6.3 1 0x x x x ⇔ − − − + =

( ) ( ) ( )2

9 1 8.3 16.9 8 6.3 1 144.9 24.3 1 12.3 1x x x x x x ∆ = − + − − + = − + = −

( )

3 12.3 12.3 1 11

4 23 12.3 12.3 1 11 6.3 3 1'

4 6 6

x x

x x x x

x x

x x

− + − = = =⇒ ⇔− − += = − = −

Ta có: 1x = − là một nghiệm của phươ ng trình ( )1'

Hàm số ( ) 3x f x = đồng biến x ∀ ∈ ℝ

Hàm số1

6 6

x y = − nghịch biến x ∀ ∈ ℝ

Vậy phươ ng trình đã cho có 2 nghiệm:1

1;2

x x = − =

Cách 2: Đư a về phươ ng trình tí ch loại phân tí ch thành nhân tử

( ) ( ) ( ) ( )2 11 2 3 1 6.3 . 2 1 0 2 1 6.3 . 2 1 02

x x x x x x x x ⇔ − + + − = ⇔ − − + − =

Thí dụ 1. Giải phươ ng trình (đưa về phươ ng trình tích số)1/ 25.2 10 5 25x x x − + = ( )1 2/

112.3 3.15 5 20x x x ++ − = ( )2

Thí dụ 2. Giải các phươ ng trình mũ sau (đưa về phươ ng trình tích hoặc nghiệm của phươ ng trình bậc 2)

1/ ( ) ( )2 12 3 3 1 4.3 1x x x x +− = − − 2/ ( )2 1 1 1.5 3 3.5 2.5 3 0x x x x x x x − − −− − + − =

⇒ 1x = − là nghiệm duy nhất của phươ ng trình( )1'





( )( )( )

1

22 1 1 6.3 01

3 1'6 6

x

x

x x x

x

=⇔ − − + = ⇔⇔ = −

. Tươ ng tự cách 1.


( )2 1 1 1

.5 3 3.5 2.5 3 0

x x x x x x x − − −− − + − =

( )2

Cách 1: Nghiệm của phươ ng trình bậc 2 (theo x )

( ) ( )22 5 . 5.3 3.5 . 2.5 5.3 0x x x x x x x ⇔ − − + − =

( ) ( ) ( )2 2

5.3 3.5 4.5 . 2.5 5.3 5.3 5x x x x x x x ∆ = − − − = −( )

11

3 3 22 5. 2 '5 5 5

x

x x

x x

= −= − ⇒ ⇔ + = − + =

Phươ ng trình ( )2 ' có một nghiệm là 1x =

Hàm số ( )3

5

x

f x

= nghịch biến x ∀ ∈ ℝ

Hàm số ( ) 1 2

5 5g x x = + đồng biến x ∀ ∈ ℝ

Vậy nghiệm của phươ ng trình( )2 là 1x = ±

Cách 2: Đư a về phươ ng trình tí ch loại phân tí ch thành nhân tử

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1

1 3 2 .5 5 1 .3 0 1 2 .5 5.3 0 3 2

5 5

x x x x x

x

x x x x x x

= − ⇔ + + − + = ⇔ + + − = ⇔ + =

Tươ ng tự như cách 1.


1/ Giải phươ ng trình:2cos5 sinx x = ( )1

Ta có:

2

2

2 2

cos

2cos

2 cos 0 cos

5 sincos 05 1

cos 0 5 5 5 1 ,sin 1sin 1 2sin 1

x

x

x x

x x

x x k k x x x

ππ

= == ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇒ ⇔ ⇔ = + ∈ == ≤

( )ℤ

2/ Giải phươ ng trình:2 2sin cos4 4 6 cos 2x x x + = + ( )2

Xét hàm số: ( ) 6 cos 2 f x x = +

Ta có: 1 cos 2 1 5 6 cos 2 7x x − ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤

Xét hàm số: ( )2 2 2

2

sin cos sin

sin

44 4 4

4

x x x

x g x = + = +

Đặt ( )

2 2sin 2 0 sin 1

4 , 0 sin 1 4 4 4 1; 4

x x

t x Hay t

= ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ∈

1x = ⇒ là nghiệm duy nhất của phươ ng trình( )1'

Thí dụ 3. Giải phươ ng trình (dùng phươ ng pháp đối lập)

1/ 2cos5 sinx x = ( )1 2/

2 2sin cos4 4 6 cos 2x x x + = + ( )2





Khi đó, ( )g x đượ c viết lại là ( ) 4

, 1; 4g t t t t

= + ∀ ∈

( ) ( ) 2

2 2

2 1; 44 4' 1 . ' 0

2 1; 4

t t g t Cho g t

t t t

= − ∉− = − = = ⇔ = ∈

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

1;4

1;4

max max 51 5

2 4min min 4

4 5

g t g x g

g g t g x

g

= == ⇒ = ⇒ = = =

. Hay2 2sin cos4 4 4 5x x ≤ + ≤

Lúc đó: ( )

2 2

2 2

2 2

sin cos

2

sin cos

sin cos

4 4 6 cos 26 cos 2 5 sin 0

6 cos 2 5 ,cos 2 14 4 2

4 4 5

x x

x x

x x

x x x

x x k k x

ππ

+ = + + = = + ≥ ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈ = −+ + ≤

ℤ

2. Bài tập rèn luyệnBài 1. Giải các phươ ng trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa)

1/ 314 16x + = 2/

1 2 3 3 12 .3 6x x x + + += 3/ 22 5 2 12 8x x x + + +=

4/ 15 .8 100x x + = 5/

3 1 8 29 3x x − −= 6/

1 22 .3 .5 200x x x + − =

7/ 2 25 125

5 8 64

x x =

8/

5 17

7 332 0, 25.125x x

x x

+ +

− −= 9/ 228 36.3

x

x x −+ =

10/ 2 13 3 18x x + +− = 11/

1 2 3 15 5 5 3 3 3x x x x x x + + + ++ + = + + 12/ 1 12.3 6.3 3 9x x x + −− − =

13/

( )

2

3 2 2 3 2 2x

− = + 14/

( ) ( )

11

15 2 5 2

x x

x

−−

++ = − 15/

1

5 .8 500x

x x

−

=

16/ x x x x = 17/ ( )

122 1

x

x x −

− = 18/ ( )2

2 1x

x x −

− =

19/ ( )2 1

2 1 1x

x x −

− + = 20/ ( )3

1 1x

x −

+ = 21/ ( ) ( )2 5 4 4

2 23 3

x x x

x x − + +

+ = +

Bài 2. Giải các phươ ng trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa)

1/ 2 8 1 32 4x x x − + −= 2/

1 2 3 43 3 3 3 750x x x x + − − −+ − + = 3/ 2

2 .4 256x x =

4/ 2 .5 0, 01x x = 5/ 2 . 3 216x x = 6/ 1 22 .3 .5 12x x x − − =

7/

2 3

13 3 381

x x +

= 8/

21 2 11 9

5 9 5.3 25 3

x x x + + −

= 9/ ( )

1

5 7 21, 53

x

x

+

− =

10/

2 1 1

1

2 .464

8

x x

x

− +

−= 11/

1 3 1 20 604 .3 .5

27x x x + − + = 12/

3 2

3

1

15

1

13

9

x

x

+

+=

13/ ( )5

2 3 10, 75 1

3

x x

−− =

14/

2 2 3

117

7

x x

x

− −

+ =

15/

2 56

22 16 2x x − −

=

16/ 2 4 22 5x x − −= 17/

2 1 2 24 4 4 3 3x x x x x − + + −+ + = − 18/ 1 13 6 .2 .3x x x x − − +=

19/

2 5 6

5 1x x − −

= 20/

2 2 2 21 2 1

2 2 3 3x x x x − + −

+ = + 21/

4 6 3 4

5 25

x x − −

=

22/ cos2

cos2

12 0

2.2

x

x − = 23/

( ) ( )2 22 22 1 2 24 32 2 2 2 1

x x x x + ++ += + − + 24/ 2 1 2 15 3.5 550x x + −− =





25/ 2 1 12 2 1 2 1x x x + + +− − = + 26/

2

3 71 1

2 2 416 0, 25.2

x

x x x

−−

+ − −= 27/ 1 2 2 23 18 .2 .3x x x x + − +=

28/ 3 32 . 4 . 0, 125 0, 25x x x = 29/ ( ) ( )3 1

1 310 3 10 3

x x

x x

− +

− ++ = − 30/ 1 23.2 5.2 2 21x x x + ++ − =

31/ ( )2

1 13 22 2 4x

x x −+ =

32/

2 4

31 13 993 9

x x

x

− −

− + = + 33/ ( )

1

15 5 1 12 .42

x x x x + + =

Bài 3. Giải các phươ ng trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa).

1/ 1 13 3 3 9477x x x − ++ + = 2/

1 1 35 5 2 2x x x x + + +− = +

3/ 1 1 22 3 3 2x x x x − − +− = − 4/

1 2 1 25 5 5 7 7 7x x x x x x + + + ++ + = + −

5/

9 72 5 42 22 3 3 4

x x x x

+ ++ +− = − 6/

2 2 11 13.4 .9 6.4 .9

3 2x x x x + + ++ = −

7/

3 12 12 2

9 2 2 3

x x x x

+ +−

− = − 8/

1 12 12 2

4 3 3 2

x x x x

− − −− − −

− = −

9/

1 12 22 25 9 3 5

x x x x

+ −−− = − 10/

2 3 24 10.3 2.3 11.2x x x x + +− = −

11/ ( ) ( )2 2 3 2 1 2 0x x x x − − + − = 12/ 3 2 32 1 2 1.2 2 .2 2

x x x x x x − + −+ −+ = +

13/ 2 3 7 3 16 2 .3x x x + + −= 14/

3 3 2 23 .7 3 .7x x x x + + =

15/ 2 3 2 3 5 53 .5 5 .3x x x x + + = 16/

1 2 2 93 .2 12x x x − − −=

17/ 228 36.3

x

x x −+ = 18/ 2 5 6 15 2x x x − + −=

19/

1

2 .5 10x

x x

−

= 20/ 2 4 43 2x x x − −=

21/ 2 1

4.3 5.3 7.3 40x x x + +

+ − = 22/ 2 6 7

2 2 17 0x x + +

+ − = 23/

2 1 15 5 250x x − ++ = 24/ 1 35 5 26x x − −+ =

25/ 4 2 12 2 5 3.5x x x x + + ++ = + 26/

1 15 6.5 3.5 52x x x + −+ − =

Bài 4. Giải các phươ ng trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn).

1/ 14 2 8 0x x ++ − = 2/

1 14 6.2 8 0x x + +− + =

3/ 4 8 2 53 4.3 27 0x x + +− + = 4/ 16 17.4 16 0x x − + =

5/ 149 7 8 0x x ++ − = 6/

2 222 2 3x x x x − + −− =

7/ ( ) ( )7 4 3 2 3 6x x

+ + + = 8/ 2cos 2 cos4 4 3x x + =

9/ 2 5 13 36.3 9 0x x + +− + = 10/

2 22 24 9.2 8 0x x + ++ + =

11/ 2 22 2 13 28.3 9 0x x x x + + +− + = 12/

2 1 13.5 2.5 0, 2x x − −− =

13/ 2 2sin cos2 4.2 6x x + = 14/

2 24 16 10.2x x − −+ =

15/ 15 5 4 0x x −− + = 16/

1 1 1

8 2 18

2 2 2 2 2 2

x

x x x x − − −+ =

+ + +

Bài 5. Giải các phươ ng trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn).

1/ 9 5.3 6 0x x − + = 2/ 2 22 2 15 0x x + −− − =

3/ 2 24 3x x e e −− = 4/ 2 2

1 39 36.3 3 0x x − −− + =

5/ 2 24 16 10.2x x − −+ = 6/

1 24 2 3 0x x + ++ − =





7/ 6 33. 2 0x x e e − + = 8/ 8 2.4 2 2 0x x x − + + − =

9/ 2 2sin cos81 81 30x x + = 10/

1 4 24 2 2 16x x x + + ++ = +

11/ 9 25.3 7 0x x − + = 12/ 25 23.5 5 0x x − − =

13/ 1 325 6.5 5 0x x +− + = 14/

213 6.13 5 0x x − + =

15/ 2 1 1 1

3.5 2.5 5x x − −

− = 16/ 4

3

34 72

x

x

−

− = −

17/ ( )2 1

3 82.3 9 0x x +

− + = 18/ 2 13 9 4x x + ++ =

19/ 2 21 19 3 6 0x x − +− − = 20/ ( ) ( )

105 103 3 84 0

x x −

+ − =

21/ 2 22 1 24 5.2 6x x x x + − − + −− = 22/

18 3.4 3.2 8 0x x x +− − + =

23/ 2 3 1 24 2 2 16 0x x x + ++ + − = 24/

2 23 3 30x x + −+ =

25/ 3 44 2 6x x −+ = 26/

13 3 4 0x x −− + =

27/ 2 3

1

25 15

5

x

x

−

−

= + 28/

( )

251 2 9

4

x x

−−= +

29/ ( )3

5 21 6 126

x x

−−= − 30/ ( )

232. 0, 3 3

100

x x

x = +

31/ 2 21 110 10 99x x + −− = 32/

2 21 15 5 24x x + −− =

33/ 2 22 2 19 7.3 2x x x x x x − − − − −− = 34/

3 1 5 35.2 3.2 7 0x x − −− + =

35/ 2

2

9 10 4

42

x

x −

+= 36/

1 1

1 23.2 8.2 4 0

x x

x

− −

+ − + =

37/ 4 4 18.3 9 9x x x x + ++ = 38/

2 22 1 24 5.2 6 0x x x x + − − + −− − =

39/ 3 2 cos 1 cos4 7.4 2 0x x + +− − = 40/ (7 4 3) 3(2 3) 2 0x x + − − + =

41/

2 3 3

8 2 12 0x

x x

+

− + = 42/

cos sin lg 7

2 sin 2 cos 1 2 sin 2 cos 112 5 0

10

x x

x x x

− −

− + − + − + =

Bài 6. Giải các phươ ng trình mũ sau (đặt ẩn số dạng 1, loại đặt ẩn phụ không hoàn toàn).

1/ ( )2 23.16 3 10 .4 3 0x x x x − −− − + − = 2/ 38 .2 2 0x x x x −− + − =

3/ ( ) ( )2 22 29 3 .3 2 1 0x x x x + − + − = 4/ ( )23 2 2 .3 2 9 0x x x x + − + − =

5/ ( )2 3 23 3 10 .3 3 0x x x x − −− − + − = 6/

1 1

4 2 .2 6 9x x x x + − =

7/ ( )25 2 3 .5 2 7 0x x x x − − + − = 8/ ( )2 23.25 3 10 .5 3 0x x x x − −+ − + − =

9/ ( )3.4 3 10 .2 3 0x x x x + − + − = 10/ ( )9 2 2 .3 2 5 0x x x x + − + − =

11/ ( )2 23.25 3 10 .5 3 0x x x x − −+ − + − = 12/ 2 1 24 3 3 2.3 . 2 6x x x x x x ++ + = + +

13/ ( )4 8 2 12 2 0x x x x + − + − = 14/ ( ) ( )4 .9 5 .3 1 0x x x x + − + + =

15/ ( )2 22 24 7 .2 12 4 0x x x x + − + − = 16/ ( ) ( )9 2 .3 2 4 0x x x x − −− + − + =

Bài 7. Giải các phươ ng trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 2: chia hai vế cho cơ số lớ n nhất hoặc nhỏ nhất).

1/ 8 18 2.27x x x + = 2/ 4.9 12 3.16 0x x x + − =





3/ 18.4 9 6x x x ++ = 4/

2 21 39 36.3 3 0x x − −− + =

5/ 3 1125 50 2x x x ++ = 6/ 6.9 13.6 6.4 0x x x − + =

7/ 24.3 9.2 5.6x

x x − = 8/ 4 2.6 3.9x x x − =

9/ 64.9 84.12 27.16 0x x x − + = 10/

1 1 1

4 6 9x x x − − −

+ =

11/ 3.16 2.81 5.36x x x + = 12/ 2 125 10 2x x x ++ =

13/ 27 12 2.8x x x + = 14/

1 1 1

6.9 13.6 6.4 0x x x − + =

15/ 2 26.3 13.6 6.2 0x x x − + = 16/ 3.16 2.81 5.36x x x + =

17/

1 1 1

2.4 6 9x x x + = 18/ ( ) ( )( ) ( )7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0x x x

+ + − + + + + − =

Bài 8. Giải các phươ ng trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3).

1/

( ) ( )

2 2

2 3 2 3 4x x

+ + − = 2/ 7 48 7 48 14x x + + − =

3/ 5 2 6 5 2 6 10x x + + − =

4/ ( ) ( ) 26. 5 1 2 5 1 2x x

x ++ − − =

5/ 3 3

3 8 3 8 6x x + + − =

6/ ( ) ( )tan tan

8 3 7 8 3 7 16x x

+ + − =

7/ ( )4 15 4 15 2 2x x x − + + =

8/ 3 33 8 3 8 6 0

x x + + − − =

9/

( ) ( )2 3 2 3 14

x x

− + + = 10/ 2 3 2 3 4x x + + − =

11/ ( ) ( )( )2 3 7 4 3 2 3 4x x

+ + + − = 12/ ( )( ) ( ) 32 3 5 21 7 5 21 2x x

x ++ − + − =

13/ ( ) ( )7 4 3 3. 2 3 2 0x x

+ − − + = 14/ 7 3 5 7 3 5

7. 82 2

x x + − + =

15/ 6 35 6 35 12x x − + + =

16/ ( )( )

( )2 21 2 1 4

2 3 2 32 3

x x x − − −

+ + − =−

17/

( ) ( )3

3 5 16. 3 5 2

x x x +

+ + − =18/

( ) ( )3 5 3 5 7.2 0

x x x

+ + − − =

Bài 9. Giải các phươ ng trình mũ sau (đưa về phươ ng trình tích hoặc phươ ng pháp đánh giá).

1/ 25.2 10 5 25x x x − + = 2/ 8 2.4 2 2 0x x x − + + − =

3/ 3.8 4.12 18 2.27 0x x x x + − − = 4/ ( ) ( )2 1 1.3 3 2 2 2 3x x x x x x x − −+ − = −

5/ 22 sin

x x = 6/ ( )

22 212 3 2

x x x −+ =

7/ 4 216 2 2x x x −− = + 8/

2 cos2 2sin .2 0, 5. sin 2 cos 2 1x x x x + + =

9/ 2 1 1

5 7 175 35 0

x x x + +

+ − − =10/

3 6 3 42 1 2 1

.2 2 .2 2

x x x x x x − + − +− +

+ = +

11/ 2 2 22 4.2 2 4 0x x x x x + −− − + = 12/

38 .2 2 0x x x x −− + − =

15/ 2 3 1 6x x x + = + 14/ 2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x − + + + + ++ = +





15/ ( )

22 2 114 2 2 1

x x x x ++ −+ = + 16/ ( ) ( )2 1 1.3 3 2 2 2 3x x x x x x x − −+ − = −

17/ ( )sin 1 sin4 2 cos 2 0y x x xy +− + = 18/

( ) ( )2 22 22 21 12 2 2 .2 1 0

x x x x x x + +− −+ − − =

19/ 23 2 3 2x x x + = − + 20/

2 3 2.3 3 .(12 7 ) 8 19 12x x x x x x x + − = − + − +

21/ ( )4

2 cos , 0x

x x = ≥ 22/

2 6 10 2

3 6 6x x

x x − +

= − + −

23/ sin

3 cosx

x = 24/

322 cos 3 3

2x x x x −

− = +

25/ 2

3 cos 2x x = 26/ 2

22 1

2 x x x

x

− +=

27/ 2

5 cos 3x x = 28/ 2 22 10 10( 4 ) (4 )x x x x x − −− = −

Bài 10. Giải các phươ ng trình mũ sau (sử dụng tính đồng biến và nghịch biến)

1/ 1 12 2

x

x = − 2/ 1 3

3

x

x = −

3/ 1

13

x

x = +

4/ 22 3 1x

x = +

5/ 2 2x x = + 6/ 67 2x x − = +

7/ 3 11x x = − 8/ 2 3 10 0x x − + + =

9/ 3 5 2x x = − 10/ 12 4 1x x x + − = −

11/ 3 4x x = − 12/ 12 4 1x x x + − = −

13/ 4 7 9 2x x

x + = + 14/ 6 2 5 3x x x x

+ = + 15/

2 1 35 5 1 0x x x + − − + = 16/ 3 8 4 7x x x x + = +

17/ 3 7

25 5

x

x + =

18/ 2 5 7x x x + =

19/ 2 3 5 10x x x x + + = 20/ ( )9 2 2 3 2 5 0x x x x + − + − =

21/ ( ) ( ) ( )3 2 3 2 5x x x

− + + = 22/ ( ) ( )3 2 2 3 2 2 6x x

x + + − =

23/ ( ) ( ) 33 5 16. 3 5 2x x

x ++ + − = 24/ 3 3 2 2 6 2 6x x x x x x − − −− + − − = − +

25/ ( ) ( )2 3 2 3 4x x

x − + + = 26/ 2 3 2 3 2x x

x + + − =

27/

2

2 2

1 1 22

2 22

x x

x x x

x

− −−

− = 28/ 9 15 10 14x x x x + = +

29/ 21 22 2 ( 1)x x x x − −− = − 30/

3 22 8 14x x x − = − + −

31/ ( )3.4 3 10 .2 3 0x x x x + − + − = 32/ 2 2

cos2

sin cos cos2 1(2 2) (2 2) (2 2) 1

2

x

x x x + − + + − = +

Bài 11. Tìm tham số m để các phươ ng trình sau có nghiệm:

1/ 9 3 0x x m + + = 2/ 9 .3 1 0x x m + − =





3/ 14 2x x m +− = 4/ ( )2 1 .2 0x x m m −+ + + =

5/ 25 2.5 2 0x x m − − − = 6/ ( ) 216 1 .2 1 0x x m m − − + − =

7/ 25 .5 1 2 0x x m m + + − = 8/ 2 2sin cos81 81x x m + =

9/ 2 24 2 23 2.3 2 3 0x x m − −− + − = 10/

1 3 1 34 14.2 8x x x x m + + − + + −− + =

11/ 2 21 19 8.3 4x x x x m + − + −− + = 12/ ( )

2 21 1 1 19 2 .3 2 1 0x x m m + − + −− + + + =





Bài 12. Tìm tham số m để các phươ ng trình sau có nghiệm duy nhất.

1/ .2 2 5 0x x m −+ − = 2/ .16 2.81 5.36x x x m + =

3/ ( ) ( )5 1 . 5 1 2x x

x m + + − = 4/ 7 3 5 7 3 5

. 82 2

x x

m + − + =

5/ 34 2 3x x m +− + = 6/ 9 .3 1 0x x m + + =

Bài 13. Tìm tham sốm để các phươ ng trình mũ sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu

1/ ( ) 249 1 .7 2 0x x m m m + − + − = 2/ ( ) ( ) 11 .4 3 2 .2 3 1 0x x m m m ++ + − − + =

3/ ( )9 3 1 .3 5 2 0x x m m + − − + = 4/ ( ) ( )3 .16 2 1 .4 1 0x x m m m + + − + + =

5/ ( )4 2 1 .2 3 8 0x x m m − + + − = 6/ 4 2 6x x m − + =

Bài 14. Tìm tham sốm để các phươ ng trình:

1/ .16 2.81 5.36x x x m + = có hai nghiệm dươ ng phân biệt.

2/ ( )16 .8 2 1 .4 .2x x x x m m m − + − = có ba nghiệm phân biệt.

3/ 2 2 24 2 6x x m +− + = có ba nghiệm phân biệt.

4/ 2 2

9 4.3 8x x m − + = có ba nghiệm phân biệt.

Bài 15. Giải phươ ng trình và tìm tham số.

1/ Cho phươ ng trình: ( ) ( )2 3 2 3x x

m + + − = ( )∗

a/ Giải phươ ng trình

( )∗ khi 4m = .

b/ Tìm m sao cho phươ ng trình( )∗ có 2 nghiệm phân biệt.

2/ Cho phươ ng trình: ( )4 4 2 1 0x x m − − = ( )∗

a/ Giải phươ ng trình( )∗ khi 1m = .

b/ Tìmm để phươ ng trình ( )∗ có nghiệm.

3/ Cho phươ ng trình: ( ).9 3 1 3 5 2 0x x m m m + − − + = ( )∗


b/ Tìmm để phươ ng trình ( )∗ có 2 nghiệm trái dấu.

4/ Cho phươ ng trình: .16 2.81 5.36x x x m + = ( )∗

a/ Giải phươ ng trình( )∗ khi 3m =

b/ Tìmm để phươ ng trình ( )∗ có duy nhất một nghiệm.

5/ Cho phươ ng trình:

2 2

211

3

x x

m m

− = + + ( )∗

a/ Giải phươ ng trình ( )∗ khi 1m = −

b/ Tìmm để phươ ng trình( )∗ có 4 nghiệm phân biệt.

6/ Cho phươ ng trình: 4 4 .2 2 2 0x x m m + + + = ( )∗





a/ Giải phươ ng trình ( )∗ khi 1m = − .

b/ Giải và biện luận phươ ng trình ( )∗ theo tham sốm .

7/ Cho phươ ng trình:7 3 5 7 3 5

82 2

x x

m + − + =

( )∗

a/ Giải phươ ng trình ( )∗ khi 7m = .

b/ Biện luận theom số nghiệm của phươ ng trình( )∗ .

8/ Tìm tham sốm để phươ ng trình

2 4 3

4 211

5

x x

m m

− + = − + có 4 nghiệm phân biệt.

9/ Cho phươ ng trình: ( ) 24 2 1 .2 0x x m m m − + + + = ( )∗

a/ Giải phươ ng trình ( )∗ khi 1m = và1

2m = − .

b/ Tìm tham sốm để phươ ng trình( )∗ có nghiệm.

c/ Giải và biện luận phươ ng trình đã cho.

10/ Cho phươ ng trình: ( ) ( ) .4 2 1 .2 4 0x x m m m − + + + = ∗

a/ Giải phươ ng trình( )∗ khi 0m = và 1m = .

b/ Tìm tham sốm để phươ ng trình( )∗ có nghiệm.

c/ Tìm tham sốm để phươ ng trình( )∗ có nghiệm 1;1x ∈ − .

11/ Cho phươ ng trình:14 .2 2 0x x m m +− + = ( )∗

a/ Giải phươ ng trình ( )∗ khi 2m = .

b/ Tìm tham sốm để phươ ng trình( )∗ có hai nghiệm phân biệt1 2,x x và thỏa mãn

1 23x x + = .

12/ Tìm tham sốm để hàm số: ( )

( )2

2

2

cos

1 si n

3 3

11 . 2 2

2

x

x

x x y f x

m m

−

+

− + −= =

− + +

nhận giá trị âm vớ i mọi x .





Bài 5: PHƯƠ NG TRÌNH LOGARIT

1. Phươ ng trình logarit cơ bản

Vớ i 0, 1 : log b

a a a x b x a > ≠ = ⇔ =

2. Một số phươ ng pháp giải phươ ng trình logarit

Đư a về cùng cơ số:

Vớ i 0, 1 :a a > ≠ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

log log

0 0a a

f x g x f x g x

f x hay g x

== ⇔ > >

Mũ hóa:

Vớ i ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1 : log

g x

a a a f x g x f x a > ≠ = ⇔ =

Đặt ẩn phụ.

Sử dụng tí nh đơ n điệu của hàm số.

Đư a về phươ ng trình dạng đặt biệt. Phươ ng pháp đối lập.

3. Lưu ý

Khi giải phươ ng trình logarit, cần chú ý đến điều kiện để phươ ng trình có nghĩ a. Nếu điều kiện ấy quá phức

tạp, ta không nên tìm ra chi tiết. Hiển nhiên, khi tìm đượ c nghiệm nên thế vào điều kiện để kiểm tra nghiệm.

Vớ i , , 0a b c > và , , 1a b c ≠ thì:

log log

log

b b

a

c a

b

a c

b a

= =

Các công thức logarit thườ ng sử dụng:

( )CT.1 log log log .a a a

b c b c + = CT.2 log log loga a a

bb c c

− =

CT.3.log

log.log

a

a

a

bb

b

β β

β

=

CT1

.4 log . loga a

b bβ

β =

CT.1

5 logloga

b

ba

= CT.log

6 loglog

a

b

a

c c

b=

4. Một số thí dụ


1/ Giải phươ ng trình: ( )3log 2 1 2x − = − ( )1

Thí dụ 1. Giải các phươ ng trình logarit sau (áp dụng công thức logarit đưa về cùng cơ số).

1/ ( )3log 2 1 2x − = − 2/ ( ) ( )2 2

log 2 log 2 2x x + − − =

3/ ( ) ( ) ( )2log 2 3 lg 3 lg 1x x x x + − + + = − 4/ ( ) ( )25 5 52 log 3 11 log 27 3 log 8x x − + − = +

5/ 3

3

5 0,2 25log log log 7x x x + + = 6/ ( )2 2

log log 1 1x x + − =

7/ ( )2

2 2

5log log 25 0

5

x x

x

−+ − =

+8/ ( ) ( )4 2 2 4

log log log log 2x x + =

Nếu β lẻ

Nếu β chẳn





Điều kiện:1

2 1 02

x x − > ⇔ >

( ) ( ) ( ) 2

2 2

1 51 log 2 1 log 2 2 1

4 8x x x N −⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

2/ Giải phươ ng trình: ( ) ( )2 2log 2 log 2 2x x + − − = ( )2

Điều kiện:2 0 2

22 0 2

x x x

x x

+ > > − ⇔ ⇔ > − > >

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2

2 2

2 22 log 2 2 log 4 2 2 4 8

2 2

x N x x x x x

x L

=

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = −

3/ Giải phươ ng trình: ( ) ( ) ( )2log 2 3 lg 3 lg 1x x x x + − + + = − ( )3

Điều kiện:

( ) ( )( )( )

( )

2 ; 3 1;2 3 0

3 0 3; 1;

1 0 1;

x x x

x x x

x x

∈ −∞ − ∪ +∞+ − >

+ > ⇔ ∈ − +∞ ⇔ ∈ +∞ − > ∈ +∞

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

10 103 log 2 3 3 log 1 2 3 3 1x x x x x x x x ⇔ + − + = − ⇔ + − + = −

( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )

( )

22

1

1 3 1 0 1 6 8 0 2 2 :

4

x L

x x x x x x x L VN

x L

=

⇔ − + − − = ⇔ − + + = ⇔ = − ⇒

= −

4/ Giải phươ ng trình: ( ) ( )25 5 52 log 3 11 log 27 3 log 8x x − + − = +

Điều kiện:

113 11 0273

27 0 27

x x x

x x

− > > ⇔ ⇔ > − > >

( ) ( ) ( )2

3

5 5 554 2 log 3 11 log 27 log 5 log 8x x ⇔ − + − = +

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

5 5 5 5 5 5

2

12. log 3 11 log 27 log 125 log 8 log 3 11 27 log 1000

219

3 11 27 1000 3 92 703 0 3

37

x x x x

x Lx x x x

x N

⇔ − + − = + ⇔ − − =

= −⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ =

5/ Giải phươ ng trình: 3

3

5 0,2 25log log log 7x x x + + = ( )5

Điều kiện: 0x >

( )

1 23

3

5 5 5 55 5

5 5 5

35 log log log 7 3 log log log 7

23 7

3 1 log 7 log 7 log 2 252 2

x x x x x x

x x x x

−⇔ + + = ⇔ − + =

⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

6/ Giải phươ ng trình:1

2 2log log 1x x −+ = ( )6

Điều kiện:0 0

11 0 1

x x x

x x

> > ⇔ ⇔ > − > >





( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2

16 log 1 1 log 1 log 2 1 2

2

x Lx x x x x x

x N

= − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

7/ Giải phươ ng trình: ( )2

2 2

5log log 25 0

5

x x

x

−+ − =

+ ( )7

Điều kiện:2

5 505

525 0

x x x

x x

− < −> ⇔+ > − >

( )( )( )

( )( )( )

2

2

2 2

5 25 67 log 0 log 5 0 5 1 6

45

x x x N x x x

x Lx

− − =⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ = =+

8/ Giải phươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4

log log log log 2 8x x + =

Điều kiện:

0

20

4

00

log 0 2 1log 0 4

x x

x x x x x

>> > ⇔ > ⇔ > > >

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 22 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 18 log log log log 2 log log log log 2

2 2

1 1 3log log log log log 3 log log 3

2 2 2log log 2 log 4 16

x x x x

x x x

x x x

⇔ + = ⇔ + =

⇔ + + = ⇔ =

⇔ = ⇔ = ⇔ =


1/ Giải phươ ng trình: ( )2log 9 2 3x x − = − ( )1

Điều kiện: 9 2 0 2 9x x − > ⇔ <

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3

2 2

81 log 9 2 log 2 9 2 2 2 9 0 1 '

2

x x x x x

x

− −⇔ − = ⇔ − = ⇔ + − =

Đặt: 2 0x t = > . Khi đó: ( ) 218

1' 9 0 9 8 08

t t t t

t t

=⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ =

Vớ i 1 2 1 0x

t x = ⇒ = ⇔ = . Thay vào điều kiện:0

2 9 :< thỏa⇒ Nhận nghiệm: 0x =

Vớ i 8 2 8 3x t x = ⇒ = ⇔ = . Thay vào điều kiện:32 9 :< thỏa ⇒ Nhận nghiệm: 3x =

Thí dụ 2. Giải các phươ ng trình logarit (đưa về cùng cơ số)

1/ ( )2log 9 2 3x x − = − 2/ ( )1

3log 3 26 2x x + − = −

3/ ( )4 2 4log 3 log 1 2 log 8x x + − − = − 4/ ( )

24

4 2log log 4 10 0

4

x x

− + =

5/ ( ) ( )2

3 32 log 2 log 4 0x x − + − = 6/ ( ) ( ) ( )

2 3 3

1 1 1

4 4 4

3log 2 3 log 4 log 6

2x x x + − = − + +

7/ 2 2 1

2

log 2 log 5 log 8 0x x − + + + = 8/ ( ) ( ) ( )226 2

3

2 2 2 2

1log 3 4 .log 8 log log 3 4

3x x x x

− = + −





2/ Giải phươ ng trình: ( )1

3log 3 26 2x x + − = − ( )2

Điều kiện:1 26

3 26 0 33

x x + − > ⇔ > . Lúc đó: ( ) ( ) ( ) 1 2 92 3 26 3 3.3 26 0 2 '

3

x x x

x

+ −⇔ − = ⇔ − − =

Đặt 3 0x

t = > . Khi đó: ( )( )

( )

2

19

2 ' 3 26 0 3 26 9 0 39

t L

t t t t t N

= −

⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ =

Vớ i 9 3 9 2x t x = ⇒ = ⇔ = . Thay vào điều kiện:2 26

3 :3

> thỏa⇒ Nhận nghiệm: 2x =

3/ Giải phươ ng trình: ( )4 2 4log 3 log 1 2 log 8x x + − − = − ( )3


11 0 1

x x x

x x

+ > > − ⇔ ⇔ > − > >

( ) ( ) ( ) ( ) ( )12

212

4 4 4 4 4 44

4

3 log 3 log 1 2 log 4 log 8 log 3 log 1 log 8x x x x

⇔ + − − = − ⇔ + − − =

4 8

3 3log log 2 2 5

1 1

x x x

x x

+ + ⇔ = ⇔ = ⇔ = − − (thỏa ĐK)

4/ Giải phươ ng trình: ( ) ( )

24

4 2log log 4 10 0 4

4

x x

− + =


( ) 2 2 4 4

4 4 2 2 2 24 log log 4 log 4 log 10 0 log 2 8 4 log 10 0x x x x ⇔ − − − + = ⇔ − − − + =

0

2

log 0 2 1 1x x x ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ± (thỏa ĐK).

5/ Giải phươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 2

3 32 log 2 log 4 0 5x x − + − =

Điều kiện:( )

2

2 0 2

44 0

x x

x x

− > > ⇔ ≠− >

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

3 3 3

2

2

5 2 log 2 2 log 4 0 log 2 4 0 2 4 1

2 4 1 6 7 0 3 2

4 4 4

6 9 02 4 1 32 42 4 2 4

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x x x x x

⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ − − =

− − = − + = = ± > > > ⇔ ⇔⇔ ⇔

− + =− − + = = < << < < <

3 2

3

x

x

= +⇔ =

6/ Giải phươ ng trình: ( ) ( ) ( )2 3 3

1 1 1

4 4 4


2x x x + − = − + +

Điều kiện:

( )( )( )

2

3

3

2 0 2 22

4 0 4 0 46 4

6 0 66 0

x x x x

x x x x

x x x

+ > ≠ − ≠ − ≠ − − > ⇔ − > ⇔ < ⇔ − < < + > > − + >

( ) ( ) ( )1 1 1 1

4 4 4 4

16 3 log 2 3 log 3 log 4 3 log 6

4x x x ⇔ + − = − + +





( )( ) ( )( ) 1 1

4 4

log 4 2 log 4 6 4 2 4 6x x x x x x ⇔ + = − + ⇔ + = − +

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

2

2

22 2

824 2 4 6 6 16 0

22 2

2 32 04 2 4 6 1 33

1 33

x

x x x

x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x

> − = > − > − = − =+ = − + + − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < − < − < − = − − =− − = − + = − = +

1 33

−

7/ Giải phươ ng trình: ( ) 2 2 1

2

log 2 log 5 log 8 0 7x x − + + + =


5 0 5

x x

x x

− ≠ ≠ ⇔ + ≠ ≠

( ) ( )( ) ( )( )2 27 log 2 5 log 8 2 5 8x x x x ⇔ − + = ⇔ − + =

( )( )( )( )

2

2

32 5 8 3 18 0

63 2 02 5 8

3 17

2

x x x x x

x x x x x

x

= − − + = + − = ⇔ ⇔ ⇔ = − + =− + = − ± =

8/ Giải phươ ng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 226 2

3

2 2 2 2

1log 3 4 . log 8 log log 3 4 8

3x x x x

− = + −

Điều kiện:

( )( )

6

2

3

3 4 0

3 4 0 43 4 00

0 30

0

x

x x x

x x

x

− > − ≠ − > ⇔ ⇔ < ≠ >> >

( )2

2

2 2 2 2

6 18 log 3 4 .3 log 8 log 2 log 3 4

3 2x x x x

⇔ − = + −

( ) ( )

22

2 2 2 2

6 log 3 4 . log 2 log 4 log 3 4x x x x ⇔ − = + −

( ) ( ) 22

2 2 2 2 2 22 log log 3 4 . log 2 log 3 4 2 log 3 4 . log 0x x x x x x ⇔ − − + − − − =

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

log log log 3 4 2 log 3 4 log 3 4 log 0x x x x x x ⇔ − − − − − − + =





( )( )

( )

2 2 2 2

2 22 22

2 2 2 2 2

2

2

log log 3 4 log 2 log 3 4 0

log log 3 4log log 3 4 0

log 2 log 3 4 0 log 2 log 3 4 log 3 4

0

0 3 43 4

3 43 4

9 25 16 0

x x x x

x x x x

x x x x x

x

x x x x x

x x x x

x x

⇔ − − − − =

= −− − = ⇔ ⇔ − − = = − = − >

> = − = −⇔ ⇔ = − − = − − + =

12

16

9

x x

x

= = =

Thí dụ 2. Giải các phươ ng trình logarit (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hóa)

1/ ( )2log 9 2 3x x − = − ĐS: 0; 3x x = =

2/ ( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 2

log 1 log 1 log 7 1x x x − + + − − = ĐS: 3x =

3/ ( ) ( ) ( )2 3 3

1 1 1

4 4 4


2x x x + − = − + + ĐS: 2; 1 33x x = = −

4/ ( ) ( )2

2 4 1

2

log 2 log 5 log 8 0x x + + − + = ĐS:3 17

6;2

x x ±

= =

5/ 2 2 1

2

log 2 log 5 log 8 0x x − + + + = ĐS:3 17

3; 62

x x hay x ±

= − = =

6/ ( )4 2

2 1

1 1log 1 log 2log 4 2

x

x x +

− + = + + ĐS:5

2x =

7/ ( )2

5log 2 65 2

x x x

−− + = ĐS: 5x = −

Thí dụ 3. Giải các phươ ng trình logarit (sử dụng phươ ng pháp đặt ẩn phụ, hoàn toàn)

1/ 1 2

15 log 1 logx x

+ =− +

ĐS: 100; 1000x x = =

2/ ( ) ( )2 1

2 2log 2 1 . log 2 2 2x x ++ + = ĐS: 0x =

3/ 2 2

3 3log log 1 5 0x x + + − = ĐS:

33x ±=

4/ ( )3 9

3

42 log . log 3 1

1 logx x

x − − =

− ĐS:

1; 81

3x x = =

5. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải các phươ ng trình logarit sau (đưa về cùng cơ số)

1/ ( )2log 1 1x x − =

2/ ( )2 2log log 1 1x x + + =

3/ ( )ln ln 1 0x x + + = 4/ ( )3 3log 7 2log 2 2x + − =

5/ 5 25 0,2

log log log 3x x + = 6/ 2

5 1 5 15 25

log ( 1) log 5 log ( 2) 2 log ( 2)x x x + + = + − −





7/ 1

lg( 6) lg(2 3) 2 lg 252

x x + − − = − 8/ 5 5 5

log log ( 6) log ( 2)x x x = + − +

9/ ( )2 1

8

log 2 6. log 3 5 2x x − − − = 10/ ( ) ( )2 2log 3 log 1 3x x − + − =

11/ ( ) ( )4 4 4log 3 log 1 2 log 8x x + − − = − 12/ ( ) ( )lg 2 lg 3 1 lg 5x x − + − = −

13/ ( ) ( )8 8

22 log 2 log 3

3x x − − − = 14/ lg 5 4 lg 1 2 lg 0,18x x − + + = +

15/ ( ) ( )2

3 3log 6 log 2 1x x − = − + 16/ ( ) ( )2 2

5

1log 3 log 1

log 2x x + + − =

17/ ( )4 4log log 10 2x x + − = 18/ ( ) ( )5 1

5

log 1 log 2 0x x − − + =

19/ ( ) ( )2 2 2log 1 log 3 log 10 1x x − + + = − 20/ ( ) ( )9 3

log 8 log 26 2 0x x + − + + =


1/ ( ) ( )2 2

2 0,52log 1 log 1 3x x x x + + + + − = 2/

2

2 0,5 0,25 2log ( 3) log 5 2log ( 1) log ( 1)x x x + + = − − +

3/ 3 13

3

log log log 6x x x + + = 4/ ( ) ( ) ( )2 21 lg 2 1 lg 1 2 lg 1x x x x + − + − + = −

5/ 4 1 8

16

log log log 5x x x + + = 6/ ( ) ( ) ( )2 22 lg 4 4 1 lg 19 2 lg 1 2x x x x + − + − + = −

7/ 2 4 8

log log log 11x x x + + = 8/ ( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 2

log 1 log 1 1 log 7x x x − + + = + −

9/ 2 2 3 3log log log logx x =

10/ 2 3 3 2log log log logx x =

11/ 2 3 3 2 3 3

log log log log log logx x x + = 12/ 2 3 4 4 3 2

log log log log log logx x =

13/ 2 3 4 20

log log log logx x x x + + = 14/ 2 3 5 2 3 5

log log log log .log . logx x x x x x + + =

15/

3

2 3 3 2

3 1(log ). log log log

23

x x x

x − = + 16/

1 2

2

log 1 log 2 02 4

x x − + − =

17/ 2 ( 3)

lg( 2 3) lg 0( 1)

x x x

x

+ + − + = −

18/ 2 2 2

2 3 6log ( 1).log ( 1) log ( 1)x x x x x x − − + − = − −

19/

0,25

( 3)

2

2 log (4 )

log 6 1log ( 3)x

x

x +

− + =+ 20/ 2 4

cos

log tan log 02 cos sin

x

x x x

+ = +

21/ log 2 log 4

4 2log log 2x x + = 22/ ( ){ }4 3 2 2

1log 2 log 1 log 1 3 log

2

x + + =

23/ ( ) ( )lg 2 1 lg 3 2 lgx x x + + − = 24/ ( ) ( ) ( )ln 1 ln 3 ln 7x x x + + + = +


1/ ( )2log 9 2 3x x − = − 2/ ( )3

log 3 8 2x x − = −

3/ ( )7log 6 7 1x x −+ = + 4/ ( )1

3log 4.3 1 2 1x x − − = −

5/ ( ) ( )5log 3

2log 9 2 5 x x −− = 6/ ( )2

log 3.2 1 2 1 0x x − − − =





7/ ( )2log 12 2 5x x − = − 8/ ( )5

log 26 3 2x − =

9/ ( )1

2log 5 25 2x x + − = 10/ ( )1

4log 3.2 5x x + − =

11/ ( )1

1

6

log 5 25 2x x + − = − 12/ ( )1

1

5

log 6 36 2x x + − =

Bài 4. Giải các phươ ng trình logarit (đưa về cùng cơ số)

1/ ( )2

5log 2 65 2

x x x

−− + = 2/ ( )2

1log 4 5 1

x x x

−− + =

3/ ( )2log 5 8 3 2x

x x − + = 4/ ( )3 2

1log 2 2 3 1 3

x x x x

++ − + =

5/ ( )3log 1 2

x x

−− = 6/ ( )log 2 2

x x + =

7/ ( )2

2log 5 6 2

x x x − + = 8/ ( )2

3log 1

x x x

+− =

9/ ( )2log 2 7 12 2x

x x − + = 10/ ( )2log 2 3 4 2x

x x − − =

11/ ( )2log 2 1x

x − = 12/ ( )2

3 5log 9 8 2 2

x x x

++ + =

13/ ( )2

2 4log 1 1

x x

++ = 14/

15log 2

1 2x x = −

−

15/ ( )2log 3 2 1x

x − = 16/ ( )2 3log 3 1

x x x

++ =

17/ ( )2log 2 5 4 2x

x x − + = 18/ 2

16 64log log 3x x

+ =

Bài 5. Giải các phươ ng trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ hoàn toàn)

1/ 3 2log 2 log 2 logx x x − + = − 2/

2

2 2

log 4 log 3 0x x − + =

3/ ( )3 3log 27 3 log 1 0x x − − = 4/

2 2

3 3log log 1 5 0x x + + − =

5/ 2

2 122

log 3 log log 2x x x + + = 6/ 4

7log 2 log 0

6x x − + =

7/

22

1 2

2

log 4 log 88

x x + = 8/

2

2 122

log 3 log log 0x x x + + =

9/ 2 2log 16 log 64 3

x x + = 10/

5

1log log 2

5x x − =

11/ 7

1log log 27x

x − = 12/ 5

12 log 2 log5x

x − =

13/ 2 2

3 log log 4 0x x − = 14/ 3 3

3 log log 3 1 0x x − − =

15/ 3 3

2 2

4log log

3x x + = 16/

3 32 2

2log log

3x x − = −

17/ 2

2 4

1log 2 log 0x

x + = 18/ ( ) ( )2

2 1

4

log 2 8 log 2 5x x − − − =

19/ 2

5 25log 4 log 5 5 0x x + − = 20/

29log 5 log 5 log 5

4x x x

x + = +

21/ 2 9log 3 log 1

x x + = 22/ ( ) ( )1

3 3log 3 1 .log 3 3 6x x +− − =





23/ ( ) ( )5 33log 2 . log 2 log 2x x x − = − 24/ ( ) ( )1

2 2log 2 1 . log 2 2 2x x ++ + =

25/ log 5 log 5x x

x = − 26/ 2sin coslog 4. log 2 4

x x =

27/ 2cos coslog 4. log 2 1

x x = 28/

1 21

4 lg 2 lgx x + =

− +

29/ 1 3

15 lg 3 lgx x

+ =− +

30/

2 2

1 21

4 log 2 logx x + =

+ −

31/ 2 2

4 44 log 2 log 1 0x x + + = 32/

3 2log 10 log 10 6 log 10 0x x x

+ − =

33/ 2log 5 5 1,25 log 5

x x − = 34/ ( ) ( )2

2 4log 5 1 . log 5 1 1x x − − =

35/ ( )2

2

2log 2 . log 2 1

x x = 36/ ( )2 3 3

log 3 3 4. log 2 0x

x

++ − =

37/ 2 2

log 2 log 4 3x

x + = 38/

3 81

log 3. log 3 log 3 0x x x

+ =

39/ 2 32 16 4log 14 log 40 log 0x x x x x x − + = 40/ 2 1log 1 log 64 1x x ++ − =

41/ 2 lg 2

lglg 1 lg 1

x x

x x = − +

− −42/

1 1

3 3

log 2 3 log 1x x − + = +

43/ ( ) ( )2 2 2

2 3 6log 1 . log 1 log 1x x x x x x − − + − = − −

Bài 6. Giải các phươ ng trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ không hoàn toàn)

1/ ( ) ( ) ( )2

5 5log 1 5 log 1 16x x x + + − + = 2/ ( )2

3 3log 12 log 11 0x x x x + − + − =

3/ 22 2lg lg . log 4 2 log 0x x x x − + = 4/ 2 2log log 626.9 6. 13.x x x + =

5/ ( )2

2 2. log 2 1 log 4 0x x x x − + + = 6/ ( )2

2 2log 1 log 6 2x x x x + − = −

7/ ( ) ( ) ( ) ( )2

3 32 log 1 4 1 log 1 16x x x x + + + + + = 8/ ( ) ( ) ( ) ( )2

3 33 log 2 4 2 log 2 16x x x x + + + + + =

9/ ( )2 2log 2 log 2

x x x x

−+ + = 10/ ( ) ( ) ( )2

3 3log 1 5 log 1 2 6x x x x + + − + = −

11/ ( )2

2 2log 1 log 6 2x x x x + − = − 12/

3 34 log 1 log 4x x − − =

13/ ( ) ( )2 2

2 2 2log 3 2 log 7 12 3 log 3 0x x x x + + + + + − − =

Bài 7. Giải các phươ ng trình logarit (sử dụng công thức biến đổi, đặt ẩn phụ)

1/ 9 9 3log log log 27

4 6.2 2 0x x

− + = 2/ 3 3 3log log log 9

4 5.2 2 0x x

− + =

3/ 22 3log 1 2 log

2 48x x

x + = − 4/

22 2

log 1 2 log2 224

x x x

++ =

5/ 2

2 2 3 2 3log log log log .log 0x x x x x − + − = 6/ ( )7 3

log log 2x x = +

7/ ( ) ( )2 3log 3 log 2 2x x − + − = 8/ ( ) ( )3 5

log 1 log 2 1 2x x + + + =

9/ ( )6log

2 6log 3 log

x x x + = 10/

( )7log 3

4x

x +

=

11/

( )2 3

log 1 logx x + = 12/ 2 2 2log 9 log log 32.3

x x x x = −

13/ ( ) ( )2 2

3 7 2 3log 4 12 9 log 6 23 21 4

x x x x x x

+ ++ + + + + = 14/ ( ) ( )2 2

2 2 2 22 log log log .log 2x x x x x x − + − − =





15/ 3 2 lg 1 lg 1x x − = − − 16/ ( ) ( )2 2

2log 1 3 log 1 2x x x x − − + + − =

17/ 3 33 3

1 log 1 log 1x x − + + = 18/ ( ) ( )2 2

4 43 log 4 2 5 log 4 6x x x x + − + − − =

19/ 21 lg 10x x + − = 20/

3 32 3

log 2 3 3 log 2x x + = −

21/ 2

2 2log log 1 1x x + + = 22/ ( )6

6 3 log 5 1 2 1x x x = + + +

23/ ( )1

77 6.log 6 5 1x x − = − + 24/

( )5 52 log 2 log 2

5 2 5x x + +

− =

Bài 8. Giải phươ ng trình logarit (sử dụng tính đơ n điệu của hàm số)

1/ ( )2log 3 1 1x x − = − + 2/

1

3

log 4x x = −

3/ 3

log 4x x + = 4/ 1

2

2 log 5x x + =

5/ 3log 11x

x = − + 6/ ( )5

log 3

2x

x +

=

7/ ( )2

log 33

x x

−= 8/ ( )2 3

log 1 logx x + =

9/ 1

2

12 2 logx x x

x

− −− = 10/ ( ) 2 2

log 3 log 5; 0x x x x + = >

11/ 2 2log log2 3 5

x x x + = 12/ ( )5

log 3 3x x + = −

13/ ( )2log 3 x x − = 14/ ( ) ( )2

2 2log 6 log 2 4x x x x − − + = + +

15/ 2log

2.3 3x

x + = 16/ ( ) ( ) ( ) ( )2 34 2 log 3 log 2 15 1x x x x − − + − = +

17/ 3 2

2 log cot log cosx x = 18/ ( )4 8

6 42 log logx x x + =

19/ ( )4

2 3

1log log

4x x x + = 20/ ( )2 2

3 3log 1 log 2x x x x x + + − = −

Bài 9. Giải các phươ ng trình logarit (đưa về phươ ng trình tích hoặc dùng phươ ng pháp đối lập)

1/ 2 7 2 7

log 2 log 2 log . logx x x x + = + 2/ 2 3 3 2

log . log 3 3.log logx x x x + = +

3/ ( ) ( )2

9 3 32 log log .log 2 1 1x x x = + − 4/ ( )2 3ln sin 1 sin 0x x − + =

5/ ( )2 22log 1 1x x x + − = − 6/

( )2 1 3 2

2

3

82 2log 4 4 4

x x

x x + −+ =

− +

Bài 10. Giải các phươ ng trình logarit (có chứa lượ ng giác)

1/ 5 15

1 1 1log sin log cos

2 2 25 5 15x x + +

+ = 2/ 5 9

1 1 1log cos log sin

2 2 26 3 9x x + +

+ =

3/ ( ) ( )21

25

log 2 513 5

3 5

x x

x x

+ −

= −−

4/ ( ) ( )21

4

log 1 7 212 1

2 1

x x

x x

+ −

= −−

5/ 2 4

coslog tan log 0

2 cos sin

x x

x x + =

+6/ 2 27 7

3 sin 2 2 sinlog log 2

sin2 cosx x

x x

x x − −

−=

7/ ( )2

2 23 log sin log 1 cos 2 2x x + − = 8/

1 3

3

log sin cos 2 log sin sin 02 2

x x x x

+ + − =





9/ ( ) ( )2 26 6

10 10

log sin 3 sin log sin 2x x x x

x x x − −

+ = 10/ ( )tan2

tan2

3 33 0

3

x

x − =

11/ 1 6

6

3 3 3 3log sin 3 tan log sin 3 tan 2 0

2 2 2 2

x x x x

− − + − − =

12/ 1 5

5

3 3 3 3log cos tan 2 log cos 3 tan 0

2 2 2 2

x x x x

+ − + + − =

Bài 11. Tìm tham số m để các phươ ng trình logarit sau có nghiệm duy nhất.

1/ ( ) 33log 3 logx mx + = 2/ ( )2 lg 3 1 lgx mx + = +

3/ ( ) ( )2lg lg 8 3 3x mx x m + = − + 4/ ( ) ( )2lg 2 lg 8 6 3 0x mx x m + − − − =

5/ ( ) ( )2

1

10

lg 2 1 log 4 0x m x mx − − + + = 6/ ( ) ( )2

2 3 2 3log 2 1 log 2 2 0x m x x m

+ −

− + + + − =

7/ ( ) ( )22log 2 logx mx − = 8/ ( )2

5 2 5 2log 1 log 0x mx m x

+ −+ + + + =

9/ ( ) ( )2

3 3log 4 log 2 2 1x mx x m + = − − 10/ ( ) ( )2

2 2 7 2 2 7log 1 log 0x m mx x

+ −− + + − =

Bài 12. Bài toán liên quan đến tìm tham số.

1/ Tìm tham số m để phươ ng trình: ( )2log 4 1x m x − = + có hai nghiệm phân biệt.

2/ Tìm tham số m để phươ ng trình: ( )3

3log 9 9 2x m + = có hai nghiệm phân biệt.

3/ Tìm tham số m để phươ ng trình: ( )

2

3 3log 2 . log 3 1 0x m x m − + + − = có hai nghiệm phân biệt

1 2,x x thỏa:

1 227x x = .

4/ Tìm tham số m để phươ ng trình: ( ) ( )2 2 2 2

4 22 log 2 2 4 log 2x x m m x mx m − + − = + − có hai

nghiệm phân biệt1 2,x x thỏa:

2 2

1 21x x + > .

5/ Cho phươ ng trình:2 2

3 3log log 1 2 1 0x x m + + − − =

a/ Giải phươ ng trình khi 2m =

b/ Tìm m để phươ ng trình có ít nhất một nghiệm trên31; 3

.

6/ Cho phươ ng trình: ( )2 2 22 1 4

2

log log 3 log 3x x m x + − = −


b/ Tìmm để phươ ng trình có nghiệm 32x ≥

7/ Cho phươ ng trình: ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1

2 2

1 log 2 5 log 2 1 0m x m x m − − − − − + − =


b/ Tìm m để phươ ng trình có nghiệm1 2,x x thỏa:

1 22 4x x ≤ ≤ ≤

8/ Tìm tham số m để phươ ng trình: ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1

2 2

3 log 4 2 1 log 4 2 0m x m x m − − − − − + + = có hai


1 24 6x x < < < .





9/ Tìm tham số m để phươ ng trình: ( ) ( ) ( ) ( )2

2 24 log 2 2 1 log 2 1 0m x m x m − − − − − + + = có hai


1 20 2x x < < < .

10/ Cho phươ ng trình: ( )2

2 1

2

4. log log 0x x m − + =

a/ Giải phươ ng trình khi 0m = b/ Tìmm để phươ ng trình có nghiệm trên( )0;1

11/ Cho phươ ng trình: ( ) ( )2lg 2 lg 2 1 0x mx x m + − − − = . Tìmm để phươ ng trình có duy nhất một

nghiệm.

12/ Cho phươ ng trình: 2 2

2log . log log log 4. log2 m m m x x

x m x m + = . Tìmm để phươ ng trình sau

có nghiệm và tìm nghiệm đó.

13/ Cho phươ ng trình: 2 log 1 log 1m m

x x − − = . Tìmm để tổng bình phươ ng tất cả các nghiệm của

phươ ng trình bằng 34.14/ Cho phươ ng trình: ( )

( )( )2log 4 2 3

2 2 . 2x

m x x −

− = −

a/ Giải phươ ng trình vớ i 2m = .

b/ Tìm tham số m để phươ ng trình có hai nghiệm phân biệt1 2,x x thỏa:

1 2

54

2x x ≤ < ≤

15/ Tìm ( )5;16α ∈ , biết rằng phươ ng trình:

cos sin

2 3 11 cos

2 8 3

x x

ax π

π−

+ + = có nghiệm 1;2 ∈ .

16/ Tìm ( )2;7α ∈ , biết rằng phươ ng trình:2

3

5log 1 sin cos 1

2 2

x ax π π + + = −

có nghiệm

thuộc 1;2 .





đồng biến trênD thì: f u f v u v < ⇒ <

nghịch biến trênD thì: f u f v u v < ⇒ >

Bài 6: BẤT PHƯƠ NG TRÌNH – HỆ PHƯƠ NG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

1. Bất phươ ng trình mũ

Khi giải bất phươ ng trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơ n điệu của hàm số mũ.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 1

f x g x

a

f x g x a a

x

f x g x

> >> ⇔ < < <

. Tươ ng tự vớ i bất phươ ng trình dạng:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

f x g x

a a

a a

a a

≥ < ≤

Trong trườ ng hợ p cơ sốa có chứa ẩn số thì: ( )( )1 0M N a a a M N > ⇔ − − > .

Ta cũng thườ ng sử dụng các phươ ng pháp giải tươ ng tự như đối vớ i phươ ng trình mũ:

+ Đưa về cùng cơ số.

+ Đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng tính đơ n điệu:( )( )

y f x

y f x

= =

+ ……………

2. Bất phươ ng trình logarit

Khi giải bất phươ ng trình logarit, ta cần chú ý đến tính đơ n điệu của hàm số logarit.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0log log0 1

0

a a

a

f x g x f x g x a

f x g x

> > >> ⇔ < < < <

Trong trườ ng hợ p cơ số a có chứa ẩn số thì:

+ ( )( )log 0 1 1 0a

B a B > ⇔ − − >

+ ( )( )log

0 1 1 0log

a

a

AA B

B > ⇔ − − >

Ta cũng thườ ng sử dụng các phươ ng pháp giải tươ ng tự như đối vớ i phươ ng trình logarit:

+ Đưa về cùng cơ số.+ Đặt ẩn phụ.

+ ……………

3. Hệ phươ ng trình mũ và logarit

Khi giải hệ phươ ng trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phươ ng pháp giải hệ phươ ng trình đã học như:

Phươ ng pháp thế.

Phươ ng pháp cộng đại số.

Phươ ng pháp đặt ẩn phụ.

Phươ ng pháp dùng tính đơ n điệu của hàm số.

……………………………





4. Một số thí dụ


1/ Giải bất phươ ng trình: ( )

29 17 11 7 5

1 11

2 2

x x x − + − ≥

( ) ( )2

2 2 21 9 17 11 7 5 9 12 4 0 3 2 0

3x x x x x x x ⇔ − + = − ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ =

2/ Giải bất phươ ng trình: ( ) 2

113 2

9

x x x + >

Điều kiện: 1x ≠ −

( )2

2 1 2 2 12 3 3 2 2 0 2 1 0

1 1 1

x

x x x x

x x x x x x

− + ⇔ > ⇔ − > ⇔ + < ⇔ + < + + +

( )

2 2 20

1 01

x x x

x x

+ < −⇔ < ⇔ − < <+

. Kết hợ p vớ i điều kiện2

1 0

x

x

< −⇒ − < <

3/ Giải bất phươ ng trình: ( ) 1 2 2 13 5 3 5 3x x x x + + + ++ ≥ +

( ) 5

3

5 3 33 25.5 5.5 9.3 3.3 20.5 6.3 log

3 10 10

x

x x x x x x x ⇔ − > − ⇔ > ⇔ > ⇔ >


22 1 1

2 21 14

2 2

x x x

x x

+ + − + ≤ +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 14 1 . 2 1 1 0 2 2 0

2 2x x x x x x x

⇔ + − + + − − ≤ ⇔ − + ≤

( )

1 1

; 1 ; 0 ;2 2x

⇔ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞

.

Thí dụ 1. Giải các bất phươ ng trình mũ sau.

1/

29 17 11 7 5

1 1

2 2

x x x − + − ≥

( )1 2/

2

11

39

x x

x + >

( )2

3/ 1 2 2 13 5 3 5x x x x + + + ++ ≥ + ( )3 4/

22 1 1

2 21 1

2 2

x x x

x x

+ + − + ≤ + ( )4

Thí dụ 2. Giải các bất phươ ng trình mũ sau:

1/

2

2

2

2 19 2 3

3

x x

x x

−

− − ≤

( )1 2/

1 1 1

9.25 16.15 25.9x x x − ≥ ( )2

3/ 2 4.5 4 10x x x + − < ( )3 4/ 1

1 1

3 1 1 3x x −>

− − ( )4

5/ 1

2 2 1x x −

− < ( )5 6/

2 22 2 1

9 7.3 2x x x x x x − − − − −

− ≤ ( )6

7/

44

1

22.3 9 9x

x x x +

+ + ≥ ( )7 8/ 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x + + +− − > ( )8






1/ Giải phươ ng trình: ( )

2

2

2

2 19 2 3 1

3

x x

x x

−

− − ≤

( ) ( ) ( )

2 2 2 22

2 2 2 2

1 9 2.3 3 0 3 2.3 3 0 1'x x x x x x x x − − − −

⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤

Đặt:2 23 0x x t −= > . Lúc đó: ( ) 2

0 01' 0 3

1 32 3 0

t t t

t t t

> > ⇔ ⇔ ⇔ < ≤ − ≤ ≤− − ≤

Vớ i2 2 2 20 3 0 3 3 2 1 2 1 0 1 2;1 2x x t x x x x x − < ≤ ⇒ < ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ∈ − +

.


1 1 1

9.25 16.15 25.9 2x x x − ≥


( ) ( )

2 1

5 52 9. 16. 25 0 2 '3 3

x x ⇔ − − ≥

. Đặt

1

5 03

x

t

= >

Khi đó: ( )

12

2

0

0 25 5 25 5 112 ' 2

9 16 25 0 9 3 9 325

9

x

t

t t t

t t x t

> > ≤ − ⇔ ⇔ ⇔ ≥ ⇔ ≥ = ⇔ ≥ − − ≥ ≥

1 1 2 12 0 0 0

2

x x

x x

−⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ < ≤ . Kết hợ p vớ i điều kiện

10;

2x

⇒ ∈

3/ Giải bất phươ ng trình: ( ) 2 4.5 4 10 3x x x

+ − <

( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 10 4.5 4 0 2 1 5 4 1 5 0 1 5 2 4 0x x x x x x x x ⇔ − + − < ⇔ − − − < ⇔ − − <

( ) ( )

1 5 0 5 1

2 4 0 2 4 2; 0 2;

01 5 0 5 1

2 4 0 2 4

x x

x x

x x

x x

x x

x

− < > − > > > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ < − > < − < <


1 14

3 1 1 3

x x −>

− −

.

Điều kiện:1 1

3 1 0 3 1 0

11 3 0 3 1

x x

x x

x

x − −

− ≠ ≠ ≠ ⇔ ⇔ ≠− ≠ ≠

( )( )( ) ( )

( ) 1

1 1

32 3

1 1 1 3 3 1 34 0 0 0 4 '3 1 1 3 3 1 1 3 3

3 1 13

x x

x x

x x x x x x

−

− −

− −− − +

⇔ − > ⇔ > ⇔ > − − − − − −





Đặt 3 0x t = > . Khi đó: ( )

( ) ( )( )

00

42 3

4 ' 3 0 2 01 1 1 4

3

t t

t t

t t t t

> > − −⇔ ⇔ > > − − − −

3

3

3330 log1 31

2224 4 3 log 4

x

x

x t

t x

< < < << < ⇔ ⇔ ⇔ > < >

5/ Giải bất phươ ng trình:12 2 1x x −− < ( )5

Điều kiện: 0x ≥

( ) ( ) 2

5 2 1 5 '2

x

x ⇔ − < . Đặt Do2 . 0 1x t x t = ≥ ⇒ ≥

( ) 21 15 ' 1 2 1 2 2 0 12 2 01

x t t t x t t t

t

≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ < ⇔ ≤ < ⇔ ≤ < − − <− <

6/ Giải bất phươ ng trình:2 22 2 19 7.3 2x x x x x x − − − − −− ≤ ( )6

( ) ( ) 2 22 26 3.9 7.3 6 6 'x x x x x x − − − −⇔ − ≤ . Đặt

2 23 0x x x t − −= >

( )2 2 2

2

006 ' 3 3 3 2 123 7 6 0 3

3

x x x

t t t x x x

t t t

− −

> > ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ − − ≤ − ≤ ≤

( )

2

2

22

0

22 0 10

2 1 1 0 1 4212 1

4

x

x x x x

x x x x x

x x x x x

≤ ≥ − ≥ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ≤ + ≥ −

7/ Giải bất phươ ng trình:

44

1

22.3 9 9x

x x x +

+ + ≥ ( )7

( ) ( )

4 4

4 4 4 4

2

3 97 2.3 3.9 9 2. 3. 1 2.3 3.9 1 7 '

3 9

x x x x x x x x x x x

x x

++ − −⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥

Đặt4

3 0x x t −= > . Khi đó: ( )4

4 41

2

3 0 17 ' 3 3 1

33 2 1 0

x x

x x t

t x x t t

−

− − = >⇔ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ − + − ≥

4 4 1 5 7 3 51 0 0

2 2x x x x

+ +⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤ .

8/ 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x + + +− − > ( )8

( )2 4

2 4 4

2 4 2 4

3 38 3 8.3 9.9 0 8. 9 0

3 3

x x x x x x x

x x

+ ++ + +

+ +⇔ − − > ⇔ − − >

( ) ( ) 2 4 43 8.3 9 0 8 '

x x x x − + − +⇔ − − >





Đặt43 0x x t − += > . Khi đó: ( )

4

4 2

2

3 08 ' 9 3 3 4 2

8 9 0

x x

x x t

t x x t t

− +

− + = >⇔ ⇔ > ⇔ > ⇔ − + > − − >

( )2 2

2 0 22 4 0

3 02 4

x x x x x

x x x x

+ > > − ⇔ + > + ⇔ ⇔ ⇔ > + >+ > +


1/ Giải bất phươ ng trình: ( ) 2 1 35 7 1x x − −<

( ) ( )

( )

2 1 3

5 5 5 5 5

5

5 5

5

1 log 5 log 7 2 1 3 log 7 2 log 7 3 log 7 1

1 3 log 72 log 7 3 log 7 1

2 log 7

x x x x x x

x x

− −⇔ < ⇔ − < − ⇔ + < +

+⇔ + < + ⇔ <

+

2/ Giải bất phươ ng trình:4 2 43 2 13x x + ++ > ( )2


22 4 0 2

x x x

x x

+ ≥ ≥ − ⇔ ⇔ ≥ − + ≥ ≥ −

Xét hàm số: ( ) 4 2 43 2x x f x + += + xác định trên )2;D = − +∞ .

Ta có: ( ) ( )4 2 41 1' 3 .ln 3. 2 . ln 2. 0, 2,

2 4 2 4

x x f x x x x

+ += + > ∀ ∈ − +∞+ +

( ) 4 2 43 2x x f x + +⇒ = + đồng biến ( )2,x ∀ ∈ − +∞ .

Mà: ( ) ( ) ( )0 13 0 0 13 f x f x f = ⇒ ∀ > ⇔ > = .

Vậy nghiệm của phươ ng trình là 0x > . Kết hợ p vớ i điều kiện⇒ 0x > là nghiệm của bất phươ ng trình.

3/ Giải bất phươ ng trình: ( ) 3.2 7.5 49.10 2 3x x x + > −

( )

3.2 7.5 2 1 1 12 3.2 7.5 2 49.10 49 3 7 2 49

5 2 1010

x x x x

x x

x

+ + ⇔ + + > ⇔ > ⇔ + + >

Xét hàm số: ( )1 1 1

3 7 25 2 10

x x x

f x = + +

xác định trên ℝ .

( )1 1 1 1 1 1

' 3 ln 7 ln 2 ln 0,5 5 2 2 10 10

x x x

f x x = + + < ∀ ∈

ℝ .

( ) 1 1 13 7 2

5 2 10

x x x

f x ⇒ = + +

luôn đồng biến trên ℝ .

Ta có: ( ) ( ) ( )1 49 1 : 1 49 f x f x f − = ⇒ ∀ < − > − = Vậy nghiệm của bất phươ ng trình là 1x < − .

Thí dụ 3. Giải các bất phươ ng trình mũ sau:

1/ 2 1 35 7x x − −< 2/

4 2 43 2 13x x + ++ >

3/ 3.2 7.5 49.10 2x x x + > − 4/

23 3 20

4 2

x

x

x − + −≥

−






23 3 20

4 2

x

x

x − + −≥

− ( )4

Xét hàm số: ( ) 23 3 2x f x x −= + − trên ℝ .

( ) ( )2 2' 3 . ln 3 2 0, 3 3 2x x f x x f x x − −= − − < ∀ ∈ ⇒ = + −ℝ là hàm số luôn nghịch biến trên ℝ .

Xét hàm số: ( ) 4 2x g x = − trên ℝ .

( ) ( )' 4 ln 4 0, 4 2x x g x x g x = > ∀ ∈ ⇒ = −ℝ là hàm số luôn đồng biến trên ℝ .

Lúc đó: ( )( )( )

4 0 f x

g x ⇔ ≥

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

0 2 21 102 12 2

2 20 2

110

22

f x f x

g x g x

x x f x f

x g x g

≥ = ≤ > = > ⇔ ⇔ ⇔ < ≤ ≥ ≤ = < < =

.



2

1

2

3 2log 0

x x

x

− +≥ ( )1

Điều kiện:

2 0 13 20

2

x x x

x x

< <− + > ⇔ >

( )

2 2 2

1 1

2 2

2

3 2 3 2 3 21 log log 1 1 1 0

2 2 14 20

2 2 2

x x x x x x

x x x

x x x

x x

− + − + − +⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤

− ≤ <− + ⇔ ≤ ⇔

< ≤ +

Kết hợ p vớ i điều kiện, nghiệm của bất phươ ng trình là:2 2 1

2 2 2

x

x

− ≤ < < ≤ +


0,7 6log log 0 2

4

x x

x

+ < +

Điều kiện:

2 2

2 2

2 2

6

0 0 4 244 4 1 024 4

log 0 1

4 4

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x

+ + > > − < < + − + + ⇔ ⇔ > ⇔ > ⇔ >+ + + + > > + +

Thí dụ 4. Giải các bất phươ ng trình logarit sau:

1/

2

1

2

3 2log 0

x x

x

− +≥ 2/

2

0,7 6log log 0

4

x x

x

+ < +

3/ ( ) ( )3 1

3

2 log 4 3 log 2 3 2x x − + + ≤ 4/ ( ) ( )2

5 5 5log 4 144 4 log 2 1 log 2 1x x −+ − < + +





( )

2 2 2 2

0,7 6 0,7 6 6 6

2 2

2 log log log 1 log 1 log log 6 64 4 4 4

4 35 246 0 0

84 4

x x x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x x

+ + + + ⇔ < ⇔ > ⇔ > ⇔ > + + + + − < < −+ − − ⇔ − > ⇔ > ⇔ >+ +

Kết hợ p vớ i điều kiện, nghiệm của bất phươ ng trình là:4 3

8x

x − < < − >

3/ Giải bất phươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 3 1

3

2 log 4 3 log 2 3 2 3x x − + + ≤

Điều kiện:

34 3 0 342 3 0 3 4

2

x x x

x x

> − > ⇔ ⇔ > + > > −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

3 3 3 3

22

3 log 4 3 2 log 2 3 log 4 3 log 9 2 3

34 3 9 2 3 16 42 18 0 3

8

x x x x

x x x x x

⇔ − ≤ + + ⇔ − ≤ +

⇔ − ≤ + ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤

Kết hợ p vớ i điều kiện, nghiệm của bất phươ ng trình là:3

34

x < ≤

4/ Giải bất phươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 2

5 5 5log 4 144 4 log 2 1 log 2 1 4x x −+ − < + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

5 5 5 5 5

2

4 log 4 144 log 16 log 5 2 1 log 4 144 log 80 2 1

4 144 80 2 1 4 20.2 64 0 4 2 16 2 4

x x x x

x x x x x x

− −

−

⇔ + − < + ⇔ + < + ⇔ + < + ⇔ − + < ⇔ < < ⇔ < <

5. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải các bất phươ ng trình mũ (đưa về cùng cơ số)

1/ 3 62 1x − > 2/ 16 0, 125x >

3/ ( )22 3 6

0, 3 0, 00243x x − +

< 4/

2

13

3

x

x

+

− >

5/ 24 2 2 2 30,1 0,1x x x − − +≤ 6/

13 9

x +>

7/ 88 4096x > 8/

2 23 4 3 42 3x x x x − − − −<

9/

24 15 13 4 3

1 1

2 2

x x x − + − <

10/

6 5

2 52 25

5 4

x

x

−

+ <

11/ 2

1

2 13

3

x x

x x

− −

− ≥

12/

6 32 1 1

1 1

2 2

x x x − + − <

13/ ( )1 1 25 3 2 5 3x x x x + − −− ≥ − 14/ 2 1 17 5 2.7 118.5x x x x + − −− < −

15/ 2 3 4 1 22 2 2 5 5x x x x x + + + + +− − > − 16/

1 23 3 3 11x x x − −+ − ≤

17/

2 23 2 3 2

9 6 0

x x x x − + − +

− < 18/

2 3 7 3 1

6 2 .3

x x x + + −

≤ 19/

2 2 22 1 24 .2 3.2 .2 8 12x x x x x x x ++ + > + + 20/ 2 1 26 3 . 3 2.3 . 3 9x x x x x x x ++ + < + +

21/ 1 2 1 29 9 9 4 4 4x x x x x x + + + ++ + < + + 22/

1 3 4 27.3 5 3 5x x x x + + + ++ ≤ +





23/ 2 1 22 5 2 5x x x x + + ++ ≤ + 24/

1 22 .3 36x x − + >

25/ ( ) ( )3 1

1 310 3 10 3

x x

x x

− +

− ++ < − 26/ ( ) ( )1

12 1 2 1

x x

x +

−+ ≥ −

27/ 2

1

2

12

2

x

x x

−

−

≤ 28/

1 12 1 3 12 2

x x − +≥

29/ ( ) ( )2 21 6

0, 4 0, 6x x − +

> 30/

2

2

2

10,2 25x

x

+

− >

Bài 2. Giải các bất phươ ng trình mũ (đặt ẩn phụ)

1/ 1 23 3 3 11x x x − −+ − < 2/ 2 2 3 0x x −+ − <

3/ 0,54 7.2 4 0x x − + −− − < 4/

2 15 5 5 5x x x −+ < +

5/

1

1

2 12

2 1

x

x

−

+

−<

+6/

1

1 1

3 5 3 1x x +<

+ −

7/ 2.14 3.49 4 0x x x + − ≥ 8/

1 11 2

4 2 3 0x x − −

− − ≤

9/ ( ) ( )

222 1 34 2 8 52

x x x −−

− + > 10/ 4 418.3 9 9x x x x + ++ >

11/ 25.2 10 5 25x x x − + > 12/ 2 1 15 6 30 5 .30x x x x + ++ > +

13/ 6 2.3 3.2 6 0x x x − − + ≥ 14/ 27 12 2.8x x x + >

15/

1 1 1

49 35 25x x x − ≤ 16/ 1 2 1 23 2 12 0

x

x x + +− − <

17/ 2 2 22 1 2 1 225 9 34.25x x x x x x − + − + −+ ≥ 18/

2 4 43 8.3 9.9 0x x x x + + +− − >

19/ 1 1 14 5.2 16 0x x x x + − + − +− + ≥ 20/

1 1

1 22 2 9x x + −+ <

21/ ( ) ( )3 2 3 2 2x x

+ + − ≤ 22/

1 11 2

2 2 9x x + −

+ <

23/

2 11

1 13. 12

3 3

x x +

+ > 24/

3 1

1 1128 0

4 8

x x − − − ≥

25/ ( )2 1 22 9.2 4 2 3 0x x x x + − + + − ≥ 26/

12 2 10

2 1

x x

x

− − +≤

−

27/

1

1

11.3 31

54.9 11.3 5

x

x x

−

−

−

≥− − 28/ 2 1

4 7.5 2

35 12.5 4

x

x x +

−

≤− +

Bài 3. Giải các bất phươ ng trình mũ (sử dụng tính đơ n điệu)

1/ 22 3 1x

x < + 2/

12 2 10

2 1

x x

x

− − +≤

−

3/

22.3 21

3 2

x x

x x

+−≤

−4/

4 2 43 2 13x x + ++ >

5/

23 3 20

4 2

x

x

x − + −≥

−6/

2

3 40

6

x x

x x

+ −>

− −

7/ ( )223 5 2 2 3 . 3 5 2 2 .3x x x x x x x x − − + + > − − + +





Bài 4. Giải các bất phươ ng trình logarit (đưa về cùng cơ số)

1/ ( )2

8 1

3 2

log log 6 0x x − − ≥

2/

2

0,5 6log log 0

4

x x

x

+ < +

3/ ( )( )2

1 4

3

log log 5 0x − > 4/ ( )1 2 1

2

log log log 9 0x −

>

5/ ( ) ( )3 3log 1 2 log 5 2x x − ≥ − 6/ ( ) ( )5 5

log 1 2 1 log 1x x − < + +

7/ ( )2 9log 1 2 log 1x − < 8/ ( ) ( )5 5

log 1 log 3x x − < +

9/ 3 0,2 32

1log log log 0

5

x

x

− ≤ + 10/ ( ) ( )2 2

1 7 4 1

4 7

log log 1 log log 1x x x x + + < + −

11/ ( )1 1

3 3

log 5 log 3x x − < − 12/ 2 1 5

3

log log log 0x >

13/ ( ) ( )2 2log 3 4 log 5 2x x + > − 14/ 1 2

3

1 2log log 01

x

x

+ > +

15/ ( )0,4 0,4

7log log 5

2 3

x x

x

+< −

+16/ ( )2

1 4

3

log log 5 0x − >

17/ ( ) ( )7 7log 2 log 3 6x x − ≤ + 18/ ( ) ( )2

1 1

3 3

log 4 log 2 2x x x + < + −

19/ ( )2

1

2

4 log 0x x − > 20/ 26 6log log

6 12x x

x + ≤

21/ ( ) ( )2 2log 3 1 log 1x x + ≥ + − 22/

( )2

2 2log log

2 0x x

x + <

23/ 3 1

2

log log 0x ≥ 24/ ( ) ( )8 18

22 log 2 log 33

x x − + − >

25/ 3 4 1 1

3 4

4 1 1log log log log

1 4 1

x x

x x

− + < + − 26/

2 3 0,5 0,3

1 1log log log log

1 1

x x

x x

− + < + −

27/

2

0,1 2

1log log 0

1

x

x

+<

−28/

( )44

1 1

1log 3log

2

x x

x

>++

+

29/ 2

3

2 3log 01

x

x

− ≥ + 30/ ( ) ( )

2 2

1 5 3 1

3 5log log 1 log log 1x x x x + + > + −

Bài 5. Giải các bất phươ ng trình logarit sau:

1/ ( )( )

2lg 11

lg 1

x

x

−<

−2/

( ) ( )2 3

2 3

2

log 1 log 10

3 4

x x

x x

+ − +>

− −

3/ ( )2lg 3 2

0lg lg 2

x x

x

− +>

+4/

2

3 1log 0

1x

x

x

−>

+

5/ 2 2log 5 log 2 log

18 0x x x

x x −

+ − < 6/ 2

3 2 3 2log .log log log

4x x x x < +





7/ ( )4log log 2 4 1x

x − ≤ 8/ ( )23

log 3 1x x

x −

− >

9/ ( )2

5

log 8 16 0x

x x − + ≥ 10/ ( )2

2log 5 6 1

x x x − + <

11/ 6 2

3

1log log 0

2

x

x

x

+

−>

+

12/ ( ) ( )21 1log 1 log 1

x x x x

− −+ > +

13/ ( ) ( )2

34 16 7 log 3 0x x x − + − > 14/ ( ) ( )2

4 12.2 32 log 2 1 1x x x − + − ≤

15/ 22log 64 log 16 3

x x + ≥ 16/ ( )2log 5 8 3 2

x x x − + >

17/ ( )2

3log 5 18 16 2

x x x − + > 18/ ( )2

2

9log 6 2 4

x x x + − ≥

19/ log 20 1x

x − > 20/ ( )2

1log 6 0

x x x

++ − ≥

21/

( )

22

5log 0

5 1

x

x

x

+>

−

22/

( )

4 1log 0

6 1

x

x

x

+<

+

23/ 2log 1

2x

x x

− > 24/ ( )1

2

1log 1

2x − >

Bài 6. Giải các bất phươ ng trình logarit (đặt ẩn phụ)

1/ 2

log 2 log 4 3 0x

x + − ≤ 2/ ( ) ( )5 5log 1 2 1 log 1x x − < + +

3/ 5

2 log log 125 1x

x − < 4/ 22log 64 log 16 3

x x + ≥

5/ 2 2

log 2. log 2. log 4 1x x

x > 6/ 2 2

1 1

2 4

log log 0x x + <

7/ 4 2

2

2 2 2

log log2

1 log 1 log 1 log

x x

x x x + >

− + −8/

2 2

1 21

4 log 2 logx x + ≤

+ −

9/ 2

1 2

2

log 6 log 8 0x x − + ≤ 10/ 2

3 3 3log 4 log 9 2 log 3x x x − + ≥ −

11/

5 5

1 21

5 log 1 logx x + <

− +12/ ( ) ( )2 2

9 3log 3 4 2 1 log 3 4 2x x x x + + + > + +

13/ 2

1 1

8 8

1 9 log 1 4 logx x − > − 14/ 100

1log 100 log 0

2

x x − >

15/

2

3

3

1 log1

1 log

x

x

+>

+16/

216

1log 2.log 2

log 6x x x

>−

17/ ( )2

3 36 log 1 log 1 5 0x x − + − + ≥ 18/ ( )2

9 3 3log log . log 2 1 1x x x > + −

Bài 7. Giải các bất phươ ng trình logarit (sử dụng tính đơ n điệu của hàm số)

1/ ( ) ( )2

0,5 0,51 log 2 5 log 6 0x x x x + + + + ≥ 2/ ( ) ( )2 3

log 2 1 log 4 2 2x x + + + ≤

3/ ( ) ( )2 3

3 2

log 1 log 1x x >+ + 4/

5lg

502 3 1x

x

x

x

+

−<− +





5/ ( )7 3log log 2x x < + 6/ ( ) ( )2 2

2 3log 5 5 1 log 5 7 2x x x x − + + + − + ≤

7/ 2 2

22 . log (4 2) 1

x x x

− −− − ≥ 8/

2 2 2 3

5 11

2

log ( 4 11) log ( 4 11)0

2 5 3

x x x x

x x

− − − − −≥

− −

9/

2

1/3 1/3( 1)log 2( 3)log 8 0x x x x + + + + ≤ 10/ ( )( ) ( )( )3 33 log 1 log 1 2 1

4.3 3 1

x x x x x

− − − +−

+ >

Bài 8. Giải các bất phươ ng trình logarit

1/ 2 log 27.log 9 4

x x x x > + 2/ ( )2

3 9

16

log log 4 3 0x x − + ≤

3/ ( )

2

50

log 4 1

x

x

−≥

− −4/

( ) ( )2 3

2 3

2

log 1 log 20

3 4

x x

x x

+ − +>

− −

5/

21

2

log

31

2

x

x ≤

6/

( )2

1133

1 1

log 1log 2 3 1 x x x

>

+− +

7/ ( )

2

2

2

log 30

4 5

x

x x

−≥

− −8/ ( )3

log 3 sin 2 cos 2 1x x − ≤

9/

3

2

7

4log

50

7log 2

16

x

x x

+ <

− +

10/ ( ) 2

1 22

1 10

log 2 1 log 3 2x x x + >

− − +

11/ ( ) ( )2

2 25 11

2

log 4 11 log 4 110

2 5 3

x x x x

x x

− + − − +≥

− −12/ ( ) ( )

8

2 22 3

2

log 2 7 log 2 70

3 13 4

x x x x

x x

− − − − −≤

− +

13/ ( )2

1 3 2 23

27log 9 3 log 3

9 5x x

x x x − + > −

− + −14/ ( )2

2 1 22

2log 4 3 log 1

4 1 1x x

x x x − + > +

− + + +

Bài 9. Giải các hệ phươ ng trình mũ sau

1/ 2 2 12

5

x y

x y

+ = + =

2/ 1

2 2 1x y

x y + = − =

3/ 2 2 5

2 4

x y

x y +

+ = =

4/ 2 52 1

y

y x x

+ = − =

5/ 2 44 32

x

x y

y

= =

6/ 2

3 13 19

y

y x x

− = + =

7/

1

2 6

8

4

y

y

x

x

−

−

= =

8/ 2 2 3

1

x y

x y

+ = + =

9/ 2 .9 36

3 .4 36

x y

x y

= =

10/ 2 .5 20

5 .2 50

x y

x y

= =

11/ 2 .3 12

3 .2 18

x y

x y

= =

12/ ( )

2 7 10 1

8, 0

y y x

x y x

− + = + = >

13/

2 2 14 4

21

x y

x y

− + = + =

14/

2 200.5

1

y y

x y

= + =

15/

13 .2

92

x y

y x

= − =





16/ 27 9

81 243.3

x x

x y

= =

17/

264 64 12

64 4 2

x y

x y +

+ = =

18/ 3 3 28

3 27

x y

x y +

+ = =

19/ 3 .5 75

3 .5 45

x y

y x

=

=

20/

2

2

2 2

3 2 77

3 2 7

x y

x y

− = − =

21/

12 3

4 4 32

y

y

x

x

+ + =

+ =

22/

113.2 2.3

43

2 34

x y

x y

+ = − = −

23/

13 2

3 9 18

y

y

x

x

− + = + =

24/

2

2

4 2

2 1 0

x

x

y

y +

= + + + =

25/

( )

21

3 2 3

4 1

5 125

x y

x y

− −

− −

= =

26/ 3 2 3

128

5 1

x y

x y

x +

− −

= =

27/

2

2

3 2 77

3 2 7

x y

y

x

− = − =

28/ ( )

2 2 16 1

2, 0

x y x

x y x

− − = − = >

29/ 4 3 7

4 .3 144

x y

x x

− = =

30/ 2 3 17

3.2 2.3 6

x y

x y

+ = − =

31/ 1

2 2.3 56

3.2 3 87

x x y

x x y

+

+ +

+ = + =

32/

2 2 2 2

1

3 2 17

2.3 3.2 8

x y

x y

+ +

+

+ = + =

33/

1

1 1

3 2 4

3 2 1

x y

x y

+

+ +

− = − − = −

34/ 7 16 0

4 49 0

x y

x y

− = − =

35/ 3.2 2.3 2, 75

2 3 0, 75

x y

x y

+ = − = −

36/ 8 10

2 5

x

x

y

y

= =

37/ ( )

( )

2

1

2

.2 625

5

y x

x y

x y

x y

−

−

+ =

+ =

38/ 2 .3 6

3 .4 12

x y

x y

=

=

39/ ( )

4

4

4

4

.3 1

8( ) 6 0

y x

x y

x y

x y

−

−

+ =

+ − =

40/ ( )( )

2 2

2 2 2

2

x y y x xy

x y

− = − + + =

41/ ( )

2

2 3

4

64; 0

y

y

x

x x

−

−

= = >

42/

( )

5( )4 3

3 1; , 0

x y

y x x y

x y x y

−+

−

= = >

43/

( )2 2

2

1 1y y

x y

x + +

+ = + =

44/ 2 2

2 2

2 4 3

x y y x

x x y

− = − + − = −

45/

( )

12

9

324 2

y

y

x

x

= =

46/ ( )

( )

2

2

2

2

.2 1

9 6

y x

x y

x y

x y

−

−

+ = + =

47/

( )22

2

2 1 1 2

2 1

4 4.4 .2 2 1

2 3.4 .2 4

x x y y

y x y

− −

−

− + = − =

48/

2cot 3

cos 2

y

y

x

x

= =

49/

2 t an cos

cos tan

9 3

9 81 2

x y

y y

+ = − =

50/

( )

112

28 7

2.x y

x y

y x

xy x y

−

−−

= =

51/ ( )

( )

1 1

2 3.2 48y x

x y x y

x y −

= + − + =

52/

3 1 2 3

2

2 2 3.2

3 1 1

x y y x

x xy x

+ − + + = + + = +

53/ ( ) ( )

( ) ( )2 22 2

2 2

1 1

cos 1, 0

4 32 31.2x y x y

x y y π

+ + + +

+ = ≥ − =

54/ ( )( )

2 2

3 3 2

2

x y y x xy

x y

− = − + + =





55/ 3 2 1

3 2 1

x

y

y

x

= + = +

56/ 3 2 11

3 2 11

x

y

x y

y x

+ = + + = +

57/

1

1

7 6 5

7 6 5

x

y

y

x

−

−

= − = −

Bài 10. Giải các hệ phươ ng trình logarit sau

1/ ( )3

2 3log 1x y

xy

+ = =

2/ 2log log 2

20x y y x

x y

+ = − =

3/ 4 4 4log log 1 log 920 0

x y x y

+ = + + − =

4/ ( )( )

log 3 2 2

log 2 3 2x

y

x y

x y

+ = + =

5/ ( )( )

log 6 4 2

log 6 4 2x

y

x y

y x

+ = + =

6/ 2 2

3 3

2 2

log 1 2 log

log log 4

x y

y

x y

− = − + =

7/ ( )2 2

2

4 2

log 5

2 log log 4

x y

x y

+ = + =

8/

2

1

2

log 5

log 1

xy

x

y

= =

9/ 64

log 5x

xy

y

= =

10/

2

2

4 4

log log 1

log log 1y

x y

x y

− = − =

11/ 2 2

log log

2 2

16

log log 2

y x x y

x y

+ = − =

12/ ( )2 2

2

3 3

log 6 4

log log 1

x y

x y

+ + = + =

13/

3 3log log

3 3

2. 27

log log 1

y x x y

y x

+ = − =

14/

2 2log log

2

4 2

3. 2. 10

log log 2

y x x y

x y

+ = + =

15/ ( )( )

log 2 2 2

log 2 2 2x

y

x y

y x

+ − = + − =

16/

( )2

2

log 4

log 2

xy

x

y

= =

17/

( )

2 2

6

5log log

2log 1

y x x y

x y

+ = + =

18/ ( )

( )

2 2 2

2

lg lg lg

lg lg .lg 0

x y xy

x y x y

= + − + =

19/

( ) ( )2 2log 5 log

lg lg41

lg lg3

x y x y

x

y

− = − + − = − −

20/ ( )1

log 2

log 23 3x

x

y

y +

= + =

21/ ( )( ) ( )

2 2lg 1 lg8

lg lg lg3

x y

x y x y

+ = + + − − =

22/

( )

2

2

log log 1

log 1

xy y

y x

x y x

− = − =

23/ ( )( )

log 1

log 0xy

xy

x y

x y

− = + =

24/ 2

log log 2

12y x

x y

x y

+ = + =

25/

2log 2

4 lg 28

y x

y x

+ = + =

26/ 2

2 lg 3

3 lg 1

y x

y x

+ = − =

27/ ( ) ( )3

2 2

log log 1

1

x y x y

x y

+ − − = − =

28/ ( )2

2log .log 1

2 3

x y xy x x y

x y

+

+ + = − =

29/ ( ) ( )( ) ( )

2 2

1 1

1 1

log 1 log 1 4

log 2 1 log 2 1 2x y

x y

y x

y x

+ −

+ −

− + + = + + + =

30/ ( )

( )5

log 1

2 log .log 1

xy

xy

x y

xy x y

− = + =

31/

( )

5

2

4

log

log . log 3 1y

y

xy x x

y y x

= − =

32/

3

2 2 2

2 2

5 log log log 2

log 8 log

x y

x x

= − = −

33/ 2 2

2 2

2 2

log . log 3

log log 5

x xy

y

x y

= − + =

34/

( )2 log log 5

8

y x x y

xy

+ =

=35/

( )( )2 2

3 3

log log 2

16

x y y x xy

x y

− = − +

+ =36/

2

2

4 4

log log 1

log log 1

y x y

x y

− =

− =

Bài 11. Giải các hệ phươ ng trình mũ – logarit





1/

( )5

3 .2 1152

log 2

x y

x y

−

+

==

2/ ( )1

3

3 .2 18

log 1

x y

x y

= + = −

3/ ( )

3

3 .2 972

log 2

x y

x y

= − =

4/

2 2

2 4

3 81

log 2 log 1

x y

x y

+ = + =

5/

2log 4

2 2

2

log log 1

x y

x y

= − =

6/ ( ) ( )

lg lg

lg 4 lg 3

3 4

4 3

x y

x y

= =

7/ 4

1 log

4096y

y x

x

= + =

8/ lg

40

4y

xy

x

= =

9/

8 8log log

4 4

5

log log 1

y x x y

x y

+ = − =

10/

( ) ( )0,5 5log log

2 2

2 5

1log log

2

x y x y

x y

+ + = + =

11/ 2

1

2 2

2 log 3 15

3 . log 2. log 3

y

y y

x

x x +

− = = +

12/ ( ) 2

2log

log log

4 3y

x y

x

xy x

y y

= = +

13/

( ) ( )3 3

4 32log 1 log

x y

y x

x y x y

+ = − = − +

14/ ( )( ) ( )

2

2 2

1

3 3

log log 4

x y x y

x y x y

−−

= + + − =

15/ ( ) ( )2 2

log log 1

x y

x y x y x y

+ = − − =

16/

( ) ( ) 33log 2log

2 2

4 2

3 3 12

xy xy

x y x y

= + + − − =

17/

3 3log log

3 3

2 27

log log 1

y x x y

y x

+ = − =

18/

2

2log

log log

4 3y

x y

x

xy x

y y

= = +

19/ lg

lg lg 4

1000y

x y

x

+ = =

20/ ( )

2

6

36

4 2 log 9

x y x

x y x

− = − + =

21/ ( )

( )5

5.3

273log

y x x y

x y x y

− + = + = −

22/

43

4

3

y

x y

x x y

y x +

+ = =

23/

12

3

, 0

x y

x y

x y

y x

x y

+

+

= = >

24/

121 .9 9

33 2

4

x y y

x y x

x y

= + = −

25/ 2

1

2 .4 2a x y xy

x y a

+ −

+ + = =

26/

( )2 2

6

5log log

2log 1

y x x y

x y

+ = + =

27/

( )

5

2

4

log

log . log 3 1y

y

xy x x

y y x

= − =

Bài 12. Giải các hệ phươ ng trình logarit sau

1/

2

2

4 4

log log 1

log log 1y

x y

x y

− = − =

2/

2 4 4

3 9 9

4 16 4

log log log 2log log log 2

log log log 2

x x z

y z x

z x y

+ + = + + = + + =

3/ ( ) ( )

( ) ( )

2

1 2

1 2

2 log 2 2 log 1 6

log 5 2 log 4 1x y

x y

xy y x x

y x

− +

− +

− + − + + − = + − + =

4/ ( ) ( )( ) ( )

2 2

1 1

1 1

log 1 2 log 1 2 4

log 1 2 log 1 2 2

x y

x y

y y x x

x x

+ −

+ −

− + + + + = + + + =

5/ ( ) ( )

( ) ( )

2

3 2

3 2

2log 6 3 2 log 6 9 6

log 5 log 2 1

x y

x y

y xy x x x

y x

− −

− −

− + − + − + = − − + =

6/ ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 3

2 2

2 3

log 1 3 1 log 1 2

log 1 3 1 log 1 2

x y

y x

+ − = − + + − = − +





7/ ( )

( )5

log 1

2 log . log 1

xy

xy

x y

xy x y

− = + =

8/

3

2 2 2

2 2

5 log log log 2

log 8 log

x y

x x

= − = −

9/ 2 4 1

2

4 2

log log 2 log 4

log log 5 lg 10

x y

x y

+ = − + =

10/ 2 2 2

3 3 3

3log 3 log log

2

2log 12 log log3

x x y y

y x x y

+ = + + = +

11/ ( )( )

2 3

2 3

log 1 3 sin log 3 cos

log 1 3 cos log 3 sin

x y

y x

+ = + =

12/

( )4

6 2

1log log

416

sin 11 cos

4cos

16

x x x

x x

x

π

π

π

+ = + < −

Bài 13. Giải các hệ bất phươ ng trình mũ – logarit

1/ 2 2 1

2

x y

x y

+ ≤ + ≥ −

2/ 1 2 1

4

4 3.4 2

3 2 log 3

x y y

x y

+ − − + ≤ + ≥ −

3/

( )

( )

232 2 log 5 4

2

3 5

4 1 3 8

x x y

y y y

− − − − + = − − + + ≤

4/

( )

235 6 log 2 1

2

3 2

2 2 5 3 5

x x y

y y y

− + − − − = − − − − ≥ −

5/

( )

248 12 log 7 2 1

2

4 7

3 3 2 1 1

x x y

y y y

− + − − = − − − + ≥

6/

( )

255 4 l og 2 3

2

5 2

3 5 1 2 3

x x y

y y y

− + − − = − + + − ≤

7/

2 22 2

32

log log 0

3 5 9 03

x x

x x x

− < − + + >

8/ ( )

( ) ( )1 1

2 2 2

log 2 2

log 2 log 2 1 log 7.2 12

x

x x x

x

− +

+ > + + < +

9/ ( )( )

7

1

log 4 0

log 3 0x

y

y

x

−

−

− < − <

10/ ( )( )

2

4

log 2 0

log 2 2 0x

y

y

x

−

−

− > − >

11/ ( )( )

1

4

log 5 0

log 2 2 0x

y

y

x

−

−

− ≤ − ≤

12/

( )1 1

3 2

log 5 log 3

1

3

x x

x

− < − + ∈

ℤ

13/ ( ) ( ) ( )

( )

11 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12

log 2 2

x x

x

x

x

+ − + + < + + >

14/

( )

2

2

40

16 64

lg 7 lg 5 2 lg 2

x

x x

x x

+ ≥ − + + ≥ − −

Bài 14. Tìm tham sốm để các bất phươ ng trình mũ – logarit sau có nghiệm.

1/ 2 23 1x m ≥ + 2/

1 23 1x

m −

≤ −

3/ 25 1

x m

−≥ + 4/

2

12 1

4

x m

−= −

5/ 4 .2 3 0x x m m − + + ≤ 6/ 9 .3 3 0x x m m − + + ≤





7/ 2 7 2 2x x m + + − ≤ 8/ ( ) ( )2 2 1

2 1 2 1x x

m −

+ + − ≥ −

9/ 4 .2 1 0x x m m + + − ≤ 10/ ( ) ( )2 13 3 .3 2 3x x m m + − + < +

11/ ( ) 1 24 2 1 .2 0x x m m m +− + + + ≥ 12/ ( ) 29 2 1 .3 0x x m m m − − + − ≥

13/ ( ) ( )3.4 1 .2 2 1 0x x

m m − − − − < 14/ .25 5 1 0x x

m m − − − >

15/ ( )2

1

2

log 2 3x x m − + > − 16/ 1

log 100 log 100 02x m

− >

17/ 1 2

15 log 1 log

m m x x

+ <− +

18/

21 log1

1 logm

m

x

x

+>

+

19/ 2 2

log logx m x + > 20/ ( ) ( )2 2log 1 log 2x m x m

x x x − −

− > + −

Bài 15. Tìm tham sốm để các bất phươ ng trình mũ – logarit sau có nghiệm đúng vớ i:

1/ ( ) ( )3 1 .12 2 .6 3 0, 0x x x m m x + + − + < ∀ > 2/ ( ) 11 .4 2 1 0,x x m m x +− + + + > ∀

3/ ( ).9 2 1 .6 .4 0, 0;1x x x m m m x − + + ≤ ∀ ∈ 4/ ( ) 2.9 1 .3 1 0,x x m m m x ++ − + − > ∀

5/ ( )cos cos 24 2 2 1 .2 4 3 0,x x

m m x + + + − < ∀ 6/ 3 3 5 3 ,x x m x + + − ≤ ∀

7/ ( ) ( )2.25 2 1 .10 2 .4 0, 0x x x m m x − + + + ≥ ∀ ≥ 8/ ( )14 . 2 1 0,x x m x − − + > ∀

9/

133 27 4.7 0,

x x m x

− +− +− − > ∀ 10/

sin 1 sin4 2 ,x x m x ++ > ∀

11/ ( ) ( )2 2

5 51 log 1 log 4 ,x mx x m x + + ≥ + + ∀ 12/ ( ) ( )2 2

2 2log 7 7 log 4 ,x mx x m x + ≥ + + ∀

13/ ( ) ( )2 2

2 2log 2 4. log 2 5, 0;2x x m x x m x − + + − + ≤ ∀ ∈ 14/ ( )2

1

1

log 2 0,m

x m x

−

+ > ∀

15/ 2

1 1 1

2 2 2

2 log 2 1 log 2 1 log 0,1 1 1

m m m x x x

m m m

− − + − + > ∀ + + +

Bài 16. Tìm tham số m để mọi nghiệm của bất phươ ng trình ( )1 đều là nghiệm của bất phươ ng trình( )2 :

1/ ( )

( ) ( ) ( )

2 11

2

2

1 13 12 1

3 3

2 3 6 1 0 2

x x

m x m x m

+ + > − − − − − <

2/ ( )

( ) ( )

2 11

22

2 2 8 1

4 2 1 0 2

x x

x mx m

+ − > − − − <

3/ ( )

( ) ( ) ( ) 2 1 .

2

2 9 .2 4 0 1

1 3 1 0 2

x x

m x m x

+ − + ≤ + + + + >

4/ ( )

( ) ( )

2 12

2

1 19. 12 1

3 3

2 2 2 3 0 2

x x

x m x m

+ + > + + + − <

5/ ( )

( )

2 2

1 1

2 42 2

log log 0 1

6 0 2

x x

x mx m m

+ < + + + <

6/ ( ) ( )

( ) 2

2 4

log 5 8 3 0 1

2 1 0 2

x x x

x x m

− + > − + − >

Bài 17. Tìm tập xác định của các hàm số logarit sau

1/ ( )2log 3 4y x = + 2/ ( )2 2

216 . log 5 6y x x x = − − +





3/ ( )2 225 lg 42y x x x = − + + − 4/ ( )2 2

32.log 9y x x x = + − −

5/ ( )2 212 . lg 4y x x x = − − − 6/ ( )2

2log 7 2y x x = − −

7/ ( )1

3

log 3 1y x = − − 8/ 1

2

1log

5

x y

x

−=

+

9/

2

1 5

5

1log log

3

x y

x

+ = + 10/

2

3log

1

x y

x

−=

+

11/ 2

1 2

2

1log log 6

5

x y x x

x

−= − − −

+12/

2

3

4 3log

2

x x y

x

+ +=

−

13/ ( )2

2

1lg 3 4

6y x x

x x = − + + +

− −14/ ( )2

3log 3 2 4y x x x = − + + −

15/ ( )3 8 3 0,3

2

log 122 8

x x x y x x

− − − − −= +− −

16/ 2

1 1log1 1

y x x

= − − +

Bài 18. Giải các bất phươ ng trình logarit sau, biết x α= là một nghiệm của phươ ng trình tươ ng ứng.

1/ ( ) ( ) 2 2 9log 2 log 2 3 ;

4m m x x x x α− − > − + + =

2/ ( ) ( ) 2 2log 2 3 log 3 ; 1m m

x x x x α+ + ≤ − =





Bài 1. Giải các phươ ng trình

1/

2 1 1

12 .4 648

x x

x

− +

− = 2/ 3 1 8 29 3x x − −=

3/ ( )0,5 0,040,2

255

x x +

= 4/

21 2 11 9

5 9 5.

3 25 3

x x x + + − =

5/ 2 11

7 .7 2.7 487

x x x + −− + = 6/ ( ) ( )2 7,2 3,93 9 3 .lg 7 0x x x − + − − =

7/ ( )2

1 13 22 2 4

x x x

−+

=

8/

211 lg

3

3

1

100

x

x −

=

9/ 15 . 8 500x x x − = 10/

lg 21000x x x =

11/

lg 55 lg3 10

x

x x +

+= 12/ ( )3

log 1

3x

x −

=

Bài 2. Giải các phươ ng trình sau

1/ 2 22 24 9.2 8 0x x + +− + = 2/

2 25 1 54 12.2 8 0x x x x − − − − −− + =

3/ 64.9 84.12 27.16 0x x x − + = 4/

1 33

64 2 12 0x x +

− + =

5/ 2 21 39 36.3 3 0x x − −− + = 6/

4 8 2 5

23 4.3 28 2 lg 2x x + +− + =

7/ ( )2 12 1 23 3 1 6.3 3x x x x ++ += + − + 8/

2012 2012

5 24 5 24 10x x + + − =

9/ 3 31 log 1 log9 3 210 0

x x + +− − = 10/

2lg 1 lg lg 24 6 2.3 0x x x + +− − =

11/ 2 2sin cos2 4.2 6x x + = 12/

( ) ( )lg tan lg cot 13 2.3 1

x x +− =


1/

6 5

2 52 25

5 4

x

x

−

+ ≤ 2/

1

1

2 12

2 1

x

x

−

+

−<

+

3/ 2 2.5 5 0x x x +− < 4/

2lg 3 lg 1 1000x x x − + >

5/ 4 2 4

21

x x

x

+ −≤

−6/

23 28. 1

33 2

x x

x x

− > + −

7/ 2 3 4 1 22 2 2 5 5x x x x x + + + + +− − > − 8/

( )22log 1

11

2

x − >

9/

2

219

3

x

x

+

− > 10/

1 2

21 1

3 27

x x

+ − >

ÔN TẬP CHƯƠ NG II





11/

2 13

11 1

5 5

x

x

+−

− > 12/

72 1 13 . . 1

3 3

x x >


1/ 24 2.5 10 0x x x − − > 2/

125 5 50x x − − +− ≥

3/

1 1 1

9.4 5.6 4.9x x x − − −

+ < 4/ 2lg 2 lg 53 3 2x x + +< −

5/ 1

44 16 2 log 8x x + − < 6/

2 3

2 1 12 21. 2 0

2

x

x

+

+ − + ≥

7/ ( )

( )2 22 1

34 2 8 52

x

x x

−−

− + > 8/

2 3

4 3 13 35. 6 0

3

x

x

−

− − + ≥

9/ 29 3 3 9x x x +− > − 10/ 9 3 9 3x x x + ≥ −

11/

1 2

3 3 3 11

x x x − −

+ − < 12/ ( ) ( )

2 21 6

0, 4 0, 6

x x − +

>


1/ ( )3log 3 8 2x x − = − 2/ ( )2

5log 2 65 2

x x x

−− + =

3/ ( ) ( )7 7log 2 1 log 2 7 1x x − + − = 4/ ( )3 3

log 1 log 2 7 1x + − =

5/ 3log lg 23 lg lg 3 0x

x x − + − = 6/ ( )3

log 1 2 29 5 5x

x −

= −

7/ 1 lg 10x x x + = 8/ ( )

5log 1

5x

x −

=

9/

2 2lg lg 2lg

lg2

x x x

x

+ − = 10/

lg 7lg 14 10

x

x x +

+=

11/ 3 9

1log log 9 2

2

x x x + + =

12/ 2 3

3 32 log 1 log

7 1

x x

x x

− −+ =

− −


1/ ( )2

2 log 5 3 log 5 1 0x x

− + = 2/ 1 1

3 3

log 3 log 2 0x x − + =

3/ 22 2log 2 log 2 0x x + − = 4/ ( )1 33 2 log 3 2 log 1x

x ++ = +

5/ ( )2 2

3log 9 . log 4

x x x = 6/

2

3 1 1

2 2

log log 3 log 5 2x x − + =

7/ ( ) ( )2 2 2lg 100 lg 10 lg 6x x x − + = 8/ ( ) ( )2 2

2 2 2

9log 2 .log 16 log

2x x x =

9/ ( ) ( )3 3log 9 9 log 28 2.3x x x + = + − 10/ ( ) ( )1

2 2 2log 4 4 log 2 log 2 3x x x ++ = + −

11/ ( ) ( )3 3

2 2log 25 1 2 log 5 1x x + +− = + + 12/ ( )lg 6.5 25.20 lg 25x x x + = +

13/ ( ) ( )lg 2 19 lg 3 201

lg

x x

x

− − −= − 14/

2 24

2

1 lglg 5

lg 2 lg

x x

x x

−= +

−





15/ 2

2 10 9

4 2

x

x −

+= 16/ ( ) ( )

105 103 3 84

x x −

+ =


1/ ( )2

0,5log 5 6 1x x − + > − 2/

7

2 6log 0

2 1

x

x

−>

−

3/ 3 3

log log 3 0x x − − < 4/ 1

3

2 3log 1

x

x

−≥ −

5/ ( )1 1

4 4

2log 2 log

1x

x − >

+6/ ( )2

1 4

3

log log 5 0x − ≥

7/

( )

2

2

1

2

40

log 1

x

x

−<

−8/

( )2log 1

01

x

x

+>

−

9/ ( )9log log 3 9 1x

x

− ≤ 10/

2

2 3log 1

x x

+<

11/ ( )2

2log 8 152 1x

x x − + +< 12/ ( ) 1 2

3

5log

30, 5 1x

x

+

+ >

13/ 2 3 0,5 0,3

1 1log log log log

1 1

x x

x x

− + < + − 14/

3 4 1 1

3 4

4 1 1log log log log

1 4 1

x x

x x

− + < + −

Bài 8. Giải các hệ phươ ng trình sau:

1/ ( )

2

14 1

5 125

x y

x y

− −

+

= =

2/ 3 2 3

4 128

5 1

x y

x y

+

− −

= =

3/ 2 2 12

5

x y

x y

+ = + =

4/ 3.2 2.3 2, 75

2 3 0, 75

x x

x y

+ = − = −

5/ 7 16 0

4 49 0

x

x

y

y

− = − =

6/ ( )

3

3 .2 927

log 2

x y

x y

= − =

7/

5

4 3.4 16

2 12 8

x y x

y y

x y

− − = − = −

8/

2

2

3 2 77

3 2 7

x y

y

x

− = − =

9/ ( )

( )

2

2

2

2

2 1

9 6

y x

x y

x y

x y

−

−

+ = + =

10/ 4 2

2 2

log log 0

5 4 0

x y

x y

− = − + =

11/ ( )3

4

log 27

log log6x

x y

x y

− = − =

12/

lg 2

20

y x

xy

= =

13/ 2 2

2 4

log 2 log 3

16

x y

x y

+ = + =

14/

3 3 3

1 1 2

15log log 1 log 5x y

x y

− = + = +

15/

5

7

log 2 log

log 3 log

3

2

x

y

y

x

y

x

= =

16/ ( )( ) ( )

2 2lg 1 lg13

lg lg 3lg2

x y

x y x y

+ − = + − − =

17/ 2 2

2 2

9

8

log log 3

x y

y x

x y

+ =

+ =

18/ ( )

8

2 log log 5y x

xy

x y

= + =





19/ 2

1

2 2

2 log 3 15

3 log 2 log 3

y

y y

x

x x +

− = = +

20/

( ) ( )3 3

4 32

log 1 log

x y

y x

x y x y

+ = − = − +

21/ ( )

2

3 .2 576

log 4

x y

y x

= − =





Câu 1. Cho hàm số ( )C2 1

1

x y

x

+=

−

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C .

b/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến vuông góc vớ i đườ ng thẳng : 3 2 0x y ∆ − + = .

c/ Chứng minh rằng đườ ng thẳng :d y x m = + luôn cắt ( )C tại 2 giao điểm phân biệt.

Câu 2. Giải các phươ ng trình và bất phươ ng trình sau:

1/ 1 15 5 24x x + −− = 2/

1 21

4 log 2 logx x + =

− +

3/

1

1 14 0,25.32x x

x x

−

+ −≤ 4/

1 2

11 2

3

log log 0x

x

+

+ >

Câu 3. Tìm giá trị lớ n nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1/ ( ) 3 3 1 f x x x = − + trên 0;2 2/ ( ) ( )2ln 2g x x x = + + trên 3; 6

Câu 4. Biện luận theo m số cực trị của hàm số:4 2 22 1y x m x = − +

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có ( ),SA ABC ABC ⊥ ∆ là tam giác vuông tại A. Gọi H, K là hình chiếu vuônggóc của A trên BC, SH. Biết 3 , 5 ,AB a BC a SB = = hợ p vớ i mặt phẳng đáy 1 góc bằng

060 .

a/ Tính thể tích của khối chóp .S ABC .

b/ Chứng minh rằng: ( ) ( )SAH SBC ⊥ .

c/ Chứng minh rằng: ( ) ( )( ) ?,AK SBC d A SBC ⊥ →

d/ Tính khoảng cách từ trọng tâm G của ABC ∆ đến mặt phẳng ( )SBC .

e/ Xác định tâm I và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .

Câu 1. Cho hàm số ( ) 3 23 1y x x C = − + −

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C .

b/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến song song vớ i đườ ng thẳng : 9 0x y ∆ + = .

c/ Dựa vào đồ thị( )C , hãy biện luận theom số nghiệm của phươ ng trình:3 23 2 0x x m − + − = .

Câu 2. Giải các phươ ng trình và các bất phươ ng trình sau:

a/ 2 1 23 3 12x x + +− = b/

( ) ( )

1

3 3log 3 1 .log 3 3 6x x +− − =

ĐỀ 2

ĐỀ 1

24 • ÔN TP HC KÌ I





c/

2 4 6

1 1

3 27

x x − + ≥

d/ 2

1 1

5 5

log log 6 0x x − − ≤

Câu 3. Tìm giá trị lớ n nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a/ ( ) 3 23 7 1 f x x x x = − − + trên 0;2 b/ ( ) ( ).2 24 1 x g x x x e −= + + trên 2; 3 −

Câu 4. Địnhm để hàm số: ( )3

2 63

x y mx m x m = − + + + sau không có cực trị.

Câu 5. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh ,a SA vuông góc vớ i mặt đáy, 3SB a = và I là

trung điểm của SC .

a/ Tính.S ABCD

V .

b/ Chứng minh rằng: I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . Tính thể tích khối cầu đó.

c/ Tính thể tích khối tứ diện .S ABI .

d/ Tính ( )( ),d I SABD

e/ Tính tan của góc tạo bở i 2 mặt phẳng ( )SBD và mặt phẳng ( )ABCD .

Câu 1. Cho hàm số ( ) 4 22 3y x x C = − + +

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C

b/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C vớ i trục hoành.

c/ Dựa vào ( )C , tìm m để phươ ng trình sau có 4 nghiệm phân biệt4 2

22 log 0x x m − + = .

Bài 2. Giải các phươ ng trình và bất phươ ng trình sau:

a/ 4 8 2 53 4.3 27 0x x + +− + = b/ ( )23 3log log 9 9x x + =

c/ 2 3 7 3 16 2 .3x x x + + +< d/

2

0,5 0,5log log 2 0x x − − ≤

Bài 3. Tìm giá trị lớ n nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ ( ) 3 28 16 9 f x x x x = − + − trên 1; 3 b/ ( )

2ln x g x

x = trên

31;e

Bài 4. Tìm tham số m để hàm số: ( )3

2 2 1 23

x y mx m x m = − + − − + có hai cực trị đều dươ ng.

Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng060 . GọiI là

trung điểm của BC và O là tâm của mặt đáy, H là hình chiếu vuông góc củaO trênSI .a/ Tính thể tích của khối chóp .S ABCD .

b/ Chứng minh rằng: ( ) ( )mp SOI mp SBC ⊥ .

c/ Chứng minh rằng: ( )OH SBC ⊥ . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng( )SBC .

d/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .

Câu 1. Cho hàm số ( )3 2

m

mx m y C

x m

+ −=

+

a/ Định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C khi 3m = .

ĐỀ 3

ĐỀ 4





c/ Tìm các điểm thuộc( )C để tiếp tuyến của( )C tại điểm đó có hệ số góc bằng 2 .

d/ Gọi M là điểm bất kỳ thuộc( )C . Tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượ t tại A

và B . Chứng minh rằng: M là trung điểm của AB .Câu 2. Giải các phươ ng trình và các bất phươ ng trình sau

a/

2

6.25 13.15 6.3 0x x x

− + = b/ ( ) ( )2

2

2 2 2log 1 3 log 1 log 32 0x x + − + + =

c/ 2

2log

43 1

x

x

− + > d/ 2

3

2 3log 0

1

x

x

− ≥ +

Câu 3. Tìm các đườ ng tiệm cận và GTLN – GTNN của hàm số2

2 1

3 2

x y

x x

−=

− +

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD ⊥ . Góc giữa SC và mặt phẳng

đáy bằng030 .

a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

b/ Tính diện tích ∆ SBC.

c/ Gọi M, E, F lần lượ t là trung điểm SA, DA, AB. và G1, G2 lần lượ t là trọng tâm của các tam giác

∆ SAD và ∆ SAB. Tính tỉ số: 1 2 1 2. .

. .

S MG G S MG G

S AEF S ABCD

V V

V V →

Câu 1. Cho hàm số 3 21 1

3 2 3

m y x x = − +

a/ Tìmm để hàm số có cực tiểu tại 2x = . Tìm giá trị cực tiểu đó.

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

( )C khi 2m = .

c/ Dựa vào đồ thị( )C , hãy tìm k để phươ ng trình:3 2

33 3 log 0x x k − + = có 3 nghiệm phân biệt.

d/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến vớ i( )C , biết tiếp tuyến vuông góc vớ i : 3 12 0x y ∆ + + = .


a/ 3 3

6 35 6 35 12x x − + + =

b/

2

1 2

2

log 4 log 88

x x

+ =

c/ 1 12.3 6.3 3 9x x x + −− − > d/

1 1 4 3

4 3

1 1log log log log

1 1

x x

x x

+ − > − +


a/ ( ) 23 1y x x = − + trên 0;2 b/

4 2

4 2

3 cos 4 sin

3 sin 2 cos

x x y

x x

+=

+

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Cho 2 2 2SA AB BC a = = = ,

SA a = và ( )SA ABCD ⊥ .

a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

b/ Chứng minh rằng: CD⊥ (SAC). Tính diện tích xung quanh khối chóp S.ABCD.

c/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua 4 điểm S, A, B, C. Tính diện tích mặt cầu này.

Câu 1. Cho hàm số 4 2 22 1 ( )m y x m x C = − +

ĐỀ 5

ĐỀ 6





a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số( )C khi 1m = .

b/ Dùng( )C biện luận số nghiệm của phươ ng trình4 22 2 3 0x x a − + − = .

c/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến của( )C tại điểm ( )M C ∈ có tung độ bằng 1 và hoành độ âm.

d/ Tìmm để( )m C có 3 điểm cực trị, đồng thờ i 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

Câu 2. Giải các bất phươ ng trình và phươ ng trình sau:

a/ 2 23 3 30x x + −+ = b/

1

2

2 1log 0

1

x

x

−≤

+

c/ 9 4.3 3 0x x − + < d/ ( ) ( )1

2 2log 2 1 .log 2 2 12x x +− − =

Câu 3. Chosin x y e = . Chứng minh rằng: ' cos sin '' 0y x y x y − − = . Tìm giá trị lớ n nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số sin x y e = trên đoạn 0;4

π

.

Câu 4. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật có , 5AB a AC a = = , hai mặt bên( )SAB và( )SAD cùng vuông góc vớ i đáy, góc giữaSC và mặt đáy bằng

060 .

a/ Tính thể tích của khối chóp .S ABCD .b/ Gọi M là trung điểm của ,SB N là điểm trên cạnhSC vớ i 2NC NS = . Tính thể tích của khối chóp

.S AMN .c/ Gọi , ,H K L lần lượ t là hình chiếu vuông góc củaA trên , ,SB SC SD . Xác định tâm và bán kính của

mặt cầu qua các điểm , , , , , ,A B C D H K L .

Câu 1. Cho hàm số: ( ) 3 21 1

3 2 3 m

m

y x x C = − +

a/ Điểm ( )m A C ∈ có hoành độ bằng 1. Tìmm để tiếp tuyến của ( )m

C tại A song song 5 2012y x = + .

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số( )C khi 2m = .

c/ Tìma để đườ ng thẳng : 2 3y a ∆ = + cắt( )C tại 3 giao điểm phân biệt.

d/ Tìm k để đườ ng thẳng1

:3

d y kx = + cắt( )C tại 3 điểm phân biệt.


a/ 1 13 3 10x x + −+ = b/ ( ) ( )2

2 2log 3 log 6 10 1 0x x − − − + =

c/ 3.2 8.3 6 24x x x + = + d/ 2 2

log 2 log 4 3x

x + =


a/ 2

1

2

x y

x

+=

+trên đoạn 1,2 − b/ ( )2 3 1 x y x x e = − + trên đoạn 3; 0 − .

Câu 4. Cho hàm số: ( )3 2 23 1 1y x mx m x = − − − +

a/ Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

b/ Tìm tham số m để hàm số có 2 cực trị1

x và2

x thỏa mãn: ( ) 2 2

1 2 1 22 x x x x + = + .

Câu 5. Cho hình chóp .S ABC có đườ ng cao 2 , 5 ,SA a SB a ABC = = ∆ vuông tạiB và 60o ACB = .

a/ Tính.S ABCD

V .

ĐỀ 7





b/ Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC . Tính diện tích mặt cầu này.

c/ Gọi M là trung điểm của SB, H là hình chiếu của A lên SC. Mặt phẳng ( )AMH chia khối chóp thành 2

phần. Tính tỉ lệ thể tích của 2 phần đó.

Câu 6. Cho hàm số( ) 1:

2

x C y

x

+=

−. Địnhm để đườ ng thẳng :d y x m = + cắt( )C tại 2 giao điểm A và B phân

biệt. Vớ i giá trị nào củam thì 4 3AB = .

Câu 1. Cho hàm số: ( ) 2

1 m

x m y C

x

+=

−

a/ Tìmm để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số( )C khi 1m = − .

c/ Viết phươ ng trình đườ ng thẳng d song song vớ i đườ ng thẳng : 1 0x y ∆ + − = và tiếp xúc vớ i( )C .

d/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến của( )C tại giao điểm của( )C và trục hoành.


a/ 2 1 13 2 3x x − −= + b/

36 2 4.3 32x x x ++ = +

c/ ( ) ( )3

2

1 2

2

log 1 log 1 7x x − + − = d/ 9

4 log log 3 3x

x + =


a/ 4 28 16y x x = − + trên đoạn 1; 3 − b/

2 x y x e = trên đoạn 3;2 −

Câu 4. Cho hàm số:1

ln1

y x

=+

. Chứng minh rằng: ' 1 y xy e + = .

Câu 5. Cho hình chóp đều .S ABCD có đườ ng cao 2SO a = , cạnh bên hợ p vớ i mặt phẳng đáy 1 góc030 .

a/ TínhS.ABCD

V

b/ Tính diện tích xung quanh của hình chóp S.ABCD.

c/ Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính thể tích khối cầu này.

d/ Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SCD).

Câu 6. Cho hàm số ( )2

1

x y C

x

−=

−. Tìm ( )M C ∈ sao cho tiếp tuyến của( )C tại M tạo vớ i 2 trục tọa độ một

tam giác có diện tích bằng 2 .

Câu 1. Cho hàm số: ( )4 2

2 4 1y x m x m = − + +

a/ Tìm tham sốm để hàm số có đúng 1 cực trị.

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số( )C khi 0m = .

c/ Biện luận theoa số nghiệm của phươ ng trình:4 22 2 0a x x − − = .

d/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến của( )C tại giao điểm của( )C và Parabol ( ) 2: 2 4P y x = + .


a/ ( ) ( )22 2 2

3 2 2 3 2 2x x x − + −

− = + b/ 8 2.4 2 2 0x x x − − + ≥

c/ 4 2 9log 8 log 2 log 243 0x x − + =

d/

( )3log 9 4.3 2 3 1

x x x − − ≤ +


ĐỀ 8

ĐỀ 9





a/ ,3 3 2 0, 3y x x = − + + b/ ;2

3ln1,

x y e

x =

Câu 4. Cho hàm số: ( ) ( )sin ln cos lny x x = + . Chứng minh rằng:2 '' ' 0x y xy y + + = .

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có 2 mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc vớ i mặt đáy và 3 .SC a SC = hợ p

vớ i mặt phẳng đáy một góc060 .

a/ Tính VS.ABCD.

b/ Xác định tâm I và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

c/ Gọi , 2M SC SM MC ∈ = , N là hình chiếu của A lên SD. Tính.A MNDC

V .

Câu 6. Cho hàm số2 1

1

x y

x

−=

−. Gọi I là giao điểm 2 đườ ng tiệm cận của( )C . Tìm ( )M C ∈ sao cho tiếp tuyến

của( )C tại M vuông góc vớ i đườ ng thẳng IM.

Câu 1. Cho hàm số:3 2

3 1 ( )m y x x mx C = + + + a/ Tìmm để hàm số có cực đại và cực tiểu.

b/ Khảo sát sư biến thiên và vẽ đồ thị hàm số( )C khi 4m = .

c/ Chứng minh rằng: phươ ng trình3 23 4 0x x x a + + + = luôn có đúng 1 nghiệm a ∀ ∈ ℝ .

d/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến vớ i( )C , biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 4.

e/ Tìm m để đườ ng thẳng 1y = cắt( )m C tại 3 điểm phân biệt ( ) , , 0,1A B C .

f/ Tìmm để tiếp tuyến của( )m C tại A và B vuông góc nhau.


a/ ( ) ( )5 21 7. 5 21 8.2x x x − + + = b/

2 312 2 4.3 32x x x ++ = +

c/ 2 2 29 36.3 3 0x x −− + = d/ ( )2 1

2

log log 2 3x x − − ≥

Câu 3. Tìm giá trị lớ n nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a/ . lny x x = trên đoạn21,e

b/

2 3

1

x x y

x

−=

+trên đoạn 2, 4

.

Câu 4. Cho hàm số: ( ) ( )2 cos 52 3 1 . x f x x x e = − + − . Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số ( ) f x . Tìm tập xác định

của hàm số: ( ) ( )2

3log 3 2 4g x x x x = − + + − .

Câu 5. Cho hình chóp đều .S ABC , mặt bên hợ p vớ i mặt đáy một góc060 , cạnh đáy bằng a .

a/ Tính thể tích khối chóp .S ABC .b/ Xác định tâmI và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .

c/ Tính khoảng cách từA đến ( )mp SBC .

Câu 6. Cho hàm số ( )4 21 3

2 2 m y x mx C = − + . Tìmm để hàm số( )m

C có 3 cực trị lập thành tam giác đều.


2

x y C

x

−=+

ĐỀ 10

ĐỀ 11






b/ Tìm trên( )C các điểm mà tiếp tuyến tại đó song song vớ i đườ ng thẳng : 5 1 0x y ∆ − + = .

c/ Tìm các giá trịm để đồ thị hàm số( )C cắt đườ ng thẳng : 5d y mx = + tại 2 điểm phân biệt A và B.

Vớ i giá trị nào củam thì 2 điểm A và B nằm về 2 nhánh của( )C .


a/ 4 3 2 12 5.2 2 0x x + +− + = b/

2

3 3log log 9 3 0x x − − =

c/ 2 1 13 2x x − −> d/ ( ) ( ) 5

3 33

1log 1 2 log 3 1 log

2x x − − − = +

Câu 3. Tìm tham sốm để hàm số: ( ) ( )3 22 1 1 1y x m x m x = + − + + − có hai cực trị.

Câu 4. Tìm giá trị lớ n nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a/ 2 ln 2y x x = + trên

2

3

1,e

e

b/

2

2

4 1

1

x x

x x

e e y

e e

− +=

+ +

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SC hợ p vớ i mặt phẳng đáy 1 góc 60o

và M làtrung điểm của SC, N là hình chiếu của SA lên SB.

a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABC và S.AMN.

b/ Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

c/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và diện tích ∆SMN.

Câu 1. Cho hàm số ( )2 1

1

x y C

x

+=

−

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

( )C .

b/ Giao điểm của( )C vớ i trục hoành là A. Tiếp tuyến ∆ của( )C tại A cắt trục tung tại B. Tính diện

tích OAB ∆ .

c/ Chứng minh rằng( )C luôn cắt đườ ng thẳng :d y x m = − + tại 2 điểm phân biệt A và B. Vớ i giá trị

nào củam thì AB ngắn nhất.

d/ M là điểm bất kỳ trên( )C . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là một hằng số.

e/ Xác định tọa độ điểm ( )N C ∈ để tổng khoảng cách từ N đến 2 đườ ng tiệm cận là nhỏ nhất.


a/

( )2 1

3 3log 3 1 log 4

x x + + = + b/

( )2

1 23log log 8 1

x − > −

c/ 2

1 9

3

log 3 6 log 3 lg10 0x x − − = d/ 13.9 89.6 24.4 0x x x + − + >

Câu 3. Cho hàm số: ( )4 22 1 3y x m x = + − + ( )C .

a/ Tìm tham sốm để đồ thị của hàm số ( )C có 3 điểm cực trị.

b/ Tìm tham sốm để đồ thị của hàm số ( )C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, đồng thờ i hoành độ của 4

điểm này lập thành cấp số cộng (cách đều nhau).


a/ ( )3 2 3x y e x x = + − trên đoạn 1,2 − b/ ( ) 7

8ln .ln . ln x y x e x

e =

trên đoạn5,e e −

.

ĐỀ 12





Câu 5. Cho hình chóp đều S.ABCD, có O là tâm của đáy, cạnh bên hợ p vớ i mặt đáy một góc 60o và a2BD = .

a/ Tính VS.ABCD ?

b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

c/ Gọi E là trung điểm của SO, H là giao điểm của AE và SC, K là hình chiếu của A lên SD. Tính thể tích

khối chóp S.AHK.

Câu 1. Cho hàm số ( ) 3 22 3 1y x x C = − + +


b/ Dựa vào đồ thị ( )C , hãy tìmm để phươ ng trình3 22 3 1 2 0m x x − − + = có 3 nghiệm phân biệt.

c/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến vớ i (C), biết tiếp tuyến vuông góc vớ i đườ ng thẳng: 12 1 0x y − + = .


a/ 9 3

1log 81 log 3

2x

x + = b/ ( )9 3 3

1 14 log 2 log 2 1 log

2 2

x x x − + + = +

c/ ( ) ( )3lg 10 1000 .lg 10 1 4x x + + + = d/

2 112

22 81 6

3 32

x x − − ≤

Câu 3. Tìm tham sốm để các hàm số: ( )3 2 211 1

3y x mx m m x = − + − + + đạt cực trị tại 1x = . Khi đó,

hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính giá trị cực trị tươ ng ứng ?

Câu 4. Tìm giá trị lớ n nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

a/ ( )2ln 2 5 3y x x = − + trên đoạn 2; 3

b/ ( )1 2. 1x y e x x −= + + trên đoạn 1;2 −

Câu 5. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , trong đó 2 mặt phẳng( )SAB và ( )SAC cùng

vuông góc vớ i mặt phẳng đáy, 2AC a = và SC hợ p vớ i đáy một góc045 .

a/ Tính thể tích khối chóp .S ABC .b/ Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .c/ Gọi ,H K lần lượ t là hình chiếu của A lên ,SB SC . Tính thể tích khối chóp .S AHK .

Câu 1. Cho hàm số: ( ) 4 22 3y x x C = − +

a/

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C .

b/ Dựa vào( )C , hãy biện luận theok số nghiệm của phươ ng trình:4 22 2 2 0x x k − − + = .

c/ Đườ ng thẳng ∆ tiếp xúc vớ i( )C tại điểm M thuộc( )C có hoành độ bằng 1− và ∆ cắt 2 trục tọa độ tại A

và B . Tính diện tích tam giác OAB .


a/ ( ) ( )2 1 2 1

2 3 2 3 14x x − −

− + + = b/ 2

1 3

2

log 4 15 log 10 0x x − − =

c/

1

2

2 1log

13 9

4 16

x

x

−

+

> d/ ( ) 1 824

1log 1 2 log 2 3 log 32 x x + − = +

ĐỀ 13

ĐỀ 14





Câu 3. Cho hàm số: ( )3 22 3 1y x ax b x = + + − + . Tìm ,a b để hàm số đã cho đạt cực trị bằng 2 tại 1x = − .

Đây là điểm cực đại hay cực tiểu. Từ đó tính giá trị cực trị tươ ng ứng.


a/ 23 10y x x = + − b/

342 sin sin

3

y x x = − trên đoạn 0; π

Câu 5. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại ( ),A SA ABC ⊥ .

a/ Biết 6 , 10 ,AC a AB a SC = = hợ p vớ i mặt đáy 1 góc060 . Tính thể tích khối chóp .S ABC .

b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu hình chóp .S ABC .

c/ Tính diện tích SBC ∆ và khoảng cách từ A đến ( )mp SBC .


1

x y C

x

+=

−

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số( )C đã cho.

b/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến vớ i( )C tại giao điểm của( )C vớ i trục hoành.

c/ Đườ ng thẳng ∆ qua ( )0; 3A có hệ số góc làm . Tìmm để( )C cắt ∆ tại 2 điểm phân biệt.


a/ 127.9 25.6 18.4 0x x x +− + ≤ b/ ( ) ( ) ( )1 33

9

1log 1 2 log 5 1 log 3

2x x x − − − = + −

c/ 1

2

1log log 0

3

x

x

− > +

d/ 1 3

24 1 2 1x x

+ =− −

Câu 3. Tìm tham sốm để đồ thị của hàm số:3 2 9

38

y x mx m x = + + − có 2 điểm cực trị, đồng thờ i hai điểm

cực trị này nằm về phía bến trái trục tung Oy .


a/ 2 2 7

2

x y e x x − = − + +

trên 2; 0 − b/ 3

ln1

x y

x = + trên đoạn

31;e

Câu 5. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang vuông tại ,A D và ( )SA ABCD ⊥ .

a/ Biết , 2 , 3 ,AC a AB a AD a SC = = = hợ p vớ i mặt đáy một góc030 . Tính thể tích khối chóp

.S ABCD .b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu hình chóp .S ADC .

Câu 1. Cho hàm số: ( ) ( ) 3 23 2 2m

y x m x mx C = + − + +

a/ Địnhm để hàm số có cực đại và cực tiểu.

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị( )C của hàm số khi 1m = .

ĐỀ 15

ĐỀ 16





c/ Tiếp tuyến của( )C tại điểm ( )A C ∈ có hoành độ 1x = − cắt( )C tại giao điểm thứ nhì là B, khác điểm

A. Xác định tọa độ của điểm B.

d/ Biện luận theok số giao điểm của( )C và đườ ng thẳng ( ): 1 2d y k x = + + .


a/

2

100y x = − trên 86; − b/

2

sin cos 2y x x = + +

Câu 3. Cho , 0a b > thỏa hệ thức:2 29 10a b ab+ = . Chứng minh rằng: ( )3 1

lg lg lg4 2

a ba b

+= + .


a/ 2 3 2 3 4x x − + + =

b/ ( )2log 3.2 1 2 1x x − = +

c/ 32 2 9x x −+ ≤ d/ ( )2

2log 3 2x x + <

Câu 5. Cho khối chóp S.ABC có đườ ng cao 2 ,SA a ABC = ∆ vuông ở C có 2 , 30o AB a CAB = = . Gọi ,H K

là hình chiếu của A trênSC và SB .

a/ Chứng minh rằng: AH SB ⊥ và ( )SB AHK ⊥ .

b/ Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối chóp .S ABC .

c/ Tính tỉ số thể tích .

.

S AHK

S ABC

V

V .

d/ Tìm tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC .

Câu 1. Cho hàm số: ( ) ( ) 4 22 1 2 1y x m x m Cm = − − + + +

a/ Tìm tham sốm để hàm số( )Cm có 3 cực trị.

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị( )C khi 2m = − .

c/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến vớ i đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến đó song song vớ i đườ ng thẳng:

24 2012 0x y + − = .

d/ Tìma để phươ ng trình:4 22 1 lg 0x x a − − + = có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 2. Tìm giá trị lớ n nhất và nhỏ nhất của hàm số:3sin 3 cos 2 1y x x = + − .

Câu 3. Cho14

2log t = . Hãy tính:

49 7log 32 theo t . Tìm tập xác định của hàm số: ( )2 212 .lg 4y x x x = − − − .


a/

1 23

64 2 12 0x x +

− + = b/ ( ) ( )25 5 52 log 3 11 log 27 3 log 10x x − + − =

c/ 2

2

2log

log 1x

x ≤

−d/

1

1

2 12

2 1

x

x

−

+

−<

+

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằnga , cạnh bên tạo vớ i mặt đáy một góc060 . Gọi O là

giao điểm của AC và BD .a/ Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp.

b/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .c/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .d/ Xác định tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .

ĐỀ 17

ĐỀ 18





Câu 1. Cho hàm số:( )

( )

23 1m x m m y Cm

x m

+ − +=

+

a/ Chứng minh rằng: 0m ∀ ≠ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị( )C của hàm số khi 1m = − .

c/ Tìm những điểm có tọa độ nguyên trên đồ thị ( )C .

d/ Chứng minh rằng: đườ ng thẳng : 2 0d x y a + − = luôn cắt( )C tại 2 điểm phân biệt nằm trên 2 nhánh

khác nhau của đồ thị ( )C .


a/ 2. x y x e −= trên đoạn 0;1

b/ ( )2

2

1 9; 0;

8 1

x x y x

x

+ += ∀ ∈ +∞

+

Câu 3. Biết: lg 3 , lg 2a b= = . Tính125

log 30 theo ,a b .


a/ 4.12 4.8 27 18x x x x − = − b/ ( )3 3log 1 log 2 7 1x + − =

c/ ( )2

1

2

log 5 6 3x x − − ≥ − d/ lg 4 lg4 4x x + ≥

Câu 5. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng( )SAB và ( )mp SAD cùng vuông

góc vớ i ( ), 3, , 3mp ABCD SA a AB a AD a = = = .

a/ Tính thể tích khối chóp .S ABCD .

b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến ( )mp SBC .

c/ Tính diện tích hình nón sinh bở i SAC ∆ khi quay quanh AC .d/ Tính thể tích hình trụ sinh bở i hình chữ nhật ABCD khi quay quanh cạnh AD .

Câu 1. Cho hàm số: ( )2 3 3

1

x x y C

x

+ +=

+

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số( )C .

b/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến vớ i( )C , biết tiếp tuyến đó đi qua ( )1, 3M .

c/ Tìm điều kiện củak để đườ ng thẳngd có hệ số góck đi qua

( )1, 3A − và cắt

( )C tại 2 điểm phân biệt.

d/ Chứng minh rằng: tích các khoảng cách từ M tùy ý trên đồ thị( )C đến 2 đườ ng tiệm cận của nó là một

hằng số.

Câu 2. Tìm giá trị lớ n nhất và nhỏ nhất của hàm số:

2sin 2 sin 2

sin 1

x x y

x

− −=

+.

Câu 3. Chứng minh rằng:log .log

log logloga b

a b

ab

c c c c

c + = .


a/ 2 25 1 54 12.2 8 0x x x x − − − − −− + = b/

( )2 2 4

log log 2 log 1x − <

c/ ( )1 5

2

log log 3 0x − < d/ ( ) 2log42 . 64

x

x x =

ĐỀ 19





Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D có SAD, 2 ,DA DC a AB a = = = ∆

vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i mp(ABCD).

a/ Chứng minh rằng: ( )SA ABCD⊥ và tính thể tích hình chóp S.ABCD.

b/ Tính thể tích hình chóp S.BCD.

c/ Tính khoảng cách từ D đến mp(SBC).

d/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu qua 4 điểm S, A, C, D.

Câu 1. Cho hàm số: ( ) 2(1 ) (4 )y x x C = − −

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số( )C đã cho.

b/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến của( )C tại giao điểm của( )C vớ i trục hoành.

c/ Tìm tham sốm để phươ ng trình:3 26 9 4 0x x x m − + − + = có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 2. Tìm giá trị lớ n nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ 1 3 6 9y x x x = + + − + + b/

3 2 3

2y x x = − trên đoạn 1 ; 33 − .

Câu 3. Cho hàm số

22 3 2

2

x x m y

x

+ + −=

+. Tìmm để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu tại các điểm có

hoành độ 1 2;x x thỏa mãn: ( ) ( )2 18y x y x − = .


a/ 4

3

34 7

2

x

x

−

−= − b/

2 3

2 16 4log 14 log 40 log 0

x x x x x x − + =

c/

2 11

1 1

3. 123 3

x x +

+ > d/

( ) ( )2 2

1 7 4 14 7log log 1 log log 1

x x x x + + ≤ + −

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a = , ( )SA ABC ⊥ , góc giữa mp(SBC)

và (ABC) bằng 30o. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a .

Câu 1. Cho hàm số: ( ) ( ) 3 212 1 2

3 m y x mx m x m C = − + − − + .

a/ Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị hàm số ( )3C khi 2m = .

b/ Dựa vào đồ thị hàm số( )3C , hãy tìm k để phươ ng trình:2

3 2 13 18 2 0k x x +− + = có đúng 2 nghiệm

phân biệt.

c/ Tìm tham sốm để đồ thị hàm số( )m C nghịch biến trên ( )0;2 .


a/ ( ) 26 4y x x = − + trên 0; 3 b/

2 21 1,y x x x x x = + + + − + + ∀ ∈ ℝ

Câu 3. Cho hàm số: ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m = + − + − + − + . Tìmm để hàm số đạt cực trị tại

hai điểm 1 2,x x sao cho: ( )1 2

1 2

1 1 1

2x x

x x + = + .


ĐỀ 20

ĐỀ 21





a/ 1

1 1

3 5 3 1x x +<

+ −b/

1 2 1 29 9 9 4 4 4x x x x x x + + + ++ + < + +

c/ ( )1

1

5

log 6 36 2x x + − = d/ ( )2

3 3log 12 log 11 0x x x x + − + − =

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có , 2AB a SA a = = . Gọi M, N và P lần lượ t là trung điểm của

các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đườ ng thẳng MN vuông góc vớ i đườ ng thẳng SP. Tính theo

a thể tích khối tứ diện AMNP.

Câu 1. Cho hàm số: ( ) 4 2 3y x x C = − −


b/ Dựa vào đồ thị ( )C , hãy biện luận số nghiệm của phươ ng trình:4 2 3 0x x m − − − = .

c/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến của đồ thị

( )C . Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm

( )1;2A − .


a/ 2

1

1

x y

x

+=

+trên 1;2 − b/ 2 cos cosy x x = + + trên 0;

2

π

Câu 3. Cho hàm số 4 21 1

14 2

y x mx m = − + + . Tìm m để hàm số có 3 cực trị, đồng thờ i ba cực trị ấy tạo thành

một tam giác nội tiếp đượ c trong đườ ng tròn có bán kính R = 1.


a/ ( ) ( )3

3 5 16. 3 5 2

x x x +

+ + − = b/ ( )

24

4 2log log 4 10 04

x

x

− + =

c/ 1 1 14 5.2 16 0x x x x + − + − +− + ≥ d/

( ) ( )2 3

2 3

2

log 1 log 10

3 4

x x

x x

+ − +>

− −

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD cạnh đáy bằnga . Gọi SH là đườ ng cao của hình chóp. Khoảng cách

từ trung điểm I củaSH đến ( )mp SBC bằngb . Tính thể tích khối chóp .S ABCD .

Câu 1. Cho hàm số: ( ) ( ) 3 23 1 9m

y x m x x m C = − + + −

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số( )1C khi 1m = .

b/ Viết phươ ng trình tiếp tuyến vớ i( )1C tại điểm có hệ số góc bằng 9.

c/ Tìm tham sốk để phươ ng trình:3 26 9 2 0x x x k − + − + = có 6 nghiệm phân biệt.

d/ Tìmm để hàm số( )m C có 2 cực trị tại

1 2,x x , đồng thờ i hai hoành độ cực trị thỏa mãn:

1 22x x − ≤ .

e/ Tìm m để hàm số( )m C để hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 1.

Câu 2. Tìm giá trị lớ n nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số:

ĐỀ 22

ĐỀ 23





a/ ( )7

8ln . ln . . ln

x y x e x

e

= trên

5;e e −

b/ 212y x x = + +

Câu 3. Cho 0, 1a a > ≠ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )1log 1 log 2

a a a a

++ > + .


a/ ( )3 3

36. 2 3 9.8 4.27x x x x + = + b/ ( ) ( )3 1

1 310 3 10 3

x x

x x

− +

− ++ < −

c/ 3 33 3

1 log 1 log 1x x − + + = d/

2

0,1 2

1log log 0

1

x

x

+<

−

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, , 2AD DC a AB a = = = . Biết

rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc vớ i mặt phẳng (ABCD), SC tạo vớ i mặt phẳng đáy

(ABCD) một góc 600. Gọi I là trung điểm của SB.

a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a .b/ Chứng minh tam giác SBC vuông và tính độ dài đoạn thẳng CI.

c/ Gọi M là điểm thuộc cạnh SB sao cho3

SB SM =

. Tính thể tích khối chóp M.ABCD.

Câu 1. Cho hàm số: ( ) 1

1

x y C

x

+=

−

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số( )C .

b/ Dựa vào đồ thị( )C , hãy biện luận số nghiệm của phươ ng trình: ( )22 1 1 0x m x m − + + + = .

b/ Tìm tất cả điểm thuộc đồ thị( )C mà có tọa độ nguyên.

c/ Tìm tất cả các giá trị của tham sốk để đườ ng thẳng : 2 0d x y k − + = cắt đồ thị( )C tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB là ngắn nhất.

d/ Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó vẽ đượ c đúng 1 tiếp tuyến đến( )C .

e/ Cho ( )0;E α . Xác định α để từ E kẻ đượ c 2 tiếp tuyến đến( )C sao cho 2 tiếp tuyến tươ ng ứng:

Có hoành độ dươ ng.

Nằm về hai phía so vớ i trục hoành.

f/ Tìm trên ( )C những điểm có tổng khoảng cách từ đó đến hai đườ ng tiệm cận của( )C là nhỏ nhất.

g/ Gọi ( ),o o

M x y là một điểm bất kỳ thuộc( )C . Tiếp tuyến tại điểmM cắt tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang của( )C theo thứ tự làP và Q . Gọi I là giao điểm của hai đườ ng tiệm cận. Chứng minh rằng

diện tích IPQ ∆ không phụ thuộc vào vị trí của điểmM .

Câu 2. Một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Ngườ i ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gặp các tấm

nhôm lại để đượ c một cái hộp không nắp. Tính cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp làlớ n nhất.

Câu 3. Bài toán liên quan đến phươ ng trình mũ và logarit.

13/ Cho phươ ng trình: ( ).9 3 1 3 5 2 0x x

m m m + − − + = ( )∗


ĐỀ 24





b/ Tìmm để phươ ng trình ( )∗ có 2 nghiệm trái dấu.

14/ Cho phươ ng trình:2 2

3 3log log 1 2 1 0x x m + + − − =

a/ Giải phươ ng trình khi 2m = .

b/ Tìm m để phươ ng trình có ít nhất một nghiệm trên31; 3

.

Câu 4. Cho hàm số 3 2 33 4y x mx m = − + . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thờ i hai điểm này

cùng nằm về một phía đối vớ i đườ ng thẳng : 3 2 8 0d x y − + = .

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đườ ng chéo 2 3 , 2AC a BD a = = cắt nhau tại

O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc vớ i mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng từ O đến mặt

phẳng (SAB) bằng3

4

a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .

Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc vớ i SC cắt SB, SC, SD lần lượ t tại

B’, C’, D’. Biết' 2

,3

SB AB a

SB = = .

a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.b/ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Câu 7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Tính thể tích khối lăng trụ

và khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (AB’C’) theo a , biết rằng:2 3

' ' '3

AA A B A C a = = = .

com - phanloaitoan 12 - chuong 2-levandoan

Documents