chuong 2 dai so tuyen tinh 2

Chương 2. Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương

Đại số Tuyến tính 2. 37

CHƯƠNG 2. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG

____________________________________________________________

I. DẠNG TUYẾN TÍNH – DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

1. Dạng tuyến tính:

1.1 Định nghĩa:

Giả sử K là một trường số. Mỗi ánh xạ tuyến tính từ không gian vector V trên trường K

vào K được gọi là một dạng tuyến tính trên V. Vậy, mỗi dạng tuyến tính trên V là một ánh

xạ :f V K thỏa các điều kiện sau:

- ( ) ( ) ( )f x y f x f y

- ( ) ( )f x f x với mọi ,x y V và K .

1.2 Ví dụ: Xét ánh xạ 2

1 2

:

2

f

x x x

với 1 2( , )x x x

Sinh viên tự kiểm tra đây là một dạng tuyến tính trên trường số thực

Sinh viên cho các ví dụ khác về các dạng tuyến tính.

Ký hiệu *V là tập tất cả các dạng tuyến tính trên V. Trên tập *V xét hai phép toán sau

đây:

- Phép cộng các dạng tuyến tính:

Với *,f g V ánh xạ :f g V K xác định bởi

( )( ) ( ) ( ),f g x f x g x x V

- Phép nhân các phần tử của trường K với dạng tuyến tính:

Với *,K f V thì ánh xạ :f V K được xác định bởi ( )( ) ( )f x f x , x V .

Ta có thể kiểm tra được các ánh xạ f + g và f là các dạng tuyến tính trên V, và tập *V với hai phép toán trên là một không gian vector trên trường K với vetor không là ánh xạ

không: :O V K , xác định bởi ( ) 0O x x V . Vector đối của vector f là vector (-f ).

không gian vector V* trên trường K, được gọi là không gian đối ngẫu của không gian

vector V.

2. Dạng song tuyến tính

2.1 Định nghĩa:

Một ánh xạ : n nf là một dạng song tuyến tính trên n nếu với mọi

, , ,nx y z ta có:

(1) ( , ) ( , ) ( , )f x z y f x y f z y

(2) ( , ) ( , )f x y f x y

(3) ( , ) ( , ) ( , )f x y z f x y f x z

(4) ( , ) ( , )f x y f x y

Nhận xét: Một ánh xạ : n nf được gọi là một dạng song tuyến tính trên n nếu với mọi y cố định f là một dạng tuyến tính trên n theo biến x, và với mỗi x cố

định thì f là một dạng tuyến tính trên n theo biến y.

Tổng quát:



Giả sử V là một không gian vector trên trường K. Ánh xạ :V V K được gọi là một

dạng song tuyến tính trên không gian vector V nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn

với mọi vector x, x’, y, y’ thuộc V và mọi phần tử thuộc K.

( ', ) ( , ) ( ', )

( , ) ( , )

x x y x y x y

x y x y

(1)

( , ') ( , ) ( , ')

( , ) ( , )

x y y x y x y

x y x y

(2)

Điều kiện (1) cho thấy với mỗi y cố định thì ( , )x y là một dạng tuyến tính trên V đối

với x. Điều kiện (2) cho thấy với mỗi x cố định thì ( , )x y là một dạng tuyến tính trên V

đối với y. Nói cách khác, khi cố định một biến thì là dạng tuyến tính đối với biến còn

lại.

2.2 Ví dụ:

- Cho 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) 2 3 4f x y x y x y x y x y với mọi 2

1 2 1 2( , ), ( , )x x x y y y là một dạng

song tuyến tính trên 2 .

- Nếu g là một dạng tuyến tính trên V và h là một dạng tuyến tính trên W thì

( , ) ( ) ( )f x y g x h y với mọi ,x V y W là một dạng song tuyến tính trên V x W. Cụ thể như: 2 3,V K W K thì :f V W K được xác định như sau: 1 2 1 2 3( , ) ( )( 2 3 )f x y x x y y y là

một dạng song tuyến tính, với 2

1 2( , )x x x K và 3

1 2 3( , , )y y y y K .

- Nếu E là không gian Euclide thì tích vô hướng là một dạng song tuyến tính trên E.

- Ánh xạ 2 2:f K K K xác định bởi

( , ; , )a b

f a b c dc d

là một dạng song tuyến tính.

- Dạng song tuyến tính gọi là đối xứng nếu thỏa mãn điều kiện:

( , ) ( , ), ,x y y x x y V

- Trên 3 , xét 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 3( , )f x y x y x y x y x y x y x y là một dạng song tuyến tính

đối xứng.

- Mỗi tích vô hướng trên không gian vector Euclid là dạng song tuyến tính đối xứng

trên .

Sinh viên tự kiểm tra như bài tập nhỏ.

Trong không gian vector V xét cơ sở 1 2( , ,..., )mB v v v và trong không gian vector W

xét cơ sở 1 2' ( , ,..., )nB w w w .

2.3 Ma trận của dạng song tuyến tính:

2.3.1 Ma trận của dạng song tuyến tính đối với một cơ sở:

Xét không gian vector V trên trường K, gọi 1 2{ , ,..., }nB u u u là cơ sở của V.

Giả sử là một dạng song tuyến tính trên không gian vector V. Khi đó, đối với các

vector 1 1

,n n

i i j j

i j

x x u y y u

.



Ta có 1 1 1 1 1 1

( , ) ( , ) , ( , )n n n n n n

i i j j i i j j i j i j

i j i j i j

x y x u y u x u y u x y u u

Đặt ( , ) : , 1,...,ij i ja u u i j n

Ma trận ( )ij n nA a được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính đối với cơ sở B.

Ví dụ:

Cho 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) 2 3f x y x y x y x y x y là dạng song tuyến tính trên 2

Xét cơ sở chính tắc 1 2{ , }B e e thì có

1 1 1 2 2 1 2 2( , ) 1; ( , ) 2; ( , ) 3; ( , ) 1f e e f e e f e e f e e .

Ma trận 1 2

3 1A

là ma trận đối với cơ sở chính tắc của B.

1 1

1 2 1 2 1 2

2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2

1 2( , ) 3 2

3 1

( 3 ) ( 2 ) 3 2

y yf x y x x x x x x

y y

y x x y x x x y x y x y x y

Nhận xét:

Ta có

11 12 1

1

21 22 2

1 2

1 2

...

...( , ) [ ... ] ...

... ... ... ...

...

n

n

n

n

n n nn

a a ay

a a ax y x x x

ya a a

Hay

1

1( , ) [ ... ] ...n

n

y

x y x x A

y

Nếu dạng song tuyến tính của là dạng song tuyến tính đối xứng thì A là ma trận đối

xứng.

Định lý 2.3.1: Ánh xạ :f V W K là một dạng song tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại

mn phần tử , 1,..., ; 1,...,ija K i m j n sao cho 1 1

( , )m n

ij i j

i j

f x y a x y

với mọi

1 1 2 2 ... m mx x v x v x v và 1 1 2 2 ... m my y w y w y w . Hơn nữa khi đó

( , ) , 1,..., ; 1,...,i j ijf v w a i m j n và f là dạng song tuyến tính duy nhất thỏa điều kiện này.

Ma trận ( ) ( , ; )ij m nA a M m n K được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f đối với

cặp cơ sở (B, B’).

Nếu f là dạng song tuyến tính trên V, thì ma trận biểu diễn của f theo cặp cơ sở (B, B)

được gọi là ma trận biểu diễn của f theo B.

Ví dụ: Nếu f là dạng song tuyến tính trên 2 3K K được xác định bởi

1 2 1 2 3 1 2 1 2 3( , ; , , ) ( )( 2 3 )f x x y y y x x y y y thì ma trận biểu diễn f theo cặp cơ sở chính

tắc là



1 2 3

1 2 3A

Nếu f là tích vô hướng của không gian Euclid thì ma trận biểu diễn của f theo một cơ

sở S chính là ma trận Gram của cơ sở đó.

Định lý 2.3.2: Nếu dạng song tuyến tính f trên V có các ma trận biểu diễn theo các cơ

sở S và T lần lượt là A và B và P là ma trận chuyển cơ sở từ S sang T thì TB P AP .

Hai ma trận A, B thỏa tính chất trên được gọi là hai ma trận tương đẳng. Nói cách

khác, hai ma trận được gọi là tương đẳng với nhau nếu chúng là ma trận biểu diễn của

cùng một dạng song tuyến tính.

Ví dụ 1: Xét ma trận của dạng song tuyến tính 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) 2 3f x y x y x y x y x y là

dạng song tuyến tính trên 2 đối với cơ sở chính tắc của 2 là:

1 2

3 1A

Tuy nhiên, ma trận B của dạng song tuyến tính f đối với cơ sớ 1 2' { , }B u u với

1 2(1,1); (1,0)u u

1 1 1 2 2 1 2 2( , ) 1; ( , ) 4; ( , ) 2; ( , ) 1f u u f u u f u u f u u

1 4

2 1B

Ví dụ 2: Dạng song tuyến tính

1 1 1 2 1 3 2 2 3 1 3 3( , ) 2 3 7x y x y x y x y x y x y x y có ma trận trong cơ sở chính tắc là

1 2 1

0 1 0

3 0 7

C

Định lý 2.3.3: Hạng của dạng song tuyến tính f trên V là hạng của một ma trận biểu

diễn của nó và được ký hiệu là rank(f).

Chú ý: Dạng song tuyến tính f được gọi là suy biến nếu rank(f ) < dim V và không suy

biến nếu rank(f ) = dim V.

Ví dụ: Tìm hạng của các dạng song tuyến tính trong các ví dụ trên.

Định nghĩa 2.3.4: Cho f là dạng song tuyến tính trên V. ,x y V ,

f được gọi là đối xứng nếu: ( , ) ( , )f x y f y x .

f được gọi là đối xứng lệch nếu ( , ) ( , )f x y f y x

f được gọi là thay phiên nếu f (x, x ) = 0

Ví dụ:

Cho 2V K . Xét các ánh xạ f và g được xác định như sau:

2 2

1 2 2 1

:

( , )

f K K K

x y x y x y

và

2 2

1 2 2 1

:

( , )

g K K K

x y x y x y

với 2

1 2( , )x x x K và 2

1 2( , )y y y K

Khi đó, f là một dạng song tuyến tính đối xứng và g là một dạng song tuyến tính

thay phiên, đồng thời là dạng song tuyến tính đối xứng lệch.



Sinh viên tự kiểm tra lại kết quả trên

Sinh viên tìm thêm các ví dụ khác về dạng song tuyến tính đối xứng và đối xứng lệch.

Định lý 2.3.5: Dạng song tuyến tính trên K-không gian vector hữu hạn chiều V là

đối xứng khi và chỉ khi ma trận của nó đối với cơ sở nào đó là ma trận đối xứng.

Chứng minh:

Giả sử là dạng song tuyến tính đối xứng và ( )ij n nA a là ma trận của đối với cơ sở

1 2{ , ,..., }nu u u . Theo (**) thì ( , ) ( , )ij i j j i jia u u u u a với i, j = 1,…, n . Suy ra A là ma

trận đối xứng.

Ngược lại giả sử rằng A là ma trận đối xứng theo hệ thức (**) thì

1 1 1 1

( , ) ( , )n n n n

ij i j ji j i

i j j i

x y a x y a y x y x

.

Vậy là dạng song tuyến tính đối xứng.

Nhận xét: Nếu A là ma trận biểu diễn của một dạng song tuyến tính f. Khi đó f là một

dạng song tuyến tính đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng, và f là đối xứng lệch khi và chỉ

A là đối xứng lệch.

3. Dạng toàn phương:

3.1 Ma trận của dạng toàn phương:

Định nghĩa 3.1.1:

Giả sử là dạng song tuyến tính đối xứng trên K- không gian vector V, khi đó ánh xạ

:V K xác định bởi: ( ) ( , ),x x x x V được gọi là dạng toàn phương trên không

gian vector V sinh bởi dạng song tuyến tính .

Ví dụ:

- Trên 3 , xét dạng song tuyến tính đối xứng sau:

1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 3( , )f x y x y x y x y x y x y x y có ma trận trong cơ sở chính tắc là:

1 1 0

1 0 1

0 1 1

A

Từ đó, 2 2

1 1 2 2 3 3( ) ( , ) 2 2x f x x x x x x x x là một dạng toàn phương.

- Xét ánh xạ 3: được xác định như sau:

2 2 2 3( , , ) 3 4 2 6 2 , ( , , )x y z x xy xz y yz z x y z đây là một dạng toàn phương

trên 3 .

Sinh viên hãy viết ma trận của dạng toàn phương trên trong cơ sở chính tắc.

Sinh viên cho các ví dụ về dạng toàn phương trên 2 4;

Trong không gian vector V, xét cơ sở: 1 2{ , ,..., }nu u u (1).



Giả sử ( )ij n nA a là ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng . Theo trên, thì A là

ma trận đối xứng với 1

n

i i

i

x x u

. Khi đó ta có 1 1

( )n n

ij i j

i j

x a x x

(i) Suy ra

1

1( ) ( ... ) ...n

n

x

x x x A

x

(ii)

Các hệ thức (i) và (ii) được gọi là biểu thức tọa độ của dạng toàn phương đối với cơ

sở (I).

Xét một cơ sở khác của không gian V: 1 2{ , ,..., }nv v v (2).

Giả sử B là ma trận của dạng toàn phương đối với cơ sở (2). Khi đó công thức (ii) ta

có:

Với '

1

n

i i

i

x x v

thì

'

1

' ' '

1 2

'

( ) ... ...n

n

x

x x x x B

x

(a)

Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2) theo công thức biến đổi tọa độ ta

có:

1 1

2 2

'

'

... ...

'n n

x x

x xT

x x

(b)

Thực hiện phép chuyển vị ma trận ở (iii) ta có

1 1... ' ... ' T

n nx x x x T (c)

Khi đó,

'

1

' '

1

'

( ) ... ...t

n

n

x

x x x T AT

x

(d)

So sánh vế phải (a) và (d) ta có: TB T AT (***)

Hệ thức (***) cho thấy mối quan hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng toàn phương

đối với hai cơ sở khác nhau.

Vì T là ma trận không suy biến, nên ta có r(B) = r(A). Vậy, hạng của ma trận dạng toàn

phương . Nếu r(A) = n thì gọi là dạng không suy biến.

Định lý 2.3.2: Cho S là cơ sở của không gian vector V n chiều. Một ánh xạ

:f V K được gọi là một dạng toàn phương khi và chỉ khi nó được viết dưới dạng:

1 1

( )n n

ij i j

i j

f x a x x

trong đó 1 2( , ,..., )nx x x x là tọa độ của x theo cơ sở S và ija K .

3.2 Dạng chính tắc của dạng toàn phương:

3.2.1 Cơ sở chính tắc của dạng toàn phương

Cơ sở 1 2{ , ,..., }nv v v của không gian vector V trên trường K được gọi là cơ sở chính tắc

của dạng toàn phương nếu ma trận B của dạng đối với cơ sở đó là ma trận chéo.



1

2

0 ... 0

0 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... n

b

bB

b

Khi đó biểu thức tọa độ của có dạng 2 2 2

1 1 2 2( ) ... n nx b t b t b t (iv) trong đó

1 1 2 2 ... n nx t v t v t v

Biểu thức (iv) được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương .

Chú ý: Dạng chính tắc của một dạng toàn phương xác định không duy nhất.

Nếu ( )x có dạng chính tắc thì ta có các kết quả sau:

( )x xác định dương nếu mọi 0ib

( )x nửa xác định dương nếu mọi 0ib

( )x xác định âm nếu mọi 0ib

( )x nửa xác định âm nếu mọi 0ib

( )x không xác định nếu có các ib trái dấu.

Để xét tính xác định của một dạng toàn phương bất kỳ, ta tìm cách đưa nó về dạng

chính tắc sau đó kết luận theo cách trên.

3.2.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

a) Phương pháp Lagrange:

Nếu trong dạng toàn phương ( )x có 11 0a thì ta viết

2

2 11211 1 12 1 2 1 1 11 1 2 1

11 11

( ) 2 ... 2 ... ... nn n n

aax a x a x x a x x a x x x g

a a

Đặt

' 1121 1 2

11 11

'

... nn

j j

aax x x x

a a

x x

với j =2, …, n.

Khi đó, 2

11 1 1( ) 'x a x g , trong đó 1g là một dạng toàn phương không chứa 1x .

Nếu 11 0a , nhưng 12 0a thì đặt ' '

1 1 2

' '

2 1 2

x x x

x x x

Khi đó, '2 '2

12 1 2 12 1 12 2a x x a x a x , khi đó '2

1 1( )x bx g với 1g là một dạng toàn phương

không chứa 1x . Tiếp tục quá trình này ta đưa ( )x về dạng chính tắc.

Ví dụ:

1) Cho dạng toàn phương 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3( ) 2 7 4 8x x x x x x x x . Hãy đưa dạng toàn

phương trên về dạng chính tắc

Giải

Áp dụng phương pháp Larange



2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 1 1 3 2 3 2 3 2 2 3

2 22 2 2 2 2 2

1 3 2 3 2 3 2 2 3 1 3 2 3 2 3 2

2 2 2 2

1 3 2 2 2 3 3 3

( ) 2 7 4 8 [ 2 (4 2 ) (4 2 ) ] (4 2 ) 2 7

4 2 16 16 4 2 7 4 2 23 16 2

4 2 2( 8 16 ) 9

x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

Đặt

1 1 3 2

2 2 3

3 3

4 2

4

t x x x

t x x

t x

Khi đó, dạng chính tắc của dạng toàn phương là 2 2 2

1 2 3( ) 2 9t t t t

Nhận xét: dạng toàn phương này không xác định dương.

2) Cho dạng song tuyến tính có ma trận biểu diễn là

0 1 2

1 0 1

2 1 0

A

.

Khi đó 1

1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3

3

0 1 2

( , , ) 1 0 1 2 4 2

2 1 0

x

x x x x x x x x x x x x x

x

Đặt ' '

1 1 2

' '

2 1 2

x x x

x x x

Khi đó,

' '

1 1 2

' '

2 1 2

3 3

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

1 2 1 2 1 2 3 1 2 3

'2 '2 ' ' ' ' ' ' ' '

1 2 1 3 2 3 1 3 2 3

'2 '2'2 '2 ' ' ' ' '2 ' ' '2 ' '3 31 2 1 3 2 3 1 1 3 2 2 3

'2

1

'

( ) 2( )( ) 4 2

2 4 4 2 2

2 2 6 2 2 64 2

2

x x x

x x x

x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x xx x x x x x x x x x x x

x

'2 '2

' ' '2 ' ' '2 '23 31 3 2 2 3 3 3

2'2

' ' ' 2 '231 2 3 3

9 182( 3 )

4 4 2 2

3 172 2( )

2 2 2

x xx x x x x x x

xx x x x

(*)

Đặt

31 1

' '

2 2 3

'

3 3

''

2

3

2

xt x

t x x

t x

khi đó có dạng chính tắc của dạng toàn phương như sau:



2 2 2

1 2 3

17( ) 2 2

2t t t t

3) Xét dạng toàn phương trong không gian 3 được xác định như sau: 2 2 2

1 1 2 2 1 3 3 2 3( ) 2 4 4 2x x x x x x x x x x với 3

1 2 3( , , )x x x x

Hãy tìm dạng chính tắc của dạng toàn phương trên.

Sinh viên tự làm như bài tập nhỏ.

b) Phương pháp Jacobi

Giả sử biểu thức của dạng toàn phương ( )x trong cơ sở 1 2( , ,..., )nB e e e là

, 1

( ) ( , )n

ij i j

i j

u u u a x x

, với ( , )ij i ja e e

Khi đó,

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...( )

... ... ... ...

...

n

n

ij

n n nn

a a a

a a aA a

a a a

Xét các định thức con chính của ma trận A

11 12

1 11 2 1

21 22

; ;...; det( )a a

a Aa a

(5)

Nếu tất cả các định thức con chính đều khác 0, tức là:

1 20; 0;...; 0n , thì tồn tại phương pháp, gọi là phương pháp Jacobi để tìm một

cơ sở ' ' '

1 2'{ ; ;...; }nE e e e sao cho dạng toàn phương ( )x có dạng chính tắc sau đây:

'2 '2 '20 0 01 2

1 1 1

( ) ... nx x x x

(6)

Trong đó ' ' '

' 1 2[ ] ( , ,..., )E nx x x x

Với giả thiết (5), ta đi tìm các hệ số ija sao cho

'

1 11 1

'

2 21 1 22 2

'

1 1 2 2

...

...n n n nn n

e e

e e e

e e e e

(7)

Suy ra, 0 111

11 1

1; k

k

ka

Ta tìm các hệ số kj của hàng thứ k trong (7) bằng quy nạp theo k. Giả sử đã tìm được

tất cả các hệ số của k – 1 hàng đầu tiên của (7). Để tìm các hệ số của hàng thứ k, ta giải hệ

pt sau:

11 1 12 2 1

1,1 1 1,2 2 1,

1 1 2 2

... 0;

...

... 0;

... 1.

k k k kk

k k k k k k kk

k k k k kk kk

a a a

a a a

a a a



Ví dụ:

Trong 3 , xét dạng toàn phương 2 2 2

1 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 4Q u x x x x x x x

Giải

Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc là:

32 2

2

31 0

2

2 0 1

A

Các định thức con chính của A là:

1 2 3

2 3 / 2 1 172; ; det( )

3 / 2 1 4 4A

Do đó,

0 1 211 22 33

1 2 3

1 1; 8;

2 17

Vậy '2 '2 '2

1 2 3

1 1( ) 8

2 17Q u x x x

Tìm cơ sở ' ' '

1 2 3' ( , , )E e e e trong đó, Q(u) có dạng chính tắc nói trên.

Khi k = 2, ta giải hệ

21 2222

2121 22

32 0

82

3 60

2

Khi k = 3, ta giải hệ

31 32 33

31 32

31 33

32 2 0

2

3 0

2

2 + 1

Thay 33

1

17 , ta giải hệ được 31

8

17 và 32

12

17

Vậy cơ sở mới là

' 11

'

2 1 2

' 1 2 33

2

6 8

8 12

17

ee

e e e

e e ee



c) Phương pháp giá trị riêng:

Định lý 3.2.1: Mỗi dạng toàn phương trên không gian vector Euclid hữu hạn chiều

E đều có một cơ sở chính tắc là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid.

Các vector của cơ sở chính tắc đó gọi là các phương chính của dạng toàn phương .

Chứng minh:

Trong không gian vector Euclid E xét một cơ sở trực chuẩn: 1 2{ , ,..., }nu u u (I). Gọi A là

ma trận của dạng toàn phương đối với cơ sở trực chuẩn trên. Vì A là ma trận đối xứng

thực nên tồn tại ma trận trực giao Q sao cho

1

2

0 ... 0

0 ... 0

... ... ...

0 0 ...

T

n

B Q AQ

Ma trận trực giao Q chuyển cơ sở trực chuẩn (I) về cơ sở trực chuẩn 1,..., nf f (II)

được xác định bởi

1 2 1 2... ...n nf f f u u u Q

Khi đó, ma trận đường chéo B chính là ma trận của dạng toàn phương đối với cơ sở

trực chuẩn (II). Vậy cơ sở trực chuẩn (II) chính là một cơ sở chính tắc của dạng toàn

phương .

Nhận xét:

Trong cơ sở các phương chính (II), biểu thức tọa độ của dạng toàn phương là

2 2

1 1( ) ... n nx t t với 1

n

i i

i

x t f

và 1 2, ,..., n là các giá trị riêng của ma trận A.

Các cột của ma trận chuyển Q là các vector riêng của ma trận A.

Ví dụ: Dạng toàn phương trên không gian 3 được cho bởi: 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 11 2 5 4 16 20x x x x x x x x x x với 1 2 3( , , )x x x x

Giải

Ma trận của dạng toàn phương đối với cơ sở chính tắc 1 2 3{ , , }e e e là

11 2 8

2 2 10

8 10 5

A

Đa thức đặc trưng của ma trận A là: 2 2( ) 18 81 1458 ( 9)( 9)( 18)P

Vậy ma trận A có giá trị riêng là: 1 2 39, 18, 9

Khi đó dạng toàn phương có dạng chính tắc là 2 2 2

1 2 3

1 1 2 2 3 3

( ) 9 18 9x y y y

x y f y f y f

Các vector riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng 9 là (2,2,1)u t với t .



Chọn t =1 ta được một vector riêng là 1 (2,2,1)u

Các vector riêng ứng với giá trị riêng 18 là (2, 1, 2)u t với t .

Chọn t =1 ta được một vector riêng là 2 (2, 1, 2)u

Các vector riêng ứng với giá trị riêng 9 là các vector ( 1,2,2)u t với t .

Chọn t = 1 ta được một vector riêng là 3 ( 1,2,2)u

Ta có các vector u1, u2, u3 trực giao với nhau.

Chuẩn hóa:

1

1

1 2 2 1, ,

|| || 3 3 3v

u

2

2

1 2 1 2, ,

|| || 3 3 3v

u

3

3

1 1 2 2, ,

|| || 3 3 3v

u

Khi đó 1 2 3 1 2 3

2 / 3 2 / 3 1/ 3

2 / 3 1/ 3 2 / 3

1/ 3 2 / 3 2 / 3

f f f e e e

Cơ sở các phương chính của là

1

2

3

2 2 1, ,

3 3 3

2 1 2, ,

3 3 3

1 2 1, ,

3 3 3

f

f

f

c) Phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chuẩn tắc bằng cách sử dụng các

phép biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng của nó:

Cho dạng toàn phương q trên không gian vector n chiều V ( 2)n có ma trận trong cơ

sở 1 2( , ,.., )nB e e e là [ ] ( )ij n nA a M K . Khi đó, A là ma trận đối xứng. Do đó, việc đưa q

về dạng chính tắc theo ngôn ngữ ma trận là tìm ma trận khả nghịch C sao cho TC AC là ma

trận chéo.

Nội dung thuật toán:

Lập ma trận [ | ]nA I dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đồng thời lập lại các biến

đổi cùng kiểu trên các cột của [ | ]nA I để đưa A về dạng chéo. Khi đó, nI sẽ trở thành TC .

Ví dụ 1:

Cho dạng toàn phương 3 biến thực 2 2 2 3( , , ) 4 6 5 8 8q x y z x xy xz y yz z

Hãy đưa q về dạng chính tắc.

Giải:

Xét cơ sở chính tắc của 3 , ma trận của q trong cơ sở này là:



1 2 3

2 5 4

3 4 8

A

Lập ma trận 3[ | ]A I rồi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp để đưa A về dạng chéo

2 2 1 2 2 1

3 3 1 3 3 1

3 3 2 3 3 2

2 23 3

2 2

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0

2 5 4 0 1 0 0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0

3 4 8 0 0 1 0 2 1 3 0 1 0 2 1 3 0 1

1 0 0 1 0 0

0 1 2 2 1 0

0 0 5 7 2 1

d d d c c cd d d c c c

d d d c c c

A

1 0 0 1 0 0

0 1 0 2 1 0

0 0 5 7 2 1

Ta nhận thấy ma trận vế trái có dạng chéo. Khi đó, đặt

1 0 0

2 1 0

7 2 1

TC

suy ra

1 2 7

0 1 2

0 0 1

C

và

1 0 0

0 1 0

0 0 5

TC AC

Thay cơ sở chính tắc của 3 bằng cơ sở B sao cho C chính là ma trận đổi cơ sở từ cơ sở

chính tắc sang cơ sở B, hay ta đã sử dụng phép đổi biến.

' 2 ' 7 '

' 2 '

'

x x y z

y y z

z z

Ví dụ 2: Hãy đưa dạng toàn phương 3 biến thực sau đây về dạng chính tắc

( , , ) 2 3 7q x y z xy xz yz , 3( , , )x y z

Sinh viên tự làm như một bài tập nhỏ.

3.3 Dạng toàn phương trên không gian vector thực:

3.3.1 Dạng toàn phương xác định dương:

Định nghĩa 3.3.1: Dạng toàn phương trên - không gian vector V gọi là xác định

dương nếu ( ) 0x đối với mọi x khác vector 0. Ngược lại nếu ( ) 0x đối với mọi x

khác vector 0 thì dạng được gọi là xác định âm.

Định lý 3.3.2: Dạng toàn phương trên - không gian vector n chiều V xác định

dương khi và chỉ khi tất cả các hệ số trong dạng chính tắc của nó đều dương. Tức là, nếu

có dạng chính tắc. 2 2

1 1( ) ... n nx b t b t thì bi > 0 với i = 1, …, n.

Nhận xét:

Giả sử V là một không gian vector n chiều trên . Khi đó, một dạng toàn phương trên

V được gọi là dạng toàn phương thực.

Bổ đề 3.3.3: Cho là một dạng toàn phương thực. Ta có thể tìm thấy một cơ sở S của

V sao cho: 2 2 2 2

1 1( ) ... ...p p rx x x x x trong đó 1 2, ,..., rx x x là tọa độ của vector x theo

S.

Định lý 3.3.5: Mọi dạng chính tắc của dạng toàn phương thực.



2 2 2 2

1 1 1 1 1( ) ... ... ( ,..., 0)p p p p r r rx c x c x c x c x c c đều có cùng số p các hệ số dương

và số r-p các hệ số âm.

Định nghĩa 3.3.6: Số p các hệ số dương và số r - p các hệ số âm trong dạng chính tắc

của một dạng toàn phương thực tương ứng được gọi là chỉ số quán tính dương và chỉ số

quán tính âm. Hiệu giữa chỉ số quán tính dương và chỉ số quán tính âm được gọi là kí số

của .

Định nghĩa 3.3.7: Một dạng toàn phương thực được gọi là xác định dương (tương

ứng xác định âm) nếu ( ) 0x (hay ( ) 0x ) với mọi 0x .

Một dạng toàn phương thực được gọi là nửa xác định dương (hay nửa xác định âm)

nếu ( ) 0x (hay ( ) 0x ).

Ví dụ: 2| |x là một dạng toàn phương thực xác định dương.

Nhận xét: Một dạng toàn phương thực là xác định dương (tương ứng âm) khi và chỉ

khi chỉ số quán tính dương (tương ứng âm ) của nó bằng dim V.

3.3.2 Dạng chuẩn tắc. Luật quán tính Sylvester:

a) Dạng chuẩn tắc:

Từ dạng chính tắc của dạng toàn phương 2 2 2

1 1 2 2( ) ... r rQ u a x a x a x , trong đó r là

hạng của dạng toàn phương và 1 2... 0ra a a .

Một dạng toàn phương chính tắc được gọi là dạng toàn phương chuẩn tắc nếu

| | 1, 1,...,ia i r

Cơ sở của không gian n sao cho dạng toàn phương có dạng chuẩn tắc được gọi là cơ

sở chuẩn tắc.

Từ dạng chính tắc 2 2 2

1 1 2 2( ) ... r rQ u a x a x a x có thể đưa về dạng chuẩn tắc bằng quá

trình chuẩn hóa như sau:

- Đánh số lại nếu cần, ta có thể giả sử

- 1 2, ,.., 0sa a a và 1 2, ,..., 0s s ra a a

Khi đó dùng phép biến đổi

'

'

'

1, 1,2,...,

1, 1, 2,...,

, 1, 2,...,

i i

i

i i

i

i i

x x i sa

x x i s s ra

x x i r r n

Trong hệ tọa độ mới, Q sẽ có dạng chuẩn tắc 2 2 2 2 2

1 2 1... ...s s rQ x x x x x

b) Luật quán tính Sylvester:

Định lý 3.3.1:

Đối với mỗi dạng toàn phương cho trước trên không gian vector n chiều, số s các số

hạng mang dấu “+” và số p các số hạng mang dấu “-“ của dạng toàn phương chuẩn tắc là

không đổi.



Hay nói cách khác, hai số s và p của một dạng toàn phương chuẩn tắc không phụ thuộc

vào việc chọn cơ sở chuẩn tắc.

c) Chỉ số quán tính:

Theo luật quán tính Sylvester thì mỗi dạng toàn phương có số s các số hạng mang dấu

“+” và số p các số hạng mang dấu “-” là không đổi.

- Số s được gọi là chỉ số dương quán tính của dạng toàn phương.

- Số p được gọi là chỉ số âm quán tính của dạng toàn phương.

- Cặp số (s, p) được gọi là cặp chỉ số quán tính của dạng toàn phương.

- Số s – p được gọi là ký số của dạng toàn phương.

Định lý 3.3.2: (Sylvester) Điều kiện cần và đủ để một dạng toàn phương xác định

dương là tất cả các định thức con chính của ma trận của nó đều dương.

BÀI TẬP

1) Ánh xạ 2:f K K xác định bởi 1 2 1 2( , )f x x x x có là dạng song tuyến tính trên K

không?

2) Cho f là dạng song tuyến tính trên K2 cho bởi:

1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( , ; , )f x x y y x y x y x y . Viết ma trận biểu diễn của f theo cơ sở

1 2(2,1), (1,2)v v .

3) Cho 2 2:f xác định bởi

1 2 1 2 1 1 1 2 2 2(( , ),( , )) 2 3x x y y x y x y x y

a) Tìm ma trận biểu diễn E của f theo cơ sở tự nhiên (2) .

b) Tìm ma trận biểu diễn A của f theo cơ sở 1 2{ (1;0), (1;1)}S u u .

c) Tìm ma trận biểu diễn B của f theo cơ sở 1 2{ (2;1), (1; 1)}T v v .

d) Tìm ma trận chuyển cơ sở P từ S sang T và thử lại rằng TB P AP .

4) Cho 3 3:f xác định bởi

1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3( , ) 2 3 7 9 4f x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y

trong đó 3

1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )x x x x y y y y .

a) Tìm ma trận biểu diễn E của f theo cơ sở tự nhiên (3) .

b) Tìm ma trận biểu diễn A của f theo cơ sở {(1;1;1),(1;2;2),(1;1;3)}S .

5) Cho 3 3: [ ] [ ]t t được cho bởi

1

30

( ( ), ( )) ( ) ( ) ; trong dó ( ), ( ) [ ]p t q t p t q t dt p t q t t

a) Chứng minh rằng là một dạng song tuyến tính trên 3[ ]t .

b) Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên 2 3{1, , , }t t t .



6) Cho 2 2: ( ) ( )M M được xác định bởi

2

1 2( , ) tr( ) trong dó , , ( )

3 4

TX Y X AY A X Y M

Chứng minh rằng là một dạng song tuyến tính trên 2( )M .

7) Ký hiệu 2( , )L U V là các dạng song tuyến tính trên U V . Chứng minh rằng tập hợp

này trở thành không gian vector với các phép toán sau:

( )( , ) ( , ) ( , )

( )( , ) ( , )

f g x y f x y g x y

f x y f x y

với mọi 2, ( , )f g L U V và ,x U y V

8) Xét các dạng tuyến tính 1 2,f f trên không gian vector n chiều V trên trường K.

Chứng minh rằng, ánh xạ :V V K xác định bởi 1 2( , ) ( ) ( )x y f x f y là một dạng

song tuyến tính trên V.

9) Cho dạng toàn phương 3:q xác định bởi

2 2 2 3( , , ) 3 12 6 8 28 12 ; ( , , )q x y z x xy xz y yz z x y z

a) Lập ma trận của q trong cơ sở chính tắc.

b) Lập ma trận và biểu thức tọa độ của q trong cơ sở 1 ((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))B

c) Lập ma trận và biểu thức tọa độ của q trong cơ sở 2 ((1,0,0),( 2,1,0),(5, 2,1))B

10) Tìm hạng và xác định tính suy biến hay không suy biến của các dạng toàn phương

3 biến thực sau:

a) 2 2 2

1( , , ) 2 3 5q x y z x y z

b) 2( , , ) 2 2 2q x y z xy xz yz

c) 2 2 2

3( , , ) 2 6 2 8q x y z x xy xz y yz z

Với mọi 3( , , ) ,x y z cho trước.

11) Tìm dạng chuẩn tắc của các dạng toàn phương sau: 2 2

1 2 1 2 1 3 2 3

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1 2 1 3 2 4 3 4

) 4 4

) 4 2 3

)

a x x x x x x x x

b x x x x x x x x x

c x x x x x x x x

12) Tìm các giá trị để các dạng toàn phương thực sau đây xác định dương. 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

)6 4 2 2

)2 2 2

) 2 3 2 4 6

a x x x x x x x x x

b x x x x x x x

c x x x x x x x x x

13) Chứng minh rằng dạng toàn phương thức là xác định dương khi và chỉ khi ma trận

biểu diễn của nó được viết dưới dạng A = CTC, trong đó C là ma trận khả nghịch.

14) Với những giá trị nào của thì dạng toàn phương trên 3 sau là xác định dương: 2 2 2

1 2 3 1 2( ) 6 ( 2) 4x x x x x x với 1 2 3( , , )x x x x



15) Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên không gian vector nK sau đây về dạng chính tắc:

a) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3( ) 5 4 2 4x x x x x x x x

b) 1 2 1 3 2 3( )x x x x x x x

c) 1 2 2 3 3 4 4 1( )x x x x x x x x x

16) Dùng phương pháp giá trị riêng đưa dạng toàn phương trong không gian Euclide

sau đây về dạng chính tắc:

a) 2

1 1 2 1 3( )x x x x x x

b) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 6 2 2x x x x x x x x x x

c) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 4 4x x x x x x x x x x

17) Cho là một toán tuyến tính tùy ý của không gian Euclide E. Chứng minh rằng:

( ) , ( )Tx x x là một dạng toàn phương thực nửa xác định dương.

18) Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chỉ rõ phép biến đối

a) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 32 7 4 8x x x x x x x

b) 2 2 2

1 2 4 1 2 2 3 3 4

12 3

2x x x x x x x x x

c) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 32 3 4 2 4 3x x x x x x x x x

d) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 33 2 2 4 3x x x x x x x x x

19) Bằng phương pháp Jacobi hãy đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc, từ đó

suy ra dạng chuẩn tắc tương ứng.

a) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 4 2 2x x x x x x x x x x

b) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 4 2 4 3x x x x x x x x x x

c) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3( ) 5 4 2 4x x x x x x x x

d) 2 2 2

1 1 2 1 3 2 2 3 3( ) 2 8 4 9 12 9x x x x x x x x x x

20) Tìm để các dạng toàn phương sau xác định dương:

a) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 4 2 2x x x x x x x x x x

b) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3( ) 2 3 2 2x x x x x x x x

c) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 2 2 4x x x x x x x x x x


1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 4 4x x x x x x x x x x x x . Tìm dạng

chính tắc của các dạng toàn phương sau trên và tìm một cơ sở S để trong cơ sở này

dạng toàn phương được viết dưới dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi


1 2 3 1 2 3 1 2 1 3( , , ) 5 4 4 2x x x x x x x x x x . Tìm dạng chính

tắc của các dạng toàn phương này trên và tìm một cơ sở S để trong cơ sở này dạng

toàn phương được viết dưới dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange



23) Đưa các dạng toàn phương sau 1 2 3 1 2 2 3 3 1( , , )x x x x x x x x x về dạng chính tắc

trên và xác định một cơ sở S để trong cơ sở này dạng toàn phương được viết dưới

dạng chính tắc đó.

24) Đưa các dạng toàn phương sau 1 2 3 1 2 1 3 2 4 3 4( , , )x x x x x x x x x x x về dạng chính

tắc trên và xác định một cơ sở S để trong cơ sở này dạng toàn phương được viết

dưới dạng chính tắc đó

25) Tìm các giá trị để dạng toàn phương thực sau đây xác định dương

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3( , , ) 2 2 2x x x x x x x x x x .

26) Tìm các giá trị để dạng toàn phương thực sau đây xác định âm

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 5 2 4 2( 1)x x x x x x x x x x x x .

chuong 2 dai so tuyen tinh 2

Documents