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1
6.1계량경제학
단순 회귀모형 - 기타(Simple
Regression Model - etc)
제 6 강
6.2계량경제학
yt = b1 + b2xt + t^
설명되지 않은 부분:
yt = b1 + b2xt^
설명된 부분:
t = yt yt = yt b1 b2xt^^
yt의 변동에 대한 설명
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2
6.3계량경제학
yt = yt + t^^
yt y = yt y + t^ ^
y 를 기준으로 삼음
SST = SSR + SSE
(yty)2 = (yty)2 +tt = 1
T ^ ^T T
t = 1 t = 1
2 crossproduct
termdropsout
yt의 변동에 대한 설명
6.4계량경제학
SST = total sum of squares
SST yt의 y주변에서의 총 변동을 측정
(yt y)2t = 1
T
SST =
yt의 변동에 대한 설명
총변동
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3
6.5계량경제학
SSR = regression sum of squares
yt = b1 + b2xt^Fitted yt values:^
SSR yt 의 y주변에서의 변동을 측정함^
(yt y)2t = 1
T
SSR = ^
yt의 변동에 대한 설명
설명되는 변동
6.6계량경제학
SSE = error sum of squares
SSE yt 의 yt 주변에서의변동을 측정함^
t = ytyt = yt b1 b2xt^^
(yt yt)2 = t2
t = 1
T
SSE = ^t = 1
T ^
설명 안되는 변동
yt의 변동에 대한 설명
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4
6.7계량경제학
0 R2 1
yt 의 변동 중 얼만큼의 부분이설명되고 있는가?
SSRSSTR2 =
yt의 변동에 대한 설명
결정계수
6.8계량경제학
SST = SSR + SSE
SST SSR SSESST SST SST= +
SSR SSESST SST1 = +
Dividingby SST
SSRSSTR2 = = 1 SSE
SST
yt의 변동에 대한 설명
결정계수
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5
6.9계량경제학
R2 는 단지 기술적(descriptive) 척도임
R2 가 회귀모형의 질적 수준을나타내는 것은 아님.
R2 를 극대화하는 것에 초점을맞추는 것은 좋은 생각이 아님
yt의 변동에 대한 설명
결정계수
6.10계량경제학
cov(X,Y) =var(X) var(Y)
cov(X,Y)r =var(X) var(Y)
수학적 상관계수
^^ ^
표본(경험적) 상관계수
yt의 변동에 대한 설명
상관분석
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6
6.11계량경제학
var(X) =^ (xt x)2/(T1)t = 1
T
var(Y) =^ (yt y)2/(T1)t = 1
T
cov(X,Y) =^ (xt x)(yt y)/(T1)t = 1
T
yt의 변동에 대한 설명
상관분석
6.12계량경제학
(xt x)2 (yt y)2t = 1
T
(xt x)(yt y)t = 1
T
r =t = 1
T
표본상관계수
yt의 변동에 대한 설명
상관분석
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7
6.13계량경제학
단순회귀분석에 있어서:
r2 = R2
R2 는 또한 yt 와 yt 간의
상관계수의 제곱을 나타냄: 적합도(goodness of fit)의 척도?
^
yt의 변동에 대한 설명
상관분석과 결정계수
6.14계량경제학yt의 변동에 대한 설명
상관분석과 결정계수 (참고)
2 2 221 2 1 2 22
2 2 2
ˆt t t
t t t
y y b b x b b x b x xR
y y y y y y
2 2
2 2t t t
t t
x x y y x x
x x y y
2
2 2t t
t t
x x y y
x x y y
2r
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6.15계량경제학yt의 변동에 대한 설명
상관분석과 결정계수 (참고)
2
22 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
t t
t t
y y y yr
y y y y
21 2 1 2
2 21 2 1 2
t t
t t
b b x b b x y y
b b x b b x y y
222 2
2 222
t t
t t
b x x y yR
b x x y y
6.16계량경제학
Computer Generated Least Squares Results (1) (2) (3) (4) (5)
Parameter Standard t for H0:Variable Estimate Error Parameter=0 Prob>|t|INTERCEPT 40.7676 22.1387 1.841 0.0734X 0.1283 0.0305 4.201 0.0002
통계패키지의 전형적인 회귀분석 결과 보고 내용
회귀분석결과의 발표
추정결과
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9
6.17계량경제학
yt = 40.7676 + 0.1283xt
(s.e.) (22.1387) (0.0305)
yt = 40.7676 + 0.1283xt
(t) (1.84) (4.20)
회귀분석결과의 발표
^
^
yt = 40.7676 + 0.1283xt
(p-value) (0.0734) (0.0002)^
R2 = 0.317T = 40,
6.18계량경제학
R2 = 0.317
이 R2 값은 낮아보일 수 있으나 개별적 미시적수준 에서 분석된 횡단면 (cross-sectional) 자료와 관련된 연구에서 전형적인 경우임
집계적 거시적 수준에서 분석된 시계열(time-series) 자료와 관련된 연구에서는 매우높은 수준의 R2값이 전형적으로 나타남
회귀분석결과의 발표
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6.19계량경제학
X의 단위를 변경
yt = 1 + (c2)(xt/c) + t
yt = 1 + 2xt + t
yt = 1 + 2xt + t* *
2 = c2* xt = xt/c*
where
and
해당모수의 추정값과표준오차는 변화하지만 t값과 R2
값은 불변.
관측치의 단위를 변경하는 효과
6.20계량경제학
X의 단위를 변경
관측치의 단위를 변경하는 효과
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6.21계량경제학
Y의 단위를 변경
yt/c = (1/c) + (2/c)xt + t/c yt = 1 + 2xt + t
1 = 1/c* and
모든 모수의추정값이 변화하지만 역시t값과 R2 값은불변
yt = 1 + 2xt + t* ***
2 = 2/c*
*t = t/cyt = yt/cwhere *
관측치의 단위를 변경하는 효과
6.22계량경제학
Y의 단위를 변경
관측치의 단위를 변경하는 효과
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6.23계량경제학
x와 y의 단위를 같이 변경
yt/c = (1/c) + (c2/c)xt/c + t/c yt = 1 + 2xt + t
1 = 1/c* and
기울기에 대한추정값외에모든 모수에대한 추정값이변화하나t값이나 R2값은불변
yt = 1 + 2xt + t* ***
xt = xt/c*
*t = t/cyt = yt/cwhere *
관측치의 단위를 변경하는 효과
6.24계량경제학
x와 y의 단위를 같이 변경
관측치의 단위를 변경하는 효과
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6.25계량경제학
단순선형회귀모형에 있어서선형(linear)은 변수들간의관계가 선형임을 의미하는것이 아니라 모수들이 모형에선형의 방식으로 들어감을의미함
함수의 형태
선형 vs. 비선형
6.26계량경제학
yt = 1 + 2xt + t
선형모형:
비선형모형:
ln(yt) = 1 + 2xt + t
yt = 1 + 2 ln(xt) + t
yt = 1 + 2xt + t2
yt = 1 + 2xt + t3
yt = 1 + 2xt + exp(3xt) + t
yt = 1 + 2xt + t3
함수의 형태
선형 vs. 비선형
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6.27계량경제학
y
x
식료품 지출과소득간에 비선형
관계
식료품 지출
소득0
함수의 형태
6.28계량경제학
1. Linear2. Reciprocal3. Log-Log4. Log-Linear5. Linear-Log6. Log-Inverse
각 형태를 파악하고특히 그 기울기와탄력성을 관찰
함수의 형태
유용한 함수의 형태
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6.29계량경제학
Linear
yt = 1 + 2xt + t
slope: 2 elasticity: 2 yt
xt
함수의 형태
선형
6.30계량경제학
Reciprocal
yt = 1 + 2 + t1xt
slope: elasticity:1xt
2 21
xt yt 2
함수의 형태
역수
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6.31계량경제학
xt
yt
Log-Log
ln(yt)= 1 + 2ln(xt) + t
slope: 2 elasticity: 2
함수의 형태
로그-로그
6.32계량경제학
Log-Linear
ln(yt)= 1 + 2xt + t
slope: 2 yt elasticity: 2xt
함수의 형태
로그-선형
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17
6.33계량경제학
Linear-Log
yt= 1 + 2ln(xt) + t
_slope: 2 elasticity: 21
xt yt1_
함수의 형태
선형-로그
6.34계량경제학
ln(yt) = 1 + 2 + t1xt
Log-Inverse
slope: -2 elasticity: -2x2t
yt 1xt
함수의 형태
로그-역수
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6.35계량경제학
1. E (t) = 02. var (t) = 2
3. cov(i, j) = 04. t ~ N(0, 2)
함수의 형태
선택의 기준 – 선형모형의 가정
6.36계량경제학
1. Demand Models
* quantity demanded (yd) and price (x)* constant elasticity
ln(yt )= 1 + 2ln(x)t + td
경제모형과 가능한 함수형태의 선택
수요모형
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19
6.37계량경제학
2. Supply Models* quality supplied (ys) and price (x)
* constant elasticity
ln(yt )= 1 + 2ln(xt) + ts
경제모형과 가능한 함수형태의 선택
공급모형
6.38계량경제학
3. Production Functions* output (y) and input (x)
* constant elasticity
ln(yt)= 1 + 2ln(xt) + t
Cobb-Douglas Production Function:
경제모형과 가능한 함수형태의 선택
생산함수
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20
6.39계량경제학
4a. Cost Functions* total cost (y) and output (x)
yt = 1 + 2x2t + t
경제모형과 가능한 함수형태의 선택
비용함수
6.40계량경제학
4b. Cost Functions* average cost (y/x) and output (x)
(yt/xt) = 1/xt + 2xt + t/xt
경제모형과 가능한 함수형태의 선택
비용함수
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21
6.41계량경제학
잔차의 정규분포?
Skewness(비대칭도) –어떤 확률변수의 분포가평균을 중심으로 얼마나 비대칭인가를 나타내는척도 (정규분포의 Skewness = 0)
: s E[(X-X)3]/X3,
Kurtosis(첨예도)-어떤 확률변수의 분포가 얼마나뾰쪽한가를 나타내는 척도(정규분포의 Kurtosis=3)
: k E[(X-X)4] /X4,
Jacque-Bera (JB) Normality test (쟈크베라의 정규성 검정)
가설검정과 구간 추정에 있어서 중요한 전제
귀무가설과 대립가설 :H0: X~N(X, X
2 ), H1: H0 is not trueNOTE: 정규분포임을 보이는 목적으로 사용하기에는 부적절한가설설정임
6.42계량경제학
검정통계량
2
2 20
ˆ 3ˆ ~ 2 : under
6 4
kTJB s H
기각역
Χ2(2)
Χ2α,2
JB>Χ2α,2 이면 유의수준 α에서 H0를 기각함.
즉 반대로 JB<Χ2α,2 이면 H0를 기각할 수 없
으며, X의 분포가 정규분포라고 볼 수 있음(엄밀하게는 X의 분포가 정규분포가아님을 입증하지 못한 것임)
α
X가 정규분포라면 그 경험적 비대칭도와 경험적 첨예도는 각각 0과3에 가까운 값일 것이므로 JB의값은 0에 가까운 값이 됨. 따라서JB가 0보다 충분힐 클 때, 즉 오른쪽 꼬리의 값이 나올 때 귀무가설을 기각함
잔차의 정규분포?