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CapCapíítulo 7 tulo 7 SoluciSolucióón Numn Numéérica de la Ecuacirica de la Ecuacióón de Flujo n de Flujo

SubterrSubterrááneoneo

TeorTeoríía de Flujo Subterra de Flujo Subterrááneoneo

Semestre 2008Semestre 2008--11

Alberto Rosas MedinaAlberto Rosas Medina

22

ÍÍndicendice

Polinomios de LagrangePolinomios de Lagrange

Diferencias Finitas en una DimensiDiferencias Finitas en una Dimensióón n

Diferencias Finitas en dos DimensionesDiferencias Finitas en dos Dimensiones

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TeorTeoríía de Aproximacia de Aproximacióón n PolinomialPolinomial

MotivaciMotivacióónnEl punto de partida es la definiciEl punto de partida es la definicióón de un polinomio.n de un polinomio.Un polinomio es un expresiUn polinomio es un expresióón matemn matemáática que consiste de tica que consiste de una suma de potencias en una o muna suma de potencias en una o máás variables cada una s variables cada una multiplicada por un coeficiente. multiplicada por un coeficiente. Ejemplo, un polinomio de una variable. Ejemplo, un polinomio de una variable.

Polinomio de dos variablesPolinomio de dos variables

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InterpolaciInterpolacióón n polinomialpolinomial

Suponga que se dan Suponga que se dan n+1n+1 puntos comopuntos como

donde son las donde son las absicasabsicas de los puntos (de la malla) de los puntos (de la malla) con separacicon separacióón arbitrarn arbitraríía. Entonces el polinomio de orden a. Entonces el polinomio de orden nn que pasa por los que pasa por los n+1n+1 puntos puede escribirse como una puntos puede escribirse como una serie de potencias serie de potencias

55

El ajuste de serie de potencias a los n+1 puntos da un El ajuste de serie de potencias a los n+1 puntos da un sistema de ecuacionessistema de ecuaciones

Aunque los coeficientes Aunque los coeficientes aaii pueden determinarse pueden determinarse resolviendo el sistema de ecuaciones. No es factible resolviendo el sistema de ecuaciones. No es factible debido a que primero se necesita un programa para debido a que primero se necesita un programa para resolver ecuaciones lineales y segundo por que el orden resolver ecuaciones lineales y segundo por que el orden de los polinomios puede ser tan grande que induzca de los polinomios puede ser tan grande que induzca errores de redondeo.errores de redondeo.

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Polinomios de LagrangePolinomios de Lagrange

Los polinomios de Lagrange de mayor interLos polinomios de Lagrange de mayor interéés son los de s son los de primero, segundo y tercero orden.primero, segundo y tercero orden.Ejemplo de Polinomio linealEjemplo de Polinomio linealSupSupóóngase que se tiene solo dos puntos en la malla, ngase que se tiene solo dos puntos en la malla, entonces la manera mentonces la manera máás sencilla de ajustar un polinomio s sencilla de ajustar un polinomio es utilizando polinomios lineales, es decir, es utilizando polinomios lineales, es decir,

77

Datos propuesta de funciones lineales

Entonces se necesita plantear un polinomio lineal que será elque ajuste los dos puntos utilizando y

88

Polinomio linealPolinomio lineal

Entonces el polinomio lineal esEntonces el polinomio lineal es

Equivalente a la ecuaciEquivalente a la ecuacióón de la recta dados 2 puntos. n de la recta dados 2 puntos.

99

Polinomio de Orden nPolinomio de Orden n

Para ilustrar la aproximaciPara ilustrar la aproximacióón con polinomios de orden n. n con polinomios de orden n. se considera n=2. Se tienen 3 puntos xse considera n=2. Se tienen 3 puntos x00, x, x11, x, x22..

Se necesita tres polinomios de orden 2.Se necesita tres polinomios de orden 2.

1010

Entonces el polinomio que se ajusta a los tres datos esEntonces el polinomio que se ajusta a los tres datos es

1111

Entonces de manera general se tieneEntonces de manera general se tiene

De manera abreviada esDe manera abreviada es

Por lo tanto el polinomio de ajuste es Por lo tanto el polinomio de ajuste es

1212

Un punto importante a considerar es el error de Un punto importante a considerar es el error de aproximaciaproximacióón, es decir, se tiene quen, es decir, se tiene que

Donde es el polinomio de aproximaciDonde es el polinomio de aproximacióón n

1313

MMéétodo de Diferencias Finitastodo de Diferencias Finitas

El mEl méétodo de diferencias fintas representa derivadas todo de diferencias fintas representa derivadas continuas para una ecuacicontinuas para una ecuacióón diferencial parcial con n diferencial parcial con expresiones envolviendo la evaluaciexpresiones envolviendo la evaluacióón de la funcin de la funcióón n desconocida en puntos discretos. desconocida en puntos discretos.

La consecuencia natural de esta acciLa consecuencia natural de esta accióón es la n es la transformacitransformacióón de un problema envolviendo derivadas n de un problema envolviendo derivadas clcláásicas a uno envolviendo ecuaciones algebraicas. sicas a uno envolviendo ecuaciones algebraicas.

1414

El primer paso es representar El primer paso es representar f(xf(x) usando y ) usando y derivando esta expresiderivando esta expresióón para aproximar la derivada n para aproximar la derivada Se deriva el polinomio de aproximaciSe deriva el polinomio de aproximacióónn

La derivada es solo en el polinomio, La derivada es solo en el polinomio, n n es el grado del es el grado del polinomio de polinomio de LagrangeLagrange. El t. El téérmino rmino f(xf(xjj) es el valor ) es el valor especifico de especifico de f(x)enf(x)en el punto el punto xxjj..

1515

Si se considera un polinomio de orden n=2 y j=o para Si se considera un polinomio de orden n=2 y j=o para esta expresiesta expresióón n

Se obtieneSe obtiene

1616

Al hacer la derivada se obtieneAl hacer la derivada se obtiene

Si se considera el punto Si se considera el punto xxjj , , se obtienese obtiene

Usando similarmente para j=1,2 se tieneUsando similarmente para j=1,2 se tiene

1717

El siguiente paso es saber donde se quiere la derivada El siguiente paso es saber donde se quiere la derivada evaluada, sea x=xevaluada, sea x=x0 0 , entonces se tiene, entonces se tiene

Entonces la derivada de la funciEntonces la derivada de la funcióón n f f en xen x00 estestáá dada por dada por

Donde el error es proporcional al cuadrado de . Donde el error es proporcional al cuadrado de .

1818

El procedimiento anterior se hace de manera semejante El procedimiento anterior se hace de manera semejante para para xx11 y y xx22 . Lo importante es notar el resultado para . Lo importante es notar el resultado para xx1. 1. Entonces evaluando xEntonces evaluando x1 1 enen

Se obtieneSe obtiene

1919

Simplificando la ecuaciSimplificando la ecuacióón anterior se obtienen anterior se obtiene

NNóótese que en esta aproximacitese que en esta aproximacióón la informacin la informacióón la n la informaciinformacióón en el nodo en el cual se estn en el nodo en el cual se estááaproximando no aparece en la faproximando no aparece en la fóórmula.rmula.

2020

Para encontrar la derivada de segundo ordenPara encontrar la derivada de segundo orden

Si se considera Si se considera j=0,j=0, y teniendo en cuenta que y teniendo en cuenta que n=2n=2

2121

Desarrollando para j=1,2Desarrollando para j=1,2

Un punto importante a notar es que la segunda derivada Un punto importante a notar es que la segunda derivada en el punto xen el punto x11 tiene un error de aproximacitiene un error de aproximacióón cuadrn cuadráático. tico. Esto es derivando 2 veces y evaluando xEsto es derivando 2 veces y evaluando x11 en la en la siguiente expresisiguiente expresióón se obtiene el orden del error. Cosa n se obtiene el orden del error. Cosa que no pasa con xque no pasa con x0 0 y xy x22

2222

Si se consideran polinomios lineales esto es Si se consideran polinomios lineales esto es

Se obtiene la primera derivadaSe obtiene la primera derivada

2323

Si se evalSi se evalúúa en a en x=xx=x00 se obtienese obtiene

NNóótese que debido a que se usaron stese que debido a que se usaron sóólo dos nodos, el lo dos nodos, el error de truncamiento es y es mayor que .error de truncamiento es y es mayor que .

2424

Para finalizar se plantea una manera que facilita las Para finalizar se plantea una manera que facilita las expresiones de ecuaciones en diferencias finitas. expresiones de ecuaciones en diferencias finitas. EjemploEjemplo

2525

RepresentaciRepresentacióón de la Ecuacin de la Ecuacióón de Flujo n de Flujo SubterrSubterrááneo con Diferencias Finitasneo con Diferencias Finitas

EcuaciEcuacióón de flujo en un medio poroso saturadon de flujo en un medio poroso saturado

Usando la notaciUsando la notacióón de la tabla anterior se tienen de la tabla anterior se tiene

Donde Donde

2626

Expandiendo y se define Expandiendo y se define hhikik ==h(xh(xii , , ttkk ) se tiene) se tiene

Asociado a esta fAsociado a esta fóórmula podemos resolver para rmula podemos resolver para h(xh(xii , , ttkk+1+1) ) VVééase la siguiente figura ase la siguiente figura

2727

Esquema computacional de Diferencias finitas. Para Esquema computacional de Diferencias finitas. Para hallar el valor un valor desconocido al tiempo k+1hallar el valor un valor desconocido al tiempo k+1

2828

ComparaciComparacióón de las ecuacionesn de las ecuaciones

El tEl téérmino A corresponde al espacio en el nivel de rmino A corresponde al espacio en el nivel de tiempo tiempo k,k, y el ty el téérmino B es la derivada en tiempo y estrmino B es la derivada en tiempo y estááen diferencia hacen diferencia hacíía adelante (a adelante (forwardforward), est), estáá localizado enlocalizado eni,ki,k y es y es proyectadoalproyectadoal nivel de tiempo nivel de tiempo k+1k+1

2929

Si se considera un tiempo inicial k=0, entonces en la Si se considera un tiempo inicial k=0, entonces en la ecuaciecuacióón se modifican los subn se modifican los subííndices y se tienendices y se tiene

Es decir, el sistema se resolverEs decir, el sistema se resolveráá para para k+1k+1

3030

Problema bien planteadoProblema bien planteado

Para resolver el sistema de ecuaciones se necesita que Para resolver el sistema de ecuaciones se necesita que el problema este bien planteado, es decir, que tenga el problema este bien planteado, es decir, que tenga condiciones de iniciales y de frontera y la solucicondiciones de iniciales y de frontera y la solucióón n dependa continuamente de estas y sea dependa continuamente de estas y sea úúnica.nica.Condiciones de Frontera Condiciones de Frontera DirichletDirichlet

h(z,th(z,t)=f)=f11(t), z =0,L(t), z =0,L

En tEn téérminos de diferencias finitas rminos de diferencias finitas h(zh(zii,t,t)=)=hhii i=0 y Li=0 y L

3131

Condiciones Condiciones NeumannNeumann: condiciones de flujo: condiciones de flujo

Teniendo presente queTeniendo presente que

Entonces se tiene queEntonces se tiene que

La representaciLa representacióón de derivadas en los nodos finales n de derivadas en los nodos finales puede puede puedepuede emplearse para diferencias emplearse para diferencias centradas centradas forwardforward y y backwardbackward

3232

Condiciones Condiciones RobinRobin

Simplificado se tiene Simplificado se tiene

La ecuaciLa ecuacióón anterior describe la salida o escape en un n anterior describe la salida o escape en un acuacuíífero cuando k es considerado como el coeficiente fero cuando k es considerado como el coeficiente de salida, hde salida, h00 (z) es el valor de la carga en el exterior, y (z) es el valor de la carga en el exterior, y h(z,th(z,t) es la carga en el acu) es la carga en el acuíífero. fero.

3333

Sistema de ecuaciones de las diferencias Sistema de ecuaciones de las diferencias finitasfinitas

Del sistema Del sistema discretizadodiscretizado

Se puede escribir de manera abreviada comoSe puede escribir de manera abreviada como

Donde Donde f f son las condiciones de frontera, estas modifican son las condiciones de frontera, estas modifican la matriz K en el primer y la matriz K en el primer y úúltimo renglltimo renglóón. n.

3434

De manera general K estDe manera general K estáá dada por dada por

Y la matriz S por Y la matriz S por

3535

Se tiene que resolver el siguiente sistema de ecuacionesSe tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Se factoriza el tSe factoriza el téérmino rmino hhkk+1 +1 y se tieney se tiene

Sea entonces se tieneSea entonces se tiene

Y se resuelve el sistema por un mY se resuelve el sistema por un méétodo efectivo excepto todo efectivo excepto hallando challando c--11..

3636

MMéétodo de Diferencias Finitas en dos todo de Diferencias Finitas en dos DimensionesDimensiones

Se extiende el problema a dos dimensiones, para ello Se extiende el problema a dos dimensiones, para ello considconsidéérese la ecuacirese la ecuacióónn

Tal que Tal que Reescribiendo la ecuaciReescribiendo la ecuacióón del operador se tiene n del operador se tiene

3737

La aproximaciLa aproximacióón del operador en diferencias finitas esn del operador en diferencias finitas es

Donde Donde Considere que el coeficiente de trasmisividad es menor Considere que el coeficiente de trasmisividad es menor en en xyxy entonces se anula el tercer sumando de la entonces se anula el tercer sumando de la ecuaciecuacióónn

3838

El esquema de discretizaciEl esquema de discretizacióónn es es

3939

4040

Ejemplo de la ecuaciEjemplo de la ecuacióón de flujo en dos n de flujo en dos dimensionesdimensiones

Para el caso de un acuPara el caso de un acuíífero fero isotrisotróópicopico y y homogenerohomogenero::

Es decir:Es decir:

Considerando el estado estacionario:Considerando el estado estacionario:

Lo que es igual a:Lo que es igual a:

4141

El mEl méétodo de diferencias finitastodo de diferencias finitasEn este mEn este méétodo, el valor de la funcitodo, el valor de la funcióón desconocida en cada nodo es n desconocida en cada nodo es

aproximada por su desarrollo en series de Tayloraproximada por su desarrollo en series de Taylor

Esta ecuaciEsta ecuacióón se aplica en cada nodon se aplica en cada nodoincincóógnitagnita

4242

Obtenemos un sistema Obtenemos un sistema AxAx=b, de n ecuaciones con n inc=b, de n ecuaciones con n incóógnitas x y gnitas x y una matriz A como la siguiente:una matriz A como la siguiente:

Donde el vector b contiene a las condiciones de frontera y no toDonde el vector b contiene a las condiciones de frontera y no todas sus das sus entradas son cero.entradas son cero.

Resolviendo el sistema obtenemos los valores de la funciResolviendo el sistema obtenemos los valores de la funcióón buscada n buscada que es solucique es solucióón de la ecuacin de la ecuacióón diferencial parcialn diferencial parcial

4343

Experimento 1Experimento 1

Se tiene una porciSe tiene una porcióón de un acun de un acuíífero confinado, homogfero confinado, homogééneo e neo e isotrisotróópicopico, en el estado estacionario. Se quiere conocer la , en el estado estacionario. Se quiere conocer la distribucidistribucióón de la carga hidrn de la carga hidrááulica ulica h h en toda la regien toda la regióón. Esta se n. Esta se encuentra limitada por un rectencuentra limitada por un rectáángulo como el siguiente:ngulo como el siguiente:

lo que nos da las condilo que nos da las condiciones de fronteraciones de frontera

condiciones de condiciones de DirichletDirichlet

4444

GrGrááfica de la solucifica de la solucióón del experimento 1n del experimento 1

Longitud de los lados:Longitud de los lados:XL=YL=100L.XL=YL=100L.

La malla tiene 35x35 La malla tiene 35x35 rectrectáángulos y ngulos y 36x36 nodos.36x36 nodos.

SoluciSolucióón analn analíítica:tica:

4545

Experimento 2Experimento 2

Tenemos un acuTenemos un acuíífero como el del caso anterior. Las condiciones de fero como el del caso anterior. Las condiciones de frontera en el problema se modifican de la siguiente manera:frontera en el problema se modifican de la siguiente manera:

Y en uno de los lados tenemos una condiciY en uno de los lados tenemos una condicióón de n de NeumannNeumann

4646

SoluciSolucióón experimento 2n experimento 2

Longitud de los lados:Longitud de los lados:XL=4L YL=3L.XL=4L YL=3L.

La malla tiene 35x35 La malla tiene 35x35 rectrectáángulos y 36x36 ngulos y 36x36 nodos.nodos.

SoluciSolucióón analn analíítica es tica es igual que en el caso igual que en el caso anterior.anterior.

4747

Experimento 3Experimento 3

Condiciones de frontera:Condiciones de frontera:

4848

Experimento 4Experimento 4Tenemos el cuadrado unitario en cuyo centro estTenemos el cuadrado unitario en cuyo centro estáá ubicado el punto ubicado el punto

(1/2,1/2). Esto representa una isla con un pozo en su centro.(1/2,1/2). Esto representa una isla con un pozo en su centro.

El movimiento del agua que circula por debajo de esta regiEl movimiento del agua que circula por debajo de esta regióón estn estáágobernado por la misma ecuacigobernado por la misma ecuacióón n

4949

Sabemos que: Sabemos que:

Sustituyendo la velocidad de Sustituyendo la velocidad de DarcyDarcy, y el , y el areaarea de la superficie del de la superficie del cilindrocilindro

DespejandoDespejando

E integrandoE integrando

Esta ultima igualdad es soluciEsta ultima igualdad es solucióón de la ecuacin de la ecuacióón diferencial parcial n diferencial parcial que gobierna el fenque gobierna el fenóómeno, asmeno, asíí: :

5050

Nuestra condiciNuestra condicióón de frontera es la siguiente:n de frontera es la siguiente:

AsAsíí

Donde: Donde:

Esta soluciEsta solucióón esta compuesta por dos funciones, una de ellas n esta compuesta por dos funciones, una de ellas no estno estáá determinada, y es precisamente la que encontraremos con determinada, y es precisamente la que encontraremos con el algoritmo desarrolladoel algoritmo desarrollado

5151

SoluciSolucióón n AquAquíí vemos la grvemos la grááfica fica

encontrada: encontrada: Esta es la grEsta es la grááfica de:fica de:

5252

Y finalmente la suma de las dos anteriores es la soluciY finalmente la suma de las dos anteriores es la solucióón al problema n al problema planteadoplanteado

5353

AproximaciAproximacióón en series de Taylorn en series de Taylor

5454

5555

Diferencias progresivasDiferencias progresivas

5656

Diferencias progresivasDiferencias progresivas

5757

Diferencias progresivasDiferencias progresivas

5858

Diferencias RegresivasDiferencias Regresivas

5959

Diferencias CentralesDiferencias Centrales

6060

Diferencias CentralesDiferencias Centrales

6161

6262

ResumenResumen

6363

BibliografBibliografííaaReferencia Principal, Referencia Principal, GeorgeGeorge F. F. PinderPinder y Michael A. Celia, y Michael A. Celia, SubsurfaceSubsurface HydrologyHydrology, , JhonJhon wileywiley & & SonsSons, Inc., , Inc., HobokenHoboken NewNewJerseyJersey, 2006, 2006““Desarrollo de un algoritmo para evaluar el suministro de agua Desarrollo de un algoritmo para evaluar el suministro de agua subterraneasubterranea”” Nora Isabel PNora Isabel Péérez Quezadas. Tesis de Lic. en rez Quezadas. Tesis de Lic. en MatemMatemááticas, Facultad de Matemticas, Facultad de Matemááticas. UV. Mticas. UV. Mééxico 2005. xico 2005. httphttp://mmc2.://mmc2.igeofcu.unam.mxigeofcu.unam.mx//norapeqnorapeq//