hidraulica de pozos - grupo de geofísica...

MMéétodo de recuperacitodo de recuperacióón de Theisn de Theis

La manera mas conveniente de La manera mas conveniente de analizar conceptualmente la prueba analizar conceptualmente la prueba de recarga, es pensar en la razde recarga, es pensar en la razóón de n de bombeo como constante a lo largo bombeo como constante a lo largo del periodo de medicidel periodo de medicióónn..


AAl termino de cualquier prueba de l termino de cualquier prueba de bombeo, los pozos son apagados y el bombeo, los pozos son apagados y el acuacuíífero retoma su nivel originalfero retoma su nivel original..La etapa de recuperaciLa etapa de recuperacióón durante la n durante la cual el nivel del agua regresa a sus cual el nivel del agua regresa a sus condiciones prebombeo, es un condiciones prebombeo, es un periodo durante el cual el nivel del periodo durante el cual el nivel del agua cambia en el acuagua cambia en el acuííferofero..


Abatimiento residual Abatimiento Estado inicial= −


Durante el periodo de recarga, el Durante el periodo de recarga, el abatimientoabatimiento residual es medido y residual es medido y registrado en el tiemporegistrado en el tiempo


Durante las etapas iniciales de la Durante las etapas iniciales de la recarga, mediciones del recarga, mediciones del abatimientoabatimientoresidual se hacen a menudo residual se hacen a menudo decreciendo en frecuencia con el decreciendo en frecuencia con el tiempotiempo..


En el En el instante deinstante de tiempo en que el tiempo en que el pozo deja de bombear, pozo deja de bombear, se le denota se le denota comocomose introduce un nuevo pozo se introduce un nuevo pozo imaginario que inimaginario que inyyecta agua a la ecta agua a la misma razmisma razóón que sale la de bombeon que sale la de bombeo..La suma de estas dos razones de La suma de estas dos razones de bombeobombeo es ceroes cero..

o f ft


Para analizar esto Para analizar esto matemmatemááticamenteticamente, , se considera un tiempo inicialse considera un tiempo inicial, , tt’’ ,,el el cual es cero en el cual es cero en el momentomomento en que el en que el pozo de bombeo pozo de bombeo esta inactivo.esta inactivo.La cantidad de tiempo La cantidad de tiempo en que en que el el nuevo pozo bombea, sernuevo pozo bombea, seráárepresentada por el tiempo representada por el tiempo transcurrido respecto del nuevo transcurrido respecto del nuevo tiempo tiempo tt’’ ..


el desplazamiento el desplazamiento ((abatimiento abatimiento s), se s), se muestra en esta muestra en esta figura como una figura como una llíínea snea sóólidalida..


Conforme el periodo de bombeo Conforme el periodo de bombeo aumenta, tambiaumenta, tambiéén lo hace el n lo hace el abatimientoabatimiento en este acuen este acuíífero fero infinitamente largoinfinitamente largo..En el tiempo En el tiempo ttoffoff el pozo se el pozo se inhabilitainhabilita, , lo cual se representa en esta figura lo cual se representa en esta figura por la activacipor la activacióón del pozo de recarga, n del pozo de recarga, denotado denotado en la grafica en la grafica como el pozo como el pozo imagenimagen..


La suma de estos dos efectos se La suma de estos dos efectos se representa por la curva negra, la representa por la curva negra, la cual representa el desplazamiento cual representa el desplazamiento que uno esperarque uno esperaríía ver en el pozo a ver en el pozo observado en este lugar. observado en este lugar. El concepto de sumar las soluciones El concepto de sumar las soluciones a estas dos ecuaciones lineales se le a estas dos ecuaciones lineales se le conoce como superposiciconoce como superposicióónn


Ahora vamos a examinar como Ahora vamos a examinar como seseusa este concepto de recusa este concepto de recargaarga en la en la determinacideterminacióón de los coeficientes del n de los coeficientes del acuacuííferofero..

UUsando el modelo de theissando el modelo de theis eel l abatimientoabatimientoresidual que definimos como residual que definimos como ss’’ sese puede puede expresar comoexpresar como::

[ ]' ( ) ( ')4Qs W u W u

Tπ= −



dondedonde

2 2

, y '4 4 'r S ru uTt Tt

= =


Abatimiento debido Abatimiento debido al pozo de bombeo al pozo de bombeo y al pozo imagen.y al pozo imagen.La suma de estos La suma de estos dos tdos téérminos rminos describe el describe el comportamiento comportamiento del pozo de del pozo de recarga(el recarga(el úúnico nico que medimos en el que medimos en el campo).campo).

( 4 ) ( )Q T W uπ

( 4 ) ( ')Q T W uπ


Ahora asumimos Ahora asumimos que que uu y y uu’’ son son suficientemente suficientemente pequepequeñños que os que podemos usar la podemos usar la aproximaciaproximacióón n lineallineal..

de forma tal quede forma tal que::

( , ) ( 0.5772 ln( ))4Qs r t u

Tπ≈ − −

2 2

'' ln ln4Q Tt Tts

T r S r Sπ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠


Aplicando Aplicando propiedades de propiedades de logaritmos.logaritmos.

Haciendo uso de Haciendo uso de

' ln4 'Q ts

T tπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2.303' log4 '

Q tsT tπ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠log( )•


Para aplicar la ecuaciPara aplicar la ecuacióón 6.53 para lan 6.53 para ladeterminacideterminacióón de la transmisividad T, n de la transmisividad T, sesegrafica el grafica el abatimientoabatimiento residual residual ss’’ contra el contra el logaritmo de la razlogaritmo de la razóón del tiempo real n del tiempo real transcurrido a el tiempo en que la bomba transcurrido a el tiempo en que la bomba se detuvo, se detuvo, tt’’. la pendiente de la curva . la pendiente de la curva resultante nos da el valorresultante nos da el valor , , el cual puede ser usado para determinar la el cual puede ser usado para determinar la tranmisividad dada la raztranmisividad dada la razóón de bombeo Qn de bombeo Q

2.303 / 4Q Tπ


Un ejemplo Un ejemplo de esto se ve de esto se ve en la figuraen la figura


Un estimUn estimadoado de la razde la razóón del n del coeficiente de almacenamientocoeficiente de almacenamientocalculado durante el bombeo S al calculado durante el bombeo S al obtenido durante el recobro Sobtenido durante el recobro S’’ puede puede ser ser obtenidoobtenido. Idealmente, debe ser . Idealmente, debe ser uno ya que este es un paruno ya que este es un paráámetro metro constante del acuconstante del acuííferofero..


Para ver como se Para ver como se calcula, vayamos a calcula, vayamos a la ecuacila ecuacióón 6.52, n 6.52, reescribireescribiééndola ndola para identificar las para identificar las dos variantes en el dos variantes en el coeficiente de coeficiente de almacenamientoalmacenamiento

2 2

'' ln ln4 'Q Tt Tts

T r S r Sπ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠


Donde la curva sDonde la curva s’’ encuentra el eje del encuentra el eje del tiempo, stiempo, s’’=0, y tenemos=0, y tenemos

2 2' 0

'0 ln ln4 s

Q Tt TtT r S r Sπ =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠


La cual se puede reescribir comoLa cual se puede reescribir como

' 0

0 ln ln4 ' 's

Q t ST t Sπ =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠


Ya que Ya que , entonces, entonces ::

' 0

ln ln' 's

t St S=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 0Q Tπ ≠


Por tanto:Por tanto:

' 0' 's

t St S=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Debido a que tiempos grandes (sDebido a que tiempos grandes (s’’chico) la razchico) la razóón t/tn t/t’’ se debe se debe aproximar a la unidad (indicando que aproximar a la unidad (indicando que S es el mismo que SS es el mismo que S’’, como debe , como debe ser), la desviaciser), la desviacióón de la razn de la razóón de la n de la unidad indica el grado de influencia unidad indica el grado de influencia no considerada en los cno considerada en los cáálculos, tales lculos, tales como fronteras.como fronteras.


Se puede seguir un Se puede seguir un camino distinto para camino distinto para calcular S. calcular S. reescribimos la reescribimos la ecuaciecuacióón 6.51n 6.51

Donde t es el tiempo Donde t es el tiempo desde que el bombeo desde que el bombeo comenzcomenzóó y ty t’’ es el es el tiempo desde que el tiempo desde que el bombeo parobombeo paro

[ ]' ( ) ( ')4Qs W u W u

Tπ= −

2 2

, y '4 4 'r S r Su uTt Tt

= =


Goode propuso un nuevo conjunto de variables Goode propuso un nuevo conjunto de variables adimensionales que permiten la determinaciadimensionales que permiten la determinacióón n del coeficiente de almacenamientodel coeficiente de almacenamiento. . el definiel definióó el el abatimientoabatimiento ssdd como como

el tiempo adimensional tel tiempo adimensional tdd como como

y el tiempo adimensional desde que el bombeo y el tiempo adimensional desde que el bombeo empezempezóó como: como:

donde tdonde tpp es la duracies la duracióón del bombeo. n del bombeo.

4Ds Ts Qπ≡

2 1 4Dt Tt r S u= =

2pD pt Tt r S=


Usando estas definiciones la ecuaciUsando estas definiciones la ecuacióón 6.55 n 6.55 se escribe comose escribe como::

2 2

2 2

' x x4 4 4 4 ( )

D

D D pD

s Q Q r S T r S TW WT T T r St T r S t tπ π

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎝ ⎠ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


dividiendo ambos lados de la ecuacidividiendo ambos lados de la ecuacióón porn porQ/4Q/4ππtt

1 1'4 4( )D

D D pD

s W Wt t t

⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠


El tipo de curvas generadas usando este El tipo de curvas generadas usando este tipo de ecuacitipo de ecuacióón se muestran en la figura n se muestran en la figura siguientesiguiente. la ordenada es equivalente a . la ordenada es equivalente a ss’’DD. la abscisa es el tiempo. la abscisa es el tiempo normalizado normalizado definido comodefinido como::

( ) ( )n p p D pD pDt t t t t t t≡ − = −

TeorTeoríía de pozos imagena de pozos imagen

La soluciLa solucióón analn analíítica que ha sido tica que ha sido expresada antes, asume que la expresada antes, asume que la frontera del acufrontera del acuíífero esta a una fero esta a una distancia infinita desde el pozo de distancia infinita desde el pozo de bombeo. Sin embargo, en muchas, bombeo. Sin embargo, en muchas, instancias las barreras finstancias las barreras fíísicas estsicas estáán n localizadas dentro del radio de un localizadas dentro del radio de un circulo donde el abatimiento es circulo donde el abatimiento es significativo durante una prueba de significativo durante una prueba de bombeo.bombeo.


Cuando esto ocurre la barrera Cuando esto ocurre la barrera influencia el abatimiento atribuible al influencia el abatimiento atribuible al bombeo del pozo. Y este efecto se bombeo del pozo. Y este efecto se debe tomar en cuenta en la debe tomar en cuenta en la estimaciestimacióón del parn del paráámetro. metro. El impacto de las fronteras El impacto de las fronteras impermeable y carga constante son impermeable y carga constante son consideradas en el uso de la teorconsideradas en el uso de la teoríía a del pozo imagen.del pozo imagen.

TeorTeoríía de pozos imagena de pozos imagenConsidereseConsiderese la siguiente figura. En esta la siguiente figura. En esta secciseccióón transversal una prueba de bombeo n transversal una prueba de bombeo se lleva a cabo cerca de la frontera de una se lleva a cabo cerca de la frontera de una roca impermeableroca impermeable


La presencia de La presencia de esta frontera esta frontera impacta la curva impacta la curva de abatimiento, de abatimiento, como se ve por la como se ve por la asimetrasimetríía en el a en el cono de depresicono de depresióón n generado por el generado por el bombeo del pozo.bombeo del pozo.

La soluciLa solucióón n analanalíítica para tica para describir el describir el abatimiento en un abatimiento en un acuacuíífero infinito fero infinito puede ser usado puede ser usado para acomodar para acomodar esta situaciesta situacióón n ffíísica. sica.


En alguna distancia a desde el pozo, En alguna distancia a desde el pozo, se asume que existe una frontera se asume que existe una frontera impermeableimpermeableDenotada como la lDenotada como la líínea de flujo ceronea de flujo cero


A una distancia a desde la lA una distancia a desde la líínea de flujo nea de flujo cero mostrada en esta figura, un pozo cero mostrada en esta figura, un pozo imaginario (pozo imagen) es colocado tal imaginario (pozo imagen) es colocado tal y como se ve en el grafico y como se ve en el grafico

TeorTeoríía de pozos imagena de pozos imagenLa distancia desde el pozo real hasta el La distancia desde el pozo real hasta el pozo imagen es 2a. pozo imagen es 2a. El pozo real y el pozo imagen bombean a El pozo real y el pozo imagen bombean a la misma razla misma razóón Q, mantenida constante n Q, mantenida constante durante la duracidurante la duracióón de la prueba. n de la prueba. Como lo ilustra la figura, cada pozo de Como lo ilustra la figura, cada pozo de bombeo genera un pozo simbombeo genera un pozo siméétrico de trico de depresidepresióón. n. La lLa líínea que define el cono creada por el nea que define el cono creada por el pozo real es continua, y la pozo real es continua, y la correspondiente al pozo imagen se correspondiente al pozo imagen se muestra en trazos. muestra en trazos.


Si las soluciones (superficies Si las soluciones (superficies abatimiento ) son asumidas, el abatimiento ) son asumidas, el resultante abatimiento se indica por resultante abatimiento se indica por medio de la curva puntomedio de la curva punto--raya. Esa raya. Esa porciporcióón de esta curva localizada a la n de esta curva localizada a la izquierda de la lizquierda de la líínea de flujo cero nea de flujo cero simula a la lsimula a la líínea del nivel de agua nea del nivel de agua del bombeo en la grafica superior. del bombeo en la grafica superior.


Debe destacarse que debido a la Debe destacarse que debido a la naturaleza de las ecuaciones la naturaleza de las ecuaciones la pendiente del potencial de agua en la pendiente del potencial de agua en la llíínea de flujo cero es igualmente nea de flujo cero es igualmente cero. cero. Por lo tanto la formulaciPor lo tanto la formulacióón provee el n provee el efecto deseado de flujo nulo en la efecto deseado de flujo nulo en la pared de roca impermeable. pared de roca impermeable.


Una aproximaciUna aproximacióón n para utilizar el para utilizar el concepto de pozo concepto de pozo imagen es primero imagen es primero escribir el escribir el abatimiento en abatimiento en algalgúún punto.n punto.

0 0( , )s r t s≡

0 r is s s= +


Usando la Usando la aproximaciaproximacióón de n de Theis, la ecuaciTheis, la ecuacióón n 6.57 nos da:6.57 nos da:

0 ( ) ( )4 p iQs W u W u

Tπ⎡ ⎤= +⎣ ⎦

TeorTeoríía de pozos imagena de pozos imagen2

4p

p

r Su

Tt=

2

4i

ir SuTt

=

rrpp es la distancia es la distancia desde el pozo de desde el pozo de bombeo hasta el bombeo hasta el pozo de observacipozo de observacióón n rrii es la distancia del es la distancia del pozo imagen desde pozo imagen desde el pozo de el pozo de observaciobservacióón.n.


Combinando las Combinando las ecuaciones ecuaciones anteriores se anteriores se obtiene:obtiene:

2

ii p

p

ru ur

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2i pu uκ= i pr rκ ≡


Se pueden crear familias de curvas Se pueden crear familias de curvas usando valores distintos de K, la usando valores distintos de K, la estrategia de ajuste de curvas usada estrategia de ajuste de curvas usada anteriormente en la discusianteriormente en la discusióón de n de Theis se puede usar ahora para Theis se puede usar ahora para determinar los coeficientes T y S.determinar los coeficientes T y S.


Carga Carga constanteconstante

Flujo constanteFrontera: carga constante

A fin de lograr una A fin de lograr una carga constante a carga constante a una distancia b una distancia b desde el pozo de desde el pozo de bombeo se coloca bombeo se coloca un pozo de recarga un pozo de recarga a una distancia 2b a una distancia 2b desde el pozo de desde el pozo de bombeo.bombeo.

Cono de impresiCono de impresióón = cono de n = cono de depresiondepresion


La colocaciLa colocacióón n precisa del pozo precisa del pozo imagen simula bien imagen simula bien la situacila situacióón en que n en que se tiene una carga se tiene una carga constante a una constante a una distancia b desde distancia b desde el pozo de el pozo de bombeo.bombeo.


b pozo imagen b pozo imagen de recargade recargaa pozo de a pozo de bombeobombeod pozo imagen d pozo imagen de descargade descargac pozo c pozo chipoclechipocle


Se establece un Se establece un equilibrio entre la equilibrio entre la demanda del pozo demanda del pozo de bombeo y de bombeo y frontera de carga frontera de carga constantconstant. .

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