solución de problemas que involucran campos aleatorios de...

SoluciSolucióón de problemas que n de problemas que involucran campos aleatorios de involucran campos aleatorios de

conductividad hidrconductividad hidrááulicaulica

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5S o lu c i ó n a l a e c u a c i o n d e

i n v o lu c r a la e x p a n s i o ne n s e r i e s d e p a r a m e t r o s d e s c o n o c i d o s y l a v a r i a b le d e e s t a d o .l i m i t e e n l a m a g n i t u d d e

a n á l i s i s d e p r i m e r o r d e n la v a r i a n z a

f lu j o y t r a n s p o r t e

d e lo s p a r á m e t r o s r e s p e c t o d e s u s m e d i a s , y e s t el i m i t e e s m a s p e q u e ñ o q u e lo s v a lo r e s d e l a v a r i a n z a e n c o n t r a d o s e n s i t u a c i o n e s d e c a m p o .

L a v e n t a j a d e e s t e e sq u e

m e t o d o s M o n t e c a r lo

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

n o e s t a s u j e t o a l a s l i m i t a c i o n e s d e l a p e r t u r b a c i ó n d e s e r i e s , s i n e m b a r g o , s u s o lu c i o n r e q u i e r e d e g r a n d e s r e c u r s o s c o m p u t a c i o n a le s .

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5

El mEl méétodo de Monte Carlo es un mtodo de Monte Carlo es un méétodo todo no deterministico no deterministico óó estadestadíístico numstico numéérico rico usado para aproximar expresiones usado para aproximar expresiones matemmatemááticas complejas y costosas de ticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.evaluar con exactitud.


Las caracterLas caracteríísticas sticas estadestadíísticas del sticas del campo de campo de conductividad conductividad hidrhidrááulica son ulica son conocidas. conocidas.

Por conveniencia Por conveniencia asumimos que el asumimos que el campo es campo es homoghomogééneo, neo, estacionario e estacionario e isisóótropo. tropo.

Bajo esta suposición se requiere que la media y la desviación estándar sean constantes en el espacio y que la covarianza en dos lugares dependa solamente de ellas


En la aproximaciEn la aproximacióón Monte Carlo, una n Monte Carlo, una muestra de valores de conductividad muestra de valores de conductividad hidrhidrááulica, una para cada nodo de la malla ulica, una para cada nodo de la malla numnuméérica, se dibuja de un conjunto de rica, se dibuja de un conjunto de valores consistentes con la estadvalores consistentes con la estadíística del stica del campo. A tal conjunto de valores se le campo. A tal conjunto de valores se le llama una llama una valoracivaloracióónn


simulacion modelo numerico valoracion= +

El valor calculado de la variable de estado El valor calculado de la variable de estado constituye una valoraciconstituye una valoracióón de la variable de n de la variable de estado del campo aleatorio.estado del campo aleatorio.


El procedimiento se repite para El procedimiento se repite para valoraciones adicionales de la estadvaloraciones adicionales de la estadíística stica de los parde los paráámetros del campo y de los metros del campo y de los registros de las simulaciones de la registros de las simulaciones de la variable de estado. Obteniendo suficientes variable de estado. Obteniendo suficientes valoraciones, la estadvaloraciones, la estadíística resultante de stica resultante de la variable de estado, debe ser la variable de estado, debe ser consistente con la descripciconsistente con la descripcióón estadn estadíística stica del campo del pardel campo del paráámetro.metro.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5La pregunta que surge La pregunta que surge es, como se puede es, como se puede generar una serie de generar una serie de valoraciones del campo valoraciones del campo de parde paráámetros, en metros, en nuestro caso valores de nuestro caso valores de la conductividad la conductividad hidrhidrááulica, que sean ulica, que sean consistentes con la consistentes con la estadestadíística del parstica del paráámetro metro conocido. conocido.

simulacisimulacióón secuencial n secuencial gausiana.gausiana.mméétodo turning bandstodo turning bandslatin hypercube samplinglatin hypercube samplingdescomposicidescomposicióón LUn LU

DefinicionesDefiniciones

The popular turning bands method (TBM) The popular turning bands method (TBM) generates realizations of twogenerates realizations of two-- or threeor three--dimensional Gaussian random fields from dimensional Gaussian random fields from appropriately summed line processes.appropriately summed line processes.The The statisticalstatistical method of method of Latin hypercube Latin hypercube samplingsampling ((LHSLHS) was developed to generate a ) was developed to generate a distribution of plausible collections of parameter distribution of plausible collections of parameter values from a values from a multidimensional distributionmultidimensional distribution. The . The sampling methodsampling method is often applied in is often applied in uncertaintyuncertaintyanalysis.analysis.

http://en.wikipedia.org/wiki/Statistics

http://en.wikipedia.org/wiki/Multidimensional_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Sampling_%28statistics%29

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5Una carga constante de 500m se ubica en el Una carga constante de 500m se ubica en el centro del cuadrado. En cada esquina del centro del cuadrado. En cada esquina del cuadrado se define una carga de 0m. los lados cuadrado se define una carga de 0m. los lados del cuadrado representan fronteras de nodel cuadrado representan fronteras de no--flujo y flujo y nono-- difusidifusióón. La malla consiste de 27 bloques de n. La malla consiste de 27 bloques de lado donde cada bloque es de 100m X 100m. en lado donde cada bloque es de 100m X 100m. en el centro del cuadrado se localiza una fuente el centro del cuadrado se localiza una fuente constante de concentraciconstante de concentracióón 10. el campo de n 10. el campo de flujo es tal que el agua con una concentraciflujo es tal que el agua con una concentracióón n de 10 entra a travde 10 entra a travéés del pozo de inyeccis del pozo de inyeccióón en el n en el centro del cuadrado y sale por las esquinas.centro del cuadrado y sale por las esquinas.


La conductividad hidrLa conductividad hidrááulica se distribuye ulica se distribuye logaritmicamente normalizada con una media logaritmicamente normalizada con una media del ln K de 5 y la varianza de 1. la relacidel ln K de 5 y la varianza de 1. la relacióón para n para la covarianza esla covarianza es..

( )22

exp),(cov,cov⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+

y

y

x

xKK K

rKr

xxrxxλλ

Donde cov es la covarianza de dos puntos separados por una distancia r, rx y ry,es la distancia entre los puntos a lo largo del eje x y del eje y, respectivamente, (100m entre puntos vecinos para este ejemplo), λ son las correlacionasen las direcciones x y y respectivamente (224m en cada dirección).


El primer paso para resolver este El primer paso para resolver este problema es hacer una valoraciproblema es hacer una valoracióón del n del campo aleatorio de la conductividad campo aleatorio de la conductividad hidrhidrááulica. Para esto, se examina la ulica. Para esto, se examina la distribucidistribucióón normal de los valores de ln K.n normal de los valores de ln K.


la fuente de tales distribuciones en cada la fuente de tales distribuciones en cada ubicaciubicacióón nodal podrn nodal podríía ser obtenida con el a ser obtenida con el algoritmo de kriging. En la aproximacialgoritmo de kriging. En la aproximacióón n LHS la funciLHS la funcióón de densidad de n de densidad de probabilidad en cada localizaciprobabilidad en cada localizacióón nodal, n nodal, es dividida en es dividida en ááreas iguales. Por tanto la reas iguales. Por tanto la probabilidad de seleccionar un valor de ln probabilidad de seleccionar un valor de ln K es la misma en cada intervalo.K es la misma en cada intervalo.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5ln Kln KiiDistribuciDistribucióón n lognormallognormal

2

51

μ

σ

=

=


SupSupóóngase que se harngase que se haráán 10 simulaciones n 10 simulaciones monte carlo, de forma tal que se monte carlo, de forma tal que se necesitaran 10 valoraciones del campo necesitaran 10 valoraciones del campo aleatorio, cada una conteniendo cuatro aleatorio, cada una conteniendo cuatro valores de la conductividad hidrvalores de la conductividad hidrááulica ( ulica ( una para cada uno de los cuatro una para cada uno de los cuatro elementos).elementos).


{{

( ) ( )( ) ( )( )( )

LHSobtener un valor

10 realizaciones tabla 7.4 tabla 7.5 tabla 7.4 ec. 7.128de 7.23

cov , ,

k l k k l l k k l k l

k k l l

x x x x f x x dx dx

E X X

μ μ

μ μ

∞ ∞

−∞ −∞

⎧= +⎨

⎩

≡ − −

= − −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5Posteriormente hPosteriormente háágase una gase una descomposicidescomposicióón cholesky tanto n cholesky tanto para R como para R*; esto es, para R como para R*; esto es, obtener los factores Q y Qobtener los factores Q y Q’’ tal tal que QQque QQ’’=R y P P=R y P P’’ tal que tal que PPPP’’=R*. Ahora calc=R*. Ahora calcúúlese una lese una nueva matriz Knueva matriz K’’=K(PQ=K(PQ--1)1)’’

es, en cierto sentido, una estimación de los valores necesarios para las valoraciones. Su matriz de correlación se muestra en la tabla 7.7. una comparación entre esta matriz de correlación y la matriz de correlación R* prueba que K’ tiene la misma matriz de correlación que la target

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5Hay dos aspectos a considerar:Hay dos aspectos a considerar:

Esta serie de valores tiene la estructura de Esta serie de valores tiene la estructura de correlacicorrelacióón completa.n completa.No asNo asíí para los valores originalmente mostrados para los valores originalmente mostrados para las cuatro distribuciones de probabilidad de para las cuatro distribuciones de probabilidad de los ln Klos ln K..Para darle la vuelta a este problema rePara darle la vuelta a este problema re--acomodamos los valores correctos (matriz K ) y acomodamos los valores correctos (matriz K ) y la fabricada (matriz Kla fabricada (matriz K’’) en la forma mostrada en ) en la forma mostrada en las tablas 7.8 y en 7.9.las tablas 7.8 y en 7.9.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5Los valores en la Los valores en la columna etiquetada rank columna etiquetada rank en esta tabla indica la en esta tabla indica la magnitud relativa en los magnitud relativa en los nnúúmeros en la columna meros en la columna de la izquierda.de la izquierda.

Por ejemplo en la columna uno el valor mas pequeño es 3.355 y su correspondiente en la columna rango es 1. el valor mas grande en la columna izquierda tiene un valor de 6.935 y su correspondiente en la columna rango es 10.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5Finalmente, re-arreglamos las valoraciones en la matriz K usando los rangos en la matriz K’. en otras palabras, los valores en K se re-arreglan de forma tal que el orden de su rango sea el mismo que el de K’. la nueva matriz D es formada como se muestra en la tabla 7.10.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5Cada fila de la matriz D forma un Cada fila de la matriz D forma un conjunto de valoraciones del LHS. conjunto de valoraciones del LHS. La matriz de correlaciLa matriz de correlacióón de D n de D formada por el reformada por el re--acomodo de los acomodo de los valores se muestra en la tabla 7.11. valores se muestra en la tabla 7.11. Es muy parecida a la matriz de

correlación target . Ahora se tiene un conjunto de muestras que tienen los valores correctos de la distribución y casi la correlación correcta.


Para efectuar la simulaciPara efectuar la simulacióón n montecarlomontecarlo, , resolverresolverííamos los 4 elementos del problema amos los 4 elementos del problema de flujo de agua subterrde flujo de agua subterráánea diez veces, nea diez veces, usando una fila de la matriz D para cada usando una fila de la matriz D para cada simulacisimulacióón. Registrarn. Registrarííamos los valores amos los valores asociados con cada una de las corridas y de asociados con cada una de las corridas y de cada una de estas calcular la estadcada una de estas calcular la estadíística de stica de la variable de estado.la variable de estado.


Regresando al Regresando al problema definido en problema definido en la figura 7.22, se la figura 7.22, se muestra en la figura muestra en la figura 7.24 una valoraci7.24 una valoracióón n del campo aleatorio del campo aleatorio para este problema para este problema generado usando la generado usando la ttéécnica LHS.cnica LHS.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5La soluciLa solucióón para los valores de la media de la n para los valores de la media de la carga hidrcarga hidrááulica se muestran en la figura.ulica se muestran en la figura.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5La varianza de los La varianza de los valores de la carga se valores de la carga se muestran en la figuramuestran en la figura..


Para cada valoraciPara cada valoracióón de el ln K se calcula n de el ln K se calcula un valor de la carga del campo. De la un valor de la carga del campo. De la ecuaciecuacióón de n de DarcyDarcy, se calcula una velocidad , se calcula una velocidad del campo. del campo.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5La media de la concentraciLa media de la concentracióón del campo para el n del campo para el problema de los cinco puntos se muestra en la problema de los cinco puntos se muestra en la figurafigura


La varianza respectiva se muestra en la figuraLa varianza respectiva se muestra en la figura

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5Que tan bien funciona el mQue tan bien funciona el méétodo monte carlo con los distintos todo monte carlo con los distintos esquemas usados para generar valoraciones? En otras esquemas usados para generar valoraciones? En otras palabras, si se usan los cuatro mpalabras, si se usan los cuatro méétodos principales para todos principales para valoraciones, cual es la razvaloraciones, cual es la razóón de convergencia relativa de la n de convergencia relativa de la solucisolucióón de monte carlo a la solucin de monte carlo a la solucióón correcta conforme el n correcta conforme el numero de valoraciones se incrementa.numero de valoraciones se incrementa.A causa de la manera en que el LHS se calculo, no hay A causa de la manera en que el LHS se calculo, no hay errores en el calculo de la media de las valoraciones. Sin errores en el calculo de la media de las valoraciones. Sin embargo, el calculo de la covarianza es mas difembargo, el calculo de la covarianza es mas difíícil de obtener cil de obtener de acuerdo a lo visto previamente.de acuerdo a lo visto previamente.Debido a esto, hay que considerar una comparaciDebido a esto, hay que considerar una comparacióón de la n de la covariaza calculada tanto con LHS como con simulacicovariaza calculada tanto con LHS como con simulacióón n gausiana.gausiana.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5En la figura se muestra una estimaciEn la figura se muestra una estimacióón del error entre los valores n del error entre los valores calculados y los exactos de la correlacicalculados y los exactos de la correlacióón para los dos mn para los dos méétodos usando todos usando la rala raííz media cuadrz media cuadráática del error.tica del error.

Se observa que ambos métodos convergen al valor correcto de la solución conforme el numero de valoraciones se incrementa. Sin embargo, en este ultimo ejemplo, el LHS converge mas rápidamente, llegando al valor mas preciso haciendo 800 valoraciones.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5Ahora examinemos que tan rAhora examinemos que tan ráápido se aproximan al valor correcto el pido se aproximan al valor correcto el calculo de la covarianza de la concentracicalculo de la covarianza de la concentracióón obtenido haciendo uso de n obtenido haciendo uso de la aproximacila aproximacióón a la ecuacin a la ecuacióón de flujo y transporte. n de flujo y transporte.

En este caso no hay solución conocida de forma tal que se hará uso de una solución inexacta como referencia. Se ha elegido como solución después de 900 valoraciones.

solución de problemas que involucran campos aleatorios de...

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