µO-CAF -5- 1

Capítulo 5:

Circuitos pasivos recíprocos de microondas

Este capítulo es continuación natural del anterior: una vez se ha descrito la herramienta necesaria para analizar circuitos

de microondas se pasa a la descripción de distintos circuitos pasivos recíprocos de microondas. Se analizarán y diseñarán

uniones de dos guías, de tres guías (divisores de potencia donde se diseñará un divisor Wilkinson), de cuatro guías

(análisis y diseño de acopladores direccionales: branch line, rat-race y tecnología de líneas acopladas).

µO-CAF -5- 2

ÍNDICE (I)

• Uniones de dos guías– Propiedades de la matriz de dispersión de un cuadripolo– Cierre de un cuadripolo por su impedancia característica o por una impedancia distinta de

la característica.– Matriz de transmisión.– Transformación de parámetros en cuadripolos

• Uniones de tres guías: divisores y combinadores de potencia– Definiciones de T plano H y plano E: propiedades de la matriz de dispersión.– Teoremas referentes a una unión de tres guías: cierre de una unión de tres guías.– Diseño de divisores sin pérdidas y con pérdidas.– Análisis y diseño de un divisor Wilkinson equilibrado: introducción al análisis en modo

par-impar.– Divisor de potencia Wilkinson desequilibrado.

• Uniones de cuatro guías: acopladores direccionales– Matriz de dispersión de un acoplador direccional: teoremas.– Definiciones: coeficientes de transmisión, acoplo y aislamiento.– Análisis y diseño de acopladores direccionales: acopladores de 90º (branch-line), T-

mágica (rat-race), acopladores basados en líneas acopladas.

µO-CAF -5- 3

Uniones de dos guías

• Se supone la red pasiva, lineal y recíproca.• Unión pasiva (Re(Z) definida positiva)

– No disipativa: Re(Z)=0

• Desde el punto de vista de matriz de dispersión:– Unión pasiva– Unión no disipativaProducto de filas por columnas– Para un cuadripolo:Restando las dos primeras ecuacionesSi el cuadripolo está adaptado desde 1resulta

• Si un cuadripolo no disipativo está adaptado desde una de sus guías, está completamente adaptado

211222112221

12112211 0;0;0 rrrr

rrrr

rr ⋅≥⋅⇔≥≥≥

=

2221

1211

xxxx

jZ

( )realSSP H ⋅−∆⇒≥ ;0( )

≠=⋅

=⋅⇒⋅=∆⇒=⋅−∆

∑

∑

=

=

)(1

10

1

*

1

*

jiss

ssSSSS

N

kkjki

N

kkiki

HH

=⋅+⋅

=⋅+⋅

=⋅+⋅

0

1

1

*2212

*1211

*2222

*2121

*2121

*1111

ssss

ssss

ssss

µO-CAF -5- 4

Relaciones de potencia en un cuadripolo (I)

• Caso 1: Cuadripolo acabado en su impedancia características Zo

• Concepto de ganancia de potencia:

T

in

Ga

bs

ab

s

===

Γ==

generador disponible Potenciacarga entregada Potencia

21

222

21

1

111

[S]

Zo

VS

a1

b1

GS GinZoGout GL

a2

b2

211

221

21

21

22

1cuadripolo entregada Potenciacarga entregada Potencia

s

s

ba

bGp

−=

−==

µO-CAF -5- 5

Relaciones de potencia en un cuadripolo (II)

• Caso 2: Cuadripolo acabado en impedancia Zg y ZL

• Las expresiones de las ganancias son totalmente diferentes a las de la anterior transparencia (se verán en el tema de amplificadores)

2

211

22

211211

1

1 ;1 b

as

sss

sab

LL

Lin =Γ≠

Γ⋅−Γ⋅⋅

+==Γ

[S]

Zg

VS

a1

b1

GS GinZLGout GL

a2

b2

µO-CAF -5- 6

Cuadripolos en cascada (I)

• La matriz S no es apropiada pues no relaciona ondas de entrada con ondas de salida

• Parámetros de transmisión en función de ondas de potencia

∏=

=⇒

−

⋅−

=⇒

⋅+⋅=⋅+⋅= N

iitotal TT

sss

ss

sss

sT

btatabtatb

1

1212

11

12

22

12

112221

1221212

1121112

1

a’2

a1

b1 b2

a2

b’2

a3

b3

µO-CAF -5- 7

Cuadripolos en cascada (II)

• Útil cuando se trabaja con cuadripolos en cascada y se disponen de los voltajes y corrientes en lugar de ondas de amplitud o potencia.

⋅+⋅=⋅+⋅=

221

221

IDVCIIBVAV

I1I2

V1V2

µO-CAF -5- 8

Parámetros de transmisión ABCD para estructuras comunes

µO-CAF -5- 9

Tabla de transformación de parámetros

µO-CAF -5- 10

Uniones de tres guías (I)

• Partiremos de hexapolos no disipativos• Se considerarán uniones de guías que soporten solamente el modofundamental• Las simetrías geométricas tenderán a tener una solución simétrica electromagnética• En una guía con modo TE10 el modo fundamental es simétrico con relación al plano paralelo a las generatrices y que pasa por las centrales de las caras anchas y no es simétrico respecto al perpendicular que pasa por las caras estrechas.• Análisis: se excita el TE10 por la puerta 1

• Unión figura a: simetría T plano E• Unión figura b: simetría T plano H• Unión figura c: simetría total de 120º

µO-CAF -5- 11

Uniones de tres guías (II)

1

1

1

T plano E T plano H

Unión en T impresa con simetría total

120º

µO-CAF -5- 12

Uniones de tres guías (III): simetría geométrica

⋅=⋅=

⇒⋅

=

BTBATA

AA''

100001010

'

T plano H

=

=

3

2

1

3

2

1

;bbb

Baaa

AExcitación inicial

=

=

3

1

2

3

1

2

' ;'bbb

Baaa

ANueva excitación

Relación entre A’ y A

Como la matriz de dispersión es una (la T es una)

ATSASTATSBTASBASB

⋅⋅=⋅⋅⇒⋅⋅=⋅⇒

⋅=⋅= ''

2313

2211

ssss

==

T plano E

=

=

3

2

1

3

2

1

;bbb

Baaa

AExcitación inicial

−=

−=

3

1

2

3

1

2

' ;'b

bb

Ba

aa

ANueva excitación

⋅=⋅=

⇒⋅

−=

BTBATA

AA''

100001010

'

Relación entre A’ y A

T plano H T plano E223

213

2211

ss

ss

=

=Unión simétrica

122313

332211

sss

sss

====

µO-CAF -5- 13

1) Una unión en T no disipativa no puede estar completamente adaptada. (Demostración por reducción al absurdo)o Corolario: Una unión en T no disipativa y de simetría completa no puede estar

adaptada desde ninguna de sus guías.

2) Si una unión en T no disipativa está adaptada desde dos de sus guías, la tercera está desacoplada de ellas y es una unión degenerada. (Dem. ejercicio)o Corolario: Una unión en T no disipativa y simétrica con relación a un plano, está

adaptada desde una de sus guías simétricas es una unión degenerada.o Corolario: Una unión en T no disipativa ni degenerada sólo puede estar adaptada

desde una de sus guías.

3) Si se cierra uno de los brazos de una unión en T con un cortocircuito colocado en posición conveniente, se consigue un cuadripolo degenerado, con sus dos guías desacopladas. (Demostración)

4) En una T no disipativa y simétrica con relación a un plano, un cortocircuito, colocado en una posición adecuada en la guía que coincide con su simétrica respecto dicho plano, adapta el cuadripolo resultante. (Demostración, ejercicio)

Uniones de tres guías (IV): teoremas de uniones no disipativas

µO-CAF -5- 14

El divisor de potencia Wilkinson

• De los teoremas anteriores, una unión en T sin pérdidas no puede estar adaptada desde todas sus puertas. Además, el aislamiento entre terminales no es bueno.

• La presencia de pérdidas (divisor resistivo, Pozar pp.362): tiene adaptadas todas las puertas, el aislamiento entre puertas de salida es malo, las pérdidas hace que la mitad de la potencia se disipe en las resistencias.

• Se puede conseguir mediante una red CON pérdidas (no verifica los teoremas de la unión en T sin pérdidas) un divisor denominado Wilkinson:

– Perfectamente adaptado– Con las puertas de salida aisladas entre sí– Que cuando está adaptado, no hay pérdidas de potencia porque forzamos a que no haya energía

por dicha resistencia

µO-CAF -5- 15

Diseño del divisor de potencia Wilkinson simétrico: excitación en modos par-impar

• Lo analizaremos para una relación de 3 dB mediante modos par-impar porque EXISTE SIMETRÍA ELÉCTRICA Y GEOMÉTRICA

• Incógnitas: impedancia de las líneas, Z, y resistencia entre puertos, r.• Proceso:

– Visualizar si existe simetría eléctrica y geométrica: EXISTE ENTRE LOS PUERTOS 2 Y 3

– Objetivo: adaptación puertos y aislaimiento.– Consecución de la excitación simétrica mediante una excitación apropiada en dos puertos tal

que su suma sea la que se pide en la definición– Si el parámetro es el s22 supone a3=0, si el parámetro es el s23 (=s32) supone a2=0. En ambos

casos el parámetro de salida a medir es b2

0;00,3

223

0,2

222

2131

====== aaaa

ab

sab

s

Plano de simetría

? 1- ?22a0(P-I)

?1+ ?202a(P+I)

?2-aaImpar (I)

?1aaPar (P)

b2a3a2Excitación

SalidaEntrada

µO-CAF -5- 16

Diseño del divisor de potencia Wilkinson simétrico: excitación par

2112 2

2

=⇒=Γ⇒== ZZ

Z e

adaptación

ein

• Los nodos 2 y 3 tienen el mismo nivel de potencial, lo que supone que:

– No hay corriente en r/2– Muro magnético en el plano de simetría.

• La impedancia de entrada en el terminal 2 vale:

• Los voltajes en los nodos son:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) 2

11

10

2222

14

1

2

jVVjVVV

VjVVV

eeVeVeVzV

e

e

zjzjzjzj

−=+Γ−Γ

⋅=Γ+⋅==

+−

=Γ

=Γ−⋅=

−=

Γ+⋅=+=

+

+

−+−−+

λ

ββββ

µO-CAF -5- 17

Diseño del divisor de potencia Wilkinson simétrico: excitación impar

2012 2 =⇒=Γ⇒== rr

Z o

adaptación

oin

• Los nodos 2 y 3 tienen niveles de potenciales opuestos, lo que supone que:

– No hay voltaje en el plano de simetría– Muro eléctrico en el plano de simetría.

• La impedancia de entrada en el terminal 2 vale:

• Los voltajes en los nodos son tales que excitan la resistencia y nada a la línea y valen:

01

2

=

=o

o

V

VV

µO-CAF -5- 18

Análisis del divisor de potencia Wilkinson simétrico

( )

( )

( )0

2

2

0

02

)(0

)(0

10

22

03

223

22

11

02

12112

33

2

3

1

02

222

01

111

21

31

31

32

=Γ−Γ

==

−=++

===

==

=Γ+Γ

=

+==

==

===

==

==

==

==

aa

ab

s

jVVVV

ab

ss

s

aa

b

IPa

Za

ab

s

Zab

s

ee

aa

oe

oe

aa

oe

o

aa

in

aa

µO-CAF -5- 19

Otros divisores de potencia Wilkinson

( )

KZ

RKZRK

KZR

KKZZ

KK

ZZ

PP

K

ooo

oo

oo

=⋅=

+⋅=

+⋅=

+⋅=

⇒=

32

22

3

2

3

2

32

;;1

1

1

1

• Divisor de potencia asimétrico, se describe arriba (ejercicio: Collin, pp 444-446)• Divisor Wilkinson de varias secciones para incrementar el ancho de banda.• Divisor Wilkinson con N divisiones (inconveniente hay cruces)

µO-CAF -5- 20

Acoplos directivos (I): teoremas

• De las uniones de 4 guías se estudiarán los acoplos directivos.• Definición: un acoplo directivo es una unión de 4 guías no disipativa y no

degenerada, adaptada desde 2 de dichas guías y tal que no existe acoplo entre una de las últimas y otra de las restantes: s11=s22=s13

• Teorema 1: Un acoplo directivo está completamente adaptado y también están desacopladas la pareja formada por las guías que no se suponen desacopladas inicialmente. (Demostración)

• Teorema 2: Una unión de 4 guías no disipativa y no degenerada que esté adaptada desde tres de ellas es un acoplo directivo. (Demostración)

• Teorema 3: Si una unión de 4 guías, no disipativa y no degenerada, tiene 2 guías desacopladas y está adaptada desde ellas, es un acoplo directivo.

=

=

0000

0000

;

0000

0000

2414

2313

2423

1413

3

3414

3423

2312

1412

1

ssss

ssss

S

ssss

ssss

S

µO-CAF -5- 21

Acoplos directivos (II): interpretación física

⋅==

⋅==

⇒

⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=

⇒

=

= 1144

3

1122

1

0,,3341144

4342233

3231122

4142121

3414

3423

2312

1412

1 0

0

;

0000

0000

423asb

basb

b

asasb

asasb

asasbasasb

ssss

ssss

S

aaa

La potencia incidente por la guía 1 se distribuye entre las 2 y 4.

Coeficiente de transmisión: el mayor de los anteriores coeficientes.Coeficiente de acoplamiento: el menor de los anteriores. El nombre del tipo de acoplo lo da la relación en dB del coeficiente anteriorDirectividad: relación entre la transmisión y el acoplamiento.

1241

221 =+ ss

1: entrada

3: aislada

2: transmitida

4: acoplada

µO-CAF -5- 22

Acoplos directivos (III): cambio de plano de referencia

( ) ( )( )

( )

⋅⋅⋅⋅−

⋅−⋅⋅⋅

=−∆=⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

= −+

−+

0000

0000

;4,23,1;

0000

0000

11

jdjb

jdbdaj

bdajja

jbja

H

jdjb

jdjc

jcja

jbja

eAeBeAeB

eBeAeBeA

SSsiS

eAeBeAeB

eBeAeBeA

S

23143421 ; ssss ==

−=⋅+⋅−+−+=⋅+⋅

−=⋅+⋅−=⋅+⋅

δββγπββ

βββαββ

dll

bdallbllall

4433

3322

4411

2211

Si calculamos los elementos diagonales de SHS=I se llega a:

Que en forma módulo-argumental resulta una matriz de parámetros S:

Si desplazamos distancias l1, l2, l3 y l4 para simplificar la anterior matriz

Sólo pueden fijarse 3 fases:;

0000

0000

1

=

AjBAjB

jBAjBA

S

22;0

πγ

πβδα =⇒===

Conclusión: la puerta acoplada y transmitida se encuentran desfasadas 90º

µO-CAF -5- 23

Acoplos directivos (IV), aplicación: obtención de un desfasador variable.

=

010100001

010

21

1

jj

jj

S

Ψ=Γ je

ΓΓ= 0

01 j

jS

Acoplo 3 dB (híbrido 3 dB): divide de igual forma la potencia incidente entre la puertatransmitida y acoplada. La matriz de dispersión (fijando las fases como en 5.22

Cerramos las guías 2 y 4 por un pistón de cortocircuito variableOperando para una estructura cerrada por dos guías queda:

Si la antigua puerta 3 del híbrido se remata con una carga resulta3

3'ba

=Γ

( ) ( ) ( )''1

'' 22

3

3

1

1 Γ⋅=Γ⋅Γ−=

Γ

Γ==Γ +Ψ πje

bj

ajab

El coeficiente de reflexión en la puerta 1 es el que hay en la puerta antigua 3 desfasadola cantidad ( )π+Ψ2

µO-CAF -5- 24

Acoplos directivos (V): acoplo branch-line

• Circuito impreso con las puertas transmitida y acoplada en cuadratura de fase:– La potencia puede dividirse simétricamente entre las puertas transmitida y acoplada

(branch-line de 3 dB)– Puede dividirse asimétricamente entre las puertas transmitida y acoplada (con la

estructura branch-line no pueden conseguirse grandes acoplamientos >8dB)– Formado por cuatro brazos de longitud ?/4 e impedancias Z1 (horizontal) y Z2

(vertical)– Las variables de diseño para un branch-line arbitrario son Z1 y Z2

– Para el branch-line simétrico la matriz es:

−=

010001

100010

21

1

jj

jj

S

µO-CAF -5- 25

Acoplos directivos (VI): análisis de un híbrido branch-line

• Proceso de análisis: obtención de la matriz de parámetros S del híbrido una vez que se conocen Z1 y Z2– Aplicación de la definición de cada parámetro S.– Existe simetría geométrica y eléctrica: se puede aplicar modos par-impar

• Simetría simple (proceso seguido en esta transparencia, Pozar, 7.5): se reduce el octopolo a un cuadripolo, hay que analizar parámetros de transmisión y reflexión

• Simetría doble (proceso seguido en la siguiente transparencia, se aplica al diseño; Collin 6.4, pp.432-434): se reduce el octopolo a un dipolo circuital; sólo se analizan parámetros de reflexión

µO-CAF -5- 26

Acoplos directivos (VII): análisis de un híbrido branch-line

( )

( )

( )

( )oe

oe

oe

oe

b

TTb

TTb

b

Γ−Γ=

−=

+=

Γ+Γ=

21212121

4

3

2

1

0;0;0;00,,4

114

0,,3

113

0,,2

112

0,,1

111

321421431432

============ aaaaaaaaaaaa

ab

sab

sab

sab

s

2a

0

-a

a

a3

Salida

Te - To

Te + To

To

Te

b1

0

2a

a

a

a2

Entrada

s12, s13

SalidaEntrada

Ge - Go2a0(P-I)

Ge + Go02a(P+I)

Go-aaImpar (I)

GeaaPar (P)

b1a4a1Excitación

s11, s14Parámetro a hallar

• Proceso: – Objetivo:– Consecución de la excitación simétrica mediante una excitación apropiada en dos puertos tal

que su suma sea la que se pide en la definición– En todos los casos el parámetro de salida a medir es b1 del cuadripolo en que la excitación

par-impar ha convertido al octopolo.

µO-CAF -5- 27

Acoplos directivos (VIII): análisis de un híbrido branch-line

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

=

⋅

⋅

=

−−=

⋅

⋅

=

11

21

101

cossinsincos

101

11

21

101

cossinsincos

101

0

0

0

0

jj

YlljYljZl

YDCBA

jj

YlljYljZl

YDCBA

o

e

ββββ

ββββ

( )

( )jT

jT

o

o

e

e

−=

=Γ

+−=

=Γ

12

1

0

12

10

=

−=

−=

=

02

12

0

4

3

2

1

b

b

jb

b

µO-CAF -5- 28

Acoplos directivos (IX): diseño de un branch-line

• Objetivo: determinar las impedancias de las líneas que con un esquema branch-line consiguen un acoplo directivo con las puertas transmitida y acoplada en cuadratura.

• Proceso: se hace uso de la simetría doble que existe en el branch-line. Planos PP’-QQ’– Se reduce el octopolo a un dipolo circuital.– El único parámetro que se mide es b1 en función de las reflexiones con excitación

par-impar

µO-CAF -5- 29

G1 + G2- G3- G44a000(1+2-3-4)

G1 - G2- G3+ G404a00(1-2-3+4)

G4

G3

G2

G1

b1

Salida

s14

G4

G3

G2

G1

b1

Salida

s13

G1 - G2+ G3- G4

G4

G3

G2

G1

b1

Salida

s12

0

0

a

-a

-a

a

a3

0

4a

a

a

a

a

a1

Entrada

4a

0

-a

a

-a

a

a2

G4-a4)I (PP’)-I (QQ’)

G3-a3)I(PP’)-P (QQ’)

Salida

0(1-2+3-4)

G1 + G2+ G3+ G40(1+2+3+4)

G2a2)P (PP’)-I (QQ’)

G1a1)P (PP’)-P (QQ’)

b1a4Excitación

s11Parámetro

Acoplos directivos (X): diseño de un branch-line

Y1=v2 Y0; Y2= Y0 ; d1=d2=?/4

µO-CAF -5- 30

• Cuando dos líneas desprotegidas se encuentran sumamente próximas puede existir acoplamiento de potencia entre ellas.

• Se asume que operan en modo TEM (cierto para stripline y “casi” cierto para µstrip)

• Se puede buscar un circuito equivalente en constantes concentradas:

– C12 capacidad de las tiras en ausencia de plano de masa.

– C11y C22 capacidades de las tiras con el plano de masa.

• Simetría eléctrica y geométrica: aplicación de modos par e impar:

– Modo par: las corrientes en las tiras son iguales en módulo y dirección.

• Ce= C11= C22 ; Zoe=1/(vCe)– Modo impar: corrientes en las tiras iguales

en módulo y sentido contrario.• Ce= C11+ C22; Zoo=1/(vCo)

Acoplos directivos basados en líneas acopladas(I): teoría de líneas acopladas

µO-CAF -5- 31

Acoplos directivos basados en líneas acopladas(II): teoría de líneas acopladas, nomogramas

STRIPLINE MICROSTRIP

µO-CAF -5- 32

Acoplos directivos basados en líneas acopladas(III): teoría de líneas acopladas, nomogramas

w/b s/b

µO-CAF -5- 33

Acoplos directivos basados en líneas acopladas(IV): diseño de acoplos directivos

( ) ( )

0;21

21

121

1

;

4

2

22

23

22

222

==

=⇒=

−=⇒−−=

⋅=+−

=

PZV

P

ZV

CPCVV

ZV

CPCjVV

ZZZZZZZ

C

oin

o

o

oooeooooe

oooe

A muy bajas frecuencias ?<<p/2: V3=0; V2=VPara ?=p/2: V3 máximo; V2 mínimo y l=?/4

( )( )( )( )C

CZZ

CC

ZZ

ooo

ooe

+−

⋅=

−+

⋅=

11

11

µO-CAF -5- 34

Acoplos directivos basados en líneas acopladas(V): diseño de acoplos directivos

µO-CAF -5- 35

Uniones de cuatro guías: doble T (I)

µO-CAF -5- 36

Uniones de cuatro guías (II): simetría geométrica

=

=

4

3

2

1

4

3

2

1

;

bbbb

B

aaaa

A

⋅=⋅=

⇒⋅

−=

BTBATA

AA''

1000001001000001

'

ATSASTATSBTASBASB

⋅⋅=⋅⋅⇒⋅⋅=⋅⇒

⋅=⋅= ''

Excitación inicial Nueva excitación

Relación entre A’ y A

Como la matriz de dispersión es una (la doble T es una)

0;;; 14241212134422 =−=== sssssss

−

=

−

=

4

2

3

1

4

2

3

1

;'

bbbb

B

aaaa

A

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=jcjrjr

jrjbjnjm

jrjnjbjm

jmjmja

eCeReReReBeNeM

eReNeBeMeMeMeA

S

0

0

µO-CAF -5- 37

Uniones de cuatro guías (III): aplicaciones

• Se procede a cerrar las puertas 1 y 4 con cargas adaptadas: a1=a4=0 y atacamos por las puertas 2 y 3:

• Propiedad: Si en una doble T se cierran las guías que pasan por el plano de simetría con cargas adaptadas, la energía recogida es proporcional a la suma y a la resta.

• Haciendo uso del hecho de que la matriz S sea unitaria resulta:

• Luego la matriz de dispersión depende de 6 parámetros: A, C, a, c, m, r• Aplicaciones: adaptador a muy altas frecuencias.

– Carga a adaptar en una de las guías simétricas (2 ó 3)– Se cierran con pistones en cortocircuito 1 y 4.

( )( )32324

32321

aaeRaeRaeRb

aaeMaeMaeMbjrjrjr

jmjmjm

−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=

+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=

12

1222

22

=+

=+

RC

MA

µO-CAF -5- 38

Uniones de cuatro guías (IV): T mágica

• Si la doble T se adapta desde las guías 1 y 4 se dice que la doble T es una T mágica. De aquí resulta:– A = C= 0– B = N= 0– M =R =1/v2

• De donde la matriz de parámetros S de una T mágica tiene la forma:

• La T mágica mantiene las propiedades de la doble T pero, además, tiene propiedades de acoplo directivo donde: – la relación de amplitud es siempre de 3 dB– una salida se encuentra desfasada 180º respecto a la otra

−−

=

000000

00

21

jrjr

jrjm

jrjm

jmjm

eeee

eeee

S

µO-CAF -5- 39

01 2

011010011001

0110

2

ZZ

jS

⋅=

−

−⋅−

=

Uniones de cuatro guías (V): T mágica impresa, rat-race

1,S

24, ?

3

µO-CAF -5- 40

BIBLIOGRAFÍA

• Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill, 1992. (capítulo 4)

• David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second Edition 1998, John Wiley&Sons. (capítulo 4)

• Rafael Domínguez: Cuestiones Básicas de Electromagnetismo, Aplicación a la Técnica de Microondas. Consejo Superior Investigaciones Científicas.

• IEEE Transactions on Microwave, Theory and Techniques