problemas resueltos de cuadripolos

7/16/2019 Problemas Resueltos de Cuadripolos

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PROBLEMAS DE CUADRIPOLOS

1

PROBLEMA 1

Una instalación de telefonía está compuesta por un cuadripolo transmisor, ungenerador y un receptor

a) Calcular la impedancia del receptor de forma que reciba la máxima potencia b) Determinar dicha potenciac) Hallar los parámetros de impedancia del cuadripolo

ଵ ൌ 6 0 0 2 1 4 0 1 0 0 ൌ 2 7 4 0 1 0 0

ଶ ൌ 2 1 4 0 1 0 0 ൌ 2 7 4 0 1 0 0 ൌ

Zଷ െൌj16100

Sustituyendo la fuente de tensión por una fuente de corriente

ଵ ൌ ଵଶସାଵ ଵଵଵ

La impedancia de Thévenin es

ൌ ሺଶସାଵሻሺଵଵሻଶସଵ 2140 100 ൌ 4830 െ j265

Según el Teorema de máxima transferencia

ൌ ൌ 4 8 3 0 2 6 5

b) ൌ మସ ൌ ଵସ ସଷ ൌ 49 µ

c) ଵଵୀ214െ01600 ଵଶ ൌ ଶଵ െൌ 16100 ଶଶ ൌ214െ01600

PROBLEMA 2

1V 2V

´21

+

Z

Ω2140 Ω100 Ω100Ω2140Ω600

Ω16100V E º0/1=

1 21 I 2 I




2

1

1 1 I

1V 60Ω

50Ω

2

´2

2 I

2V

5Ω

54Ω

2

10Ω

30Ω 37Ω

2

50Ω 30Ω 37Ω

1

1 1 I

1V 60Ω 54Ω10Ω

50Ω1 I

1

1

1V 23,64

Obtener los parámetros de impedancia del cuadripolo de la figura

SOLUCION

Teniendo en cuenta las ecuaciones de parámetros de impedancia

ଵ ൌ ଵଵ ଵ ଵଶ ଶ

ଶ ൌ ଶଵ ଵ ଶଶ ଶ

Calculemos los parámetros de impedancia

ଵଵ ൌ భభ ቚ ଶ ൌ 0 este parámetro es la resistencia de entrada o resistencia de

Thévenin vista desde la entrada.

Este circuito es equivalente al

Así pues hallando las sucesivas equivalencias llegamos a que ଵଵ ൌ73,64Ω

ଶଵ ൌ మభ ቚ ଶ ൌ 0 Para hallar esta relación se resuelve el siguiente circuito

obtenido del inicial

50Ω 30Ω

1

1 1 I

1V 60Ω 9,01Ω

ଵ

+

50Ω 30Ω 37Ω1 1 I

60Ω 54Ω10Ω ଶ




3

5Ω30Ω 37Ω

ଵ00 ൩ ൌ 120 60 060 100 100 10 101൩ ൦ ଵଶଷ൪ Siendo ଶ ൌ 54 ଷ

ଷ ൌอ120 60 ଵ60 100 0

0 10 0อ

∆ ൌ0,000855 ଵ

ଶଵ ൌ 3,4Ω ଵଶ ൌ 3,4Ω

Para obtener la impedancia de salida del cuadripolo, con la entrada abierta seopera de la misma forma. El circuito visto desde la salida es

ଶଶ ൌ ଶଶ ቤభୀ ൌ29,84Ω

PROBLEMA 3

Calcular los parámetros de admitancia encortocircuitodeloscuadripolos Ay B

1

1

´2

1 I 2 I

1V 2V 6Ω

3Ω

6Ω

2

2

2

1

1

´2

1 I 2 I

1V 2V

3Ω

3Ω

2

1

60Ω

2

´2

2 I

2V 54Ω

2

10Ω

+




4

C Cuadripolo A Cuadripolo B

SOLUCIÓN

Teniendo en cuenta las ecuaciones de parámetros de admitancia

ଵ ൌ ଵଵ ଵ ଵଶ ଶ

ଶ ൌ ଶଵ ଵ ଶଶ ଶ

Cortocircuitando la salida del cuadripolo A se obtiene las siguientes relaciones

ଵଵ ൌ ଵଵቤ ଶ ൌ 0 ൌ 16 ଶଵ ൌ ଶଵቤ ଶ ൌ 0 ൌ 112

Cortocircuitando la entrada del cuadripolo A se obtiene las siguientes relaciones

ଵଶ ൌ ଵଶቤ ଵ ൌ 0 ൌ 112 ଶଶ ൌ ଶ

ଶቤ ଵ ൌ 0 ൌ 18

Cortocircuitando la salida del cuadripolo B se obtiene las siguientes relaciones

ଵଵ ൌ ଵଵቤ ଶ ൌ 0 ൌ 16 ଶଵ ൌ ଶଵቤ ଶ ൌ 0 ൌ 16

Cortocircuitando la entrada del cuadripolo B se obtiene las siguientes relaciones

ଵଶ ൌ ଵଶቤ ଵ ൌ 0 ൌ 16 ଶଶ ൌ ଶ

ଶቤ ଵ ൌ 0 ൌ 16

PROBLEMA 4

Consideremos un cuadripolo en T simétrico, esquematizado en la figura. Las

impedancias ଵ ଶ son respectivamente ଵ ൌ 5 ଶ ൌ െ 3 . Determinar

1º) La matriz de parámetros de impedancia

2º) La matriz de parámetros de transmisión

3º) El cuadripolo en π equivalente

4º) El cuadripolo en X simétrico equivalente

5º) La impedancia característica




5

ଵ ଶଵ ଵ1 2

1´ 2´

1

1´

2

2´

ଵଵ ଵଵ ଶ

6º) El dominio de pulsaciones para los cuales la impedancia característica es real

( Siendo ଵ una inductancia pura L=0,2H y ଶ un condensador C=10F)

1º ሻ ൧ൌ ሺ5 െ 3ሻ 33 ሺ5 െ 3ሻ൨

2º) Mediante la tabla de conversión sacamosൌ ଵଵଶଵ ଵ ଶ

ଶ ൌ 1 െ 53

ൌ െ ∆ଶଵ ൌ ଵଶ 2 ଵ ଶ

ଶ ൌ 53

ൌ െ1ଶଵ ൌ െ

1ଶ ൌ 3

ൌ െ ଶଶଶଵ ൌ ଵ ଶ

ଶ ൌ 1 െ 53

3º) El cuadripolo en π equivalente será

ൌ ଵ ଶ ଵ ଶଵ ൌ െ

ൌ ଵ ଶ ଵ ଶଵ ൌ െ




6

1V 2V

1 I 2 I 2

´21

1

Z

Z

R

C

ൌ ଵ ଵ ଵ ଵଶ ൌ െ 53

4º) Cuadripolo en X equivalente

5º

ሻ ൌ ට ൌ √ 56º) ൌ ඥ ∆ ൌ ට ሺ ଶఠ െ ሻ Para que sea real 10ଷ /

PROBLEMA 5

El cuadripolo en X de la figura se alimenta de una tensión ଵ senoidal. Lasimpedancias son iguales.

a) Calcular la diferencia de potencial ଶ cuando la salida 22´permanece abierta

b) Se conecta una impedancia entre 2 y 2´. Calcular la d.d.p. en estaimpedancia

c) Demostrar que si R es variable el cuadripolo actua como desfasador.

1

1´

2

2´

ଵ ଶ




7

2/1V

´22V

I

C V

RV

1 11V 2/1V

φ

a) De acuerdo con el circuito la tensión de salida en vacio es la mitad de latensión de entrada

b) La impedancia de salida del cuadripolo es

ൌ 2 െെ 1 La tensión en la impedancia de la carga

ଶଶ´ ൌ ଵ2

c) Si R varia la tensión de salida en vacio no varía en modulo porque es elradio de la circunferencia, solo varia el desfase con relación a la tensión dealimentación

PROBLEMA 6

Dado el cuadripolo de la figura

a) Determinar su matriz de parámetros mediante la asociación de dos cuadripolos encascada

b) Cual debe ser la frecuencia de trabajo para que la tensión de salía ଶ esté en

oposición de fase con

ଵ

c) En las condiciones del apartado anterior cuanto vale la ganancia de tensión




8

a) Matriz de parámetros del cuadripolo enT

ሾT௧ሿ ൌ ൦1 െ 1ଶ ଶ 21 െ1 ൪

Matriz de parámetros del cuadripolo en π

ሾTగሿ ൌ ൦1 െ െ

ଶ 1 ൪

Por razones de cálculo llamamos ൌ ଵఠ

Entonces la matriz de parámetros de transmisión del cuadripolo son

1 െ െ ଶ െ 21 1 െ 1 െ െ2 െ 1 െ ൩

ൌ 1 െ 5 ଶ ሺ ଷ െ 6 ሻ ሺെ4 ଶ െ ሺ3 െ ଷሻሻ1 ሺ3 െ ଶ െ 4 ሻ 1 െ ଶ െ 3

b) Tomando ଶ ൌ 0 . De las ecuaciones del cuadriolo se obtiene

ଵ ൌ ଶ por tanto ൌ /180º para ello 6 ൌ ଷ ଶ ൌ 6

ൌ 12 √ 6

c) En las condiciones del apartado anterior la ganancia es

2

2´1´

1

RRR+

CC C




9

ଵଶ ൌ െ1 5 ଶ ൌ െ1 3 0ൌ െ 2 9

PROBLEMA 7

Un cuadripolo tiene los siguientes parámetros:

ଵଵ ൌ 2 3 ଵଶ ൌ 3 ଶଵ ൌ 3 ଵଵ ൌ 3 3

Se pide hallar sus equivalentes en T y en π

SOLUCIÓN

Como el cuadripolo es reciproco ଵଶ ൌ ଶଵ el cuadripolo equivalente en T está

formado por tres impedancias ଵ ଶ ଷ

ଵଶ ൌ ଶଵ ൌ ଷ ൌ 3ଵ ൌ ଵଵ െ ଷ ൌ 2 3 െ 3 = 2

ଶ

ൌଶଶ

െଷ

ൌ 3 3 െ 3ൌ 3

El cuadripolo equivalente en T

Conociendo el equivalente en T podemos calcular el equivalente en π de

impedancias mediante las relaciones siguientes

ൌ ଵ ଶ ଵ ଶଵ ൌ 3 7 , 5

ൌ ଵ ଶ ଵ ଶ

ଵ

ൌ 2 5

1

1

´2

1 I 2 I

1V 2V

3

3H




10

iV A

A R

B R

O R

i R

´1 I

´´1 I

1 I

1 I

´2 I 2 I

´´

2 I

2 I

´´2 I

´´2V

´2 I

1V

2

2

1 2

´2

1

1

1

1

1 ´2

2

´´1 I

´2V iV

´1V 2V

´´1V

+

ൌ ଵ ଵ ଵ ଵଶ ൌ 5 2

Que representando esquemáticamente los valores resulta:

PROBLEMA 8

El circuito de la figura es un ejemplo de realimentación positiva con cuadripolosasociados en serie-paralelo.

1º Obtener los parámetros hibridos del cuadripolo de la figura, en función de los

parámetros hibridos de los cuadripolos A y B.2º Obtener la ganancia de tensión de cuadripolo resultante

El cuadripolo A es un amplificador operacional. El cuadripolo B es unaasociación de impedancias en paralelo.

Datos R B=200Ω R A=5Ω Ri=106Ω A=100 R0=3Ω

5 0,5F

1

1

´2

1V

21 I 2 I

2V

2

5H

3

7,5




11

Los parámetros hibridos directos del cuadripolo A son

ଵ´ ଶ´ ൌ 0െ 1

ଵ´ ଶ,

Los parámetros hibridos directos del cuadripolo inferior B son

ଵ´´ ଶ´´ ൌ െ

1

ଵ´ ଶ,

Como en esta asociación de cuadripolos se verifica que

ଵ ൌ ଵ´ ଵ´´ ଶ ൌ ଶ´ ଶ´´ Sumando los parámetros hibridos del cuadripolo A y B se obtienen las

ecuaciones del cuadripolo equivalente:

ቈ ଵ

ଶ ൌ

െ െ 1 1ቈ ଵ

ଶ

Como se puede comprobar este sistema realimentado es aproximadamenteequivalente al siguiente circuito.

iV A A R

B R01 = I

1 I

2 I

2 I

1V

1

1 2

2

iV

2V

+




12

Dado que la resistencia Ri es muy grande se puede sustituir por un circuito

abierto. Debido a que la resistencia R0 es muy pequeña se puede sustituir por un corto

circuito. De esta forma el circuito equivalente realimentado se simplifica con lafinalidad de obtener la amplificación

La corriente en R A es por tanto

ൌ ଶ ଶ ൌ ൌ ൫ ଵ െ ൯ ൌ ሺ ଵ െ ଶ ሻ

La ganancia de tensión directa es

ଶଵ ൌ Aሺ ሻሺ1 ሻ ൌ 100ሺ205ሻ5ሺ1 1 0 0ሻ 200 ൌ 20500705 ൌ29,078

PROBLEMA 9

Los parámetros de impedancia de una línea de transmisión son:

ଵଵ ൌ 1,024 . 10ଷ/െ89,345º ൌ ଶଶ ଵଶ ൌ ଶଵ ൌ1094,075/െ90,325º La carga en el extremo receptor es de 4000w a 230V con un factor de potencia

de 0,9 en retraso. Hallar la magnitud de la tensión y la corriente en el extremo

distribuidor

Tomar la tensión de salida en el origen

SOLUCION

400ൌ230 ଶ 0,9

cos ൌ 0,9 ൌ 25,84º La corriente a la salida es

2

2

1V

1 I 2 I

2V

1

1




13

ଶ ൌ19,323/െ25,84º ଶ ൌ230/0º

De las ecuaciones del cuadripolo se obtiene

ଵ ൌ ଵଵ ଵ ଵଶ ଶ ൌൌ 1,024 . 10ଷ/െ89,345º ଵ 1094,075/െ90,325º 19,323/െ25,84º

ଶ ൌ230/0º ൌ ଶଵ ଵ ଶଶ ଶ = 1094,075/െ90,325º ଵ 1,024 . 10ଷ/െ89,345º 19,323/െ25,84º

De este sistema de ecuaciones se obtiene la tensión y la corriente en el extremodistribuidor

ଵ ൌ180,85/െ24,86º

ଶ ൌ23

PROBLEMA 10

Un cuadripolo simétrico esta alimentado por una tensión E y la carga a la salidaes una resistencia de 6Ω. La resistencia del cuadripolo R2 es cuatroveces la resistencia R1. Obtener cual debe ser el valor de R1 para que la resistencia de entrada (vista desde laalimentación) sea tambien de 6Ω . Hallar las potencias a la entrada y en el receptor para

determinar la ganancia de tensión

.

SOLUCIÓN

Como ଵଵ ൌ ଵ ଶ ൌ 4 ൌ 5

Como ଶଶ ൌ ଵ ଶ ൌ 4 ൌ 5

ଵଶ ൌ ଶଵ ൌ ଶ ൌ 4

La condición de igualdad de impedancias implica la siguiente relación enfunción de los parámetros del cuadripolo

R1

R1

1

1

´2

1 I 2 I

1V 2V R2 Z




14

ൌ ට ൌ√25 ଶ െ 16 ଶ ൌ √9 ଶ ൌ 3 = 6

Por tanto ଵ ൌ ൌ 2 ଶ ൌ 4ൌ 8

La ganancia de tensión

ଶଵ ൌ ଶ

ଵ ൌ 1/2 ଵଵ ൌ 12

PROBLEMA 11

En el cuadripolo activo de la figura:

1º) Calcular las ecuaciones del cuadripolo activo en función de los parámetros deadmitancia.

2º) Dibujar el circuito conductivo equivalente al cuadripolo de la figura

3º) Obtener la ganancia de tensión en función de los parámetros del cuadripolo,

sin carga en la salida 2, 2´, siendo la tensión de entrada entre 1 y 1´ º0/501 =V

SOLUCION:

1º Calculo de los parámetros del cuadripolo pasivo

+

º30/202 −

Ω4

Ω− j2

Ω j2

1V 2V

1 I 2 I 2

´21

1

Ω4

Ω− j2

Ω j2

1V

1 I 2 I 2

´21

1

2V




15

Al cortocircuitar el condensador queda 12 I I −= . La corriente en el

condensador es nula

jV

V

I Y

24

102

1

111

+===

jV

V

I Y

24

102

1

221

+−===

La tensión en el condensador es la de salida del cuadripolo por lo que está enoposición a la corriente de entrada

j j jV

V

I Y

844

21

24101

2

222

−=

−+

+===

jV

V

I Y

24101

2

112

+−===

Calculo de los parámetros de cortocircuito

Por estar la salida y la entrada cortocircuitada

010 = I

Ω4

Ω− j2

Ω j2

2V

1 I 2 I 2

´21

1

+

º30/202 −

Ω4

Ω− j2

Ω j2

01 =V 02 =V

10 I 20 I 2

´21

1




16

º240/102º60/102º90/2

º30/20220 =−=

−

−−= I

2º El circuito equivalente con fuentes dependientes

3º Las ecuaciones del cuadripolo activo son:

2124

1º0/50

24

1V

j j I

+−

+=

º60/10284

4º0/50

24

10 22 −

−+

+−== V

j j I

Calculo de la ganancia de tensión:

º60/102º0/5024

1

84

42 +

+=

− jV

j

º60/102º0/50º45,29/22,0º63,85/45,0º63,85/94,8

422 +−==

−V V

º63,25/42,31º08´115/49,0º63,85/45,0

º60/102

º63,85/45,0

º0/50º45,29/22,02 −+−=+

−=V

PROBEMA 12

Una línea eléctrica suministra energía a un centro de consumo de P =25Mw con

un factor de potencia 0,85 inductivo, siendo el voltage a la entrada al centro ଶ ൌ127 K vLa línea se puede representar por un cuadripolo de parámetros

ൌ ൌ 0,9/0,02 ൌ 10ଷ

1

Ω4

Ω− j2Ω j2

2V

1 I 2 I 2

´2

1

Ω4

20 I 212V Y 121V Y




17

1º) Se pide calcular la tensión en el origen de la línea

2º) Calcular la potencia activa suministrada a la línea

En el extremo receptor de la línea se conecta un transformador cuyo esquema

equivalente esA cuyo secundario se le conecta la misma carga que en el caso anterior

3º) Que tensión existe en el origen de la línea, referida a la tensión en bornes dela carga

4º) Si el secundario del transformador está en vacio y a la tensión de 127Kv. ¿Cual es la tensión en el origen de la línea?

SOLUCIÓN

1º) Calculemos la intensidad en la carga

ଶ ൌ మ ୡ୭ୱఝ ൌ ଶହ ଵల

ଵଶ ଵయ ,ହ ൌ231,588Calculemos ଵtomando como referencia ଶ ൌ 127 10ଷ/0º ଶ ൌ231,588/െ31,78º

La tensión en el origen de la línea se calcula con las ecuaciones de parametros

ଵ ൌ ଶ ଶ ൌ0,9/1,146º 127 10ଷ /0º 192 / 80,35º 231,588/െ31,78º ൌ148,0496/13,92º kV

2º) Calculando la corriente en la cabecera de la línea y con la tensión obtenida se podra calcular la potencia en ella

ଵ ൌ ଶ ଶ ൌ 10ଷ 127 10ଷ 0,9/1,146º 231,598/െ31,78ºൌ180,54/6,61 A

ൌ 148,0496 /13,92º 180,54 /െ6,61 ൌ 180,54 /7,31º

ൌ 180,54 cos 7,31º ൌ 1790726,16

3º) Como el transformador está representado por un cuadripolo en L, calculamosla matriz de parámetros. Del cuadripolo se obtienen las ecuaciones:

3+40jΩ

1

1

´2

1 I 2 I

1V 2V 1200+j9000j




18

ଵ ൌ ቀభమ 1ቁ ଶ െ ଵ ଶ ଵ ൌ 3 40 ൌ 40,112/85,7º ଶ ൌ 1200 9000 ൌ/82,4º

ଵ ൌ ଶ

ଶെ ଶ

La matriz de transferencia será:

ሾ ሿ ൌ భమ െ ଵଵమ െ1 ൌ ቈ 1,0044/0,0144º െ40,112/85,7º 1,101 10ସ/െ82,4º െ1

Al conectarle a la línea el transformador estamos realizando una asociación decuadripolos en cascada. Así pues la matriz de transmisión será el producto de lasmatrices de transmisión de ambos cuadripololos

ሾ ሿሾ ሿ ൌቈ0,9/1,1459º െ192/80,35º 10ଷ 0,9/1,1459º ቈ 1,0044/0,0144º െ40,112/85,7º 1,101 10ସ/െ82,4º െ1 =

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