capitulo 14

5/9/2018 Capitulo 14

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Capitulo 14, ,

Sistemas pollfaskosINTRODUCCION

Un sistema polifasico esta formado por dos 0 mas tensiones iguales con diferencias de rase cons-tames que suministran energia a las cargas conectadas a las lineas. En un sistema de dos rases. 0bifasico,la diferencia de rase entre las tensiones es de 90~mientras que en los trifasicos dicha diferencia es de 1200Los sistemas de seis 0m as r ase s se utilizan a veces en rectificadores polifasicos para obtener una tensi6nrectificada pocoondulada, pero los sistemas trifasicos son Jos comunmente utilizados para fa genera-cion y transrnision de la energia electrica,SISTEMAS BIFASICOS

La rotaci6n del par de bobinas perpendiculares de la fig. J4-1(a) en un campo magnetico constanteda lugar a tensiones inducidas con un defase constante de 90. Si las bobinas tienen el mismo numerode espiras, los fasores de tension y las tensiones instantaneas tienen valores iguales, como se observaen sus diagramas respectivos en las Figuras 14-1(b ) y (c). .A A

B(0) (b) ("')

Fig. 14-1. Sistema bUROEI diagrama fasorial de tensiones de la Fig. 14-1(b) tiene como referenda VliN = = Vbob1nJQ: Y latension V AN = VboblR~' S i se unen lo s extremos A I Y B' de las bobinas constituyendo la linea N, elsistema bifasico esta formado por las tres lineas A, B YN. La tension compuesta entre las lineas 0 rasesA y B (tensi6n de linea) es superior a la tensi6n simple entre una linea y neutro (tension de rase) en el

factor Ji. que se ob tien e de la suma V .u= V AN + V BN = Vb o b f m a L 90 + VbobinaL180 =.J 2 VboblnJ135.SISTEMAS TRIFASICOS

Las tensiones in du cidas en las tres bobinas igualmente espaciadas de la Fig. 14..2(a) prescntan unadiferencia de rase de 120. La tension en la bob ina A alcanza el maximo en primer te rm in o, fu ego 10alcanza B y despues C; la secuencia en ABC. Esta secuencia es evidente a partir del diagrama fasorialcon su rotaci6n positiva en sentido contrario al de las agujas del reloj, ya que los fasores p a s a r a n pot'un punto fijo en el orden A-B-C-A-B-C' . " y tambien se ve e n el diagrama de tensiones iDs taDt4 . . ..de la Fig. 14-2(c) que los maxim os se suceden en e) mismo orden.

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( a )

SISTEMAS POLlFASICOS [CAP. 14

Fig. 14-2. Sisteme ttifasico

La rotacion de las bobinas en sentido opuesto dana lugar a la secuencia eRA representada en laFigura 14-3.

Fig. 14-3. Secuencta CBA

Aunque la maquina esquematizada en la Fig. 14-2(0) cs teoricarnente correcta, en la practica sepresentan Iimitaciones que se oponen a Sil utilizacion. Por ello, es el campo magnetico el que gira mien-teas que el devanado trifasico permanece fijo.La conexion de los extremes AI, B ' y CI [Fig. 14-4(a)] da lugar a un alternador en estrella, Conla conexion de A y B', B Y CI, C Y At en la Fig. 14-4(b) resulta un alternador en triangulo, .

V"",pl.

c

>-B B0'

(b)

En la conexion en estre!1a las corrientes de bobina y de linea son iguales y la tensi6n compues-ta entre linus J3 veces la tension simple de bobina. En la conexion en triangulo la tension compuestaentre Iineas es igual a la simple de bobina, pero Ia corriente de esta es 11ft veces la corriente de linea.(Vease Problema l4 A 2. )

En una y oua conexion las lineas A, Bye proporcionan un sistema trifasico de tensiones. El puntoneutro de la conexi6n en estrella es el cuarto conductor del sistema trifasico de cuatro conductores.


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CAP. 14] SISTEMAS POLIFASICOS 197TENSIONES EN EL SISTEMA TRIFASICO

La eleccion de una tension como referencia con un angulo de rase nulo determina los angulos derase de todas las demas tensiones del sistema. Como referencia se torna VBe . Los triangulos de las Figu-cas 14-5(a) y (b) representan todas las tensiones para las secuencias ABC y CBA.

VAH "'!' Vd120"VBe :;::: VL~VeA = V . . [ ?40< : >VAN " ' " (VdV3I/90"V a n ; ; ; ; ; ; (Vdva ){-aODVeN = = (VJV3Ji=-150"

VAJi ;::: Vd240"VBC = VLL !E_Ve A ; ; : : VdlZ0"Vloti = (VdV 3 }t -90"Vel" = (vdVSI{ l JO"VeN "= (VdV3 )/1501>

c B{a} Secuencia ABC (b) Secuencia eBA

F ig . 1 4 -5La tension del sistema es la tension cornpuesta entre cualquier par de lineas, A y B, Bye 0 C Y A.

En el sistema de cuatro conductores eJ valor de la tension simple 0 de rase de linea 3 : neutro es 1/J3 vecesIe..tension compuesta entre lineas. Por ejernplo, en un sistema trifasico, CBA, de cuatro conduct oresde 208 voltio~ la s tensiones cornpuestas entre lineas son de 208 voltios y las simples de linea a neutroson de 208/y' 3 0 120 voltios, Con la Fig. 14.5(b) se determinan los angulos de fase de las tensiones, Asi,V Be = 2 08L!r, V AB = 2 08 /2 4 0':', V CA = 208 /120c, VAN = 120/ - ~ , V BN = 120 /300 Y V eN = 120/150.CARGAS EQUILmRADAS EN UN SISTEMA TRIFASICO

Ejemplo I. Un sistema trifasico ABe de rres conductores y 110 voltios alimenta a una conexion en t rtangulode tres impedancias iguales de 5/45(; ohmios. Determinar las inrensidades de corriente en las lineas I ... Ia e Ie Ydibuja r ei diagrama fasorial,

l e AlA-A

VAB] 10/120"

5/45011l-B

~ JCA Vee110'240~ no&, lacIc-cFig.U6 Fig. 14-7

Se traza el esquema del circuito con las tensiones en Ia' forma indicada en la Fig. 14-6. Los sentidos positi-vos de las corrientes son los indicados en el diagrarna. Entonces,

lABVAB 110/120 ' 22/75 5 J7 + j21J2- Z 5 / 4 5

Ic '"Be 110/00 )_ 22/-45~ 15J55 - j15,55Z -5/450le A VeA 1 1 0 L 2 4 0

0 22{195 -21J2 - j6,7= = Z 5/460


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1 98 SISTEMAS POLIFASICOS [CAP. 14A plican do Ia prim era le y de Kirchhoff a cada vert ice de! triangulo de carga,

I A , lAB + lAC ~ 22L1_o 2 2 / 1 9 50 : : : ; ; : ; 38,1/45018 I. e A + [Be ~ -22/76" + 22L-45 3811/-750Ie le A + ICJ-l 22L195 22/-450 38.1/1650

EI diagrama Iasorial de la Fig. 14-7 represents las corrientes equilibradas en las lineas de 38~1 A, con an-gulos de fase de 120Q entre ellas,En una carga equilibrada conectada en trpngulo la tension compuesta entre lineas y la simple de fase:

son iguales y la corriente en la linea es )3 veces mayor que fa corriente en la fase,Ejemplo 2. Un sistema trifasico eRA de cuatro conductores y 208 voltios ali rnenta a una carga equi iibradaconectada en estrella con irnpedancias de 20 l - 30~ ohmios. Halla! las corrientes en las llneas y dibujar el diagra-rna faso rial, .

Ic-- C-!__-----...; ; ::; :;;~=::;:::~=~Fig. 14-8

S e traza el esquem a del circu ito y se escrib en en e J l as t en s io n es s imples e ntre l in ea y neu tro , u tihzan do laFig. 14-5(b). S e e ligen las co rrien tes ta l com o se ha sefia lado en la Fig. 1 4 -8 con re to rn o de todas e llas por elconductor neutro. En estas condiciones,

f A VAN 120/--900 6,0/-600~- Z 2Dl=_30Q

I E VaN 1 2 0 L 3 0 61OL60 0Z -20/-30QIe YeN 120/150

0 6,0/1800: : = : ~Z 20L~30oSuponiendo positive el sentido de 1 3 corriente en e! neutro hacia ia carga, se tiene

11\" :::::-(I....e- IB -r- Ie) = -(6 ..0/-600 + 6~0/60o + 6 ~ O / 1 8 0 C ) = 0EI diagrama Iasorial de la FIg. 14-9 represents las corrientes equilibradas de linea, estando cada una de elias

adelaruada respecto de la tension s imple correspondiente eo el angu lo de Ia impedancia respective.En una carga equilibrada conectada en estrella las corrientes en las linea! y en las lases son iguales.

La corriente en el neutro es cero F fa tension compues! entre lineas es .fi, mayor que la tension simplede lase. es decir, VL = .....3 VF.CIRCUITO EQUrvALE~lE l\10NOFASICO PARA CARGAS EQUILIBRADAS

De acuerdo con las transformaciones Y~ estudiadas en el Capitulo 12, un conjunto de tres impe-dancias iguales, Z.1 " en un a con exion en tr iangu lo equ ivale a un co njun to Zy de tres im pedancias igu alesconectadas en estrella, siendo Z y = (1/3}Z n' Entonces es posible un calculo mas directo del circuitoen estrella para cargas equihbradas trifasicas de cualquier tipo.


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CAP. 14] SISTEMAS POLIFASICOS 1 99El circuito equivalente monofasico unifilar esta formado por una fase del circuito trifasico de cua-

tro conductores, conectado en estrella de la Fig. 14-1Q, con una tension que tiene el modulo de la tensionsimple de rase y un angulode fase nulo. La corriente de linea calculada para este circuito tiene un a n -gulo de rase respecto del angulo cero de 1 a tension. POf tanto, las intensidades realcs de linea [.... IB e Ietendran un de fase, en adelanto 0 en retraso, respecto de las correspondientes tensiones simples de estem ism o A ngu lo .

A - - - - - - - - - . . . . .I V A NN ~ ~ - - - - - - - - - - - - ~ ~

B-------c - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~

Fig. 1 4-1 0. C ircu ito monofasico equiva len teEjemplo 3. Calcular las corrientes de linea del Ejemplo 1 por el metoda del equivalente monofasico.

Se dibuja el circuito unifilar y se seiiala con .1 . Ia carga, indicando quelas impedancias reales estaban conectadas en triangulo, La impedancia delequ iv alen te en estre lla es

Zy :::: Z _ : . l 3 : : : : (5/3)/450y l a te nsio n simple de linea a neu tro es 63.S~

VLN :::: VLtv's = 1l0/V3Entonces, la corriente en 1 3 linea es

VLN 63510.I - - I ex: - = ~811/ 450L - Z-5/3)/4563,5

Fig. 14..11Puesto que esta corriente retrasa respecto de la tens ion un angulo de 45, las corrientes de linea IJ!' I. e Ie

retrasan respecto de sus correspondientes tensiones, VAN' VBN Y VeN en 45_Los angulos de estas tensiones seobtienen del triangulo ABC de la Fig. 14-5(0). Seguidarnente se dan las tensiones simples de linea a neutro y lascorrientes correspondientes.

63,5/90063,5/ -30C. Is

38)/90Q - 45 :;;::38j1/4638,1/-300 - 450 ~ 38,1/-75038)L-1500 - 45


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20 0 SISTEMAS POUFASICOS [CAP. 14Ejemptil 4.

Un sistema trifasico ABe de tres conductores y 240 voltios tiene una carga conectada en triangulo conZ,u = = 10/01 ZBC = lOilO" YZc.( = 15!=-~g~. Obtener las tres corrientes de linea y dibujar el diagrama fasorial,

2401140" Z41l~I___j

Ic- C -~.;,,_-------------___.Fig. 1412 Fig. 14~13

Construido eJ esquema del circuito, Fig. 14-12, con las correspondientes tensiones, las corrientes de fase,com o se ve en la figu ra , so n indepen dien tes y vienen dadas po r

A pJican do la pr imera ley de Kirchhoff a los nudos de la carga se tienef A I,w l . .\c 24/120 :) 16/2700 38,7/108,PIa III ,1 + IBC -24/1200 "t" 24/-30 413~4!~45Ie = lei\. + len 1 6 / 2 7 00 24L-30~ 21J2L190~9 0

EJ diagrarna fasorial correspondiente se ha representado en la Figura 14-13.

CARGA DESEQUILIBRADA CONECfADA EN :ESTRELLA CON CUATRQ CONDUCI'ORESEn un sistema de cuatro conductores, por el neutro circulara corriente cuando la carga este desequi-

librada y la tension en cada una de las impedancias permanecera constante con el valor de la tensionsimple de rase 0 linea a neutro. Las .corrientes de linea son distintas y no estan defasadas 120.Ejemp10 5.

Un sistema trifasico C BA de CUd tro cond uctores y 20S voltios alimenta una carga couectada en estrell a conZA = 61.0,Zs = 6n9~y Zc = = 5/~5~. Obtener las Ires corrientes en las lineas yen e I ncutro. Dibujar el diagra-r na f as or ia l,

A, 120/-90'

- - " . JIA ~ 6~I~ -_..._-} NN

! ! 1 2 0 Q Q : _ . _ - _ ....~--- " "-\ 'J_____ 156,90B I A120 ..150"C -_.. VAN

Fig. 14-14 Fig.l4.-15


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C A P. 1 4 ] SISTEMAS POLlFASICOS 20 1S e con stru ye el esqu ema del circuito com o en la Fig . 1 4 -1 4 . S e aplican las ten sion es y se elig en las co rr ien -

tes com o se han dib u jado . Las in ten sidades so n in depen dien tes y vien en dad as po rVAN 120/-900 v., v-,IA = Z- = 6~ = 201-900 ~ In ~ y- = 20~; I e ; ; ; ; ; ; Z- 24/105 .~ 8 C

Por el co ndu cto r n eu tro circu la u n a co rrien te cu ya in ten sidad es la sum a de las in ten sidades de lin ea I .. ...IB e Ie.Suponiendo que el sentido positive de Ij\I e s hacia la carga,

IN = -(1A. + Iu + Ie) = -(201-900 + 20/0 + 24/105") = 14,1/-166,9EI diagrama fasorial es el represen tado en 1a Figura J 4 -15 .

CARGA DESEQUILIBRADA CONECfADA EN ESTRELLA CON TRES CONDUcrORES:S i s o la rn e n te hay tr es J in ea s A. Bye co nectadas a u na carga en estrel la desequ ilib rada , e l pu n to

com un de las tres im pedan cias de carga n o esta a t po ten cial del n eu tro y se design a po r la letra 0 enlu gar de N . Las ten sio n es en tre lo s extrem es 'de las tres im pedan cias pu eden vanar considerablementedesde e l valo r de la tensio n Simple com o se ve en el trian gu lo de ten sio n es que relacio n a to das las len-sio ne s del cir cu ito . T ien e particular in te res e l desplazam ien to a O>~desde N ; tension d e d e sp la z ami en todel neutro.

EjempJo 6.Un sistema trifasico, CBA. trifilar, de 208 voltios, tiene una carga en estrella con Z . . = 6~, ZB -- 6/30"

y Z c = 5/4 5 . Ob ten er las co rr ien tes de linea y la ten sio n en cada im pedan cia , C on stru ir e l tr ian gu lo de ten sio -ne s y deterrn inar la ten sion de desplazarniento de l neu t ro , V ON.

S e dib uja el esqu em a del circu ito y s e e lig en l as co rr ie ntesd e m alla II e 12 como en la Fig . 14 -16 . E I sistema de ecuacio-nes en fo rma malriciaJ en l as i n te n si da d es II e 12 es

[6~ + 6/30u -6}30v: [ I l l [208 /240(1]

-6L300 6/300 + 5 / 45c Id 208LOo

]A - A ~------- .....~208L2400

de do nde 1 1 = 2J,3g~1!:A e 1 2 = 26.5L-:::.~~.4" A . Las co -rr ien tes en las lin eas lA ' IB e Ie , co n el sen tido dado en el es-q u em a, valen

t, = I[ = 23,3a1J:.

18- B --..:--,----I'''~c - C ~- -- -- -- -- -_ "Fig. 1(16

Is = 1 2 ~ 1 1 = 26,5/-63,4" - 23,Ji l.Ll.:_= l S . , 4 S / - - - - 2 l Veo \\ \\\\\ \ \

I21.60---1P'f'!~.....L III//II

I,= -12 = 26,5/116.:6cLas tensio nes en las tres impedan cias v ienen dadas par

los productos de las corrientes en las lineas porIas impedan-cias correspondientes.

V , 4 0 = Z A I . . . = j6LQ:_)(23.3/261,1 J " ' " 139.8/261:1V BO = Z B I B = j6L30C>H 15 . 45L- 2,5" } = 92,7/27,5V co = Zc1c = { 5 l ' : ! S " )(26,5/116,6:} = 1 3 2 , 5 / 1 6 1 , 6 "EI diagrarna fasorial de estas Ires tensiones, Fig. 14-17,fo rm a un trian gu lo equilatero . E n la Fig. 1 4-18 se ba dib ujado

n uev arn em e este tr iangulo, aiiadien dc del n eu tro , co n 1 0 qu ese pu ede o b servar la tension de desplazam ien to V o . . .. . E s tatension puede calcularse utilizando cualquiera de los {res pun-lOS A. B a C y siguiendo la notacion convencional d el do bles ub in d ic e. U ti li za nd o el pun ta A se obtiene

VON - = Vo ... + VA. l I '= -J39.8j261,1" + 120L-90(J=28,1{32L

F i g . 1 4 - 1 7

c B

Fig. 1418


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202 SISTEMAS POLIFASICOS (CAP. 14CARGA DESEQUILIBRADA EN ESTRELLA CON TRES CONDUcrORESMETODO DEL DESPLAZAMJENTO DEL NEUTRO

En el Ejemplo 6 se ha obtenido la tension de desplazamiento del neutro VON en funcion de las ten-stones de carga. Si se deterrnina una relacion para VON independiente de las tensiones de carga, las co-rrientes y ten sion es b u scadas en el E jemplo 6 se o b tendran co n m ayo r facil idad, com o puede verse enel Ejernpio 7.

Para o bten er Ja tension VON se e scr ib en l as co rr ie nte sde linea en fun cio n de las te nsio ne s. e n las cargas y las A- - - - - - - - - - - - - - - - ~I l l .a drn itan cias de carga.

I A : : : V A u Y A' I l J : ; ;: : : ;V 1 w Y B' I c=Vcr ;Yc (1)A plican do aho ra la primera ley d e K ir ch ho ff en e l p un to 0,Fig. 14-19, se podra escribir

I A + I B + t, :::0 (2)o bien V AO Y A + V DO Y B + Vco Y c ;;:;;:0 (.1)Utilizando el diagrama de la Fig. 14-18 se pueden expresarlas tension es V .(O , V 80 Y V co en fu n cio n de su s ten sio n escomponentes,

c

-e Fig. 1419V A O = V A N + V " , O

Llevando (4) a (3) se tiene(V AN + V NO)Y A + (V BN + V. , u )Y J> + (VeN + V N O )Y ( "

V BO :;::: V B~ + V , , " Vc,'\I + V " ' O (4 )o (5)

de donde VAl\' Y A + V 13,'" Y B + VeN Y cYA + Y ll + v, (6)Las tensiones VAN, V BN Y VeN en la ecuacion (6) se obtienen de l triangulo de la Fig. 14-5 para lasecuencia dada en e! problema. Las adrnitancias YA' YBeY c son los reciprocos de las impedancias de

carga Z . .., ZB Y Zc. Por tanto, puesto que todos lo s term in o s de (6) 0 so n d ato s 0 se obtienen c on fa cil i-dad, puede calcularse la tension de desplazarniento del neutro y utilizarla luego para determinar lascorrientes en las l ineas ,

Ejemplo 7.Obtener las corrientes en las lineas y las tensiones en las

cargas del Ejemplo 6 por el metoda de la tension de desplaza-miento del neutro.

Observando la Fig. 14-20, ia ecuacion para la tension dedesplazamiento del neutro es

---~-----~-A

VONY~N YA -r - Y R . ' " , Y B - y ( _ , . , . Yc

YII. + Yll -r YcsiendoYA = Ij(6LQ:.} = O,1667~ = 0,1667

B cVB = 1 /( 6. 3 0" ) = 0,1667/- 30" = 0,1443 - ./0,0833Yc = 1 /(5 /4 5" } = 0 ,20 / -45:> =0,1 4 1 4 - jO,1414

y

YA + V B + Yc = 0 ,45 24 - jO.2247= 0,5 04 / - 2 6,5 "

V,I." YA .~ 1 2 0 L : : - 9 O C : (0,1667/0" I = 20/-90' =V B." Y B = 120/30" (0 , 1667 i~ - 3W ) =:W iW - 20VeN Yr ~120 . / 15W (0 , 20 .1 - 45 ') I = 24'1 0 5 " . - -6,2 + j23,2

_ . j2 0

Par tanto ,V> lN YA + VB, . . . .Y8 + vr....y( = 13,8 + j3.2 = 14.1/13)"

VON = 1 4 ,1 / 1 3 ,1 " /O,5D4 . ' - 26 ,5" =28,0/39,6"


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CAP. 14) 2 03Las tensiones V AO, V so Y Veo se obtienen a partir de Vso y de la correspondiente tension simple de linea a

neutro,V,(O = V AN + V "o = 1 20/~ 90 - 2 8,0/3 9,6 = 139,5L26tX'V BO = V BN + V NO = 1 2 0L J,O - 2 8 ;0 1 19 .6 " = 9 2,5 /2 7,1 [ )V co = V elV + VNO = 1 2 0/1 5 0 - 28,0/39,6 ::! 132.5/16!,45C,

Las corrientes en las lineas se obticnen facilmente de las tensiones y correspondientes admitancias de carga:r, = VAO Y.. ;: 139,5a1.1 (O,1667~) :=; 23,2~61,1Is = Vso YB = 92,5ilL..r.(Ojl667j-300} = 15,4[-2,9"Ie = Vco Y c = 132 ,5 (161 ,4 50 (0,2 0/-4 5" ) = 2 6 ,5 / t 1 6 ,4 5

Las corrientes y tensiones anteriores estan de acuerdo con las obtenidas en el EjempJo 6.

POTENCIA EN CARGAS TRIFASICAS EQUILIBRADASComo pO T las impedancias de las rases en cargas equilibradas, triangulo 0 estrella, circulan corrien-

tes iguales, la potencia por fase es un tercio de la potencia total. La tension entre los extremes de la im-pedancia ZA! Fig. 14-21(a), es la te ns io n c ompu es ta e ntr e l in ea s y 1a corriente es Ia corriente de fase. Elangulo entre Ia tension y la intensidad es el de la impedancia. Entonces, la potencia par fase es(7)

(9)

y la potencia totalr- = 3VLIFcos ()

Puesto que en las cargas equilibradas en ~, h= .j31F,r,= fi VLILcos 0

(8)

Por las impedancias conectadas en laestrella de la Fig. 14-21(b)circulan las corrientes de linea y la tension en Z r es 1a tens ions imple de fase. EI Angulo entre elias es el de la impedancia. En-tances, la potencia por Case es

(a.)

(10)y la potencia total

PT = 3VFhcos (jPuesto qu e VL = fiVE!

PT =fiVf.h co s 0

(I1)( h )

(I2)

,. . (9) ~2) so n identicas, por tanto, la potcncia total e n c u u lq u ie r carga trifasica equi-Las ecuaciones y . do eel an ulo de la impedancia de carga 0 el A n gu lo en unalibrada viene dada po r 3 VLh cos 0, sien . ggas equiHbradas sean alimentadas pOT e) mismoimpedancia equivalente en el caso en que vanas carsistema.. ttl S Y la potencia reactiva total QT estan relacionadas con Pr, como seLa potencta aparente 0 aT.. . f 'via en el Capitulo 7. Por consiguiente, una carga trifasica equihbrada nene unas potencias ac iva, apa-rente y reactive, que vienen dadas por

P T = v '3 V 1. I I,cos e (/3)


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20 4 SISTE MAS POLlFASJCOS [CAP. 14VATIMETROS Y CARGAS EN ESTRELLA CON CUATRO CONDUcrORES

Un vatimetro es u n aparato d~ m edida co n un a b ob in a de tensio n y o tr a d e in te nsid ad , d isp ue sta sde fo rm a qu e la desviacio n es proporcional a V I co s e , en do nde e es el angulo en tre la tension y la in -ten sidad. U na carga co nectada en estre lla, co n cu atro co ndu cto res, necesira tr es v atim e tr os d is pu es to sen cada linea como muestra fa Figu ra 14-22(0).

;!;:

A ----~t-4' W A

c

. . . .Ic~

. w _ _ ]

(a) (b )Fig. 1422

El diagram a faso r.al de la Fig . 1 4 -2 2{b ) su po n e qu e la co rrien te esta retrasada en la fase A y adelan-tada en las fases By C , co n de fases 0 1 1 ' ()B Y O c r espectiva rn en te. La s le ctu ras del va tim etro so n. en to nces,

IV B = V!LV I H cos ~ B '" , (14)en do nde 4 - .A A 'N represen ta e l an gu lo en tre V A N e 1 14 E J v a tim e tr o fV A lee la po ten cia en la fase A y los, , ,VB Y We, en las fases B y C . La po tencia to tal es

(15)

METODO DE LOS DOS VATI]\ttETROSLa po ten cia to tal en un a carga trifasica co n tres co ndu cto res vien e dada po r la sum a de las lectu ras

de do s vatim etro s co n ectados en do s lin eas cu alesqu iera co n su s b o b inas de ten sio n co n ectadas a [atercera linea. como se represents en la Fig, 14-23 . Las lecturas de lo s dos aparatos son

T V = V I cos XABA ,IB 1\ Lt-.~ v 1.17 - V I CBt'Y C - en c co s 4 :C (16)A plicando las leyes de K irchho ff a lo s n udes Aye de la carga en tr iangu lo se ab tien e

c (17)


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CAP. 14J S[STEMAS POLIFASrCOS 2 05S ustituyen do las expresio nes (17) de IA e Ie en las ecuacio nes (16) se ob tien e

Ves i:os (tA + Ven ICB COS '(lB (18)L ' , V I )(AB V J C6 ' dio s te rr mn os ...t8 AB co s .,..AB Y CB CD COS 4CB se reco nocen m rn e iatam en te, ya qu e son las po ten -cias en las rases A B y CB de la carga, Lo s o tro s do s term in o s con tien en VABIAc Y VeBIcA qu e pu ed enescrib irse aho ra co mo VLi)lc, ya q ue tan to VAB como VCB so n ten sio nes co mpu estas en tre lin eas, e lA C =l e A ' Para iden tificar esto s do s term in os se co nstru ye el diagram a faso rial de la Fig. 1 4 -2 4 , en que se hasupuesro que la corr iente lAC r etr as a r es pe ct o de V A.C un Angu l o e ,EI diagram a se deduce,

y (19), ,

S um ando lo s do s terrn in o s restan tes de (1 8) y su stitu yen do (6 0 + 0) y (60" - G) en lugar de 4AA~y 2 " ~ A respectivarnente,V r _ .lAC cos (600 + 8 ) + V L lAC cos (600 -6)C omo cos (x y) = cos x co s y + se n x se n y, se pu ede escrib ir (20)

V L lite (COS 60 0 co s 0 - se n 60


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2 06 SISTEMAS POLIFASrCOS [CAP. 14S ustitu yendo en (2 3),

WA :;;;: VABIAcos(30o+0} y (25)S i el metoda de lo s do s vatim etro s se u til iza co n cargas equilibradas, l as 1 ec tu ra s so n VrJL co s (3 00 + e)

y VL IL cos (300 - 8) en donde 0 es el angulo de la impedancia. Ambas lecturas se pueden emplear parahallar el Angulo f l.Escribieodo la expresion de WI y teniendo en cuenta la formula del coseno de la suma de dos an-gules, se obtieneW 1 V L I L (cos 300 cos f) - sen 30 sen 0 )

VL II. (cos 30 co s 0 + se n 30 se n 0)(26)(27)nalogamente.

Por tanto, la suma vale Wl + Wz=j3VLh cos {}y la diferencia Wz - W i - V1lLsen 8.de do nde tg B (28)

En consecuencia, la tangente del angulo en Z es J3veces la relacion entre la diferencia y la sumade las lecturas , Sin conocer las lineas en las que estan colocados 105 medidores ni la secuencia del sistemano es posible distinguir entre + f J y - O . Por el contrario, si se conocen am b as ca sa s, p ue de de te rm in ar seel signa por las expresiones siguientes. Para la secuencia ABC~tg 0 v a W A - W B v a ~ W B - lVe V 3 We - WA (29)WA TWa W B + W e We + WAy para CBA, V 3 Ws - WA v '3 ! 'V c - Ws v a WA - Wetg (j (30)W B + W A We + WI:! WA + We

Problemas resueltos14-1 Demostrar que la tension compuesta entre lineas VL enun sistema trifasico es fi veces mayor que la tens ionsimple de fase 0 de linea a neutro VF

En la Fig. 14-26 se representan las tensiones del sistema tri-fasico en un triangulo equilatero en el que la longitud de un ladoes proporcional a la tension compuesta V L y el punto neutro Nesta en el centro del triangulo,

La tension simple tiene como proyeccion horizontal el valorVf cos 30o~0 sea. Vj3;2. Puesto que la base es el doble de dichaproyeccion,

I : - r, ' ..... ~r - - - - - v,Y3Fig. U-2:6

14-2 Calcular las intensidades de corriente en los devunados a plena carga para conexion en trianguloy en estrella, en un alternador trifasico de 25 kVA a 480 voltios, 'En la conexion en estrella la corriente en la linea yen el devanado son iguales, En un sistema trifasico equi-librado,

y S{kVA)h : := ~ _ ,_ ;. -- -/3VL X 10-.1 = 30,]v '3 (480 X lO~3}25EI alternador con conexron ell triangulo y de la misrna potencia aparente (k:VA) tiene tambien corrientes

a plena carga de 30.1 A. Las corrientes en -losdevanados son Irlv'3. PDf tanto, lbobinl = 30,11J3 = 17,35 A.


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CAP, 14] SISTEMAS POLIF ASICOS 2 0714-3 Un sistema bifasico con una tension simple de fase de 150 voltios alimenta a una carga equilibra-

da, conectada en triangulo, con impedancias de 10/53 ,10 ohmios. Hallar las intensidades en lasIineas y la potencia total.

En un sistema bifasico las dos tensiones sim-p le s tie ne n u na d ife re nc ia d e fase de 90 0 P or ta nto ,si V aM se torna c omo r e fe r en c ia , V.u esta a 9O Q, comose observa en la Fig. 14-27. La tension compuestaentre Iineas es igual a fiveces la tension simple delinea a neutro. Por consiguiente, VA.=fi(150) =2 12 V . Las corrientes en la s fases so n

Y.u 212~ 0I.u =Z 10L53110 = 21.2~VAIN 150~ o

IA N =Z 1O/53.P = 15,0/36.9VBN 150~_ 0 -5 0IBH =Z1 0/5 3 ,1 0 - 1 5 , I 3 ,1

Las corrientes en las l i neas se ob tienen a partir de las de fase si n mas que aplicar la prirnera ley deKirchhoff a los nudos de la carga en triangulo. Si se admire como sentido positive-para estas corrientes el sen-tido hacia la carga, se tiene

Fir. 14n

I" = IAN + lAS = 15,0/36,90 + 21 .2 /81 ,9" = 33 ,5 ' /63 ,4 18 = IBN + IBA = 15,0/-53,1" - 21,2/~~= 33,6/-79,7lH = IN A + IN B = -15,0/36,ge - 15,0/-53 ,1 = 21 .2 /171 ,86; -

La po ten cia to ta l se o btien e u tilizando la co rrien re eficaz en las im pedanciasPAB =Rlill = (6 ) (22 ,2 )2 =270 0 WPAN = R/~l ' i = (6)(15,O}l = 13 50 WPBN = e n . ; ; (6}05,Of~ = 1 35 0 W

Potencia total = 5400 W14-4 Un sistema trifasico ABC con tres conductores a 100 voltios alimenta a una carga con conexi6n d

e impedancias de 20/450 ohmios. Hallar las intensidades de corriente en las lineas y dibujar eldiagrama {asocial. .Se aplican las tensiones cornpuestas entre Iineas de secuencia ABC al circuito dado en la Fig. 14-28. En-

to nces, l as co rrien te s e Jeg id as so nV AB

lAoS = Z lac ~

JA,- A --------

100/240" l O O I ! L

Fig.l.f.-28

VaeZ 5,0/195

\.

Fig. 1429


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2 08 SISTEMAS POLIFASICOS [CAP_ 14Para obtener las corrientes en las lineas (vease el esquema del circuito) se aplica la primera le y de Kirchhoff

a cada uno de los nudes principales de la carga, Por tanto,L = Lp + lAc = 50175 u - 50 /195" = 8-6674Y 'J ' I . . . . . , . J~_ 'J~ .,..........__IB = I l iA + IBc = - 5 , 0 / 7 5 0 . + 5,0/-45" = 8,66/-7S!J5,0/t95" - 5,0/-45" = 8,66/165- - _ ~

El diagrarna fasorial de las corrientes de fuse y de linea se representa en la Figura 14-29,

14-5 Determinar las lecturas de los vatimetros al aplicar el metoda de los dos vatimetros al circuitodel Problema 14-4.

Con una carga trifasica de tres conductores las lecturas -del vatimetro sony (1)

en donde 8 es el angu lo de la impedan cia de carga. En el Pro b lem a 14 .4 , V L =100 V, IL = 8,66 A y c l a ng u-10 de la impedan cia de carga es 4Y. Sustituyendo estes valores en (1) resultaW i = lOO(g,66) cos (30" + 45") = 86 6 CO~ 75 " = 2 2 4 WW1 = 1 0 0 ( 8 , 6 6 ) cos (30 " - 45 '--) = 8 6 6 cos (-15') =8 36 W

La potencia total tS Pr = WI + w2 = 1060 W.C om o com pro bacio n , se puede ca lcu lar la po ten cia to tal en cualqu ier carga trifasica equ il ib rada po r

P =,/3JlL IL cos 0 = . ,./3100(8.66) cos 45} =1060 W

14-6 Se conectan en estrella tres irnpedancias identicas de 5 L - : : : 30:>ohrnios. EI sistema es trifasico, detres conducto res, 15 0 vo hios y sccuencia CEA. D eterrn inar las in tensidades de co rricn te en laslineas y dibu jar el diagrarn a faso rial .

IA,-A------------,, VAN

IVBNIJc- C . . .L ~---====:::::;:::::::::..J V A . . . .

F i g. 1 4 30 F ig . 1 " 3 -1

E n sistem as equ ilib rado s de tres conductores, conecrados en estrel la, sc pu ede an adir c l co ndu cto r neutrc,en la fo rm a represen tada en la Fig, 1 4 -3 0. Las ten sio n es simples de modu lo

se aplican con los angu lus de tase de la secuencia CBA. Las corrientes en la s lineas sonVASZ

866f-ftOO,~ = 17.32/-60;5 L -300 . VI I J " . 1 " '" 3 2 ' (' 0 ': ;'IJ ::::: ---::= I 'UZ j L::::...::::._ I v c: xIe ::= -.---ZEI diagra rn a faso rial de la Fig 14 -3 ] rn u estra el con ju n to de las co rrien tes de lin ea equ ilib radas con 3 0"

e n a d el an t o respecio de las ten sio n es sim ples de lin ea a neu tro , el cu a! correspcnde 3 .1a ng ul o d e l a im pe da nc ia .


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CAP. 14] SISTEMAS POUFASICOS 2 0914-7 Detenninar las lecturas de los vatimetros si se aplica el metodo de los des vatimetros a1circuitode l Problema 14-6 .

C o n carg a trifasica equ ilib rad a,WI = V L Ii. co s ( J O G + 0) = 150(17,32 ) co s (30 + 30Q) =13 00 WW1 = VL It cos (30" - 0) = 150(17,32) cos (30-_ ; - 30~)=2 600 W

La po ten ci a activa total es Pr- = = W1 + W2 = 3900 W.Como cornprobacion, se pucde calcular la potencia por tase P .. - = R I l = 4,33(J7.32}.:.l. = 1300 W y, por

tanto, Ja potencia activa total esPT = 3P j. = 3(1300) = 3 900 W

o b ien , co n cargas trifasicas equ ilib radas, la potencia activa to ta l esP = J3 V L IL cos e = J3050) (17 ,32 ) cos {- 30 ) = 3900 W

> 14-8 Tres impedancias identicas de 15130ohmios se conectan en triangulo a un sistema trifasico,de (res conductores. 200 voltios y secuencia ABe. Hallar las intensidades de corriente en lasl in e as u til iz an d o el metodo del e qu iv al en te m o no fa sic o,

Como la carga esta conectada en triangulo se obtiene primeramente la impedancia equivalerue de la carwga con conexion en estrel la: .

Zy = Za/3 = 15/30013 = 5/300 A

VLN = Vl./VS :::: 200/V3 ~ 115;5E l modu lo de la ten sio n simple de linea a neutro es

A hora b ien , en el circu ito equivalente monofasico de laFig. !432 la tension aplicada es 115.5Jt. voltios y lacorriente resultante es

V1 N 1l5,5~I s . . =z~~ ~ 23,1/-30Para o b tener las in ten sidades de co rr ien te en las lin eas lA ' IB e Ie se determ ina en prim er Iugar e l a ng ul ode fase en las correspondientes tensiones simples de linea a neutro en !a secuencia ABC Puesto que VAN tiene

un angulo de goe, J.. . .= 23.l/90~ - 30~ "" 23.1.608 A. De iguaJ forma, IB = 23, 1 / ~ 60" A . Ie = 23 ,1/1800 A.Las corrientes en las impedancias en ~ estan relacionadas coplas corrientes de linea por IL = .j3lf' de

donde IF = 23,1/.,/3 = 13J A. "EJ an gu lo de V AB en la secuencia A Be es de [2 0 y, p or tan to , lAB = 1 3,3 /1 20" - 30 = 13,3/90) A . Po r

el m ism o pro cedim ien to , Is c = 13,3 i - 30~ A e Ie....= 13 .3 /21O c A.

F ig .1 .. ..3 Z

14-9 Tres impedancias iguales de l0L300 ohmios, conectadas en estrella, y, otras tres impedancias tam-b ien igu ales de 15 /0" ohrn io s, igualrnen te en estrella, estan un idas a u n m isrn o sistema trifasico,de (res conducto res, de 2 5 0 vo ltio s. H allar la po tencia to tal.

Puesto que ambas cargas estan conectadas en es-tre lla, su s irnpedancias de fase pueden p on er se d ir ec ts -mente en un circuito equivalente monofasico, como serepresen ta en la Fig, 14 -3 3. La tensio n aplicable a dichosistema monofasico es

10/30 15LQ:

La co rriem e Ilen e una iruen sidad, oues,14 4 15/0 0 144,5LQ210(300 + 15~ -Fig. 14-33


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21 0 SISTEMAS POLIFASICOS [CAP, 14En Ja formula de la potencia activa P = v f 3 VL IL cos e , ( } es el angulo de la impedancia de carga equi-valente, AI calcular Iv se han considerado arnbas cargas y se ha vista que la corriente retrasa respecto de la

tension un angulo de 18,1, Por tanto, se sabe que la impedancia equivalente es inductive y tiene un angulode 18,1". En estas condiciones,

p ~ v '3 VLhco s 8 ::::;V3 250(23,2) co s IB~JO ::::; 9530 W14-10 Tres impedancias identicas de 12/30 ohrnios, en triangulo, y otras tres identicas de 5/45Q ohmios,

en estrella, se unen al mismo sistema trifasico, de tres conductores, de 208 voltios y secuenciaABC. Hallar las intensidades de corriente en las lineas y la potencia tota l ,

Como la primera de las cargas esta conectada en triangulo, se obtiene la equivalente en estrellaz, ~ Zt..l3 = 12(30 /3 = 4/300

Con una tension com~esta entre lineas de 208 V la ten-sion simple es 208/J3 = 120 V.

EI circuito equivalente monofasico es el representadoen la Fig. 14-34 con las dos irnpedancias de carga 4/30 ny 5/45'0 n. Estas impedancias pueden ser sustituidas poruna equivalente. 120i.':

4@O (5~O}4/30 + 5/45 j

Con esto, la corriente esVI,!>. 'z., = 120~2,24[36,60

Fig. 1434= = 53,6/-36,60

La ten sio n V 1 1 1 ' 1 e n l a s ec u en c ia ABC ti en e u n angulo de fa se d e 9 00 Y . por consiguiente, IA = 53 ,6!(90(} - 3MO} =53,6/53,4 A. Analogarnente, vemos que IB = 53 ,6 1 - 66,6 A e Ie = 53,6(-186,6 A.---- 'La potencia activa total es

p ;;;;;:3 V 1. IL cos ~ ~ V 3 208(53 ,6 ) cos 36,60 = = 15.500 W '14-11 Un sistema trifasico de tres conductores, 240 voltios y secuencia eBA alimenta a una cargaconectada en triangulo en la que ZAB = 25/90, Z B C = 15/30 Y ZCA =2 0 L ~ r : } ohmios. Hallar

las intensidades de corriente en las lineas y la potencia total.Aplicando las tensiones cornpuestas entre llneas de la

secuencia CBA a la carga conectada en triangulo de laFig. 14-35 y eligiendo las corr ientes de fase como se ve enel esquema. se tiene

V A liZA8V rICZBCV eAleA -;;:: ZrA

240/1200240/2400::;;;; 25190240~15/300

240~ = = 12,0/120020~

c ~ ~ - - - - - - - - - - - - ~ = = ~Fig. 14-35

Las corrientes en las llneas pueden calcularse, ahora, en funcion de las corrientes en las fases,I A ; ; ; ; ; lAB + lAC 9.6!1500 - 12/1200 6.06L247~ 71 1 1 ;;;; ltiA + Tile -9,6/1500 + 16/-30 ~ 25,6/-30Ie : : : : : : : leA + Ica 12/1200 - 16/-30Q = = 27,103712 0

Como era de esperar, en una carga desequilibrada las corrientes en las Iineas no son iguales,

\ . . . . . . . . -


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CAP. 14] SISTEMAS POLIFASICOS 211La potencia en cada rase se calcula de la manera s iguiente :

Irnpedancia ZAB = 25/900 = 0 + }25 fl, R" ,B = 0 e I A .8 ... 9,6 A. Entonces,PA S = = R"'BJ~B = (0)(9,6)2 = 0

Impedancia Zac = 15/30 = 13 + j7,5 n, Rae = 13 n e I BC = 16 A. Por tanto,PBC = RllCJ~C = (13)(16)1 = = 3330 W

Impedancia ZCA = 20/0 = 20 + jO n~CA = 20 Q e leA = 12 A. Por tanto,PCA = R()J~A = (20)(l2}i = 2880 W

La po tencia to ta l es la su rn a de las po tencias po r faseP r = P 4.8 + Poc + PeA = 0 + 3330 + 2880 = 6210 W

14-12 H allar las lectu ras del vatimetro cuando se u tiliza el metoda de lo s do s vatimetro s en el circu i-to del Problema 1411, con medidas entre las Iineas (a) A y B, (b) A y c.(a) Con los vatimetros en A 'I B,

AC(1) WA ~ V AC 1A COS 4 .4

Del Problema 14-11, VAC = 240/-60" V, IA = 6,06.247,T' A. Entonces, el angulo 4~ces el anguloentre 247,7() y -60, 0 sea, .52,3" ' . Sustituyendo en (1),W . . t = 2 4 0( 6,0 6) c os 5 2 ,3 " = 890 W

Tambien, del Problema 14-11, VBe = 240/0 V e I B = 2 5, 61 - 30D A. Entonces, t:i = 30::'. Sustituyen-do en {2),

Wg = 240(25 ,6) co s 3 0G ~ 532 0 WLa po tencia to tal es PT "'" W....+ W fl = 89 0 + 5 3 2 0 = 6210 w.

(b) Con los vatimetros en las llneas Aye.AB(9) W A ~ VA81.4. cos 4A ca( .4) We = Vcs1cCOS4C

Del Problema. 14-1 I, VA B

= 240/240. :0 V< Como I . ...= 6,06/247,7c A, 4 1 / = 7,7~, Sustituyendo en (3),WA = 240(6,06) cos 7.JC = 1440 W

Del rnismo modo, VCB ;;= 2 40 /1800 V e Ie = 21,I137,2: A, de donde ~t e= 42,8. Sustituyendo en ( 4 ) .We = 240 (27 , 1 ) co s 42 , 8 ( ; = 4770 W

Y la potencia total, PT = W...+ We = 1440 + 4770 = 6210 W.14.13 Un sistema trifasico de cuatro con ducto res, 2 08voltios y sccuencia ABC alimen ta a una carga

en estrella en la que ZA = lO~ , ZB ;:: 15/30~Y Zc = 101- 30 ohm io s, H allar las in ten sida-de s de co rrien te en las lineas, la del neutro y lap oten cia to tal.

Aplicando at circuito las tensiones simples de l inea. a n eu tr o d e la se cu en cia ABC, co mo se v e e n la F ig . 1 4 -3 6,Y supon iendo positive eJ sentido de las c or rie nt es b ac iala ca rg a, se tie neIr\ - VAI. ; IZA (120/90 }j(lQLQ.:J = 12/90

A - - ~ - - - - - - - - - - - - - - ~ ~I 120190'N-.~------~~~~1'2o~gB

120L-150"I n V B N I Z B (120/-300 }j,15/30o }= 8/-600 CIe V C N J Z C (120/-1500 )/(10/-300 )

12/-1200 Fig. 14p3&


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212 SISTEMAS POLlFASICOS [CAP. 14La corriente en el neutro es el fasor suma de lo s correspondierues a las intensidades de linea y S 1 et sentidoposit ivo es hacia la carga,

IN ;;;;;; -(JA + III + Ie) ;;;; -(12/900 + 8/-600 + 12[-1200) ;;;;;;5.69L69.d._La irnpedancia ZA = 10 + jO n es atravesada por Ia corriente I....12L90~ A Y la potencia en esta fase

de la carga es PA = 10 ( 12 ) 2 = 1440 W. Por la irnpedancia Z s = ISdQ: . = 13 + j7,5 Q circula la corriente18 = 8 L - 60" A y la potencia en la fase es Pfj = 13(8fl; = 832 W . D e igual fo rm a, po r Zc = 1OL=_30 " =8,66 - j5 Q c irc ul a Ia c orr ien te Ie = 12 [~ 12 0~ A Y Pc = 8,66(12}; l = 1 2 4 7 w .La po ten cia to tal es P r = P A . + P H + P c = 1 4 4 0 + 83 2 + 1 2 4 7 = 3 5 1 9 w .

14-14 Las impedancias de carga del problema anterior se conectan a un sistema trifasicode tres con-ductores, 208 voltios y secuencia ABC. Hallar la s intensidades de corriente de linea y las tensionesentre los extremos de las impedancias de carga.

A~:--------...., A

Bi------'1 2 0 8 ~c ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

208[120"

Fig. U-37 Fig. 14-38En el circu ito de Ia Fig. 1 4 -3 7 se ha n puesto las do s tensiones com puestas V AB Y V BC. C o n las co rrien tes

d e r na ll a 1 1 e I _ ; : e legidas como en la figu ra, la fo rm a matricial del sistema de ecuacio n es en las co rrien tes es

de donde l10LQ: + 15L300 -15L30 1 j I I - !

-15/30G 15/30 + 10/-300 J L I 2j5 2 1 O t 9 _ Q ~ .367,52S)

i08L!200]~ 2 08 L 2. :'

1 4,l5 86.1 :

I = 3730,:56,6: =10.15:52 >2 167 - ....9' . ~... ~)r-:._

Las corrientes en las llneas, con sentido positive hacia la carga, vicnen dudas en funcion de II e 12 par

Ie = -I;a = IO,15,(52;~_:-_J_~~1 = 10,15/-127,J~Por tanto, las tensiones en las impedancias son

v.. . .= IAZ" = 1 4,1 5,/8 6,1 " ( 10 ;:.0 " ) = 141,5/86~= 120/-195"l_:..::..J..:.._

, 5 ' "7" j 0 " 30') -- 101 5 I 1-1 ~~,\ (0 = IcZc = 10,1 ~l.:'_ ( ~~- ~ - , L- ) .: 1La representacion de las tres tensiones V rw, V80 'j Vco muestra el triangulo de secuencia ABC al unirlos extremes de los fasores por rectus. Puede anadirse tambien el punto N, como en la Figura 14-38 .

.. . . . _


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CAP. 14] SJSTEMAS POLlFASICOS 2 1314-15 Resolver nuevamente el Problema 14-14 par el metodo del desplazamicnto del neutro.

En el metodo del desplazamiento se calcula VON a partir de la formulaVAN YA + V8N YB + YeN Yc

V A . + YB + YcPo r el Prob lem a 14 -1 4, V A .= 1/10 = 0,1 , Y B = L/( l5a ,Q) = 0 ,0 57 7 - jO,033 e Y c = 1/00/ -300) = 0,0866+ )0,050. Por tanto, .

Y _ . + Yn + Y c ;:;; 0,244 + jO,0167 = 0,244/3,930y V A .N Y A = 120L2Q: fO,1 ) = 1 2 1 2 9 = j12

VBN YB = 120/-30" (0,0667/ - 30" ) = 8,0/-60 = 4,0 }6,93VeN Yc = 120.1 J 50~ (0,1/30 ) = = = 12/-1200 = - 6,0 - )10,4

VAN VA. + VBN YB + VeN Yc = -2,0 - jS,33 = 5,69g49,4En consecuencia, VON = (5,69/249,4 )! (O ,2 44 j3 ,9 Y' ) = 23,3L245]5 = -9,66 - j21,2

Las tensiones en las impedancias decarga pueden expresarse en funcion de Ia correspondiente tensionsimple de linea a neutro y ia de desplazarniento del neutro en la forma siguiente:

V AD = V AN + V so = 120 /9 0 " + (9 ,66 + j21,2) = 141,2~6,08()VBO "'" V BN + V... = 120/- 30 + {9,66 + )21,2) = 120/-18,9Vco = VCN + V liQ = 120/-150 + (9,66 + j21,2) = 102/202,4

Para obtener las corrientes de linea se forman los productos de estas tensiones y las admitancias corres-pondientes,

fA = V , 1 O YA = 141,2/86,08 (O,liQ:) = 14,12/86,08QIi = VBO YB = 120/-18,9 (0,0667L - 30 ) = 8,0/ - 4~9"Ie = Veo Y c = 102L202,4 ' " (0,1/300) = 10,2 /232 ,4 0 bien LO,2L-127 t6' "

Los resultados anteriores estan de acuerdo con los del Problema 14-14 dentro del orden de exactitud dela regia de calculo,

14-16 Utilizando el metodo de 105 dos vatimetros en un caso de carga equilibrada se han obtenidolas lecturas 11S4 Y 577 vatios, Obtener las impedancias de carga, con conexi6n triangulo, si latension del sistema es de 100 voltios,

Para cargas trifasicas equilibradas

tg , .rs 1154 - 577ZV ~ 1154 + 577 zO,577de donde 0 ;;: 30. (Se pone , ya que sin conocer ni la secuencia ni la colocacion de los vatimerros, nopuede determinarse el signo.)

La potencia total es P =ftV Lh cos 8, etc = = p = 1731 ;;;;; I l,S5 A

v'3v L cos 6 ' V 3 (100}(O,866} -1;56/;1;;300 ZySe dibuja el circuito monofasico equivaleme y se apli-ca la tension (100Ifi)~ = = = 57,7/0"'.V . como se ve en laFig. 14-39. Entonces, la impedancia con conexi6n en es-trella

57,7&_

Zy


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...___-_ ...- .

214 SISTEMAS POLlFASICOS [CAP. 1414-17 Se aplica el metoda de los dos vatirnetros a un sistema trifasico de tres conductores, 100 voltios

y secuencia ABC, con los aparatos de medida en B y C, obteniendose WB = 836 Y We =224varies. Hallar la impedancia de la carga equilibrada y con conexion en triangulo.Conociendo la secuencia y la situacion de los aparatos puede conocerse el signo de 8. Asl,

W B - W e 836 ~ 224tg 8 = . . ; g W B + We ;::: y'3 836 + 224 ~ 1 de donde e = 45r: p 1060Puesto que P =..;3 V,l . II. cos (J , 11 .= J ~-~ = 7 ~ 8,66 A . Entonces, el circuito3 VL c o - s e '\ . J (100)(0,707)eq uivalen te m ono fasico tien e u na tensio n de 5 7,7f ! t _ V Y Ia impedancia conectada en es trella es Z y = V II =

(57.7/0" )/(8,66(-45 ) = 6,67/45c 0. La impedancia de carga en triangulo es ZlJ.= 3Z r = 20/45 n .14-18 Un calentador trifasico de 1500 vatios, con factor de potencia unidad, y un motor de induccion

de 5 CV, con un rendirniento a plena carga del 80 % y factor de potencia 0,85, estan alimentadospor un misrno sistema trifasico de tres conductores de 208 voltios, Detenninar el valor de laintensidad de corriente de linea para el regimen de salida dado para el motor de 5 CV.

Como 73 6 W = 1 CV, la salida del motor tiene (5 CV)(736 W/CV) = 3680 W


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:.:!!~~~..----_..........:...._._._..,'

CAP. 14] SISTEMAS POLlFASICOS 2 15El circuito se ha representado en la Fig. 14-41 con la irnpedancia equivalente e n . estrella de "iZ6,0 lOL30" Q.

La impedancia de la l inea esta en sene con la carga yZ~ q = Zlln~. + ZUl"Ja = 0,8 + )0,6 + 8,66 + j5,Q = 9,46 + }5,6 = 11,0[30,6

Por tanto, V 120~ _ i 0IL = Z.q = 1 1 ,0 /3 0,6 " - 10,91 - 30,6

La tension cornpuesra pedida es

Por tanto, la tensi6n del sistema de 208 V ha caido a 189 V a causa de la irnpedancia de la linea.1?1diagrama fasorial se representa cn la Fig. 14-42 con la caida en Ia linea V'(6 = ZlillIL =;= (0,8 +

jD,6){1O,9/- 3 0,6" ) = 10,9/6,)0 y VAG ~ V.(I + V 4G'

14-20 Hallar, en el problema anterior; la tension compuesta en la carga si en paralelo con esta se poneun conjunto de condensadores con una reactancia de - j6 0 ohrnios,

1I10/30" V BG1=G

A

12f)~

-=-G

En el circuito equivalente monofasico de la Fig. 14-43 estan en paralelo -/20 y 10/30" .lOQ.Q_ _O(-j20)

(8,66 + j5) - j20z , esta, por tanto, en serie con las impedaacias de la linea y

Zeq ;:0 Zlinu + Z p = (0,8 + }O,6) + (11,55&:) = 12,351b78La corrieme en Ia linea es, pues,

V 120~ 270It. = Z.q = 12 ,35 .G,780 = 9,73b~y la tension en l os e xtr em e s de ta carga,

La tension c ompue st a c o rr es po nd ie n te es VL -= .j'3(112) = 194 V.Como ya se vio en eJ Capitulo 7, el factor de potencia se mejora a] conectar condensadores en paralelo

con Ia carga. Esto da lugar a una reduccion en la calda de tension en la impedancia de Ia. linea. Y asl, eneste problema, la tension del sistema ha caido a 194 voltios en lugar de a 189,como en el :roblcma 14-19.


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.._ ....._-. . . . '----

21 6 Sl::;lEMAS POLlFASICOS [CAP. 14

Problemas propuestos14-21 Se conectan en triangulo tres impedancias iguales de lOi53, 1; 0ohmios a un sistema trifasico de tres conductores,240 voltios y secuencia CBA. Hallar las intensidades de corriente de linea.

Sol. 41,6/-143,1"; 41,6/-23,1'"', Y 41,6/96,9~ A.1 ... .2 2 S e co n ectan en triu ngu lo a u n sistem a trifasico de tres con du cto res, 1 0 0 voltios y secuencia eRA t re s impe da n -

cias iguales de 15,9/70') ohmios. Hallar las intensidades de corriente de linea y la potencia total.Sol. 10,9L-1600; 10,9/-400; 10,9/80" A; 646 w.

14-23 Tres impedancias de 42/ - 350 ohmios se conectan en triangulo a un sistema trifasico de tres conduciores, 350voltios y secuencia A Be. Hal1ar las in t ensidades de corrien te de linea y la potencia total.Sol. 14,4iI25"; 14.4Lr; 14,4/- It S' A; 7130 W.

14-24 Se une a un sistema trifasico de tres conductores, 208 voltios y secuencia CBA una carga equilibrada en estre-lIa con impedancias de 6[45 ohrnios. Hajjar las iruensidades de corriente de linea, incluida la del neutro.Sol. 20/ ~ 135u; 201-15"; 20/1 OS " ; 0 . 1 \ .

14-25 Una carga equilibrada con impedancias de 65 - 20" ohrnios se conecta en estrella a un sistema trifasico detres conductores, 480 voltios y seCUenCICI. CBA, Hallar las intensidades de corriente de linea y la potencia lOLa1.Sol. 4.26/ - 70~ ; 4,26[20; 4,26J 70' ; 3320 W.

14-2:6 Uri motor de induccion de 37J kW, con un rendimiemo a plena carga del 85 ~-;;y un factor de potencia 0,80,se conecta a u n sistema tr ifasico de 4 80 vo ltio s. H allar Ia im pedan cia en estre l la equ ivalen te que puede sus-titu ir a dicho mo to r. Sol. 4 ,2 3 6,9- .

14-27 Un motor de mr..,J.ccion trifasico de 186.5 kW. con rendimiento a plena carga del g2 ~ I oy un factor de poten-cia 0,75, se c.mecta a un sistema oe 208 voltios Hallar Ia irnpedancia equivalcnte en triangulo que puede sus-tituir (1 dicho m oto r y determinar las lectu ras con el metoda de lo s dos vatimetros.5('.'. 4,28.'4L4' 0; 5,58 kW; 17,15 kW.

14-Vi ' Tres irnpedancias identic-as de 9 - 30 ohrnios en triangulo j frt!s impedancias de 5/45' ohrnios en estrella seccnectan al rn isrno sistem a tr ifasico de tres con ducto res, 4!W vohios y secuencia A B e. H allar e l modulo dela in ien sid ad de co rr ien te de linea y Ia potencia total, Sol. 119.2 A; 99 kW.

14 -2 9 Una carga en triangu lo equ ilib rada co n irn pedan cias de 27- i5~ ohmios y o tra en estrel la equ ilib rada co nimpedancias de 1O{- 30 ohmios, se conectan a un sistema trifasico de [res conductores, 208 voltios y secuen-ci a ABC. H allar las in ten sidades de co rr ien te de linea y la po tencia en cada cargaSol. 2 5,3 111 7,4 A ; 25,3.1-2,6';' A ; 25,3:-122,6~ A ; 4 3 4 0 \V ; 3 74 0 W .

14-30 Un sistema trifasico, a 100 voltios, alimenta a una carga equilibrada en triangulo con impedancias de 10/ - 36,9ohmios y una carga en estrella equilibrada can impedancias de 5.53.1" ohrnios. Hallar la potencia en cada cargay el modulo de la intensidad de corrierue en la linea total. So!. 2400 W: !200 W; 20,8 A.

14-31 Dos cargas equilioradas en triangulo con impedancias de 20 - 60: y 184Sc ohrnios, respectivarnente, se co-nectan a un sistema trifasico de 150 voltios. Hallar la potencia en cada carga. Sol. 1690 y 2650 W.

14-32 Un sistema trifasico de tees conductores, 173,2 voltios y secuencia eRA alirnenta a tres cargas equilibradasCOll l as s ig u ie n te s conexi o n es e irnpedancias: en estre lia de 1 0/0 ' o hm ios, en tr ian gu lo de 24.190"' oh rn io s y latercera en triangulo con impedancia desconocida. Detenninar esra impedancia sabiendo que la intensidadde co rr ien te en la linea A, co n sen tid o positivo hacia la carga, es 3 2 ,7 -138,10 arnperios.Sol. 18r~5 n.14-33 Los vatimetros situados en las llneas A y B de un sistema de 120 voltios y secuencia CBA . indican los valores1500 y 50 0 vatios, respectivamcnte. Hallar las irnpedancias de Ia carga equilibrada en triangulo.Sol. 16)L=..11 y n

14-34 Las lecturas de los vatimetros colocados en las lineas A Y B de un sistema de 173,2 voltios y secuencia ABCson - 30 1 Y + 1327 vatios, respectivarnente. Hallar las impedancias de la carga equilibrada en estrella.Sol. 10/ - 70~ n.

14-35 H a ll ar la s l ectu ra s de los. dos vatimetros urilizados en un sistema de tres conductores, de 240 voltios, con unacarga. conectada en triangulo y equilibrada, de 20[80 ohrnios. Sol. -1710, 3210 W.

14-36 H ay d05 vatirnetros colocados en las Iineas Bye de un sistema eRA de tres conductores y 173,2 volt ios, quealimenta a una carga equilibrada. Determinar las lccruras de dichos vatimetros si la intensidad de corrientede linea es IA : : : : : 32,7/-419'-' amperios, Sol. 1170, 5370 W.

1 4 -3 7 Un sistema de 100 voltios y secuencia eBA alimenta a una carga equilibrada y tiene dos vatunetros en las li-neas A y B. S i 18 = ]0,9/ - 4 0l' amperio s es la in ten sidad de co rr ien te en la lin ea D, hallar las lectu ras de am -bos vatimetros. SoL - 189, 835 w.

1 4--3& Una carga co necrada en trian gulo , co n ZAB = lOi30':~ZBC = 2 5 LQ :Y Z c. t = 20/ - 30" ohmios, se une a un sis-tema trifasico de tres conductores, 500 voltios y secuencia ABC. Hallar las intensidades de corriente en las li-neas y la potencia total. Sol. 75/908 A; 53,9/-68,2'"' A; 32 /231 ,3 . A; 42,4 kW.


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CAP. 14J S:~STEMAS POUF ASICOS 2 17

14-42 .

U n sistem a trifilsico d e ir es eo ndu etc re s, 2 08 v oltio s y secuencia ABC alimenta it u n a carga en triaoguJ'o enqu e ZAll i = 51St . . , Z ac =4n:~ Zed = 6/ - 15 o hm io s .. H allar lf1 isin ten sldades de corriente de l inea y las 100-tuns d e : Iesvatimetros instaladosen l as Im e as If 'i c.Sol. ' ?O [. 5 129 .65~ A; 90 .5 /~ 43J~ A : 5 4 ,< 6/ 18 7,9 ,Q A ; n, 7 kW ; H~25 l eW.Una c.arga en e& t r e U a , con Z .. . = 3 + jO,ZB = 2 . + lJ y Zc = . 2 - j] ohmies, se co necta a u n sls'tem :a t ri fa . .s ic a d e e ua rr o conductores , J 00 volt ios y secuencia eRA ..Determiner las intensidades de correme et:l las Hneas!i n c] u .l do , e l n e u tr e, suponiendo po sitlv e e l :sen tido n ac la 1 8 1 earga.Sol. 19,2 5/-900 A ; 16L-26.3~ A ; 2 5 . ,8 :/ 1 76 ,, 6, a,A ; :n~3j65,J~A.S e co neeta u na carga en estrella ea qu e ZA = L 2 l 4 . 5 _ : ' , Z, = 1 {3 0:>y Z,c := 8&:oh.mios a u nsistern a de CU:a-tro conducteres y 208' voltios, Hallar la potencia ,lotaL Sol. 38'98 W.La i:n teli.s'idad de co rrien te de lin ea en UTi s l ls t .ema l .r if a: .s ico de t ee s COnductcres , 2 2 0 v o tr io s ': J seeueneia A.BCson I" = 43 "S/U6.6, lB ::;: 4 ') .3 /-4 8~ . c Ie ... 1 i1 '3W218Q amper ios . Obtenel ' las lecru ras de lo s vaU melro s[eo l ias l lneas ~a}A y 8~ (b) B 'J C. Ie } A ': I C , Sol. (a) 5 :2 7 0 . 63 7 0 W ; (b ) 9 31 0, 2 D O W; [e) 9 '5 5 0, 1 98 0 W .L as in ten sid ade s d e 00 rr ienLed e l in .e a e n. u e s:isLema trifbico de t re s ' co n du c~ l o :r :e s. !4 0 voltles 'Y secueneia ABCso,o 1 . 0 1 ; ; ; 19 ,1 2 { 9 0 . I , =; 57,)r~ 9, 9 ~ e Ie ~ 5 7 . J il l :89,90 am perio -s. H aUar las lectu res de lo s va IL [ lme lr os, enl as l ln ea s ( . a j l A y S, (b} B Y C. Sol'. fa)' 7,5 2: . :2 4 ,8 kW ; 1 ( 0) 16 ; B . 16,15 kW ...E I d ia 'g ra ma fa so ria l d e l a .F ig . ~4M r ep re se n ta l as corrientes d e l in ea . y la s tenslones eo m pu estas en tr e H n easde . Uti! sistema lrlfasico de US ccnductores, 34:6 volt ios y seeuencla ASIC. :S i,el m o{h.!ll o de la c orrien te de H n eaes 1 0 amperio s, haUar la irn pedaecia de la c.argj l ,colJcctada en, es t re l la . Sol. 20/90 . n.

1441

14-441

A - - _ 1 . . - _ . . ,. .l.-ilOQ,-, -,.B .... ...... 1Ic __

IM5; EI cjrcuitc de la F ie. 1 4-4 5 presenta una impedaccia irlifinita (clrcuito abiertojen la fase B de la carga en es-trella. Hallar el fasor tension VOB si el sistema es de 208 voltios y seeuencia AlBC. SuI. 284!150~V,l 4 - 46 Un alteraador trirasico eon conex id: f lI . Y '1 4 40 v oh io s tien e U r I [ l . imi tede IS ampe ri os p ar srrollamiearo. tal i..ua le s l a, p o t en da aparcnte (lit V A ) d e r'e ghn en d e larrtaqui na? ( o ) ! Siel altereador srun1irustra una . corriente die l ineade 2 0 am perio s d e i n te n si da d con un fa cto r d e petencia O,M; ri,cual e s l a p ote .n ci8 J apareme (kV A) po r r a ' s e dela ma .q u tn a? Sol. 26 ,6 kV A .; 5 , ,0 8 kVA ,. I 4 47 EI sistema de eorrien tes de l iDea eq uilib ra dlls en e l dia:gl"illn:a fasorial,1'. 1[' ,F-: '. '4'-46- t' r.. -- v -'1 ; . b:solufO ,d e 10 arnpe ' rio s v la ten.sibnlIe[a. Ig., . .Ic _ _e 1.111 a or a _ _ __ _ 1_ ___ .. _ _ y .... ,ccmpuesta es de 120 voltios..Detemnnar laseoerespondlentes poten-cias activa y aearente. Sol. 1,,41' tW; 2~08k VA.

1 4 -4 8. Una carga en esrrella COil im p ed an cia s Z . ..= 1O~ , Zs = - 10{60 yZ c '"""1 01 ~60~ o hm io s se ccn ecta a. u n sistem a b ifasico de tres (;0:0- VIC'd uc se re s, 2 00 v ol tio s Y s ee ue nc ia ABC. H allar [as ten sien es en las im -pedaacias de c a r s e . V A.D. V lith V co .sst. l 7 ' . 3L90 : ' > V ; lOOLQ : V; 10IJ.'J80'c V . .~4-49 Unit carga en estre lja con Z ", = IOL::-. . . .60t lZIJ = W8 r Y Zc = 1Q1 60 ~ohrnios seco neetaa u na. lin ea t r ifas ica de tres e on du cro res, 2 08 volltiosy seeuenela CBA. H an ar las ten sio nes en las im pedan ctas de earga.SQI. 2 08.[ ~ I : 2 0 ' 0 V; 10 V .; 208[180" V , Fi.g. U-4161 1 4 -5 0 U n si stem a d e tr es c cn du cto re s. 4 80 voltios y secuencla ABC' alimenta a 1m3 e ar ga en estr ell a en lr a qu e ZAI =1O~ ~ Z, ,~ 5 rJ 30" 'I Z (. " '" 5 .W~ ohmios . Ha l la r las lecturas de lo s Y ; a d m e l f o ' s en las l ineas A y B.Std. 8,92 kW; 29[,6 xw .1 ~!il U n sistem a de tres co ndu cro res. 10 0 voltics 'j secuencia COA alimema a u na . carga co n conexlun V el l l , la qu eZ.,1 = ] . + jOj ZfJ - 2 + jJ Y Zf - 2 ~. jl ehmics, D etermiaar las tensiones en la s impedan ctas de )I a carga,Sol. 3 I , .6 /~ 6 7,9 ~ V ; 8 4 1 . 3 /42 ./ 1 ' V ; r 6 8 . 6 l 1 2 3 . 8 Q V.14-52 Tres lmped,anciasiden(icas de 15,[9! rommios se conectanen estrel la ;~un sistema trifasi:co de Ire'S ccnducroresa 2 4 0 v ol ti os. L as H I l;e a~ t ie ne n e ntr e I a a lim ea ta cio n y 113carga impedan.das , de 2 + jl ohmt os . .Ma ll la r el mo.dulo de la tension compuesta en [a cerga, Sol, 21 3 V .14-53 Repet:ir el Problema !4S2 p a ra i nlp e 'Q a ln cia s eaestrella de 151-600) chmios y comparar los rescuados dibu-jande el diagrama faso r ia I de reesiones. Sol. 2'35 V.

capitulo 14

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