capitulo 14 sears

5/9/2018 Capitulo 14 Sears - slidepdf.com

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MECANICADE

FLUIDOS

Los fluidos desempefian un papelcrucial en muchos aspectos de la vida cotidia-

na. Los bebemos, respiramos y nadamos en ellos; circulan POl' nuestro organis-

me y contralan el clima. Los aviones vuelan en ellos y los barcos flotan en ellos. Un

tluido es cualquier sustancia que puede fluir; usamos el termino tanto para liquidos

como para gases. Norrnalmen te, pensamos que los gases son faciles de comprimir y

que los Hquidos son casi incompresibles, empero hay casos excepcionales.

Comenzaremos nuestro estudio con la estatica de fluidos, 0 sea el estudio de

tluidos en reposo en situaciones de equilibrio. Al igual que otras situaciones de equi-

librio, esta se basa en la primera y tercera leyes de Newton. Exploraremos los con-

ceptos clave de densidad, presi6n y flotacion. La dlnamica de fluidos, es decir, el

estudio de fluidos en movimiento, es mucho mas cornpleja; de heche, es una de

las ramas mas complejas de la mecanica. Por fortuna, podemos analizar muchas

situaciones irnportantes usando modelos idealizados sencillos y los principios que

ya conocernos, como las leyes de Newton y 1aconservacion de la energia. Aun asi,

apenas tocaremos la superficie de este tema ta b amplio e interesante,

1 \14.1 I Densidad

Una propiedad importante de cualquier material es su densldad, la cual es definida

como su masa por unidad de volumen. Un material homogeneo, como el hielo 0 el

hierro, tiene la misma densidad en todas sus partes. Usamos la letra griega p (ro) pa-

ra la densidad. Si una masa m de material tiene un volumen V, la densidad p es

Este cic1ista olimpico manta una bicicle

estacionaria en un tunel de viento. Obse

vando el flujo de aire en torno a su cuer

(can la ayuda de estelas de burna), los

cientificos pueden determinar que disef

de bicicleta y tecnicas de cieliSill a redu

al minima la resistencia del aire y aume

tan al maximo el desempeiio,

E n diverso s p untos alred ed or

ciclista, el aire se ve obligado a pasar

p or m arc ad as c onstric cio nes (c om o en

e l b ra zo y el tronco). tE sta hace que e

a ire se fren e, se ac elere 0 ninquna de

dos casas?

5



516

14.1 EI precio del oro se cotiza porpeso

(digamos, en d6Iares por onza), Dado que

61 oro es uno de los m etales m as densos, es

posible almacenar una fortuna en oro en unvolumen pequefio,

,-

CAP f T U L 0 14 I Mecanica de fluidos

m:p=-

V(definicion de densidad) (14.1)

La densidad de algunos materiales varia de un punto a otro dentro del material;

ejemplos de ello son 1aatmosfera terrestre (que es menos densa a mayor altitud) ylos oceanos (que son mas densos a grandes profundidades), En el caso de estos ma-

teriaJes, la ecuacion (14.1) describe Ia densidad media. En general, la densidad de

un material depende de los factores ambientales como la temperatura y la presion.

La unidad de densidad en e) 81 es eI kilogramo por metro cubico (1 kg/nr'),

Tambien se usa mucho la unidad cgs, gramo por centimetro cubico (l g/cnr'). El

factor de conversion

1 g/cnr' = 1000 kg/rrr'

resulta util, En la tabla 14.1, se dan las densidades de varias sustancias cornunes a

temperaturas ordinarias (vease tambien la Fig. 14.1). Observe la amplia gama de

magnitudes. EI material mas denso que se encuentra en la Tierra es el metal osmio

(p = 22,500 kg/nr'), pero esto no es nada en eomparaci6n con la densidad de losobjetos astronornicos exoticos como las estrellas enanas blancas y las estrellas de

neutrones.

Tabla 14.1 Densidadesae algunas sustancias comunes

Material Densidad (kg/m3) * Material""",_, _ _ _ _ - _ . " " . _ . " " . , _ _ - _ _ ,,,- _ _ _

Aire (1 atm,20"e) 1.20 Hierro, acero

Etanol 0.81 X 10 3 Laton

Benceno 0.90 X 103 Cobre

Hielo 0.92 X 103 Plata

Agua 1.00 X 103 Plomo

Agua de mar 1.03 X 103 Mercurio

Sangre 1.06 X 10 3 Oro

Glicerina 1.26 X 10 3 Platino

Concreto 2 X 10J E stre lla enana blanca

Aluminio 2.7 X 103 Estrella de neutrones

Densidadf kg/nr'}""",_." _ _ _ - _ .. , .

7. 8 X 10'

8,6 X 103

8.9 X 103

10.5 X 10 3

11.3 X tO J

13.6 X 103

19.3 X 103 .

21.4 X 103

1010

l O i S

*Para obtener las densidades en gramos por centimetro cubico, divida entre 103•

La gravedad especifica de un material es la razon entre su densidad y la del

agua a 4.0°C, 1000 kg/nr'; es un numero puro sin unidades. Par ejemplo, la grave-

dad especificadel aluminio es 2.7. Aunque "gravedad especifica" no es un buen

termino, pues nada tiene que ver con la gravedad; habria sido mejor 1a definici6n

de "densidad relativa",

La medicion de la densidad es una tecnica analitiea importante. POl' ejemplo,

podemos determinar el nive! decarga de un aeumu!ador midiendo la densidad de

su electrolito, 0 sea una disolucion de acido sulfurico (H2S04), Al descargarse la

baterla, el H2S04 se combina con el plomo de las plaeas del acurnulador para for-

mar sulfato de plomo (PbS04) insoluble, 10 que reduce la concentracion de la di-

solucion. -~ a densi~ad baja de 'cerca de 1.30 x 103 kg/m ' en un acumulador

cargado a 1".15X 10' kg/m' en uno descargado.

Otro ejemplo automotriz es el anticongelante permanente, que suele ser una di-

solucion de etilen glicol (p = 1.12 x lo? kg/nr') y agua. EI punto de congelacion

de Ia disolucion depende de la concentracion de glicol, el cual puede determinar-

se rnidiendo su gravedad especifica, Tales rnediciones se realizan en forma rutina-

ria en los talleres de servicio automotriz por medio de un dispositivo Ilamado

hidr6metro, el cual estudiaremos en la seccion 14.3.



-

14.2 1 Presion en un fluido 5.1

Ejemplo

14.1 Peso de un cuarto lIeno de aire

E 1 peso del aire esalcule la masa y el peso del aire de una estancia cuyo piso rnide

4 .0 m X 5.0 m y que tiene una altura de 3.0 m. l,Que masa y pesotiene un volumen igual de agua?1 1 " . I I . [I )~I

IDENTIFICAR: Suponemos que eJ aire es hornogeneo, asi que la

densidad es la misrna en todo el cuarto, (Es verdad que el aire es

menos denso a gran altitud que cerca del nivel del mar, pero Ja va-

riacion de densidad a 1 0 largo de la altura de 3.0 m del cuarto es

despreciable; vease la secci6n 14.2.)

PLANTEAR: Usarernos la ecuacion (14,1) para relaeionar la rnasa

(la incognita) con el volumen (que calculamos a partir de las di-

mensiones del cuarto) y Ja densidad (de la tabla 14.1).

EJECUTAR: EI volumen del recinto es V=(3,0 m)(4.0 m) X (5.0 m)

=60 m3La masa m,irc esta dada por la eeuaci6n (14.1):

In.ire = Pm" V = (1.2 kg/m") (60 rrr') = = 72 kg

W,ire = maireg =(n kg) (9.8 m/s2) = 700 N = 160,lb

La masa de un volumen igual.de agua es

m.gua = Pagu .V= (l000kg/ml)(60mS) =6.0 X 104 kg

EI peso es

Wag u• = tnaguag =_(6.0 X 104kg)(9.8m/s2)

= = 5.9 X 105 N ~·I.3 X 1051b = 66 tons

EVAlUAR: JEI aire contenido en un cuarto pesa aproxirnadamente

10que pes a una persona adulta! EI agua es casi mil veces mas de

sa que el aire, y SIl masa ypeso son mayores en la misma propercion, De hecho, el peso de un cuarto lleno de agua seguramente

hundiria el piso de una casa com lin.

~Qu6 volumen de agua tendria la misma masa que un metro eubico de platino? Si

esa agua ocupara un cubo, ~cuanto mediria cada lado?

14.21 P resion en un fluido

Area pequefia dA dentro del fluidouando un fluido (liquido 0 gas) esta en reposo, ejerce una fuerza perpendicular

a cualquier superficie en contacto con 6 1 , como la pared de un recipiente 0 un

cuerpo sumergido en elfluido. Esta es la fuerza que sentimos en las piemas al me-

terlas en una piscina. Aunque el fluido global esta en reposo, las moleculas que 1 0

componen estan en movimiento; la fuerza ejercida por el fluido se debe a los cho-

ques de las moleculas con su entomo,

Si imaginamos una superficie dentro del fluido, el fluido a cada lado de ella

ejerce fuerzas iguales y opuestas sobre ella. (Sf no, lasuperficie se aceleraria y el

fluido no permaneeeria en reposo.) Considere una superficie pequefia de area dA

eentrada en un punto en el fluido; la fuerza n01111alque e1fluido ejerce sobre cadalado es dF1. (Fig. 14.2). Definimos la presion p en ese punto como la fuerza nor-

mal por unidad de area, es decir, la razon de.dF1. a dA:

Fuerzas norm ales iguales

ejercidas sobre ambos lados

por el fluido circundante

14.2 La presion que aetna sobre ambos

lados de un area pequefia dentro de un

fluido es p = d F j _/ dA ,

(14.2)

Si la presion es Ia misma en todos los puntas de una superficie plana finita de area

A, entonees

(definicion de presion),\

(14.3)



518

La presion no tieue direccion

propia: puede producir una

fuerza dFl_ 0= P dA en

cualquier direccion

14.3 La presion es un escalar (no tiene

direccion intrinseca) y sus unidades son

newtons par metro cuadrado. En contraste,

l a f ue rz a es un vector y sus u ni da d es s on

newtons.

CAPfTULO 14 I Mecanica de fluidos

donde r.es Ia fuerza n01111alneta en un lado de la superficie. La unidad en el SI

de la presion es el pascal, donde

I pascal = = 1 Pa = = N/m 2

Ya presentamos el pascal en el capitulo 11. Dos unidades relacionadas, que se em-plean principal mente en meteorologia, son el bar, igual a 10

5Pa, y el milibar,

igual a 100 P a .La presion atmosferlca P« es la presion de la atmosfera terrestre, es decir, la

presion en el fonda del mar de aire en que vivirnos. Esta presion varia can el esta-

do del tiempo yean Ia altitud. La presion atmosferica normal al nivel del mar (va-

lor medio) es 1 atmosfera (atm), definida como exactamente 101,325 Pa.Con

cuatro cifras significativas,

( P a ) l l l e d = = 1 atm = = 1.013 X 105 Pa

= = 1.013 bar = = 1013 milibares = = 14.70Ib/pulg.2

_"-"'-!J"-=~-' En.el lenguaje ordinario, las palabras "presion" y "fuerza" signifi-can casi 1 0 mismo, pero en la mecanica de fluidos describen cantidades distintas

con caracteristicas diferentes (Fig. 14.3). Lapresion de fluidos actua perpendicu-

lar a cualquier superficie en el fluido, sin importar su orientacion. Par tanto, la

'presion no tiene u'rta direcci6n intrinseca: es un escalar. En cambio, la fuerza es

un vector con direccion definida. Recuerde que la presion es fuerza por unidad

- de area.

La fuerza del aire

En la estancia del ejernplo 14.1, i,que fuerza total actua hacia abajosabre el piso debida a una presion del aire de 1.00 atm?

"IIIiA[IV'IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La presion es uniforrne, as! que usa-

mas [a ecuaci6n (14.3) para determinar la fuerza Fj_ a partir de Ia

presion y el area

FJ. =pA = = (1.013 x 105

Nlm')(20m2)

= 2.0 X lOGN =4.5 X Io 5lb =: 225 toneladas

EVAlUAR: Al igual que en el ejemplo 14.1, esta fuerza basta para

hundir el p i s o , i,Por que no 1 0 hace? Porque hay L l 1 1 a fuerza hacia a n i -

ba en el lade de abajo del piso. Si la casa tiene sotano, dicha fuerza

es ejercida par el aire bajo el piso. Ell este caso, si despreciamos

el espesor del piso, la fuerza neta debida a la presion del aire es cera.

EYALUAR: El area del piso es A = = (4.001) (5.0 m) =20 m". Por la

ecuaci6n{14.3) la fuerza totalhacia abajoes

P resion, profundidad y ley de P ascal

Si pedemos despreciar el peso del fluido, la presion en un fluido es 11.1misma en

todo su volumen. Usamos esta aproxirnacion al ver eI esfuerzo y la deformacion

de volumen en la seccion 11.4, pero muchas veces el peso del fluido no es despre-

ciable, La presion atmosferica es menor a gran altitud que a1nivel del mar, 10 que

obliga a presurizar 1a cabina de un avion que vuela a 35;000 pies. Al sumergirnos

en agua profunda, los oidos nos indican que la presion aumenta rapidamente al au-

mental' la profundidad.

Podemos deducir una relacion general entre la presion P en cualquier punta de

un fluido en reposo y la altura y del punta. Supondremos que la densidad pyla



14.2 I Presion en un fluido

(p + dp)A

(a)

aceleracion debida a la gravedad g son las mismas en todo e1fluido. Si e1fluido

esta en equilibrio, cada elemento de volumen esta en equilibria. Considere un ele-

mento delgado, de altura dy (Fig. 14.4). Las superficies inferior y superior tienen

area A, y estan a distancias y y y -l = dy par arriba de algun nive1 de referencia don-

de y = O . E l v olumen del elemento es dV =A dy, su masa es dm = p dV = pA dy,y su peso es dw =dmg = pgA dy.

l .Que otras fuerzas acnian sobre este elemento? Llamemos a Ia presion en la su-

perficie inferior p; la componente y de fuerza total bacia arriba que aetna sobre esa

superficie espA. La presion en la superficie de arriba es p ). dp, y la componente

y de fuerza total (hacia abajo) sobre esta superficie es - (p + dp)A. El elemento de

fluido esta en equilibrio, asi que la componente y de fuerza total, inc1uido e1peso y

las fuerzas en las superficies de arriba y abajo, debe ser cera:

2 :F y = 0 as f que p A - (p + dp )A - p gA dy = 0

Dividiendo entre el area A y reacomodando, obtenemos

dp-= -p gely

(14.4)

Esta ecuacion indica que, siy aumenta,p disminuye; es decir, a1subir en e1fluido

la presion disminuye, como esperariamos. Si PI YP2 son las presiones en las altu-

ras Yl y )1 2 respectivamente, y si p Y g son constantes, entonces

,P 2 ~ PI = -p g(Y2 - )'1) (preston en unfluido de densidad uniforme) (14~5)

Suele ser util expresar la ecuacion (14.5) en terminos de 1aprofundidad bajo la

superficie de un fluido (Fig. 14.5). Tomemos el punto 1 en cualquier nivel en el

fluido y sea p la presion en ese punto. Tomemos el punto 2 en la superficie del flui-

do, donde la presion es Po (e l subindice indica profundidad cera). La profundidaddel puntoI es h = )12 - Y l> Y 1a ecuacion (14.5) se convierte en

Po - P = -pg(Y2··- Y I ) = -pgh

P = Po +: pgh (presion en un fluido de'd@1lSidaduniforme) (14.6)

il

La presion p a una profundidad h es mayor que la presion Po en la superfi de, en una

cantidad pgh. Observe que la presion es la misma en cualesquier dos puntas situa-

dos en e1mismo nivel en el fluido. Laforma del recipiente no importa (Fig. 14.6).

La ecuacion (14.6) nos dice que, si aumentamos la presionjz, en la superficie, tal

vez usando un piston que embona hermeticamente en e1recipiente para ernpujar

5

14..4 Fuerzas que actuan sobre un

elemento de fluido en equilibrio.

Y 2 - Y I =h

•. J )'2

Pp It

Y I

~

14.5 La presi6np a una profundidad heun fluido es mayor que en la superficie,

par pgh.

14.6 La presion en ia parte superior deda co Iumna de fluido es igual a Po, la pr

sion atrnosferica ..La presion s610 depen

de Ia altura, no de la forma del recipien

asi que todas las columnas de fluido tien

la misma altura.



520

La presion en este

lado actua sobre un area

mayor y produce mayor fuerza\ .e aplicauna

fuerza pequefia

en este lado

\r .t

Presion p debida a F,

transmitida -par todo el fluido

(ley de Pascal)

14.7 Principio del elevador hidraul ico, una

aplicacion de la ley de Pascal, EI tamafio del

recipiente Ileno de fluido se ba exagerado

par clar idad,

E jemplo

.' . .14.3 Determinacion de presion absoluta y manometrlca

C A r-f r o L 0 14 I Mecanica defluidos

contra la superficie del fluido, la presi6n p a cua1quier profundidad aumenta en 1a

misma cantidad exactamente. EI cientifico frances Blaise Pascal (1623-1662) reco-

noci6 este hecho en 1653, y se llama ley de Pascal: La presion 'apltcada a un flui-

do encerrado se trans mite sin dismtnucion a todas las partes d~J fluido y las

paredes del recipiente.El elevador hidraulico que se muestra esquematicamente en la figura 14.7 ilus-

tra la ley de Pascal. Un pist6n COil area transversal pequeiia Aj ejerce una fuerza

FI .sobre la superficie de un liquido (aeeite). La presi6n aplicada p = F/AI se

transmite a traves del tuba conector a un piston mayor de areaA2. La presion apli-

eada es Ia misma en ambos cilindros, asi que

s, F2 A 2P = - = - Y F2 = - F (14.7)

A l A2 A l

EI elevador hidraulico es un dispositive multiplicador dela fuerza con un factor

de rnultiplicaci6n igual al cociente de las areas de los pistones. Las sill as de los

dentistas, los gatos hidraulicos para autos, muchos e1evadores y los frenos hidrau-

licos usan este principio.En el easo de los gases, el supuesto de que Ia densidad p es uniforrne s610 es

realista en distaneias verticales cortas. En un cuarto de 3.00 m de altura Ileno de

aire con densidad uniforme del.2 kg/m', 1a diferencia de presion entre el piso y

el techo, dada pOI' la'ecuacion (14.6) es

pgh = (1.2kg/ml)(9.8m/s2)(3.0m) = 35Pa

o sea, cerca de 0.00035 atm, una diferencia muy pequefia. En cambio, entre el ni-

vel del mar y la cumbre del Monte Everest (8882 m) la densidad del aire cambia

en un factor de casi 3, yno podemos usar la ecuacion (14.6). Los liquidos, en cam-

bio.: son ca.si incompresib1es, y suele ser una buena aproximacion considerar su

densidad como independiente de la presion. Una presi6n de varios cientos de at-

m osferas s610 causa un pequef io incremento porcentual en la densidad de la m a-yor parte de los liquidos,

P resio n a bso lu ta , p resio n m a nom etrlca y manemetros

Si la presi6n dentro de un neum atico es igual ala presion atmosferica, e l n euma t ico

estara desinflado. La presion debe se r mayor-que la atmosfer ica para poder sostener

e l v eh ic ulo , a si que la cantidad significativa es la diferencia entre las presiones inte-

rior y exterior. Si decimos que la presion de un neumatico es de "32 libras" (en rea-

lidad 321b!puli, igual a 220 kPa 0 2.2 X 105Pa), queremos decir que es mayor que

la presi6n atmosferica (I4.7-1b!puli 0 1.01 X 105 Pa) en esa cantidad. La presion

total en el neum atico es de 47 Ib/pulg", 0320 kPa. El exceso de presi6n mas alla de

la atmosferica sue!e lIamarse presion manometrica, Y la presion total se llama pre-

sion ali s o l uta. Los ingenieros usan las abreviaturas psig y psia para "lb/pulg' rnano-metrica" y "lb/pulg" absoluta", respectivamente. Si la presi6n es menor que 1a

atmosfer ica, como en Wl vacio parcial, la presi6n manometr~ca es negativa,

Un sistema de calentamiento solar del agua usa paneles solares co-

locados en el teeho, 12.0 m arriba del tanque de almacenamiento.

La presion del agua en e l n iv el d e los paneles es de I atm. l,Quepre-

sion absoluta hay en el tanque? l,Y emil es la presion manometrica?

' 1 1 1 1 1 r ; uDIDENTIFICAR: El agua es casi incompresible. (Imagine que trata de

c orn prim ir c an u n p is to n u n c ilin dr o I le no de agua, iN o podria hacer-

lol) P or t an to , c on sid eram os q ue e l flu id o t ie ne d en sid ad u nif orm e ,



PLANTEAR: £1 nivel de los paneles corresponde al punto 2 de la La presion manornetrica es

Figura 14.5, y et del tanque, al punto I. Per tanto, la incognita es pen'

laecuacion (14.6); nos danpo = I atm = = 1.01 X 105 Pay h = 12.0 m. P - P o = (2.19 ~ 1.01) X 105Pa

= 1.18 X 105 Pa = 1.16 atm = 17.1 lb/pulg!

14.2 I Presi6n en un fluido

EJECUTAR: Por la ecuacion (14.6), la presion absoluta es

p =P o + pgh

=(1.01 X 105 Pal + (1000 kg/m3)(9.80 m/s") (12.0 m)

EVALUAR: Si un tanque asi tiene un medidor de presion, segura

mente 'estara calibrado para indicar la presion manometrica, no

presion absoluta. Como sefialarnos, la variaci6n en la presi6n a

mosferica a esta altura es despreciable,2.19 X 105 Pa = 2.16 atm =31.8 lb/pulg?

52

Po = P«EI medidor de presi6n mas senciIlo es el manometro de tubo abierto (Fig. 14.8a).

El tubo en forma de U contiene un liquido de densidad p, can frecuencia mercu-

rio a agua. Un extrema del tuba se conecta al recipiente donde se medira la pre-

sion, y el otro esta abierto a la atm6sfera, con P o =P o ' La presi6n en e1fondo del

tubo debida a1fluido de la columna izquierda esp + pgYl> Y la d eb id a a l flu id o de

la columna derecha es P « + P G Y 2 ' Estas p re sio ne s se m id en eIl,e1mismo punta, asi

que deben ser iguales: -

P + pgYl =P. + pgY2

P - P« = pg(Y2 - YI) = pg h (14.8)

En 1a ecuaci6n (14.8),p es lapresion absoluta, Y la diferenciap - P a entre la

presi6n absoluta y la atmosferica es 1apresi6n manometriea, Asi, la presi6n ma-

nometrica es proporcional ala diferencia de altura (Y 2 - Y l) de las columnas,

Otro medidor de presion comun es el barometro de mercuric, que consiste en

un tubo de vidrio largo, cerrado por un extreme, que se Ilena can mercurio y lue-

go se invierte sobre un plato con mercurio (Fig. (14.8b). E1espacio arriba de Ia co-

lumna s610 contiene vapor de mercurio, cuya presi6n es insignificante, asi que la

presion zi, arriba de la columna es practicamente cera. Por la ecuacion (14.6),

Po = p = 0 + pg(Y2 ~ YI) = pg h (14.9)

Asi, el barornetro de mercurio indica la pres ion a tmosferica P.directamente por la

altura de la columna de mercurio,

En muchas ap1icaciones, las presiones suelen describirse en terminos de la al-

tura de la columna de mercurio correspondiente, como "pulgadas de mercuric" a

"milimetros de mercurio" (abreviado m m H g). Una presi6n de 1 m m J-Iges 1 torr, "

por Evangelista Torricelli, inventor del barometro de mercurio. Sin embargo Iestasunidades dependen de la densidad del mercurio, que varia can la temperatura', y del

valor de g, que varia con el lugar, y por ella se prefiere el pascal como unidad de

presion . '

Un d isp ositiv o c om un para medir la presi6n arterial, llamado esfigmomanome-

fro, usa un manometro lleno de mercurio. Las lectwas de l a p r es ion arterial, como

130/80, se refieren a las presiones manometricas maxima y minima en las arterias,

medidas en rnm'Hgo torrs. La presi6n arterial varia con la altura en el cuerpo: el

punto de referencia estandar es la parte superior del brazo, a 1aaltura del coraz6n ..

Muchos tipos de medidores de presi6n u san u n recipiente flexible sellado (Fig.

14.9). Un cambio en la presion dentro ° fuera del recipiente causa un cambio en

sus dimensiones, que se detecta optica, electrica 0mecanicamente.

p + pgYl

(a)

P . + pgY2

Po = = 0

1

r

Y 2 -}'1

(h)

(b)

14.8 Dos tipos de medidores de presion.

(a) Man6metro de tubo abierto, (b) Baro-

metro demercurio.



I~

522 CAPITULO 14 I Mecanica de fluidos

(a) (b)

14.9 (a) Medidor de presion de Bourdon. AI aumentar la presion dentro del tuba espiralmetalico, este se endereza y desvia la aguja unida a 61.(b) Medidor de presion tipo

Bourdon empleado en un tanque de gas compr imido.

E jemplo

14.4 His to ria de dos flu idos

U n tu bo de man or ne tr o s e l le na p a rc ia lme nt e con agua. Des pu es s e

vierte aceite (que no se mezcla con el agua y tiene menor densidad

que el agua) en el brazo izquierdo del tuba hasta que 1a in te r faz

aceite-agua esta en eI punto medio del tubo (Fig. 14.10). Ambosbrazos del tubo estan abiertos al aire. Determine la relacion entre

las alturas h"oit< y h.gu,.

' i e l . I I i U H 'IDENTIFICAR: La relacion entre presion y profundidad en un flui-

do s610 es valida para los fluidos de densidad uniforme. Por tanto,

T

r14.10 Tubo con forma.de U que contiene aceite (a la izquierda) y

agua (a [a derecha), iQue relacion hay entre [as alturas de las dos

columnas de fluido?

no podernos escribir una sola ecuacion para el aceite y el agua jun-

tos. Lo que 5 1 podemos hacer es escribir una relacion presion-pro-

fundidad para cada fluido por separado, tomando en cuenta que

ambas columnas de fluido tienen la rnisma presion en la base (don-de estan en contacto y en equilibrio, as! que las presiones deben ser

iguales) y en la parte superior (donde amb as e st an en contacto con

la atmosfera y en equilibrio can ella).

PLANTEAR: Seapo la presi6n atmosferica, y p, la presi6n en e1 fen-

do del tubo. Las densidades de lo s dos fluidos son Pagua Y Paoeile (que

es menor que Pagua). Usamos la ecuacion (l4.6) para cada fluido.

EJECUTAR: Para los dos fluidos, la ecuacion ( J 4.6) se convierte en

p =o + Pagu.git.gua

p =P o + p,cei"ghacei,e

Puesto que la presion pen la base del tuba es Ia misma para ambos

fluidos, igualamos las dos expresiones y despejamos haceite en ter-

minos de haglla- Puede demostrarse que eI resultado es

Paglia

hace.itc :::;;--h(lgJ.la

Paceite

EVALUAR: Puesto que el aceite es menos denso que el agua, la ra-

zon P,gu,lPaceire es mayor que la unidad y hac•ito es mayor que hagu•

(como se muestra en [a Fig. 14.10). Este resultado es logico: se ne-

cesita una mayor altura de aceite menos dense para producir lamis-

rna presi6n P en la base del tubo.



14.3 I F1otaci6n

El mercuric es menos denso a altas temperaturas que a bajas temperaturas. Supon-

ga que saca al exterior un barometrode mercurio que estaba dentro de un refuge-

rador bien sellado, en un caluroso dia de verano, y observa que la columna demercurio se mantiene a la misma altura en el tubo. Compare la presion del aire en

el exterior con la del'interior del refrigerador, (Haga caso orniso del cambia aun

menor en las dimensiones del tuba de vidrio debido al cambio de temperatura.)

14.3·1 Flotacien

La floraclon es un fenomeno muy conocido: un cuerpo sumergido en agua parece

pesar menos que en e l aire, Si el cuerpo es menos denso que el fluido, entonces flo-

ta o El cuerpo humano nonnalmente flota en el agua, y un globo I leno de helio flota

en e l a ir e.

£1principio de Arquimedes establece que: Si un cuerpo esta parcial 0 total-

mente sumergido en un tluido, este ejerce una fuerza hacia arriba sobre el

cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo, Para demostrar este

principia, consideremos una porcion arbitraria de fluido en reposo. En la f ig ur a

14.11a, el contorno irregular es la superficie que delimita es.~aporcion de fluido.

Las flechas representan las fuerzas que el fluido circundante ejerce sobre la super-

ficie de frontera.

Todo el fluido esta en equilibrio, asi que la suma de todas las componentes y de

fuerza sobre esta porcion de fluido es cero. Por tanto, la suma de todas las compo-

nentes y de las fuerzas de superficie debe ser una fuerza hacia arriba de igual mag-

nitud que el peso mg del fluido dentro de la superficie. Ademas, la suma de los

memen tos de torsi6n sabre la porcion de fluido debe se r cera, asf que la linea_de

accion de la componente y resultante de las fuerzas superficiales debe pasar por el

centro de gravedad de esta porei6n de fluido.

Ahora quitamos el fluido que esta dentro de la superficie y 1 0 reemplazamos por

un cuerpo solido cuya forma es identica (Fig. 14.11b). La presion en cada punto es

exactamente la misma que antes, de modo que Ia fuerza total hacia arriba ejercida

par el fluido sabre el cuerpo tarnbien es la misma, igual en magnitud al peso mgdel

fluido que se desplazo para colocar el cuerpo. Llamamos a esta fuerza hacia arriba

la fuerza de flotacion que aetna sobre el cuerpo s6lido. La linea de accion de la

fuerza de flotacion pasa por el centro de gravedad del fluido desplazado (que no ne-

cesariamente coincide con el centro de gravedad del cuerpo),

E lement o d e f lu id o

en equilibrio

F lu id o r eemp la za do po r

c ue rp o d e f orma i de nt ic a: e x pe rimen ts

l a m i sma f ue rz a d e f lo ta ci on

(a) (b)

52

14.11 Principio de Arquimedes. (a) Un

elemento de un fluido en equilibria. La

fuerza de flotacion del fluido circundantees igual al peso del elemento. (b) Si el ele

menta de fluido se sustituye par un cuerpode identica forma, 1 2 1 cuerpo experimenta

la misma fuerzade flotacion que en (a).

Esta fuerza es igual al peso del fluido desplazado



524 CAP fTU L 0 14 I Mecanica de fluidos

Si un globo flota en equilibrio en el aire, su peso (incluido el gas en su interior)

debe ser igual al del aire desplazado por el globo. Si un submarino sumergido es-

ta en equilibrio, su peso debe ser igual al del agua que desplaza, Un cuerpo euya

densidad media es menor que la del liquido puede flotar pareialmente sumergido

en la superficie superior libre del liquido. Cuanto mayor es Ia densidad delliqui-

do menor sera la porci6n sumergida del euerpo. Si nadamos en agua de mar (den-

sidad 1030 kg/m '), flotamos mas que en agua dulce (I000 kg/rrr'), Aunque

parezca improbable, e l plomo flota en el mercurio ..El "vidrio flotado" de superfi-

de muy plana se fabrica flotando vidrio fundido en estafio fundido y dejandolo

enfriar.

Otro ejemplo conocido es e l hidrometro, empleado para medir la densidad de

los liquidos (Fig. 14.12a). El flotador calibrado se hunde en el fluido hastaque el

peso del fluido que desplaza es igual a su propio peso. El hidrometro flota mas al-

to en los liquidos mas densos que en los liquidos menos dens os, y tiene un peso

en su base para que la posicion enderezada sea estable; una escala en el tallo su-

perior perrnite leer directamente la densidad, La figura 14.12b muestra un tipo de

hidrometro de uso carotin para medir la densidad del acido de un acumulador 0 del

anticongelante. La base del tubo grande se sumerge en el liquido; se aprieta el bul-

bo para expulsar el aire y luego se suelta, como S 1 fuera un gotero gigante. E l H -

quido sube par el t u Q . ? exterior, y el hidr6metro flotaen Ia muestra de liquido.

(a) (b)

14.12 (a) Hidrometro sencillo. (b) Uso de

un hidrornetro para prober acido de un

acumulador 0 del anticongelante.

Flotacion. .

Una estatua de oro s6lido de 15.0 kg de peso esta siendo Ievantada

de un barco hundido (fig. 14.13a). i,Que tension hay en el cable

cuando [a.estatua esta en repose y a) totalrnente sumergida? b)

i,Fuera del agua?

en equilibrio (en reposo) y considerarnos las Ires fuerzas que acnian

sobre ella: su peso, Ia fuerza de flotaci6n y la tension en el cable.

P L A N T E A R : La figura 14.13b rnuestra el diagrama de cuerpo librede la estatua en equilibrio, La incognita es la tension T. Nos dan el

peso mg y podemos calcular la fuerza de flotacion B usando el prin-

cipiode Arquirnedes. Lo haremos en dos cases: (a) cuando la esta-

tua esta surnergida en el agua y (b) cuando esta fuera del agua y

sumergida en el aire.

11.jUt;t.l~1

I D E N T I F I C A R : Cuando la estatua esta sumergida, experimenta una

fuerza de flotacion bacia arriba igual en magnitud a l peso del fluido

deplazado. Para calcular la tension, observamos que la estatua esta

E J E C U T A R : a) Para ralcular la fuerza de flotaci6n, primero calcu-

lames el volurnen de la estatua, usando Ia densidad del oro de Ia ta-

bla 14.1:

y

tI---"----xv = _In_ =__ 1_5_.O_k_g_ = = 7.77 X 10-4

m3

Poco 19.3 X 103 kg/nr'

Usando otra vez la tabla 14.1, calculamos el peso de ese volumen

de aguade mar:

wam .= m,rr,g =PamVg

= (1.03 X 103'kg/m')(7.77 X. 10-4003)(9.80 m/s2)

=7.84N

Esto es igual a [a fuerza de flotacion B.

La estatua esta en repose, asl que la.fuerza extema neta que ac-

. rna sobre ella es de cero. De la figura 14.13b,

k F ) ' =B + T + (~mg) =0

T= m g _ B = (15.0kg)(9.80m/s'-) -7.84N

= 147N -7.84N =139N

m g = 147 N

(b)a)

14·.13 (a) La estatua completamente sumergida en-repose.

(b) Diagrama de cuerpo Iibre de la estatua sumergida.

\\



Si bay una balanza de resorte unida al extreme superior del cable,

marcara 7.84 N rnenosde 1 0 que marcaria si la estatua no estuviera

sumergida en agua de mar. Por elIo, la estatua sumergidaparece pe-

sar 139 N, cerca de 5% menos que su peso real de 147 N.

b) La densidad del aire es de cerca de 1.2 kg/rrr', asi que la fuerzade flotacion de} aire sobre la estatua es

B = P.;reVg = (1.2 kg/m") (7.77 X 1O-4m3) (9.80 m/s2)

= 9.1 X 10-3 N

Esto es solo 62 millonesimas del peso real de la estatua. Este efec-

to es menor que la precision de nuestros datos, a~i que 10 desprecia-

14J I Flotacion 52 5

mos. La tension en el cable con la estatua en el aire es igual al pes

de la estatua, 147 N.

EVALUAR: Recordemos que la fuerzade flotacion es proporcional

ala densidad del fluido, no la de la estatua, Cuanto mas denso esfluido, mayor sera la fuerza de flotacion y menor sera la tension e

- el cable. Si el fluido tuviera la misma densidad que la estatua,

fuerza de flotacion seria igual al peso de la estatua y la tension se

ria cero (el cable se aflojaria). Si el fluido fuera mas denso que

estatua, la tension seria negativa: la fuerza de flotacion seria mayo

que el peso de la estarua, y se requeriria una fuerza hacia abajo pa

ra evitar que suba la estatua,

Ejemp lo

c on ce p tu al 1 4.6 Cuestion de peso

Se coloca un recipiente con agua de mar en una balanza y se anota

la lectura; luego se suspende la estatua del ejemplo 14.5 en el agua

(Fig. 14.14). GComo cambia la lectura?

liII«lIiltS

Considere el agua, la estatua y el recipiente juntos como un sistema;

elpeso total no depende de si la estatua esta sumergida 0 no. La fuer-

za total de soporte, inc1uida la tension T y la fuerza hacia arriba F de

la balanza sobre el recipiente (igual a la lectura) es Ia mismaen am-

bos casos. Sin embargo, en el ejemplo 14.5 vimos que T disminuye

en 7.84 N cuando la estatua esta sumergida, asi que la lectura de la

balanza debe aumentar en 7.84 N_Otra forma de verlo es que el agua

ejerce una fuerza de flotacion de 7.84 N sabre la estatua, as! que es-

ta debe ejercer una fuerza igual hacia abajo sobre el agua, hacienda

a Ia lectura 7.84 N mayor que el peso del agua y el recipiente,

14.14 i ,C6mo cambia la lectura de la balanza cuando la estatua s

sumerge en agua?

Un objeto menos denso que el agua, como una pelota de playa inflada con aire,

flota con una parte de su volumen bajo la superficie, Por otra parte, un dip puede

descansar sabre una superficie de agua aunque su'densidad es varias veces mayor

que la del agua. Esto es un ejemplo de tension superficial: la superficie del liqui-I .

do se comporta como una membrana en tension (Fig. 14.15). La tensi6n superfi-

cial se debe a que las moleculas del1fquido ejercen fuerzas de atraccion entre S 1 .

La fuerza neta sobre una molecula dentro delvolumen del liquido es cero, pero

una molecula en la superficie es atraida hacia el volumen (Fig. 14.16). Por elio, el

liquido tiende a reducir al minimo su area superficial, tal como 1 0 hace una mem-

brana estirada,

Tension superficial

14.15 La superficie del agua aetna como

membrana sometida a tension, y permite a

este zancudo caminar literalmente sobre e

agua.



5 2 6

14.16 Cada molecula de un liquido es

atraida por las demas moleculas, Una

rnolecula en la superficie es atraida hacia

el volurnendelliquido, y esto tiende a

reducir e1area superficial del liquido,

14.-11- L:i tensj6n superficial dificulta el

paso 'del agua por aberturas pequeiias, La

presion requerida ppuede reducirse usando

.agua,caliente conjabon, 'tode 10 cual 'reduce

Udensi.6nsuperficial.

-,.; -

Tubo de flujo

14.1'8 Tubade flujo delimitado par lineasde flujo, En flujo estable,el fluidono puede

CIUZar las paredes de un tuba de flujo.

CAP f.T U L0 14 I Mecanica de fluidos

La tension superficial explica por que las gotas de lltiVia en caida libre son es-

fericas (no con forma de lagrima): unaesfera tiene rp.enor area superficial para un

volumen dado que cualquier otra forma. Tambien explica por quese usa agua ja-

bonos a caliente en el lavado de la ropa. Para Iavarla bien, se debe hacer pasar el

agua por los d im i nu to s e sp ac io s e nt re las fibras ( Fi g. 14 .17 ). Esto implica aumen-tar el area superficial del agua, 10que es dificil por la tension superficial. La tarea

se facilita aumentando latemperatura del agua y afiadiendo jaben, pues ambas co-

sa s reducen la tensi6n superficial.

La tension superficial es importante para una gota de agua de 1 rum de diame-

tro, que tiene un area relativamente grande en cornparacion con su volumen. (Una

esfera de radio-r tiene area471T2 y volumen (41T13)r3 La razon superficie/areaes

3fr, yaumenta aldisminuir el radio.) En carnbio, si la cantidad de Iiquido es gran-

de·,la razon superficie/volumen es relativamente pequefia y la tension superficial

es insignificante en comparaci6n con las fuerzas de presion. En el resto del capi-

tulo, s610 c on sid era remo s v olum en es g ra nd es de fluidos, asi que h arem os c aso

orniso de los efectos de la tension superficial. .

Un objeto can densidad uniforme flota en agua con un tercio de su volumen sobre

la superficie.- Compare Ia densidad del objeto con la del agua.

14.4 I F lu jo d e flu id os

Ahora ya e st amos p repa rados para c on sid er ar e l movimiento de un fluido. El flujo

de fluid os suele ser ex tr emadamen te complejo, como s e ap rec ia en las corrientes de

los rapidos de los rios 0 en las flamas de una fogata, pero algunas situaciones se

pueden representar con modelos idealizados relativamente simples. Un fluido ideal

es incompresible (su densidad no puede cambiar) y no tiene friccion interna (llama-

da viscosidad), Los I iquidos son aproximadamente incompresibles en casi todas las

situaciones, y tambien podemos tratar a un gas como incompresible si las diferen-

cias de presion de una region a otra no sonmuy grandes, La friccion intema en un

fluido causa esfuerzos de corte cuando dos capas de fluido adyacentes tienen

un movimiento relative, comocuando un tluido fluye dentro de un tubo 0 alrededor

de un obstaculo, En algunos casos, podemos despreciar estas fuerzas de corte en

comparaci6n con las fuerzas debidas a la gravedad y a diferencias de presion,

El camino de W1aparticula individual en un fluido en movirniento se llama li-

flea de flujo. Si el patron global de flujo no cambia con el tiempo, entonces tene-

mos un flujo estable, En un flujo estable, cada elemento que pasa par un punto

dado sigue la misma linea de flujo. En este caso, el "mapa" de las veloeidades del

fluido -en distintos puntas del espacio pennanece constants, aunque la velocidad

de una particula especifica pueda cambiar tanto en magnitud como en direccion

durante su movimiento. Una linea. de corriente es una curva cuya tangente en

cualquier'punto tiene la direccion de 1avelocidad del fluido en ese punto. Si el pa-

tr6n de flujo cambia COil el tiernpo, las lineas de corriente no coinciden con las de

flujo. ConsIderaremos s610situaciones de flujo estable, en las que las lineas de flu-

jo y las de corriente son identicas,

Las lineas de flujo que pasan par el borde de un elemento de area imaginario, co-

mo A en la figura 14.18, forman un tubo Ilamado tubo de flujo. Por la definicion de

linea. de flujo, si el flujo es estable el fluido no puede cruzar las paredes laterales

de W1tuba de flujo; los fluidos de diferentes tubos de flujo no pueden mezclarse,



14.4 I Flujo de fluid os

14.19 Flujo laminar alrededor de obstaculos con diferente forma.

La figura 14.19 muestra patrones de flujo de fluidos de izquierda a derecha al-

rededor de varios obstaculos, Las fotografias se tomaron inyectando un tinte en el

agua que f luye entre dos placas de vidrio cercanas. Estos patrones son representa-

tivos del flujo laminar, en e l que capas adyacentes de fluido se deslizan suave-

mente una sobre otra y eI flujo es estable. (Una lamina es una hoja delgada.) Si la

tasa de flujo es suficientemente alta, 0 si las superficies de frontera causan cam-

bios abruptos en la velocidad, el flujo puede hacerse irregular y caotico Esto se

llama flujo turbulento (Fig. 14.20). En flujo turbulento no hay un patron de esta-

do estable; el patron de flujo cambia continuamente.

La ecuacion d e c on tin u id ad

La masa de un fluidoen movimiento no cambia al fluir. Esto da pie a una relaci6ncuantitativa importante Hamada ecuacion decontinuidad. Considere una porci6n

de un tubo de flujo entre dos secciones transversales estacionarias can areas A ] y

A 2 (Fig. 14.21). La rapidez del fluido en estas secciones es VI YVz, respectivamen-

teoNo fluye fluido par los costados del tuba porque la velocidad del fluido es tan-

gente a la pared en todos sus puntos. Durante un tiempo corto dt, el fluido en A I

se mueve una distancia VI dt, asi que un cilindro de fluido de altura VI dt y volu-

men dV I ;, Alvi d t fluye hacia el tubo a traves deAl' Durante ese mismo lapso, un

cilindro de volurnen dV2 = A2v2 dt sale del tubo a traves de A2 .

Consideremos primero el caso de un fluido incompresible euya densidad p tie-

ne el rnismo valor en todos los puntos. La masa dm , que fluye al.tubo por A] en el

tiempo dt es dm, = pA IV I dt. Asi mismo, la masa dm 2 que sale por A 2 en .e l mis-

mo tiempo es dm, = pA2v2 dt. En flujo estable, la masa total en el tubo es cons-tante, as! que dm, = dm2 Y

pA j v I d t = pA2v '~d t 0 sea

Alv, = A2V2 (ecuacion de.continuidad, fluido'incompresible) (14.10)I

< ~

El producto Aves la razon deflujo de valumen dVldt, la rapidez eon que el volu-

men cruza una seccion del tubo:

dV-=Avdt ' :.

(razon de flujQ de volumen) (14.11)

5

14.20 E1 flujo de humo que sale de esto

palitos de incienso es laminar hasta ciert

punta; Iuego se vuelve turbulento.

14.21 Tuba de flujo con area de seccion

transversalcambiante, Si el fluido es in-

compresible, el producto Av t ie ne e l,m i s 1 1 1

valor en tcdos los puntas a 10 largo del tub



528 CAPITU La 14 I Mecanica de fluidos

La razon de flujo de masa es el flujo de masa por unidad ue tiempo a traves de una

seccion transversal, y es igual a la densidad P multiplicada par la razon de flujo de

volumen dVldt.

La ecuacion (14.10) indica que la razon de flujo de volumen tiene el mismo va-

lor en todos los puntas de cualquier tuba de flujo. Si disminuye la seccion de untuba de flujo, la rapidez aumenta,y viceversa. La parte profunda de un rio tiene

mayor area transversal y una corriente mas lenta que la parte superficial, pero las

razones de flujo de volumen son las mismas en los dos puntos. El chorro de agua

de un grifo. se angosta al adquirir rapidez durante su caida, pero dVldt tiene elmis-

mo valor en todo el chorro. Si un tubo de agua de 2 em de diametro se conecta a

un tuba de 1 cm de;diametro, la rapidez de flujo es cuatro veces mas grande en el

segundo tuba que en el primero.

. Podernos generalizar la ecuaci6n (14.10) para el caso en que el fluido no es in-

cornpresible. Si PI y P 2 son las densidades en las secciones 1 y 2, entonces

(ecuacion de continuidad, fluido compresible) (14.12)

Dejamos los detalles como ejercicio. Si el fluido es incornpresible, de modo que

Pl y P 2 siempre son iguales, la ecuacion (14.12) se reduce a la ecuaci6n (14.10).

E j e m p J o

14.7 F lu jo de flu ido incompresib le

Como parte de un sistema de lubricaci6n para maquinaria pesada, un

aceite con densidad de 850 kg/rrr ' se bombea a traves de un tuba cilin-

drico de 8.0 cm de diametro a raz6n de 9:5 iitros par segundo, a) Calcu-

le la rapidez del aceite y la razon de flujo de masa, b) Si e l d iame tro

del tuba se reduce a 4.0 cm, ique nuevos va lo r es t end ran la rapidez y

la raz6n deflujo de volumen? Suponga que el aceite es incompresible,

'il l i I 3 l tm !ID EN tlF IC AR Y P LANT EAR: Usarernos la definici6n de razon de

flujo de volumen [ecuacion (14.11)J para determinar la rapidez VI

en la secci6n de 8.0 em de diametro. La razon de flujo de masa es

el producto de Ia densidad y la razon de flujo de volumen, La ecua-

cion de continuidad para flujo incompresible, ecuacion' (14.1 0), nos

permite obtener la rapidez V2 en la seccion de 4.0 cm de diametro.

EJECUTAR: a) La raz6n de flujo .de volumen dV/dt es igual al pro-

ducto Aiv], donde AI es el area transversal del tuba de 8.0 cm de

diametro (radio 4.0 cm). Por tanto,

dV/dt (9.5 Us) (1O-3m'(L)Vi =-- =----:--.:.....:...--::----:-::--1.9 mrs

AI 71(4.0 X lo-2m)"

La razon de flujo de rnasa es p dV/dt = (850 kg/rrr") (9.5 X 10- 3

m3/s) = 8.1 kg/so

b) Puesto que el aceite es incornpresible, Ia razon de flujo de volu-

men tiene el mismo valor (9.5 Lis) en ambas secciones del tubo. Par

la ecuacion (14.10),

Al 1 T ( 4.0 X 10-2 m) 2

V2=-UJ=( _0 ) , ( . I .9m(5)=7.6m/5A2 71 2.0 X 10 - m -

EVALUAR: La segunda seccion de tuba tiene la mitad del diametro

y Ia cuarta parte del area transversal de la primera seccion, Por tau-

to, la rapidez debe ser cuatro veces mayor en [a segunda seccion, y

eso es precisamente 1 0 que muestra nuestro resultado (V2 =4v i) .

;: • c, \. \ ;< '\

, '~ • . \ T ~ ~

EI aireen Ia atmosfera es casi incompresible. Use este hecho para explicar por que

en los pasos montafiosos se observan vientos especialmente rapidos,

,\

14.5 I Ecuaci.on de Bernoull i

Segun la ecuacion de continuidad, 1arapidez de flujo de' un fluido puede variar a 1 0

largo de las trayectorias del fluido. La presion tambien puede variar; depende de la

altura igual que en 1asituacion estaticatseccion 14.2) y tambien de la rapidez de flu-



14.5 1 Bcuaeion de Bernoulli

jo. Podemos deduciruna relaci6n importante, Hamada e cu ac io n d e B er no ul li, que re-

laciona la presi6n, la rapidez de flujo y la altura para el flujo de un fluido ideal. La

ecuacion de Bernoulli es una herramienta indispensable para analizar los sistemas, de

plomeria, las estaciones generadoras hidroelectricas y el vuelo de los aviones.

La dependencia de la presi6n respecto a 1arapidez se sigue de la ecuaci6n de con-tinuidad, ecuaci6n (14.10). Si un fluido incompresible fluye por un tubo con seccion

transversal variable, su rapidez debe cambiar, asi que un elemento de fluido debe te-

ner una aceleraci6n. Si el tuba es horizontal, la fuerza que causa esta aceleraci6n de-

be ser aplicada por el fluido circundante. Esto implica que la presi6n debe ser

diferente en regiones con diferente secci6n transversal; si fuera la misma en todos la-

dos, la fuerza neta sobre cada elemento de fluido seria cero. Si un tubo es horizontal

se estrecha y llilelemento de fluido se acelera, debe estarse moviendo hacia una re-

gion de menor presion para tener una fuerza neta hacia adelante que 10 acelere. Si la

altura tambien cambia, esto causa una diferencia de presion adicional.

Para deducir la ecuaci6n de Bernoulli, aplicamos el teorema del trabajo y la

energia al fluido en una secci6n de un tubo. En la figura 14.22, consideramos eI

elemento de fluido que en algun instante inicial esta entre las dos secciones trans-

versales a y c. Las rapideces en los extremos inferior y superior son v 1 . y V2' En un

pequefio intervalo de tiempo dt, el fluido que esta en a se mueve a b, una distan-

cia ds, = u.dt, y el fluido que esta inicialmente en c se mll;eve a d, una distancia

dS2 = V2d t . Las areas transversales en los dos extremos s'OnA I YA 2, como se

muestra. El fluido es incornpresible, asi que, por la ecuaci6n de continuidad, ecua-

ci6n (14.10), el volumen de fluido dV que pasa par cualquier seccion transversal

durante d t es eI mismo, Es decir, dV ~ A Ids] = = A2 ds-:

Calculemos el trabajo efectuado sobre este elemento durante d t. Suponemos que

la friccion interna del fluido es despreciable (es decir, no hay viscosidad), asi que las

unicas fuerzas no gravitacionales que efectuan trabajo sobre el elemento fluido se

deben a la presi6n del fluido eircundante. Las presiones en los extremes son P lY

P2 ; la fuerza sobre la secci6n en a es pjAI' Yla fuerza en c es P2A2' EI trabajo neto

dWefectuado sobre el elemento por el fluid~ circundante durante este desplaza-

miento es entonces

(14.13)

El segundo terrnino tiene signo negativo porque la fuerza en c se opone al.despla-

zamiento del fluido.

EI trabajo dW se debe a fuerzas distintas de la fuerza de gravedad conservado-

ra, asl que es igual al cambio en la energia mecanica total (energia cinetica mas

energia potencial gravitacional) asociada al elemento fluido. La energia mecanica

para el fluido entre las seeeiones bye no cambia. Al principi_o de dt , el fluido en-

tre a y b tiene vo lumenAJds] , masa pA j ds, Yenergia cinetica1P(AI ds,)v/. AI fi-nal de d t, el fluido entre c y d tiene energia cinetica 4 p (A 2 ds2) vi. EI cambio neto

de energia cinetica dK durante d t es

1 .:

dK = -pdv(vl __:_n2 (14.14)

.1

l,Y que hay del cambio en la energia potencial gravitacional? Al iniciar d t, la

energia potencial para Ia masa que esta entre a y b es dm gy ] = P dV gyj. Al fillEtl

de d t, la energia potencial para la masa que esta entre c y d es dm gy2 =P dV gh

El cambio neto de energta potencial dU durante dt es

(14.15)

5

Y l

14.22 EI trabajo neto realizado sobre un

elemento de fluido par la presion del

fluido circundante es igualal cambio .enl

energia cinetica m:is el cambio en la ener

potencial gravitacional.



I ·

(PI - p~)dV = ~P dv(vl- vn + p dV g ( ) '2 - )'1)

_ 1 ( 2 2 ) ( )PI - P2 - 2f V 2 - VI + pg Y2 - Yl (14.16)

530 CAPiTULO 14 I Mecanica de fluidos

Combinando las ecuaciones (14.13), (14.14) Y (14.1SJen la ecuacion de energia

dW = dK + dU, obtenemos

Esta es la ecuacion de Bernou l li , y dice que el trabajo efectuado sobr~ un vo-

lumen unitario de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cam-

bios de las energias cinetica y potencial por unidad de volumen que se dan durante

el f1ujo. Tambien podemos interpreter la ecuacion (14.16) en terrninos de presio-

nes. El primer termino de la derecha es la diferencia de presion asociada al cam-

bio de rapidez del fluido; el segundo es la diferencia de presion adicional causada

por el peso del fluido y la diferencia de altura de los dos extremos.

Tambien podemos expresar la ecuacion (14.16) en una forma mas util:

1 1PI + pgYI + _p V 1

2 =P2 + pgY2 + -pvl (ecuaci6n de Bernoulli) (14.17)2 2

Los subindices 1 y 2 se refieren a cualesquier dos puntos del tuba de flujo, asi que

tambien podemos escribir

1 ,p + pgy + -pv2 = constante

2(14.18)

Observe que, si el fluido no se mueve (VI = = v2 = 0), la ecuacion (14.17) se reduce

a la relaci6n de presi6n que dedujimos para un fluido en reposo (ecuaci6n 14.5).

[tJ.lIjaiioD] Subrayamos de nuevo que la ecuaci6n de Bernoulli s610 es valida

para un flujo estable de un fluido incompresible sin fricci6n interna (sin vlscosi-

dad). Esuna ecuaci6n senci Ila y facil de usar; no por ello vaya a aplicarla en

situaciones en que no esvallda,

Es trat eg i a pa ra

r es o lv e r p r ob lemas Ecuacion de Bernoulli

La ecuaci6n de Bernoulli se deduce del teorema del trabajo y Ia

energia, asi que gran parte de las estrategias sugeridas enla sec-

cion 7.1 puede aplicarse aqui, I

PL AN T E AR el problema. siguiendo estos pasos:

1, Siempre cornience par identificar claramente los puntas I

y 2 a los que se refierela ecuaeion de Bernoulli.

2. Defina su sistema de coordenadas, sobre todo el nivel en

quey =O.

3. Raga Iistas de las cantidades conocidas y desconocidas de

la ecuacion (14.17). Las variables sonpl,P2, Vl, V2,yl YY2 ,

Ylas constantes son p y g . Decida que incognitas debe de-

tenninar.

IDENTlFlCAR los conceptos pertinentes: Primero, asegurese de

que e1flujo del fluido sea estable y que el fluido sea ineompresi-

ble y no tenga fricci6n interna. Este caso es una idealizacion, pe-

1'0 se acerca mucho a la realidad en el caso de fluidos que fluyen

por tubes suficientemente grandes y en el. de flujos dentro de

gran des cantidades de fluido(como aire que fluye alrededor

- de un avion 0 agua que fluye alrededor de un pez).



14.5 1 Ecuacion de Bernoulli

EJECUTAR L a so lu cio n c omo s ig ue : Escriba la ecuacion de Ber-

noulli y despeje las incognitas, En algunos problemas, habra que

usar la ecuacion de continuidad, ecuacion (14.10), para tener una

relacion entre [as dos rapideces en terminos de areas . t ransvers alesde tubos a recipientes. 0 tal vez se tienen ambas rapideces y hay

que determinar una de las areas. Tal vez necesite tambien 1aecua-

cion (14.11) para calcular la razon de flujo de volumen.

EVALUAR la respuesta: Como siempre, verifiqueque los resu

tados sean 16gicos fisicamente. Compruebe que las unidade

sean congruentes, En elS T, la presion esta en Pa, la densidad e

kg/m" y la rapidez en mfs. Reouerde tambien que las presionedeben ser todas absolutas 0 todas rnanometrioas.

Ejemplo

14.8 P resion de agua en el hagar

Entra agua en una casa por lUJ tuba can diametro interior de 2.0 ern

a una presion absoluta de 4.0 X 10; Pa (unas 4 atm). Un tuba de 1.0

em de diamerro va al euarto de bafio del segundo p is o, 5 .0 D1 mas

arriba (fig. 14.23). La rapidez de flujo en el tuba de entrada es de

1.5 m/s. Calcule la rapidez de flujo, presion y razon de flujo de vo-

lumen en el cuarto de bafio.

Ii"! i t 3 [ I )~I

ID EN T IF IC .A R Y P LAN TE AR: Tomarnos los puntos 1 y 2 ell el i t l O o

de entrada y el cuarto de bafio, respectivamente. Nos dan la rapidez

Tanque de

agua caliente

Del suministro

de agua(tuba de 2 em)

,14.23 I.Que presion tiene el agua en el cuarto de bafio del segun-

do piso de esta casa? . .

VI Yla presion p, en el tubo de entrada, y los diametros de los t

en los puntos J y 2 (con 1 0 cual caleulamos las areas A IYA2)

rnamos Y I = 0 (en la entrada) y Y2 = 5. 0 jn(en el cuarto de b

Las dos prirneras incognitas son la rapidez V2 y la presion h. P

to que tenemos mas de una incognita, usamos tanto la ecuacio

Bernoulli como la ecuacion de continuidad. Una vez que tenga

V2, calcularemos la razon de flujo de volumen V~2 en el punto

EJECUTAR: La rapidez V2 en el cuarto de bafio se obtiene

ecuacion de continuidad, ecuacion (14.10):

Al 7T (1.0 cm)2 •V2 = ~VI = ( )2 (1.5 rn/s) = 6.0 m/s

A2 7T 0.50 em

Nos dan PI Y VI, Y podemos obtener P2 can la ecuacion de Berno

_ 1 ( 2 2 ) ( ) _ . 5P2 - PI - zP Uz - VI - pg Y2 - Y I - 4.0 X 10 Pa

- l.( 1.0 X W kg/m3) (36 m 2 / s 2 - 2.25 m 2 / s 2 )2 .

- (1.0 X 103 kg/m3) (9.8 Ill/52) (5.0 m )

=4.0 X 10" Pa - 0.l7 X 105 Pa - 0.49 X 10' Pa

= 3.3 X 10' Pa =3.3 atm = 481b/puIg2

La razon de flujo de volumen es"

dV ( _ , )?( )- =Azv2 = 7T 0.50 X 10 - m - 6.0 m/sdt .

= 4.7 X 10-4 m3/s = 0.47 Lis

EVALUAR: Esta es una razon de flujo razonable para UD lava

,ducha. Cabe sefialar q lle, al cerrar el agua, el termino t P (vl -

de la ecuacion de la presion desaparece, y la presion sube a 3

10' Pa.

Ejemplo

14.9 Rapidez de salida

La figura 14.24 muestra un tanque de almacenarniento de gasolina

con area transversal A], lleno hasta una altura h. El espacio arriba

de la gasolina contiene aire apo Yla gasolina sale pO T un tubo cor-

to de area A2. Deduzca expresiones para la rapidez.de.flujo en

bo y la razon de flujo de volumen. . ' ',)



5 3 2 CAPiTULQ 14 I Mecanica de fluidos

Esto e s, l a r ap id ez de salida por una abertura a una distancia h bajo

PL~ANTEAR L t I 2 I f 1424 ' I rfi -~-·lasuperficie de l liquido es la misma que un cuerpo adquirirfa ca -: os pun os y en a' Igllra . estan en a supe 1- o. • _

, d I li 1 ib d I'd .; E 1 venda libremente una altura. h. Este resultado es el teorema d e To-ere e a gaso rna y en e tu 0 corto e sa 1 a, respectrvarnente, n e '. II' 'I'd 'I b 1 b d

I I" , . . I ? I " I " c . , . rnce I y es va 1 0 no so 0 para una a ertura en a ase e un

punto , a preSIOn es Po , en e punto -, a presion es a atmostenca, ' , . bie . d fun

T, - ° I b d I'd ' i-I - 0 P recrpiente, smo tam len para un agujero en una pare auna P I O -

Pa' , omarnos Y - en e ill 0 e sa [ a, as] que) I - IYY2 - . ues- did d h b' I rf ~ E la razc d flui d I~, . 1 a aJO a supe icie, n este caso a razon e UJO e vo u-

to que Ales mucho mayor que A2, el nivel de la gasolma en el tanque 'men es

bajara l1lUY lentamente, asi que podemos considerar a VI practica-

mente ignal a cera. Obtendremos la variable meta V2 can la ecuacion

(14.17) y la razon de flujo de volumen con la ecuacion (14.11).

14.24 Calculo de la rapidez de salida de gasolina por el fondo de

un tanque de a lm ac en am i e nto ,

IDENTIFICAR: Podemos considerar todo el volumen de Iiquido en

movimiento como un tuba de flujo, asi que podernos usar el princi-

pio de Bernoulli.

EJECUTAR: Aplicando la ecuacion de Bernoulli a los puntos 1 Y 2

Y tomando y = 0 en la base del tanque, tenemos

1 2 _ 1 2Po + "2PVI + pgh - P« + ' 2PV2

2 _ 2 + 2Po - Pa + 2 hV2 - V I P g

Con V I = 0, renemos

2 2Po ~ P « + 2· hVo = --- g- P

Por la ecuacion (l4~11), la razon de flujo devolumen es dV l d t =u1A 2.

EVALUAR: La rapidez Vb conocida como r ap id ez d e s al id a , depen-

de tanto de la diferencia de presion ( P o - P o) como de la altura h del

liquido en el tanque. Si el tanque esta abierto por arriba a la atmos-

fera, no habra exceso de presion: P o =Pa YP o - P «=

0. En ese caso,

V 2 =V 2 i h

dV c c:':- =A?v2l!hd t - . 0

E j e m p l o

14.10 E I medidor Ven tu ri

La figura 14,2.5mu es tra u n med ido r V ent ur i, que se usa pam medir

la rapidez de flujoen un tubo, La parte angosta del tubo se llama

garganta. Deduzca una expresi6n para la rapidez de flujo V I en ter-

minos de las areas transversales A IYA 2 Yla diferencia de altura h

del liquido en los dos tubos verticales,

,it]lil3 t I Dn )ENTIF iCAR Y PLANTEAR : Aplicamos la ecuacion de Bernoulli a

las partes ancha (punto I) Yangosta (punto 2) del tubo. La diferen-

cia de altura entre los des tubosverticales indica la diferencia de

presion entre los puntos I y 2.

14.25 EI medidorVenturi.

EJECUTAR: Los dos puntos tienen la rnisma coordenada vertical

(Y t = = Y2) , asi que la ecuacion 04.17) dice

12_ . 1. 2

PI + '2PV I - P2 + ' 2PV2

Por la ecuacion de continuidad, vi = (A / A 2)v I'Sustituyendo y rea-

comodando, obtenemos

_I 2 ( A ? )PI -

P 2 - " 2 pul

A l - 1

- - -La diferencia de presion P I -PI tambien es igual a pgh, donde h

es la diferencia de nivel del Iiquido ell los dos tubos. Combinando

esto con el resultado anterior y despejando VI, obtenemos

EVALUAR: Puesto que Al es.mayor que A 2 > V2 es mayor que V I y Ia

presion P 2 en la garganta es menor que P i- Una fuerza neta a la de-

recha acelera el fluido al entrar en la garganta, y una fuerza neta a

la izquierda 1 0 frena al salir,



14.6 I Viscosidad y turbulencia

Ejemp lo

c o nc ep tu al 1 4.1 1 sustentadon en un ala de avlon

La figura 14.26 muestra lineas de flujo alrededor de un corte del ala

de un avion. Las Iineas se aprietan arriba del ala, 1 0 que corresponde

a una mayor rapidez de flujo y una presion reducida en esta region,

igual que en la garganta del Venturi. La fuerza que actua hacia arri-

ba sobre ellado inferior del ala es mayor que la que actua hacia aba-

jo sobre el Iado superior; hay una fuerza neta bacia arriba, 0

susteniacion, La sustentacion no se debe solo al impulso del aire

que incide bajo el ala; de hecho, la presion reducida en la superfi-

cie de arriba del ala es 10 que mas contribuye a Ia sustentacion. (Es-

ta explicacicn muy simplificada no considera la formacion de

vortices; un analisis mas completo los tendria en cuenta.)

Ta rn b ie n podemo s e nt en d er la fuerza de sustentaci6n en terminos

de cambios de cantidad de movimiento. La figura 14.26 muestra que

hay un cambio neto h a ci a a baj o en l a cornponen te vertical de la can-

t idad de movimiento del aire que f luye pOTel ala, correspondiente a

l a f u er za hacia abajo que el ala e je rce s ob re el a ir e, La f ue rza de reac-

cion que actua sabre el ala es h a cia a rr ib a , como h ab iamos v is to .

Se observa un patron de flujo y una fuerza de sustentacion siw.J-

lares en Jas inmediaciones de cualquier objeto saliente cuando had:

viento (vease el flujo de aire sobre la espaJda del ciclista en la foto-

grafia inicial del capitulo). En un viento bastante intense, la fuerza de

sustentacion que aetna sobre la parte superior de un paraguas ah

puede hacer que este se doble bacia arriba. Tambien acnia una fu

de sustentacion sobre un automovil que va a gran velocidad porq

aire se mueve sobre el techo curvo del vehlculo, Esa sustentac

puede r edu c ir l a t ra cc ion de los neumaticos, yes por ello que mu

automoviles estan equipados con un "spoiler" aerodinamico

parte trasera. EI spoiler se parece a un ala invertida y hace que

f ue rz a h a ci a abajo acme sobre l as rued a s t ra se r as ,

P i5b !::.p(aire)Pf

14.26 Lineas de flujo alrededor de Ull ala de avian. La cantidad

de rnovimiento de una po rc ion de aire (relativa al ala) es P i antellegar al ala y P I despues,

No_es sorprendente que un viento que sopla directamente contra una puerta abier-

ta haga que se cierre de golpe, Utilice el principia de Bernoulli para explicar co-

mo un viento que sopla paralelo ala abertura de una puerta puede hacer que esta

se cierre, (Suponga que la puerta se abre hacia adentro.)

*14.6 I Viscosidad y turbulencia

Al hablar del flujo de fluidos supusimos que el fluido no tenia friccion interna y

que el flujo era laminar. Aunque en muchos casos esos supuestos son validos, en

muchas situaciones fisieas importantes los efectos de la viscosidad (frieci6n inter-

na) y la turbulencia (flujo no laminar) son extremadamente importantes. Exami-

nemos someramente algunas de esas situaciones.

Viscosi~ad

La viscosidad es friccion interna en un fluido, Las fuerzas viscosas se oponen almovimiento de una porci6n de un fluido relative a otra. La viscosidad hace que

cueste algun trabaj 0 remar una canoa en aguas tranquilas, pero tambien es 10 que ha-

ce que funcione el remo. Los efectos viseosos son importantes en el flujo de fluidos

en las tuberias, en el flujo de la sangre, en la lubricaci6n de las partes de un motor

y en muchas otras situaciones. "

Los fluidos que fluyen con faeilidad, como el agua y la gasolina, tienen menor

viscosidad que los liquidos "espesos" como la miel 0 el aceite para motor. Las vis-

cosidades de todos los fluidos dependen mueho de la temperatura, aumentan para

los gases y disminuyen para los Jiquidos a1 subir 1atemperatura (Fig. 14.27). Un

objetivo importante en el disefio de aeeites para lubricar motores es reducir 10mas

posible la variacion de la viscosidad con la temperatura.

14.27 La lava es un ejemplo de fluido

coso. La viscosidad disminuye al aumen

la temperatura: cuanto mas caliente esta

lava, mas facilrnente fluye.



534

IfR

.i. v contra r

'14.28 Perfil de velocidad para un fluido

viscose en un tuba cilindrico.

'.

CAPlTULO 14 I Mecanica de fluidos

Un fluido viscoso tiende a adherirse a una superficie solida que esta en contac-

to con ella. Hay una capa defrontera delgada de fluido cerca de la superficie, en

la que el fluido esta casi en reposo respecto a ella. Es par eso que las particulas de

polvo pueden adherirse a un aspa de ventilador aun cuando este girando rapida-

mente, y a que no podamos limpiar bien un auto con solo dirigir el chorro de agua

de una manguera hacia el.

La viscosidad tiene efectos importantes sobre el flujo de los liquidos a traves de

tuberias, y esto incluye el flujo de la sangre por el aparato circulatorio, Pensemos pri-

mere en un fluido con cero viscosidad, para poder aplicar la ecuacion de Bernoulli,

ecuacion (14.17). Si los dos extremes de un tuba cilindrico largo estan a la rnisma

altura, (Y I = Y2 ) Yla rapidez de flujo es la misma en ambos extremos (v ] = v2), la

ecuacion de Bernoulli nos indica que la presion es Ia rnisma en ambos extremos. Sin

embargo, este resultado simplernente no.es valido si tomamos en cuenta la viscosi-

dad. Para ver por que, considere la figura 14.28, que muestra elperfil de rapidez de flu-

jopara el flujo laminar de un fluido viscoso en un tubo cilindrico largo. Debido ala

viscosidad, la rapidez es cera en las paredes del tube (a las que se adhiere el fluido) y

maxima en el centro del tubo. EI movirniento semeja muchos tubos concentricosque

se deslizan W10S relativos·a otros, con el tuba central moviendose mas rapidamente y

el mas exterior en reposo. Las fuerzas viscosas entre los tubos se oponen a este des-

lizamiento; si quere.Q_J.osmantener el flujo, deberemos aplicar una mayor presion

arras del flujo que delante de el , Es par ello que necesitamos seguir apretando un tu-

bo de pasta dentifrica 0 una bolsa de salsa catsup (ambos fluidos viscosos) para que

siga saliendo el fluido del envase. Los dedos aplican detras del flujo una presion mu-

cho mayor que la presion atmosferica al frente del flujo. •

La diferencia de presion requerida para sostener una razon dada de flujo de vo-

lumen a traves de un tubo de pasta cilindrico de longitud L y radio R resulta ser

proporciona I a L/ R 4. Si disminuimos R a la mitad, la presion requerida aurnenta 24

= 16 veces; si disminuimos R en un factor de 0.90 (una reduccion del 10%), la di-

ferencia de presion requerida aumentara en un factor de (1/O.90l = 1.52 (un au-mento de 52%). Esta sencilla relacion explica el vinculo entre una dieta alta en

colesterol (que tiende a angostar las arterias) y una presion arterial elevada. Debi-

do a ladependencia R4, incluso un estrechamiento pequefio de las arterias puede

elevar considerablemente la presion arterial y forzar el rruisculo cardiaco.

Turbulencia

Si la rapidez de U11 fluido que tluye excedecierto valor critico, el flujo deja de ser

laminar. EI patron de flujo se'vuelve muy irregular y complejo, y cambia conti-

nuamente con el tiempo; no hay patron de estadoestable. Este flujo irregular y

ca6fico se denomina turbulencia. La figura 14.20 muestra el contraste entre flujo

laminar y turbulento para humo que asciende en el aire. La ecuaci6n de Bernoulli

no es aplicable a regiones de turbulencia, pues el flujo no es estable,El que un flujo sea laminar 0 turbulento depende en parte de la viscosidad del

fluido, Cuanto mayor es la viscosidad, mayor es la tendencia del fluido a fluir en

capas y.es mas probable que el flujo sea laminar. (Cuando hablamos de la ecua-

cion de Bernoulli en la secci6n 14~5,supusimos que el flujo era laminar y que el

fluido tenia cero viscosidad. De hecho, se requiere un poco de viscosidad para

asegurar que eI flujo sea laminar.)

Para Wl tluido de cierta viscosidad, la rapidez de flujo es un factor determinante,

Un patron de flujo que es estable a baja velocidad se vuelve inestable de repen-

te cuando se alcanza una rapidez critica. Las irregularidades en el patron de flujo

pueden deberse a asperezasen la pared del tuba, variaciones en la densidad del

tluido y muchos otros factores. Si la rapidez de flujo es baja, estas perturbaciones

se eliminan por amortiguacion; el patron de flujo es estable y tiende a mantener su



14.6 I Viscosidad y turbulencia 5

naturaleza laminar. Cuando se alcanza la rapidez critica, el patron de flujo se ha-

ce inestable; las perturbaciones ya no se amortiguan, sino que crecen hasta des-

truir el patr6n de flujo laminar.

EI flujo de sangre normal en la aorta human a es laminar, pero una alteraci6n

pequefia, como una patologia cardiac a, puede haeer que el flujo se vuelva turbu-

lento. La turbulencia haee ruido; por ello, escuchar el flujo sanguineo con un es-

tetoscopio es un procedimiento de diagn6stico util,

E jemplo

c on ce p tu al 1 4.1 2 La curva

lUnlanzamiento de eurva en beisbol es rea/mente una curva? Sin du-

da, y l a r az on es la tu rbu lencia , La figura 14.29a muestra una bola que

se mueve en el aire de izquierda a derecha. Para un observador que se

mueve junto con el centro de la bola, la eorriente de aire parece mo-

verse de derecha a izquierda, como mues tr an la s li ne as de flujo de la

f igura. Las v elo cid ad es suelen ser altas (cerca de 160 krn/h), as! que

hay una region de flujo turbulento detras de la bola.

La figura 14.29b rnuestra una bola que gira con "top spin". Ca-

pas de a ir e c er ca de la superficie de la bola son llevadas en la direc-

cion del giro par la friccion entre la bola y el aire y por la fricci6~

interna (viscosidad) del aire. La rapidez del aire relativa a la super-

ficie de la bola se hace menor en la parte de arriba de la bola que en

la parte de abajo, y la turbulencia se presenta mas hacia adelante

en el lado de arriba que en el de abajo. Esta asimetria causa una. di-

ferencia de presion; Ia presi6n media en la parte de arriba de la bo-

§(j" .(a)

~.~.c

(e)

14.29 EI rnov imien to del aire de derecha a izquierda, relativo a la

bola, corresponde al movimiento de una bola por a ir e i nmov il de iz-

quierda a derecha. (a) Unabola que no gira tiene una regi6n de tur-

bulencia s im e tr ic a a rr as . (b) Una bola que gira an-astra capas de aire

cerca de su superficie, (c) La region de turbulencia asimetrica

resultante y la desviacion de la corriente de aire por la bola girato-

ria, La fuerza que se muestra es la que la corriente de aire ejerce

sobre la bola; empuja la bola en la direccion de [a velocidad tan-

gencia! del frente de la bola. La fuerza puede (d) ernpujar una bola

de tenis bacia abajo 0 (e) curvar una bola de beisbcl.'

la es ahora mayor que abajo. La fuerza neta desvia la bola b

abajo, como se muestra en Ia figura 14.29c. Es por esto que se

el "top spin" en tenis para evitar que un servicio rapido se salga

la cancha (Fig. 14.29d). En un lanzamiento de CUPiaen beisbol

bola gira alrededor de un eje casi vertical, y la desviacion rea

a unlado. En un caso asi, la figura 14.29c es una vista superior

l a s i tu a ci on, Una curva lanzada por un lanzador zurdo s e c urv a ha

un bateador derecho, y es m as d ific il golpearla (Fig. 14.2ge).

Un efecto similar se da con las pelotas de golf, que siempre

nen "giro bacia arras" por el imp acto con la cara inclinada del p

La diferencia de presion resultante entre la parte de arriba y de

jo de la bola causa una fuerza de sustentacion que mantiene la b

en el aire mucho mas tiempo del que seria posible sin el giro.

.golpe fuerte bien dado parece hacer que la bola "flote" 0 incluso

curve hacia arriba durante la porci6n inicial del vuelo, Este es

efecto real, no una ilusion. Los hoyuelos de Iapelota d esem pefian

papel fundamental; la viscosidad del aire hace que una b ola sin

y ue lo s te ng a una trayectoria mucho mas corta que una co n hoyue

con la misma velocidad y giro iniciales. La figura 14.30 muestr

giro de una pelota de golf j us to d es pu es de se r golpeada por un p

(e)

14.30 Fotografia estroboscopica de una pelota de golf golpeada

par un palo. La imagen se tomo a 1000 destellos por segundo. L

bola gira aproximadamente una vez cada ocho imageries, 10 qL

corresponde a una rapidez angular de J 25 revis, 0 7500 rpm.

(,Cuanta mas presion debera aplicar una enfennera con el pulgar para adrninistrar una

inyeccion COil una aguja hipodermica de diametro interne de 0.40 rnm, en compara-

cion con una aguja con diametro interno de 0.55 rnm? Suponga que las dos agujas tie-

nen la misma longitud y que la raz6n de fluj0de volumen es la rnisma en ambos casos.



536 CA PIT U L 0 14 I Mecanica de fluidos

- R E S U M E N

Densidfu:! es rnasa por unidad de:volumen. Si una.masa m de

material homogeneo tiene un volumen V , su densidad p es el

cociente.mIV. La gravedad especifica I :;S .la relacion entre la

densidad de un material y la del agua. (V ease el ejem plo 14.1.)

m

p =-V

Presion es fuerza normal por unidad de area. La ley de Pascal

establece que la presion aplicada a l a super fi c ie de u n f lu id o

encerrado se transmite s i n d i sr n inu c ion a t od a s- l as p o rc io n es

del f luido, La presion absoluta e s la p re sio n total en un flui-

do; lapresion manometrica esla diferencia entre la.presion

absoluta y I a a tmos fe r ic a . La unidad SI de presion es el pas-

cal (Pa): I Pa = 1 Nlm2, (Vease el ejemplo 14.2.) .

_ La diferencia de presion-entre do s puntas 1 y2 en

un fluido estatico con densidad uniforrnep (u n flui.

do incornpresible) es proporcional ala diferencia

entre las alturas p, y Y2' Si la presion enla superfi-

cie de un lfquido incompresible en reposo es Po, la

, pI;eSJorta una profundidad h es mayor en una canri-

dad pgh. (Veanse los ejemplos 14.3 y 14.4.)

(14.1)

(14.2)

P 2 - Pl = -pg(Y2 - y d(presion en un fluido de d en si da d u ni-

fo~e'" (14.5)

p =Po + pgh

(presion en un fluido de densidad uni-

forme) (14.6)

El principio de Arquimedes dice. que, si un cuerpo se sumergeen un fluido, este ejerce

sobre el una fuerza de flotacion hacia arriba igual al peso del fluido que el cuerpo des-

plaza. (V e an se lo s ejemplos 14.5 y 14.6.)

Un fluido ideal e s i n compre si b le y no t ie n e v i sc o si da d (no hay friccion mterna). Una li-

nea de flujo esla trayectoria de una 'particula de fluido; una linea de corriente es una cur-

va tangente en todo punto al vector de velocidad en ese punto. Un mba de flujo es un

tubo delimitado en sus costados por lineas de f lujo. En flujo laminar, las capas de fluido

se des li zan suavemente unas sobre otras. En flujo torbulento.hay gran desorden y el pa-

tron de flujo cambia constantemente,

La conservacion de Ia masa en un fluid o incom-

presible se express con la ecuacion de continui-

dad, que relaciona las rapideces de flujo VI y V2

para dos seceiones t ransversales Al y A2 de un

tuba de flujo. El producto Au es la ra zo n de flujo

de volumen, dVldt, la rapidez con que el volu-

men cruza una seccion del tubo. (Vease el ejem-

plo 14.7.)

Alu\ =A2uz

(ecuacion de continuidad, fluido incom-

presible) (14,10)

(N-=Avdt .

(razon de flujo de volumen)

(14.11)

Area pequefia < fA d en tro d el fhiido

Fluido reemplazado por un cuerpo de forma idsntica:

experirnenta 1.misma fuerza de f lo t a cion



Neta s d el le ct or 5

La ecuac ie n g~Be rn oul li r el ac io na I a

presion p, la rapidez de flujo V y

l a a lt ur a ji de dos punros 1 y 2 cuales-

qui er a, s up oni en do f lu joestable

en

un fluido ideal. (Veanse los ejemp!os

14.8 a 14.11.)

. 1 2_ .! 2

P I + I 2 . g ~ 1 + ZPV l - P2 + pgY2 - I - ' 2 PV2

(ecuacion de Bernoulli) (14,1'7)

Term inos c lave

barometro de mereurlo, 521

densidad, SIS

dinamlca de fluidos, 515

ecuaclon de Bernoulli, 530

ecuacion de continuidad, 527

estatica de fluidos, 515

flotacion, 523

fluido ideal, 526

flujo estable, 526

flujo laminar, 527

flujo turbulento, 527

fuerza de flotacidh, 523

gravedad especiflca, 516

ley de Pascal, 520

linea de corriente, 526

linea de flujo, 526

pascal, 518

presion, 517

presion absoluta, 520

presion atmosferlca, 518

presion manometrica, 520

principio de Arqufmedes, 523

tension superficial, 525

tubo de flujo, 526

turbulencia, 534

viscosidad, 526

vlscosldad, 533

No ta s d el le cto r



538 CAPiTULO 14 I Mecanica de fluidos

R espuesta a la preg unta inicial

del cap itu lo

P14.S Tal vez haya notado que, cuanto menor es la presion de u

neumatico, mayor es el area de contacto entre el y e1pavimento,

loPorque?

P14.6 Un globo de aire caliente se llena con aire calentado par u

quemador en 1a base. l ,Por que debe calentarse el aire? loComo s

controla el ascenso y el descenso?

P14.7 AI describir el t a m a i i o de e L 1 1barco grande, se dice por ejem

pia, "desplaza 20,000 toneladas". i ,Que significa esto? loSepuede

obtener de este data el peso .del barco?

P14.8 Se deja caer una esfera solida de alurninio en urt cuba d

agua que descansa en el suelo, La fuerza de flotacion es igual al pe

so del agua desplazada, que es menor que el peso de la esfera, as

que esta se hunde. Si l levamos eIcuba a un elevador que acelera haS ec tio n 1 4.1 Por Ja tabla 14.1, la densidad del platino es 21.4 ve- cia arriba, el peso aparente del agua aumenta y , por tanto, aumenta l

ces la del agua (21.4 X 103kg/rrr' contra 1.00 X I o j kg/nr'), Por la fuerza de floracion que actua sabre la esfeti.-loLa aceleracion del ele

ecuacion (14.1), el volumen y la densidad son inversamente propor- vador podria ser tan grande que haga que la esfera flote en el agua?

cionales, asi que la misma mas a de agua tiene 21.4 veces eI volu- Explique.

men que e~latino, a sea, 21.4 m", La longitud de cada lado del P14.9 Un dirigible rigido mas ligero que el aire, lleno de helio, n

cubo seria 3 21.4 m3=2.78 m. puede elevarse indefinidamente, i,Por que no? (,Que determina l

S ec tio n 1 4.2 Por la ecuacion (14.9), la presion exterior.es igual al alti tud maxima alcanzable?

prcducto pg h . La densidad p decrece, mientras que la altura h de la P14.10 La presion del aire disminuye al aumentar la altitud. loP

columnade mercuric no cambia; por tanto, la presion debe ser me- que entonces el aire cerca de la superficie no es succionado conti

nor afuera que dentro del refrigerador, -".., nuamente hacia las regiones altas que estan a baj a presion?

secelen 14.3 El objeto desplaza dos tercios de su volumen V, as! P14.11 Puede probarse la pureza del oro pesandolo ell aire y e

que la fuerza de flotacion hacia aniba es B =~ ' g " " Vg. EI objeto es- agua. i,Como? i,Cree que podria hacer pasar por oro un lingote d

ta en equilibria, asi que B es igual.al peso del objeto, Pobjeto Vg. Por material mas barato chapeado con oro?

tanto, P"bjelo =POg,I~' Este.esun ejemplo de una regla general: si un P14.12 Durante 1agran inundacion del rio Mississippi de 1993, lo

objeto flota un un Iiquido con una fraccion x de su vo lumen sumerg i- diques en San Luis tendian a r om pe rs e p rim ero en la base. ~Po

da, la densidad media del objetc es x veces la densidad del liquido, que?

S ec tio n 1 4.4 Dado que el aire es casi incompresible, la razon de P14.13 Un barco carguero viaja del Atlantico (agua salada) al lag

flujo d e volumen del aire es practicarnenre constante, Cuando sopJa Ontario (agua dulce) par e1 ri o San Lorenzo. E1 barco se sume va

aire a traves de una constriccion, como un paso montafioso, su rapi- rios centimetres mas en el agua del lago que en el oceano. Expliquedez aumenta para mantener constante la razon de flujo de volumen. par que.

Sec ci on 1 4.S Por laecuacion de Bernoulli, un aumento en la rapi- P14.14 Un submarino es mas compresible que el agua, loComo

dez de flujo v corresponde a una disminucion en 1apresion del aire puede entonces un submarino rodeado completarnente par agua es

p. La presion reducida del aire en el lado "exterior" de la puerta ha- tar solo en equilibrio inestable?

ce que ia puerta oscile hacia ese lada, cerrandose, P14.15 Una vieja pregunra reza asf: "i,Que pesa mas, una libra de

Sec cion 1 4. 6 La presion requerida es proporcional a lilt, Con_1a plumas 0una de plorno?" Si el peso en libras es la fuerza gravitacio-

aguja de menor diametro,: Ia presion es mayor en un factor de nal, (,una libra de plumas equilibrara una libra de plomo en charolas

[( 0.55 mm l ' (0.40 rnm] ]" = 3.6. opuestas de uua balanza de brazos iguales? ExpJique, considerando

las fuerzas de flotacion,

P re gun ta s p ara analisis P14.16 Suponga que la puerta de un cuarto embona hennetica-

-rneute, pero sin friccion en su marco, l,Cree que podria abrir la

puerta si la presion del aire en un lado fuera la presion atmosferica

estandar yen el otro difiriera en un 1%7 Explique,

P14.17 Un globo es menos compresible que el aire, lComo es que

hay una altura en.la que un globo inflado Call helio esta en equili-

bri a estable?

P14.18 Un trozo de hierro esta pegado encima de un bloque de

madera. Si este se coloca en una cube ta de agua con el hierro arri-

ba, flota. Ahara se voltea el bloque para que el hierro quede sumer-

gido bajo el bloque. /,EI bloque flotara 0 se hundira? L E I nivel de

agua en la cubeta sub ira, bajara 0no cambiara? Explique,

P14.19. Se toma una jarra de vidrio vacia y se mete en un tanque de

agua con la boca hacia abaj 0, atrapando el aire dentro de la jarra. S

mete mas la jarra en el agua, locambia la fuerza de flotacion que ac-

EJ aire mantiene casi la misma densidad al pasar por semejante

constriccion, asi que puede aplicarse laecuacion de continuidad pa-ra un fluido incornpresible [ecuacion (14.10)], Una constriccion co-

rresponde a un area de seccion transversal reducida, asi que la

rapidez v debe aumentar,

Respue sta s ~ [as preg untas de E valuesu comprensron

P14.l Si el peso de un cuarto lleno de agua es tan grande (ejemplo

14.1, seccion 14.1), ,:,porque no se colapsa el piso de las casas con

sotano cuando se inundan hasta el techo del sotano?

P14.2 Una manguera de hule se,conecta a un embudo y el extreme

libre se dobJa hacia arfiba, Si sevierte aguaen el embudo, sube al

mismo nivel en la manguera que en el embudo, a pesar de que-este

tiene mucha mas agua. loPorque? \

P14.3 Si compara los ejemplos 14.1 y 14.2 de las secciones 14.1 y

14.2, parece que 700 N de aire ejercen una fuerza hacia abajo de 2;0

X 10" N sobre el piso, loComo es posible? .

P14.4 La ecuacion (14.7) muestra que una relacion de area de 100

a 1 puede dar 100 veces mas fuerza de salida que de entrada. ~No

viola esto la conservacion de la energia? Explique.



uta sobre la jarra? Si 10 hace, l,aumenta 0 disminuye? Justifique su

respuesta.

P14.20 Imagine que flota en una canoa en el centro de una a lbe rca ,

Una amiga esta en la orilla, tomando nota del nivel exacto del agua

en la pared de l.aalberca. Usted lleva consigo en la canoa una bola de

boliche, la cual deja caer cuidadosamente por la borda. La bola se

hunde hasta el fonda de la alberca. l,El nivel de agua en la alberca

sube 0baja?

P1 4 ..21 Imagine que flota en una canoa en el centro de una alber-

ca. Un ave grande llega volando y se posa en su bombro, l,El nivel

de agua en la alberca sube 0 baja?

P14.22 Imagine que esta nadando en una alberca y se encarama en

un a balsa inflable de plastico que esta flotando en e 1 agua, Si usted es -

ta totalmente fuera del agua cuando es ta ar riba de la balsa, l,el nivel de

agua en [a alberca sube 0 baja cuando usted '5e sube a la balsa?

P14.23 Un cuba de hielo flota en un vasa de agua. Al derretirse el

hielo, i,el nivel de agua en el vasa subira, bajara 0 no cambiara? Ex-

plique,

P14.24 Le dicen que "la ecuacion de Bernoulli nos dice que, don-

de Ja rapidez del fluido es mas alta, su presion es mas baja, y vice-

versa". i,Es verdad siempre esa afirmacion, incluso en eJ caso de un

fluido idealizado? Explique,

P14.25 Si en un fluido en flujo estable la velocidad en cada punto

es constante, i,c6mo puede acelerar una particula de fluido?

P14.26 En una exhibicion de escaparate, una pelota de -ping-pong

esta suspendida en LlD chorro de aire expulsado por Ia manguera de

salida de una aspiradora de tanque, La pelota se mueve un poco pe-

rc siempre regresa al centro del chorro, aunque este no este vertical.

l,Como ilustra este comportamiento la ecuacion de Bernoulli?

P14.2~ Un tornado consiste en un vortice de aire que gira rapida-

mente. i,Por que es la presion mucho mas baja en el centro que

afuera? i,C6mo explica esto la potencia destructiva de un tornado?

P14.28 Los aeropuertos a gran alti tud tienen pistas mas largas pa-

ra los despegues y aterrizajes, que los aeropuertos que estan a l ni-

vel del mar. Un motivo es que los rnotores de los aviones

desarrol1an menos potencia en el aire enrarecido. Cite otro motive,

P14.29 Cuando un chorro de agua fluye suavemente de un grifo,

se angosta al caer, Explique este fenorneno.

Ejercicios

S ec ci6 n 1 4.1 D en sid ad i

I 14.1 En un trabajo de medio tiernpo, uIl',~peivisorie pide traer del

alrnacen una;arilla ciHndTi~a d~ acero d~.8 crude longitudy

2.85 em de diametro. i,NeCesltara usted un car·nto,? (Pam contesrar,

calcule el peso de la varilla.) ....~.\ " .',

14.2 EI radio de la Luna es de 1740 km ; su masa ~s·cle7.35 X ,1012

kg. Calcule su densidad media. - \... ,

14.3 Imagine que compra una pieza rectangular de me't~i de 5.0 X

15.0 X 30.0 rnm y masa de 0.0158 kg. El vendedor Ie dice quees

de oro. Para verificarlo, usted calcula la densidad media de la ple-

za. i,Que valor obtiene? i,Fue una estafa?

14.4 Un secuestrador exige un cubo de platina de 40.0 kg como

rescate, i,Cuanto mide por lade?

Ejercicios 53

14.5 Una esfera uniforrne de plorrro y una de aluminio tienen

misma masa , i,Que relacion hay entre el radio de la esfera de alumi

nio y el dela esfera de plomo?

14.6 a) Calcule Ia densidad media del Sol. b) Calcule [a densidad

media de una estrella de neutrones que tiene la misrna masa que

Sol pero lin radio de solo 20.0 ian.

S ecci6 n 14.2 P resi6n en un flu id o

r 14.7 i,A que profundidad del mar hay una presion manometrica d

L O O X 1 0 5 Pa?

14.8 En la alimentacion intravenosa, se inserta una aguja en un

vena del brazo del paciente y se conecta un tuba entre la aguja y u

deposito de fluido (densidad \050 kg/rrr') que esta a una altura IIso

bre el braze, El deposito esta abierto a la atmosfera por arriba. Si

presion manometries dentro de la vena es de 5980 Pa, i,que valo

minima de h permite que entre fluido en la vena? Suponga que

diametro de la aguja es 1 0 bastante grande como para despreciar l

viscosidad (seccion 14.6) del fluido,

114.9 Un barril conriene una capa de aceite (densidad de 60

kg/nr ' ) de 0.120 IIIsobre 0.250 m de agua , a) i,Quepresion mano

metrica hay en la interfaz aceite-agua? b) l,Quepresi6n manometri-

ca hay en el fondo del barril?

14.10 Una vagoneta vacia pesa 16.5 kN. Cadaneumatico tiene un

presi6n manornetrica de 205 kPa (29.7Ib/pulg2). a) Calcule el are

de contacto total de los neumaticos con el suelo. (Snponga que la

paredes del neumatico son flexibles de modo que la presion ejerci

da pOI el neumatico sobre el suelo es igual ala presi6n de aire en s

interior.) b) Con la misma presion en los neumaticos, caleule el are

despues de queel auto se carga con 9.1 kN de pasajeros y carga,

14.11 Se esta diseiiando una campana de buceo' que resista la pre

sion del mar a 250 m de profundidad, a) lCmbi.to vale la presion

manometric a a esatprofundidad? (Desprecie el cambio en la densi

dad del agua con I d profundidad.) b) A esta profundidad, i,que fuer

za neta ejercen el agua exterior y el aire interior sobre una

ventanilla circular de 30.0 em de diametro si la presion dentrode l

carnpana es la que hay en la superficie del agua? (Desprecie la-pe

quefia variaci6n de presion sobre la superficie de la ventanilla.)

14.12 l.Que presion manometrica (en Pa'Y a rm ) debe producir.una

bornba para subir agua del fonda del Gran Cafion (elevacion 730 m

a Indian Gardens (elevacion 1370 m)?

r 14.13 El liquido del man6metro de mbo ab ie rt o de la figura 14.8a e

mercurio.y, =3.00 em Y Y 2 = = 7.00 em. La presi6n atrnosferica es d

980 r ni li ba re s. a ) i,Que presion absoluta hay en la base del tubo e

U? b) i,Yen el tube abierto 4.00 em abajo de la superficie libre? c

i,Que presion absoluta tiene el aire del tanque? d) i,Que presion rna

nometricatiene el gas en pascales?

14.14 Hay una profundidad maxima ala que-un bUZD puede respira

por un "snorkel" (Fig. 14,31) pues, al aumenrar Ia pro fundi dad, au

menta la diferencia de presion quetiende a colapsar los pulmones

del buzo, Dado que el snorkel conecta los pulmones con la atmos

fera, la presion en ellos es la atmosferica, Calcule la diferencia d

presi6n interna-externa cuando los pulmones del buzo estan a 6.1 m

de profundidad, Supcnga que el buzo esta en.agua dulce. (Un buzo

que respira el aire comprimido de .un tanque puede operar a mayo

res profundidades que uno que usa snorkel, porque illpresion de



540 CAP rr U L 0 14 I Mecanica de f luidos

14.23 Un objeto con densidad media p'flota sobre un fluido de den-

sidad PUlIi<io' a) l.Que relacion debe haber entre las dos densidades? b

A la lnz de su respuesta a la parte (a), i,como pueden flotar barcos de

aeerc en el agua? c) En terminos de p YPnuido, (,que fracci6n del ob-

jeto esta surnergida y que fraccion esra sobre el fluido? Verifique que

sus respuestas den el c om po rta mie nto c orre cto en e l limite doode P

-7Pnu;do Y donde P ~ O . d) Durante un pas eo en yale, su prirno Tito

recorta una pieza rectangular (dimensiones: 5.0 X·4.0 X 3.0 ern) de

UD salvavidas y la tir a a1mar, donde flota. La masa de la p ieza es

de 42 g. i ,Que porcentaje de su volumen esta sobre la superficie?

14.24 Un cable anclado al fondo de un lago de agua dulce sostiene

una esfera hueca de plastico bajo la superficie. El volumen de la es-

fera es de 0.650 rrr' y la tension en el cable es de 900 N, a) Calcule

la fuerza de f lo t ac i on e je rc ida par el agua sobre l a e s fe ra . b) l.Que

masa tiene la esfera? c) EI cable se rompe y la esfera sube ala su-

perficie, En equilibrio, i,que fraccion del volumen de la esfera esta-

ra sumergida?

( 14.25 U n b lo qu e cubico de ma-

dera de 10.0 ern por lado flota en

aire dentro de los pulmones aumenta hasta

equilibrar la presion externa del agua.)

14.15 Un cilindro alto con area transversal

de 12.0 em' se 11en6parcialmente con mer-

curio hasta una altura de 5.00 ern, Se vierte

le nt am e nt e a gu a s ob re elmercurio (los des

liquidos no se mezclan). I,Que volumen de

agua debera aiiadirse para aumentar al do-

ble la presion rnanornetrica en la base del

cilindro?

14.16 Un recipiente cerra do se 11enapar-

cialmente con agua. En un principio, el aire

arriba del agua esta a presion atmosferica

( 1. 01 - X · 105 Pa) y la presion manometr i -

ca en Ia base del recipiente es de 2500 Pa ..

Despues, se bombea aire adicional al inte-

rior, aumentando la presion del aire sobre

el agua en 1500 Pa. a) Calcule la nueva pre-

sion manometrica en el fondo. b) l.Cuanto

debera reducirse el nivel del agua en el re-

cipiente (extrayendo agua a traves de una Figura 14 .31

valvula en el fondo) para que la presion cicio 14.14.

manornetrica en el fondo vuelva a ser de

2500 Pa? La presion del aire sobre el agua se mantiene a 1500 Pa

sobre la presion atrnosferica.

14.17 U n co rto deja sin el ec t ric i dad a un submarino que esta 30 rn

bajo la superficie del mar. Para escapar, la tripulacion debe ernpu-

jar h a ci a a fu er a una escotilla en el fonda qlle t ie ne u n area de 0.75

m2 y pesa 300 N. Si la presion interior.es de 1.0 atm, i,que fuerza

hacia abajo se debe ejercer sobre la escotilla para abrirla?

14.18 Imagine que Ie encargan diseiiar un tanque de agua cilindri:

co presurizado para una futura colonia en Marte, donde la acelera-

cion debida a la gravedad es de 3.71 m/s2• La presion en la

superficie del agua sera de 130 kPa, y la profundidad del agua sen!

de 14.2 Ill. La presion del aire en la construccion afuera del tanque

sera de 93 kPa. Calcule la fuerza neta bacia abajo que el agua y el

aire interior y el aire exterior ejercen sabre la base plana del tanque

(area =2.00 rrr').

'/14.19 Un tanque ahusado presurizado para un cohete contiene

0.250 m3 de queroseno, can una masa de 205 kg. La presion en Ja

superficie del q ue ro se uo e s de 2.01 X 105 Pa, El queroseno ejerce

una fuerza de 16.4 kN sobre el fonda del tanque, cuya area es de

0.0700 m2. Calcule la profundidad del queroseno.

14.20 El piston de un elevador hidraulico para autos tiene 030 m

P.

6.1m

la interfaz entre aceite y agua

Ejer- con su superficie inferior 1.50

._ ern bajo la interfaz (Fig. 14.32) .

. ''La densidad del aceite es de 790

kg/nr', a) l.Que presion mano-

rnetrica hay en lasuperficie de

arriba del bloque? b) l.Y en 1a

cara inferior? c) i,Que masa y Figura 14 .32 Ejercicio 14.25.

densidad tiene el bloque?

14.26 Un lingote de aluminio solido pesa 89 N en el aire. a) i,Que

v olu me n tie ne? b ) .8 J lin go te s e c ue lg a de u na cue rd a y s e s ume rg e

POI complete en agua , i,Que tension hay en la cuerda eel peso apa-

rente del lingote en agua)?

14.27 Do s b lo qu es c ub ic os id en tic os en tamafio y forma s e c ue l-

gan de hilos y se sumergen totalmente en una alberca. E1bloque A

es de aluminio; su cara superior esta 0.5 m bajo la superficie del

.agua. EI blcque B es de laton; su c ara superior esta 1.5 bajo la su-

perficie del agua. Indique si las siguientes cantidades tienen un va-

lor mayor para el bloque A a para el bloque B,.o si son iguales: a) Ia

presion del agua sobre la cara superior del bloque; b) la fuerza de

f lo t a ci on e je rc i da par e l a gu a s ob re el bloque; c) la tension en.el hi-

10 del que cuelga el bloque,

14.28 Una roca cuelga de un hilo ligero. Cuando esta en el aire, la

tension en el hilo es de 39.2 N. Cuando esta totalmente sumergida en

agua, [atension es de 2 8.4 N . Cuando esta totalmente sU1l1ergidaen un

I iquido desconocido, la tension es de 18.6 N . Determine la densidad

del I iquido desconocido.

de diametro, l.Que presion manometrica, en pascales y en atm, se

requiere para levantar un auto de 1200 kg?

Sect ion 14 .4F lu jo de f lu idos

14.29 Una regadera tiene 20 agujeros circulares cuyo radio es de

1.00 nun. La regadera esta couectada a un tube de 0.80 em de radio.

Si la rapidez del agua en el tubo es de 3.0 mis, i,con que rapidez 831-

dra de los agujeros de la regadera?

14.30 Fluye agua por un tuba de seccion transversal variable, lle-

nandolo en todos sus puntos. En el punto 1, el area transversal del

tuba es de 0.070 rn", y la rapidez del fluido es de 3.50 mls. a) l.Que

r ap id e z t ie ne el fluido en puntos donde el area transversal es de i)

seee len 14.3Flotacion

14.21 Una plancha de hielo flota en un lago de agua dulce. i,Que

volumen minimo debe tenerpara que una mujer de 45.olg pueda

pararse en ella s in m o j a r se los pies?

14.22 Una muestra de mineral pesa 17.50 N en el aire pero, si se

cuelga de un hilo ligero y se sumerge par completo en agua, la ten-

sion en el hilo es de 11.20 N. Calcule el volumen total y la densidad

de la muestra,



0.105 m2? ii) 1,0.047 m2? b) Calcule el volumen de agua descarga-

da del extreme abierto del tubo en l.00 h.

J 14.31 Fluye agua por un tubo circular de sec cion transversal varia-

ble, llenandolo en todos sus puntos. a) En uri punto, el radio del tu-

bo de 0.150 m. i,Que ra pid ez t ie ne e l agua en este punto si la razonde flujo de volumen en el tu bo es de 1.20 nrvs? b) En otro punto, la

rapidez del agua es de 3.80 m/s. i,Que radio tiene el tubo en este

punto?

14.32 a) Deduz ca la e cu ac io n ( 14 . 12).b) Si la densidad aumenra en un

1.50% del punto I a12, (,que sucede con la razon de flujo de volumen?

s ec ele n 1 4.5 E c ua ci6 n d e B ern ou ll i

14.33 Un tanque sellado que contiene agua de mar hasta una altu-

ra de 11.0 m contiene tambien aire sabre el agua a una presi6n rna-

nometriea de 3.00 atm. Sale agua del tanque a traves de un agujero

pequefio en el fondo, Calcule la rapidez de salida del agua,

14.34 Se corta un agujero circular de 6.00 mrn de diametro en el

costado de un tanque de agua grande, 14.0 m debajo del nivel del

agua en el tanque, EI tanque esta abierto al aire por arriba. Calcule a)

la rapidez de salida; b) el volumen descargado por unidad de tiempo.

14.35 l.Que presi6n manornetrica se requiereen una tom a munici-

pal de agua para que el chorro de una manguera de bomberosco-

nectada a ella alcance una altura vertical de 15.0 m? (Supcnga q u " ela toma tiene un diametro mucho mayor que la manguera.)

14.36 En un punto de una tuberia, la rapidez del agua es de 3.00

m/s y 10 1 presion manornetrica es de 5.00 x 104 Pa. Calcule la pre-

sion manometries en otro punto de la tuberia, 11.0 m mas abajo, si

el diametro del tuba ahi es el doble que en el primer punta.

14.37 Sustentacton en un avhin, EI aire fluye horizontalmente

por las alas de una avioneta de modo que SlI rapidez es de 70.0 m/s

arriba del ala y 60.0 m/s debajo, Si la avioneta tiene una masa de

1340 kg Y un area de alas de 16.2 m", /,que fuerza vertical neta (in-

cluida la graved ad) actua sobre 1anave? La densidad del aire es de

1 .20 kg /m" ,

14.38 Una bebida no alcoholics (principalmente agua) fluye por

una tuberia de una planta embotelladora con una razon de flujo de

mas a que llenaria 220 latas de 0.355 L por minute. En el punta 2

del tu bo , la presion manometric a es de 152 kPa y el area transver-

sal es de 8.00 em", En el punto 1, 1.35 m arriba del punto 2, el area

transversales de 2.00 cnr'. Calcule a) 10 1 razon de flujo de rnasa; b)

la razon de flujo de volumen; c) la rapidez de flujo en los puntos 1

y 2; d) la presion manometries en el punto 1.

14.39 Se descarga agua de un tubo horizontal cilindrico a razon de

465 cmvs, En un punto del tubo donde el radio es de 2.05 cm, la

presion a b so lu ta e s de 1.60 x 105 Pa , l.Que radio tiene una constric-

cion del tubo donde la presion se reduce a 1.20 X 105 Pa ?

14.40 En cierto punto de una tuberia horizontal, la rapidez del

agua es de 2.50 m/s y la presion manornetrica es de 1.80 x 104 Pa,

Calcule la presion manometric a en un segundo punto donde el area

transversal es el doble que en el primero. . :

14.41 Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua de

un tuba horizontal a raz6n de 7200 cm3/s. En un punto del tubo,

donde el radio es de 4.00 cm, la presion absoluta del agun es de 2.40

X 105 Pa , En un segundo punto de I tubo, el agua pas a par una cons-

triccion cuyo radio es de 2.00 em. l.Que presion absoluta tiene el

agua al fluir por eg a constriccion?

Problemas 5

Problemas

14.42 En una demostracion en la clase, una profesora separa

facilidad dos cascos hemisfericos de acero (diametro D) usandoasas con las que estan provistos. Luego los une, extrae el aire ha

una presion absoluta p, y se los da a un fisicoculturista que esta s

tado en 1 0 1 u l t im a fila del salon para que los s e p a r e , a) Si la pres

atmosfericaes Po, i,que fuerza debera ejercer el fisicoculturista

bre cada casco'! b) Evalue su respuesta para el caso en que p

0.025 ann y D = 10.0 em,

14.43 El punto mas profundo conocido de los oceanos es Ia F

de las Marianas, con una profundidad de 10.92 km, a) Suponien

que el agua es incornpresible, l.qtle presion hay a esa pro fundi d

Use la densidad del agua de mar. b) La presion real es de 1.16 X

Pa; su valor calculado sera menor porque la densidad si varia co

profundidad, Usando la compresibilidad del agua y la presion r

calcule la densidad del agua en el fondo de la fosa. l.Que procen

je de cambio experirnenta Ia densidad? .

14.44 Unapiscina mide 5.0 m de longitud y 4.0 m de anchura

tiene 3.0 IIIde hondo. Calcule la fuerza ejercida por el agua con

a) el fondo; b) cualquier pared. (Sugerencia: Calcule la fuerza

actua sobre una tira horizontal delgada a una profundidad 11 , e .i

gre a 10alto del extremo de 10 1piscina.) No incluya la fuerza deb

a 10 1 presion del aire,

14.45 EI borde superior de una

cornpuerta en una presa esta al

nivel de lasuperficie del agua.

La cornpuerta tiene 2.00 m de al-

tura y 4.00 m de anchura, y pivo-

ta sobre una linea horizontal que

pasa por su centro (Fig. 14.33).

Calcule el memento de torsion Figura 14.33 Problema 14.

en torno al pivote causado por

el agua. (Sugerencia: Use un procedimiento similar al del proble

14.44: calcule el memento de torsion de una lira horizontal delg

a una profundidad he integre a 10 alto de la cornpuerta.)

14.46 Fuerza y momento de torsion sobre una presa. Una pr

tiene forma de solido rectangular. El lado que da OIllago tiene a

A y altura H. La superficie dellago de agua dulce detras de la p

sa llega OIlborde superior de la presa. a) Demuestre que la fue

horizontal neta ejercida por el agua sobre la presa es .1PgHA, es

cir, Iapresion manometric a media sobre Ia cara de la presa multip

cada por el area. (vease e1 problema 14.44.) b) Demuestre qu

memento de torsion ejercido por el agua alredednr de uneje que

rre a 10 largo de la base de la presa es pgH 2A16 . c) (.C6mo dep

den la fuerza y el momenta de torsion del tamaiio dellago?

14.47 U 1 1 astronauts esta parado en el polo norte de un planeta e

ricamente simetrico recien descubierto, cuyo radio es R . En las

nos, sostiene un recipiente lleno con un liquido de masa In y volum

V .En la s up er fic ie del Jiquido, la presion es Po; a una profundidad

bajo 10 1 superficie, la presion tiene un valor mas grande p.Determ

la rnasa del planeta con esta informacion.

14.48 Para obtener la densidad en un punto dado dentro de un

terial, considere un volumen pequefio dV centrado en ese punto

la rnasa dentro de ese vel Lll11eUs dm, la densidad en esepunto




p = dm/dV. Considere una varilla cilindrica de masa M, radio R y

longitud L; con una densidadproporcional al cuadrado de la distan-

cia a un extrema, p = ex2a) Demuestre que C = 3MhrR2L3. b)

Dernuestre que la densidad media, dada pO T la ecuacion (14.1), es

un tercio de la densidad en el extremo x =L.14.49 La Tierra no tiene densidad uniforme; es mas densa en el

centro y rnenos en la superficie. Una aproximacion a su densidad es

p (r) =A - Br, donde A = 12,700 kg/nr' y B = l.50 X 10 -3 kg/m", Use

R =6.37 X 106 m para el radio de la Tierra aproxirnada como una

esfera, a) Los indicios geologicos sugieren que las densidades son

13;100 kg/nr' en el centro y 2400 kg/m" en la superficie. i,Que valo-

res da elmodele de aproximacion lineal para las densidades en estos

lugares? b) Imagine que divide la Tierra en capas esfericas concen-

tricas. Cada capa tiene radio r, espesor dr, volumen dV =1 T 1 ·2 dr y

masa dm = per) dV. Integrando de r = 0 a r = R, demuestre que

la rnasade la Tierra en este rncdelo es M = = 5 ' iT R 3 ( A - fE R ) .

c) Dernuestre que los valores dados paraA y B dan la masa de la Tie-

rra con un error de menos de 0.4%. d) En la seccion 12.6 vimos queun casco esferico uniforme no contribuye a g en su interior. De-

muestre que g (r) = = ~1TG r(A - iBr) dentro de la Tierra en esre

modele. -e)Verifique que Ia expresion de la parte (d) da g =0 en el

centro de la Tierra y g = = 9.85 m/s" en la superficie. f) Demuestre

que, en este rnodelo, g 110 disminuye uniformemente con la profun-

didad,sino que tiene un maximo de 47TGA2/9B =10.-01m/s' en r =

2 A1 3B = 5640 Ian.

14.50 En el ejemplo 12.10 (seccion 12.6) vimos que, dentro de un

planeta con densidad uniforme (supuesto poco real ista para la tie-

rra), la aceleracion debida ·ala gravedad aurnenta uniformemente

con la distancia al centro. Es decir , g(r) =g,rl R, donde g, es la ace-

leracion debida a la gravedad en la superficie, r es Ia distancia al

centro del planeta y R es el radio del plane,ta. EJ interior del plane-

ta puede tratarse aproximadamente como fluido incornpresible can

densidad p. a) Sustituya la altura y de la ecuacion (14.4) por la

coordenada radial r e integre para determinar la presion dentro de

un planeta uniforme en funci6n de r. Sea cero la presion en la su-

perficie, (Esto implica despreciarla presion de la atmosfera.) b)

Usando estemodelo, calcule la presion en el centro de la Tierra,

(Useun valor de p igual ala densidad media de la.Tierra, calculada

con la masa y el radio dados en el apendice F) c) Los geologos es-

timan que la presion en el centro de laTierra es de aproximadamen-

te 4 X l O!' Pa, i,Collcuerda esto con su calculo para la presion en r

=O ? i,Que podria explicar las diferencias, si las hay?

~~--d

~~Mercurio

F ig ura 1 4.3 4 Problema 14.51.

14.51 Un tubo en forma de U abierto pOTambos extremes contie-

ne un poco de mercuric. Se vierte con cuidado un poco de agua en

el brazo izquierdo del tuba basta que la altura de la columna de

agua es de 15.0 em (Fig. 14.34). a) Calcule la presion manometrica

en la interfaz agua-rnercurio. bjCalcule la distancia vertical h entrela superficie del mercuric ell el brazo derecho del tuba y la superfi-

cie del agua en el brazo Izquierdo.

14.52 La gran inundaclon de melaza. En la tarde del 15 de ene-

ro de 1919, un dia inusitadamente cali do ell Boston, se rompio un

tanque metalico eilindrico de 27.4 m de altura y 27.4 m de diame-

tro usado para almacenar melaza. La melaza fluyo por las calles en

una corriente de 9 IIIde profundidad, matando peatones y caballos

y tirando edificios, La melaza tenia una densidad de 1600 kg/rrr ', Si

el tanque estaba Ilene antes del accidente, lque fuerza total ejercia

la melaza contra los costados? (Sugerencia: Considere la fuerza ha-

cia afuera que aetna sobre un anillo de la pared del tanque de an-

chura dy a una profundidad y bajo la superficie, Integre para

calcular la fuerza total hacia afuera. Suponga que, antes de romper-

se el tanque, la presion en la superficie de la melaza era iguaJ a la

presion del aire afuera deJ tanque.)

14.53 Un lancb6n abierto tiene

.l~ dimensiones que se muestran

en la figura 14.35. Si el lanchon

esta hecho con placa de acero de

4.0 cm de espesor en sus cuatro

costados y el fondo, lque masa F ig ura 1 4.3 5 Problema 14.53.

de carbon (densidad aproxirna-

da 1500 kg/nr') puede llevar el

lanchon sin hundirse? i,Hay espacio en eJlanchon para contener ese

carbon?

14.54 Un globo de aire caliente tiene un volumen de 2200 nr'. La

tela del globo pesa 900 N. La canasta con su equipo y tanques de

propano llenos pesa 1700 N. Si el globo apenas puede levantar

otros 3200 N de pasaj eros, desayuno y champ an cuando la densidad

del aire exterior es de 1.23 kg/nr', ~que densidad media tienen los

gases calientes del interior?

14.55 Los anuncios de eierto ccche aseguran que flota en agua. a)

Si la masa del. c oche es de 900 kg y su volumen interior es de 3.0

rrr', i,que fraccion queda sumergida al flotar? Puede despreciarse el

volumen del acero y demas materiales. b) Poco a poco se filt ra agua

y desplaza al aire del coche, /.Qlle fraccion del volumen interior es-

ta llena de agua cuando el cocbe sehunde?

14.56 Un cuba de hielo de 9.70 g flota en un vasa t ot alr ne nte I le no

con 420 cnr ' de agua. Desprecie la tension superficial del agua y su

variaci6n de densidad con Jatemperatura (rnientras siga l iquida). a)

i,Que volurnen de agua desplaza el hielo? b) Una vez derretido el

hielo, se habra desbordado algo de agua? Si as! fue, lcuanta? Si no,

explique por que no. c) Suponga que el agua del vasa era muy sala-

da, con densidad de 1050 kg/rrr' . lQue volumen de agua salada des-

plazaria el cuba de hielo de 9.70 g? d) Repita la parte (b) para el

cnbo de agua dulce en a gu a s ala da .

14.57 Un trozo de madera de 0.600 m de longitud, 0.250 IIIde an-

chura y 0.080 m de espesor tiene una densidad de 600 kg/m", ~Qn6

volurnen de plomo debe sujetarse a su base parahundir la madera

en agua tranquila de modo que su cara superior este al ras del agua?

.:.Quemasa tiene ese plomo?




R-R

desencallarlo, el petro leo se bombea a barriles de acero que vacios

tienen una masa de 15.0 kg Y capacidad de 0.120 m3. Puede despre-

ciar el volurnen ocupado par eJ acero del barril. a) Si un rescatista

accidentalmente deja caer al mar un barril lleno y sellado, i,flotan'l

o se hundira? b) Si el barril flota, lQue fraccion de su volumen es-tara arriba de lasuperficie? Si se hunde, lAue tension minima ha-

bria que ejercer con una cuerda para subir el barril del fonda? c)

Repita las partes (a) y (b) si la densidad del petroleo es de 910

kg/rrr ' y los b a rr il es v ac io s t ie ne n una masa de 32.0 kg .

14.73 Un bloque cubico can densidad P H y lados de longitud L flo-

ta en un Iiquido can densidad mayor PL ' a) i,Que fraccion del volu-

men del bloque esta sabre la superficie del liquido? b) El liquido es

mas dens a que el agua (densidad P A l y no se mezcla con ella. Si se

vierte agua en la superficie del Iiquido, que espesor (en terminos de

L, p P " P L Y P A l debe tener la capa de agua para que su superficie es-

re al ras de la cara superior del bloque? c) Calcule la profundidad de

la capa de agua en la parte (b) si el liquido es mercurio, el bloque

esta hecho de hierro y la longitud de su lade es de 10.0 em,

14.74 Unabarcaza esta en una esclusa rectangular en un rio de

agua dulce. La esclusa mide 60.0 lll. de longitud y 20.0 J11 de anchu-

ra, y las puertas de acero en sus extremos estan cerradas, Con la

barcaza f1otando en la esclusa, una carga de 2.50 X 106 N de chata-

rra se coloca en la barcaza, 81 metal tiene una densidadde 9000

kg/m". a) Cuando la carga, que inicialmente estaba en tierra, se co-

loca en la barcaza, l,que distancia vertical sube el agua en la esclu-

sa? b) Ahora la chatarra se tira de la barcaza al agua, tEl nivel del

agua en la esclusa sube, baja 0 no cambia? Si sube 0 baja, i,CUanto

1 0 hace?

14.75 Un tubo en forma de U

con una porcion horizontal de

longirud / (Fig. 14.37) contiene

un Iiquido. (.Que diferencia de al-

tura hay entre las columnas de ll-

quido en las rarnas verticales a)

si el tuba tiene una aceleracion a

hacia la derecha? b) i,Si el tuba

ser monta en una tomamesa ho-

rizontal que gira con velocidad

angular O J , con una rama vertical en el eje de rotacion? cjExplique

par que la diferencia de altura no depende de la densidad delliqui-

do ni del area de seccion transversal del tubo. i,Seria 1 0 mismo si las

ramas verticales no tuvieran la misma seccion? I,Seria 1 0 rnismo si

la porcion horizontal estuviera ahusada de un extrema al otto? Ex-

plique.

14.76 Un recipiente cilindrico con unliquido incornpresible (den-

sidad p) gira con velocidad an-

gular constante ill alrededor de y ..

su eje de simetria, que tomamos

como eje y (Fig. 14.38). a) De-

muestre que la presion a una al-

tura dada dentro del fluido

aumenta en la direccion radial

(bacia afuera desde el eje de ro-

tacicn) segun ap/!)r = pw2r. b)

lntegre esta ecuacion diferencial

parcial para obtener la presion F igura 14 .38 Problema 14.76.

F igura 14 .37 Problema 14.75.

en funcion de la distancia del eje de rotacron a 1 0 largo de una linea

horizontal en y =o . c) Combine el resultado de la parte (b) can Ia

ecuacion (14.5) para demostrar que la superficie delliquido tiene

forma parabolica, es decir, la altura del liquido esta dada por her)

= aJ?12g. (Esta tecnica se usa para hacer espejos de telescopio pa-rabolicos; se gira vidrio Jiquido, dejando que se solidifique mien-

tras gira.)

14_77 Un fluido incompresible con densidad pesta en un tubo de

ensaye horizontal COil area transversal interior A. El tuba gira en un

circulo horizontal en una ultracentrifuga can rapidez angular ill.Las

fuerzas gravitacionales son insignificantes, Considere un elernento

de volumen del fluido can area A y espesor dr', a una distancia r'

del eje de rotacion. La presion en su superficie interior es p, y en la

exterior,p + dp. a) Aplique la segunda ley de Newton al elemento

para demostrar que dp =pwr'dr'. b) Si la superficie del fluido es-

ta en un radio "0 donde la presion es Po, demuestre que la presion p

a una distancia r 2: 1 "0 es p =Po + p O J \ r 2 - 1 '0 2 )/2. c) Un objeto con

volumen V y densidad Pob tiene su centro de masa a una distancia

Rornob del eje. Demuestre que la fuerza horizontal neta que actua so-

bre el objeto es pVm2Rcm, donde Rem es la distancia del eje al centro

de masa del fluido desplazado. d) Explique por que el objeto se

_mueve hacia adentro si p R e m > P O I f i C I T l O b y bacia afuera si p R o m <p : t , R ~ m o h ' e) Para objetos pequefios con densidad uniforme, R C l u =

R e m o n . lQue sucede con una mezcla de objetosde este tipo con di-

ferentes densidades en una ultracentrifuga?

14.78 Globes sueltos Ilenos de helio, flotando en un coche con las

ventanas y las venti las cerradas, se mueven en la direccion de la

aceleraci6n del c o ch e, p er o g lo b es sueltos lIenos de aire se mueven

en la direccion opuesta, Para entender esto, considere solo las fuer-

zas horizontales que acnian sabre los globos. Sea a la magnitud de

la aceleracion hacia adelante del coche. Considere un tubo horizon-

tal de aire con area transversal A que se extiende del parabrisas,

donde x = 0 y p = Po, haciaatras sabre el eje x. Considere un de-

mento de volumen de espesor dx en este lubo. La presion en su su-

perficie delantera esp, y en la trasera es p + dp. Suponga que el aire

tienb una densidad constante p. a) Aplique la segunda ley de New-

ton a este elementopara demostrar que dp = pa dx. b) Integre el

resultado de (a) para obtener la presion en la superficie delantera en

terminos de a y x. c) Para demostrar que considerar a P constante es

razonable, calcule la diferencia de presion en atmosferas para una

distancia de basta 2.5 m y una aceleracion grande de 5.0 m/s", d)

Demuestre que la fuerza horizontal neta que aetna sobre un globo

de volurnen Ves pVa, e) Si las fuerzas de friccicn son desprecia- .

bles, demuestre que la aceleracion del globo (densidad media P g J o )

es (plpgJ(.)a y que su aceleracion relativa al cache es arel = [(p/PgJo)

0.15 m

~

0.Q75

(a)

F igura 14 .39 Problema 14.79.

(b)



- l]a. f) Use Ia expresion para arel de la parte (e) para explicar el

movimiento de los globes.

14.79 Un bloque cubico de madera de 0.30 m por lado incluye pe-

sos que hacen que su centro de gravedad este en el punta que se in-

diea en la figura J 4.39a. EI bloque flota e11agua con la rnitad de su

volumen sumergido, El bloque se "ladea" con u n angulo de 45.0°,

como en la figura 14.39b. Calcule el momento de torsion neto res-

pecto a un eje horizontal perpendicular al bloque y que pasa por BU

centro geometrico,

14.80 Hay agua hasta una altura Hen un tanque abierto grande con

paredes verticales (Fig. 14.40). Se hace un agujero en una pared a

una profundidad h bajo la superficie del agua. a) ~A que distancia

R del pie de la pared tocara el piso el chorro qLle sale? b) GAque

distancia sobre la base del tan que podria hacerse un segundo aguje-

ro tal que el chorro que salga por el tenga el mismo alcance que el

que sale por el primero?

TH

F ig ura 1 4.4 0 Problema 14.80.

1.4.81 Una cubeta cilindrica, abierta par arriba, tiene 25.0 em de

altura y 10.0 ern de diametro. Se hace un agujero circular Call area

de 1.50 cm2 en el centro del fonda de la cubeta, Se esta virtiendo

agua en la cubeta mediante un tubo que esta arriba, a razon de 2.40X 10-4 mJ/s. ~A que altura sub ira el agua en la cubeta?

14.82 Fluye agua continuamente de un tanque abierto como en la

Fig. 14.41. La altura del punto 1 es de 10.0 m, y la de los puntas 2

y 3 es de 2.00 m. El area transversal en e1punto 2 es de 0.0480 ill;

en el punto 3 es de 0.0160 m2. EI area del tanque es muy grande en

cornparacion con el area transversal del tuba. Suponiendo que 'pue-

'tieaplicarse la ecuaci6n de Bernoulli, calcule a) la rapidez de des-

carga en m 3 /s; b) la presion manometrica en el punto 2.\

1

Figura 14.41 Problema 14.8!.

14.83 EI diseii.o moderno de aviones exige una sustentacicn, debi-

da a la fuerza neta del aire en movimiento sobre el ala, de cerca de

Problemas de desaffo 5

2000 Npor m2 de area de ala. Suponga que aire (densidad =1

kg/rrr') fluye por el.ala de un avion con flujo de linea de corrient

Si la rapidez de. flujo por la cara inferior del ala es de 120 mis, ~q

rapidez debe haber sobre la cara superior para cbtener una suste

taci6n de 2000 N/m2?

14.84 El radio del huracan Emily de 1993 fue de unos 350 km,

rapidez del viento cerca del centro ("ojo") del huracan, cuyo rad

fue de unos 30 km, alcanzo cerca de 200 km/h. Al entrar aire d

borde del huracan hacia el ojo, su cantidad de movimiento angul

se mantiene casi constante. a) Estime la rapidez del viento en

borde del huracan. b) Estime la diferencia de presion en el suelo e

tre el ojo y el borde del huracan. (Sugerencia: Yea la tabla 1.4

l,D6nde es mayor 1apresion? c) Si la energia cinetica del aire arr

molinado en el ojo pudiera convertirse totalmente enenergia pote

cial gravitacional, i,cuanto subiria el aire? d) De hecho, el .aire en

ojo sube a alturas de varios kilometres. GC6mo puede conciliar

to con su respuesta a la parte (c)?

14.85 Dos tanques abiertos muy grandesA y F (Fig. 14.42) conti

nen el mismo liquido. Un tuba horizontal BCD, con una constri

cion en C y abierto al aire en D,· sale del fondo del tanque A .

tubo vertical B emboca en la constriccion en C y baja al liquido d

tanque F. Suponga flujo de linea de corriente y cero viscosidad.

el area transversal en C es la mitad del area en D, y si D esta a u

distancia hi bajo eI nivel del liquido en A, ~a que altura h " l subira

liquido en el tuba E? Exprese su respuesta en terminos de h.,

A

D

- - - - -- -- - - -- 't'- --

B

F

Figura 14.42 Problema 14.85.

14.86 El tubo horizontal de la

figura 14.43 tiene un area trans-

versal de 40.0 ern? en la parte

mas ancha y de 10.0 em? en la

constriccion, Fluye .agua en el

tuba, cuya descarga es de 6.00 x10-3 m3/s (6.00 Lis). Calcule a)

la rapidez de flujo ell las porcio-

nes ancha y angosta; b) la dife- Figura 14.43 Problema 14.8

rencia de presion entre estas

porciones; cjla diferencia de a1-

·tura entre las columnas de mercurio en el tubo con forma de U.

14.87 Un liquido que fluye de un tubo vertical produce un chor

con una forma bien definida. Para obtener la ecuacion de esta fo

ma, suponga que el liquido esta en caida libre.una vez que sale d

tubo. Al salir, el liquido tiene rapidez v o , y el radio del chorro es

a) Obtenga una ecuacion para la rapidez delliquido en funcion

la distancia y que ha caido. Combinando esto con la ecuacio

40.0 cm2



546

blecer el flujo, el tuba debe llenarse inicialmente con fluido. Sea p

la densidad del fluido YP« la presion atrnosferica. Suponga que el

area transversal del tuba es la misma en toda su longitud. a) Si

el extreme inferior del sifon esta a una distancia h bajo el nivel del

liquido en el recipiente, Gconque rapidez fluye el liquido por dicho

extremo? (Suponga que el recipiente tiene un diametro rnuy gran-

de, y haga caso omiso de los efectos de viscosidad.) b) Un aspecto

curio so es que el fluido inicialmente fluye bacia arriba. i .QUe altu-

ra maxima H puede tener el punto alto del tubo sin que deje de ha-

ber flujo?

14.92 Lo siguiente se tom6 de una carta. Los carpinteros locales

acostumbran, al trazar y nivelar los cimienios deconstrucciones

relativamenie largas, usar una manguera de jardin llena de agua,

en cuyos extremes meten tubos de vidrio de lOa 12 pulgadas de

Iongitud. La teoria es que el agua, buscando un nivel comun, ten-

dra la misma altura en ambos tubos y servira como nivel. Surge fa

duda de qu e paso si se deja una burbuja de aire en la manguera.

Nuestros expertos aseguran que el.a ire no afecta la lectura de un.

ex tr em o a l o tr o. O tr os d icen q ue sf habra una inexactitud importan-

te o ~Puede el lector dar una respuesta relativamente sencilla a esta

~\'I:,~\\\\t..\!..)\\\\\\'\\,\'\\\ \ll.\\l ,,~~\\\'\!..\'\Q.\\~L I \ . { \ ~ \ \ \ . \ \ . l 4 . A I i I : : ! Q ~ Q , 1 J . . " ' 1 < l . . t < l . .

_.situacion que cause la disputa.- . , .

CAPiT UL0 14 I Mecanica de fluidos

de continuidad, obtenga una expresion para el radio del chorro en

funcion de y. b) Si fluye agua de un tuba vertical can rapidez de sa-

lida de 1.20 m/s, ,r,aque distancia bajo la salida se habra reducido a

la mitad el radio original del chorro?

P roblemas de desafio

14.88 Una roca con masa m =3.00 kg se cuelga del techo de un

elevador can un cordon ligero. La roca esta totalrnente sumergida

en una cubeta con agua que esta en el piso del elevador, pero no toea

el fondo ni los lades de la cubeta . . a) Con e 1 elevador en repose, la

tension en el cordon es de 2J.0 N. Calcule el volumen de la piedra.

b) Deduzca una expresion para la tension en el cordon cuando el

elevador tiene una aceleraeion de magnitud a bacia arriba. Calcu-

le la tension cuando a =2.50 m/s? hacia arriba. c) Deduzca una ex-

presion para la tension en el cordon cuando el elevador bene una

aceleracion de magnitud a hacia abajo. Calcule Ia tension cuando a

"= 2.50 mls2 hacia abajo. d) Determine la tension cuando el eleva-dor esta en caida libre con aceleracion bacia abajo igual a g.

14.89 Suponga que un t ro zo de espuma de poliestireno, p = 180 kg/ill} ,

se mantiene totalmente sumergido en agua (Fig. 14.44). a) Calcu-

le la tension en la cuerda usando el principia de Arquirnedes, b) Use p

=Po + pgh para calcular directamente la fuerza que el agua ejerce so-

bre los dos lados inclinados y la base del trozo; luego demuestre que

lasuma vectorial de estas fuerzas es la fuerza de flotacion.

F ig u ra 1 4.4 4 Problema de desafio 14.89.

14.90 Un tauque grande con

diarnetro D, abierto al aire, COll-

tiene agua hasta una altura H. Se

haee un agujero pequefio con dia-

metro d( d « D ) en la base del

tanque, Haciendo caso omiso de

los efectos de viscosidad, calcu-

le el tiempo que el tanque tardaen vaciarse.

14.91 Un sifon (Fig. 14.45) es

un dispositive util para sacar 1)-

quidos de recipientes. Para esta-

F ig ura 1 4.4 .5 Problema de

desafio 14.91.

Burbuja de aire arrapada en

Ia manguera

F ig ura 1 4.4 6 Problema de desafio 14.92.

\

capitulo 14 sears

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