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  • N. PISKOUNOV

    CALCUL

    DIFFERENTIEL

    et

    INTEGRAL

    Tome I

    9e dition

    EDITION MIR MOSCOU

    10

    Traduit du russe par

    G. DER-MEGERDITCHIAN (ch. I-X) et E. GLOUKHIAN (ch. XI-XII)

    Traduction franaise Editions Mir 1980

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  • TABLE DES MATIRES Avant-propos la cinquime dition 11 CHAPITRE I NOMBRE, VARIABLE, FONCTIONS 1. Nombres rels. Reprsentation des nombres rels par les points

    de l'axe numrique 13 2. Valeur absolue d'un nombre rel 15 3. Grandeurs variables et grandeurs constantes 16 4. Domaine de dfinition d'une variable 17 5. Variable ordonne. Variable croissante et variable dcroissante.

    Variable borne 19 6. Fonction 20 7. Diverses formes d'expression des fonctions 21 8. Principales fonctions lmentaires. Fonctions lmentaires . 23 9. Fonctions algbriques 28 10. Systme de coordonnes polaires 30 Exercices 32 CHAPITRE II LIMITE ET CONTINUIT DES FONCTIONS 1. Limite d'une grandeur variable. Grandeur variable infiniment

    grande 34 2. Limite d'une fonction 37 3. Fonctions qui Fendent vers l'infini. Fonctions bornes 40 4. Infiniment petits et leurs proprits fondamentales 44 5. Thormes fondamentaux sur les limites 47

    6. Limite de la fonction x

    xsin quand x 0 51 7. Le nombre e 53 8. Logarithmes npriens 58 9. Continuit des fonctions 59 10. Proprits des fonctions continues 64 11. Comparaison des infiniment petits . . . . 66 Exercices 69 CHAPITRE III DRIVE ET DIFFRENTIELLE 1. Vitesse d'un mouvement 72 2. Dfinition de la drive 74 3. Interprtation gomtrique de la drive 76 4. Fonctions drivables 77

    5. Drive de la fonction y = xn pour n entier et positif 79 6. Drives des fonctions y = sin x; y = cos x 81 7. Drives d'une constante, du produit d'une constante par une fonction, d'une somme, d'un produit et du rapport de

    deux fonctions 83 8. Drive d'une fonction logarithmique 88 9. Drive d'une fonction compose 89 10. Drives des fonctions y = tg x, y = ctg x, y = Log | x | 91 11. Fonction implicite et sa drive 93 12. Drive d'une fonction puissance quand l'exposant est un nombre

    rel quelconque, drive de la fonction exponentielle et de la fonction compose exponentielle 95

    13. Fonction inverse (ou rciproque) et sa drive 98 14. Fonctions trigonomtriques inverses et leurs drives 102 15. Tableau des principales formules de drivation 106 16. Fonctions donnes sous forme paramtrique 108 17. Equations paramtriques de certaines courbes 109 18. Drive d'une fonction donne sous forme paramtrique 112 19. Fonctions hyperboliques 114 20. Diffrentielle 117 21. Interprtation gomtrique de la diffrentielle 121 22. Drives de diffrents ordres 122 23. Diffrentielles de diffrents ordres 125 24. Drives de diffrents ordres des fonctions implicites et. des

    fonctions donnes sous forme paramtrique 126 25. Interprtation mcanique de la drive seconde 129 26. Equations de la tangente et de la normale. Longueurs de

    la sous-tangente et de la sous-normale 130 27. Interprtation gomtrique de la drive du rayon vecteur par

    rapport l'angle polaire 133 Exercices 135 CHAPITRE IV THORMES RELATIFS AUX FONCTIONS DRIVABLES 1. Thorme relatif aux racines de la drive (thorme de Rolle) 147 2. Thorme des accroissements finis (thorme de Lagrange) 149 3. Thorme de Cauchy (rapport des accroissements de

    deux fonctions) 150 4. Limite du rapport de deux infiniment petits (vraie valeur des

    indterminations de la forme 00 ) 151

    5. Limite du rapport de deux infiniment grands (vraie valeur des

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  • indterminations de la forme ) 155

    6. Formule de Taylor 160 7. Dveloppement des fonctions ex, sin x, cos x par la formule de

    Taylor 164 Exercices 168 CHAPITRE V TUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS 1. Position du problme 171 2. Croissance et dcroissance des fonctions 172 3. Maximum et minimum des fonctions 174 4. Marche suivre pour l'tude du maximum et du minimum d'une

    fonction drivable l'aide de la drive premire 181 5. Etude du maximum et du minimum des fonctions l'aide de la

    drive seconde 183 6. Plus grande et plus petite valeur d'une fonction sur un segment 187 7. Application de la thorie 4u maximum et du minimum des

    fonctions la rsolution de problmes 188 8. Etude des maximums et des minimums d'une fonction l'aide de la formule de Taylor 190 9. Convexit et concavit des courbes. Points d'inflexion 192 10. Asymptotes 199 11. Schma gnral de l'tude des fonctions et de la construction

    des graphiques 203 12. Etude des courbes donnes sous forme paramtrique 207 Exercices 212 CHAPITRE VI COURBURE D'UNE COURBE 1. Longueur de l'arc et sa drive 219 2. Courbure 221 3. Calcul de la courbure 223 4. Calcul de la courbure des courbes sous forme paramtrique 226 5. Calcul de la courbure des courbes en coordonnes polaires 227 6. Rayon et cercle de courbure. Centre de courbure.

    Dveloppe et dveloppante 228 7. Proprits de la dveloppe 234 8. Calcul approch des racines relles d'une quation 237 Exercices 242 CHAPITRE VII NOMBRES COMPLEXES, POLYNMES

    1. Nombres complexes. Dfinitions 245 2. Principales oprations sur les nombres complexes 247 3. Elvation d'un nombre complexe une puissance et extraction

    de la racine d'un nombre complexe 250 4. Fonction exponentielle exposant complexe et ses proprits 253 5. Formule d'Euler. Forme exponentielle d'un nombre complexe 256 6. Dcomposition d'un polynme en facteurs 258 7. Racines multiples du polynme 261 8. Dcomposition en facteurs d'un polynme dans le cas des

    racines complexes 263 9. Interpolation. Formule d'interpolation de Lagrange 264 10. Formule d'interpolation de Newton 266 11. Drivation numrique 268 12. Meilleure approximation d'une fonction par des polynmes.

    Thorie de Tchbychev 269 Exercices 271 CHAPITRE VIII FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1. Dfinition des fonctions de plusieurs variables 273 2. Reprsentation gomtrique d'une fonction de deux variables 276 3. Accroissement partiel et accroissement total de la fonction 277 4. Continuit des fonctions de plusieurs variables 279 5. Drives partielles d'une fonction de plusieurs variables 282 6. Interprtation gomtrique des drives partielles d'une

    fonction de deux variables 284 7. Accroissement total et diffrentielle totale 285 8. Emploi de la diffrentielle totale pour les calculs approchs 288 9. Emploi de la diffrentiel) pour valuer l'erreur commise

    pendant les calculs numriques 289 10. Drive d'une fonction compose. Drive totale. Diffrentielle

    totale d'une fonction compose 293 11. Drivation des fonctions implicites 297 12. Drives partielles de diffrents ordres 300 13. Surfaces de niveau 305 14. Drive suivant une direction donne 306 15. Gradient 308 16. Formule de Taylor pour une fonction de deux variables 312 17. Maximum et minimum d'une fonction de plusieurs variables 314 18. Maximums et minimums des fonctions de plusieurs variables

    soumises certaines conditions (maximums et minimums lis) 323 19. Dpendance fonctionnelle obtenue en traitant les donnes

    exprimentales par la mthode des moindres carrs 328

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  • 20. Points singuliers d'une courbe 332 Exercices 338 CHAPITRE IX APPLICATIONS DU CALCUL DIFFRENTIEL LA GOMTRIE DE L'ESPACE 1. Equation d'une courbe dans l'espace 342 2. Limite et drive d'une fonction vectorielle d'une variable

    scalaire indpendante. Equation de la tangente une courbe. Equation du plan normal 345

    3. Rgles de drivation des vecteurs (fonctions vectorielles) 351 4. Drives premire et seconde d'un vecteur par rapport la

    longueur de l'arc. Courbure de la courbe. Normale principale. Vitesse et acclration du point dans un mouvement curviligne 354

    5. Plan osculateur. Binormale. Torsion d'une courbe gauche 363 6. Plan tangent et normale une surface 368 Exercices 372 CHAPITRE X INTGRALE INDFINIE 1. Primitive et intgrale indfinie 375 2. Table d'intgrales 378 3. Quelques proprits de l'intgrale indfinie 380 4. Intgration par changement de variable 382 5. Intgration de certaines expressions contenant le trinme

    ax2 + bx + c 384 6. Intgration par parties 387 7. Fractions rationnelles. Fractions rationnelles lmentaires et

    leur intgration 390 8. Dcomposition des fractions rationnelles en lments simples 395 9. Intgration des fractions rationnelles 399 10. Intgration des fonctions irrationnelles 402

    11. Intgrales du type dxcbxaxxR ++ ),( 2 404 12. Intgration de certaines classes de fonctions trigonomtriques 407 13. Intgration de certaines fonctions irrationnelles l'aide de

    transformations trigonomtriques 412 14. Fonctions dont les intgrales ne peuvent tre exprimes par

    des fonctions lmentaires 414 Exercices 416

    CHAPITRE XI INTGRALE DFINIE 1. Position du problme. Sommes intgrales infrieure et suprieure 427 2. Intgrale dfinie. Thorme d'existence de l'intgrale dfinie 429 3. Proprits fondamentales de l'intgrale dfinie 439 4. Calcul de l'intgrale dfinie. Formule de Newton Leibniz 443 5. Changement de variabl