calcul differentiel et integral : fonctions de...

CALCUL DIFFERENTIEL et INTEGRAL :

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

Louis RandriamihamisonRachid Ababou

Laurent BletzackerVladimir Bergez

2003-2004

Table des matières

1 Différentiabilité 51.1 Fonctions de Rn dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Fonctions de Rn dans Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Opérations sur les différentielles . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Formules de Taylor et extréma 112.1 Formule des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Formule de Taylor à l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Formule de Taylor à l’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Extréma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1 Condition nécessaire ou suffisante pour un extremum local 14

3 Intégrales multiples 173.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Calcul en coordonnées cartésiennes (Fubini) . . . . . . . 173.1.2 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1 Calcul en coordonnées cartésiennes (Fubini) . . . . . . . 213.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Analyse vectorielle 234.1 Introduction : Coordonnées de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.1 Coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.2 Jacobien du changement de coordonnées . . . . . . . . . . 244.1.3 Coordonnées curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . 254.1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Champs scalaire et vectoriel - Opérateurs . . . . . . . . . . . . . 27

3

4 TABLE DES MATIÈRES

4.2.1 Champs scalaire et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.2 Le gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . 284.2.3 Le rotationnel d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . 294.2.4 La divergence d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . 334.2.5 Formules d’Analyse Vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Courbes et Surfaces 395.1 Courbes différentiables dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1.2 Longueur de la courbe entre deux points . . . . . . . . . . 395.1.3 Notion d’abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.2 Lignes de coordonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.3 Plan tangent et vecteur normal en un point régulier . . . 425.2.4 Aire d’une surface paramétrée régulière . . . . . . . . . . 435.2.5 Orientation d’une surface paramétrée régulière . . . . . . 435.2.6 Bord d’une surface paramétrée régulière . . . . . . . . . . 44

5.3 Paramétrisations de quelques surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.1 La sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.2 L’ellipsöıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.3 Le cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.4 Le cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.5 Le parabolöıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Formules intégrales 496.1 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.2 Théorème : Travail d’un champ de gradient . . . . . . . . 506.1.3 Théorème : Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . 50

6.2 Intégrales de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.1 Définition : Intégrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.2 Définition : Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . 52

6.3 Théorème : Formule de Stockes-Ampère . . . . . . . . . . . . . . 536.4 Théorème : Formule de Green-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . 54

Chapitre 1

Différentiabilité

1.1 Fonctions de Rn dans R1.1.1 Préliminaires

L’espace vectoriel Rn sera muni d’une des trois normes suivantes :– La norme euclidienne : ||x||2 =

√∑ni=1 x

2i

– La norme ”1” : ||x||1 =∑ni=1 |xi|

– La norme ”infini” : ||x||∞ = sup(|x1|, · · · , |xn|)Toutes les normes d’un espace vectoriel de dimension fini étant équivalentes,

il est loisible d’écrire les définitions suivantes avec n’importe laquelle.

On rappelle la définition de la limite d’une fonction f de Rn dans R définiesur un ouvert U de Rn :

Définition :

Soit a ∈ U , f admet une limite en a s’il existe un réel ` tel que :

∀² > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ U 0 < ||x− a|| < α⇒ |f(x)− `| < ²

Définition :

Soit a ∈ U , f est continue en a si f admet une limite ` en a et si f(a) = `.

1.1.2 Dérivées partielles

Définition :

Soit a = (a1, · · · , an) ∈ U . On dit que f admet une dérivée partielle d’indicei en a si la ieme application partielle

fai : xi −→ f(a1, · · · , xi, · · · , an)

5

6 CHAPITRE 1. DIFFÉRENTIABILITÉ

est dérivable en ai. On note alors le nombre dérivé :∂f

∂xi(a)

Définition :

Si pour tout point a de U , le nombre dérivé∂f

∂xi(a) est défini, alors on note

∂f

∂xiou ∂if l’application dérivée partielle :

∂f

∂xi: x −→ ∂f

∂xi(x)

ou

∂if : x −→∂f

∂xi(x)

Exemple :

Existence des dérivées partielles en (0, 0) de l’application f : R2 → R définiepar :

f(x, y) =x2 + xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

f(0, 0) = 0

Commençons par la première dérivée partielle en (0, 0).

pour x 6= 0 on a f01 (x) = f(x, 0) =x2

x2= 1

et pour le taux d’accroissement :

f(0 + h, 0)− f(0, 0)h

=1

h→ ±∞ quand h→ 0

Donc l’application f n’admet pas de dérivée partielle d’indice 1 en (0, 0) : le

nombre∂f

∂x(0, 0) n’est pas défini.

Pour la seconde dérivée partielle en (0, 0).

pour y 6= 0 on a f02 (y) = f(0, y) =0

y2= 0

et pour le taux d’accroissement :

f(0, 0 + h)− f(0, 0)h

=0

h= 0→ 0 quand h→ 0

Donc l’application f admet une dérivée partielle d’indice 2 en (0, 0) égale à 0,

on écrit :∂f

∂y(0, 0) = 0.

1.2. FONCTIONS DE RN DANS RP 7

1.1.3 Différentiabilité

Définition :

Soit a ∈ U . L’application f est différentiable en a s’il existe une applicationlinéaire L : Rn → R et une application φ : Rn → R telles que

∀h ∈ Rn f(a+ h) = f(a) + L(h) + φ(h)

avec limh→0|φ(h)|||h|| = 0.

Si elle existe, l’application linéaire L est unique, et est appelée différentiellede f en a, notée df(a). On note alors : df(a).h = L(h).

1.2 Fonctions de Rn dans Rp

1.2.1 Différentiabilité

Soit une fonction f de Rn dans Rp définie sur un ouvert U de Rn :

Définition :

Soit a ∈ U . L’application f est différentiable en a s’il existe une applicationlinéaire L : Rn → Rp et une application φ : Rn → Rp telles que

∀h ∈ Rn f(a+ h) = f(a) + L(h) + φ(h)

avec limh→0||φ(h)||||h|| = 0.

Si elle existe, l’application linéaire L est unique, et est appelée différentiellede f en a, notée df(a). On note alors : df(a).h = L(h).

Définition :

Si f admet une différentielle en tout point a de U , alors elle est différentiablesur U et l’application

df : U → L(Rn,Rp)a 7→ df(a)

est nommée application différentielle de f .

Définition : Dérivée dans une direction

Soit u un vecteur de Rn de norme 1. On appelle dérivée de f au point a ∈ Udans la direction u la limite si elle existe :

limt→0

f(a+ tu)− f(a)t

Cette dérivée est souvent notée∂f

∂u(a).


Proposition :

Si f est différentiable en a, alors elle admet des dérivées en a dans toutes lesdirections (la réciproque est fausse). On a alors :

∂f

∂u(a) = df(a).u

preuve :On a :

f(a+ tu)− f(a)t

=df(a).tu+ φ(tu)

t= df(a).u+

φ(tu)

t||u|| avec ||u|| = 1

d’où :

limt→0

f(a+ tu)− f(a)t

= df(a).u

¥

Corollaire :

Si f est différentiable en a, alors elle admet des dérivées partielles premièresen a.

Définition : fonction de classe C1

On dit que f est de classe C1 sur U si elle admet des dérivées partiellespremières sur U et si toutes ces dérivées sont continues sur U .

Théorème :

Si f est de classe C1 sur U alors f est différentiable sur U . (réciproquefausse !)

1.2.2 Matrice jacobienne

L’application df(a) étant une application linéaire Rn dans Rp, elle admet unereprésentation matricielle (en choisissant les bases canoniques des deux espaces)par une matrice à p lignes et n colonnes. cette matrice s’appelle la matricejacobienne de f au point a et est notée Jf (a).

Théorème :

Si on pose

f(x) =(f1(x1, · · · , xn), · · · , fj(x1, · · · , xn), · · · , fp(x1, · · · , xn)

)

1.2. FONCTIONS DE RN DANS RP 9

Alors les coefficients de la matrice jacobienne sont donnés par :

cij =∂fi∂xj

(a) i = 1, · · · , p j = 1, · · · , n

En particulier, si f : Rn → R, (p = 1), alors

Jf (a) =(( ∂f∂x1

(a), · · · , ∂f∂xn

(a)))

preuve :Il suffit de faire la démonstration dans le cas particulier où la matrice jaco-

bienne comporte une seule ligne, elle a donc la forme suivante

Jf (a) = ((c1, · · · , cn))L’expression de la différentielle serait donc :

df(a).h = c1h1 + · · ·+ cnhnPour calculer le coefficient ci, il suffit de calculer la limite :

ci = limt→0

df(a).(0, · · · , t, · · · , 0)t

ci = limt→0

f(a1, · · · , ai + t, · · · , an)− f(a)t

ci =∂f

∂xi(a)

¥

Exemple :

Existence des dérivées partielles en (0, 0) et étude de la différentiabilité en(0, 0) de l’application f : R2 → R définie par :

f(x, y) =xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

f(0, 0) = 0

On montre facilement que f admet des dérivées partielles premières en (0, 0)et que

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0

Etudions la différentiabilité :

f(h, k)− f(0, 0)− 0.h− 0.k√h2 + k2

=hk

(h2 + k2)√h2 + k2

Expression qui n’a pas de limite lorsque√h2 + k2 tend vers 0.

Donc f n’est pas différentiable en (0, 0).


Définition :

Soit f : Rn → Rn, différentiable en a ∈ Rn. On appelle jacobien de f en aet on note jf (a), le déterminant de la matrice jacobienne de f en a.

jf (a) = det Jf (a)

Ce nombre joue un rôle important dans l’intégration des fonctions de plusieursvariables.

1.2.3 Opérations sur les différentielles

Proposition : linéarité

Soit f et g deux applications de Rn dans Rp différentiables en a. Soit λ ∈ R.L’application λf + g est différentiable en a et on a :

d(λf + g)(a) = λdf(a) + dg(a)

J(λf+g)(a) = λJf (a) + Jg(a)

Proposition : produit

Soit f et g deux applications de Rn dans R différentiables en a. L’applicationfg est différentiable en a et on a :

d(fg)(a) = f(a)dg(a) + g(a)df(a)

J(fg)(a) = f(a)Jg(a) + g(a)Jf (a)

Remarque : c’est l’équivalent de la formule (uv)′ = u′v + uv′.

Proposition : quotient

Soit f et g deux applications de Rn dans R différentiables en a et g nes’annule pas sur un voisinage de a. L’application

f

gest différentiable en a et on

a :

d(fg

)(a) =

g(a)df(a)− f(a)dg(a)g(a)2

J( fg )(a) =

1

g(a)2

(g(a)Jf (a)− f(a)Jg(a)

)

Théorème : Composition

Soit f une application de Rn dans Rp différentiable en a, et g une applicationde Rp dans Rq différentiable en f(a) . L’application g ◦ f est différentiable en aet on a :

d(g ◦ f)(a) = dg(f(a)) ◦ df(a)J(g◦f)(a) = Jg(f(a))× Jf (a)

Chapitre 2

Formules de Taylor etextréma

On considère ici des fonctions de Rn dans R

2.1 Formule des Accroissements Finis

Théorème :

Soit f : Rn → R différentiable sur un ouvert U de Rn. Soient a et a+h deuxpoints de U tels que le segment [a, a+ h] est tout entier contenu dans U . Alorsil existe une réel θ ∈]0, 1[ tel que :

f(a+ h) = f(a) + df(a+ θh).h

Corollaire : L’inégalité des accroissements finis

Si U est un ouvert convexe, et si df est bornée sur U , c’est-à-dire si

∃M > 0 ∀a ∈ U ∀i = 1, · · · , n | ∂f∂xi(a)

| ≤M

Alors

∃K > 0 ∀(a, b) ∈ U2 |f(b)− f(a) ≤ K ||b− a||

2.2 Dérivées successives

Rappelons que l’application x 7→ ∂f∂xi

(x) est une application de Rn dans R.Si elle admet des dérivées partielles, alors on note

∂2f

∂xj∂xi(x) =

∂

∂xj

( ∂f∂xi

)(x)

11

12 CHAPITRE 2. FORMULES DE TAYLOR ET EXTRÉMA

les dérivées partielles secondes de f .

On peut ainsi définir les dérivées successives de f .

Théorème (Schwarz) :

Si f admet des dérivées partielles secondes continues dans un voisinage dea, alors on a :

∂2f

∂xj∂xi(a) =

∂2f

∂xi∂xj(a)

On dit que l’on peut intervertir l’ordre de dérivation.

Définition : fonction de classe Ck

On dit que f est de classe Ck sur U si toutes ses dérivées partielles jusqu’àl’ordre k sont continues sur U .

2.3 Formule de Taylor à l’ordre 2

Théorème :

Soit f : Rn → R de classe C2 sur U ouvert de Rn. Soient a et a + h deuxpoints de U tels que le segment [a, a+ h] est tout entier contenu dans U . Alorsil existe une réel θ ∈]0, 1[ tel que :

f(a+ h) = f(a) +n∑

i=1

∂f

∂xi(a)hi +

1

2

[ n∑

i=1

∂f

∂xi(a+ θh)hi

](2)

La notation [· · · ](2) désigne une puissance symbolique qui se développe formelle-ment comme dans la formule de Newton :

[ ∂f∂x1

(a)h1 +∂f

∂x2(a)h2

](2)=∂2f

∂x21(a)h21 + 2

∂2f

∂x1∂x2(a)h1h2 +

∂2f

∂x22(a)h22

Théorème local (Taylor-Young) :

Soit f : Rn → R de classe C2 sur U ouvert de Rn. Soient a et a + h deuxpoints de U tels que le segment [a, a+h] est tout entier contenu dans U . Alors :

f(a+ h) = f(a) +n∑

i=1

∂f

∂xi(a)hi +

1

2

[ n∑

i=1

∂f

∂xi(a)hi

](2)+ o(||h||2)

2.4. FORMULE DE TAYLOR À L’ORDRE N 13

2.4 Formule de Taylor à l’ordre n

Théorème :

Soit f : Rn → R de classe Ck sur U ouvert de Rn. Soient a et a + h deuxpoints de U tels que le segment [a, a+ h] est tout entier contenu dans U . Alorsil existe une réel θ ∈]0, 1[ tel que :

f(a+ h) = f(a) +k−1∑

p=1

1

p!

[ n∑

i=1

∂f

∂xi(a)hi

](p)+

1

k!

[ n∑

i=1

∂f

∂xi(a+ θh)hi

](k)

Théorème local (Taylor-Young) :

Soit f : Rn → R de classe Ck sur U ouvert de Rn. Soient a et a + h deuxpoints de U tels que le segment [a, a+h] est tout entier contenu dans U . Alors :

f(a+ h) = f(a) +

k∑

p=1

1

p!

[ n∑

i=1

∂f

∂xi(a)hi

](p)+ o(||h||k)

Exemple :

Donner le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 au voisinage de (e−1, 0)de la fonction :

f(x, y) = x lnx+ xy2

Il est immédiat que f est de classe C∞ au voisinage du point considéré. Lecalcul des dérivées partielles se fait facilement :

∂f

∂x(x, y) = 1 + lnx+ y2

∂f

∂y(x, y) = 2xy

∂2f

∂x2(x, y) =

1

x∂2f

∂x∂y(x, y) = 2y

∂2f

∂y2(x, y) = 2x

Pour le développement de Taylor-Young, on obtient :

f(e−1 + h, k) = −e−1 + 12

[eh2 +

2

ek2]

+ o(||h||2)


2.5 Extréma

On considère dans ce paragraphe une fonction f : R2 → R définie sur unouvert U de R2. Soit a un point de U .

Définitions :

f admet un minimum local en a s’il existe un voisinage V de a tel que

∀x ∈ V f(x) ≥ f(a)

f admet un maximum local en a s’il existe un voisinage V de a tel que

∀x ∈ V f(x) ≤ f(a)

f admet un minimum global en a si

∀x ∈ U f(x) ≥ f(a)

f admet un maximum global en a si

∀x ∈ U f(x) ≤ f(a)

2.5.1 Condition nécessaire ou suffisante pour un extremumlocal

Théorème 1 (CN) :

Si f est différentiable en a et si elle admet un extremum local en a, alors sadifférentielle en a est nulle

df(a) = 0

Théorème 2 (CS) :

On suppose que f est de classe C3 sur un voisinage de a, que df(a) = 0 etque la différentielle seconde de f en a est non nulle.

On pose (notations usuelles)

r =∂2f

∂x2(a) s =

∂2f

∂x∂y(a) t =

∂2f

∂y2(a)

et

∆ = s2 − rt

Si ∆ < 0 et r > 0, f admet un minimum local en a.Si ∆ < 0 et r < 0, f admet un maximum local en a.Si ∆ > 0, f admet un point col en a.Si ∆ = 0, on ne peut conclure directement.

2.5. EXTRÉMA 15

preuveOn considère la forme quadratique

q(h, k) = r h2 + 2s hk + t k2 = k2[r

(h

k

)2+ 2s

(h

k

)+ t]

On constate que les cas cités dans le théorème correspondent à l’étude dusigne de q(h, k).

Si ∆ < 0 et r > 0 , q(h, k) reste positif.Si ∆ < 0 et r < 0 , q(h, k) reste négatif.Si ∆ > 0 , q(h, k) change de signe (point col).Pour conclure, il suffit alors d’écrire le développement de Taylor-Young au

voisinage de a :

f(a+ (h, k)) = f(a) +1

2q(h, k) + o(||(h, k)||2)

¥

Exemple :

Déterminer la nature du point (e−1, 0) pour la fonction :

f(x, y) = x lnx+ xy2

On a vu plus haut que le développement de Taylor-Young au voisinage dece point était donné par :

f(e−1 + h, k) = −e−1 + 12

[eh2 +

2

ek2]

+ o(||h||2)

On voit donc que f(e−1 +h, k)−f(e−1, 0) reste positif au voisinage du pointconsidéré. On a un minimum local.

Chapitre 3

Intégrales multiples

Ce chapitre est juste un formulaire de rappel pour le calcul des intégralesdoubles ou triples.

3.1 Intégrales doubles

On ne cherche pas à rappeler la définition d’une intégrale double. On supposeconnu la signification de la notation :

I =

∫∫

∆

ϕ(x, y) dxdy

où ∆ est une partie quarrable de R2, et ϕ : R2 → R est intégrable sur ∆.Rappelons que si ϕ est positive sur ∆, l’intégrale I calcule le volume (positif)

de la portion d’espace délimité entre la surface représentative de ϕ située audessus du domaine ∆ et ce domaine ∆.

3.1.1 Calcul en coordonnées cartésiennes (Fubini)

Théorème (Fubini) :

Soit ϕ continue sur ∆ et si le domaine est de la forme

∆ = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b , f(x) ≤ y ≤ g(x)}

où f et g sont des fonctions numériques continues sur [a, b], alors on aura :

∫∫

∆

ϕ(x, y) dxdy =

∫ b

a

(∫ g(x)

f(x)

ϕ(x, y) dy

)dx

mais si le domaine est de la forme

∆ = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b , f(y) ≤ x ≤ g(y)}

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18 CHAPITRE 3. INTÉGRALES MULTIPLES

alors on aura :

∫∫

∆

ϕ(x, y) dxdy =

∫ b

a

(∫ g(x)

f(x)

ϕ(x, y) dx

)dy

Exemple

1. Calculer l’intégrale double sur le domaine D = [a, b]× [c, d] :

A =

∫∫

D

dxdy

2. Calculer l’intégrale double sur le domaineD = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1 et − x ≤ y ≤ 1} :

B =

∫∫

D

(x+ y) dxdy

Solution1. Le domaine d’intégration est le rectangle [a, b] × [c, d]. Nous intégrons

indifféremment par rapport à x ou à y : par exemple

A =

∫ d

c

(∫ b

a

dx

)dy =

∫ d

c

(b− a) dy = (b− a)(d− c)

dy

d

c

ba0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5

Le Domaine D est un rectangle

3.1. INTÉGRALES DOUBLES 19

Commentaire :

L’intégrale

∫ b

a

dx = b−a donne la mesure de la largeur du rectangle et l’ex-pression (b−a) dy représente symboliquement l’aire infinitésimale d’un rectanglede cotés respectifs (b− a) et dy.

Le signe

∫ d

c

représente toujours symboliquement la somme de toutes ces

aires infinitésimales de c à d.

On obtient bien l’aire totale du rectangle.

2. Pour cette intégrale, nous intégrons d’abord par rapport à y puis parrapport à x. Donc pour couvrir le domaine entier, on fera varier x sur [−1, 1] ety sur [−x, 1]. On obtient :

B =

∫ 1

−1

(∫ 1

−x(x+ y) dy

)dx =

∫ 1

−1

[xy +

y2

2

]1

−xdx

=

∫ 1

−1

(x2

2+ x+

1

2

)dx =

[x3

6+x2

2+x

2

]1

−1= 1

dx

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

Le Domaine D est un triangle


3.1.2 Propriétés générales

CS d’existence de l’intégrale

si ∆ est quarrable et si ϕ est continue et bornée sur ∆ alors l’intégrale∫∫∆ϕ(x, y) dxdy est définie.

Linéarité

Pour ϕ1 , ϕ2 : R2 → R et λ réel :∫∫

∆

(λϕ1 + ϕ2)(x, y) dxdy = λ

∫∫

∆

ϕ1(x, y) dxdy +

∫∫

∆

ϕ2(x, y) dxdy

Réunion de domaines

Si ∆ et ∆′ sont quarrables, et si leur intersection est d’aire nulle, alors :∫∫

∆∪∆′ϕ(x, y) dxdy =

∫∫

∆

ϕ(x, y) dxdy +

∫∫

∆′ϕ(x, y) dxdy

Inégalités

Si ∆ ⊂ ∆′, alors∫∫

∆ϕ(x, y) dxdy ≤

∫∫∆′ ϕ(x, y) dxdy.

Si ϕ1 ≤ ϕ2 alors∫∫

∆ϕ1(x, y) dxdy ≤

∫∫∆ϕ2(x, y) dxdy.∣∣∣∣

∫∫

∆

ϕ(x, y) dxdy

∣∣∣∣ ≤∫∫

∆

|ϕ(x, y)| dxdy.

3.1.3 Changement de variables

On peut être amené à simplifier l’intégrale double à calculer en effectuantau préalable un changement de variable du type x = φ(u, v) , y = ψ(u, v) pour(u, v) variant dans un nouveau domaine ∆′.

Théorème :

Soit h : R2 → R2 telle que h réalise une bijection de ∆′ sur ∆, h est de classeC1 sur ∆′ et son jacobien jh ne s’annule pas sur ∆′.

Pour (u, v) ∈ ∆′, posons h(u, v) =(φ(u, v) , ψ(u, v)

)

Alors :

∫∫

∆′ϕ(x, y) dxdy =

∫∫

∆

(ϕ ◦ h)(u, v)× |jh(u, v)| dudv

ou encore :

∫∫

D

ϕ(x, y) dxdy =

∫∫

∆

ϕ(φ(u, v), ψ(u, v)

)|jh(u, v)| dudv

3.2. INTÉGRALES TRIPLES 21

où jh(u, v) est le jacobien du changement de variable :

jh(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂φ

∂u

∂φ

∂v

∂ψ

∂u

∂ψ

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Exemple

Calculer l’aire du demi-disque situé au dessus de l’axe des abscisses, de centre(0, 0) de rayon 1 par passage en coordonnées polaires.

Cette aire est donnée par A =∫∫

Ddxdy ou D désigne le demi-disque.

On effectue le changement de coordonnées x = ρ cos θ , y = ρ sin θ. Lenouveau domaine est ∆ = [0, 1]× [0, π].

Le jacobien du changement de coordonnées est :

j(ρ, θ) =

∣∣∣∣∣∣

cos θ −ρ sin θ

sin θ ρ cos θ

∣∣∣∣∣∣= ρ

On obtient la nouvelle intégrale :

A =

∫ 1

0

∫ π

0

ρ dρ dθ =

∫ 1

0

ρ dρ×∫ π

0

dθ =1

2π

3.2 Intégrales triples

On ne cherche pas à rappeler la définition d’une intégrale triple. On supposeconnu la signification de la notation :

I =

∫∫∫

V

ϕ(x, y, z) dxdydz

où V est une partie quarrable de R3, et ϕ : R3 → R est intégrable sur V .Notons que les propriétés générales vues pour les intégrales doubles restent

valables pour les intégrales triples.

3.2.1 Calcul en coordonnées cartésiennes (Fubini)

Théorème :

Soit ϕ continue dur V et si le domaine V est de la forme

V = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ ∆ , f(x, y) ≤ z ≤ g(x, y)}où f et g sont des fonctions numériques continues sur ∆, alors on aura :

∫∫∫

V

ϕ(x, y, z) dxdydz =

∫∫

∆

(∫ g(x,y)

f(x,y)

ϕ(x, y, z) dz

)dxdy


3.2.2 Changement de variables

Théorème :

Soit h : R3 → R3 telle que h réalise une bijection de V ′ sur V , h est de classeC1 sur V ′ et son jacobien jh ne s’annule pas sur V ′.

Alors :

∫∫∫

V ′ϕ(x, y, z) dxdydz =

∫∫∫

∆

(ϕ ◦ h)(u, v, w)× |jh(u, v, w)| dudvdw

Exemple

Calculer l’intégrale I =

∫∫∫

B

(x2 + y2 + z2) dxdydz où B est la demi-boule

B = {(x, y, z), x ≥ 0 x2 + y2 + z2 ≤ 1}.On utilise le changement de variable

h :

x = ρ cos θ sinφy = ρ sin θ sinφz = ρ cosφ

la demi-boule B sera décrite en prenant

ρ ∈ [0, 1] θ ∈ [0, 2π] φ ∈ [0, π2

]

On calcule le jacobien du changement de variables jh :

jh(ρ, θ, φ) =

∣∣∣∣∣∣

cos θ −ρ sin θ sinφ ρ cos θ cosφsin θ ρ cos θ sinφ ρ sin θ cosφcosφ 0 −ρ sinφ

∣∣∣∣∣∣= −ρ2 sinφ

On effectue le changement de variable dans l’intégrale :

I =

∫∫∫

V

ρ4 sinφ dρ dθ dφ =

∫ 1

0

ρ4 dρ

∫ 2π

0

dθ

∫ π2

0

sinφ dφ =2

5π

Chapitre 4

Analyse vectorielle

4.1 Introduction : Coordonnées de l’espace

Le cadre géométrique de ce chapitre est l’espace usuel orienté muni d’unrepère orthonormé direct (O,~ı,~,~k). L’écriture M(x, y, z) signifie exactement

que l’on considère le point M vérifiant : ~OM = x~ı+ y ~+ z ~k. Plus simplement,on dit que le triplet (x, y, z) est un système de coordonnées cartésiennes del’espace.

La notion d’orientation est précisée de la manière suivante : soit (~u,~v, ~w) uneautre base, nous dirons qu’elle est de sens direct si son déterminant det(~u,~v, ~w)

calculé dans la base (~ı,~,~k) est positif, et de sens indirect sinon.Concrêtement, nous pouvons visualiser l’orientation par la ”règle des trois

doigts” (pouce, index, majeur).

4.1.1 Coordonnées curvilignes

Pour décrire certains objets géométriques de l’espace (courbes ou surfaces) oucertains domaines de l’espace, nous aurons besoin d’introduire des systèmes decoordonnées plus commodes pour certains calculs, tels que les coordonnées cylin-driques ou sphériques. Ces systèmes de coordonnées sont appelés des systèmesde coordonnées curvilignes.

Soit (R) une région de l’espace (sans préciser davantage ce que l’on entendpar le mot région). Un système de coordonnées curvilignes sur (R) est la donnéed’une partie ouverte U de R3 et d’une correspondance biunivoque entre lestriplets (u,v,w) de U et les points M(x, y, z) de l’espace. Nous précisons ceci :

Un système de coordonnés curvilignes sur (R) est la donnée d’un couple(U, φ) où U est une partie ouverte de R3 et φ une application bijective de U sur(R) continûment différentiable, ainsi que sa réciproque φ−1. On dit que φ estun difféomorphisme de U sur (R) de classe C1.

φ : (u, v, w) 7−→(x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)

)

23

24 CHAPITRE 4. ANALYSE VECTORIELLE

On appelle ligne de coordonnées les trois lignes obtenues en traçantrespectivement dans l’espace les courbes correspondants à :

u 7−→(x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)

)(v, w) constants

v 7−→(x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)

)(u,w) constants

w 7−→(x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)

)(u, v) constants

Les trois vecteurs eu, ev, ew :

eu =

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u

ev =

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

ew =

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

∂w

sont les vecteurs tangents à chacune des lignes de coordonnées.

4.1.2 Jacobien du changement de coordonnées

On appelle Jacobien du changement de coordonnées, le déterminant jφ destrois vecteurs (eu, ev, ew).

jφ(u, v, w) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w

∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Remarque

Le Jacobien d’un changement de coordonnées ne s’annule pas.

∀(u, v, w) Jφ(u, v, w) 6= 0

4.1. INTRODUCTION : COORDONNÉES DE L’ESPACE 25

4.1.3 Coordonnées curvilignes orthogonales

Un système de coordonnés curvilignes est dit orthogonal si les trois vecteurs

eu =

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u

ev =

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

ew =

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

∂w

forment une base ortogonale en tout point (u, v, w).

4.1.4 Exemples

a) Coordonnées cylindriques

En coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) on a les relations :

x = ρ cos θy = ρ sin θz = z

Les vecteurs tangents aux lignes de coordonnées sont :

eρ =

cos θsin θ

0

eθ =

−ρ sin θρ cos θ

0

ez =

001

Le Jacobien des coordonnées cylindriques est J(ρ, θ, z) = ρ.

C’est un système de coordonnées orthogonal car

eρ · eθ = −ρ cos θ sin θ + ρ cos θ sin θ = 0eρ · ez = cos θ × 0 + sin θ × 0 + 0× 1 = 0eθ · ez = −ρ sin θ × 0 + ρ cos θ × 0 + 0× 1 = 0


rho

theta

M(x,y,z)

0

1

z

1

y

1

x

Fig : Coordonnées cylindriques

b) Coordonnées sphériques

En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), on a les relations :

x = r sinϕ cos θy = r sinϕ sin θz = r cosϕ

Les vecteurs tangents aux lignes de coordonnées sont :

er =

sinϕ cos θsinϕ sin θ

cosϕ

eθ =

−r sinϕ sin θr sinϕ cos θ

0

eϕ =

r cosϕ cos θr cosϕ sin θ−r sinϕ

Le Jacobien des coordonnées sphériques est J(r, θ, ϕ) = −r2 sinϕ.On peut encore vérifier que c’est un système de coordonnées orthogonales.

4.2. CHAMPS SCALAIRE ET VECTORIEL - OPÉRATEURS 27

phi

r

theta

M(x,y,z)

0

1

z

1y

1

x

Fig : Coordonnées sphériques

4.2 Champs scalaire et vectoriel - Opérateurs

4.2.1 Champs scalaire et vectoriel

Champ scalaire

On appelle champ scalaire de l’espace R3 une fonction φ de R3 à valeursscalaires :

φ : R3 −→ R(x, y, z) 7−→ φ(x, y, z)

Champ vectoriel

On appelle champ vectoriel de l’espace R3 une fonction ~V de R3 à valeursdans R3 :

~V : R3 −→ R3

(x, y, z) 7−→

P (x, y, z)Q(x, y, z)R(x, y, z)


4.2.2 Le gradient d’un champ scalaire

Définition

Le gradient d’un champ scalaire φ est un champ vectoriel noté−−→gradφ tel

que :

Dφ(x, y, z)(~v) =<−−→gradφ,~v >

où Dφ désigne la différentielle de φ et le produit scalaire usuel de l’espace.

Inerprétation physique

La valeur absolue du produit scalaire | < ~u,~v > | est maximum lorsque lesvecteurs ~u et ~v sont colinéaires, donc le gradient est un vecteur dirigé dans ladirection où l’accroissement (ou la pente) est le plus grand, puisque l’expressionDφ(x, y, z)(~v) sert à calculer l’accroissement de φ dans la direction ~v.

Expressions analytiques

– En coordonnées cartésiennes, on a :

−−→gradφ =

∂φ(x, y, z)

∂x∂φ(x, y, z)

∂y∂φ(x, y, z)

∂z

– En coordonnées cylindriques, on a :

−−→gradφ =

∂φ(ρ, θ, z)

∂ρ1

ρ

∂φ(ρ, θ, z)

∂θ∂φ(ρ, θ, z)

∂z

– En coordonnées sphériques, on a :

−−→gradφ =

∂φ(r, θ, ϕ)

∂r1

r sinϕ

∂φ(r, θ, ϕ)

∂θ1

r

∂φ(r, θ, ϕ)

∂ϕ


4.2.3 Le rotationnel d’un champ vectoriel

Définition

Le rotationnel d’un champ vectoriel ~V est un champ vectoriel noté−→rot ~V tel

que :

D~V (x, y, z)(~v)− tD~V (x, y, z)(~v) = (−→rot ~V ) ∧ ~v

où D~V désigne la différentielle de ~V et tD~V sa transposée.

Interprétation physique

La définition du rotationnel ne permet pas de comprendre très intuitivementce que le rotationnel mesure. Il nous faut donner quelques exemples à partir dechamps de vecteurs :

Exemple 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

~V = (x, y, 0)−→rot ~V = (0, 0, 0)

Commentaire : Dans cet exemple, le rotationnel est nul : une petitebarre rigide soumise en chacun de ces points au champ de forces représenté icine subirait localement qu’un mouvement de translation rectiligne, mais pas demouvement de rotation.


Exemple 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

~V = (1− y2, x2 − 1, 0)−→rot ~V = (0, 0, 2x+ 2y)

Commentaire : Dans cet exemple, le rotationnel au point (1, 1, 0) estégal (0, 0, 4). Une petite barre rigide placée en ce point et soumise au champde forces subirait un mouvement de rotation que l’on imagine bien en voyantla représentation du champ de vecteur. Ce mouvement de rotation est dû audirections différentes du champ de vecteurs au voisinage du point considéré. Lerotationnel est un vecteur orthogonal au plan de la rotation (ici le plan (0xy) ),et dont le module mesure l’amplitude ou la vitesse de la rotation.


Exemple 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

~V = (xy, 0, 0)−→rot ~V = (0, 0,−x)

Commentaire : Dans cet exemple, le rotationnel est encore non nul : Lemouvement de rotation serait dû ici, non pas à des directions différentes, (tousles vecteurs sont dans la même direction, mais aux normes différentes de deuxvecteurs voisins. Si le champ de force soumets les deux extrémités de la barreà des forces d’intensité différentes, mais de même direction, la barre prendraquand même un mouvement de rotation.


Exemple 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

~V = ( 11+x2 ,1

1+y2 , 0)

−→rot ~V = (0, 0, 0)

Commentaire : Dans cet exemple, le rotationnel est à nouveau nul : ici,malgré des vecteurs de normes et de directions différentes, les effets combinésse compensent et il n’y a pas de mouvement local de rotation .



−→rot ~V =

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

∧

P

Q

R

=

∂R

∂y− ∂Q∂z

∂P

∂z− ∂R∂x

∂Q

∂x− ∂P∂y


– En coordonnées cylindriques, on a pour

~V = Vρ eρ + Vθ eθ + Vz ez

−→rot ~V =

1

ρ

∂Vz∂θ− ∂Vθ

∂z

∂Vρ∂z− ∂Vz

∂ρ

∂Vθ∂ρ

+1

ρ

[Vθ −

∂Vρ∂θ

]

– En coordonnées sphériques, on a pour

~V = Vr er + Vθ eθ + Vϕ eϕ

−→rot ~V =

1

r

∂Vθ∂ϕ

+1

r sinϕ

[Vθ cosϕ−

∂Vϕ∂θ

]

1

r sinϕ

∂Vr∂θ− ∂Vθ

∂r− Vθ

r

∂Vϕ∂r

+1

r

[Vϕ −

∂Vr∂ϕ

]

4.2.4 La divergence d’un champ vectoriel

Définition

La divergence d’un champ vectoriel ~V est le champ scalaire noté Div ~V définipar :

Div ~V = Tr(D~V )(x, y, z)

où Tr(D~V ) désigne la trace de la différentielle de ~V .

Interprétation physique


Exemple 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

~V = (x, y, 0)

Div ~V = 2

Commentaire : Interprétons le champ vectoriel ci-dessus comme par ex-emple le champ des vitesses d’un gaz, alors la divergence peut être interprétéecomme une mesure de l’accroissement (positif ou négatif) de la densité dematière en un point donné. Dans l’exemple ci-dessus, la divergence est con-stante, égale à 2. La quantité de matière concentrée dans un petit volume enun point donné diminue. Les particules du gaz s’échappent dans toutes les di-rections, à une vitesse de plus en plus grande.


Exemple 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

~V = ( 11+x2 ,1

1+y2 , 0)

Div ~V = −( 2x1+x2 +2y

1+y2 )

Commentaire : Ici la divergence est négative dans le domaine considéré.les vitesses situées près de l’origine ont des modules plus grand que celles pluséloignées. Les particules du gaz vont rattrapper celles qui les précèdent : Onaura accumulation des particules. On peut donner une autre image : penser àune autoroute sur laquelle les véhicules qui précèdent vont plus vite que lesvéhicules qui sont devant : il y aura accumulation.


Exemple 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

~V = (1− y2, x2 − 1, 0)Div ~V = 0

Commentaire : Dans cet exemple, malgré un champ de vitesses qui sembletourbillonner, la divergence est nulle : la quantité de matière pénétrant dans unpetit volume donné est la même que celle qui en sort.



Div ~V =∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

– En coordonnées cylindriques, on a pour

~V = Vρ eρ + Vθ eθ + Vz ez

Div ~V =Vρρ

+∂Vρ∂ρ

+1

ρ

∂Vθ∂θ

+∂Vz∂z


– En coordonnées sphériques, on a pour

~V = Vr er + Vθ eθ + Vϕ eϕ

Div ~V =2

rVr +

∂Vr∂r

+1

r

∂Vϕ∂ϕ

+1

r sinϕ

[Vϕ cosϕ+

∂Vθ∂θ

]

4.2.5 Formules d’Analyse Vectorielle

−−→grad (f g) = f

−−→grad g + g

−−→grad f (4.1)

−→rot (f ~V ) = f

−→rot ~V + (

−−→grad f) ∧ ~V (4.2)

Div(f ~V ) = f Div ~V+ < ~V ,−−→grad f > (4.3)

Div(~V ∧ ~W ) =< −→rot ~V , ~W > − < ~V ,−→rot ~W > (4.4)

−→rot (−−→gradφ) = ~0 (4.5)

Div(−→rot ~V ) = 0 (4.6)

−→rot ~V = ~0 ⇔ ~V = −−→gradφ (4.7)

Div ~V = 0 ⇔ ~V = −→rot ~A (4.8)

Chapitre 5

Courbes et Surfaces

5.1 Courbes différentiables dans l’espace

5.1.1 Définition

On appelle courbe différentiable paramétrée de l’espace, une application con-tinûment différentiable γ d’un intervalle I de R à valeurs dans R3.

γ : t 7−→ γ(t) =(x(t), y(t), z(t)

)

On appelle support géométrique Γ de γ le lieu géométrique des pointsM(x(t), y(t), z(t)

)

lorsque le paramètre t parcours I.

Le vecteur γ′(t) =

x′(t)y′(t)z′(t)

est un vecteur tangent à la courbe géométrique

Γ au point M(t) = γ(t).

Interprétation cinématique

On peut considérer le point M(t) = γ(t) =

x(t)y(t)z(t)

comme un point

mobile se déplaçant dans l’espace au cours du temps représenté par le paramètret. Alors le vecteur γ′(t) est le vecteur vitesse instantanée à l’instant t. Le supportΓ est la courbe géométrique sur laquelle se déplace le point M(t) sans tenircompte de la façon de se déplacer.

5.1.2 Longueur de la courbe entre deux points

Soient t1 et t2 deux réels (t1 ≤ t2) tels que [t1, t2] ⊂ I. Soient A = γ(t1) etB = γ(t2) les points de la courbe correspondants. On suppose de plus que

39

40 CHAPITRE 5. COURBES ET SURFACES

γ est régulière sur [t1, t2], c’est-à-dire que le vecteur vitesse γ′(t) ne

s’annule pas sur [t1, t2].

La longueur de la courbe géométrique Γ entreA etB est donnée par l’intégrale :

L(Γ) =

∫ t2t1

||γ′(t)||dt

Remarque

Si on ne fait pas l’hypothèse que le vecteur vitesse ne s’annule pas sur l’inter-valle, alors l’intégrale

∫ t1t0||γ′(t)||dt donne la longueur totale du chemin parcouru

(il peut y avoir des allers-retours) et non la longueur géométrique de l’arc (AB).

Effet d’un changement de paramétrage strictement croissant

Considérons une application bijective dérivable strictement croissante φ d’unintervalle J de R sur I et considérons la courbe paramétrée δ obtenue parcomposition :

δ : s 7−→ δ(s) = γ ◦ φ (s) = γ(φ(s))

On note encore ∆ le support géométrique de δ. Alors les supports de γ et δsont identiques (Γ = ∆) et si t1 = φ(s1), t2 = φ(s2), la longueur de l’arc (AB)se calcule indifféremment par :

L(Γ) =

∫ t2t1

||γ′(t)||dt =∫ s2s1

||δ′(u)||du

preuve :

∫ s2s1

||δ′(u)||du =∫ s2s1

||γ′(φ(u)) · φ′(u)|| du

=

∫ φ−1(t2)

φ−1(t1)||γ′(φ(u))|| · φ′(u) du

En utilisant le changement de variable t = φ(u) dans l’intégrale, onobtient :

∫ s2s1

||δ′(u)|| du =∫ t1t0

||γ′(t)|| dt

¥Les conditions imposées sur l’application φ font que la courbe Γ est parcourue

à des vitesses différentes, mais dans le même sens par les points γ(t) et δ(s).

5.2. SURFACES 41

5.1.3 Notion d’abscisse curviligne

Soit t 7−→ γ(t) une courbe différentiable régulière, i.e. γ′(t) 6= 0 pour toutt ∈ I. Alors il est possible de trouver un changement de paramètre t = φ(s) telleque le paramétrage δ(s) = γ(φ(s)) parcourt la courbe à vitesse constante

||δ′(s)|| = 1

Le paramètre s est appelé abscisse curviligne et le paramétrages 7−→ δ(s), une paramétrisation normale.

preuve :Soit t0 un point quelconque de I, alors on prend pour paramètre

s

s(t) =

∫ t

t0

||γ′(u)|| du

Comme γ′ ne s’annule pas sur I, la fonction t 7−→ s(t) est declasse C1 et strictement monotone sur I, sa bijection réciproque φ :s 7−→ t(s) est aussi de classe C1.

On pose alors

δ(s) = γ(φ(s)

)

Il reste à vérifier que ||δ′(s)|| = 1D’aprés les formules de dérivation des fonctions composées et de

la réciproque d’une fonction dérivable, on aura :

δ′(s) = γ′(φ(s)

)× φ′(s) = γ′

(φ(s)

)× 1||γ′(φ(s))||

d’où : ||δ′(s)|| = 1.¥

Remarque

l’abscisse curviligne mesure la longueur sur la courbe de l’image du segment[t0, t]. Dans ce paramétrage, on aura exactement

L(Γ) =

∫ B

A

ds

5.2 Surfaces

5.2.1 Définition

On appelle surface différentiable paramétrée de l’espace, une applicationcontinûment différentiable σ d’un domaine U ⊂ R2 à valeurs dans R3.


σ : (u, v) 7−→ σ(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

)

Remarque

Si F : R3 → R est une fonction de classe C1 alors l’équation F (x, y, z) = 0définit une surface de R3. Si l’on peut exprimer à partir de cette équation parexemple z = f(x, y) alors on obtient une représentation paramétrée :

σ : (u, v) 7−→(x = u, y = v, z = f(u, v)

)

5.2.2 Lignes de coordonnée

Les lignes de coordonnées sur la surface sont les lignes obtenues en traçantrespectivement dans l’espace les courbes correspondants à :

u 7−→(x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)

)v constant

v 7−→(x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)

)u constant

5.2.3 Plan tangent et vecteur normal en un point régulier

Les vecteurs

∂σ(u, v)

∂u=

∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂σ(u, v)

∂v=

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

sont des vecteurs tangents à la surface au point σ(u, v).

Définition

Un point M = σ(u, v) de la surface est dit régulier ou non singulier si les

vecteurs∂σ(u, v)

∂uet

∂σ(u, v)

∂vsont linéairement indépendants. Dans ce cas, ils

forment une base du plan tangent à la surface en M .

Une équation du plan tangent est alors obtenue en écrivant :

det

(~OM,

∂σ(u, v)

∂u,∂σ(u, v)

∂v

)= 0

la surface est dite régulière si chacun de ses points est un point régulier.

5.2. SURFACES 43

Vecteur normal

Un vecteur normal à la surface en M est donné par le produit vectoriel

~N =∂σ(u, v)

∂u∧ ∂σ(u, v)

∂v

l’équation du plan tangent est alors obtenue par le produit scalaire

~OM · ~N = 0

Remarque

Si la surface est donnée par une équation implicite F (x, y, z) = 0 alors levecteur normal est obtenu par le gradient :

~N =

∂F

∂x

∂F

∂y

∂F

∂z

= ~∇F

5.2.4 Aire d’une surface paramétrée régulière

Rappel

Soient ~u et ~v deux vecteurs non colinéaires de l’espace, alors ||~u∧~v|| repésentel’aire du parallélogramme de cotés ~u et ~v.

Définition

L’aire totale de la surface paramétrée régulière σ : U → R3 est donnée parl’intégrale double

A =

∫∫

U

||∂σ∂u∧ ∂σ∂v|| dudv =

∫∫

U

|| ~N || dudv

L’expression ||∂σ∂u∧ ∂σ∂v|| dudv est appelée élément d’aire de la surface.

Cette expression a une signification géométrique : elle est indépendante du choixdu paramétrage de la surface.

5.2.5 Orientation d’une surface paramétrée régulière

Une surface paramétrée régulière σ : U → R3 admet deux orientations pos-sible. La donnée de la paramétrisation (u, v) 7−→ σ(u, v) induit une orientation


naturelle par la donnée du repère de l’espace :

R =

(∂σ

∂u,∂σ

∂v, ~N

)

Nous dirons que deux paramétrisations σ et σ′ de la surface définissent lamême orientation si le produit scalaire des vecteurs normaux ~N et ~N ′ est positif.

~N · ~N ′ > 0

Les orientations seront dites opposées si ~N · ~N ′ < 0.

Remarque

En pratique, on précise l’orientation de la surface en regardant la directionvers laquelle pointe le vecteur normal (par exemple on parle de vecteur sortantou rentrant).

5.2.6 Bord d’une surface paramétrée régulière

Une notion importante (et délicate à définir correctement) pour les formulesd’analyse vectorielle (Stockes, etc...) est la notion de bord d’une surface. Pourdéfinir celle-ci, il nous faut faire quelques préliminaires.

Bord d’un domaine plan

Soit U un domaine de R2. Le bord de U (noté ∂U) est en général et defaçon intuitive, une réunion de courbes planes différentiables par morceaux qui”délimite” le domaine. Selon le mode de définition de U , nous allons donner enpratique, ce que l’on entends par bord de U dans les cas courants.

1. Soit U défini par une inéquation du type φ(x, y) ≤ 0. Alors le bord de Uest défini par l’équation φ(x, y) = 0.

Exemple

Soit le disque U = {(x, y) : x2 + y2 − 1 ≤ 0},alors ∂U = {(x, y) : x2 + y2 − 1 = 0}

2. Soit U défini par une double inéquation du type a ≤ x ≤ b etf(x) ≤ y ≤ g(x). Alors le bord de U est défini par la réunion des quatrescourbes :

x = a , f(a) ≤ y ≤ g(a)a ≤ x ≤ b , y = f(x)

x = b , f(b) ≤ y ≤ g(b)a ≤ x ≤ b , y = g(x)

5.2. SURFACES 45

Exemple

Soit le pavé rectangle U = {(x, y) : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d},alors

∂U = {(x, y) : x = a, c ≤ y ≤ d} ∪ {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y = c}∪{(x, y) : x = b, c ≤ y ≤ d} ∪ {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y = d}

Opération de juxtaposition de deux courbes dans l’espace

Etant données deux courbes régulières γ1 : [a, b] → R3 et γ2 : [c, d] → R3telles que γ1(b) = γ2(c) (l’extrémité de la première courbe est aussi l’originede la seconde courbe) on définit la courbe juxtaposée γ1 ∨ γ2 d’origine γ1(a)et d’extrémité γ2(d) comme la réunion des deux courbes. Cette définition restevalable si les courbes ont un nombre fini de points en commun.

Dans le cas particulier où les courbes ont le même support géométrique maissont parcourues en sens contraires, le résultat de la juxtaposition γ1 ∨ γ2 est unseul point, on note alors γ1 ∨ γ2 = 0.

On admettra que l’opération de juxtaposition est associative et commutative.

Bord d’une surface paramétrée régulière de l’espace

Soit σ : U → R3 une surface paramétrée régulière et soit U un domaine plan(de R2) dont le bord est formé par la réunion ou la juxtaposition de n courbesplanes réguières γi, pour i variant de 1 à n . Alors le bord de la surface σ dansl’espace est formé par la réunion ou la juxtaposition des courbes images σ(γi).

Exemple

Considérons la demi-sphère

σ : (θ, ϕ) ∈ [0, 2π]× [0, π2

] 7−→ (sinϕ cos θ , sinϕ sin θ , cosϕ)

alors le bord du domaine U est le rectangle formé des quatres segments :

γ1 = {(θ, ϕ) : θ = 0, 0 ≤ ϕ ≤π

2}

γ2 = {(θ, ϕ) : 0 ≤ θ ≤ 2π, ϕ = 0}γ3 = {(θ, ϕ) : θ = 2π, 0 ≤ y ≤

π

2}

γ4 = {(θ, ϕ) : 0 ≤ θ ≤ 2π, ϕ =π

2}

Regardons ce que donne la juxtaposition des images σ(γi) :σ(γ1) est le demi-grand cercle méridien joignant le pôle ”Nord” au pôle ”Sud”

dans le plan (xOz).σ(γ3) est le demi-grand cercle méridien joignant le pôle ”Sud” au pôle ”Nord”

dans le plan (xOz).


On a σ(γ1) ∨ σ(γ3) = 0.On a aussi σ(γ2) = 0

Il reste σ(γ4) qui est le cerle équatorial. Le bord de la demi-sphère paramétréepar les équations ci-dessus est le cercle ”équatorial” d’équation cartésienne

x2 + y2 = 1 , z = 0

Orientation du bord d’une surface paramétrée régulière de l’espace

L’orientation de la surface Σ par la donnée d’un champ de vecteurs normaux~N permet de définir un sens de parcourt orienté de son bord ∂Σ. Si γ : t 7−→ γ(t)est une paramétrisation de ∂Σ, alors nous dirons que γ respecte l’orientation dela surface si le vecteur tangent à Σ

~v = ~N ∧ ~γ′

est dirigé vers la surface Σ.

Dans l’exemple de la demi-sphère ci-dessus, si on choisit un vecteur normalsortant de la demi-sphère, alors il faut parcourir le cercle équatorial dans le senstrigonométrique.

Bord de la demi-sphère

5.3. PARAMÉTRISATIONS DE QUELQUES SURFACES 47

5.3 Paramétrisations de quelques surfaces

5.3.1 La sphère

La sphère de centre Ω(a, b, c), de rayon R :

Equation cartésienne : (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.Paramétrisation :

x = a+R cosu sin vy = b+R sinu sin vz = c+R cos vu ∈ [0, 2π] ; v ∈ [0, π].

5.3.2 L’ellipsöıde

L’ellipsöıde de centre O(0, 0, 0) :

Equation cartésienne :x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

Paramétrisation :

x = a cosu sin vy = b sinu sin vz = c cos vu ∈ [0, 2π] ; v ∈ [0, π].

5.3.3 Le cylindre

Le cylindre d’axe parallèle à Oz, de centre Ω(a, b, 0), de rayon R :

Equation cartésienne : (x− a)2 + (y − b)2 = R2.Paramétrisation :

x = a+R cosuy = b+R sinuz = vu ∈ [0, 2π] ; v ∈ R.

5.3.4 Le cône

Le cône d’axe Oz, de centre O(0, 0, 0), de droite directrice x = c z, (c > 0).

Equation cartésienne : x2 + y2 = c2 z2.

Paramétrisation :

x = c v cosuy = c v sinuz = vu ∈ [0, 2π] ; v ∈ R.


5.3.5 Le parabolöıde

Le parabolöıde d’axe Oz, de sommet O(0, 0, 0), de parabole directrice z = x2,(c > 0).

Equation cartésienne : x2 + y2 = z.

Paramétrisation :

x = v cosuy = v sinuz = v2

u ∈ [0, 2π] ; v ∈ R+.

Chapitre 6

Formules intégrales

6.1 Intégrales curvilignes

Soit γ : t 7−→ γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) une courbe paramétrée régulière del’espace R3 et ~V = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteurs.

6.1.1 Définition

On appelle intégrale curviligne de ~V le long de γ, l’intégrale :∫

γ

~V · ~γ′ dt =∫ b

a

[P (x(t), y(t), z(t))x′(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y′(t)

+ R(x(t), y(t), z(t)) z′(t)]dt

Exemple

Calculer l’intégrale curviligne donnant la circulation du vecteur ~V =

(x− yx+ y

)

le long du cercle C de centre (0, 0) et de rayon 1.

Le cercle C sera paramétrisé par :

γ(t) :

x = cos ty = sin tt ∈ [0, 2π]

Par définition, on pose

I =

∫

C

~V · γ′(t) dt =∫ 2π

0

((cos t− sin t

)(− sin t) +

(cos t− sin t

)cos t

)dt

I =

∫ 2π

0

(1− 2 sin t cos t

)dt = 2π

49

50 CHAPITRE 6. FORMULES INTÉGRALES

6.1.2 Théorème : Travail d’un champ de gradient

Soit f : R3 → R une fonction différentiable sur un ouvert U de R3, et soit~V =

−−→grad f son champ de gradient. Soit γ une courbe différentiable de R3,

contenue dans U et d’origine A et d’extrémité B. Alors on a :∫

γ

~V · ~γ′ dt = f(B)− f(A)

On dit que le travail d’un champ de gradient ne dépend que des extrémitésde la courbe.

preuveIl suffit de voir que la primitive de l’expression

[∂f∂x

(x(t), y(t), z(t))x′(t) +∂f

∂y(x(t), y(t), z(t)) y′(t)

+∂f

∂z(x(t), y(t), z(t)) z′(t)

]

est exactement la fonction :

t 7→ f(x(t), y(t), z(t))¥

6.1.3 Théorème : Formule de Green-Riemann

Si γ est une courbe plane fermée de classe C1 par morceaux délimitant undomaine compact simple D du plan, alors on a la formule de Green-Riemann :

∫

γ

~V · ~γ′ dt =∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P∂y

)dxdy

où la courbe γ est parcourue en laissant le dommaine constamment à sa gauche.Cette formule est un cas particulier de la formule du paragraphe suivant.

Exemple

Calculer l’intégrale curviligne donnant la circulation du vecteur ~V =

(x3 − y3x3 + y3

)

le long du cercle C de centre (0, 0) et de rayon 1 parcouru dans le sens trigonométrique.

La formule de Green-Riemann donne l’intégrale double sur le disque Dd’équation : x2 + y2 ≤ 1.

I =

∫∫

D

(3x2 + 3y2) dxdy

On peut intégrer en passant en coordonnées polaires :

I =

∫∫

[0,1]×[0,2π]3ρ2ρ dρ dθ =

3

2π

6.2. INTÉGRALES DE SURFACES 51

Une application au calcul d’aire plane

Si γ est une courbe plane fermée de classe C1 par morceaux délimitant undomaine compact simple D du plan, alors l’aire de D peut se calculer par :

A(D) =

∫∫

D

dxdy =

∫

γ

x(t)y′(t)dt =∫

γ

−y(t)x′(t)dt

=1

2

∫

γ

(x(t)y′(t)− y(t)x′(t))dt

Exemple

Calculer l’aire de l’ellipse d’équation :x2

a2+y2

b2= 1.

On paramétrise l’ellipse par :

γ(t) :

x = a cos ty = b sin tt ∈ [0, 2π]

Puis on applique la formule :

A =

∫∫

D

dxdy =

∫

γ

x(t) y′(t)dt

=

∫ 2π

0

(a cos t b cos t) dt =

∫ 2π

0

(ab cos2 t) dt

= π a b

6.2 Intégrales de surfaces

Soit Σ une surface régulière paramétrée de l’espace R3 de paramétrisation :

σ : D ⊂ R2 −→ R3(u, v) 7−→

(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

)

Soit φ(x, y, z) un champ scalaire de l’espace.

6.2.1 Définition : Intégrale de surface

On appelle Intégrale de φ sur la surface Σ, l’intégrale :

∫∫

Σ

φ dσ =

∫∫

D

φ(σ(u, v))|| ~N || dudv

où ~N est le vecteur normal associé à la paramétrisation.


Remarque

La quantité || ~N ||dudv est appelée ”élément de surface” et notée dσ.

Exemple

Calculer l’aire du tronc de cône Σ : x2 + y2 = z2 0 ≤ a ≤ z ≤ b.

On a juste à calculer l’intégrale

∫∫

Σ

dσ, où le tronc de cône Σ sera paramétrisé

par :

σ(t) :

x = r cos ty = r sin tz = ra ≤ r ≤ b ; t ∈ [0, 2π].

Le vecteur normal ~N se calcule par :

∂x∂r

∂y∂r

∂z∂r

∧

∂x∂t

∂y∂t

∂z∂t

=

cos t

sin t

1

∧

−r sin t

r cos t

0

=

−r cos t

−r sin t

r

d’où :

∫∫

Σ

dσ =

∫∫

Σ

|| ~N ||drdt =∫ b

a

∫ 2π

0

√2r2drdt

=√

2π(b2 − a2) = π√

2(b− a)(b+ a)

On pourra remarquer que le résultat correspond à la formule

A = π (R+ r)h

cosα

où R et r sont les rayons des bases du tronc de cône, h sa hauteur et α sondemi-angle au sommet.

6.2.2 Définition : Flux d’un champ de vecteurs

Soit ~V = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteurs.

On appelle Flux de ~V à travers la surface Σ l’intégrale :

∫∫

Σ

(~V · ~n) dσ =∫∫

D

~V · ~N dudv

où ~N est le vecteur normal associé à la paramétrisation et ~n =~N

|| ~N ||.

6.3. THÉORÈME : FORMULE DE STOCKES-AMPÈRE 53

Exemple

Calculer le flux du champ de vecteurs ~V (x, y, z) sortant à travers la demi-sphère Σ d’équation z ≥ 0 et x2 + y2 + z2 = 1.

On paramétrise la demi sphère par

σ(u, v) :

x = cosu sin vy = sinu sin vz = cos vu ∈ [0, 2π] ; v ∈ [0, π2 ].

Le vecteur normal sortant se calcule par

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

∧

∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

=

cosu cos v

sinu cos v

− sin v

∧

− sinu sin v

cosu sin v

0

=

cosu sin2 v

sinu sin2 v

sin v cos v

On obtient pour le flux :

φ =

∫∫

Σ

sin v dudv =

∫ 2π

0

du

∫ π2

0

sin v dv = 2π

6.3 Théorème : Formule de Stockes-Ampère

Si on désigne par ∂Σ le bord orienté de la surface Σ de paramétrisationγ : t 7−→ γ(t) alors on a la formule dite de Stockes-Ampère :

∫

∂Σ

~V · ~γ′ dt =∫∫

Σ

(−→rot ~V · ~N) dudv

Cette formule dit que la circulation d’un champ de vecteurs ~V le long dubord orienté d’une surface Σ est égale au flux du rotationnel de ~V à traverscette surface Σ.

Exemple

Calculer le flux du champ de vecteurs ~V (x,−y, 2) sortant à travers la demi-sphère Σ d’équation z ≥ 0 et x2+y2+z2 = 1 en utilisant une intégrale curviligne.

Posons ~U = (−y, x, xy). Alors on peut vérifier (exercice) que−→rot ~U = ~V

On peut donc écrire∫∫

Σ

~V · ~N dudv =∫

C

~U · γ′(t)dt


où C est le cercle de rayon 1 délimitant la demi-sphère et paramétrisé par :

γ(t) :

x = cos ty = sin tz = 0t ∈ [0, 2π]

γ′(t) =

− sin tcos t

0

On calcule alors l’intégrale

φ =

∫ 2π

0

(sin2 t+ cos2 t) dt =

∫ 2π

0

dt = 2π

Remarque : essayez de retrouver ce résultat en utilisant la définition du flux.

6.4 Théorème : Formule de Green-Ostrogradsky

Soit K un domaine fermé et borné de R3 et limité par une surface orientéeΣ qui est précisément le bord orienté de K : ∂K = Σ.

Soit ~V un champ vectoriel de classe C1 sur K.On a la formule dite d’Ostrogradsky :

∫∫

Σ

(~V · ~n) dσ =∫∫∫

K

Div ~V dxdydz

Cette formule dit que le flux de ~V sortant à travers la survace fermée Σ estégal à la l’intégrale de la divergence de ~V dans le volume délimité par la surface.

Exemple

Calculer le flux du champ de vecteurs ~V (x3, y3, z3) sortant à travers la sphèreΣ d’équation x2 + y2 + z2 = 1 en passant par le calcul d’une intégrale triple.

On calcule d’abord

Div ~V =∂ x3

∂x+∂ y3

∂y+∂ z3

∂z= 3(x2 + y2 + z2)

Puis on calcule l’intégrale

φ =

∫∫∫

V

3(x2 + y2 + z2) dxdydz

sur la boule V d’équation x2+y2+z2 ≤ 1. En passant en coordonnées sphériques :

x = r sinϕ cos θy = r sinϕ sin θz = r cosϕr ∈ [0, 1] ; θ ∈ [0, 2π] ; ϕ ∈ [0, π].

6.4. THÉORÈME : FORMULE DE GREEN-OSTROGRADSKY 55

On obtient :

φ =

∫∫∫

V

3r2 r2 sinϕ dr dθ dϕ

φ =

∫ 1

0

3r4 dr

∫ 2π

0

dθ

∫ π

0

sinϕdϕ =12

5π

calcul differentiel et integral : fonctions de...

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