1.0 Pengenalan

Dalam sejarah matematik, konsep dikatakan lebih penting daripada istilah tetapi, perubahan

nama keratan kon adalah disebabkan oleh Apollonius. Selama satu setengah abad, lengkung

tidak lagi mempunyai nama tersendiri selain gambaran tentang cara lengkung ditemui

contohnya keratin kon berbentuk tirus (oksitom), keratin kon bersudut tegak (ortotom) dan

keratin kon bersudut cakah (amblitom). Penggunaan nama elips, parabola dan hiperbola

mungkin dimulakan oleh pengikut Pythagoras dalam persamaan kuadratik melalui

penggunaan luas. Elipsis bermakna kekurangan telah digunakan apabila segi empat tepat

luasnya diberi digunakan apabila segi empat kepada tembereng garis diberi dan berkurangan

sebanyak suatu segiempat sama. Perkataan hiperbola iaitu balingan yang melepasi digunakan

apabila luas melebihi tembereng garis. Perkataan parabola iaitu diletakkan disisi atau

bandingan menunjukkan sama ada berlebihan atau berkurangan. Kini Apollonius

menggunakan perkataan tersebut dalam konteks baharu iaitu sebagai nama unntuk keratin

kon. Persamaan moden lazim bagi parabola yang mempunyai bucu di asalan y2= lx dengan l

ialah ‘latus rectum atau perimeter yang kini sering diwakili oleh 2p atau sesekali oleh 4p.

Oleh itu, parabola itu memiliki sifat tidak kira titik apa yang dipilih seseorang pada lengkung

segi empat sama pada ordinat itu adalah betul-betul sama dengan segiempat tepat pada abisi x

dan parameter l . Begitu juga persama elips dan hiperbola yang dirujuk kepada bucu asalan

ialah ( x∓ a )2/a2 ± y2/b2=1 atau y2=1 x∓b2 x2/a2 dengan l sekali lagi ialah latus rectum atau

parameter 2 b2/a. Oleh itu, y2<lx untuk elips dan y2>lx untuk hiperbola. Ia adalah sifat

lengkung yang diwakili oleh ketaksamaan tersebut sehinggakan nama yang diberi oleh

Apollonius lebih daripada dua alaf suatau masa dahulu masih digunakan.

Maksud keratan kon adalah satu satah yang memotong kon tersebut pada suatu sudut yang

tertentu yang akan menghasilkan satu keratan rentas. Dua kon boleh dipotong sekali untuk

menghasilkan satu titik , satu garis lurus atau dua garis lurus. Dengan menggunakan analisis

geometri, persamaan bagi lengkungan boleh diperolehi.

Setiap persamaan lengkung adalah kes istimewa bagi persamaan am peringkat kedua dalam

dua pemboleh ubah seperti berikut:

A x2+Bxy+C y2+Dx+Ey+F=0

CONTOH PERSAMAAN : 

Persamaan Lingkaran  : 3x2 + 3y2 + 6x + y = 5

Persamaan Parabola   : 3x2 + 3y + 6x = 5

Persamaan Elips         : 3x2 + y2 + 6x + y = 5 

Persamaan Hiperbola    : 3x2 – 3y2 + 6x + y = 5 

2.0 Ringkasan Artikel

Ringkasan Artikel 1

Parabola

Parabola itu adalah tempat titik-titik yang mempunyai jarak sama terhadap sebuah titik dan

sebuah garis.

- Titik tersebut ialah fokus/titik api (F)

- Garis tersebut ialah garis arah

- Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah ialah sumbu simetri parabola

- Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola

- Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu

simetri

Rajah menunjukkan formula dan persamaan bagi parabola

Elips

Elips itu merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu

tetap.

- Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horizontal) atau 2b (untuk elips vertikal)

- Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2 adalah 2c

Elips juga merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap

sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1

- Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.

- Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu major

- Pusat elips adalah titik tengah F1 dan F2

- Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu major dan memotong elips disebut sumbu

minor

Luas Elips = π.a.b  (a = ½ panjang horizontal; b = ½ panjang vertikal) 

Hiperbola

Hiperbola itu merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik

tertentu tetap

- Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horizontal) atau 2b (untuk elips vertikal)

- Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2 adalah 2c

Hiperbola merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap

sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1

- Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F1 dan F2)

- Garis yang melalui titik-titik F1 dan F2 disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata

- Titik tengah F1 dan F2 disebut pusat hiperbola (P)

- Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu

sekawan)

- Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola

- Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik

→ ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum

Ringkasan artikel 2

Parabola

Diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah

himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak

antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai

direktriks.

Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas

dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi secara keseluruhannya, kita dapat menganggap

parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik

fokus di (0, p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud

memiliki direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat dituliskan

sebagai (x, –p).

Hiperbola

Hiperbola ditunjukkan melalui kedudukan pada rajah berikut:-

Hiperbola di atas memotong sumbu simetri horizontalnya, maka hiperbola di atas disebut sebagai

hiperbola horizontal. Titik-titik (4, 0) dan (–4, 0) disebut sebagai titik-titik puncak, dan titik pusat

dari hiperbola selalu berada di tengah-tengah titik puncak parabola tersebut. Jika titik pusat

hiperbola berada pada titik (0, 0), maka hiperbola tersebut disebut sebagai hiperbola pusat.

Sebagai catatan, titik pusat hiperbola bukan merupakan bagian dari kurva, sehingga titik pusat

hiperbola di atas, titik yang berwarna biru, digambarkan sebagai titik yang terbuka. Garis yang

melewati titik pusat dan titik-titik puncak hiperbola disebut sebagai bucu tranversal, sedangkan

garis yang melalui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu transversal ini disebut sebagai bucu

konjugat.

Elips

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut bucu major, dengan titik-titik

ujung bucu major disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi bucu

major menjadi 2 bahagian yang sama disebut bucu minor.

Jika p > q, bucu majornya horizontal (sejajar dengan bucu-x) dengan panjang 2p, dan

bucu minornya vertikal dengan panjang 2q.

Jika p < q, bucu majornya vertikal (sejajar dengan bucu-y) dengan panjang 2q, dan bucu

minornya horizontal dengan panjang 2p.

Dari apa yang kita lihat di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips

sebagai berikut:-

Bentuk Standard dari Persamaan Elips

Diberikan persamaan,

Jika p ≠ q persamaan tersebut menunjukkan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai

|p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal

titik pusat dengan grafik

Bucu major

Bucu minor

3.0 Kaedah yang lebih mudah

Kaedah yang dirasakan mudah untuk difahami adalah gabungan daripada artikel satu dan dua

di mana kaedah grafik lebih mudah untuk menunjukkan cara menerangkan apakah yang

dimaksudkan dengan parabola, elips dan hiperbola. Namun begitu, tambahan kepada grafik

boleh digunakan untuk membantu melihat dengan lebih mudah kedudukan ketiga-tiga

keratan kon tersebut.

Pada permulaan perlu diterangkan dengan jelas yang manakah yang dimaksudkan dengan

parabola, elips dan hiperbola. Seperti yang kita lihat bahawa terdapat lengkung yang berbeza

terbentuk dan bergantung kepada sudut satah memotong kon.Parabola berlaku apabila satah

selari dengan sisi kon. Elips pula berlaku apabila satah sendeng dan memotong hanya satu

bahagian kon sahaja. Hiperbola pula berlaku apabila satah sendeng dan memotong kedua-dua

bahagian kon.

Parabola

Suatu parabola adalah lokus (set) bagi semua titik (x; y) dalam suatu satah yang sama jarak dari

suatu garis yang dipanggil direktriks, dan suatu titik tetap F yang dipanggil fokus. Titik tengah

antara titik fokus F dan direktriks dipanggil titik bucu V . Garis yang melalui titik F; V dan D

adalah paksi simetri bagi parabola.

a) Paksi simetri mencangcang b) Paksi simetri mengufuk

Paksi simetri dan direktriks adalah berserenjang dan bersilang pada titik D:

Katakan jarak antara titik fokus F dan titik bucu V ialah p: Maka,

d (FV ) = d (V D) = p

d (FP) = d (PD1) = d1:

Ini merupakan ciri utama bagi suatu parabola. rajah di (a) menunjukkan bentuk parabola terbuka

ke atas, dan rajah di (b) menunjukkan bentuk parabola terbuka ke kanan. Bentuk parabola boleh

juga terbuka ke bawah atau ke kiri. Dalam bahagian seterusnya, kita akan membincangkan

bentuk piawai persamaan parabola dan menentukan bukaan bagi graf parabola.

Bentuk piawai pertama persamaan-persamaan parabola boleh disimpulkan seperti berikut:

Dalam bentuk piawai persamaan parabola, bukaan paraboladitentukan oleh nilai p:

Elips

Suatu elips adalah lokus (set) bagi semua titik dalam suatu satah di mana hasiltambah jarak dari

dua titik tetap yang dinamakan titik-titik fokus, F1 dan F2 ke sebarang titik (x; y) pada lokus

tersebut adalah malar.

Bentuk graf bagi suatu elips adalah hampir sama dengan bentuk graf bagi bulatan, kecuali graf

bagi elips adalah berbentuk bujur. Titik-titik V1 dan V2 dinamakan titik-titik bucu manakala

titik-titik B1 dan B2 dinamakan titik-titik sebucu. Perentas V1V2 adalah lebih panjang daripada

perentas B1B2: Perentas V1V2 dinamakan paksi major, dan perentas B1B2 dinamakan paksi

minor. Titik-titik fokus F1 dan F2 berada pada paksi major. Paksi major dan paksi minor adalah

berserenjang dan bersilang pada titik C: Titik ini adalah pusat bagi elips tersebut. Pusat C juga

merupakan titik tengah3 kepada perentas F1F2: Jarak antara pusat C dengan sebarang titik P (x;

y) pada graf elips adalah tidak tetap, tetapi hasiltambah jarak antara titik fokus F1 dan titik P (x;

y) ; iaitu d (F1P) = d1, dan, jarak antara titik fokus F2 dan titik P (x; y), d (F2P) = d2 adalah

malar, iaitu:

d (F1P) - d (F2P)

= d1 + d2 adalah malar

Ini merupakan ciri utama bagi suatu elips.

Katakan d (V1C) = a; d (B1C) = b; dan d (F1C) = c; dengan a; b; c > 0

maka,

_ d (V1V2) = 2a

_ d (B1B2) = 2b

_ d (F1F2) = 2c

_ d (F1P) + d (F2P) = d1 + d2 = 2a = d (V1V2) ;

_ 0 < b < a; dan a2 = b2 + c2:

Terdapat dua bentuk graf bagi elips. Bentuk graf-graf ini bergantung kepada paksi majornya:

mengufuk atau mencancang. Kedua-dua bentuk ini diperolehi daripada persamaan elips.

Rumus bagi titik tengah antara dua titik A(x1; y1) dan B (x2; y2) ialah:

Hiperbola

Takrifan bagi hiperbola serupa dengan takrifan bagi elips. Bezanya adalah bagi elips,

hasiltambah jarak antara dua titik fokusnya dan sebarang titik pada elips adalah malar, manakala

bagi hiperbola pula, hasiltolaknya adalah malar.

Suatu hiperbola adalah lokus (set) bagi semua titik dalam suatu satah di mana hasiltolak jarak

dari dua titik tetap F1 dan F2 (dinamakan titik-titik fokus) ke sebarang titik (x; y) pada lokus

tersebut adalah malar.

Graf bagi suatu hiperbola mempunyai dua bahagian yang tak berhubung dipanggil cabang.

Cabang-cabang kelihatan se akan-akan bentuk parabola, tetapi bukan parabola; dengan.bukaan

ke kanan dan kiri (Rajah ?(a) ), atau bukaan ke atas dan bawah (Rajah ?(b) ). Garis yang

melalui dua titik fokusnya, F1 dan F2 bersilang dengan hiperbola tersebut pada dua titik bucu,

V1 dan V2: Garis segmen V1V2 yang menghubungkan kedua-dua titik bucu ini dipanggil paksi

merentas lintang. Titik tengah C bagi paksi merentas lintang adalah pusat bagi hiperbola.

Terdapat dua bentuk graf hiperbola dengan paksi merentas lintas mengufuk dan mencancang.

Salah satu ciri utama suatu hiperbola ialah hasiltolak d (F1P) = d1 dan d (F2; P) = d2 adalah

malar, iaitu:

Rujukan

http://ms.swewe.net/word_show.htm/?12858_1&Kon

http://www.mdp.ac.id/materi/2012-2013-1/ti202/032049/ti202-032049-872-1.pdf

http://arifrahmanhakimmia1.blogspot.com/2014/10/irisan-kerucut-conics.html