as provas de matemática e inglês - :: o anglo resolve...

as provas de

Matemática e Inglês da

Unicamp 2ª fase - 2001

Matemática

Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois?

a) Vamos calcular os custos totais, em reais, para cada um dos três planos com uso mensal de 25minutos.Plano A: 35,00 + 25 ⋅ 0,50 = 47,50Plano B: 20,00 + 25 ⋅ 0,80 = 40,00Plano C: 25 ⋅ 1,20 = 30,00

Resposta: O plano C é o mais vantajoso.

b) Seja t, em minutos, o tempo de uso mensal.O custo total, pelo plano A, é 35 + 0,5t.O custo total, pelo plano B, é 20 + 0,8t.O custo total, pelo plano C, é 1,2t.35 + 0,5t � 20 + 0,8t ⇒ t � 5035 + 0,5t � 1,2t ⇒ t � 50

Resposta: O plano A é mais vantajoso com um tempo de uso mensal maior que 50 minutos.

Um fio de 48cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que aárea de um deles seja quatro vezes a área do outro.a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio?b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados?

a) Sejam x e (48 – x) os comprimentos das partes.

Do enunciado, temos:

Então:

Logo, x = 32 ou x = 96 (não convém).Portanto, uma parte mede 32 e a outra, 16.

Resposta: 16cm e 32cm.

b) Sendo 16cm e 32cm os perímetros dos quadrados, seus lados são, respectivamente, 4cm e 8cm.Logo, as áreas desses quadrados são 16cm2 e 64cm2.

Resposta: 16cm2 e 64cm2.

x xou

x x4

248

4 42

484

= =⋅ ⋅––

–.

x x4

448

4

2 2

=

⋅ –

PlanoCusto fixo Custo adicional

mensal por minuto

A R$ 35,00 R$ 0,50

B R$ 20,00 R$ 0,80

C 0 R$ 1,20

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado paraa mesma.Não basta escrever apenas o resultado final: é necessário mostrar os cálculos ou o ra-ciocínio utilizado.

QUESTÃO 01

RESOLUÇÃO:

QUESTÃO 02

RESOLUÇÃO:

50 UNICAMP/2001 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES

A figura abaixo é a planificação de uma caixa sem tampa:

a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros.b) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de

50 litros considerando-se apenas o custo da folha retangular plana?

Do enunciado temos a figura:

a) Sendo 50L = 50dm3, temos que , ou seja, x = 5dm. Logo, x = 50cm.

Resposta: 50cm.

b) A área da folha retangular plana é dada por

Sendo e sabendo que o custo do material utilizado é R$ 10,00 por metro quadra-

do, o custo pedido é

Resposta: R$ 8,40.

O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural n � 1 pode ser escrito como umproduto de números primos. Além disso, se n = pt1

1pt2

2 … ptr

r, onde p1, p2, …, pr são números primos dis-

tintos, então o número de divisores positivos de n é d(n) = (t1 + 1) (t2 + 1) … (tr + 1).

a) Calcule d(168), isto é, o número de divisores positivos de 168.b) Encontre o menor número natural que tem exatamente 15 divisores positivos.

a) 168 = 23 ⋅ 31 ⋅ 71

d(168) = (3 + 1) (1+ 1) (1 + 1)∴ d(168) = 16Resposta: 16

b) De t1 ∈ IN e 15 = t1 + 1, temos t1 = 14.

Sendo p um número primo natural, temos n = p14

Nesse caso, o menor valor de n é 214 = 16384.De {t1, t2} ⊂ IN e 15 = (t1 + 1) (t2 + 1), temos {t1, t2} = {4, 2}. Sendo p1 e p2 números primos natu-rais e distintos, temos:

n = p14 ⋅ p2

2.

Nesse caso, o menor valor de n é 24 ⋅ 32 = 144.Portanto, o menor valor de n é 144.Resposta: 144.

R ou seja R$ , , $ , .10

8425

12

8 402

⋅ ⋅

5012

cm m=

225

25

8425

2xx x

x ou seja x+

+

⋅ , , .

2x ⋅ ⋅ =xx5

50

X/5

X

2XX/5

51UNICAMP/2001 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES

X/5

X

2X

X/5

X5

X5

QUESTÃO 03

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

QUESTÃO 04

Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio r = 2cm e cada uma delas com cen-tro em um vértice de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6cm. Seja C a curva fechada de compri-mento mínimo que tangencia externamente as três circunferências.a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências.b) Calcule o comprimento da curva C.

a) Sendo R, S e T os vértices do triângulo eqüilátero, do enunciado temos a figura:

A região cuja área é pedida está sombreada na figura. Sua área A é igual à área do triângulo RSTmenos a área de um semi-círculo de raio 2. Então,

Resposta: (9 ��3 – 2π) cm2

b) Não existe curva C que satisfaça as condições do enunciado. A justificativa dessa afirmação está forado nível do Ensino Médio. Assim sendo, este item não admite resposta.

A A= ⋅ ⋅ ∴ =6 3

412 2 9 3 2

22– –π π

60°

60° 60°

2

2

2

2

2

2

T

R

S2 2 2


QUESTÃO 05

RESOLUÇÃO:

Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se queo quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará,R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deveser de R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço dasoma das outras duas.a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.

a) Sejam, em quilogramas, as quantidadesx: de amendoimy: de castanha de cajuz: de castanha-do-pará

Temos, do enunciado,x + y + z = 0,53y = x + z5x + 20y + 16z = 5,75

x + y + z = 0,5Resposta: x – 3y + z = 0

5x + 20y + 16z = 5,75

b) Substituindo x + z = 3y na primeira equação, temos4y = 0,5 ∴ y = 0,125

Substituindo nas demais equações:x + z = 0,375 x = 0,250 e z = 0,125

5x + 16z = 3,250

Em gramas, a quantidade de cada ingrediente por lata éamendoim: 250castanha de caju: 125castanha-do-pará: 125

Resposta: 250 gramas de amendoim, 125 gramas de castanha de caju e 125 gramas de castanha--do-pará.

O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os núme-ros naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se:a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes?b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algaris-

mos estejam em ordem crescente?

a)

Resposta: 27216

b) O número de elementos do espaço amostral é n(E) = 27216.O número de elementos do evento A é o número de modos de escolhermos 5 algarismos do con-junto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sem permitir trocas de ordem. Assim,

Logo:

Resposta:

1216

P A( ) = =12627216

1216

n A C( )!

! !,= = =⋅9 59

5 4126


QUESTÃO 06

QUESTÃO 07

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

12

3

12

3

12

3

123456789

↓ ↓ ↓ ↓ ↓9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 27216

Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x – 5 e x – 2y + 5 = 0.a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas?b) Qual é a área do triângulo ABC?

Sejam as retas (r) y = 1, (s) y = 2x – 5 e (t) x – 2y + 5 = 0 do enunciado.

a) Seja A o ponto de intersecção das retas (r) e (s). Temos

y = 1 ⇒ x = 3 e y = 1 ∴ A(3, 1)y = 2x – 5

Seja B o ponto de intersecção das retas (r) e (t). Temos

y = 1 ⇒ x = –3 e y = 1 ∴ B(–3, 1)x – 2y + 5 = 0

Seja C o ponto de intersecção das retas (s) e (t). Temos

y = 2x – 5 ⇒ x = 5 e y = 5 ∴ C(5, 5)x – 2y + 5 = 0

Resposta: (3, 1), (–3, 1) e (5, 5)

b) Do item (a), temos a figura

A área do triângulo ABC é ou seja, 12.

Resposta: 12

As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log8 (1 + t)6

e B(t) = log2 (4t + 4), onde a variável t representa o tempo em anos.

a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7?b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine

o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante.

A(t) = log23(1 + t)6 ⇒ A(t) = log2(1 + t)

A(t) = 2 ⋅ log2(t + 1)

B(t) = log2(4t + 4) ⇒ B(t) = log2[4 (t + 1)]B(t) = log24 + log2(t + 1)B(t) = 2 + log2(t + 1)

Portanto, B(t) = 2 +

a) A(1) = 2 ⋅ log2(t + 1)A(1) = 2 ⋅ log22 ∴ A(1) = 2A(7) = 2 ⋅ log2(7 + 1)A(7) = 2 ⋅ log28 ∴ A(7) = 6

B(1) = 2 + ∴ B(1) = 3

B(7) = 2 + ∴ B(7) = 5

Resposta: Na cidade A, 2000 e 6000.Na cidade B, 3000 e 5000.

A ( )7

2

A ( )12

A t( ).

2

63

⋅

12

6 4⋅ ⋅ ,


y

5

1AB

– 3 30 5

4

C

x6

QUESTÃO 08

RESOLUÇÃO:

QUESTÃO 09

RESOLUÇÃO:

12

31

23

12

3

b) A(0) = 2 ⋅ log2(0 + 1)A(0) = 2 ⋅ log21A(0) = 2 ⋅ 0 ∴ A(0) = 0

B(0) = 2 + ∴ B(0) = 2

Logo, A(0) � B(0).Mostraremos que existe um instante tm, tm � 0, tal que A(t) � B(t), para todo t, t � tm.

A(t) � B(t)

A(t) � 2 +

� 2

log2(t + 1) � 2t + 1 � 4

t � 3Portanto, com t � 0, temos que A(t) � B(t) se, e somente se, t � 3.

Resposta: O valor mínimo do instante é 3, e a cidade cuja população é maior a partir desseinstante é a A.

Considere a equação trigonométrica .

a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de θ para os quais cosθ = 0.b) Encontre todos os valores de cosθ que são soluções da equação.

sen2θ – 2cos2θ + senθcosθ = 0

a) Devemos mostrar que cosθ = 0 não anula a expressão do primeiro membro.Se cosθ = 0, então senθ = �1.Substituindo:(�1)2 – 2 ⋅ 02 + (�1) ⋅ 0 = 1

b) Como cosθ ≠ 0, dividindo por cos2θ os dois membros da igualdade, temos:

tgθ = 1tg2θ – 2 + tgθ = 0 ou

tgθ = –2Como sec2θ = 1 + tg2θ :

Considere o polinômio p(x) = x3 – 2x2 + 5x + 26.a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse polinômio.b) Prove que p(x) � 0 para todo número real x � – 2.

a) Efetuemos a divisão de p(x) por x – (2 + 3i) pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini.1 –2 5 26

2 + 3i 1 3i –4 + 6i 0

Como o resto é nulo, podemos afirmar, pelo teorema do resto, que p(2 + 3i) = 0, isto é, 2 + 3i éraiz de p(x). (c.q.d.)

Resposta : cos cosθ θ= =± ±2

25

5ou

sec ( ) cos cos

sec (– ) cos cos

2 2 2

2 2 2

1 1 2 12

22

1 2 5 15

55

θ θ θ

θ θ θ

= + = = =

= + = = =

∴ ∴ ±

∴ ∴ ±ou

sen sen2 2212

2 0θ θ θ θ– cos cos+ =⋅ ⋅ ⋅

sen sen2 22

12

2 0θ θ θ– cos + =

A t( )2

A t( )2

A ( )02


QUESTÃO 10

RESOLUÇÃO:

QUESTÃO 11

RESOLUÇÃO:

→

→

b) Os coeficientes de p(x) são todos reais, e 2 + 3i é raiz. Logo, o conjugado 2 – 3i também é raiz. Sendo x1, x2 e x3 as raízes de p(x), temos que x1 + x2 + x3 = 2.

(2 + 3i) + (2 – 3i) + x3 = 2 ∴ x3 = –2. Assim, p(x) = [x – (2 + 3i)] [ x – (2 – 3i)] [x + 2]p(x) = [(x – 2) – 3i] [(x – 2) + 3i] [x + 2]p(x) = [(x – 2)2 + 32] (x + 2)Como (x – 2)2 + 32 � 0, para todo x real, podemos afirmar que p(x) � 0 se, e somente se, x + 2 � 0.Portanto, p(x) � 0 se, e somente se, x � –2. (c.q.d.)

A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A = 4cm.a) Calcule a altura da pirâmide.b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?

a) Do enunciado, temos a figura abaixo, onde h é altura da pirâmide.

Temos AM =

AH =

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AHV, vem h2 + (AH)2 = (VA)2, ou seja,

h2 + h2 = 4 ∴ h = 2

Resposta: 2cm

b) Sendo r a medida do raio da esfera circunscrita e O o centro dessa esfera, temos a figura

Aplicando-se o teorema de Pitágorasno triângulo retângulo OHA, vem

(AO)2 = (OH)2 + (AH)2, ou seja,

r2 = (r – 2)2 +

r2 = r2 – 4r + 4 + 12 ∴ r = 4

Resposta: 4cm

( )2 3 2

A

V

C

B

O

2

H

rr

OA = OB = OC = OV = r

r

( )2 3 42 2=

23

3 3 2 3⋅ =

6 32

3 3⋅ =

A

V

C

B

4

6

h

H M


QUESTÃO 12

RESOLUÇÃO:

InglêsResponda a todas as perguntas EM PORTUGUÊS

No diálogo apresentado no quadrinho abaixo, o que a mãe quer salientar para a criança e o que a crian-ça entende?

Ilustração de Sophie Grillet in P.M. Lightbown e N. Spada, How languages are learned.Oxford, Oxford University Press, 1999, p.16.

A mãe quer salientar que o menino cometeu um erro gramatical (o passado do verbo to put é PUT enão PUTTED).O menino não percebe sua intenção de corrigi-lo: entende que a mãe afirma ter colocado ela mesma ospratos na mesa.

Leia o texto abaixo e responda às questões 14 e 15:

New Scientist, 31/10/98.

Considerando as razões apresentadas pelos pesquisadores, qual é the surprising truth about women’shearts?

As mulheres têm menos probabilidade de sofrer ataques cardíacos do que os homens; mas, quando so-frem o seu primeiro ataque, têm probabilidade 70% maior de morrer do que os homens.

Encontra-se nas 3 primeiras linhas do texto:“… women are less likely … to die … than a man.”


QUESTÃO 13

RESOLUÇÃO:

QUESTÃO 14

RESOLUÇÃO:

Por que, segundo Graham McGregor, as mulheres tendem a sofrer seus primeiros ataques cardíacos emidade mais avançada que os homens?

Porque elas contam com proteção hormonal contra doenças do coração até o período da menopausa.A resposta encontra-se no 3º parágrafo: “… because they have … until menopause”.

Leia o poema abaixo e responda à questão 16.

Poema originalmente publicado em Not only that (The Elizabeth Press, 1967) e reproduzidoem M.L.Greene (ed.) Another Eye. Illinois, Scott, Foresman and Company, 1971, p. 121.

Como o poema de Carroll Arnett justifica que Your problem is not my problem?

Ao final do poema, sugere-se que o leitor deve resolver seus próprios problemas:“I want you to have something of your own.”

As cartas abaixo foram escritas por leitores de um artigo publicado na revista Time em 04/09/2000.Leia-as e responda às questões 17 e 18.


QUESTÃO 15

QUESTÃO 16

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

a) Considerando o teor das cartas, qual era o tema discutido no artigo em questão?

b) Com base em que hipótese Silvina Beatriz Codina constrói seu argumento?

a) Discutiu-se o tema dos alimentos geneticamente modificados.

b) Na hipótese de que alimentos geneticamente modificados e enriquecidos podem ajudar pessoas fa-mintas.A resposta encontra-se no 2º período do texto:“If genetically… around the world…”

As duas cartas assumem posições diferentes sobre o assunto em pauta. Qual é a posição de Edward Robb?

Edward Robb acredita que a melhor solução para o problema da fome é o controle da natalidade, e nãoa modificação genética dos alimentos.

Lê-se isso na 2ª carta:

“Family planning… …will improve… than enriched rice.”

O texto “Some Like it Hot” foi extraído da revista Popular Science (abril de 1998). Leia-o e responda àsquestões 19 e 20.

De acordo com o texto, por que os tailandeses gostam mais de comidas condimentadas do que os suecos?

Porque condimentos (temperos) oferecem proteção contra bactérias que deterioram (estragam) osalimentos e que se desenvolvem em climas quentes.

Lê-se isso no 1º parágrafo:

“It’s because spices offer… in hot climates.”

Segundo Sherman, a ingestão de alimentos condimentados, em regiões de clima quente, oferecia duasvantagens aos nossos ancestrais. Que vantagens eram essas?

Nossos ancestrais eram aptos a viver por mais tempo e gerar maior número de filhos.

Lê-se a resposta no seguinte trecho do texto:

“… our ancestor who enjoyed… more offspring.”


QUESTÃO 17

QUESTÃO 18

QUESTÃO 19

QUESTÃO 20

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

Leia, abaixo, um trecho do livro East of Eden de John Steinbeck e responda às questões 21 e 22, sobre apersonagem Cathy.

A que estratégias Cathy recorria para não ser desmascarada?

Suas estratégias eram:• não esquecer suas mentiras;• intercalar suas mentiras com verdades;• dizer uma verdade como se fosse mentira.

Encontra-se a resposta a partir do 4º período: “But Cathy did not forget her lies …”

Por que as estratégias utilizadas por Cathy eram eficientes?

Porque, se uma pessoa é acusada de uma mentira que mais tarde é reconhecida como verdade, ela segarante por muito tempo em relação a futuras mentiras.

Lê-se isso no final do texto:“If one is accused … … a number of untruths.”

Para responder às questões 23 e 24, leia o texto abaixo:

New Scientist, 19/02/2000.


QUESTÃO 21

QUESTÃO 22

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

Qual é a novidade anunciada no artigo?

Tatuagens baseadas em (feitas por meio de) bronzeamento.Lê-se isso no título do texto:Tatuagens por bronzeamento

Quais são as duas formas sugeridas para se obter a novidade em questão?

Usar roupas de banho vazadas (com partes retiradas) ou aplicar sobre a pele adesivos que evitam o bron-zeamento no local.Encontra-se a resposta a partir da 6ª linha:“… a special swimsuit which has small patterned windows cut out of the fabric …”

Lê-se também no final do texto:“Alternatively … place … stickers on their bodies.”


QUESTÃO 23

QUESTÃO 24

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

ComentárioProva trabalhosa demais para que os candidatos pudessem ter bom desempenho. Afinal, era ne-

cessário interpretarem e resolverem 24 itens (situações).Na questão 5, a forma da curva fechada não foi definida.

Esta prova manteve o mesmo padrão daquelas de anos anteriores. Com perguntas e respostas emportuguês, privilegiou o uso do inglês instrumental. Com exceção de um poema intitulado Next (datadode 1967), os textos são bastante atuais e com vocabulário compatível com o nível dos candidatos que aca-bam de sair do Ensino Médio.

Muito nos agrada o tipo de exame elaborado pela Unicamp, que privilegia a leitura e não se atéma detalhes gramaticais.

Incidência

Matemática

Inglês

ASSUNTO

Nº DE QUESTÕES

1 2 3 4 5 6

Geometria Espacial

Geometria Analítica

Função 1º grau

Aritmética

Geometria Plana

Logaritmo

Polinômios

Probabilidades

Sistema Linear

Trigonometria

Matemática


Comentário FinalUma prova de vestibular não é somente um conjunto de questões bem elaboradas e criativas.

Mais do que isso, tem missão a cumprir: selecionar os candidatos mais aptos a ocupar as vagasoferecidas. Analisada sob esse aspecto, a 1ª Fase da Unicamp atinge a sua finalidade, mas a 2ª Fasedeixa muito a desejar. Por quê?

1º) Propõem-se provas idênticas de Matemática, Física, Química e Biologia a todos os can-didatos. Essas disciplinas são requisitos para algumas carreiras, mas devem compor apenas a for-mação geral de candidatos a outras.

2º) O tempo para resolução foi insuficiente em todos os conjuntos de provas (duas por dia).

Não é possível avaliar corretamente o conhecimento de candidatos que pretendem cursar Medici-na, Letras e Engenharia com a mesma prova de Biologia. Essa crítica é válida também para Mate-mática, Física e Química em relação a Engenharia, Pedagogia e Ciências Sociais. É aquela história docobertor curto …

A prova de Biologia, pelo nível de suas questões, estaria adequada para selecionar candidatos à fa-culdade de Medicina, se o tempo fosse suficiente. Agravante: foi proposta junto com Português —outra prova com brilhantes questões, também com tempo insuficiente para a resolução.

A prova de Química, apresentada de modo criativo, original, está adequada para selecionar candi-datos às áreas de Exatas e Biológicas, mas não à área de Humanas. Agravante: foi proposta junto coma prova de História, cuja resolução exigiria um mínimo de 3 horas.

As questões de Física, excelentemente contextualizadas, poderiam avaliar de forma correta os can-didatos às áreas de Exatas e Biológicas, se o tempo fosse suficiente. O mesmo podemos dizer da pro-va de Geografia em relação aos alunos de Humanas.

A prova de Matemática foi dirigida para a área de Exatas. Candidatos dessa área, bem prepara-dos, poderiam responder aos 24 itens propostos, se tivessem tempo para isso. Foram favorecidos, decerta forma, porque a prova de Inglês não foi muito exigente.

Português, História e Geografia são disciplinas que devem constar, obrigatoriamente, na formaçãobásica de qualquer universitário. No entanto, as provas dessas matérias na 2ª Fase da Unicamp são deum grau de complexidade exagerado. Isso se justificaria apenas para os cursos em que essas disci-plinas são requisitos.

Conclusão: as questões dessas provas de 2ª Fase são muito bem elaboradas, criativas, comprovan-do a competência da Banca Examinadora. No entanto, por falha estrutural, a Unicamp tem desper-diçado oportunidades para selecionar adequadamente seus alunos.


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