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TEMA 2.-TRAZADOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES

1.1.-Definiciones

Punto: es el resultado de la intersección de dos líneas. Se designan con una letra mayúscula (A,B,C…),

o con O si representa un origen.

Línea: es una sucesión de puntos. Se designa con una letra minúscula (r, s,t…). Puede ser recta o

curva.

Segmento: recta delimitada por dos puntos. Se designa como AB o AB.

Semirrecta: recta delimitada por un solo punto.

Plano: es un elemento geométrico bidimensional, es decir, tiene dos magnitudes, longitud y anchura.

Conceptualmente, es una superficie infinita e ilimitada; por tanto, contiene infinitos puntos e infinitas

rectas. Un plano puede ser definido a partir de los siguientes elementos geométricos:

-Tres puntos no alineados en el espacio

-Dos rectas que se cortan

-Dos rectas paralelas

-Una recta y un punto exterior a ella.

-Además, también se puede limitar mediante cualquier figura plana.

Una recta de un plano divide a éste en dos partes denominadas semiplanos

Ángulo: es una porción del plano limitada por dos semirrectas con un origen común o vértice. Se

designa con la letra de su vértice.

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1.2. Elementos geométricos

Lugar geométrico: se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos del plano que cumplen una

determinada propiedad, como por ejemplo:

-Mediatriz: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un

segmento.

-Bisectriz: lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un ángulo.

-Circunferencia: lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro llamado

centro.

1.3. Punto, recta y plano: posiciones relativas entre ellos

Posiciones del punto con respecto a la recta: un punto respecto a una recta

solo tiene dos posiciones: estar formando parte de ella, o estar situado fuera de

ella. En este último caso, la distancia de un punto a una recta es la perpendicular

trazada desde el punto a la recta.

Posiciones de las rectas del mismo plano entre sí: dos rectas de un mismo plano, pueden estar

situadas entre sí de la forma siguiente:

-Rectas perpendiculares: son las que al cortarse forman entre sí ángulos rectos.

-Rectas oblicuas: son las que al cortarse forman ángulos no rectos, pero iguales dos a dos.

-Paralelas: son rectas que no se cortan: por mucho que se prolonguen, nunca se encuentran.

-Dos rectas son convergentes cuando al prolongarlas se cortan.

-Dos rectas son divergentes cuando al prolongarlas se observa que se separan.

-Dos rectas que se cruzan son aquellas que no tienen ningún punto en

común y no son paralelas. Esto sucede porque están contenidas en

planos diferentes.

Distancia de un punto

a una recta

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1.4.-Operaciones con segmentos

Suma de segmentos: trazamos una recta cualquiera, y

situamos los segmentos a sumar uno a continuación del

otro, transportando sus longitudes con compás. El segmento

resultante (AD) es la suma de los mismos.

Resta de segmentos: se transporta con compás el

segmento menor sobre el mayor, a partir de uno de sus

extremos. El segmento que resulta es la diferencia de los

segmentos dados.

Producto de un segmento por un número real: se transporta el segmento sobre una semirrecta tantas

veces como indique el número multiplicador.

División de un segmento en partes iguales: se hace siguiendo el Teorema de Tales, que dice que “los

segmentos resultantes de la intersección de rectas paralelas con dos rectas concurrentes son

directamente proporcionales”.

Dividir AB en 5 partes iguales: desde A, trazar

una recta cualquiera r, que se divide en 5

segmentos iguales. Se une la parte 5 con B y se

trazan paralelas a ésta por los puntos señalados.

Perpendicularidad: dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse

determinan cuatro ángulos de 90º (rectos).

resta

AB x 5

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Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular a éste por su punto medio, dividiéndolo por tanto

en dos partes iguales:

Con centro en A, se traza un arco mayor que la mitad de AB. Desde B se hace lo mismo, y los

puntos de intersección determinan la mediatriz.

Perpendicular a una semirrecta en su origen:

Se traza un arco cualquiera desde O que corte a la

semirrecta. Con esa misma medida, desde A se

haya el punto B, desde el que se traslada la misma

medida al arco, que determina C. Con centro en B y

C y el mismo radio, se trazan sendos arcos que al

cortarse determinan D. Sólo resta unir D con O.

Perpendicular a una semirrecta en su origen (2º procedimiento)

Con centro en un punto cualquiera P exterior a la

semirrecta, se traza una circunferencia que pase por

el punto O y que corte a la semirrecta en A. Se une

A con P y se prolonga hasta que corte a la

circunferencia, punto que determinará la

perpendicular

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Perpendicular a una recta por un punto exterior

Con centro en P, se traza un arco que corte a la recta en A y B. Con centro en A y B se trazan arcos que

al cortarse determinan C, que al unirse con P determina la perpendicular.

Paralelismo: dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común.

Paralela a una recta por un punto:

Con centro en un punto cualquiera O de la recta, se traza un

arco que pase por P y corte a la recta en A y B. Se toma la

distancia AP y se traza desde B esa distancia en el arco, que

determina P’. Uniendo PP’, tenemos la paralela.

1.5.-Operaciones con ángulos

Un ángulo es la región determinada por dos semirrectas con el mismo origen. Clases de ángulos:

Agudo Recto Obtuso Llano

(menor de 90º) (90º) (mayor 90º) (180º)

O

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Adyacentes Complementarios Suplementarios

(90º entre los dos) (180º entre los dos)

:

Ángulos rectilíneos Ángulos curvilíneos Ángulos mixtilíneos

Construcción de un ángulo igual a otro:

Trazamos una recta r en la que consideramos el punto cualquiera A, que será el vértice. Desde A, se

traza un arco igual al del ángulo original, dando B’. Desde B’, se traza la abertura del ángulo original CB,

cortando al arco anterior, y dibujamos la semirrecta que determina al ángulo.

Suma de ángulos

-Previamente, sobre los ángulos a sumar,

trazamos un arco de igual radio. Sobre

una semirrecta y desde A, dibujamos el

mismo arco. Sobre ese arco, pasamos las

aberturas CD de A y EF de B, y unimos

con A’.

7

Resta de ángulos

Se trata de restar el ángulo α al ángulo

β. Como en los casos anteriores,

trazamos una semirrecta, y sobre ella el

ángulo B de la forma vista. A partir de C,

pasamos la abertura de A, EF. La

solución es el ángulo A’E’B’.

Bisectriz de un ángulo: recta que pasa por su vértice y lo divide en dos partes iguales.

Se traza un arco desde el vértice que corte a las semirrectas en

A y B. Desde estos puntos, trazar sendos arcos, y desde su

punto de corte C, unirlo con el vértice.

Bisectriz de un ángulo cuyo vértice está fuera de los límites del dibujo

Trazar una recta cualquiera t que corte al ángulo en A y B. Hallar las cuatro bisectrices de los ángulos

que determinan A y B con t. Los puntos de corte de esas bisectrices marcan la bisectriz.

Bisectriz de un ángulo mixtilíneo

-Trazamos una perpendicular desde el lado recto del ángulo, y se lleva una misma medida varias veces

sobre ella. Por esos puntos se trazan paralelas al lado recto del ángulo.

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-Trazamos un radio cualquiera desde O y lo prolongamos. Sobre él, y a partir de su punto de corte con el

arco del lado curvo del ángulo, trazamos las mismas medidas y dibujamos arcos con centro en O y radio

en estas medidas. El corte de los arcos con las paralelas homónimas nos da los puntos de la bisectriz,

que se dibuja a mano alzada o plantilla de curvas.

Bisectriz de un ángulo curvilíneo: el

procedimiento es similar al anterior, solo que aquí

hay dos centros.

Trazar una recta convergente a otras dos (confluyentes en el mismo punto) cuyo corte está fuera

de los límites del dibujo, pasando por un punto dado

Trazamos una recta cualquiera t que corte a r y s en A y B. Unimos A y B con P. Trazamos una

paralela cualquiera a AB, que al cortar a r y s determinan A’ y B’. Trazamos desde A’ una paralela a AP y

desde B’ una paralela a BP. El corte entre ambos nos da P’. Uniendo P’ con P, obtenemos la recta

buscada.

9

Trisección de un ángulo recto

Con centro en B y radio en O, trazar un arco que corte al ángulo AB en C. De igual forma, con el mismo

radio y centro en A, obtenemos D. OC y OD dividen el ángulo en tres partes iguales.

División de un ángulo en 2, 4, 8… partes iguales

-Hallamos la bisectriz del ángulo, luego la bisectriz de la

bisectriz, y así sucesivamente.

Construcción de ángulos con compás: la siguiente tabla muestra cómo construir con el compás

algunos de los ángulos más usuales (aunque es más rápido trazarlos con escuadra y cartabón)

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Construcción de ángulos con escuadra y cartabón

1.5.-La circunferencia

Figura geométrica en la cual todos sus puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. Elementos:

-Centro: punto desde el que todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia. Se

denomina como O.

-Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

-Diámetro: segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia pasando por el centro

(por tanto mide el doble del radio).

-Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

-Arco: cualquier porción de la circunferencia.

-Secante: recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

-Tangente: recta con un solo punto en común con la circunferencia.

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El círculo es la superficie limitada por una circunferencia

Determinación de una circunferencia: lo más fácil es construirla conociendo su centro y su radio, pero

hay otras opciones:

-Hallar una circunferencia dados los extremos de su diámetro:

Se halla la mediatriz del diámetro, que determinará el centro.

Hallar una circunferencia dados el centro y una recta de la cual es tangente

Sólo tenemos que hallar el radio, que es perpendicular a la

tangente. Para ello, bastará hallar una perpendicular a la

tangente que pase por el punto exterior O (el centro de la

circunferencia), de la forma que ya hemos visto.

Circunferencia que pase por dos puntos, dado el radio

-Trazamos arcos con el radio dado desde los dos puntos, cuyo corte nos determina el centro de la

circunferencia.

circunferencia

círculo

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Hallar una circunferencia dados tres puntos no alineados:

Se unen los tres puntos (AB y BC) y se hallan las mediatrices de esos segmentos. La intersección de

éstas determinará la circunferencia.

Dividir una circunferencia en n partes (método aproximado)

-Trazar el diámetro. Dividirlo en el número de partes que queramos, de la forma ya vista. Trazar

arcos desde los extremos del diámetro con la medida de éste, que determinarán P. Unimos P con el

punto 2 y lo prolongamos hasta cortar la circunferencia, lo que nos dará B. Llevando la distancia AB

sobre la circunferencia, la dividiremos en el número de partes pretendido (9 en este caso).

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TEMA 3.-POLÍGONOS

Los polígonos son figuras planas delimitadas por rectas que se cortan dos a dos. Los puntos

donde se cortan las rectas se llaman vértices, y los segmentos que los unen se denominan lados.

Clasificación

-Según el número de lados

-Según la forma de los ángulos interiores

-Polígonos convexos: todos sus ángulos son convexos

-Polígonos cóncavos: alguno de sus ángulos es cóncavo

A= convexo (-180º)

B= cóncavo (+180º)

Otras clasificaciones:

-Polígonos equiángulos: todos sus ángulos son iguales

-Polígonos equiláteros: todos sus lados son iguales

-Polígono regular: todos sus lados y sus ángulos son iguales

-Polígono irregular: no todos sus lados y ángulos son iguales

3.1.-Triángulos

Son figuras planas limitadas por tres rectas o lados que se cortan en unos puntos llamados

vértices

Clasificación:

Según sus lados Según sus ángulos

Equilátero: a=b=c Isósceles: a=c=b Escaleno: a=b=c Acutángulo(<90) Rectángulo(=90) Obtusángulo(>90)

A B

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Construcción de triángulos:

Para poder construir un triángulo es necesario conocer tres datos de todos los que lo componen

(lados, ángulos, etc…) Sin embargo, hay triángulos que por sus características particulares necesitamos

menos datos, por ejemplo el equilátero (sólo hay que conocer un lado). También hay excepciones, por

ejemplo, si nos da los tres ángulos, los triángulos que pueden construirse son infinitos, por lo que hace

falta otro dato.

Triángulo escaleno dados

los tres lados:

Se traza AB sobre una

recta, y se trazan arcos con

la distancia AC y BC, cuya

intersección es C.

Triángulo escaleno conociendo dos lados y el ángulo que comprenden

-Trazamos el lado AB sobre una recta auxiliar. Sobre A dibujamos el ángulo dado. Sobre el lado

de ese ángulo trazamos un arco con la medida AC. Solo resta unir ABC.

Construir un triángulo equilátero dado el lado:

Se traza AB sobre una recta, y arcos con la distancia AB, cuya

intersección es C.

Construir un tríángulo equilátero dada su altura

-Sobre una recta cualquiera r, se traza una perpendicular, y

se marca la altura, obteniéndose el vértice C. Se divide la altura en

tres partes, y con centro en la parte 1, se traza un círculo con radio

OC, que al cortarse con r determinará A y B.

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Construir un triángulo equilátero dado el radio de la

circunferencia circunscrita

Trazamos la circunferencia de radio r. Con centro en un punto

cualquiera de la circunferencia P y con radio r, trazamos un arco que

corte a la circunferencia en A y B, que serán dos de los vértices.

Con radio AB, trazamos un arco desde A o B que corte a la

circunferencia, lo que determinará el tercer vértice C.

Construir un triángulo isósceles dadas la altura y uno de los lados iguales.

Se traza una recta, sobre ella una perpendicular sobre la que se

halla la altura, y con centro en ésta y radio CB se hallan A y B.

Construir un triángulo isósceles dadas la base y la altura

-Se dibuja la base AB y se halla su mediatriz,

obteniéndose el punto O. Sobre la mediatriz medimos la

magnitud de la altura con el compás, obteniéndose el vértice

C. Solo resta unir ABC.

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3.2. CUADRILÁTEROS

Son figuras planas limitadas por cuatro rectas que se cortan dos a dos, determinando unos

segmentos que son los lados del cuadrilátero. Los puntos donde concurren dos lados contiguos son los

vértices. En los cuadriláteros, aparece también la diagonal, segmento que une dos vértices no

consecutivos. Cada diagonal divide siempre el cuadrilátero en dos triángulos. La suma de los ángulos

interiores de un cuadrilátero es 360º.

Clasificación

Teniendo en cuenta el paralelismo de los lados de un cuadrilátero, podemos clasificarlos en

paralelogramos, trapecios y trapezoides.

PARALELOGRAMOS

Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos. Se clasifican a

su vez en cuadrados, rectángulos, rombos y romboides

CUADRADO

Figura geométrica que tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales (rectos). Tiene dos

diagonales iguales y perpendiculares

Construir un cuadrado dado el lado:

Se traza AB sobre una recta, se dibujan perpendiculares desde

A y desde B, y desde cada uno de esos puntos se trazan arcos

con la medida del lado que las corten, determinándose así C y

D.

Construir un cuadrado dada la diagonal

Se traza AC sobre una recta, se halla su mediatriz y con centro en

ésta y radio en A, se traza un círculo cuyo corte con la mediatriz dará

B y D.

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RECTÁNGULO

Paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos y los lados contiguos desiguales. Dos

diagonales iguales pero no perpendiculares.

Construir un rectángulo dadas la diagonal y el lado

Se traza la diagonal sobre una recta, se halla su mediatriz y

con centro en ésta y radio en A, se traza una circunferencia.

Sólo resta marcar la distancia AB sobre ésta desde A y desde

C y unir los puntos.

Construir un rectángulo dados los lados

Se traza AB sobre una recta r. Se levantan perpendiculares desde A y B, donde marcamos el lado AD.

Sólo resta unir los puntos.

ROMBO

Paralelogramo que tiene los lados iguales y paralelos dos a dos. Sus ángulos no son rectos y los

que son opuestos son iguales. Dos diagonales desiguales y perpendiculares.

Construir un rombo dadas las diagonales

Se traza el lado AC sobre una recta. Se halla su

mediatriz. Se halla a su vez la mediatriz de la

diagonal BD, y se pasan cada una de esas

mitades a la mediatriz de AC desde O,

obteniéndose los vértices B y D.

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Construir un rombo dadas la diagonal y el lado

Trazar AC sobre una recta. Desde A y desde C se trazan arcos con la distancia del lado BD, cuyos cortes

determinarán B y D.

Construir un rombo dados el lado y un ángulo

Trazar el lado AB sobre una recta. Trasladar el ángulo,

tomando como vértice A. Sobre éste, y con centro en

A, trazar un arco con la distancia AB, lo que

determinará D. Con la misma abertura, trazar arcos

desde B y D, que determinarán C.

ROMBOIDES

Paralelogramo cuyos lados paralelos son iguales entre sí. Sus ángulos no son rectos, siendo los

opuestos iguales. Para su determinación son necesarios tres datos.

Conociendo los lados mayor y menor y un ángulo

-Trazamos el lado mayor y, sobre el vértice A, el ángulo dado. Dibujamos un arco desde

A con la medida del lado menor que lo corte, obteniéndose el punto D. Por último, trazamos sendos arcos

desde D y desde B con las medidas de los lados

mayor y menor respectivamente, cuyo corte nos

da el vértice C.

A C

B

D

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Conociendo los lados mayor y menor y la altura

-Dibujamos el lado AB, y por B trazamos una

perpendicular con la medida de la altura. Dibujamos una

paralela a AB hasta esta altura. Trazamos por último arcos

desde A y B con la medida del lado menor, cuyos cortes con

esa paralela determinan los vértices C y D.

Conociendo los lados mayor y menor y la diagonal

-Dibujamos el lado AB. Trazamos arcos desde A y B

con la medida del lado menor, y desde B con la diagonal, cuyo

corte con el arco anterior nos da el vértice D. Solo resta trazar

un arco desde D con la medida del lado mayor que, al cortarse

con el arco trazado anteriormente desde B nos da el vértice C.

TRAPECIOS

Cuadrilátero irregular que tiene paralelos solamente dos de sus lados, que son sus bases.

Necesita cuatro datos para poder ser determinados. Sin embargo, en el caso de los trapecios rectángulos

e isósceles, conociendo solo tres suele ser suficiente.

Trapecios rectángulos

Conociendo bases y altura

-Dibujamos la base mayor, AB, y trazamos una perpendicular

desde A con la medida de la altura, con lo que obtenemos el vértice D.

-Trazamos una paralela al lado AB desde D. Con centro en D y

radio el lado menor, trazamos un arco que en su corte con esta

paralela nos da el vértice C

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Conociendo las diagonales y una base

Este ejercicio se resuelve construyendo dos

triángulos rectángulos ABD y ADC:

-Dibujamos la base, AB, y sobre A levantamos

una perpendicular. Desde B trazamos un arco con la

medida de la diagonal mayor que corte a ésta en D.

-Trazamos una paralela a AB desde D, y un

arco que la corte con la medida de la diagonal menor

desde A.

Trapecios isósceles

Conociendo las bases y la altura

-Dibujamos la base mayor AB y trazamos su mediatriz, desde donde llevamos la altura. A partir

de ésta, trazamos una paralela a la base. Desde el extremo de la altura y con radio igual a la mitad de la

base menor, trazamos un arco que corte en dos puntos, los vértices superiores, a la paralela.

Conociendo la base mayor, la altura y un ángulo agudo

-Dibujamos la base, trazamos la altura y una paralela a la base a la medida de la altura. Desde

los extremos de la base dibujamos el ángulo dado. El corte del lado de esos ángulos con la paralela nos

da los vértices D y C.

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Trapecio escaleno

Construir un trapecio escaleno conociendo los cuatro lados

Se traza AB, sobre éste un arco con la medida del lado opuesto (DC en este caso), que nos da E. Desde

E tomamos otro arco con la medida del lado que parte de A (AD), y desde B otro con BC, obteniéndose

C. Solo resta trazar un arco desde C con la medida CD que corte al trazado por A con la medida AD.

Construir un trapecio escaleno conociendo sus bases y sus diagonales

Se dibuja una de las bases, AB. A ese lado AB se le suma el lado opuesto. Con centro en A y radio una

diagonal, y centro en E y radio la otra diagonal se dibujan dos arcos. Por C se traza una paralela a la

base AB. Por último, con centro en B y radio EC se dibuja un arco.

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Trapezoides

Cuadrilátero irregular que no tiene ningún lado paralelo a otro. Como no tienen ningún elemento

igual, debemos conocer al menos 5 datos para su construcción.

Conociendo una diagonal y los cuatro lados

-Dibujamos la base, AB, y trazamos un arco con la diagonal

desde A. Dibujamos otro arco desde B con la medida del lado BC que

lo corte, obteniéndose el vértice C. Desde éste, se dibuja otro arco

con la medida BD, que corte a otro trazado por A con la medida AD.

3.3. CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES DE MÁS DE CUATRO LADOS

Para construir polígonos regulares, uno de los métodos

fundamentales es inscribirlo en una circunferencia. Cuando el

dato es el radio del polígono: el procedimiento general es dividir

la circunferencia que circunscribe al polígono en tantas partes

como número de lados tenga éste.

Pentágono, dado el radio de la circunferencia circunscrita

Trazar la circunferencia de radio r. Hallar la mediatriz del

diámetro, que nos dará, en su corte con la circunferencia, el

vértice A. Hallar a su vez la mediatriz de la mitad del diámetro,

que nos dará M. Con centro en M y radio MA, trazar un arco que

corte el diámetro en N. Dibujando un arco con centro en A y

radio AN, obtenemos sobre la circunferencia el lado.

Construir un pentágono dado el lado

Se traza AB en una recta. Se halla la mediatriz de

ésta. Desde B, trazamos una perpendicular con la

distancia AB. Con centro en la mediatriz y radio en

esta perpendicular, hallamos O sobre la recta. Con

centro en A y radio en AO, hallamos el vértice D en el

corte con la mediatriz. Ya solo resta hallar E y C

trazando arcos con la distancia AB desde A y D y

desde B y C.

A

A

B

C D

E

M N

A B M O

C

D

E

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Hexágono (Primer procedimiento)

Dibujar la circunferencia con el radio dado y trazar el

diámetro. Con centro en A y D respectivamente, trazar

arcos con la medida del radio que corten la circunferencia

en C,E y B, F.

Hexágono (segundo procedimiento):

Se traza un triángulo equilátero con lado AB, que será

el centro de la circunferencia en la que va circunscrito

el hexágono. Solo resta marcar los lados con la

distancia AB sobre el círculo.

Heptágono

-Trazamos el lado AB y levantamos una perpendicular por uno

de sus extremos, B por ejemplo. Dibujamos también la mediatriz de

este lado. Desde A, construimos un ángulo de 30º prolongando el lado

hasta que corte a la perpendicular trazada por B en el punto P.

-Con centro en A y radio AP, describimos un arco que corta a

la mediatriz de AB en el punto O, centro de la circunferencia

circunscrita al heptágono, y cuyo radio es OA u OB.

-Por último, sobre la circunferencia trasladamos el valor de AB

7 vece, para obtener todos los vértices.

Octógono

Trazar el diámetro y la mediatriz de éste. Hallar las

cuatro bisectrices de los cuatro ángulos que determinan el

diámetro y su mediatriz, obteniéndose los vértices que faltan.

24

Dodecágono

Igual que el anterior, pero trazando las trisectrices de esos cuatro

ángulos.

Método general para construir polígonos, dado el radio de la circunferencia circunscrita

Se trata de dividir la circunferencia que circunscribe al polígono en tantas partes como tenga éste,

como ya vimos cuando tratamos el tema de la circunferencia (método aproximado)

-Trazar el diámetro. Dividirlo en el número de

partes que queramos, de la forma ya vista. Trazar arcos

desde los extremos del diámetro con la medida de éste,

que determinarán P. Unimos P con el punto 2 y lo

prolongamos hasta cortar la circunferencia, lo que nos

dará B. Llevando la distancia AB sobre la circunferencia,

la dividiremos en el número de partes pretendido (9 en

este caso).

División de una circunferencia en 3, 6 o 12 partes iguales

(método exacto): transportando cuerdas iguales al radio de

la circunferencia se obtienen los 6 vértices de un hexágono

regular. Uniendo alternativamente los vértices, triángulos

equiláteros. Las apotemas del hexágono, determinan el

resto de los vértices de un dodecágono.

Construir un polígono sin saber ni el lado ni el radio: se hace

por semejanza. Por ejemplo, para obtener un hexágono, dibujamos

cualquiera con alguno de los métodos vistos y, mediante paralelas y

prolongación de diagonales, por semejanza, lo hallamos.

25

POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS

Definición: son polígonos cóncavos con forma de estrella, que resultan de trazar una

circunferencia todas las cuerdas de la misma longitud cuyos extremos sean vértices no consecutivos de

un polígono regular convexo inscrito en ella.

-Para dibujarla, inscribimos un polígono en una circunferencia, y en lugar de unir sus vértices de

forma consecutiva, lo hacemos a intervalos constantes no consecutivos, hasta pasar por todos ellos.

Propiedades

Los polígonos estrellados regulares tienen:

-Número: cantidad de puntas

-Género: número de cuerdas empleadas. Coincide con el del número de lados del polígono

inscrito en la circunferencia.

-Especie: número de vueltas que hay que dar a la circunferencia para completar el polígono.

-Paso: alternancia en la unión de los vértices o lados no consecutivos.

El número siempre es igual al género y la especie al paso. El polígono se cierra en el mismo

vértice que se comenzó. Su trazado puede hacerse así sin levantar el lápiz del papel.

Construcción de polígonos estrellados

Por cada polígono regular convexo se puede dibujar un número determinado de polígonos

estrellados, que pueden coincidir en el número de puntas o no. Por ejemplo, de un polígono de 14 lados

se pueden obtener los siguientes polígonos estrellados:

26

A partir de los polígonos estrellados se pueden obtener diferentes y muy ricas composiciones

ornamentales, como podemos observar en los siguientes ejemplos:

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TEMA 4.-RELACIONES Y TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Una transformación geométrica es la operación que posibilita obtener una figura nueva a partir

de otra dada, por medio de correspondencias entre elementos (puntos, rectas…) o figuras. Los

movimientos son transformaciones geométricas que conservan la forma y el tamaño de la figura original.

Clasificación

a)Transformaciones isométricas: la figura transformada conserva las magnitudes y los ángulos

de la figura inicial, es decir, que el resultado final de la transformación es una figura idéntica a la de

partida. Podemos considerar las siguientes:

-Igualdad

-Traslación

-Simetría

-Giro

b)Transformaciones isomórficas: La figura transformada conserva solo la forma de partida: los

ángulos son iguales y las magnitudes proporcionales. Consideraremos las siguientes:

-Homotecia

-Semejanza

c)Transformaciones anamórficas: la figura transformada es totalmente diferente, como en el

caso de la equivalencia o la inversión (que se verán el próximo curso).

4.1.-TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS:

4.1.1.-Igualdad e identidad: dos figuras planas son iguales cuando sus lados y sus ángulos son iguales

y están dispuestos en el mismo orden (K=K’). Son idénticas cuando coinciden exactamente al

superponerlas (K=K’). Todas las figuras idénticas son iguales, pero no todas las iguales son idénticas.

Fig. iguales Fig. idénticas

Construcción de figuras iguales

Por radiación: Se toma un punto cualquiera interior O y se trazan los segmentos que lo unen con los

vértices. Se traza también una circunferencia que corta a los cinco segmentos. Dibujamos otro punto O’ y

trazamos por él una paralela a cualquiera de los segmentos interiores de la figura original, p. ej. E’O’.

Dibujamos un círculo con igual radio al de la figura, que cortará al segmento en Q’. A partir de ahí,

transportamos todos los

ángulos, prolongándolos. Solo

resta medir la longitud de los

segmentos interiores y

trasladarlos a la segunda

figura.

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Por triangulación: Trazar sobre una recta el segmento AB. A partir de éste, construir el triángulo ABC,

sobre éste el ACD, y sobre éste el ADE.

Por perpendiculares: se traza una recta horizontal que pase por uno de los vértices, A en este caso. Se

levantan perpendiculares que corten a cada uno de los vértices. Se dibuja otra recta, donde se traslada el

punto A y los demás puntos, desde donde se levantan perpendiculares. Solo resta tomar las medidas de

las figuras originales y trasladarlas a la segunda, y unir los puntos.

Por traslado de ángulos: trazamos

una paralela a cualquier lado, por

ejemplo AD, y sobre ella trazamos el

segmento A’D’, similar al de la figura

dada. Desde A, se trasladan los

lados y los ángulos de la figura

original.

4.1.2.-Traslación: movimiento rectilíneo en una dirección establecida, por el que cada punto de

una figura se desplaza una misma distancia sobre rectas paralelas. Una traslación queda definida por

dos puntos homólogos A y A’ dados y una dirección de traslación determinada. En toda traslación se

verifica:

-El segmento que se traslada es paralelo al original

-Las rectas que unen puntos homólogos (A y A’, B y B’…) son paralelas a la dirección de

traslación

29

-Los ángulos resultantes son iguales a los

originales

-Cualquier figura original se transforma en otra

igual.

Por cada uno de los vértices se trazan paralelas a la

dirección de traslación AA’. Solo resta marcar en esas

paralelas, desde cada uno de los vértices, la distancia AA’

y unir los puntos.

4.1.3.-Simetría: dos figuras son simétricas respecto a un punto (simetría central) o una recta (eje de

simetría, simetría axial) cuando, haciendo girar la figura transformada alrededor de este punto o recta,

coincide exactamente sobre la figura original.

Simetría central: dos puntos A y A’ son simétricos respecto a un tercero O cuando están sobre

una misma recta y equidistan de O, es decir, que AO=OA’.

A O A’

En una simetría central se verifica siempre que una figura poligonal y su transformada tienen sus

lados homólogos paralelos y con sentido contrario; por tanto, para que coincidan ambas figuras hay que

girar 180º la transformada.

Simetría central de un segmento:

Unimos A y B con O y prolongamos, y trasladamos las

distancias AO y BO.

Simetría central de una figura plana

Unimos los vértices con O y prolongamos, y

pasamos las distancias de éstos (AO, BO…)

al punto central.

Simetría axial: dos puntos son simétricos respecto a un eje cuando están situados sobre rectas

perpendiculares a éste y equidistan de él.

A O A’

En una simetría axial se verifica siempre que:

-Las rectas simétricas se cortan en un punto del eje de simetría

-El eje es la mediatriz del segmento que une puntos simétricos

30

Simetría axial de una figura plana

Trazar perpendiculares al eje pasando por

los vértices y trasladar la distancia de cada

vértice al eje a la prolongación de estas

perpendiculares

4.1.4.-Giro: un giro es una transformación que posibilita que un punto, recta o figura se mueva alrededor

de otro punto fijo en un sentido (positivo o negativo) y un ángulo determinado. Tenemos por tanto tres

elementos: centro de giro (O), sentido del giro y ángulo de giro.

En un giro se verifica siempre que:

-Los ángulos y las magnitudes de los segmentos se conservan

-Todos los elementos de una figura describen arcos concéntricos en la misma dirección y el

mismo ángulo.

Determinación del centro de giro: se trazan las mediatrices de los segmentos que unen

cualquier par de puntos homólogos. En el corte de dos de éstos estará el centro.

Giro de un punto conociendo el centro y el ángulo de giro

Se une A con el centro, y sobre este se segmento se

transporta el ángulo dado. Con centro en A y radio OA, se

marca A’.

Giro de una recta conociendo el centro y el ángulo de

giro

Se traza una perpendicular a la recta que pase por O,

obteniéndose P. Sobre ésta perpendicular, se halla el

ángulo. Se pasa la distancia de P, obteniéndose P’. Sólo

resta trazar una perpendicular a OP’, obteniéndose r’.

Giro de una circunferencia conociendo el centro y el ángulo de giro

Giramos el centro como hemos visto para el

punto, y trazamos la circunferencia homóloga

con ese mismo radio.

31

Giro de una figura plana conociendo el centro y el ángulo

Se giran cada uno de los puntos

de la forma vista, y se unen los

vértices.

4.2.-TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS

4.2.1.-Homotecia: Cuando dos figuras semejantes (es decir, las que tienen ángulos iguales y lados

proporcionales) se hallan alineadas respecto a un punto, se dice que son homotéticas. El punto O en

relación al cual están alineadas es el centro de homotecia. La razón de la homotecia sería K,

verificándose que K=OA’/OA

O A A’

Determinación: una homotecia estará determinada por algunos de los siguientes datos:

-El centro y dos puntos homotéticos

-El centro y la razón de homotecia

-Dos figuras homotéticas

La razón de dos segmentos de longitudes a y b es el cociente de a entre b, es decir, a/b

32

En una homotecia se verifica siempre que:

-La razón entre dos segmentos homotéticos es siempre constante, e igual a la razón de

homotecia

-Los ángulos no varían, aunque sí las magnitudes de los segmentos, en una proporción igual a la

razón de homotecia.

La homotecia puede ser directa o positiva, cuando cada punto y su homólogo se hallan en la

misma semirrecta con respecto al centro de homotecia, o inversa o negativa, cuando el centro de

homotecia se halla en el segmento comprendido entre cada punto y su homólogo.

Construcción de homotecias

Figura homotética de ABC, dados el centro y su razón (K=1/2)

Se une O con los vértices. Sobre uno de los

segmentos, p. ej. OA, se lleva la razón, en este

caso ½, resultando A’. Desde ahí, se traza una

paralela a AB, obteniéndose A’B’, de la misma

forma, se obtiene A’C’.

Figura homotética de ABC, dados O y una razón negativa (K=-2) (homotecia inversa)

Se unen los vértices con O y

se prolonga. Pasamos las distancias

(en este caso, al ser K=-2, el doble de

AO) y obtenemos los vértices, o bien

obtenemos uno de los vértices y

procedemos con paralelas a los lados

originales para obtener los

homotéticos.

33

Homotecia respecto a dos centros: dos

segmentos paralelos son siempre homotéticos

respecto de dos centros, de uno en homotecia

directa y de otro en inversa. Estos centros se hallan

con las intersecciones de las rectas que unen los

extremos de los dos segmentos.

Lo mismo ocurre siempre con dos circunferencias cualesquiera. Los centros de homotecia se

hallan sobre la recta que une los centros de las circunferencias, determinándose a partir de las tangentes

exteriores e interiores.

4.2.2.-Semejanza: dos figuras planas son semejantes o proporcionales cuando tienen sus ángulos

iguales y sus lados proporcionales. Los elementos que se corresponden en ambas figuras se llaman

homólogos y la relación de proporcionalidad que existe entre segmentos homólogos se denomina razón

de semejanza o K, donde K=A’B’/AB, de tal modo que:

-Si K>1, la figura semejante es mayor que la original

-Si K<1, la figura semejante es menor que la original

-Si K=1, la figura semejante es igual a la original.

La semejanza puede ser también directa o inversa, según mantenga o no el sentido de la figura

original.

Construcción de figuras planas semejantes

Por homotecia o radiación, dada la razón de

semejanza positiva K=1/21

Tomamos un punto exterior cualquiera O, al

que unimos todos los vértices. Tomamos una recta de

unión cualquiera, en este caso BO. Sobre ella

hallamos la mitad, ya que K=1/2, obteniendo B’. A

partir de ahí procedemos de la forma conocida, por

paralelas.

1 Todas las figuras homotéticas son

semejantes, pero no todas las figuras

semejantes son homotéticas, se pueden

hallar por otros medios.

34

Por homotecia o radiación, conociendo la razón de semejanza negativa, p. ej. K=-2/3

Dibujamos un punto exterior cualquiera O, al que unimos todos los vértices. Como la razón es

negativa, determinamos la proporcionalidad sobre las prolongaciones de los segmentos a partir de O.

Una vez determinado un punto homólogo a 2/3, por ejemplo D, procedemos por paralelas, como en el

caso anterior.

Por homotecia o radiación, conociendo la razón de semejanza positiva, K= 2/1

-Partimos de la figura dada ABCDE, y consideramos un punto O centro de la homotecia, que vamos en

esta ocasión a hacer coincidir con uno de los vértices del polígono, A por ejemplo. Unimos O=A con

todos los vértices de la figura, prolongándolos.

-Dado que la razón de semejanza es 2/1, a partir de B llevamos la magnitud OB, obteniéndose su

homólogo B’. Trazamos una paralela por B’ a BC, y dónde ésta corte al radio OC prolongado queda

determinado el vértice C’. Los demás vértices se hallan de forma similar. Unimos por último los vértices,

obteniéndose una figura el doble del original.

A=O B B’

C

D E

E’

D’

C’

35

Por el sistema de la cuadrícula, conociendo la razón de semejanza, p. ej. K=4/3

Sobre la figura dada se construye una cuadrícula, en la que el lado de los cuadrados sea a.

Luego, construimos otra en la que el lado de sus cuadrados esté en proporción de 4/3 respecto a a.

Sobre ella se marcan los puntos en que la figura original corta la cuadrícula (es más recomendable para

figuras orgánicas que geométricas)

4.3.-ESCALAS

Son una aplicación de las semejanzas en el dibujo técnico. Se utilizan para representar sobre el

papel objetos excesivamente grandes o demasiado pequeños, reduciendo o ampliando sus medidas en

una proporción adecuada. Una escala es la razón que existe entre la representación gráfica de un objeto

y el objeto real.

Clases de escalas

-Escalas de reducción: si las dimensiones del dibujo son menores que las del objeto real (E=1/2)

-Escala natural: si coinciden ambas (E=1:1)

-Escala de ampliación: si las dimensiones del dibujo son mayores que las del objeto (E=3/2)

Conversión de escala: las escalas pueden expresarse en forma de proporción o fracción (2:3,

2/3), o decimal (0,66). Podemos pasar fácilmente de una a otra:

-Cambio de fracción a decimal: sólo necesitamos dividir el numerador por el denominador:

E=2/3=0,66, por tanto E=0,66

-Cambio de decimal a fracción: se reduce la fracción decimal a fracción quebrada:

E=0,5=5/10=1/2, por tanto, E=1/2

Escalas gráficas o volantes: se trata de realizar sobre un papel o cartulina una escala con el

nuevo valor de la unidad. Por ejemplo, si la escala es 3/1, cada unidad sería de 3 cms. A la derecha del O

se dibuja la contraescala: se divide la unidad en diez partes, para, en este caso, las medidas en

milímetros.

36

Construcción de una escala de reducción 4:5

Dividimos 4 cms. en 5 partes. También podemos

pasarlo a decimales directamente, midiendo cada

unidad a 0,8 cms. Así, cada cm. corresponde en la

escala a 0.8.

Construcción de una escala de ampliación de 8/5

Igual que en el caso anterior, podemos

dividir 8/5 (1’6), o dividir 8 cms. en

cinco partes.

Para medir con una escala volante, por ejemplo 44 mm., se miden 4 milímetros en la contraescala y a

partir de ahí, 4 unidades.

7/10

9/10

11/10

37

38

Tema 5.-Proporcionalidad

5.1. Proporcionalidad entre segmentos

a) Conceptos

-Razón: la razón entre dos segmentos a y b es el valor de la relación entre sus longitudes. Los

términos de la razón son los dos segmentos, a y b. Este concepto posibilita comparar dos segmentos y saber

cuántas veces uno está contenido en el otro. La razón suele denominarse mediante la letra K, es decir, que en

este caso, K= a/b

-Proporción: es la igualdad entre dos razones. Es decir, si se toman cuatro segmentos, a, b, c y d, se

dice que son proporcionales cuando, tomados dos a dos, su razón es la misma: a/b=c/d

Proporcionalidad: es la relación existente entre las partes de una figura con respecto al todo y a los

demás objetos. También es la relación que existe entre dos figuras que tienen la misma forma, pero diferente

tamaño. Puede ser de dos tipos, directa e inversa.

-Proporcionalidad directa: magnitudes directamente proporcionales son aquellas que varían

de tal forma que su razón permanece constante. Por tanto, segmentos directamente proporcionales

son los que cumplen que a/b=c/d=k, donde k es la constante de proporcionalidad directa.

Ejemplo de proporcionalidad directa sería el teorema de Thales, que veremos a continuación.

-Proporcionalidad inversa: magnitudes inversamente proporcionales son aquellas que

varían de forma que su producto permanece constante, es decir, si una magnitud aumenta, la otra

disminuye en la misma proporción. Dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales cuando se

verifica que x1 x y1= x2 x y2 = k

Ejemplos de proporcionalidad inversa son el teorema de la altura y del cateto en los triángulos

rectángulos, que veremos en el apartado correspondiente.

Proporcionalidad directa

Ya desarrollamos en el apartado correspondiente el Teorema de Tales. Éste es un ejemplo de

proporcionalidad directa. Pero además de servirnos para dividir un segmento en partes iguales, como vimos,

tiene otras aplicaciones:

2ª aplicación del teorema de Thales: división de un segmento en

partes proporcionales

Se trata de dividir el segmento AB en partes proporcionales a los segmentos l,

m, n. Se dibuja el segmento AB dado y una recta r que pase por uno de los

extremos del segmento. Sobre esta recta se sitúan las longitudes de los

segmentos, obteniéndose los puntos 1, 2, 3. Se une el punto 3 con el extremo B

del segmento AB y se trazan paralelas al segmento 3B por los puntos 1 y 2.

Media proporcional

Dados los segmentos a y b, se denomina media proporcional al segmento c si se cumple que a/c = c/b,

por lo que a x b = c2, o lo que es lo mismo: c=√ . Veámoslo gráficamente:

39

-Situamos los segmentos a y b uno a continuación del otro. Trazamos una semicircunferencia con centro en O

(que es el punto medio de la suma de a y b) y radio en uno de los extremos del segmento.

-En el punto C, donde se unen a y b, trazamos una perpendicular que corte a la semicircunferencia en

P. El valor de CP es la magnitud de la media proporcional buscada.

La media proporcional nos sirve para hallar la raíz

cuadrada de un segmento, utilizando un segmento c como

unidad (1 cm, p. ej.), y donde x es la media proporcional de los

segmentos a y c, o lo que es lo mismo, x=√

Tercera proporcional de dos segmentos: dados dos segmentos a y b, se denomina tercera

proporcional a un segmento c que cumple que a/b=b/c, o lo que es lo mismo, a x c= b2, o sea: c=b

2/a.

Veámoslo gráficamente:

-Sobre una recta r trazamos, seguidos, los

segmentos a y b. Sobre otra recta s que la corta

trazamos b.

-Unimos el extremo de a con el extremo

de b de la recta s, y desde el extremo de b

trazamos una paralela a la anterior. El corte de

esa paralela con s nos dará el segmento c

buscado, tercera proporcional de a y b.

La tercera proporcional nos sirve para hallar el cuadrado de

un segmento, utilizando un segmento b como unidad (1 cm) y donde x

(el cuadrado de a buscado) es la tercera proporcional entre c y a. (x =

a2).

Cuarta proporcional de tres segmentos: dados tres segmentos a, b y c, un cuarto segmento d será

su cuarta proporcional si a/b=c/d, por lo que, axd=bxc. Por tanto, d = b x c/a. Veámoslo gráficamente.

-Trazamos dos rectas concurrentes r y s, con cualquier

ángulo. Sobre r llevamos a y b, y sobre s llevamos c.

-Unimos el extremo de a con el extremo de c y trazamos una

paralela a ésta desde el extremo de b. Su corte con s nos da el

segmento d buscado.

40

La cuarta proporcional nos sirve, por ejemplo, para

hallar el producto de dos segmentos a y b, tomando un

tercer segmento c como unidad (1 cm., p. ej.). El producto

de a por b sería la cuarta proporcional de los segmentos c,

a y b. (x = a x b)

Nos sirve también para hallar el

cociente de dos segmentos,

empleando también un tercer

segmento c como unidad, y donde x es

la cuarta proporcional de b, a, c. (x

=a/b)

Sección áurea

Existe una relación de proporcionalidad entre dos segmentos, considerado por matemáticos y

artistas como la más armónica en dos dimensiones. Los griegos la denominaron sección áurea, y los

renacentistas divina proporción. Esa proporción la obtenemos al dividir un segmento AB en dos partes,

de manera que el segmento total es a la marte mayor como ésta es a la menor, es decir: a/x=x/(a-x).

Esta razón se conoce también como número de oro, ϕ (phi)=1,618 y a los segmentos que se

relacionan segmentos áureos. Los segmentos que mantienen entre sí la proporción aurea forman una

sucesión progresiva, en la que una magnitud es igual

a la suma de las anteriores, siendo segmentos áureos

los unos de los otros.

Obtención de segmentos áureos: Dado un

segmento AB, su segmento áureo se puede

determinar mediante la construcción de la potencia de

41

un punto respecto de una circunferencia (el concepto de potencia se verá más adelante), debiendo ser el

diámetro de la circunferencia igual al segmento del cual es tangente. Concretando:

-Por un extremo del segmento se dibuja la circunferencia tangente a él en ese punto, de diámetro igual al

segmento. Para ello, levantamos una perpendicular desde B, trazamos la mediatriz de AB, y con centro

en B, llevamos a la perpendicular la longitud de la mitad del segmento, para determinar el centro de la

circunferencia. Unimos el centro de esa circunferencia con A. La distancia desde A hasta la

circunferencia, x, es el segmento áureo de a.

Determinación de un segmento, conocido su

segmento áureo: matemáticamente, nos basta con

multiplicar el segmento por ϕ, es decir, por 1’618, pero

si queremos resolverlo gráficamente, se procede así:

trazamos el segmento áureo, x, sobre una recta

auxiliar. Trazamos la perpendicular por un extremo, y

hallamos la mediatriz de AB para hallar el centro.

Desde el extremo del diámetro de la circunferencia,

marcado por la perpendicular, y con centro en la

mediatriz del segmento, dibujamos un arco, que en su

corte con la recta auxiliar nos da el áureo del anterior.

Rectángulo áureo: es aquel cuyo lado menor es segmento áureo del mayor. Se halla presente

en innumerables detalles constructivos de edificios de la antigüedad, por su armonía.

Si descomponemos un rectángulo áureo en un cuadrado y un rectángulo, éste último es, a su vez,

áureo, y si continuamos descomponiendo, en cada cuadrado que obtenemos podemos trazar un arco de

circunferencia que genera una espiral logarítmica.

La relación entre la diagonal de un pentágono regular y su lado es también

áurea.

42

TEMA 6.-TANGENCIAS Y ENLACES

6.1.-TANGENCIAS

Dos figuras planas son tangentes cuando tienen un solo punto en común (punto de tangencia).

La tangencia puede producirse entre cualquier tipo de figura plana (recta, polígono, circunferencia…)

pero las más habituales son las generadas entre rectas y circunferencias y entre éstas entre sí.

Propiedades

-Primer teorema: una recta r es tangente a una circunferencia cuando tienen

entre sí solamente un punto en común y la recta es perpendicular al radio de la

circunferencia en un punto M.

-Segundo teorema: una circunferencia es tangente a

dos rectas r y s que se cortan entre sí si su centro está

situado en la bisectriz del ángulo que forman las

rectas.

-Tercer teorema: dos circunferencias son tangentes si tienen un punto

en común N alineado con los centros de la circunferencia.

-Cuarto teorema: en dos circunferencias tangentes, si se traza un

par de diámetros paralelos y se unen mediante rectas los diámetros

opuestos de ellos, se observa que dichas rectas de unión están

alineadas con el punto de tangencia M.

43

5.1.1.-CONSTRUCCIÓN DE TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS

Dibujar una recta tangente a una circunferencia en un punto de

ella

Trazar el radio que une el centro con el punto P, y dibujar la recta

perpendicular al radio que pase por P, que será la solución.

Trazar dos rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior a ella

Se une el punto P con el centro de la circunferencia y se halla

su mediatriz. Con centro en ésta (H) y radio HO se traza un

arco que corte a la circunferencia en M y M’, que son los dos

puntos de tangencia buscados.

Trazar dos rectas tangentes a una circunferencia y paralelas a una dirección

Trazar por el centro de la circunferencia una recta t

perpendicular a la dirección dada, lo que determinará los puntos

de tangencia M y N. Solo resta trazar paralelas a la dirección

dada que pasen por los puntos de tangencia.

Hallar una circunferencia tangente a dos rectas convergentes, dado el radio

Dibujar la bisectriz del ángulo que

determinan r y s. Trazar una paralela a r ó

s a la distancia del radio. El corte de ésta

con la bisectriz determina el centro de la

circunferencia. Trazando desde ésta

perpendiculares a r y a s, hallamos los

puntos de tangencia M y N.

44

Hallar una circunferencia que pase por un punto y sea tangente a una recta por un punto dado.

Unir M con P y trazar su mediatriz. Dibujar una perpendicular a

la recta r dada que pase por P. El corte de la mediatriz con

ésta nos dará el centro de la circunferencia.

Hallar una circunferencia tangente a tres rectas que se cortan dos a dos.

Hay cuatro posibles soluciones. Para hallar

los centros de las cuatro circunferencias,

trazar las bisectrices de los ángulos que

determinan las rectas al cruzarse, y hallar

la intersección entre las dos bisectrices.

Los puntos de tangencia se hallan

dibujando perpendiculares a las rectas que

pasen por el centro.

Dadas dos circunferencias de distinto radio, hallar dos rectas tangentes exteriores a ambas

Unir los dos centros y trazar la mediatriz de este segmento. Trazar una circunferencia concéntrica a la

mayor cuyo radio sea la diferencia entre los dos radios dados. Con centro en H y radio HO1, trazar un

arco que corte a esa circunferencia auxiliar, dando M y M’. Uniendo O1 con M y con M’, obtenemos los

puntos de tangencia V y U. Solo resta hallar las perpendiculares a O1M y a O1M’ que pasen por los

puntos de tangencia.

45

Dadas dos circunferencias de distinto radio, hallar dos rectas tangentes interiores

Unir los dos centros y hallar su

mediatriz(H). Trazar una circunferencia

con radio r1+r2 y centro en O1. Hallar otra

circunferencia con centro en H y radio

O1H, que cortará a la circunferencia en M y

M’. Uniendo ambos puntos con O1,

obtenemos los puntos de tangencia en sus

cortes con la circunferencia mayor. Solo

resta trazar sendas perpendiculares a O1M

y a O1M’ pasando por los puntos de

tangencia.

5.1.2. CONSTRUCCIÓN DE TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

Las circunferencias tangentes pueden ser interiores o exteriores. En las interiores, la distancia

de sus centros es igual a la diferencia de sus radios. En las exteriores, a la suma.

Circunferencia tangente exterior a otra de radio dado en un punto

Se prolonga el radio de la circunferencia dada,

pasando por P, y se le suma el radio r2,

determinándose así el centro O2, desde donde se

traza la circunferencia con el radio dado.

46

Circunferencia tangente interior a otra por un punto M y pasando por otro punto interior N

Al ser M y N puntos de la misma circunferencia, su centro está

en la mediatriz de MN, por lo que se halla ésta, se une O1 con

M y donde corte con la mediatriz estará el centro de la segunda

circunferencia.

Circunferencia tangente a otra de radio conocido y a una recta dada

Se traza un arco desde O1 con la suma de los dos radios. Se traza una recta paralela a la dada a la

distancia del radio. El corte de ésta con el arco anterior es el centro de la circunferencia pedida.

Trazar 3 circunferencias tangentes entre sí, conociendo sus centros

Unir los tres centros, formando un triángulo. Hallar las bisectrices de dos de los ángulos, cuyo cruce

determina P. Trazando perpendiculares a los tres lados del triángulo que pasen por P, hallamos los

puntos de tangencia A, B y C.

47

Hallar una circunferencia tangente a otras dos dadas, conociendo su radio.

Desde O1 y O2, se trazan arcos con la suma del radio de cada circunferencia más el radio dado r. El corte

de ambos arcos determina el centro de la circunferencia buscada. Uniendo O1 y O2 con O3, hallamos los

puntos de tangencia M y N.

Hallar una circunferencia tangente interior a dos circunferencias dadas, conocido su radio

Desde O1 y O2, trazar arcos con la diferencia del radio dado con el radio de cada circunferencia. El corte

de ambos arcos no da O3. Uniendo O3 con O1 y O2 y prolongándolos, los cortes con la circunferencia nos

da los puntos de corte M y N.

48

6.2.-ENLACES

Un enlace es la unión armónica de dos o más líneas, curvas o rectas, de modo que parezcan una

línea continua. Son el mejor ejemplo de aplicación de tangencias. Para hacerlo, hay que seguir estos

pasos:

-Definir el centro del arco o circunferencia

-Determinar los puntos de tangencia, para saber donde empieza y acaba el enlace

-Trazar el arco de enlace

6.2.1.-Enlace de rectas paralelas

-Unir dos rectas paralelas

Por un punto cualquiera de una de las rectas, se traza una

perpendicular. Se halla su mediatriz, que será el centro del

arco, que se une a A y B con radio OA.

-Unir dos rectas paralelas con dos arcos de distinto radio, dados los puntos de tangencia

Unir los puntos de tangencia y hallar su mediatriz, lo que nos

dará M. Trazamos una paralela a r o s pasando por M. Con

centro en ese mismo punto y radio MT1, trazamos un arco que

corte a la paralela en N. Desde N, trazamos una

perpendicular al segmento T1T2. Si trazamos perpendiculares

a r y a s pasando por T1 y T2, sus cortes con la perpendicular

que hemos trazado a T1T2 nos dan los centros de los arcos

buscados, O1 y O2.

-Unir dos rectas paralelas con dos arcos de igual radio y sentido opuesto, dados los puntos de

tangencia

Trazar, por T1 y T2, perpendiculares a r y s. Unir T1

con T2 y hallar su mediatriz, que nos da A. Hallar las

mediatrices de T1A y T2A, que al cortar a las

perpendiculares en O1 y O2. Con centro en estos y

radio O1 T1, trazamos los dos arcos.

49

5.2.2.-Enlaces de rectas secantes

-Unir dos rectas secantes mediante un arco de radio dado

Trazar paralelas a r y s a la distancia del radio. Su punto de

corte es el centro O. Trazando perpendiculares a r y a s que

pasen por O y las corten, obtenemos los puntos de

tangencia T1 y T2.

-Unir dos rectas secantes con dos arcos de sentido contrario, dados los puntos de tangencia y el

radio de uno de los arcos

Por T1 y T2 se trazan perpendiculares a r y s. A

una distancia igual al radio dado, se trazan

paralelas a r y s, que cortan a las perpendiculares

en A y B. Unimos A y B y trazamos su mediatriz,

que corta a la perpendicular por T2 en O. Con

centro en A y desde T1, trazamos un arco, que

corta a OA en F, punto de enlace de los dos arcos.

Con centro en O y desde F trazamos el segundo

arco.

5.2.3. Enlaces de arco y recta

-Unir un arco de circunferencia de radio dado con una recta mediante un arco de sentido contrario

y de radio dado.

A una distancia igual a r2, trazar una paralela a

s. Dibujar un arco desde O1 con la suma de los

dos radios dados, que cortará a esa paralela en

O2. Trazamos una perpendicular a s por O2 que

nos da A. Uniendo O1 con O2 obtenemos el

punto de unión entre los dos arcos. Solo resta,

con centro en O2, trazar el arco desde A a B.

50

Unir un arco de circunferencia de centro O1 y una recta, dado el punto de tangencia en la recta

Hallamos una perpendicular que corte a la recta s por T1. Sobre ella, trazamos la distancia del radio, lo

que nos da P. Unimos P con O1 y hallamos su mediatriz, cuyo corte con la perpendicular nos da O2.

Unimos O1 con O2, cuyo corte con la circunferencia nos da T2. Solo resta unir T1 con T2.

Enlace de dos circunferencias mediante un arco de radio dado, tangente a las dos circunferencias

Prolongar la recta de unión entre los centros O1 y O2, lo que nos da los puntos A y B. Con el radio dado

(que debe ser siempre mayor que la mitad de AB) y con centro en A y en B, se describen dos arcos que

determinan C y D. Con centro en O1 y en O2 y radio O1C y O2D respectivamente, se trazan arcos, cuyo

corte nos da O3. Las rectas que unen O3 con O1 y O2 determinan sobre cada una de las circunferencias

los puntos de tangencia T1 y T2. Solo resta trazar el arco con centro en O3 y radio O3T1

51

7.-CURVAS GEOMÉTRICAS

Llamamos curva geométrica a aquella línea que se aparta de la dirección recta sin formar

ángulos, siendo la trayectoria de sus puntos continua. Existen dos tipos: planas, si el punto se mueve

sobre un único plano, y alabeadas, si el punto se mueve en el espacio (hélice cilíndrica). Las curvas

planas,que son las que veremos a continuación,podemos clasificarlas así:

-Óvalos

-Curvas técnicas -Ovoides

-Espirales

-Curvas cíclicas (cicloide, epicicloide, hipocicloide)

-Elipse

-Curvas cónicas -Hipérbola

-Parábola

7.1.-CURVAS TÉCNICAS

7.1.1.-ÓVALO: es una curva plana y cerrada, compuesta por cuatro arcos de circunferencia iguales dos a

dos. Tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí.

Construcción de un óvalo dado el eje menor CD

-Se dibuja el eje menor CD y se halla su mediatriz, que

determina el centro O. Con radio OC trazamos un

círculo. Hallamos la perpendicular al eje CD, que en sus

cortes con la circunferencia determina O1 y O2.

-Unimos C y D con O1 y O2. Con centro en C y D

respectivamente y radio CD, trazamos sendos arcos que

determinarán P1, P2, P3 y P4. Solo resta trazar arcos

desde O1 y O2 con radio O1P1.

Construcción de un óvalo dado el eje mayor AB

Dividir el eje AB en 3 partes, lo que determina O1 y

O2. Desde ellos, trazar sendas circunferencias que

serán parte ya del óvalo, y cuyas intersecciones

determinarán los oros centros, O3 y O4. Uniendo

estos puntos con O1 y O2 y prolongando sus cortes

con las circunferencias, nos darán los puntos de

enlace P1, P2, P3 y P4. Solo resta trazar arcos desde

O3 con radio O3P3 y desde O4 con el mismo radio.

52

Construir un óvalo dados los dos ejes, AB y CD (óvalo óptimo)

-Dibujar el eje mayor AB y hallar su mediatriz,

trazándose sobre ésta el eje menor CD, al que

también se le halla la mediatriz. Unir A con C.

Con centro en O y radio OA, trazar un arco que

no da el punto E. Con centro en C y radio CE,

trazar otro arco que al cortar el segmento AC no

da F. Hallar la mediatriz de AF, que al cortarse

con los dos ejes nos da O1 y O2.

-Pasando la distancia OO1 al otro lado del eje

mayor obtenemos O3, y la distancia OO2 al eje

menor, obtenemos 04. Trazamos arcos desde O1

y O3 con radio O1A. Uniendo los cuatro centros y

prolongando obtenemos P1, P2, P3 y P4 al cortar

con los arcos anteriormente trazados. Solo resta

trazar por estos puntos arcos desde O2 y O4 con

radio O2C

7.1.2. OVOIDE: curva cerrada y plana, compuesta por dos arcos iguales y dos desiguales, con un solo

eje de simetría.

Construcción de un ovoide dado el eje menor CD

Dibujar el eje menor CD y hallar su mediatriz. Trazar una

circunferencia con radio OC, que en su corte con la mediatriz nos

da O3. Unir C y D con O3 y prolongar. Trazar arcos desde C y

desde D con radio CD. Sus cortes con las prolongaciones de O3C y

O3D nos dan los puntos de enlace P1 y P2. Solo resta terminar el

ovoide trazando un arco con centro en O3 y radio O3P2.

Construcción de un ovoide dado el eje mayor

AB

-Trazar el eje AB y dividirlo en 6 partes. Desde la

parte 2, trazar una perpendicular al eje, que nos da

O. Desde ahí, dibujar un círculo con radio OA, que

determina parte del ovoide y P1 y P2. Con centro

en O y radio OB, trazar un semicírculo que al

cortarse con el eje menor da O1 y O2, que se unen

con la división 5, prolongándose.

-Trazar arcos desde O1 y O2 con radio O1P1, que

al cortarse con las prolongaciones nos dan P3 y P4.

Solo resta trazar un arco desde 5 con radio 5B.

53

Construir un ovoide dados los dos ejes

-Dibujar el eje menor CD y hallar su mediatriz. Con

centro en O y radio OC, trazar un semicírculo que

nos da en la mediatriz A y F. Situamos el punto B en

esa mediatriz. Con centro en F y radio FB dibujamos

un círculo. Pasamos ese mismo radio FB al eje

menor desde C y D, obteniéndose E.

-Unimos E con F y hallamos su mediatriz, que en su

corte con el eje menor nos da H. Pasamos la

distancia OH a ese eje menor, obteniéndose el punto

S. Unimos S y H con F y prolongamos, lo que nos da

los puntos de enlace P1 y P2 al cortarse con la

circunferencia de radio FB. Solo nos resta trazar

arcos desde S y H con radio SD.

7.1.3.- ESPIRAL: Curva abierta y plana, generada por un punto que se desplaza uniformemente a los

largo de una recta, a la vez que ésta gira alrededor de uno de sus extremos con valor angular constante.

Llamamos paso de la espiral a la distancia longitudinal con que se desplaza el punto en una vuelta

completa.

Espiral de Arquímedes, dado el paso OP.

Se divide el paso OP en un número determinado de partes

(mientras más partes, más exacto será). Se trazan

circunferencias concéntricas con centro en O y radio en

cada una de las divisiones. Dividimos la circunferencia de

radio OP en el mismo número de partes y trazamos por

cada división una recta hasta O. Los puntos de corte de

cada una de estas rectas con cada una de las

circunferencias concéntricas nos dan los puntos de la

espiral, que se dibuja a mano alzada o con plantilla de

curvas.

Voluta: curva abierta y plana, compuesta por arcos de circunferencia enlazados entre sí, cuyos centros

son los vértices de un polígono regular llamado núcleo o matriz.

Voluta de núcleo triangular

Hacemos un triángulo equilátero y prolongamos los tres lados.

Con centro en A y radio AB, trazamos un arco hasta la

prolongación de AB. Con centro en B y radio B1, trazamos otro

arco hasta la prolongación de CB. Con centro en C y radio C2,

otro arco hasta 3, y así sucesivamente

54

Voluta de matriz cuadrada, dado el paso

Dibujar un cuadrado de perímetro igual al paso

dado. Cada uno de sus vértices son los centros

de los arcos que forman la voluta. Con centro

en P1 y radio P1P4, trazar un arco que corta a la

prolongación del lado en A; desde P2 con radio

P2A, trazar otro arco, y así sucesivamente.

Voluta jónica

Dibujar un círculo e inscribir en cuadrado. Dibujar sus diagonales prolongándolas y las paralelas a los

lados por el punto medio del cuadrado, que se dividen en 6 partes. Numerar estas partes de la forma que

se indica. Cada una de ellas será un centro. El primero se traza con radio 1A, el segundo 2E, el tercero

3F, y así sucesivamente.

55

7.2.-CURVAS CÓNICAS

Se obtienen al seccionar un cono con un plano secante. La posición de ese plano respecto al eje

posibilita diferentes tipos de curvas (además de la circunferencia cuando el plano es perpendicular):

-Elipse: el plano sección es oblicuo y corta todas las generatrices del cono

-Hipérbola: el plano sección es paralelo y oblicuo al eje y corta al cono.

-Parábola: el plano sección es oblicuo al eje y paralelo a una de las generatrices del cono.

Para construir cualquier curva cónica, el procedimiento es similar: se obtienen puntos que

configuran la curva, y se unen, bien a mano alzada, o con plantilla de curvas.

Elementos principales de las curvas cónicas

-Focos: son los puntos F y F’, situados en el eje de simetría. La elipse y la hipérbola tienen dos,

la parábola uno.

-Vértices: puntos extremos de los vértices de la curva.

-Ejes de simetría: la elipse y la hipérbola tienen dos, perpendiculares entre sí (eje mayor,

denominado real o principal y eje menor o secundario, imaginario en la hipérbola). La parábola solo tiene

uno.

-Circunferencias principales: circunferencias concéntricas que tienen por diámetro los ejes de

la elipse.

-Distancia focal: distancia existente entre los dos focos.

6.2.1. ELIPSE: figura plana y cerrada, lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma

de distancias a los focos F y F’ es constante e igual al eje mayor AB (PF+PF’=AB). Los focos en la elipse

se hallan haciendo centro en uno de los extremos del eje secundario C o D y radio igual a la mitad del eje

real.

Un cono es un cuerpo geométrico engendrado por una línea recta o generatriz que

se mueve fija en un punto o vértice alrededor de un eje y en una dirección

circular.

56

Construir una elipse conociendo sus dos ejes (por puntos)

-Se dibujan los dos ejes AB y

CD. Se hallan los focos: con centro en C

o D y radio la mitad de AB, se traza un

arco que corta a ésta en F y F’. Se

divide FF’ en cierto número de partes

(mientras más partes, más puntos

tendremos de referencia).

-Para hallar los puntos, con

centro en F y radio 1A se trazan arcos

arriba y abajo del eje y con centro en F’

y radio 1B, se cortan esos arcos; luego,

con radio 2A y 2B, 3A y 3B, y así

sucesivamente.

Construir una elipse conociendo los dos ejes, por intersección de rectas o haces proyectivos

Se dibuja un rectángulo con la misma

medida de lados que los ejes. Se dividen

en n partes los semiejes AO y BO y las

mitades del lado del rectángulo EA y FA.

Unimos C con todas las divisiones de EA y

AB, prolongando, y D con las divisiones de

FA y AB. Las intersecciones determinan

los puntos de la elipse.

Construir una elipse conociendo sus dos ejes, por circunferencias concéntricas o afinidad.

Se dibujan las circunferencias principales, una

con el radio de la mitad del eje menor y otra

del eje mayor. Trazamos radios comunes a

ambas circunferencias. Por los extremos de

los radio de la mayor, dibujamos paralelas al

eje menor. Por los extremos de los radios de

la circunferencia menor trazamos paralelas al

eje mayor. El cruce de ambas nos da el punto

de corte.

57

7.2.2. HIPÉRBOLA: curva plana y abierta, lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya diferencia

de distancias a dos puntos fijos llamados focos F y F’, es constante e igual al eje real AB: PF-PF’=AB.

Tiene dos ejes, uno real AB, que contiene a los vértices de cada rama de la curva y otro

imaginario CD, perpendiculares entre sí. La hipérbola contiene dos ramas simétricas respecto a los dos

ejes.

La distancia desde O a cada foco es igual a la distancia AC. Así, si

conocemos uno de los ejes y los focos, podemos determinar el otro

eje, y si se conocen los dos ejes, los focos. Los focos se hallan,

así, haciendo centro en O y radio AC.

Asíntotas: son rectas que pasan por el centro de la hipérbola y son tangentes a ella en el infinito. Son

simétricas respecto a los dos ejes.

Construir una hipérbola dados los dos ejes, por puntos

Se determinan los focos, con centro en O y radio

AC. Se sitúan una serie de puntos arbitrarios a la

izquierda de F. Con radio 1A y centro en F y F’, se

trazan arcos arriba y abajo. Con radio 1B y centro

en F y F’, se trazan arcos que cortan a los

anteriores. Se hace lo mismo con radio 2A y 2B, 3A

y 3B… Solo resta unir los puntos con plantilla o a

mano alzada.

Trazado de las asíntotas de una hipérbola

Con centro en O y radio OF, trazamos la

circunferencia focal. Por A o por B levantamos una

paralela al eje imaginario. Los cortes con la

circunferencia nos dan M y N. Uniendo M y N con O

y prolongando, obtenemos las dos asíntotas

58

7.2.3.-PARÁBOLA: Curva plana y abierta, lugar geométrico de todos los puntos del plano equidistantes

de un punto fijo llamado foco F y de una recta directriz d. (PF=FD). Solo tiene un eje de simetría,

perpendicular a la directriz, y que contiene al vértice y al foco.

Construcción de una parábola conociendo la directriz y el foco (por puntos)

-Hallar el punto medio del segmento OF, que nos da el vértice A.

A partir de F, se sitúan puntos arbitrarios 1, 2, 3… y por ellos se

trazan paralelas a la directriz.

-Tomando como radios las distancias O1, O2, O3, etc, y haciendo

centro siempre en F, se trazan arcos que cortan a las paralelas,

obteniéndose los puntos de la parábola.

Parábola conociendo el vértice, el eje y un punto P de la curva

Se determina P’, simétrico de P. Por el vértice A se traza una perpendicular y por P una paralela al eje. El

cruce de ambas nos da M. Dividimos MA y MP en el mismo número de partes iguales. Trazamos

paralelas al eje desde las divisiones de MA y unimos las divisiones de MP al vértice. Los respectivos

cruces nos dan los puntos de la parábola. La parte inferior la hallamos situando los puntos simétricos a

los obtenidos.