analiza na ees vezbi komplet

Универзитет „Св. Климент Охридски“- Битола -

AUDITORISKI VE@BI

po predmetot:

ANALIZA NA ELEKTROENERGETSKI SISTEMI

Електротехнички отсек (~etirigodini studii)

m-r Metodija Atanasovski

Битола, fevruari, 2006

2

1. ZAMENSKI [EMI I PARAMETRI NA ELEMENTITE NA EES

-VODOVI: Zada~a 1.1.

Da se presmeta podol`nata aktivna otpornost 20r i presmetkovniot (vistinskiot) presek na jaèto od tipot Al/Fe-240/40 mm2(nominalen presek). Jadroto na ~elikot e sostaveno od 7 ìci, sekoja so dijametar mmd Fe 68,2= , a

aluminiumskata obvivka e sostavena od 26 ìci, sekoja so presek mmd Al 45,3= .

Specifi~nata sprovodnost na aluminiumot iznesuva 284,34mm

mS ⋅=γ .

Reenie:Presmetkovniot presek na ~eli~noto jadro na jaèto e:

222

5,3914,3268,27

2mmdnS Fe

ziciFe =⋅

⋅=⋅

⋅= π

Presmetkovniot presek na aluminiumskata obvivka na jaèto e:

222

24314,3245,326

2mmdnS Al

ziciAl =⋅

⋅=⋅

⋅= π

Podol`nata aktivna otpornost na sprovodnicite so popre~ni preseci koi se koristat vo praksa, pri frekvencija od 50 Hz prakti~no e ednakva na nivnata aktivna otpornost pri ednonaso~na struja, bideji vo tie uslovi pojavata na povrinskiot efekt (skin efektot) e slabo izrazena. Me|utoa, za preseci pogolem od 150 mm2 pojavata na skin efekt doa|a do izraz. Isto taka poradi usukuvaweto na aluminiumskite ìci okolu ~eli~noto jadro se pojavuvaat dopolnitelni zagubi poradi histerizis i vrtlo`ni strui, koi predizvikuvaat dopolnitelno zgolemuvawe na otporot. Zemaji gi vo predvid ovie zgolemuvawa na otporot, podol`nata aktivna otpornost 20r pri temperatura od 20 oC na sprovodnicite od alu~el, so zadovolitelna to~nost za prakti~ni presmetki moè da se opredeli so slednava ravenka:

kmS

rS

rAl

dcAl

/125,0243

5,305,3006,1100006,120 Ω===⋅=⋅

⋅=γ

Pri temperatura θ razli~na od 20 oC podol`nata aktivna otpornost se presmetuva po slednava formula:

( )[ ]20120 −⋅+⋅= θαθ rr

kade to α e temperaturniot koeficient na promena na otporot koj za aluminiumot (a isto taka i za bakarot) e 1004,0 −= Coα .

3

Zada~a 1.2.Za 110 kV dalnovod so dolìna kmLvod 50= , da se presmetaat parametrite na

zamenskata π - ema na vodot, ako toj e izveden so stolbovi ~ija glava na stolbot e dadena na slikata 1 (stolb tip S3 EMO-Ohrid), a sprovodnicite se izvedeni so jaè od tipot Al/Fe-240/40 mm2 so eden sprovodnik po faza. Da se presmetaat i branovata impedanca na vodot, prirodnata monost na prenosot na dalnovodot (vodot da se smeta za idealen) i reaktivnata monost koja vodot ja generira po edinica dolìna. Dijametarot na sprovodnicite e mmd p 9,21= , a vistinskiot

presek na aluminiumot e 2243 mmS Al = .

1,7

m3,

4m

Slika 1. Glava na stolbot od zada~a 1.2. Reenie:

Vo prakti~nite presmetki za nadzemnite vodovi so dolìna ne pogolema od 250 km i za kabelskite vodovi so dolìna do 50 km, ramnomerno raspredelenite parametri na vodot moàt da se zamenat so koncentrirani parametri, i toa:

lbBlgGlxXlrR ⋅=⋅=⋅=⋅= ;;;

Zamenskata π -ema na vodot koja odgovara na ovie uslovi, e prikaàna na slika 2.

R X

2B

2B

2G

2G

Slika 2. Zamenska π -ema na vod

Rednata aktivna otpornost na vodot po edinica dolìna, odnosno aktivnata otpornost po celata dolìna e bidat:

kmS

rAl

/125,024384,34

100006,1100006,1 Ω=⋅

⋅=⋅

⋅=γ

Ω=⋅=⋅= 25,650125,0vodLrR

4

Rednata induktivna otpornost na nadzemnite vodovi po edinica dolìna zavisi od rastojanijata me|u sprovodnicite na vodot i od nivnite radiusi. Rastojanijata me|u sprovodnicite na vodot moàt da se presmetaat so pomo na dimenziite na glavata na stolbot, i toa:

( )( ) ( )

( ) mD

mD

mD

BC

AC

AB

76,68,275,37,1

2,57,14,38,275,3

55,64,38,28,2

22

22

22

=++=

=++−=

=++=

Srednoto geometrisko rastojanie me|u faznite sprovodnici e se presmeta so slednava formula:

mDDDD BCACABm 13,63 =⋅⋅=

Radiusot na sprovodnikot (se pretpostavuva deka site fazni sprovodnici imaat

isti dimenzii) e bide mmd

r pp 95,10

2== , so to moè da se presmeta rednata

induktivna otpornost na vodot po edinica dolìna, odnosno koncentriranata (vkupnata) induktivna otpornost na vodot:

Ω=⋅=⋅=

Ω=⋅⋅

⋅⋅⋅=

=⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅=

−−

−−

0,409

45,2050409,0

/1095,1083,0

13,6ln102314

83,0ln1022ln10222

34

44

vod

p

m

m

m

LxX

km

rDf

rDfLfLx πππω

Popre~nata aktivna odvodnost na vodot po edinica dolìna g , se opredeluva vrz osnova na zagubite na aktivna monost vo izolacijata na vodot po edinica dolìna '

izP∆ , odnosno zagubite poradi pojavata na korona korP∆ . No, vo prakti~nite presmetki naj~esto se zanemaruva ovoj promenliv nelinearen parametar, a zagubite poradi korona kaj vodovite so kVU n 380≥ se prikaùvaat kako dopolnitelno optovaruvawe na kraevite na vodot (po polovina na sekoj od niv) odnosno:

0

02

'

=⋅=

≈∆

=

vod

iz

LgGU

Pg

Popre~na kapacitivna provodnost na vodot po edinica dolìna b eposledica na postoeweto na zaemnata kapacitivnost na faznite sprovodnici i pome|u sekoj fazen sprovodnik i zemjata. Kaj realnite vodovi taa se presmetuva po slednata formula:

SLbB

kmS

rD

Cb

vod

p

m

µ

µωω

138

/76,2

1095,1013,6ln

1055,55314ln

1055,55

3

99

=⋅=

=

⋅

⋅⋅=⋅

⋅=⋅=

−

−−

5

Branovata impedancija na vodot e onaa vlezna impedancija na vodot pri koja postoi ramnoteà na generiranata i potroenata reaktivna monost na vodot i taa se presmetuva po slednive formuli:

Ω=⋅

=== − 3851076,2

409,06b

xBXZc ako vodot se smeta za idealen (realna veli~ina)

( )Ω−=⋅⋅

−=++= 58385

2j

bxrj

bx

jbgjxrZc ako vodot se smeta za realen

(kompleksna veli~ina).

Se gleda deka kaj realnite vodovi branovata impedancija e kompleksna i ima kapacitiven karakter, no nejziniot realen del e mnogu pogolem od imaginarniot i nejziniot modul prakti~no e ednakov na realniot del. Prirodnata monost na prenosot na dalnovodot i generiranata reaktivna monost po edinica dolìna se:

kmMVarUbq

MWZUP

nc

c

nN

/033,01101076,2

4,31385

110

262

22

=⋅⋅=⋅=

===

−

Zada~a 1.3.400 kV dalnovod so dolìna kmLvod 260= e izveden so stolbovi ~ija glava e

dadena na slika 3. Sekoja faza e izvedena so n=2 sprovodnici vo snop so jaìwa od tipot 2xAl/Fe-490/65 mm2 so presmetkoven presek 2

/ 6,63/3,490 mmS FeAl = , dijametar

na sprovodnikot mmd p 6,30= . Rastojanieto na sprovodnicite vo snopot

(interfaznoto rastojanie) e k=400 mm. Da se presmetaat parametrite na zamenska π -ema na vodot ( 0≈g ).

`

`

10,76 m

k

Slika 3. Glava na stolbot od zada~a 1.3. Reenie:

6

Bideji vodot e izveden so n=2 sprovodnici po faza, ekvivalentnata redna aktivna otpornost na vodot po edinica dolìna, odnosno vkupnata otpornost na vodot e bidat:

kmSn

rAl

/031,03,49084,34

10002106,11000106,1 Ω=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=γ

Ω=⋅=⋅= 06,8260031,0vodLrR

Aktivnta otpornost na eden od sprovodnicite vo snopot e dvojno pogolema, bideji vo snopot ima dva sprovodnici (paralelna vrska). Srednoto geometrisko rastojanie vo ovoj slu~aj e bide:

mDDDD BCACABm 56,13276,1076,1076,10276,10 333 =⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=

Vo slu~aj na sprovodnici vo snop se raboti so ekvivalenten radius na snopot (sopstveno sredno geometrisko rastojanie na sprovodnicite vo snopot) koj se presmetuva po slednata formula:

mmkrnRrnR np

n nsmm 25,76200

26,3095,02

295,0 21 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= −

mmkrnRrnR np

n nspmc 23,78200

26,302

221 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= −

So to moè da se presmeta rednata induktivna otpornost na vodot po edinica dolìna, odnosno koncentriranata (vkupnata) induktivna otpornost na vodot:

Ω=⋅=⋅=

Ω=⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= −−−

5,84260325,0

/325,01025,76

56,13ln102314ln102 344

vod

m

m

LxX

kmRDLx ωω

Treba da se zabeleì deka odnosot r/x=1/11, to e tipi~no za nadzemnite 400 kV vodovi so konstrukcija vo snop. Kaj realnite vodovi kapacitivnata odvodnost se presmetuva po slednata formula:

SLbB

kmS

RD

Cb

vod

mc

m

µ

µωω

8,87826038,3

/38,3

1023,7856,13log

1055,55314ln

1055,55

3

99

=⋅=⋅=

=

⋅

⋅⋅=⋅

⋅=⋅=

−

−−

So ogled na faktot to vodot e bide pretstaven so zamenska π -ema, odnosno e bide tretiran so koncentrirani parametri i so ogled na negovata dolìna

kmLvod 260= (>250 km), za to poto~no modelirawe na vodot treba da se vovedat skalarni koeficienti na popravka ili t.n Kenelievi koeficienti. Ovie skalarni koeficienti na popravka se presmetuvaat po slednive formuli:

7

0063,112

260325,01038,3112

1

987,0325,0031,01

6260325,01038,311

61

975,03

260325,01038,313

1

262

22622

262

=⋅⋅⋅+=⋅⋅

+=

=

−

⋅⋅⋅−=

−

⋅⋅−=

=⋅⋅⋅−=

⋅⋅−=

−

−

−

vodB

vodX

vodR

Lxbk

xrLxb

k

Lxbk

Korigiranite parametri na zamenskata π -ema na vodot e bidat:

SBkBXkX

RkR

B

X

R

µ34,8848,8780063,1

4,835,84987,0

86,706,8975,0

'

'

'

=⋅=⋅=

Ω=⋅=⋅=

Ω=⋅=⋅=

86,7 4,83j

SjBj µ17,4422

= 17,442j

Slika 4. Korigirana zamenska π -ema na vodot

-ENERGETSKI TRANSFORMATORI (TRANSFORMATORI): Zada~a 1.4.

Da se odredat parametrite i da se nacrta G-zamenskata ema na dvonamoten energetski transformator so slednite podatoci:

5%;0,1%;95

;195%;11%;5,31;/5,10/%5,110110:/

0

21

YdikWPkWPuMVASkVkVUU

Fe

Cunknnn

==∆

=∆==×±

Reenie:

TR TX

TBTG

Slika 5. G- zamenska ema na dvonamoten transformator Site parametri na G-zamenskata ema na t-torot e bidat presmetani

(svedeni) na 110 kV naponsko nivo (primarna strana). Aktivnata sprovodnost TG

8

na transformatorot vo grankata na magnetizirawe (popre~nata granka) se presmetuva preku zagubite vo `elezo (obid na prazen od) na transformatorot:

( ) SSUPG

n

FeT µ85,71085,7

101101095 6

26

3

2 =⋅=⋅

⋅=∆

= −

Reaktivna sprovodnost na grankata na magnetizirawe na transformatorot se presmetuva po slednata formula:

SUSi

Bn

nT µ03,26

1105,31

1001

100%

220 −=⋅−=⋅−=

Znakot minus e poradi induktivniot karakter na reaktivnata sprovodnost. Vkupnata kompleksna popre~na admitanca na grankata na magnetizirawe na transformatorot e:

( )TT

TTT

BY

SjjBGY

≈

−=+= µ03,2685,7

Aktivnata otpornost na podol`nata granka G-zamenskata ema na t-torot se presmetuva preku zagubite na aktivna monost pri obidot na kusa vrska:

Ω=⋅⋅=⋅∆= − 38,25,31

110101952

32

n

nCunT S

UPR

Impedancijata i reaktivnata otpornost na podol`nata granka se presmetuvaat:

Ω+=+=≈Ω=−=

Ω=⋅=⋅=

)19,4238,2(19,42

25,425,31

11010011

100%

22

22

jjXRZZRZX

SUu

Z

TTT

TTTT

n

nkT

Pri analizata na tekovite na monost vo EES pretstavuvaweto na transformatorite e so pomo na nesimetri~nata zamenskata π -ema, no za toa povee pri obrabotkata na ovoj tip na analiza na EES.

Zada~a 1.5.Da se nacrta zamenska ema i da se odredat parametrite na trinamoten

energetski transformator so slednive podatoci:

%. 6%%;5%;%10%2250 ;190 ;106;90;620

25/60/75//;35/110/220//

231312

231312

321321

====∆=∆=∆=∆=∆

==

kkk

mFekkk

nnnnnn

uuuKVarQKWPKWPKWPKWP

MVASSSkVUUU

Reenie:

9

Parametrite na G-zamenskata ema na trinamotniot transformator e bidat svedeni na 220 kV naponsko nivo (primarna strana). Grankata na magnetizirawe na trinamotniot transformator e ja priklu~ime na po~etokot na primarnata strana i so nea dovolno to~no se uvaùvaat zagubite na prazen od:

SUP

Gn

FeT µ93,3

220190

22 ==∆

= SUQB

n

mT µ65,4

2201022502

3

2 −=⋅−=

∆−=

−

1R 1X

TBTG

2R 2X

3R 3X

Slika 6. G- zamenska ema na trinamoten transformator Potrebno e da se odredat nominalnite monosti koi moàt da se prenesat od edna kon druga namotka:

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] MVASSS

MVASSSMVASSS

nnn

nnn

nnn

2525,60min,min2525,75min,min6060,75min,min

3223

3113

2112

=========

Preku obidite na kusa vrska (me|u site parovi namotki, koga tretata e otvorena) moàt da se odredat ostanatite parametrite na zamenskata ema na t-torot:

(3)

(2)

(1)

Ω=⋅=⋅=+=

Ω=⋅=⋅=+=

Ω=⋅=⋅=+=

16,11625

220100

6100

%

8,9625

220100

5100

%

67,8060

22010010

100%

2

23

223

3223

2

13

213

3113

2

12

212

2112

n

nk

n

nk

n

nk

SUuXXX

SUu

XXX

SUu

XXX

(1)+(2)-(3): ( ) Ω=−+⋅= 65,3021

2313121 XXXX

(3)+(1)-(2): ( ) Ω=−+⋅= 5021

1323122 XXXX

(2)+(3)-(1): ( ) Ω=−+⋅= 15,6621

1223133 XXXX

10

(3)

(2)

(1)

Ω=⋅⋅=⋅∆=+=

Ω=⋅⋅=⋅∆=+=

Ω=⋅⋅=⋅∆=+=

−

−

−

21,825

22010106

92,625

2201090

33,86022010620

2

23

223

2

233223

2

23

213

2

133113

2

23

212

2

122112

n

nk

n

nk

n

nk

SU

PRRR

SU

PRRR

SUPRRR

(1)+(2)-(3): ( ) Ω=−+⋅= 55,321

2313121 RRRR

(3)+(1)-(2): ( ) Ω=−+⋅= 79,421

1323122 RRRR

(2)+(3)-(1): ( ) Ω=−+⋅= 42,321

1223133 RRRR

Zada~a 1.6.Za delot od elektroenergetskiot sistem prikaàn na slikata da se

presmetaat parametrite na ekvivalentnite emi na vodot i avtotransformatorite i da se nacrta ekvivalentnata ema na sistemot.

kmLkVU

v

n

260 400

==

Slika 7. Elektroenergetskiot sistem od zada~a 1.6. Nadzemniot vod e identi~en so vodot od zada~a 1.3. i parametrite na negovata zamenska ema se vee presmetani. Podatocite za avtotransformatorite se sledni:

%.14%%;5,17%%12%%15,0%;148;727

400;75,36/231/400//

231312

12321

;0

=====∆=∆

==

XXXIiKWPKWPMVASkVUUU

nFenCun

nnnn

Reenie:Bideji vodot e identi~en so onoj od zada~ata 1.3., zamenska π -ema na vodot

so presmetanite parametri e prikaàna na slikata 4. Vo zada~ata se pojavuva i nov element avtotransformator. Modeliraweto na ovie elementi e identi~no so modeliraweto na trinamotnite transformatori. Vo slu~aite koga terciernata namotka na avtotransformatorot e povrzana vo triagolnik i pri stacionaren reìm nema da bide optovarena, toga taa nema da u~estvuva vo ekvivalentnata ema na sistemot. Zna~i avtotransformatorite e se prikaàt so G-zamenska ema kako dvonamotni transformatori i pritoa site parametri e bidat svedeni na 400 kV naponsko nivo:

11

SUSiB

SUPG

SUPR

SUXX

n

nAT

n

FenAT

n

nCunAT

n

nAT

622

120

62

3

2

2

23

212

2

2

12

212

1075,3400400

10015,0

100%

10925,0400

10148

727,040040010727

48400400

10012

100%

−

−−

−

⋅=⋅−=⋅−=

⋅=⋅=∆

=

Ω=⋅⋅=⋅∆=

Ω=⋅=⋅=

Ova se parametrite na eden od avtotransformatorite koi se identi~ni. Bideji dvata avtotransformatori se povrzani paralelno, ekvivalentnta G-zamenska ema e se dobie so prepolovuvawe na rednata granka (impedancii paralelno) i dvojno zgolemuvawe na popre~nata granka (admitancii paralelno):

SBBSGG

RR

XX

ATekv

ATekv

ATekv

ATekv

6

6

105,72

1085,12

3635,02

242

−

−

⋅−=⋅=

⋅=⋅=

Ω==

Ω==

SBj v 6'

1017,4422

−⋅= Sj 61017,442 −⋅

Ω+= )1,8343,7(' jZv

SGekv61085,1 −⋅=

SjBekv6105,7 −⋅−=−

Ω+= )243635,0( jZ ATekv

Slika 8. Ekvivalentna zamenska ema na sistemot od zada~a 1.6. -KONDENZATORSKI BATERII, PRIGU[NICI, SINHRONI KOMPENZATORI: Zada~a 1.7.

Od kondenzatorski elementi so kapacitet FC µ5,24= za napon 380 V, da se sostavi trifazna kondenzatorska baterija so nominalna monost MVarQn 3= i

nominalen napon kVU n 10= .

Reenie:a) Vrska vo triagolnik- ( fl UU = liniskiot i fazniot napon se ednakvi)

12

Sekoja faza na trifaznata kondenzatorska baterija e bide sostavena od m paralelno povrzani granki vo koi se priklu~eni seriski n kondenzatorski elementi. Izgledot na edna faza na kondenzatorskata baterija e daden na slika 9.

zvezdaUUkVUUU

nl

nlf

33U

ktriagolni10

f ==

===

m

n

Slika 9. Konstrukcija na edna faza na kondenzatorskata baterija Soglasno konstrukcijata na kondenzatorskata baterija na slika 9:

273,26380

10000380

≈==

=⋅

n

Un n

to zna~i vo edna granka na edna faza treba seriski da se priklu~at 27 kondenzatorski elementi. Reaktivnata monost to e ja generira edna granka na edna faza e bide:

( ) kVarUnCUnCUBQ nnenC 5,281010

27105,24314)( 23

6222

1 1=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=

−

ωω

kade to )(nCe e ekvivalentnata kapacitivnost na edna granka. Nominalnata reaktivna monost to kondenzatorskata baterija treba da ja generira po faza e:

kVarQQQ nlf 1000

33000

33====

Brojot na paralelni granki po edna faza m , mo`e da se presmeta na sledniot na~in:

351,355,28

1000

1

1

≈===

⋅=

QQ

m

QmQ

f

f

Zna~i sekoja faza na kondenzatorskata baterija e bide sostavena od 35=m paralelno povrzani granki, a vo sekoja granka seriski e bidat povrzani

13

27=n kondenzatorski elementi ili vkupno 945=⋅nm elementi. Presmetkovnata monost na kondenzatorskata baterija e bide:

kVarQmQKB 29935,283533 1 =⋅⋅=⋅⋅=

b) Vrska vo yvezda: (3l

fU

U = )

Brojot na seriski kondenzatorski elementi vo edna granka na edna faza e bide:

162,15380

310000

380≈=== fU

n

Reaktivnata monost to e ja generira edna granka na edna faza e bide:

kVarUnCUnCUBQ nfefC 16

31010

16105,24314)(

236222

1 1=

⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=

−

ωω

Brojot na paralelni granki po edna faza m :

625,6216

1000

1

1

≈===

⋅=

QQ

m

QmQ

f

f

Zna~i sekoja faza na kondenzatorskata baterija e bide sostavena od 62=m paralelno povrzani granki, a vo sekoja granka seriski e bidat povrzani

16=n kondenzatorski elementi ili vkupno 992=⋅nm elementi. Presmetkovnata monost na kondenzatorskata baterija e bide:

kVarQmQKB 2976166233 1 =⋅⋅=⋅⋅=

Razlikata koja se javuva pome|u presmetkovnite monosti na baterijata pri vrska vo triagolnik i yvezda 29762993 ≠ e poradi zaokru`uvaweto vo presmetkite.

Zada~a 1.8.Da se presmeta reaktansata i nominalnata monost na prigunica (reaktor)

za namaluvawe na strujata na kusa vrska so slednite podatoci: %%8%,200,20 kpnn uXAIkVU ==== .

Reenie:

Ω=⋅=⋅=

=⋅⋅=⋅⋅=

62,492,6

20100

8100

%92,62,02073,13

22

n

npp

nnn

SUX

X

MVAIUS

14

Zada~a 1.9.Sinhron kompenzator e daden so slednite podatoci:

%180%,100,5,10 === XMVASkVU nn . Da se odredi vnatrenata elektromotorna sila (EMS) za nominalna monost na sinhroniot kompenzator za reìm na nadvozbuda. Reenie:

Sinhroniot kompenzator (SK) e vsunost sinhron motor so polesna konstrukcija, predviden za rabota vo prazen od. Koga kompenzatorot raboti vo reìm na nadvozbuda, vnatrenata elektromotorna sila na SK e po modul pogolema od modulot na naponot na mreàta i toga toj raboti kako generator na reaktivna monost odnosno se odnesuva kako kondenzator. Vo reìmot na podvozbuda imame obraten efekt so naponite i SK se odnesuva kako potrouva~ na reaktivna monost odnosno kako induktivitet. Zna~i za:

nUE < -reìm na podvozbuda (SK se odnesuva kako induktivitet)

nUE > -reìm na nadvozbuda (SK se odnesuva kako kondenzator) Vo opt slu~aj:

IXjEU ⋅⋅+= 3

Za nominalna monost na SK pri reìm na nadvozbuda, ako referenten fazor e fazorot na naponot n

jnn UeUU == 0 , a strujata ima re~isi ~isto induktiven

karakter jII = gornata relacija e bide:

IXUjIXjUE nnn ⋅⋅+=⋅⋅−= 33

Reaktansata i strujata moàt da se izrazat preku nominalnite napon i monost na sledniot na~in:

n

n

n

n

USI

SUXX

⋅=⋅=

3100% 2

EMS e bide:

kVUXUU

SSUXUE nn

n

n

n

nnn 4,298,2

100%1

3100%3

2

=⋅=

+⋅=

⋅⋅⋅⋅+=

-SINHRONI GENERATORI: Zada~a 1.10.

Sinhron generator e daden so slednite podatoci: %180%,75,15,500 === snn XkVUMVAS . Da se presmeta sinhronata reaktansa na

generatorot i da se nacrta negovata zamenska ema pri presmetka simetri~nite stacionarni reìmi na trifaznite mreì. Reenie:

Sinhronata reaktansa na generatorot se presmetuva preku slednata formula:

15

Ω=⋅=⋅= 893,0500

75,15100180

100% 22

n

nss S

UXX

GUE

SX

Slika 10. Zamenska ema na sinhron generator

Na slikata 10 e dadena zamenskata ema na sinhronite generatori koja se koristi pri osnovnite presmetki na simetri~nite reìmi na trifaznite mreì. Taa se sostoi od sinhronata reaktancija na generatorot i negovata vnatrenata EMS vedna zad nego. Aktivnata otpornost na statorskite namotki naj~esto se zanemaruva, bideji po pravilo e zna~itelno pomala od reaktivnata otpornost.

Za presmetka na nestacionarnite (preodnite) reìmi, kako i za presmetka na reìmite na kusa vrska vo EES, modeliraweto na sinhronite generatori e posloèno i e bide prikaàno pri obrabotkata na ovie presmetki od analizata na EES.

-POTRO[UVAÎ:

Pri osnovnite presmetki i presmetkite na tekovite na monost vo visokonaponskite EES, voobi~aeno e potrouva~ite da se pretstavuvaat so konstantna aktivna i reaktivna monost t.e. so aktivna i reaktivna monost nezavisna od naponot kaj soodvetniot jazol. Edna od pri~inite za prifatlivosta na vakvata pretstava e vo faktot to potrouva~ite vo visokonaponskite EES se napojuvaat od transformatori koi imaat mo`nost za regulacija na sekundarniot napon pod optovaruvawe odnosno sekundarniot napon se odrùva vo tesni granici i monosta na potrouva~ite mnogu ne se menuva. Poto~no pretstavuvawe na optovaruvawata na potrouva~ite e mo`no so pomo na nivnite stati~ki karakteristiki, t.e. so funkciite ( ) ( )UQQUPP == , . Vo literatura se prepora~uva ovie funkcii da se zemaat vo forma na kvadratni trinomi:

( )( )2

0

20

UfUedQQUcUbaPP⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

kade to 1=++=++ fedcba . No tekotijata e vo toa to za sekoj jazol treba da se odredat koeficientite na trinomot, to vo prakti~ni uslovi ne e ednostavna zada~a. Zada~a 1.11.

Da se odredat stati~kite karakteristiki na osetlivost na promena na naponot na potrouva~ko podra~je, vrz osnova na merewata na naponot i monosta na sobirnicata na koja se priklu~eni potrouva~ite za dva razli~ni reìmi:

16

I merewe: ( )MVAjS p 5,216,42' += 2,35' =pU kV

II merewe: ( )MVAjS p 8,214,43" += 6,35" =pU kV

Pri odreduvaweto na stati~kite koeficienti na regulacija da se koristi nelineariziraniot model na potrouva~:

PUkPU UCP ⋅= QUk

QU UCQ ⋅=

Reenie:Vrz osnova na izmerenite vrednosti i so koristewe na nelineariziraniot

obrazec koj gi povrzuva aktivnata monost i naponot se dobivaat naponskite faktori na osetlivost preku ravenkite:

QU

PU

kPU

kPU

C

C

6,354,43

2,356,42

⋅=

⋅=

So delewe na ovie dve ravenki se dobiva sledniot izraz:

646,1

2,356,35ln

6,424,43ln

2,356,35

6,424,43

=

=

=

PU

k

k

PU

odnosno:

kVMWCPUkPU /121,0

2,356,42

2,356,42

646,1 ===

Kone~nata ravenka koja gi povrzuva aktivnata monost i naponot e:

646,1121,0 UPp ⋅=

Vrz osnova na izmerenite vrednosti i so koristewe na nelineariziraniot obrazec koj gi povrzuva reaktivnata monost i naponot se dobivaat naponskite faktori na osetlivost preku ravenkite:

QU

QU

kQU

kQU

C

C

6,358,21

2,355,21

⋅=

⋅=

So delewe na ovie dve ravenki se dobiva sledniot izraz:

17

226,1

2,356,35ln

5,218,21ln

2,356,35

5,218,21

=

=

=

QU

k

k

QU

odnosno:

kVMVarCQUkQU /273,0

2,355,21

2,355,21

226,1 ===

Kone~nata ravenka koja gi povrzuva reaktivnata monost i naponot e:

226,1273,0 UQp ⋅=

Zada~a 1.12.Potrouva~ko podra~je ima monost ( )MVAjS p 10150 += pri napon na

sobirnicata od koja se napojuva od kVU p 1100 = . Monosta na potrouva~koto

podra~je se menuva so promena na naponot so stati~ki koeficienti na osetlivost 4,1=PUk i 8,1=QUk . So koristewe na lineariziranite stati~ki karakteristiki da

se presmeta monosta na potrouva~koto podra~je pri napon na sobirnicata od kVU p 5,114= .

Reenie:Lineariziranite stati~ki karakteristiki na potrouva~ite go imaat

sledniot oblik:

MVArU

UkQQQ

MWU

UkPPP

p

pQUppp

p

pPUppp

74,10110

1105,1148,11010

86,15110

1105,1144,11515

000

000

=−⋅+=

∆⋅+=

=−⋅+=

∆⋅+=

kade to pU∆ e promenata na naponot na sobirnicata na koja e povrzano

potrouva~koto podra~je. -SVEDUVAWE NA PARAMETRITE NA ELEMENTITE NA EES VO MRE@I SO TRANSFORMATORI : Zada~a 1.13.

Za prenosnata mre`a dadena na slikata 11 potrebno e: a) parametrite na vodot V1 da se svedat na 35 kV naponsko nivo; b) parametrite na vodot V3 da se svedat na 220 kV naponsko nivo; c) naponot 3U i strujata 1I da se svedat na 220 kV naponsko nivo.

18

1 2 3 4

6

7

10/110 kV

110/220 kV

121/35 kV

1I

V1V2

V3

kmlvod 50=

kmlvod 30=

T1 T2

T3

Slika 11. Prenosna mreà od zada~ata 1.13. Za elementite na mreàta poznato e:

( )( )( )kVjU

AjIkmjzz VV

1012085180

/4,01,0

3

1

31

+=−=

Ω+==

Reenie:Sveduvaweto na parametrite na elementite na mreàta so transformatori

od edno na drugo naponsko nivo se vri na sledniot na~in:

;2 ZkZ sv ⋅= ;12 Y

kY sv ⋅= ;UkU sv ⋅= ;1 I

kI sv ⋅=

Kade to:

sveduvame giparametri ii~stranata natorot-tnanapon tnominalniosveduvame koja nastranata natorot-tnanapon tnominalnio=k

a) Parametrite na vodot V1 na 110 kV naponsko nivo se:

( ) ( )Ω+=⋅+=⋅= 205504,01,011 jjlzZ vodVV

Parametrite na vodot V1 e se svedat na 35 kV naponsko nivo, preku t-torot T2 i e bidat:

( ) ( )Ω+=⋅+=⋅=⋅= 67,142,012135205 2

2

21

22

12

11 jjUUZkZZ

n

nVVsvV

b) Parametrite na vodot V3 na 110 kV naponsko nivo se:

( ) ( )Ω+=⋅+=⋅= 123304,01,033 jjlzZ vodVV

19

Parametrite na vodot V3 e se svedat na 220 kV naponsko nivo, preku t-torot T3 i e bidat:

( ) ( )Ω+=⋅+=⋅= 4812110220123 2

22

33 jjkZZ VsvV

c) Naponot na sobirnicata 3 od prenosnata mre`a sveden na 220 kV naponsko nivo e bide:

( ) ( )kVjjUkU sv 2024010120110220

33 +=+⋅=⋅=

Strujata 1I niz vodot V1 svedena na 220 kV naponsko nivo e bide:

( ) ( )AjjIk

I sv 5,4290851802201101

11 −=−⋅=⋅=

20

2. OSNOVNI PRESMETKI VO EES

-RE[AVAWE NA DOLGI TRIFAZNI VODOVI SO POMO[ NA PRENOSNITE RAVENKI: Zada~a 2.1.

So pomo na prenosnite ravenki da se presmetaat kompleksnata monost na krajot na dalnovodot i zagubite na aktivna monost vo nego ako toj e so dolìna

kml 42= i ako se poznati pogonskite uslovi na po~etokot na vodot:

indj kVeUMWP 86,0cos ,112 ,30 10

11 =⋅== ϕ . Konstantite na vodot se:

0,/S108,2,/4,0,/1187,0 6 =⋅=Ω=Ω= − gkmbkmxkmr .

Reenie:Oblikot na prenosnite ravenki za realni vodovi, pri poznati pogonski

uslovi na po~etokot na vodot, e:

lchIlshZ

UI

lshIZlchUU

c

c

γγ

γγ

⋅+⋅⋅

−=

⋅⋅⋅−⋅=

11

2

112

3

3

kade to:

2211 ,,, IUIU se kompleksnite liniski napon i struja na po~etokot i na krajot na vodot soodvetno;

ccc jXRZ += e kompleksnata karakteristi~nata impedancija na vodot ~ij realen i imaginaren del se presmetuvaat po slednite formuli:

Ω−=⋅⋅⋅

−=⋅

−=

Ω=⋅

==

−

−

56108,24,02

1187,02

378108,24,0

6

6

xbrX

bxR

c

c

Moè da se zabeleì deka karakteristi~nata impedancija na vodot ima kapacitiven karakter.

βαγ j+= e konstantata na irewe na vodot ~ij realen i imaginaren del se

presmetuvaat po slednite formuli:

radlkmradxb

lkmR

r

c

04452,0421006,1

1006,1108,24,0

00672,0421016,0

11016,03782

1187,02

3

36

3

3

=⋅⋅=⋅

⋅=⋅⋅==

=⋅⋅=⋅

⋅=⋅

=⋅

=

−

−−

−

−

β

β

α

α

Hiperboli~nite funkcii se presmetuvaat na sledniot na~in:

21

0445,000672,0sincos

0003,01sincos

jlljchllshlshjlljshllchlch

+=⋅+⋅=

+=⋅+⋅=

βαβαγ

βαβαγ

Za da se primenat prenosnite ravenki potrebno e ute da se presmeta kompleksnata liniska struja na po~etokot na vodot:

( )kAjU

tgjPPUjQP

USI 092,0155,0

3)(arccos

33 1

111

1

11*1

*1

1 −=⋅

⋅−=

⋅

−=

⋅=

ϕ

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )kAjjj

jj

lchIlshZ

UI

kVjjjjjlshIZlchUU

c

c

0996,0155,00003,01092,0155,0

0445,000672,0563783

1123

64,304,1080445,000672,0092,0155,0

5637830003,011123

11

2

112

−=+⋅−+

++⋅−⋅

−=⋅+⋅⋅

−=

−=+⋅−

⋅−⋅−+⋅=⋅⋅⋅−⋅=

γγ

γγ

Kompleksnata monost na krajot na vodot iznesuva:

( ) ( ) ( )MVAjjjIUS 64,176,290996,0155,064,304,10833 *222 +=+⋅−⋅=⋅⋅=

Zagubite na monost vo vodot se:

MWPPP 4,06,293021 =−=−=∆

Zada~a 2.2.220 kV dalnovod so dol`ina kml 400= ima podol`ni parametri:

0,/S1062,2,/422,0,/09,0 6 =⋅=Ω=Ω= − gkmbkmxkmr . Vodot e na krajot optovaren

so monost MWP 702 = pri 95,0cos 2 =ϕ i napon kVeU j220 02 ⋅= . Potrebno e da se

presmeta kompleksnata vrednost na naponot na po~etokot na vodot i A B C Dparametrite na vodot, ako nego go pretstavime kako ~etvoropol. Reenie:

Kompleksnata karakteristi~nata impedancija na vodot e:

( )Ω−=

⋅

−+=+= 434012

jxb

rjbxjXRZ ccc

Nejzinite modul i argument se:

o11,61066,02

40622

−=−=−=

Ω=+=

radx

rXRZ ccc

ξ

Realniot i imaginarniot del na konstantata na irewe na vodot se:

22

o24424,0400100515,1

100515,11062,2422,0

0448,040010112,0

110112,0401209,0

2

3

36

3

3

==⋅⋅=⋅

⋅=⋅⋅==

=⋅⋅=⋅

⋅=⋅

=⋅

=

−

−−

−

−

radlkmradxb

lkmR

r

c

β

β

α

α

Hiperboli~nite funkcii se:

4074,0041,0sincos

01824,0915,0sincos

jlljchllshlshjlljshllchlch

+=⋅+⋅=

+=⋅+⋅=

βαβαγ

βαβαγ

Reaktivnata monost so koja vodot e optovaren na krajot e:

MVArPQ 23cos1cos 2

2

2

22 =−⋅= ϕ

ϕ

Oblikot na prenosnite ravenki za realni vodovi, pri poznati pogonski uslovi na krajot od vodot, e:

lchIlshZ

UI

lshIZlchUU

c

c

γγ

γγ

⋅+⋅⋅

=

⋅⋅⋅+⋅=

22

1

221

3

3

Dokolku vo ravenkata za naponot na po~etokot na vodot se zameni sledniot izraz za kompleksnata liniska struja na krajot od vodot:

*2

*2

2 3 USI⋅

=

se dobiva sledniot oblik na prenosnata ravenka:

⋅+⋅= lsh

SSlchUU

N

γγ *2

*2

21

kade to 2NS e kompleksnata prirodna monost na vodot:

( )MVAjjZ

USc

N 7,1253,11843401

2202

*

22

2 −=+

==

Naponot na po~etokot na vodot e bide:

( )

( )kVj

jj

jjlshSSlchUU

N

522,229

4074,0041,07,1253,118

237001824,0915,0220*2

*2

21

+=

=

+⋅

+−++⋅=

⋅+⋅= γγ

23

A B C D parametrite na vodot iznesuvaat:

A B

C D

fI 1 fI 2

fU 1 fU 2

( ) ( ) ( )

( ) Sj

jZ

lshC

jjlshZB

jlchDA

c

c

µγ

γ

γ

101562,6434014074,0041,0

6,16196,334074,0041,043401

01824,0915,0

+−=−

+==

Ω+=+⋅−=⋅=

+===

Zada~a 2.3.So pomo na prenosnite ravenki da se presmeta naponot i strujata na

po~etokot na dalnovodot, ako naponot na negoviot kraj e kVeU j110 02 ⋅= , a vodot

raboti vo reìm na prenesuvawe na prirodna monost. Vodot e so dolìna i parametri identi~ni so onie na vodot vo zada~a 2.1. Reenie:

Prenosnite ravenki za naponot i strujata na po~etokot na vodot, so vnesuvaweto na prirodnata monost vo niv (vidi zada~a 2.2), go imaat sledniot oblik:

⋅+

⋅=

⋅+⋅=

lchSSlsh

ZUI

lshSSlchUU

Nc

N

γγ

γγ

*2

*22

1

*2

*2

21

3

Vo slu~aj koga vodot raboti vo reìm na prenos na prirodna monost sledi deka:

cccN Z

UIZ

UIZUSS

⋅=

⋅===

3,

3, 2

21

1*

22

22

Strujata na krajot od vodot e:

( )( )

3

110 kAjjZ

UIc

0244,01646,0563783

22 +=

−⋅=

⋅=

Soglsno ovie relacii prenosnite ravenki go dobivaat sledniot oblik:

[ ] ( )( )

[ ] ( ) ( )( )kAj

jjlchlshIIej

jjlshlchUUj

03194,016461,0

0448,000672,10244,01646,085,11093,474,110

0445,000672,00003,01110

21

55,2

21

+=

=+⋅+=+=⋅=+=

=+++⋅=+⋅=

γγ

γγo

24

Vo ovoj reìm na rabota na vodot postoi balans na potroenata i generiranata reaktivna monost na vodot, odnosno faznite agli (agol pome|u naponot i strujata) na po~etokot i na krajot od vodot se ednakvi i iznesuvaat kolku to e argumentot na kompleksnata karakteristi~na impedancija na vodot:

o43,821 −====c

c

RX

arctgξϕϕ

Zada~a 2.4.Idealen dalnovod so nominalen napon kVU n 110 = i z50 Hf = , raboti vo

reìm na prenos na prirodna monost. Faznata razlika pome|u naponot na po~etokot i na krajot na vodot iznesuva o3,08 =θ . Ako za vodot se poznati:

dolìnata na vodot kmL 50 vod = i podol`nata kapacitivnost /km 1014,9 90 Fc −⋅= ,

da se presmetaat: podol`nata induktivnost na vodot, karakteristi~nata impedansa i prirodnata monost na vodot. Reenie:

Za idealnite vodovi 0== gr , pa spored ova sledi:

02

;02

=⋅

−==⋅

−=xb

rXR

rc

c

α

cc RZj == ;βγ

Hiperboli~nite funkcii se transformiraat vo obi~ni trigonometriski funkcii:

( )( ) ljljshlsh

lljchlchββγ

ββγ

sin

cos

==

==

Prenosnite ravenki za idealni vodovi go imaat sledniot oblik:

lIlZ

UjI

lIZjlUU

c

c

ββ

ββ

cossin3

sin3cos

22

1

221

⋅+⋅⋅

=

⋅⋅⋅+⋅=

lIlZ

UjI

lIZjlUU

c

c

ββ

ββ

cossin3

sin3cos

11

2

112

⋅+⋅⋅

−=

⋅⋅⋅−⋅=

Agolot me|u naponite na po~etokot i na krajot od vodot moè da se izrazi so slednata relacija:

2

2

Nvod P

PL ⋅⋅= βθ

kade to za slu~aj koga vodot prenesuva prirodna monost vaì:

25

c

nN Z

UPP2

22 ==

pri to sledi:

00 clxbLvod

⋅⋅=== ωθβ

Od ovaa ravenka induktivnosta na vodot e bide:

kmHLc

lvod

/00129,0501014,9314

054,02922

02

2

0 =⋅⋅⋅

=⋅⋅

= −ωθ

Vo ravenkata agolot rad 054,03,08 == oθ . Karakteristi~nata impedancija na vodot e bide:

Ω=⋅

==⋅⋅

=== − 2,3741014,9

00129,09

0

0

0

0

cl

cl

bxRZ cc ω

ω

Prirodnata monost na vodot e:

MWZUP

c

nN 4,32

2,37411022

2 ===

Zada~a 2.5.Da se presmeta modulot na naponot na krajot na vodot so dol`ina kml 800 =

, Ω= 370cZ i o06,0=β , ako toj raboti vo re`im na prazen od. Naponot na po~etokot

na vodot e kVU 220 1 = . Presmetkite da se izvrat za:

a) Idealen vod 0== gr ;b) Realen vod kmr /06,0 Ω= .

Reenie:a) Za idealen vod, pri prazen od ( 02 =I ):

lUUlUUββ

coscos

21

21

⋅=⋅=

( ) ( ) 11

2 4945,175,32880006,0cos

220cos

UkVl

UU ⋅==⋅

==β

b) Za realen vod pri prazen od ( 02 =I ):

lljllljshllchlchlch

UUlchUU

βαββαβαγ

γγ

sincossincos

1221

⋅+=⋅+⋅=

=⇒⋅=

26

pri to napraveni se slednite aproksimacii:

llshlch ααα == ;1

Ako se zameni cR

r⋅

=2

α e se dobie:

670865,0sin2

cos 22

2 =⋅

⋅⋅+= lRlrllch

c

ββγ

Modulot na naponot na krajot od vodot e bide:

11

2 4906,193,327670865,0220 UkV

lchUU ⋅====γ

Zna~i koga vodot raboti vo prazen od ( 02 =I ) se javuva Ferantieviot efekt, odnosno naponot na krajot od vodot e zna~itelno pogolem od naponot na po~etokot na vodot. Ovaa pojava povee doa|a do izraz kolku to e pogolema dolìnata na vodot. Zada~a 2.6.

Idealen dalnovod so induktivna otpornost Ω= 2,19X i kapacitivna

sprovodnost SB 101344,0 3−⋅= , raboti vo reìm na prenos na prirodna monost i prenesuva MWPN 32= . Kolkav e bide naponot na krajot na vodot ako prekinuva~ot na krajot na vodot go isklu~i potrouva~ot, a naponot na po~etokot na vodot ostane nepromenet od prethodniot reìm. Da se presmeta vkupnata monost to vodot ja zema od mreàta po isklu~uvaweto na potrouva~ot. Reenie:

Karakteristi~nata impedancija na vodot i agolot me|u naponite se:

radBXlxbl

BX

lblx

bxZc

051,0

378101344,0

2,193

=⋅=⋅=

Ω=⋅

==⋅⋅== −

β

Prirodnata monost to ja prenesuva vodot e:

cN Z

UP2

1=

Od ovaa formula moè da se presmeta naponot na po~etokot na vodot:

kVPZU Nc 110323781 =⋅=⋅=

Koga prekinuva~ot na krajot od vodot e go isklu~i potrouva~ot, vodot preminuva vo reìm na prazen od ( 02 =I ), a naponot na po~etokot na vodot

27

ostanuva nepromenet i so primena na prenosnite ravenki za idealen vod moè da se presmeta naponot na krajot od vodot:

( ) ( ) kVl

UU 14,1109987,0110

051,0cos110

cos1

2 ====β

Za da se presmeta monosta to vodot ja zema od mreàta pri reìmot na prazen od, potrebno e da se presmeta strujata na po~etokot na vodot so primena na prenosnite ravenki:

( ) kAjjlIlZ

UjIc

0086,00051,0sin378314,110cossin

3 22

1 =+⋅⋅

=⋅+⋅⋅

= ββ

Monosta to vodot ja zema od mreàta e prakti~no monosta na negoviot po~etok, koja e bide:

( ) MVAjjIUS 63,10086,011033 *111 −=−⋅⋅=⋅⋅=

Se zabeleùva deka monosta e ~isto reaktivna i ima kapacitiven karakter, to zna~i deka vodot po isklu~uvaweto na potrouva~ot, odnosno vo reìmot na prazen od, e generira reaktivna monost vo mreàta.

Zada~a 2.7.Idealen dalnovod so nominalen napon kVU n 380= i dolìna kml 500 = ,

ima karakteristi~na impedancija Ω= 320cZ i o06,0=β . Vodot raboti vo reìm na

prazen od i pritoa naponot na negoviot po~etok iznesuva kVUU n 39905,11 =⋅= .Kolkava treba da bide monosta na reaktorot (prigunicata) priklu~ena na negoviot kraj, ako sakame naponot na krajot da bide kVUU n 4181,12 =⋅= .

Reenie:Prenosnata ravenka za naponot na po~etokot na vodot e:

lIZjlUU c ββ sin3cos 221 ⋅⋅⋅+⋅=

Koga na krajot od vodot e se priklu~i prigunica so reaktansa pX , strujata na

krajot od vodot e bide:

pXjUI⋅

=3

22

Ako ova se zameni vo gornata ravenka e se dobie:

⋅+⋅= l

XZ

lUUp

c ββ sincos21

odnosno:

⋅+= l

XZ

lUU

p

c ββ sincos2

1

28

Reaktansata na prigunicata e bide:

( )( )

Ω=

⋅−

⋅⋅=

−

⋅= 9,1807

50006,0cos418399

50006,0sin320

cos

sin

2

1 lUU

lZX c

p

β

β

Monosta na prigunicata e bide:

MVArXUQ

pp 6,96

9,180741822

2 ===

Zada~a 2.8.Idealen dalnovod so induktivna otpornost Ω= 8,16X I kapacitivna

sprovodnost SB 10118,0 3−⋅= , priklu~en e na nominalen napon kVU n 110 = Iz50 Hf = . Vodot e optovaren so kapacitiven potrouva~ so impedancija

( )Ω−= 2003,377 jZ p . Kolkava treba da bide induktivnosta na reaktansata to

treba seriski da se priklu~i na potrouva~ot za da vodot raboti vo reìm na prenesuvawe na prirodna monost. Ako naponot na negoviot po~etok e ist I vo dvata slu~ai, kolkava e aktivnata i reaktivnata monost na potrouva~ot vo reìmot na prenos na prirodna monost. Reenie:

Karakteristi~nata impedancija na vodot e:

Ω=⋅

==⋅⋅== − 3,377

10118,08,16

3BX

lblx

bxZc

Uslovot za da vodot raboti vo reìm na prenos na prirodna monost e da impedancijata na seriskata vrska na potrouva~ot i prigunicata na krajot od vodot bide ednakva so karakteristi~nata impedancija na vodot, odnosno treba da bide ispolneto:

3,3772003,377 =⋅+−

=+

p

cpp

LjjZjXZ

ωOd ovde induktivitetot na prigunicata e bide:

HL

jLj

p

p

637,0314200

200

==

=⋅ω

Vo ovoj slu~aj agolot me|u naponot i strujata na krajot od vodot e bide nula, odnosno monostite na potrouva~ot e bidat:

0sin3

06,323,377

1103

3cos3

0sin;1cos;0

2

22

2

222

=⋅⋅⋅=

===⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅=

===

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

IUQ

MWZU

ZUUIUP

np

c

n

c

nnnp

29

-METOD NA BILANS NA MO]NOSTI I VERIGA NA ÊTVOROPOLI Zada~a 2.9.

Od edna razvodna postrojka preku dalnovod so dolìna kmL 85vod = i

parametri kmFckmHlkmr /108,8,/107,12,/118,0 90

400

−− ⋅=⋅=Ω= se napojuva

induktiven potrouva~ so 8,0cos 2 =ind

ϕ koj raboti so konstanten napon

kVU 110 2 = vo tekot na cel den i so prividna monost spored dijagramot na slikata 1. Cenata na aktivnata elektri~na energija na 110 kV naponsko nivo e

kWhdenca /5,1= za dnevna tarifa (07-21)h i kWhdenca /75,0' = za nona tarifa. Da se presmetaat:

a) Naponot na po~etokot na vodot, padot i zagubata na napon vo vodot i zagubite na aktivna i reaktivna monost vo vodot, pri monosta na maksimalno optovaruvawe na potrouva~ot;

b) Dnevnite trooci na potrouva~ot za prevezemenata aktivna elektri~na energija;

c) Zagubite na aktivna i reaktivna monost vo vodot pri monosta na minimalno optovaruvawe na potrouva~ot.

[ ]MVAS

[ ]ht

20min =S

30max =S

8 17 240

Slika 1. Dneven dijagram na optovaruvawe na potrouva~ot Reenie:

a) Za reavawe na zada~ata vodot e bide pretstaven kako ~etvoropol so

negovata π -zamenska ema prikaàna na slika 2, na koja se pretstaveni i tekovite na monost vdol` vodot. So 1U i 2U se ozna~eni liniskite naponi na jazlite (sobirnicite) na po~etokot i na krajot na vodot. Fazorot na liniskata golemina vo analizata se definira so ist argument (agol) kako fazorot na faznata golemina i so 3 pati pogolem modul od fazorot na faznata golemina.

Posledica na primenata na liniskite naponi vo ekvivalentnata ema na vodot, so parametrite po faza, se trifaznite monosti koi se od primaren interes. Ekvivalentite se linearni modeli na koi korektno se simuliraat sostojbite i so liniskite i so faznite rabotni golemini.

30

2Bj

2Bj

kV 1102 =UR jX1P

1Q

12

vQ

22

vQ

'12P

'12Q

2P

2QvP∆ vQ∆

"12P

"12Q

1U

Slika 2. π -zamenska ema so tekovi na monost na vodot od zada~a 2.9

Tekovite na aktivna monost se ozna~eni so polna linija so strelka, a tekovite na reaktivna monost so isprekinata linija so strelka. Ovaa interna konvencija e ja primenuvame vo site zada~i.

Parametrite π -zamenskata ema na vodot se:

mSLcfBLlfX

LrR

vod

vod

vod

235,023485107,123142

03,1085118,0

0

40

0

=⋅⋅⋅⋅=Ω=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

Ω=⋅=⋅=−

ππ

Aktivnata i raktivnata monost na potrouva~ot pri maksimalnoto optovaruvawe iznesuvaat:

max22

max2

max2max2

18cos1

248,030cos

QMVArSQ

PMWSP

==−⋅=

==⋅=⋅=

ϕ

ϕ

Aktivnata i reaktivnata monost na potrouva~ot pri minimalnoto optovaruvawe iznesuvaat:

min22

min2

min2min2

12cos1

168,020cos

QMVASQ

PMWSP

==−⋅=

==⋅=⋅=

ϕ

ϕ

Reaktivnata monost to vodot ja proizveduva vo popre~nata granka vo jazolot 2 iznesuva:

MVArUBQ vv 42,11102

10235,022

23

22

2

=⋅⋅=⋅=

−

So primena na bilansot na monosti (I Kirhofov zakon za monosti) za jazolot 2 pri maksimalno optovaruvawe se dobiva:

( )MVAjjjQjjQPQjSjQPS vv 58,162442,1182422 2

222

2"12

"12

"12 +=−+=

−+=

−=+=

Naponot na po~etokot na vodot (jazol 1) e se presmeta kako zbir na naponot na krajot na vodot i padot na napon vo vodot:

31

( ) o88,2

2

"12

"12

2

"12

"12

21

46,1179,531,117110

03,1058,163424110

3458,1603,1024110

jekVjj

URQXPj

UXQRPUU

⋅=+=⋅−⋅+

+⋅+⋅+=⋅−⋅+⋅+⋅+=

Padot na napon vo vodot e:

( )kVjj

UUU

RQXPjU

XQRPUjUU qdv

9,531,71109,531,117

212

"12

"12

2

"12

"12

+=−+=

=−=⋅−⋅+⋅+⋅=∆+∆=∆

Zagubata na napon vo vodot se definira kako razlika na modulite na naponite na po~etokot i na krajot na vodot:

kVUUU 46,711046,11721 =−=−=δ

Zagubite na aktivna i reaktivna monost vo vodot pri monosta na maksimalno optovaruvawe na potrouva~ot se:

MVArXU

QPQ

MWRU

QPP

v

v

39,234110

58,1624

705,003,10110

58,1624

2

22

22

2"12

2"12

2

22

22

2"12

2"12

=⋅+=⋅

+=∆

=⋅+=⋅

+=∆

b) Dnevnite trooci na potrouva~ot za prevzemenata aktivna elektri~na energija mo`at da se presmetaat spored dijagramot na optovaruvawe na potrouva~ot i toa:

Za dnevna tarifa prevzemenata aktivna elektri~na energija e bide:

( ) ( ) ( ) MWhPPPWdnevna 296416924116172181778 minmaxmin =⋅+⋅+⋅=−⋅+−⋅+−⋅=

Za nona tarifa prevzemenata aktivna elektri~na energija e bide:

( ) ( ) MWhPPWnokna 160316716212407 minmin =⋅+⋅=−⋅+−⋅=

Vkupnite dnevni trooci za prevzemenata aktivna elektri~na energija e bidat:

.56400016000075,02960005,1'24 denWcWcC noknaadnevnaah =⋅+⋅=⋅+⋅=

c) So primena na bilansot na monosti (I Kirhofov zakon za monosti) za jazolot 2 pri minimalno optovaruvawe se dobiva:

( )MVAjjjQ

jjQPQ

jSjQPS vv 58,101642,1121622 2

222

2"12

"12

"12 +=−+=

−+=

−=+=

32

Zagubite na aktivna i reaktivna monost vo vodot pri monosta na minimalno optovaruvawe na potrouva~ot se:

MVArXU

QPQ

MWRU

QPP

v

v

03,134110

58,1016

305,003,10110

58,1016

2

22

22

2"12

2"12

2

22

22

2"12

2"12

=⋅+=⋅

+=∆

=⋅+=⋅

+=∆

Zada~a 2.10.Za dadeniot radijalen prenosno-distributiven sistem za poznata sostojba na

po~etokot na prenosot da se odredi modulot na naponot na sobirnicata 3, tekovite na aktivna i reaktivna monost i zagubite na monost vo elementite na sistemot.

kmSbkmjz

v

v

/65,2/)4,0125,0(

µ=Ω+=

kmL 60=

KWPKWP

iuMVAS

kVm

Fen

Cun

k

n

T

38 65

2,1%%,115,31

5,10/110

0

=∆=∆

====

kVU 115 1 = 3U

( )MVAjS 12201 +=

Slika 3. Radijalen prenosno-distributiven sistem od zada~a 2.10. Reenie:

Prvo e potrebno site parametri na sistemot da se svedat na edno naponsko nivo i za ovoj slu~aj najzgodno e toa da bide 110 kV. Paramatrite na π -zamenska ema na vodot se:

SLbBLxX

LrR

vodvv

vodvv

vodvv

µ25,172651065,2

26654,0125,865125,0

6 =⋅⋅=⋅=

Ω=⋅=⋅=Ω=⋅=⋅=

−

Paramatrite na G-zamenska ema na transformatorot se:

( )S

USi

B

SUP

G

RZX

SUuZ

SU

PR

n

nT

n

FenT

TTT

n

nkT

n

nCunT

µ

µ

2,31110

5,31100

2,1100

%

14,3101101038

24,42

25,425,31

11010011

100%

793,05,31

1101065

220

23

3

2

22

22

2

23

2

2

=⋅=⋅=

=⋅

⋅=∆

=

Ω=−=

Ω=⋅=⋅=

Ω=⋅⋅=⋅∆= −

33

2vBj 2

vBj

2UvR

vjX1P

1Q

12

vQ

22

vQ

'12P

'12Q

vP∆ vQ∆

"12P

"12Q

kVU 1151 =

TjB−TG

svU 3

TP∆TQ∆

FeP∆ mQ∆

'23P

'23Q

3P

3Q

TRTjX

Slika 4. Zamenska ema na sistemot od zada~a 2.10 so tekovite na monost.


MVArUBQ vv 14,11152

1025,17222

26

21

1

=⋅⋅=⋅=

−

So primena na bilansot na monosti za jazolot 1 se dobiva:

( )MVAjjjQjjQPQjSjQPS vv 14,132014,1122022 1

111

1'12

'12

'12 +=++=

++=

+=+=

Naponot na krajot na vodot (sobirnica 2) e se presmeta kako razlika na naponot na po~etokot na vodot (sobirnica 1) i padot na napon vo vodot:

( ) o86,1

1

'12

'12

1

'12

'12

12

66,1106,36,110115

125,814,132620115

2614,13125,820115

j

vvvv

ekVjj

URQXPj

UXQRPUU

−⋅=−=⋅−⋅−

−⋅+⋅

−=⋅−⋅

−⋅+⋅

−=

Zagubite na aktivna i reaktivna monost vo vodot se:

MVArXU

QPQ

MWRU

QPP

vv

vv

126,126115

14,1320

352,0125,8115

14,1320

2

22

21

2'12

2'12

2

22

21

2'12

2'12

=⋅+=⋅

+=∆

=⋅+=⋅

+=∆

Monosta na krajot od vodot levo od sobirnicata 2 e bide:

( )MVAjjjSSjQPS v 014,12648,19126,1352,014,1320'12

"12

"12

"12 +=−−+=∆−=+=


MVArUBQ vv 055,166,1102

1025,17222

26

22

2

=⋅⋅=⋅=

−

34

Zagubite na aktivna i reaktivna monost vo grankata na magnetizirawe na transformatorot se:

kVArUBQKWUGP

Tm

TFe

3821066,110102,31

45,381066,1101014,36262

2

62622

=⋅⋅⋅=⋅=∆

=⋅⋅⋅=⋅=∆−

−

So primena na bilansot na monosti za jazolot 2 se dobivaat aktivnata i reaktivnata monost desno od to~kata 2:

MVArQQ

QQ

MWPPP

mv

Fe

69,12382,0055,1014,122

61,1903845,0648,19

2

"12

'23

"12

'23

=−+=∆−

+=

=−=∆−=

Naponot na sobirnicata 3 sveden na 110 kV naponsko nivo e se presmeta preku padot na napon vo transformatorot:

( )

( ) kVekVjj

j

jj

URQXPj

UXQRPUU

j

vvTTsv

o87,5

*2

'12

'12

*2

'23

'23

23

95,10583,104,1056,36,110

793,069,1224,4261,196,36,110

24,4269,12793,061,196,36,110

−⋅=−=+

⋅−⋅−

−+

⋅+⋅−−=

⋅−⋅−

⋅+⋅−=

Modulot na naponot na sobirnicata 3 e se dobie so sveduvawe preku transformatorot:

kVmUU Tsv 11,10110

5,1095,10533 =⋅=⋅=

Zagubite na aktivna i reaktivna monost vo transformatorot se:

MVArXU

QPQ

MWRU

QPP

TT

TT

88,124,4266,110

69,1261,19

035,0793,066,110

69,1261,19

2

22

22

2'23

2'23

2

22

22

2'23

2'23

=⋅+=⋅

+=∆

=⋅+=⋅

+=∆

Aktivnata i reaktivnata monost na sobirnicata 3 e bidat:

MVArQQQMWPPP

T

T

81,1088,169,12

58,19035,061,19'233

'233

=−=∆−=

=−=∆−=

Zada~a 2.11.Za ednostavniot radijalen prenosno-distributiven sistem na slika 5 da se

presmeta: a) Parametrite na ekvivalentnata ema na sistemot (svedeni na naponot na

vodot, koristeji ja π -zamenskata ema na vodot i G-zamenskata ema za transformatorot

35

b) Za poznata sostojba na krajot od prenosot, so primena na metodot na bilans na monosti, da se presmetaat fazorite na naponite, struite i monostite vo karakteristi~nite to~ki, odnosno vo oddelnite delnici na sistemot. Da se presmetaat i aktivnite i reaktivnite zagubi na monost vo elementite na sistemot i vkupno za celiot sistem.

kmSbkmjz

v

v

/65,2/)422,0193,0(

µ=Ω+=

kmL 70=

KWPKWPiu

MVASkVm

Fen

Cun

k

n

T

40 62

2,1%%,5,105,31

5,10/110

0

=∆=∆

====

kVU 10 3 =

( )MVAjS 10203 +=

Slika 5. Radijalen prenosen sistem od zada~ata 2.11.

Reenie:a)

Ekvivalentnata ema na sistemot so tekovite na monost e dadena slika 6. Transformatorot e pretstaven so zavrtenata G-ekvivalentna ema.

2Bj 2

Bj

2UvR

vjX1P

1Q

12

vQ

22

vQ

'vP

'vQ

vP∆ vQ∆

"vP

"vQ

1U

TjB−

svU3

TP∆TQ∆

FeP∆

3P

3Q

TR TjX

mQ∆

TG

'TP

'TQ

"TP

"TQ

3U

Slika 6. Ekvivalentna ema na zadadeniot sistem so tekovite na monosti Parametrite na sistemot se:

SLbBLxX

LrR

vodvv

vodvv

vodvv

µ5,185701065,2

54,2970422,051,1370193,0

6 =⋅⋅=⋅=

Ω=⋅=⋅=Ω=⋅=⋅=

−

Ω=−=

Ω=⋅=⋅=

Ω=⋅⋅=⋅∆= −

32,40

33,405,31

110100

5,10100

%

756,05,31

1101062

22

22

2

23

2

2

TTT

n

nkT

n

nCunT

RZX

SUuZ

SUPR

36

( )S

USiB

SUP

G

n

nT

n

FenT

µ

µ

24,31110

5,31100

2,1100

%

31,3101101040

220

23

3

2

=⋅=⋅=

=⋅

⋅=∆

=

b) Naponot na sekundarnata strana na transformatorot, e postaven na

realnata oska i sveden na 110 kV strana iznesuva:

o03

33

76,104

76,1045,10

11010

jsv

Tsv

eU

kVmUU

⋅=

=⋅=⋅=

Fazorot na faznata struja na krajot od prenosot, odnosno na sekundarnata strana na transformatorot e:

( ) ( ) o56,26

*

3

33 23,1231,5522,110

76,10431020

3j

svsv eAjj

USI −⋅=−=

⋅−=

⋅=

Zagubite na aktivna i reaktivna monost vo grankata na magnetizirawe na transformatorot se:

kVArUBQkWUGP

svTm

svTFe

86,3421076,1041024,31

28,361076,1041031,36262

3

62623

=⋅⋅⋅=⋅=∆

=⋅⋅⋅=⋅=∆−

−

Monosta koja protekuva niz transfromatorot e:

( ) ( ) ( )MVAjQQjPPjQPS mFeTTT 34826,1003628,2033""" +=∆++∆+=+=

Naponot na primarnata strana na transformatorot, odnosno na krajot na vodot e bide:

( ) kVekVjj

URQXP

jU

XQRPUU

j

sv

vTvT

sv

TTTTsv

o013,4

3

""

3

""

32

16,10964,788,10876,104

756,034286,1032,4003628,2076,104

32,4034286,10756,003628,2076,104

⋅=+=⋅−⋅+

+⋅+⋅+=⋅−⋅

+⋅+⋅

+=

Zagubite vo podol`nata granka na transformatorot se:

MVArXU

QPQ

MWRU

QPP

Tsv

TTT

Tsv

TTT

867,132,4076,104

34286,1003628,20

035,0756,076,104

34286,1003628,20

2

22

23

2"2"

2

22

23

2"2"

=⋅+=⋅

+=∆

=⋅+=⋅

+=∆

37

Monosta na vlezot vo transformatorot, odnosno na krajot od vodot e:

( ) ( ) ( )MVAjQQjPPjQPS TTTTTTT 21,12071,20""''' +=∆++∆+=+=


MVArUBQ vv 105,1156,1092

105,18522

26

22

2

=⋅⋅=⋅=

−

Monosta koja protekuva niz vodot i predizvikuva zagubi na monost i pad na napon e:

( )MVAjQ

jjQPQ

jSjQPS vTT

vTvvv 105,11071,20

22 2

''

2

'""" +=

−+=

−=+=

Zagubite vo vodot se:

MVArXU

QPQ

MWRU

QPP

vvv

v

vvv

v

3045,154,29156,109

105,11071,20

5966,051,13156,109

105,11071,20

2

22

22

2"2"

2

22

22

2"2"

=⋅+=⋅

+=∆

=⋅+=⋅

+=∆

Naponot na po~etokot na vodot e:

( )

( ) kVekVjj

j

jj

URQXP

jU

XQRPUU

j

vvvvvvvv

o04,6

*2

""

*2

""

21

72,11407,1208,11464,788,108

51,13105,1154,29071,2064,788,108

54,29105,1151,13071,2064,788,108

⋅=+=−

⋅−⋅+

+−

⋅+⋅++=⋅−⋅

+⋅+⋅

+=


MVArUBQ vv 22,172,1142

105,18522

26

21

1

=⋅⋅=⋅=

−

Kompleksnata monost na po~etokot na vodot, desno od jazolot 1 e:

( ) ( ) ( )MVAjQQjPPjQPS vvvvvvv 41,12668,20""''' +=∆++∆+=+=

Kompleksnata monost na vlezot vo vodot, levo od to~kata 1 e:

( )MVAjQ

jjQPQ

jSjQPS vvv

vv 19,11668,20

22 1

''

1

'111 +=

−+=

−=+=

Fazorot na faznata struja na po~etokot na vodot e:

38

( )( )

Aej

jU

SI j o39,22

*

1

11 28,118

07,1208,114319,11668,20

3−⋅=

−⋅−=

⋅=

Zada~a 2.12.Potrouva~ so monost MWP 203 = i 8,0cos 3 =

indϕ se napojuva preku

prenosen sistem daden na slikata 7. Naponot na po~etokot na vodot se odr`uva konstanten i iznesuva kVU 1151 = . Zanemaruvaji ja popre~nata komponenta na padot na napon vo prenosniot sistem da se odredi kolkava treba da bide monosta injektirana od kondenzatorskata baterija instalirana kaj potrouva~ot za da naponot na sobirnicata 3 bide kVU 2,103 = . Kolku e iznesuva monosta injektirana od kondenzatorskata baterija, dokolku se zemi vo predvid i popre~nata komponenta na padot na napon i kolkava e grekata to se pravi so nejzinoto zanemaruvawe?

kmj /)4,0125,0( Ω+

kmL 60=

KWPu

MVASkVm

Cun

k

n

T

200%115,31

10/110

=∆=== KBQ

3S

3U1U

Slika 7. Prenosen sistem od zada~a 2.12. Reenie:

Vo zamenskata ema na sistemot (svedena na naponot na vodot) prika`ana na slika 8, e bidat zemeni vo predvid samo podol`nite granki na vodot i t-torot, bideji se raboti za presmetka na padot na napon.

vR vjX1U svU3

3P

3Q

TRTjX "

3P

"3Q

cjX−KBQ

Slika 8. Zamenska ema na sistemot Reaktivnata monost na potrouva~ot na sobirnicata 3 e bide:

( ) MVArtgPQ 1575,020arccos33 =⋅=⋅= ϕ

39

Naponot na sobirnicata 3 sveden na naponot na vodot e:

kVmUU Tsv 2,11210

1102,1033 =⋅=⋅=

Parametrite na vodot i t-torot se:

Ω=⋅=⋅=Ω=⋅=⋅=

24604,05,760125,0

vodvv

vodvv

LxXLrR

Ω=−=

Ω=⋅=⋅=

Ω=⋅⋅=⋅∆= −

18,42

25,425,31

11010011

100%

44,25,31

11010200

22

22

2

23

2

2

TTT

n

nkT

n

nCunT

RZX

SUuZ

SUPR

Bideji se raboti za seriska vrska na vodot i t-torot, ekvivaletnata aktivna i reaktivna otpornost na sistemot pome|u to~kite 1 i 3 e:

Ω=+=Ω=+=18,66

94,9

Tve

Tve

XXXRRR

So bilans na monostite za sobirnicata 3, se dobiva:

( )KBQQjPS −+= 33"3

So zanemaruvawe na popre~nata komponenta na padot na napon, naponot na po~etokot na vodot mo`e da se izrazi so relacijata:

( )sv

eKBesv U

XQQRPUU

3

3331

⋅−+⋅+=

Od ovaa ravenka za monosta na kondenzatorskata baterija se dobiva:

( ) MVArX

UUUXQRPQe

svsveeKB 3,1333133 =

⋅−−⋅+⋅=

Dokolku se zemi vo predvid i popre~nata komponenta na padot na napon se dobiva:

( ) ( )

( ) ( ) 2

3

332

3

333

21

3

33

3

3331

⋅−+⋅+

⋅−+⋅+=

⋅−+⋅+

⋅−+⋅+=

sv

eKBe

sv

eKBesv

sv

eKBe

sv

eKBesv

URQQXP

UXQQRP

UU

URQQXP

jU

XQQRPUU

Od poslednata ravenka se dobiva kvadratna ravenka za monosta na kondenzatorskata baterija:

40

017,553505,4022 =+⋅− KBKB QQ

Ovaa kvadratna ravenka ima dve reenija, i toa:

MVArQMVArQ KBKB 52,14,77,387 21 ==

Prvoto reenie ne e logi~no i ne e fizi~ki vozmo`no, to zna~i reenieto e MVArQKB 52,14= .

Grekata to se pravi so zanemaruvawe na popre~nata komponenta na padot na napon e:

%4,810052,14

3,1352,14100% '

'

=⋅−=⋅

−=

KB

KBKB

QQQG

Zada~a 2.13.Daden e ednostaven elektroenergetski sistem, prika`an na slika 9. Da se

odredat maksimalnite monosti koi mo`at da se ispora~aat na potrouva~kite podra~ja priklu~eni na sobirnicite 3 i 4 ako naponite na vodovite ne smeat da izlezat od opsegot (200-240) kV. Kolkava e vo toj slu~aj monosta na po~etokot na vodot 1-2. Vo presmetkata da se zanemari popre~nata komponenta na padot na napon, a vodovite da se pretstavat samo so podol`nite granki.

4,0g 3 =ϕt

kmxkmr

v

v

/4,0/1,0Ω=Ω=

kmL 10012 = kmL 6023 =

kmL 4024 =

5,0g 4 =ϕt

Slika 9. Elektroenergetskiot sistem od zada~a 2.13. Reenie:Ekvivalentanata ema na sistemot e dadena na slikata 10.

3S

4S

2Z 3Z

4Z

2S

Slika 10. Ekvivalentanata ema na sistemot od zada~a 2.13

41

Impedanciite na poedinite granki na sistemot se:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )Ω+=⋅+=

Ω+=⋅+=Ω+=⋅+=

164404,01,0246604,01,0

40101004,01,0

4

3

2

jjZjjZ

jjZ

Vo dadeniot sistem maksimalna monost moè da se prenesi vo slu~aj koga na sobirnicite 3 i 4 ima minimalen napon (200 kV), a na sobirnicata 1 ima maksimalen napon (240 kV). Vrz osnova na ravenkata za padot na naponot vo grankata 2-3, moè da se odredi zavisnosta na naponot 2U od monosta 3P :

200078,0200

244,06200

3

33

333333

3

333332

+⋅=

=⋅⋅++=

⋅⋅+⋅+=

⋅+⋅+=

P

PU

XtgPRPU

UXQRP

UUϕ

(1)

Na sli~en na~in moè da se dobie i zavisnosta na naponot 2U od monosta 4P :

So izedna~uvawe na izrazite (1) i (2) se dobiva:

344

3 3,13,1

1 PPPP

⋅=⇒=

So primena na bilansot na aktivni monosti za sobirnicata 2 i presmetaniot odnos na monostite 3P i 4P , se dobiva:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )3

23

62

23

23

32

23

23

3424

23

23

3323

23

23

3424

24

24

4323

23

23

32

3,21025,3854200

5,03,13,1

3,16200

4,05,03,13,1

3,14,0

PPPP

PPPPRU

PP

PRUPPPR

UQPPR

UQPPP

+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅

+

+⋅+⋅⋅++=⋅

⋅⋅+⋅+

+⋅+⋅⋅+

+=⋅+++⋅

++=

−

Analogno za reaktivnite monosti se dobiva: ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )3

23

62

23

23

32

23

23

3424

23

23

3323

23

23

3424

24

24

4323

23

23

32

05,110154116200

5,03,13,1

5,03,124200

4,04,05,03,13,1

5,03,14,0

4,0

PPPP

PPPPXU

PP

PXUPPPX

UQPQX

UQPQQ

+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅

+

+⋅⋅+⋅⋅++⋅=⋅

⋅⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅⋅+

+⋅=⋅+++⋅

++=

−

(2) 20006,0200

165,04200

4

44

444444

4

444442

+⋅=

=⋅⋅++=

⋅+⋅+=

⋅+⋅+=

P

PU

XtgPRPUU

XQRPUU ϕ

42

Ravenkata za podol`nata komponenta na padot na napon vo grankata 1-2 e:

2

222221 U

XQRPUU

⋅+⋅+=

Od nea se dobiva:

22222221 XQRPUUU ++=⋅

So zamenuvawe vo ovaa ravenka na dobienite izrazi za zavisnosta na 222 ,, QPU od monosta 3P , se dobiva:

( ) ( ) ( )( ) 4005,1101541

103,21025,385200078,0200078,0240

32

36

32

362

33

⋅+⋅⋅+

+⋅+⋅⋅++=+⋅−

−

PPPPPP

Od posledniot izraz so sreduvawe se dobiva kvadratna ravenka po monosta 3P :

053,1117684782,1082 32

3 =−+ PP

Fizi~ki vozmo`no reenie na kvadratnata ravenka e:

MWP 93,943 =

Vrz osnova na presmetanata vrednost za 3P , moàt da se odredat i ostanatite monosti vo sistemot:

MVArPPQMWPPP

MVArtgPQMWPP

MVArtgPQ

56,11305,1101541

81,2213,21025,3857,615,041,123

41,1233,197,374,093,94

32

36

2

32

36

2

444

34

333

=+⋅⋅=

=+⋅⋅=

=⋅=⋅===

=⋅=⋅=

−

−

ϕ

ϕ

Naponot na sobirnicata 2 e:

kVPU 04,207200078,0 32 =+⋅=

Kompleksnata monost na po~etokot na vodot 1-2, e se dobie so bilansot na monosti za vodot 1-2, odnosno so presmetka na zagubite vo toj vod:

( )

( ) ( )MVAjj

jjXRU

QPjQPSSS

3,17125,23640104,207

56,11381,221

56,11381,221

2

22

2222

22

22

222121

+=+⋅++

++=+⋅+++=∆+= −

Zada~a 2.14.Vo radijalniot del na distributivniot sistem prikaàn na slikata 11,

naponot na sobirnicata 1 se odrùva konstanten, nezavisno od promenata na

43

potrouva~kata na sobirnicata 3. Pri napon na sobirnicata 3 kVU 1030 = ,

monosta na potrouva~ot e ( )MVAjS p 530 += , dodeka so promena na naponot se

menuva so stati~ki koeficienti na osetlivost 8,1,6,1 == QUPU kk .

a) Da se odredi monosta na kondenzatorskata baterija koja treba da se priklu~i na sobirnicata 3, za da naponot na tie sobirnici bide 10,5 kV,pri:

-zemawe vo predvid na popre~nata komponenta na padot na napon; -zanemaruvawe na popre~nata komponenta na padot na napon; Kolkava e grekata to se pravi so zanemaruvaweto na popre~nata komponenta na padot na napon vo presmetkata na monosta kondenzatorskata baterija;

b) Da se odredi naponot na sobirnicata 3, ako na nea se priklu~i

kondenzatorska baterija so nominalna monost MVArQKB 3= (pri kVU n 10= ). Vo ovoj slu~aj da se zanemari popre~nata komponenta na padot

na napon.

kVUkmjz

nv

v

35/)385,0196,0(

=Ω+=

kmLv 40=

KWPu

MVASkVm

Cun

k

nT

T

34%810

5,10/35

=∆=

== KBQ

pS

Slika 11. [ema i osnovni podatoci za zada~ata 2.14. Reenie:

Impedancijata na vodot svedena na 35 kV naponsko nivo e:

( ) ( ) ( )Ω+=⋅+=+= 4,1584,740385,0196,0 jjLjxrZ vvvv

Impedancijata na transformatorot svedena na 35 kV naponsko nivo e:

( )Ω+=

⋅+⋅=

⋅+⋅∆= 8,942,0

1035

1008

1035034,0

100% 2

2

22

2

2

jjSUu

jSU

PZn

nk

n

nCunT

Vkupnata impedancija pome|u to~kite 1 i 3 e:

( )Ω+=+=+= 2,2526,8 jZZjXRZ Tv

Vrz osnova na zadadenite vrednosti na naponot i monosta kVU 103 = i

( )MVAjS p 530 += koi go karakteriziraat reìmot pred kompenzacijata, moè da

se odredi naponot na sobirnicata 1, ~ij modul vo razgleduvaniot sistem se odrùva na konstantna vrednost. Prvo treba da se odredi naponot na sobirnicata 3, sveden na 35 kV:

44

kVmUU Tsv 33,335,10

351033 =⋅=⋅=

Naponot na sobirnicata 1 se dobiva so izrazot:

( ) .86,3703,185,3733,33

26,852,25333,33

2,25526,8333,3333

31

constkVkVj

jU

RQXPj

UXQRP

UUsv

pp

sv

ppsv

==+=

=⋅−⋅+⋅+⋅+=−

++

+=

a) Vo slu~aj na priklu~uvawe na kondenzatorska baterija na sobirnicata 3,

naponot na nea iznesuva 10,5 kV, odnosno negovata vrednost svedena na 35 kV e:

kVmUU Tsv 355,10

355,1033 =⋅=⋅=

So promena na naponot na sobirnicata 3, se menuvaat i monostite na potrouva~ot, preku lineariziranite stati~ki karakteristiki i iznesuvaat:

MVArU

UkQQQ

MWU

UkPPP

QUppp

PUppp

45,510

105,108,155

24,310

105,106,133

30

300

30

300

=−⋅⋅+=

∆+=

=−⋅⋅+=

∆+=

-So uva`uvawe na popre~nata komponenta na padot na napon, naponot na sobirnicata 1 mo`e da se izrazi so slednata formula:

( ) ( )sv

KBpp

sv

KBppsv U

RQQXPj

UXQQRP

UU33

31

−−+

−++=

So zamena na soodvetnite vrednosti za naponite i monostite, se dobiva kvadratna ravenka vo koja nepoznata e monosta na kondenzatroskata baterija:

( ) ( ) 222

3526,845,52,2524,3

352,2545,526,824,33586,37

⋅−−⋅+

⋅−+⋅+= KBKB QQ

Posle sreduvaweto se dobiva:

011,24969,982 =+− KBKB QQ

Fizi~ki vozmo`no reenie e:

MVArQKB 59,2=

45

-So zanemaruvawe na popre~nata komponenta na padot na napon, izrazot za naponot na sobirnicata 1 e:

( )

( )35

2,2545,526,824,33586,37

331

⋅−+⋅+=

−++=

KB

sv

KBppsv

QU

XQQRPUU

So reavawe na poslednata ravenka se dobiva:

MVArQKB 54,2=

Grekata to se pravi so zanemaruvaweto na popre~nata komponenta na padot na napon vo presmetkata na kondenzatorskata baterija e:

%93,110059,2

54,259,2100% 1

1

=⋅−=⋅

−=

KB

KBKB

QQQG

b) Bideji e zadadena nominalnata monost na kondenzatorskata baterija

MVArQKBn 3= (pri kVU n 10= odnosno za kVU nsv 33,33= ), vrednosta na monosta na baterijata za nekoja proizvolna vrednost na naponot na sobirnicata 3 e:

232

23

2

23 0027,0

33,333 sv

sv

nsv

svKBnKB UU

UUQQ =⋅=⋅=

Zavisnosta na monostite na potrouva~ot vo funkcija od naponot na sobirnicata 3, dadeni se so slednite izrazi:

427,033,33

33,338,155

8,1144,033,33

33,336,133

33

30

300

33

30

300

−=−

⋅⋅+=∆

+=

−=−

⋅⋅+=∆

+=

svsv

sv

svQUppp

svsv

sv

svPUppp

UUU

UkQQQ

UUU

UkPPP

Ako trite prethodni izrazi se zamenat vo ravenkata za padot na naponot pome|u to~kite 1 i 3:

( )

( ) ( )[ ]sv

svsvsvsv

sv

KBppsv

UUUUU

UXQQRP

UU

3

2333

3

331

2,250027,0402726,88,1144,086,37

⋅−−+⋅−+=

−++=

Se dobiva kvadratna ravenka po nepoznatiot napon svU 3 :

011,12405,32 323 =−− svsv UU

46

Fizi~ki prifatlivo reenie e: KVU sv 54,353 =

Zada~a 2.15.Vo elektroenergetskiot sistem prikaàn na slikata 12, kompenzacijata na

reaktivnata monost se vri so priklu~uvawe na popre~na kondenzatorska baterija na tercierot na trinamotniot transformator. Ako vo reìmot pred kompenzacijata (koga tercierot e neoptovaren), naponot na sobirnicata 2 e

kVU 332 = , da se odredi potrebnata susceptanca, odnosno monosta na kondenzatorskata baterija koja treba da se priklu~i na tercierot na transformatorot, za da naponot na sobirnicata 2 se podigne na posakuvanata vrednost kVU 75,362 = , pod pretpostavka deka naponot na sobirnicata 0 se odrùva na konstantna vrednost. NAPOMENA: Reaktansite na transformatorot se dadeni soglasno monostite koi moàt da se prenesat od edna kon druga namotka, a vo presmetkata da se zanemari popre~nata komponenta na padot na napon.

kVUkmx

nv

v

110/38,0

=Ω=

kmLv 80=( )MVAjS p 2545 +=

cjB MVASSS

kVmX

XX

nnn

T

35/60/60//

10/75,36/110%15%

%21%%,7%

321

23

1312

==

==

==

Slika 12. [ema i osnovni podatoci za EES od zada~a 2.15. Reenie:Impedancijata na vodot na 110 kV naponsko nivo e:

Ω=⋅== 4,308038,0 jjLjxZ vvv

Impedanciite na trinamotniot transformatorot pome|u oddelnite negovi kraevi, presmetani za prenosnite monosti od edna kon druga namotka, svedeni na 110 kV naponsko nivo se:

Ω=⋅=⋅==

Ω=⋅=⋅==

Ω=⋅=⋅==

857,5135

11010015

100%

6,7235

11010021

100%

117,1460

110100

7100

%

2

3

223

2323

2

3

213

1313

2

1

212

1212

jjSUXjjXZ

jjSUX

jjXZ

jjSUXjjXZ

n

n

n

n

n

n

Impedanciite na grankite Y-ekvivalentot na trinamotniot transformator, svedeni na 110 kV naponsko nivo se:

47

( )

( )

( ) Ω=−+==

Ω−=−+==

Ω=−+==

17,5521

313,321

43,1721

12231333

13231222

23131211

jXXXjjXZ

jXXXjjXZ

jXXXjjXZ

Vo slu~ajot pred kompenzacijata, koga tercierot e neoptovaren, transformatorot se modelira kako dvonamoten so impedancijata 1212 jXZ = .Ekvivalentnata ema za ovoj slu~aj e prikaàna na slika 13.

ppp jQPS +=

vjX 12jX

Slika 13. Ekvivalentna ema na sistemot pred kompenzacijata Za ovoj raboten reìm naponot na sobirnicata 2 soglasno uslovot na zada~ata iznesuva kVU 332 = , odnosno negovata vrednost svedena na 110 kV e:

kVmUU Tsv 776,9875,36

1103322 =⋅=⋅=

Od ovoj reìm moè da se odredi naponot na sobirnicata 0, koj se odrùva konstanten nezavisno od reìmot na rabota:

( ) ( ) kVU

XXQUU

sv

vpsv 043,110

776,98117,144,3025776,98

2

1220 =+⋅+=

++=

Za reìmot so vklu~ena kondenzatorska baterija, t-torot se modelira so Y-ekvivalentot i emata za ovoj reìm e dadena na slikata 14.

ppp jQPS +=

vjX2jX1jX

3jX

KBjX−

kVU sv 1102 =

2ZQ∆

ZS 0 ZS

Slika 14. Ekvivalenta ema na sistemot so vklu~ena kondenzatorska baterija

Za ovoj raboten reìm naponot na sobirnicata 3 soglasno uslovot na zada~ata treba da iznesuva kVU 75,362 = , odnosno negovata vrednost svedena na 110 kV e:

48

kVmUU Tsv 11075,36

11075,3622 =⋅=⋅=

Za da mo`e da se odredi susceptansata na popre~nata kondenzatorska baterija, potrebno e da se zadovoli ravenkata za bilans na monosti do sobirnicata 0. Naponot vo to~kata Z se dobiva so ravenkata:

( ) ( ) kVU

XQUU

sv

psvZ 247,109

110313,325110

2

22 =−⋅+=+=

Reaktivnite zagubi vo grankata Z-2 se:

MVArU

QPXQ

sv

ppZ 726,0

1102545313,3 2

22

22

22

22 −=+⋅−=

+=∆

Kompleksnata monost na po~etokot na grankata Z-2 e:

( ) ( )274,24452 jQQjPjQPS ZppZZZ +=∆++=+=

Reaktivnata monost na popre~nata granka vo to~kata Z, mo`e da se izrazi vo

funkcija od nepoznatata kapacitivna reaktansa na baterijata KBX:

KB

ZKB XX

UQ−

=3

2

3

Kompleksnata monost na krajot na grankata 0-Z e:

−

++=+=KB

ZZZZZZ XX

UQjPjQPS3

2

000

Ravenkata za presmetka na naponot vo to~kata 0 e:

( )

Z

vKB

ZZ

Z U

XXXX

UQUU

13

2

0

+

−

++= ,

vo koja edinstvena nepoznata e reaktansata na kondenzatorskata baterija KBX .Izrazot za nepoznatata e:

Ω=−

+−⋅

−=−

+−

−= 65,586274,24

43,174,30247,109247,109043,110

247,10917,55 2

2

1

20

2

3

Zv

ZZ

ZKB

QXXUUU

UXX

Baranata susceptansa na kondenzatorskata baterija, svedena na 110 kV e:

49

mSX

BKB

KB 7,11 ==

Naponot na kondenzatorskata baterija sveden na 110 kV e:

kVXX

XUUKB

KBZKB 58,120

3

=−

−=

Monosta na baterijata e:

MVArBUQ KBKBKB 787,242 =⋅=

50

3. PRESMETKA NA TEKOVITE NA MO]NOSTI VO EES

-SISTEM NA EDINE^NI (RELATIVNI) VREDNOSTI (PU SISTEM)

Problemot na sveduvawe vo EES vo koj imame dve ili povee naponski nivoa, najednostavno moì da se rei so primena na sistemot na edine~ni vrednosti (per unit). Edine~nata vrednost na edna kompleksna veli~ina se definira kako koli~nik od posmatranata veli~ina i edna proizvolno izbrana vrednost, koja ima ista dimenzija kako i posmatranata veli~ina i koja se narekuva bazna veli~ina. Baznite veli~ini obi~no se ozna~uvaat so indeksot „v”, dodeka edine~nite veli~ini se ozna~uvaat so indeksot „pu“.

Za sekoja elektri~na veli~ina (napon U , struja I , monost S , impedancija Z i admitancija Y ) se izbira po edna bazna veli~ina: BU , BI , BS , BZ i BY . Vo trifaznite EES kako pogodno se pokaàlo da se vri izbor na baznata monost

BS i bazniot napon BU , dodeka preostanatite tri bazni veli~ini da se presmetuvaat so pomo na slednite izrazi:

2

2 1;;3 B

B

BB

B

BB

B

BB U

SZ

YSUZ

USI ===⋅

=

Koga se raboti za dve ili povee naponski nivoa, e bide potrebno za sekoe naponsko nivo da imame po eden sistem od 5 bazni veli~ini. Pritoa odnosot na baznite naponi mora da bide usoglasen so prenosniot odnos (t.e. so odnosot na brojot na navivkite) na transformatorot so koj se povrzani delovite od EES so razni naponski nivoa. Sekoga se praktikuva baznata monost BS da bide nasekade vo EES ista.

Neka mreàta so nominalen napon 1nU e povrzana so mreàta so nominalen

napon 2nU (slika 1). Ako za delot od mreàta so nominalen napon 1nU , za bazniot

napon i baznata monost usvoime vrednosti 1BU i BS , toga ostanatite bazni veli~ini koi se odnesuvaat na toj del na mreàta e bidat:

211

1

21

11

11;;

3 B

B

BB

B

BB

B

BB U

SZ

YS

UZU

SI ===⋅

=

1U1I

1Z

2U1Y 2I2Y

21 / nn UU

21 /WW

Slika 1. Primer na mreà so dve naponski nivoa Za delot od mreàta so nominalen napon 2nU , baznite veli~ini e bidat

ednozna~no definirani:

51

22

2

22

22

21

212 ;;

3;

B

BB

B

BB

B

BBBB U

SYS

UZU

SIWWUU ==

⋅=⋅=

Po opredeluvaweto na baznite veli~ini vrime izrazuvawe na site elektri~ni veli~ini vo edine~ni vrednosti:

;;;;

;;;;

2

22

2

22

2

22

2

22

1

11

1

11

1

11

1

11

Bpu

Bpu

Bpu

Bpu

Bpu

Bpu

Bpu

Bpu

YYY

ZZZ

III

UUU

YYY

ZZZ

III

UUU

====

====

Zada~a 3.1.Za prika`anata ednopolna ema na EES da se odredat parametrite na

elementite na sistemot vo edine~ni vrednosti, ako se usvoi: MVASB 35= i bazen napon vo generatorskoto kolo .5,101 kVU B =

%115,31

115/5,10

===

k

n

T

uMVAS

kVm

kmSbkmjz

v

v

/96,2/)388,0118,0(

µ=Ω+=

kmL 40= ( )MVAjS p 1020 +=

%115,31

5,10/115

===

k

n

T

uMVAS

kVm

Slika 2. EES od zada~a 3.1. Reenie:Prvo e gi odredime parametrite na elementite na sistemot:

( ) ( )

Ω=⋅=⋅=

==Ω+=⋅+==

Ω=⋅=⋅=

Ω=⋅=⋅=

385,05,31

5,1010011

100%

11852,1572,440388,0118,0

2,465,31

11510011

100%

46,335

5,10100110

100%

22

2

22

1

22

n

nkT

vv

vv

n

nkT

n

nSG

SUu

X

SjLjbjBjjLzZ

SUuX

SUX

X

µ

Za sistemot e definirame ute eden bazen napon za drugoto naponsko nivo:

kVUUUU T

n

Tn

BB 1155,10

1155,1011

12

12 =⋅==

Soodvetnite bazni impedancii se:

52

Ω===

Ω===

8,37735

115

15,335

5,10

222

2

221

1

B

BB

B

BB

SUZ

SUZ

Parametrite na sistemot vo edine~ni vrednosti e bidat:

( )

puZXX

pujZjBYjB

Y

pujjZZZ

puZXX

puZXX

B

TT

BvB

vv

B

vv

B

TT

B

GG

122,015,3385,0

0446,08,37710118

041,00125,08,377

52,1572,4

122,08,3772,46

098,115,346,3

1

22

62

2

2

2

11

1

===

=⋅⋅=⋅==

+=+==

===

===

−

Monosta na potrouva~ot vo edine~ni vrednosti e bide:

( )pujjSS

SB

pp 286,0571,0

351020 +=+==

-PRETSTAVUVAWE NA ELEMENTITE NA EES PRI PRESMETKA NA TEKOVITE NA MO]NOST VO EES VODOVI: Zada~a 3.2.

Da se opredelat admitanciite na ekvivalentnata π -zamenska ema na vodot vo edine~ni (pu) vrednosti. Krajnite jazli na vodot se k i l, a za nego se poznati slednite parametri: S84,12,69,3,110 µ=Ω=Ω== vvvn BXRkVU . Baznata monost

da se usvoi MVASB 100= , a bazniot napon kVU B 110= .

Reenie:Oblikot na π -zamenska ema na vodot koja se koristi pri analiza na

tekovite na monost e dadena na slika 3. Podol`nata i popre~nite admitancii na π -zamenskata ema na vodot treba da se presmetaat vo edine~ni (pu) vrednosti.

'

21

lkY −

lkY −

'

21

lkY −

53

Slika 3. Ekvivalentna π -zamenska ema na vodot koja se koristi pri analiza na tekovite na monost

Soglasno usvoenite bazna monost i napon, baznata impedancija e:

Ω=== 12110011022

B

BB S

UZ

Podol`nata admitancija na ekvivalentnata π -zamenska ema na vodot vo edine~ni vrednosti e:

( )pujjjXR

ZZZ

Z

ZYYY

vv

B

v

B

B

v

B

vlk 212257,9832769,2

1269,3121

1

1

−=+

=+

====−

Popre~nata admitancija na ekvivalentnata π -ema na vodot vo edine~ni vrednosti e:

pujjZBjY

BjY

BjY B

v

B

v

B

v

lk 005082,012121084

21

22

21 6

' =⋅⋅=⋅=⋅==

−

−

005082,021 ' jY lk =−

( )212257,9832769,2 jY lk −=−

005082,021 ' jY lk =−

Slika 3. Ekvivalentna π -ema na vodot so presmetani admitancii TRANSFORMATORI: Zada~a 3.3.

Da se opredelat parametrite na ekvivalentnata nesimetri~nata π -zamenska ema na transformatorot vo edine~ni vrednosti pome|u jazlite k i l, ako za nego e poznato:

• aktuelen prenosen odnos: 203,5/115 kV/kV, • nominalni naponi na delovite od sistemot koj gi povrzuva

transformatorot: 220/110 kV/kV, • nominalna monost: 150 MVA, • napon na kusa vrska: 12% • aktivniot otpor na namotkite na transformatorot da se zanemari.

Reenie:

Ako prenosniot odnos na transformatorot e ednakov so soodvetniot odnos na baznite naponi na delovite na sistemot koj gi povrzuva, transformatorot se

54

pretstavuva so nadol`na admitancija (odnosno impedancija) ednakva na admitancijata (odnosno impedancijata na kusata vrska na transformatorot. Vo takvite slu~ai, za transformatorot se veli deka raboti so nominalen prenosen odnos. Ako prethodnoto ne e slu~aj, za transformatorot se veli deka raboti so nenominalen prenosen odnos. Eden transformator so nenominalen prenosen odnos ne moè na zadovolitelen na~in da bide pretstaven samo so edna nadol`na admitancija (odnosno impedancija). Takov transformator se pretstavuva so soodvetna nesimetri~na π -zamenska ema. Ova e slu~aj i so transformatorot koj treba da go modelirame vo ovaa zada~a.

Reaktancijata na kusa vrska na transformatorot, svedena na stranata na poniskiot napon (l jazol) e:

Ω==⇒=

Ω=⋅=⋅=

58,100

58,10150115

10012

100% 22

jjXZRS

UuX

TTT

n

ponizokkT

Baznite naponi se zemaat ednakvi na nominalnite naponi na delovite od sistemot koj transformatorot gi povrzuva, t.e. na stranata na povisokiot i na poniskiot napon baznite naponi se kVUkVU BB 110 ,220 110220 == . Baznata monost

ja usvojuvame MVASB 100= . Baznata impedancija na 110 kV naponsko nivo e:

Ω=== 12110011022

110110

B

BB S

UZ

Admitancijata na kusa vrska na transformatorot svedena na stranata na poniskiot napon, vo edine~ni vrednosti e:

pujjjX

ZZ

Z

Z

ZYYY

T

B

T

B

B

T

B

TT 43667,11

58,10121

1

1110110

110

−======

Prenosniot odnos na transformatorot vo edine~ni vrednosti se definira kako koli~nik pome|u aktuelniot prenosen odnos na transformatorot i soodvetniot odnos na baznite naponi:

pum lk 8847826,0

110220115

5,203

naponi baznite naodnosSoodveten k/l)kundar(primar/se odnosPrenosen ==⇒=−

Moè da se zabeleì deka za transformatori so nenominalen prenosen odnos 1≠−lkm , dodeka za transformatori so nominalen prenosen odnos 1=−lkm .

So dosega opredelenite parametri moè da se formira ekvivalentna ema na transformatorot, prikaàna na slika 4.

55

pujY T 43667,11−=

pu 1:8847826,0

Slika 4. Ekvivalentna ema na transformatorot so admitancijata na kusata vrska svedena na stranata na poniskiot napon

Soodvetnite admitancii na nesimetri~nata π -ema na transformatorot

(slika 5) vo edine~ni vrednosti se presmetuvaat na sledniot na~in:

( )

( ) ( ) ( ) pujjmYmY

pujjmY

mY

pujjmYY

lk

Tlklk

lk

T

lklk

lk

Tlk

489297,18847826,0

43667,1118847826,01

683234,18847826,0

43667,1118847826,0

111

92597,128847826,0

43667,11

)(3

)(2

)(1

=−⋅−=−=

−=−⋅

−=

−=

−=−==

−−−

−−−

−−

683234,1)(2 jY lk −=−

92597,12)(1 jY lk −=−

489297,1)(3 jY lk =−

Slika 5. Admitanciska forma na ekvivalentnata nesimetri~na π -ema na transformatorot

No postapkata za opredeluvawe na parametrite na admitanciska forma na

ekvivalentnata nesimetri~na π -ema na transformatorot, bi mo`ela da zapo~ne so sveduvawe na reaktancijata na kusata vrska na transformatorot na stranata na povisokiot napon, t.e. na stranata na jazolot k. Vo toj slu~aj reaktancijata na kusata vrska na transformatorot iznesuva:

56

Ω==⇒=

Ω=⋅=⋅=

12980,330

12980,33150

5,20310012

100% 22

jjXZRS

UuX

TTT

n

povisokkT

Baznata impedanca na 220 kV naponsko nivo e:

Ω=== 48410022022

220220

B

BB S

UZ

Admitancijata na transformatorot vo edine~ni vrednosti e:

pujjjX

ZZ

Z

Z

ZYYY

T

B

T

B

B

T

B

TT 60920,14

12980,33484

1

1220220

220

−======

Sega prenosniot odnos na transformatorot vo edine~ni vrednosti se definira na sledniot na~in:

130221,1

220110

5,203115

naponi baznite naodnosSoodveten l/k)kundar(primar/se odnosPrenosen ==⇒=−klm

So dosega opredelenite parametri mo`e da se formira ekvivalentna ema na transformatorot, prika`ana na slika 6.

kl

pujY T 60920,14−=

pu 1:130221,1

Slika 6. Ekvivalentna ema na transformatorot so admitancijata na kusata vrska svedena na stranata na povisokiot napon

Soodvetnite admitancii na ekvivalentnata nesimetri~nata π -ema na

transformatorot (slika 7) vo edine~ni vrednosti se presmetuvaat na sledniot na~in:

57

( )

( ) ( ) ( ) pujjmYmY

pujjmY

mY

pujjmYY

kl

Tklkl

kl

T

klkl

kl

Tkl

683234,1130221,1

60920,141130221,11

489297,1130221,1

60920,141130221,1

111

92597,12130221,1

60920,14

)(3

)(2

)(1

−=−⋅−=−=

=−⋅

−=

−=

−=−==

−−−

−−−

−−

Se zabeleùva deka dvete emi na slikite 5 i 7 se prakti~no identi~ni, to ja dokaùva prednosta na sistemot na edine~ni vrednosti.

683234,1)(3 jY lk −=−

92597,12)(1 jY lk −=−

489297,1)(2 jY lk =−

Slika 7. Admitanciska forma na ekvivalentnata nesimetri~na π -ema na transformatorot

JAZLI:

Pri presmetkata na tekovite na monosti na eden elektroenergetski sistem, kon sekoj negov jazol (sobirnica) k pridruùvame po ~etiri golemini:

• injektirana aktivna monost )()( ipotrosuvackgeneratorikk PPP −= ,

• injektirana reaktivna monost )()( ipotrosuvackgeneratorikk QQQ −= ,

• efektivna vrednost na naponot kU ,

• fazen agol na naponot kθ .

Nezavisno od metodot po koj e se izveduvaat presmetkite, pred nivnoto zapo~nuvawe za sekoj jazol treba da bidat poznati po dve od navedenite ~etiri golemini. Drugite dve golemini se dobivaat kako rezultat na presmetkata.

Spored toa koi dve golemini pridruèni kon jazolot se poznati pred presmetkata, toj e pripadne na edno od trite podmnoèstva jazli na razgleduvaniot EES:

1. Jazli za koi se poznati efektivnata vrednost na naponot i fazniot agol na naponot. Voobi~aeno e ova podmnoèstvo da sodrì samo eden jazol, koj se narekuva jazol so poznat napon (balansen jazol=slack bus). Toa po pravilo jazolot na koj e priklu~ena regulacionata elektrana vo EES i za nego ne se poznati injektiranata aktivna i reaktivna monost, bideji ne se poznati zagubite vo elementite na sistemot.

58

2. Jazli za koi se poznati injektiranata aktivna i reaktivna monost, koi se narekuvaat PQ jazli i vo niv spa|aat vo prv red jazlite vo koi se priklu~eni potrouva~i i generatori koi injektiraat konstantna aktivna i reaktivna monost.

3. Jazli za koi se poznati injektiranata aktivna monost i efektivnata vrednost na naponot, koi se narekuvaat jazli so kontroliran napon ili PU jazli. Obi~no toa se jazli na koi se priklu~eni elektranite ili drugi izvori na reaktivna monost, koito ovozmoùvaat da se injektira soodvetna reaktivna monost so cel da se odrì zadadenata efektivna vrednost na naponot. Za sekoj vakov jazol treba da bidat poznati i, najgolemata i najmalata vrednost na reaktivnata monost minmax , QQ to so raspolo`livite tehni~ki sredstva e dozvoleno da se injektiraat vo toj jazol.

POTRO[UVAÎ: Pri presmetkite na tekovite na monost vo visokonaponskite EES,

voobi~aeno e potrouva~ite da se pretstavuvaat so konstantna aktivna i reaktivna monost t.e. so aktivna i reaktivna monost nezavisna od naponot kaj soodvetniot jazol. Edna od pri~inite za prifatlivosta na vakvata pretstava e vo faktot to potrouva~ite vo visokonaponskite EES se napojuvaat od transformatori koi imaat mo`nost za regulacija na sekundarniot napon pod optovaruvawe odnosno sekundarniot napon se odrùva vo tesni granici i monosta na potrouva~ite mnogu ne se menuva. -FORMIRAWE NA MATRICA NA ADMITANCII NA EES I ODREDUVAWE NA TIPOVITE NA JAZLI NA EES Zada~a 3.4.

Daden e elektroenergetski sistem ~ija ednopolna ema e prikaàna na slika 8. Nominalniot napon na sistemot e 110 kV. Vo jazolot A e priklu~en potrouva~ so aktivna monost 40 MW i reaktivna monost 25 MVAr. Vo jazolot Be priklu~en generator koj vo sistemot injektira aktivna monost 10 MW i reaktivna monost 10 MVAr. Naponot na jazolot C se odrùva na konstantna vrednost 113,3 kV so fazen agol 0o. Da se opredelat:

a) Tipovite na jazli na EES i nivnite poznati golemini da se svedat vo edine~ni vrednosti,

b) Matricata na admitancii na EES vo edine~ni vrednosti.

( )SBjZ

v

BvA

µ5785,3302,241,12

=Ω+=− ( )

SBjZ

v

CvA

µ5785,3303,361,12

=Ω+=−

( )SBjZ

v

CvB

µ2893,16515,1805,6

=Ω+=−

Slika 8. EES od zada~a 3.4.

59

Reenie:Bideji presmetkite treba da se napravat vo edine~ni vrednosti, treba da se

usvoi bazna monost i bazen napon. Za baznata monost usvojuvame MVASB 100= .Bazniot napon go odbirame da e ednakov so nominalniot napon na mre`ata

kVU B 110= . Baznata impedancija na sistemot e:

Ω=== 12110011022

B

BB S

UZ

a) Tipovite na jazli na dadeniot EES se:

• Jazolot A e od tipot PQ odnosno jazol za koj se poznati injektiranata aktivna i reaktivna monost

• Jazolot B e od tipot PQ odnosno jazol za koj se poznati injektiranata aktivna i reaktivna monost

• Jazolot C e jazol so poznat napon ili slack jazol • Jazol od tipot PU nema vo sistemot

Potoa treba da se izvri numeracija na jazlite. Numeracijata se izveduva taka to prvo se numeriraat jazlite od tipot PQ, potoa jazlite PU i na krajot slack jazolot. Vakvata numeracija e najzgodna, poradi formiraweto na matricata na admitancii i potoa pri presmetkite na tekovite na monosti. Za naiot slu~aj, numeracijata e:

• Jazolot A - 1• Jazolot B - 2• Jazolot C - 3

Injektiranite monosti vo jazlite 1 i 2, soglasno definicijata na injektirani monosti, vo edine~ni vrednosti se:

( )

( )pujjjQP

pujjjQP

1,01,0100

1010

25,04,0100

2540

22

11

+=+=+

−−=−−=+

Naponot na jazolot 3 (jazolot so poznat napon) vo edine~ni vrednosti e:

( )pujjU 003,1110

03,1133 +=+=

b) Podol`nite admitancii na ekvivalentnite π - emi na vodovite vo

edine~ni vrednosti se:

( )

( )

( )pujjZ

ZY

pujjZ

ZY

pujjZ

ZY

B

B

B

6215,1805,6

121

313,361,12

121

422,241,12

121

3232

3131

2121

−=+

==

−=+

==

−=+

==

−−

−−

−−

60

Popre~nite admitancii na ekvivalentnite π -zamenski emi na vodovite vo edine~ni vrednosti se:

pujjZjBY

pujjZjBYY

Bv

Bv

02,0121102893,165

04,0121105785,3306'

32

6'31

'21

=⋅⋅=⋅=

=⋅⋅=⋅==−

−

−−−

Na slikata 9 e prika`ana ekvivalentnata ema na sistemot, koja e ja iskoristime za formirawe na matricata na admitancii na sistemot.

1

2 3

21−Y 31−Y

32−Y

2

'21−Y

2

'21−Y

2

'32−Y

2

'32−Y

2

'31−Y

2

'31−Y

Slika 9. Ekvivalentna ema na sistemot od zada~a 3.4.

Matricata admitancii na EES e kvadratna simetri~na matrica so dimenzii ednakvi na brojot na nezavisni jazli vo sistemot (referenten jazol e zemjata so indeks 0). Bideji za razgleduvaniot sistem e vee izvrena soodvetna numeracija na jazlite, matricata na admitancii e bide matrica so dimenzii 3X3:

=

333231

232221

131211

YYYYYYYYY

Y

Dokolku vo sistemot nema induktivno spregnati granki, matricata na admitancii na EES se formira so inspekcija na sistemot:

• Elementot kkY od glavnata dijagonala na matricata e ednakov na sumata na admitanciite na site granki na koi im pripa|a jazolot k:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )pujYYYYY

pujYYYYY

pujYYYYY

97,8321

97,9421

96,6321

'32

'31323133

'32

'21322122

'31

'21312111

−=+++=

−=+++=

−=+++=

−−−−

−−−−

−−−−

61

• Elementot lkkl YY = e ednakov na sumata na admitanciite na site granki to direktno gi povrzuvaat jazlite k i l, so promenet znak

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 323223

313113

212112

62623131

4242

YpujjYYYpujjYY

YpujjYY

=+−=−−=−==+−=−−=−=

=+−=−−=−=

−

−

−

Kone~niot oblik na matricata na admitancii na razgleduvaniot EES e:

−−

−+

−−−−−−

=

−+−+−+−−+−+−+−−

=+=

97,800,600,300,697,900,400,300,496,6

321242123

97,8300,6200,3100,6297,9400,4200,3100,4296,63

j

jjjjjjjjj

jBGY

Se zabeleùva matricata e simetri~na, bideji elektroenergetskite sistemi se recipro~ni.

Zada~a 3.5.Za elektroenergetskiot sistem ~ija ednopolna ema e prikaàna na slikata

10, da se opredelat:

a) tipovite na jazli na EES b) matricata na admitancii na EES vo edine~ni vrednosti.

Podatocite za jazlite i transformatorite se dadeni na slika 10. Podatocite za parametrite na vodovite se prikaàni vo tabela 1.

( )MVAjS A 125250 +=

kVUMWP

C

C

210 100

==

( )kVjU D 0115 +=

MVASu

kVkV

n

k

150%11

/115/4,213

==

MVASu

kVkV

n

k

150%11

/115/4,213

==

Slika 10. Ednopolna ema na EES od zada~a 3.5.

62

Tabela 1. Parametri na vodovite

Vod nU [kV] vZ [Ω ] vjB [ Sµ ]A-D (a) 110 10,71+j36,70 j 253,65A-D (b) 110 10,09+j33,76 j 244,81

B-C 220 5,22+j27,51 j 176,85

Reenie:Usvojuvame bazna monost MVASB 100= . Bideji vo sistemot postojat dve

naponski nivoa, baznite naponi e zememe deka se ednakvi na nominalnite naponi na sistemot, odnosno kVU B 110)110( = i kVU B 220)220( = . Soodvetno baznite

impedancii se:

Ω===

Ω===

484100220

121100

110

22)220(

)220(

22)110(

)110(

B

BB

B

BB

SU

Z

SU

Z

a) Tipovite na jazli na dadeniot EES se:

• Jazolot A e od tipot PQ odnosno jazol za koj se poznati injektiranata aktivna i reaktivna monost na potrouva~ite,

• Jazolot B e od tipot PQ odnosno jazol za koj se poznati injektiranata aktivna i reaktivna monost, koi se nula,

• Jazolot C e jazol od tipot PU, za koj se poznati injektiranata aktivna monost na generatorot i efektivnata vrednost na naponot. Vo jazolot C bideji ne se zadadeni maksimalnata i minimalnata reaktivna monost minmax , QQ , e smetame deka nema ograni~uvawa za proizvodstvoto na reaktivna monost.

• Jazolot D e jazol od tipot slack za koj se poznati efektivnta vrednost i fazniot agol na naponot ili jazol so poznat napon.

Potoa treba da se izvri numeracija na jazlite. Numeracijata se izveduva taka to prvo se numeriraat jazlite od tipot PQ, potoa jazlite PU i na krajot slack jazolot. Vakvata numeracija e najzgodna, poradi formiraweto na matricata na admitancii I potoa presmetkite na tekovite na monosti. Za naiot slu~aj kade vo sistemot ima ~etiri nezavisni jazli (referenten jazol e zemjata so indeks 0), numeracijata e:

• Jazolot A - 1• Jazolot B - 2• Jazolot C - 3• Jazolot D - 4

b) Podol`nite admitancii na ekvivalentnite π - emi na vodovite vo

edine~ni vrednosti se:

63

( )

( )

( )pujjZ

ZY

pujjZ

ZY

pujjZ

ZY

B

b

Bb

a

Ba

98216,16222351,351,2722,5

484

290221,39833631,076,3309,10

121

038258,38866414,070,3671,10

121

32

)220(32

)(41

)110()(41

)(41

)110()(41

−=+

==

−=+

==

−=+

==

−−

−−

−−

Popre~nite admitancii na ekvivalentnite π -zamenski emi na vodovite vo edine~ni vrednosti se:

pujjZBjY

pujjZBjY

pujjZBjY

Bv

Bvb

Bva

04279770,04841085,17621

21

21

01481101,01211081,24421

21

21

01534583,01211065,25321

21

21

6)220(

'32

6)110(

')(41

6)110(

')(41

=⋅⋅⋅=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅=

−−

−−

−−

Interkonektivnite transformatori se so nenominalen prenosen odnos i niv e gi pretstavime so nesimetri~nata ekvivalentna π - ema (zada~a 3.3). Transformatorite T1 i T2 se so ednakvi parametri i imaat ednakvi prenosni odnosi. Admitancijata na kusa vrska na transformatorite, svedena na 220 kV strana i izrazena vo edine~ni vrednosti e:

pujjjX

ZYY

T

BTT 49289,14

1504,21311,0

4842

1

22012 −=

⋅===

Prenosniot odnos na transformatorot vo edine~ni vrednosti e:

pum 077788,1

220110

4,213115

naponi baznite naodnosSoodveten 4/2)kundar(primar/se odnosPrenosen

24 ==⇒=−

Potoa se presmetuvaat soodvetnite admitancii od ekvivalentnata ema:

( )

( ) ( ) ( ) pujjmYmYY

pujjmY

mYY

pujjmYYY

T

T

T

046009,1077788,1

49289,141077788,11

9705147,0077788,1

49289,141077788,1

111

44689,13077788,1

49289,14

24

124)31(3)24(3

24

1

24)31(2)24(2

24

1)31(1)24(1

−=−⋅−=−==

=−⋅

−=

−==

−=−===

−−−−

−−−−

−−−

64

Bideji vo sistemot nema induktivno spregnati granki, matricata na admitancii na EES se formira so inspekcija na sistemot preku ekvivalentnata ema na sistemot na slika 11.

)24(3 −Y

2

')(41 aY −

)24(2 −Y )24(1 −Y

2

')(41 bY −

2

')(41 aY −

2

')(41 bY −

)(41 aY −

)(41 bY −

32−Y2

'32−Y

2

'32−Y

)31(13 −Y

)31(23 −Y

)31(33 −Y

Slika 11. Ekvivalentna ema na sistemot od zada~a 3.5. Dijagonalnite elementi na matricata se:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )pujYYYYYYY

pujYYYYY

pujYYYYY

pujYYYYYYY

baba

baba

77469,18870005,121

41806,60222351,3321

43226,31222351,321

72744,43870005,1321

241242'

)(41'

)(41)(41)(4144

311313'

323233

243241'

323222

311312'

)(41'

)(41)(41)(4111

−=+++⋅++=

−=+⋅+⋅+=

−=++⋅+=

−=+⋅++⋅++=

−−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−−−

Vondijagonalnite elementi na matricata se:

( )( )

pujYYYpujYYY

pujYYYYpujYYY

ba

44689,1398216,16222351,3

328479,6870005,134066,403

)24(14224

323223

)(41)(414114

)31(13113

=−==+−=−==

+−=−−===⋅−==

−

−

−−

−

Realniot i imaginarniot od matricata na admitancii na sistemot vo edine~ni vrednosti se:

65

.

77469,18044689,13328479,6041806,6098216,1634066,40

44689,1398216,1643226,310328479,634066,40072744,43

,

870005,100870005,10222351,3222351,300222351,3222351,30

870005,100870005,1

−−

−−

=

−−

−−

=

B

G

-PRESMETKA NA NAPONITE NA JAZLITE I TEKOVITE NA MO]NOSTI NIZ ELEMENTITE NA SISTEMOT: GAUS-ZAJDELOV METOD ZA PRESMETKA NA NAPONITE NA JAZLITE:

Eden od iterativnite algoritmi koj se koristi za presmetka na naponite na jazlite na EES, e poznat pod imeto Gaus-Zajdelov metod. Ovoj metod prakti~no se koristi za reavawe na sistemot ravenki, kade to jazolot so indeks n e slack jazolot za koj se poznati efektivnata vrednost i fazniot agol na naponot:

*1

111212111

*2

222222121

*1

111212111

..................

................................................................................

..................

..................

−

−−−−−

−=+++

−=+++

−=+++

n

nnnnnnn

nn

nn

UjQP

UYUYUY

UjQPUYUYUY

UjQPUYUYUY

Za sistemi vo koi nema jazli so kontroliran napon (PU jazli), odnosno vo koj site jazli osven slask jazolot mo`at da se modeliraat kako PQ jazli, iterativnata postapka se sproveduva po slednata ema:

( )( )( )

( ) ( )

−−

−⋅= ∑∑

+=

−

=

++n

il

vlil

i

l

vlilv

i

ii

ii

vi UYUY

U

jQPY

U1

1

1

1*

1 1(3.1)

kade to: i=1,... ,n-1, a so v e ozna~en brojot na iteracijata v=0, 1, 2..

Dokolku vo sistemot postojat jazli so kontroliran napon (PU jazli), poterbno e vo sekoja iteracija odnapred da se presmeta nepoznatata reaktivna monost koja se injektira vo jazolot so cel da se odr`i specificiranata vrednost na naponot:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

⋅⋅+⋅⋅= ∑∑

=

−

=

++n

il

vlil

vi

i

l

vlil

vi

vi UYUUYUQ

*1

1

*11 Im (3.2)

66

ili:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]∑

∑

=

−

=

++++

−⋅−−⋅⋅⋅+

+−⋅−−⋅⋅⋅=

n

il

vl

viil

vl

viil

vli

i

l

vl

viil

vl

viil

vli

vi

BGUU

BGUUQ

θθθθ

θθθθ

cossin

cossin1

1

1111

(3.3)

Vo ravenkata so iU e ozna~en specificiraniot modul na naponot na jazolot so

kontroliran napon i, a so iθ e ozna~en fazniot agol na naponot na toj jazol. Vo prvata iteracija se zema deka fazniot agol na naponot e ednakov na pretpostaveniot, a vo drugite iteracii se zema deka e ednakov na presmetaniot od prethodnata iteracija. Potoa se proveruva dali taka presmetanata injektirana reaktivna monost vo jazolot i, e vo dozvolenite granici, to e uslov za odr`uvaweto na modulot na naponot na specificiranata vrednost:

( )

max1

min iv

ii QQQ ≤≤ +

Dokolku uslovot e zadovolen, vo natamoniot tek na presmetkata vo iteracijata v+1, so presmetanata vrednost na injektiranata reaktivna monost se presmetuva fazniot agol na naponot na jazolot i:, a za taa cel potrebno e da se presmetaat realniot i imaginarniot del na naponot na toj jazol:

( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

−−

−⋅=+= ∑∑

+=

−

=

++

+++n

il

vlil

i

l

vlilv

i

vii

ii

vi

vi

vi UYUY

U

jQPY

FEU1

1

1

1*

1111 1

(3.4)

Fazniot agol na naponot e:

( )( )

( )

= +

++

1

11 arctan v

i

viv

i EF

θ (3.5)

Kompleksniot napon na jazolot i vo v+1 iteracija go presmetuvame so izrazot:

( ) ( ) ( )( )111 sincos +++ +⋅= vi

vii

vi jUU θθ (3.6)

Ako uslovot ne e zadovolen mo`ni se dva slu~ai:

• Ako ( )min

1i

vi QQ <+ toga: minii QQ = ;

• Ako ( )max

1i

vi QQ >+ toga: maxii QQ = .

Na po~etokot na presmetkata pretpostavuvame vrednosti za nepoznatite naponi. Pritoa za jazlite od tipot PQ, pretpostavuvame ramen start (Flat Start), odnosno site naponi zemame deka se ednakvi na edinica vo per unit vrednosti so fazen agol nula. Za jazlite od tipot PU zemame deka modulot na naponot e ednakov na specificiraniot, a fazniot agol e ednakov na nula.

Iterativnata postapka se povtoruva se dodeka ne se dojde do iteracijata v+1,vo koja e bide ispolnet uslovot za prekratuvawe na iterativno presmetuvawe, t.e. vo koja e bide zadovolen uslovot:

67

( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ε

ε

≤−=∆

≤−=∆

++

++

vi

vii

vii

vi

vii

vii

UUU

UUU11

11

ImmaxImmax

RemaxRemax (3.7)

Naponite presmetani vo v+1 iteracija se smetaat za baranoto reenie. Zada~a 3.6.

Za sistemot od zada~a 3.4. so pomo na Gaus-Zajdeloviot metod da se presmetaat nepoznatite naponi na jazlite 1 i 2. Procesot na iterativno presmetuvawe da se smeta za zavren vo iteracijata vo koja vo odnos na prethodnata, kaj dvata jazla, prirastite na realnite i imaginarnite delovi na naponite po apsolutna vrednost se pomali od V1,1=ε .

Reenie:Vo zada~ata 3.4. bee izvrena soodvetna numeracija na jazlite soglasno

potrebite na algoritmot i bee formirana matricata na admitancii. Injektiranite monosti vo jazlite 1 i 2, soglasno definicijata na injektirani monosti, vo edine~ni vrednosti se:

( )

( )pujjjQP

pujjjQP

1,01,0100

1010

25,04,0100

2540

22

11

+=+=+

−−=−−=+


( )pujjU 003,1110

03,1133 +=+=

Pred da zapo~ne iterativnoto presmetuvawe so Gaus-Zajdeloviot metod, potrebno e za nepoznatite naponi na jazlite 1 i 2, da pretpostavime po~etni vrednosti, soglasno ramniot start:

( ) ( )( ) ( )pujU

pujU

0,00,1

0,00,10

2

01

+=

+=

Koristeji ja ravenkata (3.1), za naponite na jazlite i nivnite prirasti vo prvata iteracija se dobiva:

( )( )( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )puj

jjjjjj

j

UYUYU

jQPY

U

03856435,09661360,0

003,131014201

25,04,096,63

1

1

*

3130

212*01

11

11

11

−=

=

+⋅+−−+⋅+−−

+−−−

−=

=

−−

−⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )03856435,003386402,00103856435,09661360,001

11

11 jjjUUU −−=+−−=−=∆

68

( )( )( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )puj

jjjjjj

j

UYUYU

jQPY

U

01407861,0019595,1

003,16203856435,09661360,04201

1,01,097,94

1

1

*

3231

121*02

22

22

12

−=

=

+⋅+−−−⋅+−−

+−

−=

=

−−

−⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pujjjUUU 01407861,0019595,00101407861,0019595,102

12

12 −=+−−=−=∆

Dozvolenata tolerancija, vo edine~ni vrednosti e:

puU B

53 10

101101,11,1 −=⋅

==ε

Spored toa kriteriumot (3.7) za prekin na iterativnoto presmetuvawe na naponite, o~igledno ne e zadovolen. Poradi toa, procesot na iterativno presmetuvawe na naponite prodolùva. Vo vtorata iteracija se presmetuva:

( )( )( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )puj

jjjjj

j

UYUYU

jQPY

U

04527499,09749799,0

03,13101407861,0019595,14203856435,09661360,0

25,04,096,63

1

1

*

3131212*1

1

11

11

21

−=

=

⋅+−−−⋅+−−

−−−−

−=

=

−−

−⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) puj

jjUUU3

11

21

21

10710637,6843899,8

03856435,09661360,004527499,09749799,0−⋅−=

=−−−=−=∆

( )( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )puj

jjjj

jj

UYUYU

jQPY

U

01682520,0023328,1

03,16204527499,09749799,04201407861,0019595,1

1,01,097,94

1

1

*

3232

121*12

22

22

22

−=

=

⋅+−−−⋅+−−

−−

−=

=

−−

−⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) puj

jjUUU3

12

22

22

10746596,2733516,3

01407861,0019595,101682520,0023328,1−⋅−=

−−−=−=∆

Moè da se konstatira deka ni po vtorata iteracija ne e zadovolen kriteriumot za zavruvawe na procesot na iterativno presmetuvawe. Poradi toa, procesot prodolùva so tretata iteracija, itn. Rezultatite od prvite osum iteracii se dadeni vo tabela 1.

69

Tabela 1. Naponite na jazlite po iteracii

iteracija 1U pu 2U pu

1 0,9661360 - j0,03856435 1,019595 - j0,014078612 0,9749799 - j0,04527499 1,023328 - j0,016825203 0,9775581 - j0,04609472 1,024395 - j0,017126774 0,9783168 - j0,04610792 1,024699 - j0,017114685 0,9785381 - j0,04606575 1,024786 - j0,017090906 0,9786023 - j0,04604424 1,024810 - j0,017079877 0,9786208 - j0,04603606 1,024817 - j0,017075848 0,9786262 - j0,04603336 1,024819 - j0,01707452

Dokolku se presmetaat soodvetnite prirasti za sekoja iteracija, e se dobie deka kriteriumot (3.7) e zadovolen na krajot na osmata iteracija, odnosno apsolutnite vrednosti na prirastite na realnite i imaginarnite delovi na naponite se pomali od dozvolenata tolerancija

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) pupuj

jjUUU56

71

81

81

101035

04603606,09786208,004603336,09786262,0−− <⋅+=

=−−−=−=∆

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) pupuj

jjUUU56

72

82

82

101012

01707584,0024817,101707452,0024819,1−− <⋅+=

=−−−=−=∆

Toa zna~i deka presmetanite naponi vo osmata iteracija se smetaat za baranoto reenie. Izrazeni vo apsolutni vrednosti (kilovolti) se dobivaat so mno`ewe so bazniot napon:

( ) ( ) kVekVjjU j o69,21 77,107064,5649,10711004603336,09786262,0 −⋅=−=⋅−=

( ) ( ) kVekVjjU j o95,02 75,112878,1730,11211001707452,0024819,1 −⋅=−=⋅−=

Zada~a 3.7.Za EES od zada~ata 3.5., so pomo na Gaus-Zajdeloviot metod da se

presmetaat nepoznatite naponi i nepoznatite injektirani monosti. Potoa da se presmetaat tekovite na monosti vo elementite i zagubite na monost vo niv. Presmetkite da se napravat so to~nost pu510− . Za jazolot C(3) koj e jazol so kontroliran napon, da se smeta deka nema ograni~uvawa za generiraweto na reaktivnata monost. Reenie:

Pred da zapo~ne iterativnata presmetka na naponite, potrebno e da se odberat po~etnite vrednosti na naponite. Za jazlite od tipot PQ, pretpostavuvame ramen start:

( ) ( )( ) ( )pujU

pujU

0,00,1

0,00,10

2

01

+=

+=

Za jazlite od tipot PU, pretpostavuvame fazni agli na naponite ednakvi na nula:

70

( ) ( )pujjU 09545454,0220

021003 +=+=

Za slack jazolot ili jazolot so poznat napon imame:

( )pujjU 0045455,1110

01154 +=+=

Injektiranite monosti vo jazlite, soglasno definicijata na injektirani monosti, vo edine~ni vrednosti se:

( )( )

puP

pujjQP

pujjjQP

0,1100100

0,00,0

25,15,2100

125250

3

22

11

==

+=+

−−=−−=+

Vo prvata iteracija so pomo na ravenkata (3.1), za kompleksniot napon na jazolot A(1) i negoviot prirast dobivame:

( )( )( )

( )

( )

( )puj

jjjj

UYUYU

jQPY

U

05526989,0000968,1

045455,1328479,6870005,19545454,034066,400,1

25,15,272744,43870005,1

1

1414

0313*0

1

11

11

11

−=

=

⋅+−−⋅−+−

⋅−

=

=

−−

−⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pujjjUUU 05526989,0000968,00105526989,0000968,101

11

11 −−=+−−=−=∆

Za naponot na jazolot B(2) dobivame:

( )( )( )

( )

( ) ( )[ ]

( )puj

jjj

UYUYU

jQPY

U

0008547727,09628833,0

045455,144689,139545454,098216,16222351,343226,31222351,3

1

1424

0323*0

2

22

22

12

−=

=⋅−⋅+−−−

=

=

−−

−⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )puj

jjUUU42

02

12

12

10547727,810711671,3

010008547727,09628833,0−− ⋅−⋅−=

=+−−=−=∆

Jazolot C(3) e jazol so kontroliran napon, pa zaradi toa e potrebno, so aktuelnite vrednosti na naponite, da se presmeta injektiranata reaktivna monost vo toj jazol. So pomo na ravenkata (3.2) (mo`e i so (3.3)) se dobiva:

71

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] puUYUYUUYUYUQ 8948580,0Im *4

*34

*03

*33

03

*12

*32

*11

*31

03

13 =+⋅++⋅=

So pomo na ravenkata (3.4) se presmetuvaat realniot i imaginarniot del na naponot na jazolot C(3):

( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )

( )( )puj

j

jjjj

jUYUY

U

jQPY

jFE

01930442,09535159,00008547727,09628833,0

98216,16222351,305526989,0000968,134066,409545454,0

894858,01

41806,60222351,311 )1(

2231

113*03

133

33

13

13

−=

=

−

⋅+−−−⋅−−

⋅

⋅−

=

−−

−⋅=+

Fazniot agol na naponot se presmetuva so ravenkata (3.5):

( )( )

( ) radEF

02024275,09535159,001930442,0arctanarctan 1

3

131

3 −=

−=

=θ

Spored (3.6), kompleksniot napon na jazolot C e bide:

( ) ( ) ( )( ) ( )pujjUU 01932131,09543499,0sincos 13

133

13 −=+⋅= θθ

Prirastot na toj napon e:

( ) ( ) ( ) ( )( )puj

jUUU24

03

13

13

10932131,110955628,1

9545454,001932131,09543499,0−− ⋅−⋅−=

=−−=−=∆

Bideji najgolemata komponenta na prirastite na naponite vo prvata iteracija po apsolutna vrednost e pogolema od dozvolenata tolerancija, presmetkata prodol`uva so vtorata iteracija, itn. Presmetkata zavruva vo 30-tata iteracija, a baranite naponi na jazlite se:

( ) puejU j 12386,01 9957528,01230171,09881247,0 −⋅=−=

( ) puejU j 04513,02 9657645,004356597,09647814,0 −⋅=−=

( ) puejU j 08190,03 9545454,007809448,09513455,0 −⋅=−=

ili vo kilovolti:

( ) kVejU j o10,71 53,1091101230171,09881247,0 −⋅=⋅−=

( ) kVejU j o59,22 47,21222004356597,09647814,0 −⋅=⋅−=

( ) kVejU j o69,43 21022007809448,09513455,0 −⋅=⋅−=

Vrz osnova na presmetanite kompleksni naponi vo jazlite, mo`at da se presmetaat nepoznatite injektirani monosti, a toa se injektiranata reaktivna monost za jazolot C i injektiranata kompleksna monost za jazolot D. Nepoznatata injektirana monost na eden jazol se presmetuva preku slednata ravenka:

72

∑=

⋅⋅=n

kkikii UYUS

1

** (3.8)

Za jazolot C dobivame:

[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )MVAjjpuj

jjjjj

jjUYUYUYUS

5,120100100205166,1000011,1205166,1000011,1]07809448,09513455.041806,60222351,3

04356597,09647814,098216,16222351,31230171,09881247,034066,40[07809448,09513455,0*

3*33

*2

*32

*1

*3133

+=⋅+=+==+⋅++

++⋅−−++⋅⋅−⋅+=⋅+⋅+⋅⋅=

Za jazolot D dobivame:

[ ] ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )MVAjjpuj

jjjj

jUYUYUYUS

9,178,1531001792053,0538433,11792053,0538433,1]045455,177469,18870005,1

04356597,09647814,044689,131230171,09881247,0328479,6870005,1[045455,1*

4*44

*2

*42

*1

*4143

+=⋅+=+==⋅++

++⋅−++⋅⋅−−⋅=⋅+⋅+⋅⋅=

Raspredelbata na optovaruvawata vo elementite, za vodovi se presmetuva so relaciite (3.9) za po~etokot na vodot i (3.10) za krajot na vodot, za transformatori so relaciite (3.11) na primarnata strana i (3.12) na sekundarnata, a zagubite vo elementite so relacijata (3.13):

( ) ( )

⋅+⋅−⋅= −

−− 2

*'**** lkklklkklk

YUYUUUS (3.9)

( ) ( )

⋅+⋅−⋅= −

−− 2

*'**** lkllkkllkl

YUYUUUS (3.10)

lk

lklk

lk

klk m

YUUmU

S−

−

−− ⋅

⋅−=

**

2

(3.11)

**

2lk

lk

kllkl Y

mUU

US −−

− ⋅

⋅−= (3.12)

kllklk SSS −−− +=∆ (3.13) Tekovite na monosti na po~etokot i na krajot na vodot A-D(a) i zagubite vo nego, (3.9), (3.10) i (3.13) soodvetno se:

( )[ ]( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )MVAjj

pujjjjj

YUYUUUS aaa

7,28,4210002732156,04275564,002732156,04275564,001534583,09957528,0

038258,38866414,0123071,005733030,01230171,09881247,021

2

')(41

21

*)(41411)(41

+−=⋅+−==+−=−⋅+

++⋅+−⋅−=

=

⋅+⋅−⋅= −−−

73

( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( )MVAjjpujj

jj

YUYUUUS aaa

1,54,4410005129769,04438883,005129769,04438883,001534583,0045455,1

038258,38866414,0123071,005733030,0045455,1

21

2

*

')(41

24

*)(41144)(14

+=⋅+==+=−⋅+

+−⋅+⋅=

=

⋅+⋅−⋅= −−−

( )( ) ( )MVAjj

pujSSS aaa

4,26,110002397612,001633188,0

02397612,001633188,0)(14)(41)(41

+=⋅+=

=+=+=∆ −−−

Analogno se presmetuvaat tekovite na monosti i zagubite za ostanatite vodovi:

( )[ ] ( )

( ) ( )MVAjj

pujYUYUUUS bbb

5,24,4610002481249,04639766,0

02481249,04639766,021 '

)(4121

*)(41411)(41

+−=⋅+−=

=+−=

⋅+⋅−⋅= −−−

( )[ ] ( )

( ) ( )MVAjj

pujYUYUUUS bbb

5,52,4810005454461,04820901,0

05454461,04820901,021 '

)(4124

*)(41144)(14

+=⋅−=

=−=

⋅+⋅−⋅= −−−

( )( ) ( )MVAjj

pujSSS bbb

0,38,110002973212,001811346,0

02973212,001811346,0)(14)(41)(41

+=⋅+=

=+=+=∆ −−−

( ) ( )MVAjpujS 5,43,6104544096,06125814,032 +=+=−

( ) ( )MVAjpujS 1,108,601010417,06081579,023 +−=+−=−

( ) ( )MVAjpujSSS 6,54,005560076,0004423499,0233232 −=−=+=∆ −−−

Tekovite na monost vo transformatorot T1 i zagubite vo nego se presmetuvaat spored (3.11), (3.12) i (3.13):

( ) ( )

( ) ( )MVAjpuj

jj

mYUU

mUS

3,72,6107336245,06124550,0

44689,1304356597,09647814,0045455,1077788,1045455,1 2

24

*24*

2424

24

24

+=+=

=

+⋅−=

=⋅

⋅−=

−

−

−−

( ) ( )MVAjpujYm

UUUS 5,43,6104546032,06124550,0*24

24

*422

242 +−=+−=⋅

⋅−= −

−−

( ) MVArjpujSSS 8,202790213,0422442 ==+=∆ −−−

Analogno za transformatorite T2 se presmetuva:

( ) ( )MVAjpujmYUU

mUS 9,396,533992854,05360563,0

31

*31*

3131

21

31 +−=+−=⋅

⋅−=

−

−

−−

( ) ( )MVAjpujYm

UUUS 5,433,614354020,05360563,0*

3131

*132

313 +=+=⋅

⋅−= −

−−

( ) MVArjpujS 6,303611660,031 ==∆ −

74

-PRESMETKA NA NAPONITE NA JAZLITE I TEKOVITE NA MO]NOSTI NIZ ELEMENTITE NA SISTEMOT: WUTN-RAFSONOV METOD ZA PRESMETKA NA NAPONITE NA JAZLITE: Pri obrabotkata na Gaus-Zajdeloviot metod, bee dadena formata (3.8) na ravenkata za presmetka na injektiranite monosti vo jazlite, koja e:

∑=

⋅⋅=+=n

kkikiiii UYUjQPS

1

** (3.8)

Za potrebite na ovoj metod e bide razviena nova forma na ovaa ravenka. Ako kompleksnite naponi se izrazat vo polarni koordinati, a elementite na kompleksnata matrica na admitancii na sistemot se izrazat vo pravoagolni koordinati:

( )( )

kiik

ikikik

iiii

kkkk

jBGYjUUjUU

θθθ

θθθθ

−=+=

+⋅=+⋅=

sincossincos

ravenkite za injektirana aktivna i reaktivna monost moàt da se napiat vo slednata forma:

( )

( )∑

∑

≠=

=

⋅+⋅⋅⋅+⋅=

=⋅+⋅⋅⋅=

n

ikk

ikikikikkiiii

n

kikikikikkii

BGUUUG

BGUUP

1

2

1

sincos

sincos

θθ

θθ

(3.14)

( )

( )∑

∑

≠=

=

⋅−⋅⋅⋅+⋅−=

=⋅−⋅⋅⋅=

n

ikk

ikikikikkiiii

n

kikikikikkii

BGUUUB

BGUUQ

1

2

1

cossin

cossin

θθ

θθ

(3.15)

Zaradi poednostavuvawe na zapisite, e pretpostavime deka na jazolot so

poznat napon mu e dodelen indeks n . Indeksite od 1 do q im se dodeleni na PQ jazlite so poznata injektirana aktivna i reaktivna monost. Pri reavawe na problemot na presmetka na naponite na jazlite na eden EES, treba da se presmetaat:

1−n nepoznati fazni agli na naponite: 121 ,........,, −nθθθq nepoznati efektivni vrednosti (moduli) na naponite: qUUU ,........,, 21 . (Vo

slu~aite koga nema jazli so kontroliran napon, e bide 1−= nq .qn +−1 vkupen broj na nepoznati golemini za sistemot.

So pomo na Wutn-Rafsonoviot metod, moè da se presmetaat nepoznatite golemini so reavawe vo sekoja iteracija na sistemot linearni ravenki, koj vo matri~na forma moè da se napie:

75

∆

∆∆

∆

=

∆

∆∆

∆

⋅

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−−

−

−

−−

−

−−

−

q

n

qq

n

qq

qq

n

qq

qqn

qq

nn

n

nn

qqn

Q

QP

P

UU

UU

UUQ

UUQQQ

UUQU

UQQQ

UUPU

UPPP

UUPU

UPPP

M

M

M

M

MMMM

MMMM

1

1

1

11

1

1

1111

11

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

/

/

......

......

......

......

......

θ

θ

θθ

θθ

θθ

θθ

(3.16

)

Kvadratnata matrica ( qnqn +−×+− 11 ) od matri~nata ravenka (3.16) e poznata pod imeto jakobijan. Voobi~eno e taa matrica da se razdeluva na ~etiri submatrici, koi se ozna~uvaat so H, N, M, L. Elementite na tie submatrici se definiraat, I se presmetuvaa so koristewe na (3.14), (3.15), na sledniot na~in:

( )

iknkni

BGUUPH ikikikikkik

iik

≠−=−=

−⋅⋅=∂∂

=

;1,......,1;1,.....,1

cossin θθθ (3.17)

( )

( )presmetanaiiii

n

ikk

ikikikikkii

iii

QUB

BGUUPH

−⋅−=

=⋅−⋅⋅⋅−=∂∂

= ∑≠=

2

1

cossin θθθ (3.18)

( )

ikqkni

BGUUUUPN ikikikikkik

k

iik

≠=−=

+⋅⋅=∂∂

=

;,......,1;1,.....,1

sincos θθ(3.19)

( )

( )presmetanaiiii

n

ikk

ikikikikkiiiiii

iii

PUG

BGUUUGUUPN

+⋅=

=⋅+⋅⋅⋅+⋅=∂∂

= ∑≠=

2

1

2 sincos2 θθ(3.20)

( )

iknkqi

NBGUUQM ikikikikikkik

iik

≠−==

−=+⋅⋅−=∂∂

=

;1,......,1;,.....,1

sincos θθθ (3.21)

( )

( )presmetanaiiii

n

ikk

ikikikikkii

iii

PUG

BGUUQM

+⋅−=

=⋅+⋅⋅⋅=∂∂

= ∑≠=

2

1

sincos θθθ (3.22)

76

( )

ikqkqi

HBGUUUUQL ikikikikikkik

k

iik

≠==

=−⋅⋅=∂∂

=

;,......,1;,.....,1

cossin θθ(3.23)

( )

( )presmetanaiiii

n

ikk

ikikikikkiiiiii

iii

QUB

BGUUUBUUQL

+⋅−=

=⋅−⋅⋅⋅+⋅−=∂∂

= ∑≠=

2

1

2 cossin2 θθ(3.24)

Ako, ute se vovedat:

∆

∆∆

=∆

−1

2

1

nP

PP

PM

,

∆

∆∆

=∆

qQ

QQ

QM

2

1

,

∆

∆∆

=∆

−1

2

1

nθ

θθ

θM

,

∆

∆∆

=∆

qq UU

UUUU

UU

/

//

/ 22

11

M(3.25)

matri~nata ravenka (3.16) mo`e da se zapie vo vid:

∆∆

=

∆∆

⋅

QP

UULMNH

/θ

(3.26)

Spored ovoj metod vo sekoja iteracija se reava sistemot linearni ravenki, napian vo vid na matri~na ravenka (3.26). Vo iteracijata v+1 presmetanite vrednosti na prirastite na nepoznatite se koristat za dobivawe na novite vrednosti na nepoznatite, pri to se koristat ravenkite:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )vn

vn

vn

vvv

vvv

111

1

111

1

111

1

−−+−

+

+

∆+=

∆+=

∆+=

θθθ

θθθ

θθθ

M;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )v

q

qvq

vq

vq

vq

vq

vvvvvv

vvvvvv

UU

UUUUU

UUUUUUU

UUUUUUU

∆⋅+=∆+=

∆⋅+=∆+=

∆⋅+=∆+=

+

+

+

1

2

22222

12

1

11111

11

M

(3.27)

Pritoa na po~etokot na sekoja iteracija se presmetuva:

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )vii

vi

vii

vi

QQQ

PPP

apresmetasndadena

apresmetasndadena

−=∆

−=∆(3.28)

Procesot na iterativnoto presmetuvawe na naponite se smeta za zavren vo iteracijata vo koja e se postigne zadovoluvawe na uslovot:

( )( )[ ]

( )( )[ ] ε

ε

≤∆

≤∆

=

−=

viqi

vini

Q

P

,..1

1,..1

max

max

i (3.29)

Poslednite presmetani vrednosti za nepoznatite se smetaat za baranoto reenie.

77

Zada~a 3.8.Za sistemot od zada~a 3.4. so pomo na Wutn-Rafsonoviot metod da se

presmetaat nepoznatite naponi na jazlite 1 i 2. Procesot na iterativno presmetuvawe da se smeta za zavren vo iteracijata vo koja presmetanite injektirani aktivni i reaktivni monosti vo jazlite se razlikuvaat od nivnite zadadeni vrednosti za pomalku od 0,1 MW, odnosno 0,1 MVAr.

Reenie:Vo sistemot od zada~a 3.4. ima tri nezavisni jazli i nema jazli so kontroliran napon. Bideji naponot vo jazolot 3 e poznat, treba da se opredelat dva nepoznati fazni agli i dve nepoznati efektivni vrednosti na naponite, t.e. vkupniot broj na nepoznati golemini iznesuva:

2141

=−==+−

nqqn

Vo zada~ata 3.4. bee formirana matricata na admitancii na sistemot i taa vo edine~ni vrednosti e:

−−

−+

−−−−−−

=+=97,800,600,300,697,900,400,300,496,6

00,300,200,100,200,400,200,100,200,3

jjBGY

pri to baznata monost e 100 MVA, a bazniot napon e 110 kV.


puejU j03 03,1

11003,11

⋅=+=

dodeka za ostanatite jazli, na po~etokot na prvata iteracija, pretpostavuvame ramen start, sli~no kako kaj Gaus-Zajdeloviot metod:

puUU 0,1)0(2

)0(1 == , rad0,0)0(

2)0(

1 ==θθ

Dadenite injektirani monosti vo jazlite vo edine~ni vrednosti se:

pujjjQP

pujjjQP

ДАДЕНАДАДЕНА


)1,01,0(100

1010

)25,04,0(100

2540

)(2)(2

)(1)(1

+=+=+

−−=+−=+

Na po~etokot na sekoja iteracija vrz osnova na naponite presmetani vo prethodnata iteracija, gi presmetuvame injektiranite (presmetani) aktivni i reaktivni monosti vo jazlite 1 i 2. Presmetkata e ja napravime spored ravenkite (3.14) i (3.15). Za jazolot 1, tie ravenki se:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]13131313312121212

)0(2

)0(111

2)0(1

)0()(1

13131313312121212)0(

2)0(

1112)0(

1)0(

)(1

cossincossin

sincossincos

θθθθ

θθθθ

⋅−⋅⋅+−⋅⋅⋅+⋅−=

⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=

BGUBGUUBUQ

BGUBGUUGUP

ПРЕСМЕТАНА


kade to e:

78

0,0

0,0

3)0(

113

)0(2

)0(112

=−=

=−=

θθθ

θθθ

Zamenuvaji gi aktuelnite vrednosti na faznite agli i modulite na naponite na jazlite na sistemot, za injektiranite monosti vo jazolot 1, dobivame:

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( ) ( )[ ] [ ] puGGQ

puBBP



13,009,7196,613003,11401196,61

03,003,313101103,10121131

13122)0(

)(1

13122)0(

)(1

−=−⋅+=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅+−⋅−=

−=−⋅+⋅=⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅⋅+⋅=

Za jazolot 2 presmetuvame:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] [ ]

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] [ ] puGGQ

BGUBGUUBUQ

puBBP

BGUBGUUGUP





21,018,10197,916003,11401197,91

cossincossin

06,006,41401203,10121141

sincossincos

23212)0(

)(2

23232323321212121)0(

1)0(

2222)0(

2)0(

)(2

23212)0(

)(2

23232323321212121)0(

1)0(

2222)0(

2)0(

)(2

−=−⋅+=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅+−⋅−=

⋅−⋅⋅+−⋅⋅⋅+⋅−=

−=−⋅+=⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅⋅+⋅=

⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=

θθθθ

θθθθ

kade to e: 0,0

0,0

3)0(

223

)0(1

)0(221

=−=

=−=

θθθ

θθθ

Spored toa, na po~etokot na prvata iteracija za razlikite pome|u dadenite i presmetanite injektirani aktivni i reaktivni monosti vo jazlite, spored (3.28), presmetuvame:

puPPP ПРЕСМЕТАНАДАДЕНА

−=

−−

−

−=−=∆

16,037,0

06,003,0

1,04,0)0(

)()()0(

puQQQ ПРЕСМЕТАНАДАДЕНА

−=

−−

−

−=−=∆

31,012,0

21,013,0

10,025,0)0(

)()()0(

Bideji najgolemata razlika po apsolutna vrednost e pogolema od dozvolenata tolerancija 0,1/100=0,001pu (0,1 MW I 0,1 MVAr), presmetkite treba da prodol`at so presmetka na prirastite na faznite agli i modulite na naponite. Prirastite na nepoznatite e gi opredeluvame so reavawe na sistemot linearni ravenki (3.26), kojto za dadeniot sistem go ima sledniot oblik:

( )( )

∆

∆

∆

∆

=

∆

∆

∆

∆

⋅

)0(2

)0(1

)0(2

)0(1

)0(22

)0(11

)0(2

)0(1

22212221

12111211

22212221

12111211

/

/QQPP

UUUU

LLMMLLMMNNHHNNHH

θ

θ

Elementite na matricata na koeficientite na sistemot kinearni ravenki (jakobijanot) e gi opredelime so pomo na ravenkite od (3.17) do (3.24). Bideji vo sistemot nema jazli so kontroliran napon, site submatrici na jakobijanot imaat kvadratna forma i dimenzija 2x2. Dijagonalnite elementi na submatricite H i L, se presmetuvaat spored (3.18) i (3.24) soodvetno:

79

( )( )

( )( ) puUBQL

puUBQL

puUBQH

puUBQH

ПРЕСМЕТАНО




76,90,1)97,9(21,0

83,60,1)96,6(13,0

18,100,1)97,9()21,0(

09,70,1)96,6()13,0(

22)0(222

)0()(222

22)0(111

)0()(111

22)0(222

)0()(222

22)0(111

)0()(111

=⋅−−−=⋅−=

=⋅−−−=⋅−=

=⋅−−−−=⋅−−=

=⋅−−−−=⋅−−=

Za presmetkata na vondijagonalnite elementi na submatricite H i L, e gi koristime (3.23) i (3.17):

( )( ) puGBGUULH

puGBGUULH0,4)0,10,40,0(0,10,1cossin

0,4)0,10,40,0(0,10,1cossin

2121212121)0(

1)0(

22121

1212121212)0(

2)0(

11212

−=⋅−⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅==

−=⋅−⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅==

θθ

θθ

Elementite na submatricite N i M se presmetuvaat so izrazite od (3.19) do (3.22):

( )( )( )( )

( )( ) puBBGUUMN

puBBGUUMN

puUGPM

puUGPN

puUGPM

puUGPN





0,2)0,00,10,2(0,10,1sincos

0,2)0,00,10,2(0,10,1sincos

06,40,10,406,0

94,30,10,406,0

03,30,10,303,0

97,20,10,303,0

2121212121)0(

2)0(

12121

1212121212)0(

2)0(

11212

22)0(222

)0()(222

22)0(222

)0()(222

22)0(111

)0()(111

22)0(111

)0()(111

−=⋅+⋅−⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=−=

−=⋅+⋅−⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=−=

−=⋅−−=⋅−=

=⋅+−=⋅+=

−=⋅−−=⋅−=

=⋅+−=⋅+=

θθ

θθ

Vo opt slu~aj submatricite na jakobijanot ne se simetri~ni. Vo prvata iteracija, poradi toa to pretpostavenite vrednosti na faznite agli na naponite se ednakvi na nula, submatricite na jakobijanot se simetri~ni. Spored toa sistemot linearni ravenki od kojto e gi opredelime nepoznatite prirasti na faznite agli I modulite na naponite, go ima sledniot oblik:

−

−

=

⋅

−

−

−

−

−

−

−−

31,012,0

16,037,0

76,900,4

94,300,2

00,483,600,2

97,2

06,400,218,1000,4

00,203,300,409,7

4

3

2

1

xxxx

kade to, zaradi uprostuvawe nepoznatite prirasti se ozna~eni so ix , i=1,..4.Dobieniot sistem linearni ravenki mo`e da se rei na razni na~ini. Tuka e bide upotreben metodot na Gausova eliminacija. Po prviot ~ekor na eliminacijata dobivame:

−−−

=

⋅

−

−

−

−

−

−

4143723,02781244,0

04874417,005218615,0

32417,10857425,4

811650,22820274,0

837800,4099267,83244007,0

4188998,0

931651,22905500,0923301,75641749,0

0001

4

3

2

1

xxxx

80

Po zavruvaweto na procesot na eliminacija, sistemot na linearni ravenki ja ima slednata forma:

−

−

=

⋅

−

−−

−

02728909,003406872,0

006152003,005218615,0

16112353,03548584,02820274,0

01

04094262,04188998,0

001

5641749,0

0001

4

3

2

1

xxxx

So povratna zamena vo ravenkite, gi dobivame nepoznatite prirasti:

=

⋅+−⋅+

=

∆⋅+

∆⋅+

=

−−

=

−+−+

=

∆+∆+

=

−−−

=

∆∆∆∆

=

027289,19826114,0

02728909,00,10,1)01738886,0(0,10,1

01654770,004653993,0

)01654770,0(0,0)04653993,0(0,0

02728909,001738866,001654770,004653993,0

)/()/(

)0(

2

2)0(2

)0(2

)0(

1

1)0(1

)0(1

)1(2

)1(1

)0(2

)0(2

)0(1

)0(1

)1(2

)1(1

)0(221

)0(11

)0(2

)0(1

4

3

2

1

UUUU

UUUU

UU

UUUU

xxxx

θθθθ

θθ

θθ

Pred da prodol`i presmetkata na novite prirasti na nepoznatite vo vtorata iteracija, treba da se proveri dali so novite vrednosti na kompleksnite naponi e postignata baranata to~nost na presmetkite.

Presmetanite injektirani monost za jazlite 1 i 2 se:

puQQQ

puPPP

puQ

puPrad

radpu

Qpu

P

ПРЕСМЕТАНАДАДЕНА






−−

=

−−

−=−=∆

−−

=

−−

−=−=∆

=

=

−=−−=−=

−=−−−=−=−=

−=−⋅+=−⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅−

−⋅⋅−⋅+⋅−=

−=−⋅+=−⋅⋅+−⋅⋅−−⋅⋅+

−⋅⋅−⋅+⋅=

01237998,0008812100,0

1123800,02411849,0

10,025,0

003452823,0005299091,0

1034528,03947009,0

10,040,0

1123800,0

1034528,0

04653993,00,004653993,0

02999222,0)01654770,0(04653993,02411879,0]084432,7[9826114,0720055,6

)]04653993,0cos(0,303,1)046553993,0sin(0,103,1)02999222,0cos(0,4027289,1

)02999222,0sin(0,2027289,1[9826114,096,69826114,03947009,0]34952,3[9826114,0896575,2)]04653993,0sin(0,303,1

)046553993,0cos(0,103,1)02999222,0sin(0,4027289,1

)02999222,0cos(0,2027289,1[9826114,00,39826114,0

)1()()(

)1(

)1()()(

)1(

)1()(2

)1()(2

3)1(

113

)1(2

)1(12112

2)1()(1

2)1()(1

θθθ

θθθθ

81

Kako to se gleda, najgolemata razlika po apsolutna vrednost iznesuva 0,01237998 pu i e pogolema od dozvolenata tolerancija, pa presmetkata prodol`uva so vtorata iteracija. Sistemot linearni ravenki so koj se presmetuvaat prirastite na nepoznatite vo vtorata iteracija e:

−−−−

=

⋅

−−−−

−−−−

01237998,0008812100,0003452823,0005299091,0

63395,10096429,4117839,4896863,1975347,3478867,6139026,2291276,3

324745,4896863,140919,10096429,4139026,2501874,2975347,3961234,6

4

3

2

1

xxxx

kade to elementite na jakobijanot se opredeleni na ist na~in kako vo prvata iteracija, pri to se koristeni aktuelnite vrednosti na naponite i presmetanite aktivni i reaktivni monosti vo jazlite. Zabele`uvame deka sega submatricite na jakobijanot ne se simetri~ni. So Gausovata eliminacija se dobiva:

=

⋅+−⋅+

=

∆⋅+

∆⋅+

=

−−

=

⋅−+−⋅−+−

=

∆+∆+

=

⋅−⋅−⋅−⋅−

=

∆∆∆∆

=

−−−−

=

⋅

−−

−−

−

−

−

−

−

−

024969,19797189,0

002258901,0027289,1027289,1)002943601,0(9826114,09826114,0

01665863,004700068,0

)10109304,1(01654770,0)10607521,4(0465399,0

10258901,210943601,210109304,110607521,4

)/()/(

002258901,0001446988,0

0008141827,00007612277,0

10006625401,01003799339,005261609,0103072764,03594005,05710686,01

)1(

2

2)1(2

)1(2

)1(

1

1)1(1

)1(1

)2(2

)2(1

4

4

)2(2

)2(2

)2(1

)2(1

)2(2

)2(1

3

3

4

4

)1(22

)1(11

)1(1

)1(1

4

3

2

1

4

3

2

1

UUUU

UUUU

UU

UUUU

xxxx

xxxx

θθθθ

θθ

θθ

So tie naponi se presmetuvaat razlikite pome|u dadenite i presmetanite injektirani monosti vo jazlite:

5)2()()(

)2(

5)2()()(

)2(

1009,360,2

1000309,02499740,0

10,025,0

1033,020,2

1000033,03999780,0

10,040,0

−

−

⋅

−−

=

−−

−=−=∆

⋅

−−

=

−−

−=−=∆



QQQ

PPP

Od dobienite rezultati se gleda deka po apsolutna vrednost najgolemata od presmetanite razliki na injektiranite monosti iznesuva 0,0000309 pu (t.e. 0,00309 MVAr) i taa e pomala od dozvolenata tolerancija. Spored toa presmetanite naponi na po~etokot na tretata iteracija gi usvojuvame za baranoto reenie:

82

kVeeunitper

ee

Uj

j

j

j

⋅⋅=

⋅⋅

=−

−

−

−

o

o

95.0

69.2

01665863,0

04700068,0

75,11277,107

024969,19797189,0

Zada~a 3.9.Za sistemot od zada~a 3.5. so pomo na Wutn-Rafsonoviot metod da se presmetaat nepoznatite naponi na jazlite. Procesot na iterativno presmetuvawe da se smeta za zavren vo iteracijata vo koja presmetanite injektirani aktivni i reaktivni monosti vo jazlite se razlikuvaat od nivnite zadadeni vrednosti za pomalku od 0,1 MW, odnosno 0,1 MVAr.

Reenie:Vo zada~ata 3.5. bee formirana matricata na admitancii na sistemot i taa vo edine~ni vrednosti e:

.

77469,18044689,13328479,6041806,6098216,1634066,40

44689,1398216,1643226,310328479,634066,40072744,43

,

870005,100870005,10222351,3222351,300222351,3222351,30

870005,100870005,1

−−

−−

=

−−

−−

=

B

G

Sli~no kako kaj Gaus-Zajdeloviot metod, za jazlite od tipot PQ,pretpostavuvame ramen start:

radunitperUU

0,0

0,1)0(

2)0(

1

)0(2

)0(1

==

==

θθ

Za jazlite od tipot PU, pretpostavuvame fazni agli na naponite ednakvi na nula:

rad

unitperU

0,0

9545454,0220210

)0(3

3

=

==

θ

Za slack jazolot ili jazolot so poznat napon imame:

unitperejU j04 045455.1

1100115

⋅=+=

Dadenite injektirani monosti vo jazlite vo edine~ni vrednosti se:

puP

S

pujjjQP

ДАДЕНА

ДАДЕНА


0,1100100

0

)25,150,2(100

125250

)(3

)(2

)(1)(1

==

=

−−=+−=+

83

Injektiranata aktivna i reaktivna monost vo jazolot A vo prvata iteracija gi presmetuvame spored (3.14) i (3.15):

( )

0,0

0,0

)]sincos()sincos([

)0(4

)0(114

)0(3

)0(113

141414144131313133)0(

1112)0(

1)0(

)(1

=−=

=−=

⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=

θθθ

θθθ

θθθθ BGUBGUUGUP ПРЕСМЕТАНА

08500000,0]95505,1[0,1870005,10,1

)]0,00,1870005,1(045455,1

)0,00,10,0(9545454,0[0,1870005,10,1

)0()(1

14

132)0(

)(1

−=−⋅+⋅=

⋅+⋅−⋅+

+⋅+⋅⋅⋅+⋅=



PB

BP

( )

395695,1]12313,45[0,172744,43

)]0,1328479,60,0(045455,1)0,134066,400,0(9545454,0[0,1)78744,43(0,1

)]cossin()cossin([

)0()(1

14132)0(

)(1

141414144131313133)0(

1112)0(

1)0(

)(1

−=−⋅+=

⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅+−⋅−=

⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅+⋅−=




Q

GGQ

BGUBGUUBUQ θθθθ

Na sli~en na~in se presmetuvaat i injektiranite monosti vo ostanatite jazli:

3330961,0]32282,57[9545454,005033,55

1398129,0]222351,3[9545454,0936068,2

163908,1]26835,30[0,143226,31

1464705,0]075881,3[0,1222351,3

)0()(3

)0()(3

)0()(2

)0()(2

=−⋅+=

−=−⋅+=

=−⋅+=

=−⋅+=





Q

P

Q

P

Spored toa, na po~etokot na prvata iteracija za razlikite pome|u dadenite i presmetanite injektirani aktivni i reaktivni monosti vo jazlite, spored (3.28), presmetuvame:

−

=

−−

−=−=∆

−−

=

−

−−

−=−=∆

163908,11456947,0

163908,1395695,1

00,025,1

139813,1146705,04150000,2

1398129,01464705,00850000,0

0,10,05,2

)0()()(

)0(

)0()()(

)0(



QQQ

PPP

Vo slu~ajot na razlikite na reaktivnite monosti se presmetuvaat samo za jazlite A i B. Sleduvaat presmetkite na elementite na jakobijanot koj sega e ima dimenzii:

( ) ( ) ( ) ( ) 5521421411 ×=+−×+−=+−×+− qnqn

Submatricite od matri~niot sistem ravenki (3.26) e gi imaat slednite dimenzii: 22322333 ;;; ×××× LMNHDijagonalnite elementi na submatricite H i L, se presmetuvaat spored (3.18) i (3.24) soodvetno:

84

( )( )

( )( ) puUBQL

puUBQL

puUBQH

puUBQH

puUBQH






59617,320.1)43226,31(163908,1

33174,420,1)72744,43(395695,1

71724,549545454,0)41806,60(3330961,0

26835,300,1)43226,31()163908,1(

12313,450,1)72744,43()395695,1(

22)0(222

)0()(222

22)0(111

)0()(111

22333

)0()(333

22)0(222

)0()(222

22)0(111

)0()(111

=⋅−−=⋅−=

=⋅−−−=⋅−=

=⋅−−−=⋅−−=

=⋅−−−=⋅−−=

=⋅−−−−=⋅−−=

Za presmetkata na vondijagonalnite elementi na submatricite H i L, e gi koristime (3.23) i (3.17):

21025,16)0,198216,160,0(0,19545454,0)cossin(

21025,16)0,198216,160,0(9545454,00,1)cossin(0)1000(11)cossin(

50699,38)0,134066,400,0(9545454,00,1)cossin(

0)1000(11)cossin(

3232323232)0(

2332

23232323233)0(

223

21212121)0(

1)0(

22121

13131313133)0(

112

12121212)0(

2)0(

11212

−=⋅−⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅=

−=⋅−⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅=

=⋅−⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅==

−=⋅−⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=

=⋅−⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅==

GBGUUHGBGUUH

BGUULHGBGUUH

BGUULH

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

Elementite na submatricite N i M se presmetuvaat so izrazite od (3.19) do (3.22):

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) puBBGUUN

puBBGUUNpuBBGUUM

puBGUUMpuBGUUMNpuBGUUMNpuBGUUMN

puUGPM

puUGPN

puUGPM

puUGPN





075881,3)01222351,3(19545454,0sincos

0)010(19545454,0sincos

075881,3)01222351,3(9545454,01sincos

0)0(9545454,01sincos

0)0010(11sincos

0)0010(11sincos

0)0010(11sincos

075881,30,1222351,31464705,0

368822,30,1222351,31464705,0

955005,10,1870005,1085,0

785004,10,1870005,1085,0

32323232320

2332

31313131310

1331

23232323233)0(

223

131313133)0(

113

12121212)0(

2)0(

11212

21212121)0(

2)0(

12121

12121212)0(

2)0(

11212

22)0(222

)0()(222

22)0(222

)0()(222

22)0(111

)0()(111

22)0(111

)0()(111

−=⋅+⋅−⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=

=⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=

=⋅+⋅−⋅⋅−=⋅+⋅⋅⋅−=

=⋅⋅−=⋅+⋅⋅⋅−=

=⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=−=

=⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=−=

=⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=−=

−=⋅−−=⋅−=

=⋅+=⋅+=

−=⋅−−=⋅−=

=⋅+−=⋅+=

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

Za razgleduvaniot primer sistemot linearni ravenki (3.26) e: ( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

∆∆∆∆∆

=

∆∆∆∆∆

⋅

02

01

03

02

01

022

011

03

02

01

2221232221

1211131211

3231333231

2221232221

1211131211

//

QQPPP

UUUU

LLMMMLLMMMNNHHHNNHHHNNHHH

θθθ

odnosno:

85

−

−−

=

⋅

−−

−−−−−

163908,11456947,0139813,11464705,0415000,2

59617,320075881,3075881,30033174,4200955005,1

075881,3071724,5421025,1650699,38368822,3021025,1606835,300

0785004,150699,38012313,45

5

4

3

2

1

xxxxx

Po zavruvaweto na procesot na Gausovata eliminacija, sistemot na linearni ravenki ja ima slednata forma:

−−−−−

=

=

⋅

−−

−−

03237238,0002007177,007586648,0

004839065,005352022,0

10000003780053,0100009652492,01156199,01001112985,005355510,010

003955852,08533759,001

5

4

3

2

1

xxxxx

Od ovoj sistem so povratna zamena, go dobivame vektorot na nepoznatite prirasti na faznite agli i modulite na naponite vo jazlite:

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

−−−−−

=

∆∆∆∆∆

=

03237238,0002129546,007874501,004340804,01206351,0

//

022

011

03

02

01

5

4

3

2

1

UUUU

xxxxx

θθθ

( )

=

−⋅+−⋅+

=

∆⋅+

∆⋅+

=

−−−

=

−+−+−+

=

∆+

∆+∆+

=

9676276,09978704,0

03237238,011)002129546,0(11

07874501,004340804,01206351,0

)07874501,0(0,0)04340804,0(0,0

)1206351,0(0,0

)0(

2

2)0(2

)0(2

)0(

1

1)0(1

)0(1

)1(2

)1(1

)0(3

)0(3

)0(2

)0(2

)0(1

)0(1

)1(3

)1(2

)1(1

UUUU

UUUU

UU

θθ

θθθθ

θ

θθ

Presmetanite naponi posle prvata iteracija e poslu`at za presmetka na injektiranite monosti vo jazlite na po~etokot na vtorata iteracija. Injektiranata aktivna i reaktivna monost vo jazolot A gi presmetuvame spored (3.14) i (3.15):

86

( )

( )rad

radBGU

BGUUGUP ПРЕСМЕТАНА

1206351,001206351,0

04189007,007874501,01206351,0

478278,2)]sincos(

)sincos([

4)1(

114

)1(3

)1(113

141414144

131313133)1(

1112)1(

1)0(

)(1

−=−−=−=

−=−−−=−=

−=⋅+⋅⋅+

+⋅+⋅⋅⋅+⋅=

θθθ

θθθ

θθ

θθ

( )169186,1)]cossin(

)cossin([

141414144

131313133)1(

1112)1(

1)0(

)(1

−=⋅−⋅⋅+

+⋅−⋅⋅⋅+⋅−=

θθ

θθ

BGUBGUUBUQ ПРЕСМЕТАНА

Na sli~en na~in se presmetuvaat i injektiranite monosti vo ostanatite jazli:

088517,1

016611,1

05908700,0

006516691,0

)1()(3

)1()(3

)1()(2

)1()(2

=

=

=

=





Q

P

Q

P

Razlikite pome|u dadenite i presmetanite injektirani monosti vo jazlite iznesuvaat:

−−

=

−−

−=−=∆

−−−

=

−−

−=−=∆

05908700,008081412,0

05908700,0169186,1

00,025,1

01661100,0006516691,002172184,0

016611,1006516691,0

478278,2

0,10,05,2

)0()()(

)0(

)0()()(

)0(



QQQ

PPP

Kako to se gleda, najgolemata razlika po apsolutna vrednost iznesuva 0,08081412 pu i e pogolema od dozvolenata tolerancija 0,001 pu, pa presmetkata prodol`uva so vtorata iteracija. Posle vtorata iteracija e zadovolen kriteriumot za prestanok na iterativnoto presmetuvawe, odnosno se dobiva baranoto reenie za naponite koe e ednakvo na presmetanite naponi vo jazlite presmetani po vtorata iteracija:

kV

eeee

pu

eeee

U

j

j

j

j

j

j

j

j

⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅⋅

=−

−

−

−

−

−

0

69,4

59,2

10,7

0

08192188,0

04513919,0

1238780,0

11500,21047,21253,109

045455,19545454,09657701,09957562,0

o

o

o

Za nepoznatata injektiranata monost vo jazolot C so (3.15) dobivame:

MVarpuQ 5,120204959,13 ==

Za nepoznatata injektirana monost vo jazolot D so (3.14) i (3.15)dobivame:

( ) ( )MVAjpujS 9,179,1531790896,0538750,14 +=+=

87

Raspredelbata na optovaruvawata vo elementite, za vodovi se presmetuva so relaciite (3.9) za po~etokot na vodot i (3.10) za krajot na vodot, za transformatori so relaciite (3.11) na primarnata strana i (3.12) na sekundarnata, a zagubite vo elementite so relacijata (3.13). Tekovite na monosti na po~etokot i na krajot na vodot A-D(a) i zagubite vo nego, (3.9), (3.10) i (3.13) soodvetno se:

( )[ ] ( )

( )MVAj

pujYUYUUUS aaa

7,28,42

02728553,04276143,021 '

)(412

1*

)(41411)(41

+−=

=−−=

⋅+⋅−⋅= −−−

( )[ ] ( )

( )MVAj

pujYUYUUUS aaa

1,54,44

05127606,04439504,021 '

)(4124

*)(41144)(14

+=

=+=

⋅+⋅−⋅= −−−

( ) ( )MVAjpujSSS aaa 4,26,102399053,001633611,0)(14)(41)(41 +=+=+=∆ −−−

Analogno se presmetuvaat tekovite na monosti i zagubite za ostanatite vodovi:

( )[ ] ( )

( )MVAj

pujYUYUUUS bbb

5,24,46

02477298,04640392,021 '

)(412

1*

)(41411)(41

+−=

=+−=

⋅+⋅−⋅= −−−

( )[ ] ( )

( )MVAj

pujYUYUUUS bbb

5,52,48

05452069,04821574,021 '

)(4124

*)(41144)(14

+=

=+=

⋅+⋅−⋅= −−−

( ) ( )MVAjpujSSS bbb 0,38,102974772,001811814,0)(14)(41)(41 +=+=+=∆ −−−

( ) ( )MVAjpujS 5,43,6104552504,06126581,032 +=+=−

( ) ( )MVAjpujS 1,108,601011199,06082335,023 +−=+−=−

( ) ( )MVAjpujSSS 6,54,005559488,0004424691,0233232 −=−=+=∆ −−−

Tekovite na monost vo transformatorot T1 i zagubite vo nego se presmetuvaat spored (3.11), (3.12) i (3.13):

( ) ( )MVAjpujmYUU

mUS 3,72,6107329204,06126421,0

24

*24*

2424

24

24 +=+=⋅

⋅−=

−

−

−−

( ) ( )MVAjpujYm

UUUS 5,43,6104537386,06126421,0*24

24

*422

242 +−=+−=⋅

⋅−= −

−−

( ) MVArjpujSSS 8,2027911818,0422442 ==+=∆ −−−

Analogno za transformatorite T2 se presmetuva:

( ) ( )MVAjpujmYUU

mUS 9,396,533992419,05360914,0

31

*31*

3131

21

31 +−=+−=⋅

⋅−=

−

−

−−

( ) ( )MVAjpujYm

UUUS 5,433,614353585,05360914,0*

3131

*132

313 +=+=⋅

⋅−= −

−−

( ) MVArjpujS 6,303611657,031 ==∆ −

88

Vkupnite zagubi na aktivna i reaktivna monost vo sistemot se:

( ) ( )

MWpuPPPP ba

9,303887892,0004424691,001811814,001633611,0324141

==

=++=∆+∆+∆=∆ −−−

( ) ( )

MVArpuQQQQQQ ba

4,131344112,003611657,0302791818,005559488,002974772,002399053,03142324141

==⋅++

+−+=∆+∆+∆+∆+∆=∆ −−−−−

Vkupnite zagubi sistemot moàt da se presmetaat i so sumirawe na injektiranite kompleksni monosti vo site jazli na mreàta:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )MVAj

pujjjjjSSSSS

4,139,31344075,003887916,01790896,0538750,1204959,1000041,1

0001497846,000000160430,0249790,1499928,24321

+==+=++++

+++−−=+++=∆

Ako se sporedat rezultatite od presmetkite dobieni so Wutn-Rafsonoviot metod, so rezultatite dobieni so Gaus-Zajdeloviot metod, se zabeleùva mnogu mala razlika, to se dolì na razli~nite kriteriumi za zavruvawe na iterativnite procesi.

89

4. PRESMETKA NA KUSI VRSKI VO EES

Zada~a 4.1.Daden e nesimetri~en trifazen sistem na naponi:

( )( )( )kVjU

kVjUkVjU

fC

fB

fA

3,646,76

0121

1120

−−=

+=

+=

Analiti~ki da se opredelat simetri~nite komponenti na nesimetri~niot sistem. Reenie:

Vrskata pome|u simetri~nite komponenti i faznite veli~ini e:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )kVjUUUU

kVjUaUaUU

kVjUaUaUU

fCfBfA

fCfBfAi

fCfBfAd

90,1580,1431

0,916,1131

09,10595,2531

0

2

2

+=++⋅=

−=⋅+⋅+⋅=

+−=⋅+⋅+⋅=

(1) Pritoa za operatorot 3/2πjea = va`i:

......3,2,11....

23

21....

23

21....

01

312963

1311852

231074

2

=======

−−======

+−======

=++

−

−

naaaaa

jaaaaa

jaaaaa

aa

n

n

n

Obratnite relacii so pomo na koi faznite veli~ini se izrazuvaat preku simetri~nite komponenti e:

02

02

0

UUaUaU

UUaUaU

UUUU

idfC

idfB

idfA

+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

++=

(2)

Ravenkite (1) i (2) mo`at da se napiat i vo matri~na forma:

fS

Sf

UTU

UTU

∗=

∗=−1

(3)

kade to:

90

=

fC

fB

fA

f

UUU

U -matrica kolona na faznite naponi;

=

0UUU

i

d

SU -matrica kolona na simetri~nite komponenti;

=11111

2

2

aaaaT -matrica na transfomacija;

⋅=−

11111

31 2

2

1 aaaa

T -inverzna matrica na matricata na transformacija;

Zada~a 4.2.Daden e elektroenergetski sistem koj e prikaàn na slikata 1. Parametrite

na elementite na sistemot, izrazeni vo edine~ni vrednosti za bazna monost MVASB 100= , dadeni se vo tabelata 1, za bazni naponi koi se navedeni vo vtorata

kolona na istata tabela. a) Da se presmetaat baznite strui i impedancii na site elementi, za

dadenite bazni vrednosti na naponite i baznata monost; b) Da se nacrtaat mreìte na impedanciite za direkten, inverzen i nulti

redosled na sistemot c) Mreìte od to~kata b) da se reduciraat na soodvtenite Tevenenovi

ekvivalenti, gledano od mestoto na greka (sobirnica 3).


91

Tabela 1. Osnovni parametri na sistemot Reaktancii na elementite

(pu)ElementNaponsko nivo (bazen napon)

(kV)dX iX 0X

G1* 25 0,2 0,2 0,05 G2* 13,8 0,2 0,2 0,05 T1** 25/230 0,05 0,05 0,05 T2*** 13,8/230 0,05 0,05 0,05 L12 230 0,1 0,1 0,3 L13 230 0,1 0,1 0,3 L23 230 0,1 0,1 0,3

*-Dvata generatori se zazemjeni preku induktivna reaktancija 0,03 pu**-Sprega na transformatorot e Y/y (dvete yvezdita se direktno zazemjeni) ***- Sprega na transformatorot e Y/d (yvezditeto na stranata na povisokiot napon e direktno zazemjeno) Reenie:

a) Za dadenata bazna monost, baznite vrednosti na struite i impedanciite po poedine~nite naponski nivoa se:

-Mreà 25 kV (G1, T1):

Ω====⋅⋅=

⋅= 25,6

10025;2310

25310100

3

223

B

BB

B

BB S

UZAU

SI

-Mreà 230 kV (T1, T2, L12, L13, L23):

Ω====⋅⋅=

⋅= 529

100230;251

230310100

3

223

B

BB

B

BB S

UZAU

SI

-Mreà 13,8 kV (G2, T2):

Ω====⋅==

Ω====⋅⋅=

⋅=

905,1100

8,13;72468,1310100:2

905,1100

8,13;41848,133

101003

:2

223

223

B

BB

B

BB

B

BB

B

BB

SUZA

USIT

SUZA

USIG

b) Mreàta na impedanciite na sistemot za direkten, inverzen i nulti redosled (so vneseni vrednosti na impedanciite i naponite) prikaàni se na slikata 2:

92

0,11 =E 0,12 =E

2,0j 05,0j1,0j

1,0j 1,0j

05,0j 2,0j

0,13 =fU

(a)

2,0j 05,0j1,0j

1,0j 1,0j

05,0j 2,0j

(b)

05,0j3,0j

3,0j 3,0j

05,0j05,0j 05,0j

09,0j 09,0j

(v)

Slika 2. Mreà na direktnite (a), inverznite (b) i nultite (v) impedancii na sistemot

Moè da se zabeleì deka impedanciite za direkten i inverzen redosled se

isti.

Za presmetka na ekvivalentnite impedancii za site tri redosledi, treba prvo da se izvri transfiguracija na triagolnikot 1-2-3 od slikata 2, a potoa da se izvri ekvivalentirawe na seriskite i paralelnite granki.

puXXXX

XXXY 033,031,0

3===

++⋅

= ∆

∆∆∆

∆∆ za direkten i inverzen sistem

puXXXX

XXXY 1,033,0

3===

++⋅

= ∆

∆∆∆

∆∆ za nulti sistem

93

2,0j 05,0j 05,0j 2,0j

033,0j

033,0j 033,0j

Slika 3. Ekvivalentnata ema na direktnite (inverznite) impedancii za odreduvawe na Tevenenovata impedancija za direkten (inverzen) sistem, posle

transfiguracijata na triagolnikot 1-2-3.

Od slikata 3 se dobiva se dobiva ekvivalentnata Tevenenova impedancija za direkten (inverzen) sistem, gledano od mestoto na greka (sobirnica 3):

( ) ( )( ) ( ) pujj

jjjjjjjjjjjjZZ ekv

iekvd 175,0033,0

033,005,02,0033,005,02,0033,005,02,0033,005,02,0 =+

+++++++⋅++==

05,0j 05,0j

1,0j

1,0j 1,0j05,0j

09,0j

Slika 4. Ekvivalentnata ema na nultite impedancii za odreduvawe na Tevenenovata impedancija za nulti sistem, posle transfiguracijata na

triagolnikot 1-2-3.

Od slikata 4 se dobiva se dobiva ekvivalentnata Tevenenova impedancija za nulti sistem, gledano od mestoto na greka (sobirnica 3):

( ) ( )( ) ( ) pujj

jjjjjjjjjjjjZ ekv 199,01,0

1,005,01,005,005,009,01,005,01,005,005,009,0

0 =+++++++⋅+++=

Reduciranite Tevenenovi ekvivalenti na mre`ite za direkten, inverzen i nulti redosled, za kusa vrska na sobirnicata 3, se prika`ani na slikata 5.

94

0,1=dE

175,0j

dU

dekvddd IZUE ⋅+=

dI

175,0j

iU

iekvii IZU ⋅−=

iI

199,0j

0U

000 IZU ekv ⋅−=

0I

Slika 5. Tevenenovite ekvivalenti na mre`ite so direkten (a), inverzen (b) i nulti (v) redosled na sistemot, pri kusa vrska na sobirnicata 3.

Zada~a 4.3.Za sistemot definiran vo zada~ata 4.2., da se presmetaat fazorite na

struite i naponite na sobirnica 3 na sistemot, ako na nea se slu~ile slednive kusi vrski:

1. trifazna kusa vrska; 2. dvofazna kusa vrska; 3. dvofazna kusa vrska so zemja; 4. ednofazna kusa vrska.

Vo presmetkite da se koristat ekvivalentnite reaktnacii na sistemot so

direkten (inverzen) i nulti redosled, presmetani vo zada~ata 4.2., so pretpostavka deka vo momentot na nastanuvawe na kusata vrska, naponot na sobirnicata 3 bil 1,00 pu.

Reenie:1. Trifazna kusa vrska

fAUfBUfCU

AI

BI

CI

Grani~nite uslovi pri trifazna kusa vrska se: 00 === UUU id

Simetri~nite komponenti na strujata se:

0

4332,12,143325171,571,571,5175,000,1

0 ==

−=−=⋅−=⋅−=−===

II

kAjAjjIjpujjZ

UI

i

Bekvd

fd

Faznite naponi na mestoto na kusa vrska se:

95

=

000

fC

fB

fA

UUU

Faznite strui na mestoto na kusa vrska se:

=

C

B

A

III

pueeej

aaaa

III

aaaa

j

j

j

i

d

⋅⋅⋅

=

−⋅

=

⋅

−

o

o

o

30

150

90

2

2

02

2

71,571,571,5

00

71,5

11111

11111

=

C

B

A

III

Aeee

eee

Ieee

j

j

j

j

j

j

Bj

j

j

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅ −−−

o

o

o

o

o

o

o

o

o

30

150

90

30

150

90

30

150

90

2,14332,14332,1433

25171,571,571,5

71,571,571,5

2. Dvofazna kusa vrska (fazi B i C)

fAUfBUfCU

AI

BI

CI

Grani~nite uslovi se: fCfBCBA UUIII =−== ;;0Simetri~nite komponenti na strujata se:

0

9,71725186,286,2175,0175,0

00,1

0 =

−=⋅−=−=+

=+

=−=

I

AjjpujjjZZ

UII ekv

iekvd

fid

Simetri~nite komponenti na naponot se:

05,1152315,05,05,086,2175,0

0 ==⋅=⋅==⋅−=⋅−=⋅−==

UkVUpujjIZIZEUU Bi

ekvid

ekvdid

Faznite naponi na mestoto na kusa vrska pri fazen bazen napon: kVUU BfB 4,1333/ == , se:

=

fC

fB

fA

UUU

puaaaa

UUU

aaaa i

d

−−=

⋅

=

⋅

5,05,0

0,1

05,05,0

11111

11111

2

2

02

2

96

=

fC

fB

fA

UUU

kVeee

Uj

j

j

fB

⋅−⋅−⋅

=⋅

−−=⋅

−−

0

0

0

7,667,664,133

4,1335,05,0

0,1

5,05,0

0,1


=

C

B

A

III

pujj

aaaa

III

aaaa i

d

−=

−⋅

=

⋅

95,495,4

0

086,286,2

11111

11111

2

2

02

2

=

C

B

A

III

AI B

−=⋅

−=⋅

−

5,12425,1242

0251

95,495,4

0

95,495,4

0

3. Dvofazna kusa vrska so zemja

fAUfBUfCU

AI

BI

CI

Grani~nite uslovi se: 0;0 === fBfAA UUISimetri~nite komponenti na strujata i naponot se:

( ) ( )

( ) ( )

kVUpujjIZUUU

Ajpujjj

jIZZ

ZI

Ajpujjj

jIZZ

ZI

Ajpujjj

ZZZZZ

UI

fBiekviid

dekvekvi

ekvi

dekvekvi

ekv

i

ekvekvi

ekvekviekv

d

fd

42,46348,0348,099,1175,0

25,43975,173,3199,0175,0

175,0

5,49999,173,3199,0175,0

199,0

2,93673,3

199,0175,0199,0175,0175,0

00,1

0

00

0

0

0

0

=⋅==⋅−=⋅−===

==−⋅+

−=⋅+

−=

==−⋅+

−=⋅+

−=

−=−=

+⋅+

=

+⋅+

=


=

fC

fB

fA

UUU

pue

aaaa

UUU

aaaa

j

i

d

⋅=

⋅

=

⋅

00

044,1

348,0348,0348,0

11111

11111 0

2

2

02

2

97

=

fC

fB

fA

UUU

kVee

eeU

e

j

j

jj

fB

j

⋅⋅⋅

=⋅

⋅=⋅

⋅

0

0

000

00

3,1394,133

00

044,1

00

044,1


=

C

B

A

III

puee

jjj

aaaa

III

aaaa

j

ji

d

⋅⋅=

−⋅

=

⋅

o

o

9,27

1,152

2

2

02

2

6,56,5

0

75,199,173,3

11111

11111

=

C

B

A

III

Aee

eeI

ee

j

j

j

jB

j

j

⋅⋅=⋅

⋅⋅=⋅

⋅⋅

o

o

o

o

o

o

9,27

1,152

9,27

1,152

9,27

1,152

6,14056,14050

2516,56,5

0

6,56,5

0

4. Ednofazna kusa vrska

fAUfBUfCU

AI

BI

CI

Grani~nite uslovi se: 0;0 === fACB UIISimetri~nite komponenti na strujata i naponot se:

( ) pujjZZZ

UIII ekvekv

iekvd

fid 82,1

199,0175,0200,1

00 −=

+⋅=

++===

( )( )( ) pujjIZU

pujjIZU

pujjIZEU

ekvi

ekvii

dekvdd

362,082,1199,0

319,082,1175,0

681,082,1175,01

000 −=−⋅−=⋅−=

−=−⋅−=⋅−=

=−⋅−=⋅−=


=

fC

fB

fA

UUU

pue

eaaaa

UUU

aaaa

j

ji

d

⋅−⋅=

−−⋅

=

⋅

0

0

122

238

2

2

02

2

022,1022,1

0

362,0319,0

681,0

11111

11111

=

fC

fB

fA

UUU

kVe

ee

eUe

ej

j

j

jfB

j

j

⋅−⋅=⋅

⋅−⋅=⋅

⋅−⋅

0

0

0

0

0

0

122

238

122

238

122

238

34,13634,136

04,133

022,1022,1

0

022,1022,1

0

98


=

C

B

A

III

puj

jjj

aaaa

III

aaaa i

d

−=

−−−

⋅

=

⋅

00

46,5

82,182,182,1

11111

11111

2

2

02

2

=

C

B

A

III

Ajj

Ij

B

−=⋅

−=⋅

−

00

5,1370251

00

46,5

00

46,5

Zada~a 4.4.Se razgleduva re`im na kusa vrska vo subtranzienten period, nastanata kaj

potrouva~kite sobirnici 3 za sistemot na slikata 6. Da se odredat faznite naponi i strui na mestoto na kusa vrska za slu~aj na:

1. Trifazna kusa vrska; 2. Dvofazna kusa vrska;

Site vodovi imaat podol`ni parametri ( ) kmjz /4,01,0 Ω+= . Pred

nastanuvaweto na kusata vrska sistemot bil prakti~no rastovaren odnosno bil vo prazen od.

Slika 6. Ednofazna ema na sistemot od zada~a 4.3. Podatocite za elementite na sistemot se:

%8%;13;5,10;50: 0" ===== XXXkVUMVASG idnn

idkn

kTn

XXMVASkVUukVkVmMVAST===

===""

3 ;1210;110

%13;/115/5,10;50:

:EES

Reenie:Prvo potrebno e da se presmetaat parametrite na elementite na sistemot,

svedeni na mestoto na kusa vrska, a toa e 110 kV naponsko nivo:

za generatorite: Ω=⋅⋅=⋅⋅== 38,345,10

11550

5,1010013

100 2

222""

Tn

ndid m

SUXXX

za transformatorite: Ω=⋅=⋅= 74,3150

11510012

100

22

n

nkT S

UuX

99

za vodovite:

Ω=⋅=Ω=⋅=Ω=⋅=

−

−

−

20504,016404,012304,0

32

31

21

v

v

v

XXX

za EES: Ω==== 10121011022

"

n

nid S

UXX

Za da gi opredelime prilikite kaj potrouva~ot vo re`imot na kusa vrska, najnapred e bide potrebno da gi odredime vleznite impedancii na sistemot

ekvdZ (za subtranzienten period kako to e naglaseno vo zada~ata) i ekv

iZ , gledano od mestoto na kusa vrska. Pritoa e gi zanemarime aktivnite otpori na site elementi na sistemot i za impedanciite na direktniot i inverzniot sistem ekv

dZ iekviZ , e dobieme ~isto imaginarni vrednosti. Ekvivalentnite emi na sistemot za

direkten i inverzen sistem se prika`ani na slikite 7(a) i 8(a), a na slikite 7(b) i 8(b) se dadena istite emi vo uprosten oblik pri to triagolnikot 1-2-3 e transfiguriran vo yvezda i grupata na generatori i transformatori, priklu~eni na sobirnicata 2 se ekvivalentiraat so eden ekvivalenten generator. EMS na site generatori za direkten sistem vo ovoj slu~aj e iznesuva 3/"

nnf UUE == , bideji

sistemot e vo prazen od pred nastanuvaweto na kusata vrska.

12j

16j

10j

"E38,34j 74,31j

"E38,34j 74,31j

20j

"E

(a)

5j

67,6j

10j

"E 06,33j "E4j

(b) Slika 7. Ekvivalentna ema na sistemot za direkten sistem (a), uprostena ema za

direkten sistem (b)

100

12j

16j

10j38,34j 74,31j

38,34j 74,31j20j

(a)

5j

67,6j

10j06,33j 4j

(b) Slika 8. Ekvivalentna ema na sistemot za inverzen sistem (a), uprostena ema za

inverzen sistem (b)

Vleznata impedancija na direktniot system, gledana od mestoto na kusata vrska (sobirnica 3) e:

( ) ( )( ) Ω=

++++⋅++= 9,16

062,335410062,33541067,6 j

jjjjZ d

Vleznata impedancija na inverzniot sistem, gledana od mestoto na kusata vrska (sobirnica 3) e:

Ω== 9,16jZZ di

1. Trifazna kusa vrska na sobirnica 3:

kAII

kAjjZ

UZEI

i

ekvd

n

dd

0

758,39,163

1103

0

"

==

−=⋅

=⋅

==


kAeIaIIaIaI

kAeIaIIaIaI

kAekAjIIIII

jdidC

jdidB

jdidA

o

o

o

300

2

15020

2

900

758,3

758,3

758,3758,3

⋅=⋅=+⋅+⋅=

⋅=⋅=+⋅+⋅=

⋅=−==++= −


000

======

fCfBfA

id

UUUUUU

101

2. Dvofazna kusa vrska na sobirnica 3

( )

kAIkAjII

kAjjjZZ

EI

di

ekvi

ekvd

d

0879,1

879,19,169,163

110

0

"

==−=

−=+⋅

=+

=


( ) ( )kAjII

kAjjjIaaIIaIaI

IIII

BC

didB

idA

254,3254,3879,13

02

02

0

=−=−=−⋅−=⋅−=+⋅+⋅=

=++=

0755,31879,19,16

0

"

==⋅−=⋅−=⋅−==

UkVjjIZIZEUU i

ekvid

ekvdid

Faznite napon na mestoto na kusa vrska se:

( )kVUU

kVUUaaUUaUaU

kVUUUUU

fBfC

ddidfB

didfA

755,31

755,31

51,6322

02

0

−==

−=−=⋅+=+⋅+⋅=

=⋅=++=

Zada~a 4.5.Za sistemot prika`an na slika 9, da se odredi efektivnata vrednost na

naimeni~nata komponenta na strujata niz zazemjuva~ot na transformatorot T1 vo subtranzientniot period, za slu~aj na ednofazna kusa vrska na sobirnicata 1. Kolkavi se faznite naponi na povredeniot jazol? Da se pretpostavi deka pred nastanuvaweto na kusata vrska sistemot bil prakti~no neoptovaren.

Slika 9. EES od zada~a 4.2. Podatoci za elementite:

102

kmxxkmxXXXXXMVASkVU

ukVkVmMVASTTukVkVmMVAST

XXXXXkVUMVASG

ddidkn

kTn

kTn

ddidnn

/2,13;/4,01,1;;3330;220

%10;/5,10/115;80:32%12;/231/110;150:1

%8%;150%;25%;10;5,10;80:1

0

"'0

""3

2

1

0'"

Ω=⋅=Ω=−⋅=====−

===≡−

===−=======−

:vodovi

:EES

Reenie:Strujata niz zazemjuva~ot zI na transformatorot T1 e ednakva na zbirot od

faznite strui na transformatorot, odnosno na zbirot na nultite komponenti na faznite strui na transformatorot (slika 10):

01111 3 IIIII cbaz ⋅=++=

zI

aI 1

bI 1

cI 1

Slika 10. Struja niz zazemjuva~ot na transformatorot T1. Soodvetnite reaktancii na poedinite elementi na sistemot, svedeni na naponskoto nivo na mestoto na kusa vrska, se:

za EES: Ω=⋅=⋅=== 33231110

3330220

2

22

13

2

0 ,""

Tk

nid m

SUXXX

za T1: Ω=⋅=⋅= 689150

11010012

100

22

1 ,%

n

nkT S

UuX

za vodovite: Ω=⋅=Ω=⋅== −−− 244,060;20504,0 323121 XXX

za T2 i T3: Ω=⋅=⋅== 531680

11510010

100

22

32 ,%

n

nkTT S

UuXX

za G: Ω=⋅⋅=⋅⋅== 5316510

11580

51010010

100 2

22

2

2

,,

,%""

Tn

ndid m

SUXXX

Ekvivalentnata ema na sistemot za direkten sistem za subtranzientniot period e prika`ana na slikata 11 (a). So transfigurirawe na triagolnikot 1-2-3 vo yvezda se dobiva uprostenata ema na sistemot za direkten sistem koja e prika`ana na slikata 11 (b). Reaktanciite na ekvivalentnata yvezda se:

Ω=++

⋅==

Ω=++

⋅=

−−−

−−

−−−

−−

57

256

323121

322132

323121

31211

,

,

XXXXXXX

XXXXX

X

103

53,16j 53,16j

53,16j 53,16j

20j

20j

24j68,9j 3,3j

"E

"E

"E

(a)

53,16j 53,16j

53,16j 53,16j

25,6j5,7j

68,9j 3,3j

"E

"E

"E

5,7j

(b)

Slika 11. Ekvivalentnata ema na sistemot za direkten sistem (a), uprostena ema za direkten sistem (b)

Bideji reaktanciite na elementite na sistemot za direkten i inverzen sistem se ednakvi, ekvivalentnata ema na sistemot za inverzen sistem e bide identi~na so emata za direkten, samo to ekvivalentnite emi na generatorite i EES e bidat pasivni (slika 12).

53,16j 53,16j

53,16j 53,16j

25,6j5,7j

68,9j 3,3j

5,7j

Slika 12. Ekvivalentna uprostena ema na sistemot za inverzen sistem

Ekvivalentnata impedancija na sistemot za direkten i inverzen sistem, kako vlezna impedancija na sistemot gledano od mestoto na kusa vrska e:

104

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

Ω=

++⋅

++⋅+++++

++⋅

++⋅+++⋅+== 7148

575316531625753165316575316531625633689

575316531625753165316575316531625633689

,

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,

j

jjjjj

jjjjj

ZZ ekvi

ekvd

22,13j

22,13j 53,16j

60j

60j

72j68,9j 3,3j

8

8

(a)

53,16j

5,22j

5,22j68,9j 3,3j

8

875,18j

0I

01I

(b)

Slika 13. Ekvivalentna ema za nulti sistem (a), uprostena ema za nulti sistem (b)

Ekvivalentnata ema za nulti sistem e prika`na na slikata 13 (a), a na

slikata 13 (b) e dadena istata ema vo uprosten oblik, posle transfiguracijata na triagolnikot 1-2-3. Ekvivalentnata impedancija za nultiot sistem, kako vlezna impedancija gledano od mestoto na kusa vrska e:

( )( ) Ω=

+++++⋅= 610

631675185229812631675185229812

0 ,,,,,,,,, j

jjjjZ ekv

Simetri~nite komponenti na strujata na mestoto na kusa vrska se:

( )kAj

jjZZZ

U

ZZZEIII ekvekv

iekvd

nfekvekv

iekvd

id 2662610714823

110

000 ,

,,

"

−=+⋅⋅

=++

=++

===

105

Nultata kompenenta na strujata niz transformatorot T1, lesno moè da se odredi od emata za nultiot sistem (slika 13 (b)), so pomo na Kirhofovite zakoni:

( ) kAjj

jjj

IZIekv

850,198,12

266,26,1098,12

0001 −=−⋅=⋅=

Efektivnata vrednost na naizmeni~nata komponenta na strujata zI niz zazemjuva~ot na T1 e:

kAII z 55,53 01 =⋅=

Simetri~nite komponenti na faznite naponi na mestoto na kusa vrska se:

( )

( )( ) kVjjIZU

kVjjIZU

kVjjIZEU

ekvi

ekvii

dekvdd

02,24266,26,10

746,19266,2714,8

764,43266,2714,83

110

000

"

−=−⋅−=⋅−=

−=−⋅−=⋅−=

=−⋅−=⋅−=


=

fC

fB

fA

UUU

kVee

aaaa

UUU

aaaa

j

ji

d

⋅⋅=

−−⋅

=

⋅

0

0

2,123

8,236

2

2

02

2

75,6575,65

0

02,24746,19

764,43

11111

11111

Zada~a 4.6.Ednostavniot radijalen EES na slikata 14, izloèn e na dvofazna kusa

vrska so zemja sobirnicata 3. Da se presmetaat:

a) Simetri~nite komponenti na strujata i naponot na mestoto na kusa vrska; b) Faznite strui i naponi na mestotot na kusa vrska, kako i struite koi

dotekuvaat na mestoto na greka od napojnata mreà i preku direktnoto zazemjeno yvezdite na transformatorot T2. Kolku iznesuva naponot na neutralnata to~ka na sistemot?

Vlijanieto na potrouva~ot priklu~en na sobirnica 4 da se zanemari. Presmetkata da se sprovedi so koristewe na edine~ni vrednosti za MVASB 60= i

kVU B 101 = , pri napon na mestototo na kusa vrska kVU 633 = .

1BU2BU

3BU

106

Slika 14. Ednofazna ema na EES od zada~a 4.6.

Podatoci za elementite:

dvvdvnv

kTn

kTn

idnn

ZZjZkVUVukVkVmMVASTukVkVmMVAST

XXkVUMVASG

⋅=Ω==−===−

===−====−

3;8,8;60%11;/10/60;5,31:2%10;/63/5,10;40:1

%12;5,10;60:

0

2

1

"

:

Reenie:a) Baznite naponi i strui za oddelnite delovi na sistemot ( 1BU -

potrouva~kata strana, 2BU -vodot, 3BU -generatorskata strana) se:

kVU B 101 = ; kVmUU TBB 60106010212 =⋅=⋅= ;

kVmmUU TTBB 1063

5,101060101213 =⋅⋅=⋅⋅= ;

kAU

SIB

BB 464,3

10360

3 11 =

⋅=

⋅= ; A

USI

B

BB 4,577

60360

3 22 =

⋅=

⋅= ;

kAU

SIB

BB 464,3

10360

3 33 =

⋅=

⋅=

Impedanciite na elementite na sistemot vo pu. se:

G: ;132,01060

605,10

10012

100%

2

2

23

2"" pu

US

SUXXX

B

B

n

ndid =⋅⋅=⋅⋅==

puUS

SUuX

B

B

n

nkT 165,0

6060

4063

10010

100%

2

2

22

2

1 =⋅⋅=⋅⋅=

puZZ

pujUSZZ

dvv

B

Bdvdv

441,03

147,060608,8

0

222

=⋅=

=⋅=⋅=

puUS

SUuX

B

B

n

nkT 21,0

6060

5,3160

10011

100%

2

2

22

2

2 =⋅⋅=⋅⋅=

Ekvivalentnite emi na direktniot i inverzniot sistem se prika`ani na slika 15 (a) i 15 (b) soodvetno.

132,0j 165,0j 147,0j 21,0j

23dI 43

dI

(a)

107

132,0j 165,0j 147,0j 21,0j

23iI

43iI

(b)

Slika 15. Ekvivalentni emi za direkten (a) i inverzen (b) sistem

Ekvivalentnite impedancii so direkten i inverzen redosled, gledano od mestoto na kusa vrska, se:

( ) pujjZZ ekvi

ekvd 444,0147,0165,0132,0 =++==

Ekvivalentnata ema za nultiot sistem e prika`ana na slikata 16:

165,0j 441,0j 21,0j

8 8

230I 43

0I

Slika 16. Ekvivalentna ema za nulti sistem Ekvivalentnata impedancija so nulti redosled, gledano od mestoto na kusa

vrska e:

( )( ) puj

jjjZ ekv 156,0

21,0606,021,0441,0165,0

0 =+

⋅+=

Simetri~nite komponenti na strujata i naponot na mestoto na kusa vrska se:

( ) ( )

( ) ( )

kVUpujjIZUUU

Ajjpujjj

jIZZ

ZI

Ajjpujjj

jIZZ

ZI

Ajj

pujjjjj

ZZZZZ

UI

fBiekviid

dekvekvi

ekvi

dekvekvi

ekv

i

ekvekvi

ekvekviekv

d

fd

5,73

602167,02167,02167,0488,0444,0

4,8014,577388,1388,1875,1156,0444,0

444,0

8,2814,577488,0488,0875,1156,0444,0

156,0

10834,577875,1

875,1116,0444,0

05,1

156,0444,0156,0444,0444,0

60/63

0333

003

0

03

0

03

=⋅=⋅==⋅−=⋅−===

=⋅==−⋅+

−=⋅+

−=

=⋅==−⋅+

−=⋅+

−=

−=⋅−=

=−=+

=

+⋅+

=

+⋅+

=

b) Faznite strui na mestoto na kusa vrska se:

108

=

3

3

3

C

B

A

III

( )( )

pujj

jjj

aaaa

III

aaaa i

d

++−=

−⋅

=

⋅

084,2037,2084,2037,2

0

388,1488,0875,1

11111

11111

2

2

03

3

3

2

2

=

3

3

3

C

B

A

III

( )( )

( )( )

Aee

jjI

jj

j

jB

⋅⋅=⋅

++−=⋅

++−

o

o

65,45

35,1342

16821682

04,577

084,2037,2084,2037,2

0

084,2037,2084,2037,2

0

Za odreduvawe na struite koi dotekuvaat na mestoto na kusa vrska od mreàta i yvezditeto na T2, potrebno e da se odredi raspredelbata na simtri~nite kompenenti na struite, so razgleduvawe na ekvivalentnite emi na sistemot. Od niv se gleda deka vkupnite strui so direkten i inverzen redosled kompletno doa|aat od strana na mreàta. Zna~i:

AjpujII dd 1083875,1323 −=−== ; AjpujII ii 8,281488,03

23 ===043 =dI ; 043 =iI

Od emata za nulti sistem (slika 16) se dobiva:

( ) ( ) 030430

230 21,0606,0 IZjIjI ekv ⋅=⋅=⋅ , od kade:

( ) ( ) Ajjpujjj

IZIekv

3,2064,5773573,03573,0388,1606,0156,0

606,003023

0 =⋅==⋅=⋅=

( ) ( ) Ajjpujjj

IZIekv

1,5954,5770307,10307,1388,121,0

156,021,0

030430 =⋅==⋅=⋅=

Raspredelbata na struite po oddelnite fazi (A, B i C), koi dotekuvaat na mestototo na greka od mreàta (indeks 23) i potrouva~ot (indeks 43) se:

AjpujjjjIIII idA 7,59403,1357,0488,0875,1230

232323 −=−=++−=++=( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )pujjjjjjIIaIaI

pujjjjjjIIaIaI

idC

idB

052,1044,2357,0488,0866,05,0875,1866,05,0

052,1044,2357,0488,0866,05,0875,1866,05,0

230

2322323

230

2323223

+=++⋅−−+−⋅+−=+⋅+⋅=

+−=++⋅+−+−⋅−−=+⋅+⋅=

AjpujjIIII idA 7,59403,103,100430

434343 ==++=++=( ) ( )( ) ( ) pujjjjIIaIaI

pujjjjIIaIaI

idC

idB

03,103,10866,05,00866,05,0

03,103,10866,05,00866,05,0430

4324343

430

4343243

=+⋅−−+⋅+−=+⋅+⋅=

=+⋅+−+⋅−−=+⋅+⋅=

Faznite naponi na mestoto na greka se:

109

0

0

5,223

6065,065,02167,03

0332

33

03332

3

03333

=+⋅+⋅=

=+⋅+⋅=

=⋅==⋅=++=

UUaUaU

UUaUaU

kVpuUUUU

idfC

idfB

idfA

Naponot na neutralnata to~ka na sistemot e:

kVpuUU N 5,72167,00 −=−=−=

Zada~a 4.7.Za sistemot prika`an na slikata 17, da se dimenzioniraat prekinuva~ite P1

i P2 spored subtranzientnata struja na:

a) trifazna kusa vrska; b) ednofazna kusa vrska;

vo slu~aj kusata vrska da se slu~i kaj potrouva~ite, priklu~eni na sobirnica 2. Da se pretpostavi krajno nepovolen slu~aj na nominalno optovaren sistem pred nastanuvaweto na kusata vrska.

1P

2P


Podatoci za elementite:

kmxkmjxkVUV

XXXMVASkVU

ukVkVmMVASTXXXkVUMVASG

vnv

idkn

kTn

idnn

/3,1;/4,0;1102

;1210;110:

%12;/5,10/115;50:%;13;5,10;50:

0

0""3

0"

Ω=Ω==−

====−

===−=====−

:

EES

8%

Reenie:Soodvetnite reaktancii na poedinite elementi na sistemot, svedeni na

naponskoto nivo na mestoto na kusa vrska, se:

za EES: Ω=Ω==== 20;101210110

0

2

"3

2" X

SUXX

k

nid

110

za T: Ω=⋅=⋅= 74,3150

11510012

100% 22

n

nkT S

UuX

za vodovite: Ω=⋅=Ω=⋅=Ω=⋅=Ω=⋅=Ω=⋅=Ω=⋅=

−−−

−−−

523,140;39303,1;65503,1164,040;12304,0;20504,0

302301201

323121

XXXXXX

za G: Ω=⋅⋅=⋅⋅== 385,345,10

11550

5,1010013

100%

2

222

2""

Tn

ndid m

SUXXX

Ekvivalentnata ema na mreàta za direkten sistem e prikaàna na slikata 18 (a). Na slikata 18(b) e dadena istata ema uprostena so transfiguracija na triagolnikot 1-2-3 vo yvezda. Bideji reaktanciite na elementite na sistemot za direkten i inverzen sistem se ednakvi, ekvivalentnata ema na sistemot za inverzen sistem e bide identi~na so emata za direkten, samo to ekvivalentnite emi na generatorite i EES e bidat pasivni (slika 19).

12j 16j

385,34j 74,31j

385,34j 74,31j

20j

10j

"E

"E"E

2121 −− = id II

2323 −− = id II

(a)

5j 67,6j06,33j

4j

10j"E

"E10dI 02

dI30dI

(b) Slika 18. Ekvivalentna ema na mreàta za direkten sistem (a), uprostena ema

za direkten sistem (b)

5j 67,6j06,33j

4j

10j

10iI 02

iI30iI

Slika 19. Uprostena ema za inverzen system

111

Od slikata 18 (b) (ili 19) moàt da se odredat ekvivalentnite impedancii na sistemot za direkten (inverzen) sistem, gledano od mestototo na kusa vrska:

( ) ( )( ) Ω=+

++++⋅+== 9,1667,6104506,33104506,33 jj

jjjZZ ekv

iekvd

Ekvivalentnata ema na mreàta za nulti sistem e prikaàna na slikata 20 (a), a na slikata 20(b) e dadena uprostenata ema za nulti sistem posle transfiguracijata na triagolnikot 1-2-3 vo yvezda.

39j 52j

74,31j 65j

20j

8

210−I

230−I

(a)

25,16j 67,21j

3

1 2

13j

0

100I 02

0I300I

20j

74,31j

(b) Ekvivalentnata impedancija za nulti sistem, gledana od mestoto na kusa vrska, moè da se odredi od slikata 20(b):

( ) ( )( ) Ω=+

++++⋅+= 224,4167,21201374,3125,16201374,3125,16

0 jjj

jjZ ekv

a) trifazna kusa vrska

( )0

133,49,163

1101,1

0

"

==

−=⋅⋅==

II

kAjjZ

EI

i

ekvd

d

Simetri~nite komponenti na naponot vo to~kata 2 vo reìmot na trifazna kusa vrska se ednakvi na nula

02022 === UUU id

Soglasno uprostenata ema za direkten sistem (slika 18(b)), naponot na jazelot 0 e:

112

( )0

555,27133,467,667,667,6

000

0220

===−⋅=⋅=⋅+=

UUkVjjIjIjUU

i

dddd

Od istata ema sleduvaat odnosite:

( ) ( ) 30"10"

023010

104506,33

133,4

dd

dddd

IjEIjE

jIIII

⋅+−=⋅+−

−===+

So reavawe na ovoj sistem ravenki se dobiva:

kAjI

kAjI

d

d

022,3

111,130

10

−=

−=

Sega mo`at da se odredat naponite na jazlite 1 i 3:

kVIjUU

kVIjUU

ddd

ddd

643,394

11,33530

03

1001

=⋅+=

=⋅+=

Direktnata komponenta na strujata niz vodovite 1-2 i 3-2 od slikata e:

( )

( ) kAjj

Uj

UUI

kAjj

Uj

UUI

dddd

dddd

478,21616

655,12020

32323

12121

−==−

=

−==−

=

−

−

Bideji trifaznata kusa vrska pretstavuva simetri~en re`im faznite naponi i strui vo bilo koj element od sistemot se isti po efektivna vrednost i vremenski se pomesteni za po T/3, t.e:

kAIII

kAIII

CBA

CBA

478,2

655,1232323

212121

===

===−−−

−−−

Rasklopnata monost na prekinuva~ot 1P se definira kako proizvod od nominalniot napon na prekinuva~ot i rasklopnata struja na prekinuva~ot (strujata na kusa vrska koja treba da ja prekine), t.e.:

MVAIUS rnr 34,315655,111033 11 =⋅⋅=⋅⋅=Sli~no za 2P :

MVAIUS rnr 12,472478,211033 22 =⋅⋅=⋅⋅=

b) ednofazna kusa vrska Simetri~nite komponenti na strujata na mestoto na kusa vrska se:

( )kAj

jZZZEIII ekvekv

iekvd

id 931,0265,419,169,163

1101,1

0

"

0 −=++⋅

⋅=++

===

113

Za re`imot na ednofazna kusa vrska struite niz site granki vo direktniot i inverzniot sistem e bidat ednakvi, poradi ednakvosta na impedanciite. Od ekvivalentnata ema za direkten sistem (slika 18(b)) se dobiva:

( ) ( ) kVjjIZEU dekvdd 20,54931,09,16

31101,1"

2 =−⋅−⋅=⋅−=

kAjII dd 931,002 −==kVIjUU ddd 36,6067,6 02

20 =⋅+=

( ) kAjjj

UEI dd 678,0

1436,6086,69

1040

"30 −=−=

+−

=

kAjIII ddd 253,0300210 −=−=

kVIjIjU ddd 475,767,65 021021 =⋅+⋅=−

kAjj

UI d

d 374,020

2121 −== −−

kVIjIjU ddd 922,867,64 023023 =⋅+⋅=−

kAjj

UI d

d 577,016

2323 −== −−

kAjII

kAjII

di

di

577,0

374,02323

2121

−==

−==−−

−−

Ostanuva ute da gi odredime na ist na~in i struite vo grankite za nultiot sistem, od emata za nulti sistem, slika 20(b):

kAjII 931,00020 −==

( ) ( ) kVjjIZU ekv 42,38931,0265.410020 −=−⋅−=⋅−=

kVIjUU 24,1867,21 0202000 −=⋅+=

( ) kAjj

UI 553,0

13200030

0 −=+

−=

kAjIII 378,0300

020

100 −=−=

kAjj

IjIjI

kAjj

IjIjI

526,052

67,2113

406,065

67,215,16

2030230

2010210

−=⋅+⋅=

−=⋅+⋅=

−

−

Faznite strui niz vodot 1-2 se:

114

( ) ( )( ) ( ) kAjjjaaIIaIaI

kAjjjaaIIaIaI

kAjjjjIIII

idC

idB

idA

032,0406,0374,0

032,0406,0374,0

154,1406,0374,0374,0

2210

2122121

2210

2121221

210

212121

−=−−⋅+=+⋅+⋅=

−=−−⋅+=+⋅+⋅=

−=−−−=++=

−−−−

−−−−

−−−−

Faznite strui niz vodot 3-2 se:

( ) ( )( ) ( ) kAjjjaaIIaIaI

kAjjjaaIIaIaI

kAjjjjIIII

idC

idB

idA

051,0526,0577,0

051,0526,0577,0

68,1526,0577,0577,0

2210

2122121

2230

2323223

230

232323

=−−⋅+=+⋅+⋅=

=−−⋅+=+⋅+⋅=

−=−−−=++=

−−−−

−−−−

−−−−

Rasklopnata monost na prekinuva~ite 1P i 2P e:

MVAIUS Anr 9,219154,111033 211 =⋅⋅=⋅⋅= −

MVAIUS Anr 32068,111033 232 =⋅⋅=⋅⋅= −

Presmetkite poka`uvaat deka vo slu~ajov merodavna struja za dimenzionirawe na prekinuva~ite 1P i 2P e strujata na trifaznata kusa vrska.

analiza na ees vezbi komplet

Documents

vo edine ni

potrouva ot

reaktivna

reaktivna

reaktivna

tekovite na

na sledniot

imaat sledniot