quadratische funktionen und gleichungen
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Quadratische Funktionenund Gleichungen
Eine Zusammenfassung
und Wiederholung
Fassung: 20. April 2023
„Wir“ erinnern uns?!
Quadratische Beziehungen und Parabeln sind keine Erfindungen von Mathematikern oder Lehrern, sondern …
Köln-ArenaParabolantenne
frei hängende Kette
… kommen im Alltagsleben vor.
springender Ball, aufgenommen mit einer StroboskopkameraSidney - Harbourbridge
Über-sicht
Was macht nun die Mathematik?
Mathematik beobachtet und misst.
Mathematik untersucht.
Mathematik denkt weiter.
Mathematik probiert aus.
Über-sicht
Mathematik beobachtet und misst.
x y-4 4-2 10 02 14 46 9
x y-4-20246
Über-sicht
Wenn man noch folgende Werte messen würde, …
… könnte man zu der Funktionsvorschrift y = 0,25 x² kommen!*
x y-10 25-8 16-6 9-4 42 10 02 14 46 98 16
10 25
Bitte beachten Sie den Konjunktiv (… würde, könnte …)! Denn: Eine Kette hängt nur annähernd, nicht exakt in Parabelform.
Mathematik untersucht.
Bremsweg eines Autos
Über-sicht
… beginnend mit 40 km/h
… beginnend mit 60 km/h
… beginnend mit 80 km/h
Oder anders dargestellt:
Mathematik untersucht.
Bremsweg eines Autos(In der Realität gibt es selbstverständlich Abweichungen, je nach Beschaffenheit der Straße, der Reifengröße, des Reifenzustands u.ä.)
Über-sicht
Geschwindigkeit in km/h
Läng
e de
s B
rem
sweg
s in
m
Mathematik denkt weiter.
Geht man von einer quadratischen Beziehung (Zuordnung) zweier Größen (allgemein x und y) aus, lassen sich folgende Varianten unterscheiden:
Über-sicht
y = x² Normalparabel y = a x² y = a x² + c reinquadratische Funktion y = a x² + b x + c gemischtquadratische Funktion in Normalform y = a (x + d)² + e gemischtquadratische Funktion in Scheitelform
mit S(-d|e)
Für die Variablen a, b, c, d und e gilt es nun Zahlenwerte einzusetzen; anschließend kann man jeweils eine Wertetabelle aufstellen und den entsprechenden Graphen zeichnen. Probieren Sie es aus und beobachten Sie Veränderungen!
Mathematik probiert aus.
gemischt-quadratische Funktion: y = ax² + bx + c (Normalform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)
gemischt-quadratische Funktion: y = a (x² + d)² + e (Scheitelform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)
Wasserstrahl (Normalform) (Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)
Wasserstrahl (Scheitelform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)
Über-sicht
Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?
Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen Beziehungen
Lösung quadratischer Gleichungen
Bestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabel
Über-sicht
Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen Beziehungen
zurück
Beispiel:
Bei welchen Seitenmaßen wird die rechteckige Fläche des Kaninchengeheges maximal, wenn für den Zaun 7m zur Verfügung stehen?
Fläche des Geheges: A = x (7-2x) bzw.: A = -2x² + 7x
Somit hat man es mit einer quadratischen Beziehung zu tun.
Betrachtet man A nun als eine von x abhängige Größe, so lässt sich die Beziehung als quadratische Funktion verstehen mit einer Parabel als graphischer Darstellung und dem Scheitelpunkt als Lösung der Problemstellung; seine x-Koordinate gibt das Seitenmaß des Geheges an, für das die Fläche (y-Koordinate) maximal wird.
zeichnerische Lösung rechnerische Lösung
Über-sicht
Kaninchengehege
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 0 1 2 3 4
zeichnerische Lösung
Der Scheitelpunkt lässt sich ablesen: S(1,75|6,125)
D.h.: Bei einer Seitenlänge von 1,75 m ergibt sich eine Fläche von 6,125 m²
A = -2x² + 7x
Wertetabelle
x A
0,0 0,0
0,5 3,0
1,0 5,0
1,5 6,0
2,0 6,0
2,5 5,0
3,0 3,0
3,5 0,0zurück
Über-sicht
Rechnerische Bestimmung des Scheitelpunkts der quadratischen Funktion y = ax² + bx +c
zurück
Über-sicht
Es geht auch noch anders! (Vielleicht einfacher?)
Jede Parabel hat bekanntlich eine Spiegelachse; diese verläuft stets parallel zur y-Achse UND durch den Scheitelpunkt. Somit liegt der Scheitelpunkt zugleich genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen der Parabel - und diese Nullstellen lassen sich rechnerisch per pq-Formel bestimmen (vgl. nächster Abschnitt Quadratische Gleichungen).
Klingt nach einfacher Lösung, hat aber wie vieles Einfache einen „Haken“.
Schon entdeckt?
Hinweis: Hat jede Parabel eine/zwei Nullstelle(n)?!
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Lösung quadratischer Gleichungen
zurück
Grundidee: Die Punkte einer Parabel, die den Wert y = 0 haben, bilden die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form x² + px +q = 0.
zeichnerisch rechnerisch
Beispiel: x2 + 3x – 1,75 = 0(y)
Mit der sog. p-q-Formel lassen sich sämtliche quadratischen Gleichungen der Form x² + px +q = 0 lösen.
Lösung(en) der Gleichung: x1 = -3,5x2 = 0,5
Herleitung der p-q-Formel(mit quadratischer Ergänzung)
22
3
75,12
3
2
3
2/1
2
2/1
x
x
Anwendung der p-q-Formel
Über-sicht
02 qpxx
022
22
q
ppx
qpp
x
22
22
qpp
x
2
22
qpp
x
2
2/1 22
Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Bestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabel
zurück
Kennt man den Scheitelpunkt sowie einen weiteren Punkt der Parabel, kann man deren Funktionsgleichung bestimmen.
Beispiel: ein Kugelstoß
Abstoßhöhe (bei x = 0 m): 1,80 m
Höchster Punkt der Flugbahn: 2,3 m (bei einem Abstand von 4 m)
Lösungsweg:
• Einsetzen der Scheitelpunkt- sowie der Punktkoordinaten in die allgemeine Scheitelform: 1,8 = a (0 – 4)² + 2,3
• Auflösen der Gleichung nach a: a = -0,03125
• ggf. Bestimmung der Normalform durch Umwandlung der Scheitelform y = -0,03125 (x – 4)² + 2,3 in: y = -0,03125x² + 0,25x + 1,8
Die Weite dieses Kugelstoßversuchs lässt sich jetzt sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch (vgl. Lösung quadratischer Gleichungen) bestimmen. (Tipp: Wie groß ist der y-Wert im Punkt des Aufpralls?)
Über-sicht
So behalten Sie den Überblick!
„Wir“ erinnern uns?! Was macht nun die Mathematik
? Mathematik beobachtet und mis
st. Mathematik untersucht. Mathematik denkt weiter, Mathematik probiert aus. Was bringen die Untersuchunge
n der Mathematik?
Lösung quadratischer Gleichungen
Bestimmung der Funktionsgleichung aus gegebenen Punkten
Von der Normalform (y = ax² + bx + c) zur Scheitelform ( y = a (x+d)² +e)
Übersicht quadratische Funktionen
Übersicht quadratische Gleichungen
Ausblick
Ausblick
Über-sicht
Die in diesem Lernprogramm – an dessen Ende Sie jetzt angekommen sind – vorgestellte Methode
von der Beobachtung von Zusammenhängen und Zuordnungen
über Funktionen als mathematische Beschreibung der Realität (Modellbildung)
über die (innermathematische) Weiterentwicklung bis zur (mathematischen) Lösung realer Problem-
stellungen
lässt sich auch auf andere Situationen übertragen.
Mathematische Fortsetzungen sind insbesondere die Exponential-funktionen sowie die Differential- und Integralrechnung – das Abend-gymnasium lässt grüßen!
Übersicht quadratische Funktionen
Über-sicht
Übersicht quadratische Gleichungen
Über-sicht
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