Funktionen 11. Lineare Funktionen

Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden

a. y = 0,5x – 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x – 2 d. 2x + 4y – 5 = 0 e. y = 3x

f. y = – 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 – 6x i. y = – 4 + 5,5x j. y = – 0,5x + 3,5

k. x – 2y + 1 = 0 l. 2x – 2y + 3 = 0 m. 6x – 4y – 14 = 0 n. 14x + 7y = 21 o. 4x + 4y = 0

11.2 Stelle die Funktionsgleichungen der Geraden auf, die durch folgende Angaben gegeben sind :

a. Der Steigungsfaktor ist 4,5, die Gerade schneidet bei –5 die y-Achse. b. Die Gerade läuft durch den Punkt P(-2/3) und schneidet bei 3 die y-Achse. c. Die Gerade läuft durch den Ursprung und den Punkt Q(1/-0,5). d. Die Gerade liegt parallel zur Geraden h: y = 1,5x – 2 und verläuft durch den Punkt P(1/-2). e. Die Gerade schneidet die x-Achse bei x = 5 und die y-Achse bei y = 3. f. Die Gerade verläuft durch die Punkte P(2/-6) und Q(-3/-14). g. Die Gerade verläuft durch die Punkte P(7,5/3,5) und Q(-2/-10).

11.3 Berechne die Steigung(sfaktoren) der Geraden, die folgende Punkte enthalten:

a. P(3/3) und Q(6/9) b. P(-2/-2) und Q(4/1) c. P(-4/5) und Q(2/-3) d. P(-1/5) und Q(9/1) 11.4 Ermittle die Gleichungen der Geraden durch die Punkte:

a. P(1/1) und Q(2/3) b. P(0/2) und Q(2/0)

c. P(-2/2) und Q(2/-2) d. P(1/-4) und Q(-2/-3)

11.5 Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen:

a. y = 0,5x – 0,25 b. y = 3x

c. y = 4 – 6x d. 4x + 4y = 0

e. 2x – 2y + 3 = 0 f. x – 2y + 1 = 0

g. 11x – 2y – 8 = 0 h. x + y = 1

11.6 Bestimme, wenn möglich die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Geraden: a. g: y = 0,5x – 0,25 h: y = 3x b. g: y = 2x – 2 h: 2x + 4y – 5 = 0

c. g: x + y = 3 h: y = –x + 4 d. g: 2x – y + 1 = 0 h: – 4x + 2y – 2 = 0

11.7 Bestimme die Werte für m bzw. t so, dass der jeweils angegebene Punkt auf der Geraden liegt:

a. y = mx +2 P(3/-1) b. y = mx – 3 P(-2/5) c. y = 0,5x + t P(4/-2) d. y = – 1,5x + t P(-1/-2) e. y = mx – 2m P(1/1)

f. y = 0,5mx + 0,5 P(-3/-1) g. y = 1,5x + 4t P(0/2) h. y =

3

1 x + 2t – 1 P(5/4)

i. y = m2

2x −

+ 2 P(-2/4)

11.8 Berechne in Abhängigkeit von m bzw. von t die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen:

a. y = 2mx – 2 b. y = 0,5mx + 1 c. y = 2x – 0,5t d. y = 0,25x + 2,25t 11.9 Berechne die Schnittpunkte der Geraden in Abhängigkeit von a:

a. y = 0,5x – 0,25 y = 2ax b. y = 4 – ax y = – x c. y = 2x – 2 y = ax + 1,25 d. y = 2x + 0,5a y = – 4x – a

5

Funktionen 12. quadratische Funktionen 12.1 Die rein quadratische Funktion: f(x) = x2 bzw. f(x) = ax2 mit a ∈ �. Der Scheitelpunkt liegt bei S(0/0) Bedeutung des Parameters a: �∞ < a < –1: enger als NP und nach unten offen a = –1: NP nach unten offen –1 < a < 0: breiter als NP und nach unten offen a = 0: keine Parabel 0 < a < 1: breiter als NP und nach oben offen a = 1: Normalparabel (NP) 1 < a < ∞: enger als NP und nach oben offen 12.2 Die Funktionen: f(x) = ax2 + c Der Scheitelpunkt liegt bei S(0/c) Bedeutung des Parameters c: Der Wert von c entspricht einer Verschiebung der Parabel in y-Richtung 12.3 Die allgemeine quadratische Funktion f(x) = ax2 + bx + c

Der Scheitelpunkt hat die Abszisse (= x-Koordinate): xS = � ���.

Die y-Koordinate von S wird berechnet, indem man die x-Koordinate in f einsetzt. 12.4 Beispiele:

a. f(x) = x2 – 2x + 3; S(1/2); noo b. f(x) = x2 + 4x – 2; S(–2/–6); noo c. f(x) = 0,5x2 + x + 1; S(–1/0,5); noo d. f(x) = 0,25x2 – 2x; S(4/–4); noo e. f(x) = –x2 – 2x + 1; S(–1/2); nuo

f. f(x) = –0,25x2 + 3x – 4; S(6/5); nuo g. f(x) = 0,5x2 + bx + 2; S(-b/-0,5b2+2); noo h. f(x) = ax2 – x – 2; S(

��� ; �� � 2 ; (a?!)

i. f(x) = x2 – x + c; S(0,5/-0,25+c) noo

12.5 Scheitelpunktform: f(x) = a(x - xS)

2 + yS Berechnung von xS siehe oben (12.3)

z.B.: a. f(x) = 0,5(x – 4)2 – 4 ⇒Parabel ist noo und breiter als NP (wegen der Zahl 0,5) und nach rechts

und nach unten verschoben; der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(4/-4) (Vorsicht: Für xS-Wert anderes für yS-Wert gleiches Vorzeichen!) sie hat genau 2 Nullstellen (da noo und S unterhalb der x-Achse)

b. f(x) = –3

1 (x + 1)2 + 1 ⇒ Parabel ist nuo und breiter als NP (wegen der Zahl 31

− ) und nach links und

nach oben verschoben, mit S(-1/1); genau zwei Nullstellen (da nuo und S oberhalb der x-Achse)

Funktionen 12.6 Parabel durch drei Punkte: Durch drei Punkte A, B und C, die nicht auf einer Geraden liegen, ist eine Parabel eindeutig festgelegt. Der Funktionsgleichung lautet allgemein: f(x) = ax2 + bx + c. Da jeder der Punkte A, B und C auf der Parabel liegen sollen, müssen ihre Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen, d. h. man setzt den x-Wert für x ein und erhält den f(x)-Wert (=y-Wert). Der Funktionsterm wird berechnet, indem man ein lineares Gleichungssystem (3 X 3) mit drei Gleichungen und drei Unbekannten löst. z.B.: Parabel durch die Punkte A(1/2), B(-2/11) und C(3/6) ergibt folgendes Gleichungssystem: ax2 + bx + c = y A ∈ Parabel ⇒ f(1) = 2 I a + b + c = 2 B ∈ Parabel ⇒ f(-2) = 11 II 4a – 2b + c = 11 C ∈ Parabel ⇒ f(4) = 3 III 9a + 3b + c = 6 Mögliche Lösung(sart): Aus I: a = 2 – b – c In II: 4(2 – b – c) – 2b + c = 11 ⇒8 – 4b – 4c – 2b + c = 11 � -3c = 6b + 3 ⇒ c = -2b – 1 In a eingesetzt: a = 2 – b –(-2b – 1) ⇒ a = b + 3 a und c in III: 9(b + 3) + 3b + (-2b – 1) = 6 ⇒ 9b + 27 + 3b – 2b – 1 = 6 ⇒ b = -2 b in a und in c: c = -2(-2) – 1 = 3 a = 2 –(-2) – 3 = 1 also: f(x) = x2 – 2x + 3 oder auch (Gaussverfahren): a b c

�� � �� �� �� � ������ �

����∙������� � �� �� ��� � � ����������∙�������� � �� �� ��� �� � �

������������������ � �� �� ��� � �!�

����!� ⇒⇒⇒" # $ # % & 2�6$ � 3% & 3�5% & �15

⇒ % & 3

⇒ $ & �2

⇒ " & 1

12.7 Übungen • Gib die Koordinaten des Scheitelpunkts an, beschreibe die Eigenschaften der Parabel und zeichne sie: a. f(x) = 1,5(x – 2)2 – 1 b. f(x) = -0,75(x + 1)2 + 2

c. f(x) = 0,8x2 – 4 d. f(x) = -1,6(x + 1)2 + 1

• Ermittle die Scheitelpunktform: e. f(x) = 1,5x2 – 6x + 5 f. f(x) = -0,75x2 – 1,5x + 1,25

g. f(x) = 0,5x2 – 4x + 4 h. f(x) = -1,6x2 – 3,2x – 0,6

• Berechne die Nullstellen von und zeichne die zugehörige Parabel i. f(x) = 0,5x2 – 0,5x – 1 j. f(x) = -0,25x2 – 0,5x + 1,5

k. f(x) = 2,5x2 + 4x – 2 l. f(x) = -0,4x2 + x + 1,875

• Überprüfe rechnerisch und zeichnerisch, ob sich die Graphen der Funktionen f und g schneiden oder

berühren und ermittle gegebenenfalls die Koordinaten der Schnittpunkte m. f(x) = x2 + x + 1 g(x) = x + 2 n. f(x) = 0,5x2 – x – 2 g(x) = -0,5x-1

o. f(x) = -0,25(x2 +4x – 12) g(x) = 0,25(x+4)2 – 1 p. f(x) = 1,5x2 – 6x + 5 g(x) = -0,5x2 – 2x + 3

• Parabel durch drei Punkte q. A(-6/0) B(-4/3) C(0/3) r. A(1/-1) B(2/0) C(-3/5)

s. A(0/1) B(1/3) C(2/7) t. A(2/-1) B(4/5) C(6/23)

• Ermittle die Anzahl der Nullstellen ohne sie zu berechnen: u. f(x) = 2x2 – 4x + 2 v. f(x) = -x2 – 3x – 1

w. f(x) = -0,5x2 + 2x – 3

Funktionen Lösungen 11.1

2.Teil

Funktionen Lösungen:

11.2 a) y= 4,5x – 5 b) y = 3 c) y = –0,5x d) y = 1,5x – 3,5

e) y = –0,6x + 3 f) y = 1,6x – 9,2 g) y = �+�, - � �.

�,

11.3 a) m = 2 b) m = 0,5 c) m = � � d) m = –0,4

11.4 a) y = 2x – 1 b) y = –x + 2 c) y = –x d) y = � � - � ��

11.5 a) Sx(0,5/0) Sy(0/–0,25) b) Sx(0/0) = Sy c) Sx(�/0) Sy(0/4) d) Sx(0/0) = Sy

e) Sx(–1,5/0) Sy(0/1,5) f) Sx(–1/0) Sy(0/0,5) g) Sx( 118 /0) Sy(0/–4) h) Sx(1/0) Sy(0/1)

11.6 a) S(-0,1/-0,3) b) S(1,3/0,6) c) keine Lsg., da parallel d) g, h identisch ⇒ ∞ viele Lsg.

11.7 a) m = –1 b) m = –4 c) t = –4 d) t = –3,5 e) m = –1 f) m = 1

g) t = 0,5 h) t = / i) m = –1

11.8 a) Sx(�0/0) Sy(0/-2) b) Sx(� �

0/0) Sy(0/1) c) Sx(0,25t/0) Sy(0/–0,5t) d) Sx(9t/0) Sy(0/2,25t)

11.9 a) S1 ���2� ; �

����3 b) S1 ���� ; � �

���3 c) S1 �2��� ; ��4/����3 d) S1� �54�6

��� ; �5�/� 3

12.7 a) S(2; –1) noo; enger als NP; 2 Nst. b) S(–1; 2) nuo; breiter als NP; 2Nst. c) S(0; –4) noo; breiter als NP; 2 Nst. d) S(–1; 1) nuo; enger als NP; 2 Nst.

e) S(2; –1) y = 1,5(x – 2)2 + 1 f) S(–1; 2) y = –0,75(x + 1)2 + 2 g) S(4; –4) y = 0,5(x – 4)2 – 4 h) S(–1; 4,2) y = –1,6(x + 1)2 + 4,2

i) -�/� & 6,/9:6,�/��∙6,/∙;�� �∙6,/ -� & 2;-� & �1 j) -� & �1 � √6;-� & �1# √6

k) -� & 0,4;-� & �2 l) -� & 3,75;-� & �1,25

m) -� # - # 1 & - # 2; -� � 1 & 0; -� & 1; -@A & �1;-@5 & 1 B�;�1; 1 ;B�;1; 3 n) 0,5-� � - � 2 & �0,5- � 1; 0,5-� � 0,5- � 1 & 0; -@A & �1;-@5 & 2 B�;�1;�1,5 ;B�;2;�2 o) �0,25;-� # 4- � 12 & 0,25;- # 4 � � 1; 2-� # 12- & 0; -@A & �6;-@5 & 0 B�;�6; 0 ;B�;0; 3 p) 1,5-� � 6- # 5 & �0,5-� � 2- # 3; 2-� � 4- # 2 & 0; 2;- � 1 � & 0; -@A/@5 & 1 B�/�;1; 0,5

q) CCCCCC36" � 6$ # % & 016" � 4$ # % & 3% & 3 ⇒ D;- & �0,25-� # - # 3

r) CCCCCC" # $ # % & �14" # 2$ # % & 09" � 3$ # % & 5 ⇒ D;- & 0,5-� � 0,5- � 1

s) CCCCCC% & 1" # $ # % & 34" # 2$ # % & 7 ⇒ D;- & -� # - # 1

t) CCCCCC4" # 2$ # % & �116" # 4$ # % & 536" # 6$ # % & 23 ⇒ D;- & 1,5-� � 6- # 5

u) S(1; 0) Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse ⇒ eine (doppelte) Nullstelle v) S(–1,5; 1,25) S oberhalb der x-Achse und Parabel nuo ⇒ zwei einfache Nullstellen w) S(2; –1) S unterhalb der x-Achse und Parabel nuo ⇒ keine Nullstelle