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Steigung und lineare Funktionen

1. Der Begriff der Steigung

Zur Anzeige wird der QuickTime™ Dekompressor „TIFF (Unkomprimiert)“

benötigt.

In England werden Steigungen und Gefälle von Strassen als Verhältnisse angegeben.

Steigung einer Rampe, einer Strasse, einer Bahn...


benötigt.


benötigt.

Bestimmen Sie die Steigung derRampe und der beiden Seilbahnen.

Steigung; Steigungsdreiecke


benötigt.

500m1000m 1000m500m

m = 2/10 = 1/5

m = 500 / 1000 = 1 / 2 m = -500 / 1000 = -1 / 2

m = 550 / 2200 = 1/4

-

Positive und negative Steigung

500m1000m1000m-500mn.r.n.r.n.o.n.u.

m==HöhenunterschiedHorizontalunterschied=∆y∆xn.r.n.o. / n.u.

Nehmen Sie ein allfälligesMinuszeichen in den Zähler

Bergfahrt

Talfahrt

n.r. = „nach rechts“, n.o. = „nach oben“, n.u. = „nach unten“

Definition der Steigung

=∆y∆xn.r.n.o. / n.u.m

Nehmen Sie ein allfälliges Minuszeichenin den Zähler!

yx∆y∆x

Steigungsdreiecke in Anwendungen

Schiefe Ebene mit Steigung (4/10) = 0.4 = 40%:

•gebogen als Serpentinenstrasse•aufgewickelt als Schraubenlinie•sich selbst durchdringend als Kehrtunnel

yx∆y∆x

Die Steigung von Geradenstücken bestimmen

yx16-616-1-6-1ABCDEF

Die Steigung von Geradenstücken bestimmen


Lösungen:

3/2 = 1.5

7/5 = 1.4

-1/7

-1/5 = -0.2

-3/1 = -3

2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A bis F


2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem

Lösungen:

A(2 | -1)B(4 | 2)C(1 | 5)D(-4 | 6)E(-3 | 3)F(-4 | -2)

yx16-616-1-6-1ABCDEF1. Quadrant2. Quadrant4. Quadrant3 Quadrant

3. Gesetzmässigkeiten zwischen x- und y-Koordinate

a) Welche Gesetzmässigkeit besteht zwischen der x- und der y-Koordinate bei folgenden Punkten?

(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1)

b) Tragen Sie diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.


benötigt.

(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1)Gesetz: y = 2x + 1

Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden g.Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung nicht erfüllen, liegen nicht auf g.

Das Funktions-gesetz

y = 2x + 1

ist gewisser-massen der „Member-Code“für die Mitglied-schaft einesPunktes P(x | y)bei der rosa gezeichnetenGeraden g.

(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (5 | 11), (-1 | -1)Gesetz: y = 2x + 1. Steigung 2, y-Achsenabschnitt 1.

yx16-66-1-6-1m = 2/1 = 2(0|1)

4. Funktionen: Funktionsgleichung, Wertetabelle, Graph einer Funktion

Eine Funktion f: y = f(x) ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. y = f(x) ist die Funktionsgleichung, d.h. das „Gesetz“, das zwischen x-und y-Koordinate gelten soll.

Beispiel: Funktionsgleichung:Zur Anzeige wird der QuickTime™

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a) Erstellen Sie eine Wertetabelle:

x | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ------------------------------------------------------------y |

b) Zeichnen Sie obige Punkte in ein Koordinatensystem ein.Verbinden Sie die gezeichneten Punkte zum Graphen der Funktion f.

Wie sieht dieser Graph aus?

x | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ---------------------------------------------------------------y | 0 2.6 3.5 3.9 4 3.9 3.5 2.6 0


benötigt.

Der Graph stellt einen Halbkreis dar.

Bemerkung:Als x-Werte kommen hier nur Werte zwischen -4 und +4 in Frage. Man sagt, die Funktion habe den Definitions-bereich [-4; 4].Die y-Werte bewegensich nur zwischen 0 und 4.Man sagt, die Funktion habeden Wertebereich [0; 4].

5. Lineare Funktionen: y = m x + q oder y = a x + b

Zeichnen Sie die Graphen folgender linearer Funktionen:


benötigt.Zur Anzeige wird der QuickTime™


Hinweis zu den letzten beiden Aufgaben:

Lösungen


benötigt.


benötigt.

Erkenntnisse:


benötigt.


benötigt.

y = m x + q

m = Steigungszahlq = y-Achsenabschnitt = y-Koordinate des Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse.

Wie zeichnen wir lineare Funktionen aus der gegebenenFunktionsgleichung, ohne eine Wertetabelle erstellen zumüssen?

Beispiel:Zur Anzeige wird der QuickTime™


1. Schritt: Steigungszahl als Bruch notieren:


benötigt.

2. Schritt: Start beim Schnittpunkt mit der y-Achse, d.h. bei Q(0 | 5):

3. Schritt: Steigungsdreieckzeichnen: 5 nach rechts,2 nach unten.Gerade g fertig zeichnen.

6. Zusammenfassung

Lineare Funktion: y = m x + q oder y = a x + b

Dies stellt eine Gesetzes-Beziehung zwischen der x-Koordinate und dery-Koordinate der einzelnen Punkte dar. y heisst deshalb „gebundene Variable“. y ist durch das Funktionsgesetz von x abhängig.

Der Graph einer linearen Funktion y = m x + q ist eine Gerade mit Steigungs- zahl m und y-Achsenabschnitt q, d.h. mit y-Achsen-Schnittpunkt Q(0 | q).

Genau die Punkte P(x | y), deren Koordinaten das Funktionsgesetz erfüllen („Member-Code“), liegen auf dem Graphen der Funktion.

m=∆y∆xSteigung

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