proporcionalidad numérica
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1
Proporcionalidad numérica
Una de las expresiones de la proporcionalidad, los porcentajes, es de uso generalizado en el mundo actual, para relativizar en una escala simple las
diversas magnitudes, como ocurre, por ejemplo, en las multas por exceso de velocidad.
Una razón entre dos números, a y b, es el cociente .
Razón y proporción
Una proporción es la igualdad entre dos razones.
La razón entre a y b es
La razón entre c y d es
En esta proporción, a y d se llaman extremos, y b y c son los medios.
proporción una forman d y ,,b
a cba
d
cSi
b
a
Llamamos constante, o constante de proporcionalidad, de una proporción al cociente de cualquiera de sus razones.
b
a
d
c
Ejemplo:
a)x
4
15
3
b)x
6
7
2
Cálculo del término desconocido
En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios.
Término desconocido de una proporción
cbdad
c
b
a
Ejemplo:
a)x
4
15
3 20
3
60 x0,63x ,4153 x
b)x
6
7
2
Cálculo del término desconocido
En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios.
Término desconocido de una proporción
cbdad
c
b
a
Ejemplo:
a)x
4
15
3 20
3
60 x0,63x ,4153 x
b)x
6
7
2 21
2
42 x,422x ,672 x
Cálculo del término desconocido
En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios.
Término desconocido de una proporción
cbdad
c
b
a
En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios.
Término desconocido de una proporción
cbdad
c
b
a
Por ejemplo:a)
10
8 y
12
44040 ,812104
Sí son proporción.
4
7 y
5
2538 ,7542
No son proporción.
b)
Magnitudes directamente proporcionalesUn coche gasta de media 10 litros cada 125 km. Comprobamos si las magnitudes distancia (kilómetros) y gasolina (litros) son magnitudes directamente proporcionales.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número.
Magnitudes directamente proporcionalesUn coche gasta de media 10 litros cada 125 km. Comprobamos si las magnitudes distancia (kilómetros) y gasolina (litros) son magnitudes directamente proporcionales.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número.
DISTANCIA 125 250 500 1.000
GASOLINA 10 20 40 80
Magnitudes directamente proporcionalesUn coche gasta de media 10 litros cada 125 km. Comprobamos si las magnitudes distancia (kilómetros) y gasolina (litros) son magnitudes directamente proporcionales.
Al formar series de razones iguales de ambas magnitudes, la constante siempre es la misma:
Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número.
DISTANCIA 125 250 500 1.000
GASOLINA 10 20 40 80
Magnitudes directamente proporcionalesUn coche gasta de media 10 litros cada 125 km. Comprobamos si las magnitudes distancia (kilómetros) y gasolina (litros) son magnitudes directamente proporcionales.
Al formar series de razones iguales de ambas magnitudes, la constante siempre es la misma:
5,1280
000.1
40
500
20
250
10
125
Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número.
DISTANCIA 125 250 500 1.000
GASOLINA 10 20 40 80
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Problemas de magnitudes directamente
proporcionalesUna máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos?
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Problemas de magnitudes directamente
proporcionalesUna máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos?
TORNILLOS 800 1.600 2.400 …
HORAS 5 10 15 …
1610
600.1
5
800
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Problemas de magnitudes directamente
proporcionalesUna máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos?
TORNILLOS 800 1.600 2.400 …
HORAS 5 10 15 …
1610
600.1
5
800
Las magnitudes son directamente proporcionales.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Problemas de magnitudes directamente
proporcionalesUna máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos?
TORNILLOS 800 1.600 2.400 …
HORAS 5 10 15 …
1610
600.1
5
800
Las magnitudes son directamente proporcionales.
Formamos una proporción y calculamos el valor desconocido:
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Problemas de magnitudes directamente
proporcionalesUna máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos?
TORNILLOS 800 1.600 2.400 …
HORAS 5 10 15 …
1610
600.1
5
800
Las magnitudes son directamente proporcionales.
Formamos una proporción y calculamos el valor desconocido:
horas 25,6800
5.000x 000.15x800
5
000.1
800
x
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Problemas de magnitudes directamente
proporcionalesUna máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos?
TORNILLOS 800 1.600 2.400 …
HORAS 5 10 15 …
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número.
Magnitudes inversamente proporcionalesUn barco de pesca de 12 tripulantes tiene víveres y alimentos para navegar 70 días. Si en un puerto se añaden 12 tripulantes, ¿Cuántos días durarán los víveres?
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número.
Magnitudes inversamente proporcionales
Tripulantes 12 24
Días 70 x
Un barco de pesca de 12 tripulantes tiene víveres y alimentos para navegar 70 días. Si en un puerto se añaden 12 tripulantes, ¿Cuántos días durarán los víveres?
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número.
Magnitudes inversamente proporcionales
Tripulantes 12 24
Días 70 x
Un barco de pesca de 12 tripulantes tiene víveres y alimentos para navegar 70 días. Si en un puerto se añaden 12 tripulantes, ¿Cuántos días durarán los víveres?
Al aumentar el número de los tripulantes un cierto número, disminuyen los días de alimento en el mismo número.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número.
Las magnitudes son inversamente proporcionales.
Magnitudes inversamente proporcionales
Tripulantes 12 24
Días 70 x
Un barco de pesca de 12 tripulantes tiene víveres y alimentos para navegar 70 días. Si en un puerto se añaden 12 tripulantes, ¿Cuántos días durarán los víveres?
Al aumentar el número de los tripulantes un cierto número, disminuyen los días de alimento en el mismo número.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número.
Las magnitudes son inversamente proporcionales.
3524
840x 247012
7024
12 x
x
Magnitudes inversamente proporcionales
Tripulantes 12 24
Días 70 x
Un barco de pesca de 12 tripulantes tiene víveres y alimentos para navegar 70 días. Si en un puerto se añaden 12 tripulantes, ¿Cuántos días durarán los víveres?
Al aumentar el número de los tripulantes un cierto número, disminuyen los días de alimento en el mismo número.
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Problemas de magnitudes inversamente proporcionales
Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h?
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Problemas de magnitudes inversamente proporcionales
Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h?
VELOCIDAD 100 200 300 …
TIEMPO 3 1,5 1 …
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
30013005,12001003
Problemas de magnitudes inversamente proporcionales
Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h?
VELOCIDAD 100 200 300 …
TIEMPO 3 1,5 1 …
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
30013005,12001003
Las magnitudes son inversamente proporcionales.
Problemas de magnitudes inversamente proporcionales
Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h?
VELOCIDAD 100 200 300 …
TIEMPO 3 1,5 1 …
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
30013005,12001003
Las magnitudes son inversamente proporcionales.
Formamos una proporción inversa y calculamos el valor desconocido:
Problemas de magnitudes inversamente proporcionales
Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h?
VELOCIDAD 100 200 300 …
TIEMPO 3 1,5 1 …
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
30013005,12001003
Las magnitudes son inversamente proporcionales.
Formamos una proporción inversa y calculamos el valor desconocido:
horas ...333,390
300x 903100
390
100 x
x
Problemas de magnitudes inversamente proporcionales
Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h?
VELOCIDAD 100 200 300 …
TIEMPO 3 1,5 1 …
PorcentajePara calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100.
CCdet 100
t %
EXPRESIÓN % SIGNIFICA FRACCIÓN VALOR SE LEE
El 0,55 de la población son mujeres 55%
De cada 100 habitantes 55 son mujeres0,55
Cincuenta y cinco por ciento
Efectividad en tiros de dos puntos del 9% 9%
De cada 100 tiros lanzados se encestan 90,09 Nueve por ciento
Rebajas del 30%30%
De cada 100 euros de compra nos descuentan 30 euros 0,3 Treinta por ciento
100
55
100
30
100
9
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:Dos amigos han tirado con arco varias veces en
dos torneos. Los resultados son:TIRADOR FLECHAS ACIERTOS
PRIMER TORNEO Pepe 10 8
Jesús 16 12
SEGUNDO TORNEO Pepe 36 12
Jesús 20 4
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:Dos amigos han tirado con arco varias veces en
dos torneos. Los resultados son:TIRADOR FLECHAS ACIERTOS
PRIMER TORNEO Pepe 10 8
Jesús 16 12
SEGUNDO TORNEO Pepe 36 12
Jesús 20 4
En el primer torneo, los porcentajes de aciertos
fueron:
En el segundo torneo, los porcentajes de aciertos
fueron:
%7575,016
12 :Jesús
%8080,010
8 :Pepe
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:Dos amigos han tirado con arco varias veces en
dos torneos. Los resultados son:TIRADOR FLECHAS ACIERTOS
PRIMER TORNEO Pepe 10 8
Jesús 16 12
SEGUNDO TORNEO Pepe 36 12
Jesús 20 4
En el primer torneo, los porcentajes de aciertos
fueron:
En el segundo torneo, los porcentajes de aciertos
fueron:
%7575,016
12 :Jesús
%8080,010
8 :Pepe
%2020,020
4 :Jesús
%3333,036
12 :Pepe
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:Dos amigos han tirado con arco varias veces en
dos torneos. Los resultados son:TIRADOR FLECHAS ACIERTOS
PRIMER TORNEO Pepe 10 8
Jesús 16 12
SEGUNDO TORNEO Pepe 36 12
Jesús 20 4
En el primer torneo, los porcentajes de aciertos
fueron:
En el segundo torneo, los porcentajes de aciertos
fueron:
En cada uno de los torneos, Pepe tiene un porcentaje mayor de aciertos que Jesús.
%7575,016
12 :Jesús
%8080,010
8 :Pepe
%2020,020
4 :Jesús
%3333,036
12 :Pepe
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:
flechas 463610
¿Qué ocurre si consideramos los datos globalmente?
Pepe lanzó en total:
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:
Y consiguió acertar:
flechas 463610
aciertos 20128
¿Qué ocurre si consideramos los datos globalmente?
Pepe lanzó en total:
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:
Y consiguió acertar:
flechas 463610
aciertos 20128
Su porcentaje global de aciertos fue:
%4343,046
20
¿Qué ocurre si consideramos los datos globalmente?
Pepe lanzó en total:
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:
Y consiguió acertar:
flechas 463610
aciertos 20128
Su porcentaje global de aciertos fue:
%4343,046
20
flechas 362016
¿Qué ocurre si consideramos los datos globalmente?
Pepe lanzó en total:
Jesús lanzó en total:
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:
Y consiguió acertar:
flechas 463610
aciertos 20128
Su porcentaje global de aciertos fue:
%4343,046
20
Y consiguió acertar:
flechas 362016
aciertos 16412
¿Qué ocurre si consideramos los datos globalmente?
Pepe lanzó en total:
Jesús lanzó en total:
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:
Y consiguió acertar:
flechas 463610
aciertos 20128
Su porcentaje global de aciertos fue:
%4343,046
20
Y consiguió acertar:
flechas 362016
aciertos 16412
Su porcentaje global de aciertos fue:
%4444,036
16
¿Qué ocurre si consideramos los datos globalmente?
Pepe lanzó en total:
Jesús lanzó en total:
Problemas de porcentajeParadojas con porcentajes:
Y consiguió acertar:
flechas 463610
aciertos 20128
Su porcentaje global de aciertos fue:
%4343,046
20
Y consiguió acertar:
flechas 362016
aciertos 16412
Su porcentaje global de aciertos fue:
%4444,036
16
Se produce la paradoja de que es Jesús quien tiene mayor porcentaje de aciertos.
¿Qué ocurre si consideramos los datos globalmente?
Pepe lanzó en total:
Jesús lanzó en total:
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