proporcionalidad geométrica
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PROPORCIONALIDAD
GEOMÉTRICA
MATEMÁTICAS 2º ESO
¿QUÉ VAMOS A VER?
1.- Segmentos en el plano y segmentos proporcionales.
4.- Escalas
2.- Teorema de Tales
3.-Semejanza de triángulos. Criterios y triángulos en Posición de tales. Aplicaciones
1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS 1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS PROPORCIONALESPROPORCIONALES
1.1 Definiciones
1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS 1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS PROPORCIONALESPROPORCIONALES
1.2 Razón de dos segmentos
1.3 Segmentos proporcionales
C
D
F
E
A
B
L1
L2
L3
2. Teorema de Thales
Sean L1 // L2 // L3, entonces:
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse:
a) Forma de Escalera:
Sean L1 // L2, entonces:
L1
L2
A
C
B
O
D
AOOD
BOOC
= ABCD
AOOD
= ABCD
BOOC
=
c) Forma de Reloj de Arena:
C
A’
C’
B’
A
B
2. Ejemplosa) Forma de Escalera:
3 cm 2 cm
4 cm
b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:
Calcula las longitudes que faltan en el dibujo
A
O
C
D
B
L1
L2
5 cm 4 cm 10 cm
y
x
b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:
Calcula la longitud que falta en el dibujo
O
A
B
A’ B’
1,5 cm
3 cm
2 cm
Calcular las longitudes de los segmentos BO y CD
L1
L2
A
C
B
O
D
AOOD
BOOC
=
ABCD
AOOD
=
ABCD
BOOC
=
c) Forma de Reloj de Arena:
7 cm
3 cm1,5 cm
15 cm
3. Semejanza de triángulos3.1 Triángulos semejantes
A A’
B B’
C C’
3.2 Triángulos en posición de TalesDos triángulos están en posición de tales si: - Tienen un ángulo en común - Los lados opuestos al ángulo común son paralelos
Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes
A B
C
D
F
A
C
B D
F
E
3.2 Criterios de semejanzas de triángulosExisten tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes
PRIMER CRITERIO: Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son SEMEJANTES si tienen sus lados proporcionales
Ejemplo:
48
510
36
Dos triángulos son semejantes si dos ángulos son iguales
A B
C
E
F
D
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.
SEGUNDO CRITERIO: ángulo, ángulo (A.A.)
Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales
A B
C
E
F
D
2,5
5
5
10
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF semejantes
TERCER CRITERIO: Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
Ejemplos Triángulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
5
3
15
94
12
Son semejantes aplicando el primer criterio
ABDE
BCEF
ACDF
13
= = = = k
P
Q
R
A B
C
Ejemplos Triángulos Semejantes
Ejemplo:
4
5
8
10
Son semejantes, según el tercer principio, es decir: El ángulo A y el R son iguales y miden 90º Dos de sus lados son proporcionales
3.3 Aplicaciones de la semejanza de triángulos
La semejanza de triángulos, la aplicaremos para resolver muchas situaciones reales. Como por ejemplo: la altura de un árbol o un edificio, la sombra que se proyecta…..
3.3 Aplicaciones de la semejanza de triángulos
3.3 Aplicaciones de la semejanza de triángulos
4. ESCALAS
Tipos de escalas
2:1
1:2
EJEMPLOS ESCALAS
1:50Calcula las dimensiones reales de la habitación.
1 50
20 x
D
x= 1000 cm= 10 m de largo
D
1 50
18,5 x
x= 925 cm = 9,25 m de ancho
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