ﯽﺋاﺮﮕﻤﻫ ﯽﺳرﺮﺑ...

Advanced Numerical Methods 103

بررسی همگرائی:ارددوجودهمگراییمعیارتعیینبرايمختلفیهايروش

Advanced Numerical Methods 104

معادالت سهمويParabolic Equations

Advanced Numerical Methods 105

مقدمه

هدایتحرارتانتقالمسالهنوعیکروبروشکل.دهدمینشانرادائمغیر

شرط اولیه

شروط مرزي

xxt TT α=

Advanced Numerical Methods 106

مقدمهمجزاسازيروشبامسالهتحلیلیحل

.آیدمیبه دستمتغیرهاردرادماتوزیعتوانمیآنازاستفادهبا.آوردبه دستلحظههر

Advanced Numerical Methods 107

مقدمه

شکل کلی معادله سهموي

Advanced Numerical Methods 108

مقدمهآن هارایجنوعدو.داردوجودسهمويمعادالتبامهندسیدرزیاديمسائلDiffusion

EquationsوAdvection-Diffusion Equationsهستند.

استاولیهشرطیکبهنیازمسائلایندر.

بهمسائلاینinitial-boundary value problemهستندمعروف.

xxxt

xxtfuff

ffα

α=+

=

Advanced Numerical Methods 109

اصول مقدماتیازهمسالشودمیمشاهدهشکلدرکههمان طورسهمويجزئیمشتقاتدیفرانسیلمعادالتحلدر.ودشمیانجامزمانیجهتدربرداشتنگامبامعادالتحلواقعدر.استباز)زماناینجادر(سمتیکنقطهحلPگامدرn+1گامدراطرافنقاطسایربهوابستهتواندمیn+1یاnاینبر.باشد

:داردوجودرویکرددواساس1-Implicit)ضمنی(2-Explicit)صریح(

Advanced Numerical Methods 110

اصول مقدماتی

Explicit

Implicit

وشرازسریع ترکلیبه طورصریحروشاهدستگحلبهنیاززیرا.استضمنی

مشکلهاروشایناما.نداردمعادالت.دارنددنبالبهراعدديخطايانتشار

Advanced Numerical Methods 111

روش اختالف محدود

به صورترازیرموارد.دهدمینشانسهمويمسالهیکبرايرامحاسباتیناحیهزیرشکل:کنیدفرضقراردادي

Advanced Numerical Methods 112

روش اختالف محدود

ی شودماستفادهجلوبهروزمانیاولمرتبهتقریباززمانیمشتقگسسته سازيبراي:

.زدتقریبزیربه صورتراiنقطهدرمکانیدوممرتبهمشتقمحدود،اختالفتقریبباتوانمی.شودمحاسبهnزمانیگامازتقریب هاکهاستاینبرفرض

:کنیممیجایگزیناصلیمعادلهدرراآمدهبه دستتقریبمقادیر

tfff

ni

nin

it ∆−

=+1

211 2

xffff

ni

ni

nin

ixx∆

+−= −+

Advanced Numerical Methods 113

روش اختالف محدود

Diffusion(نفوذعدد Number(

.شودمیشناختهزیرعنوانباتقریباینForward Time Central Space (FTCS)

دهد؟بندي را نشان میاین رابطه چه نوع فرمول

Explicit

211

1 2x

ffft

ff ni

ni

ni

ni

ni

∆

+−=

∆− −+

+α

( )ni

ni

ni

ni

ni fffdff 11

1 2 −++ +−+=

2xtd ∆∆= α

Advanced Numerical Methods 114

روش اختالف محدودفرضبارامسالهاین.بگیریدنظردرراقبلمسالهdکنیممیحل)مختلفزمانیگام(متفاوت..آیدمیبه دستزیرجواب هايحالت،دوایندر

:پایداريشرط

Advanced Numerical Methods 115

روش اختالف محدودNumerical(عددياطالعاتتوزیع Information Propagation(روشدرFTCSزیربه صورت:است

.استنفوذعددبهوابستهعدديروشاطالعاتتوزیعکهدهدمینشانفوقرابطه

.استO(Δx2)وO(Δt)ازروشایندرخطامقدارConditionally(استپایدارشرایطیتحتروشاین Stable(.

کند؟ر میبا کوچک شدن اندازه شبکه براي برقراري شرط پایداري، گام زمانی چگونه تغییاین روش پایدار است؟d ≤0.5با توجه به فرموالسیون روش، به نظر شما چرا براي

( ) ( ) ni

ni

ni

ni fdffdf 2111

1 −++= −++ :پایداريشرط

Advanced Numerical Methods 116

)Implicit(روش ضمنی

ی شودماستفادهعقببهروزمانیاولمرتبهتقریباززمانیمشتقگسسته سازيبراي:

.زدتقریبزیربه صورتراiنقطهدرمکانیدوممرتبهمشتقمحدود،اختالفتقریبباتوانمی.شودمحاسبهn+1زمانیگامازتقریب هاکهاستاینبرفرض

:کنیممیجایگزیناصلیمعادلهدرراآمدهبه دستتقریبمقادیر

tfff

ni

nin

it ∆−

=+

+1

1

2

11

1111 2

xffff

ni

ni

nin

ixx∆

+−=

+−

++++

Advanced Numerical Methods 117

روش اختالف محدود

.ودشحلدستگاهبایدزمانیگامهربرايروشایندر-هدستگابراي)بودنقطريمسلط(اسکاربروشرط-

.استصادقاستپایدارشرط،وقیدبدونروشاین-

)Unconditionally Stable(.

Implicit

2

11

111

1 2x

ffft

ff ni

ni

ni

ni

ni

∆

+−=

∆− +

−++

++

α

( ) ni

ni

ni

ni fdffddf =−++− +

+++

−1

111

1 212xtd ∆∆= α

Advanced Numerical Methods 118

Crank-Nicolsonروش در این روش، ابتدا با تقریب مرتبه دوم مرکزي براي ترم زمان در نقطهn+1/2 مقدار مشتق زمانی

.زنیمرا تقریب می

نقطهدرمکانیدوممرتبهمشتقمحدود،اختالفتقریبباتوانمیiزدتقریبزیربه صورترا..شودمحاسبهn+1/2زمانیگامازتقریب هاکهاستاینبرفرض

:کنیممیجایگزیناصلیمعادلهدرراآمدهبه دستتقریبمقادیر

( )22

121

tfff

ni

nin

it ∆−

=+

+

( )nixx

nixx

nixx fff += ++ 121

21

.باشدمی2مرتبهازدوهرمکانیوزمانیجمله هايدقتروشایندر-

Advanced Numerical Methods 119

Crank-Nicolsonروش

.استO(Δx2)وO(Δt2)ازروشایندرخطامقدار-.استصادقمعادالتدستگاهبراي)بودنقطريمسلط(اسکاربروشرط-.باشدd ≤1بایدفیزیکیجوابیبهدست یابیبراياما.استپایدارشرط،وقیدبدونروشاین-

( ) ( ) ni

ni

ni

ni

ni

ni dffddfdffddf 11

11

111 2222 +−

++

++− +−+=−++−

Advanced Numerical Methods 120

:5تمرین سري

هاي مشخص شده از کتاب فوقتمرین

Numerical Method for Engineers and ScientistsJ.D HoffmanISBN: 0824704436Publisher: Marcel Dekker, Inc.Pub. Date: 2001

شماره تمرین شماره صفحه4 5826 58214 58321 5834 646

28 647

Advanced Numerical Methods 121

با مشتقات جزئیحل معادله دیفرانسیل : 4پروژه معادله. هدف از این مساله، محاسبه توزیع دما در حالت دائم در صفحه مستطیلی است

:حاکم بر این مساله، معادله الپالس است

ر سمت چپ صفحه در معرض دماي صف. استعایق مورد نظر محدوده باال و پایین صفحه f(y)=yدماي درجه سلسیوس و سمت راست آن در °Cاست.

2 2

2 2 0T Tx y

∂ ∂+ =

∂ ∂

21

odd

1( , ) 4 sinh( )cos( )4 (n ) sinh(2 )n

n

xT x y n x n yn

π ππ π

∞

=

= − ∑:حل تحلیلی

Advanced Numerical Methods 122

مشتقات جزئیبا حل معادله دیفرانسیل : 4پروژه مسئلهخواسته هاي:بنویسید2مرتبهدقتبامحدوداختالفروشبهرامعادلهمجزاسازيکاملبه طور.حليبرا.کندحلشدهمجزامعادالتبرايعدديروشبهرامسئلهکهبنویسیدايبرنامه

.کنیداستفادهSORوسایدل-گوسژاکوبی،هايروشازمعادالتدستگاهجهاتدرنقاطتعدادویکنواختراشبکهنوعxوyترتیببهراNxوNyکنیدفرض.

).شودمینیزمرزروينقاطشاملتعداداین(بارامسئلهابتدادرNx=11وNy=11تکرارها،شروعبراي.کنیدحلژاکوبیحلگربا

اییهمگر.بگیریدنظردرصفر،)راستسمتمرزهايازغیر(نقاطهمهبرايرااولیهحدسوطخطرويتحلیلیحلبارانتایجاختالفنقطه،تعداداینبا.کنیدبررسیراروش

؟استدرصدچندخطابیشینه.کنیدمقایسه)افقیوعمودي(مرکزيازاستقالل.دآیبه دستمحاسباتیشبکهازمستقلنتایجتاکنیدکمآن قدرراشبکهتعداد

.کنیدمقایسهتحلیلیحلباراآمدهبه دستنتایج.دهیدنشانراشبکهوسایدل-گوسحلگرهايبرايرافوقبندSORکدامدرهمگراییسرعت.کنیدتکرار

؟چرااست؟بیشترحلگر