lu decomposition (factorization) lu ﻪﯾﺰﺠﺗ...

Advanced Numerical Methods 50

LU LU Decomposition (Factorization)روش تجزیه

ماتریس پائین مثلثیماتریس باال مثلثی


LUایده اصلی روش تجزیه

BXUL

BXA

XUD

ULA

BL D

DU X

BDL

D

تجزیه ماتریس ضرائب به دو ماتریس پائین و : 1گام باال مثلثی

با استفاده از جایگذاري رو به جلو Dمحاسبه بردار : 2گام

با استفاده از جایگذاري رو به عقب Xمحاسبه بردار : 3گام


با استفاده از روش حذف گوس LUروش تجزیه

ULA

ضریب در اول ردیف ضرب گوس حذف روش در اول گام f21 از آن ماحصل تفریق و .می شود حذف a21 درایه صورت این در .است دوم ردیف

باال و پائین ماتریس دو به ضرائب ماتریس گوس حذف روش از استفاده با روش این در .می شود تجزیه مثلثی

[U] همان ماتریس باال مثلثی بعد از مرحله اول روش حذف گوس می باشد.

[L] از ضرایب مورد استفاده در مرحله اول ساخته می شود.

ضریب در اول ردیف سپس f31 می شود کم سوم ردیف از آن ماحصل و شده ضرب. .می شود حذف a31 درایه صورت این در



ضریب در دوم یافته تغییر ردیف نهایی گام در f32 ردیف از آن ماحصل و شده ضرب .می شود حذف a32 درایه صورت این در .می شود کم سوم



مثال

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 0.1 0.2 7.85

0.1 7 0.3 19.3

0.3 0.2 10 71.4

x x x

x x x

x x x

3 0.1 0.2 7.85

0.1 7 0.3 19.3

0.3 0.2 10 71.4

3 0.1 0.2 7.85

0 7.00333 0.293333 19.5617

0 0.190000 10.0200 70.6150

2nd row - 1st row×0.1/33rd row - 1st row ×0.3/3



3مثال 0.1 0.2 7.85

0 7.00333 0.293333 19.5617

0 0.190000 10.0200 70.6150

3rd row-2nd row ×-0.19/7.00333

3 0.1 0.2 7.85

0 7.00333 0.293333 19.5617

0 0 10.0120 70.0843



مثال

3 0.1 0.2

0.1 7 0.3

0.3 0.2 10

A

21

11

31 32

11 22

1 0 0 1 0 01 0 0

0.11 0 1 0 0.0333333 1 0

30.1 0.02713 1

0.3 0.1911

3 7.00333

aL

a

a a

a a

3 0.1 0.2

0 7.00333 0.293333

0 0 10.0120

U



مثال

1

2

3

1 0 07.85

0.11 0 19.3

371.4

0.3 0.191

3 7.00333

d

d

d

3

2

1

D

1

2

3

7.85

19.3 0.0333333(7.85) 19.5617

71.4 0.1(7.85) 0.02713( 19.5617) 70.0843

d

d

d



مثال1

2

3

7.85

19.5617

70.0843

d

D d

d

1

2

3

3 0.1 0.2 7.85

0 7.00333 0.293333 19.5617

0 0 10.0120 70.0843

x

x

x

1

2

3

3

2.5

7.0

x

x

x

3

2

1

X


Croutبا استفاده از روش تجزیه LUروش تجزیه

ماتریس روش این در [U] آن اصلی قطر درایه هاي که است مثلثی باال ماتریسی .می باشند 1 همگی

ماتریس اول ستون درایه هاي ابتدا روش این در [L] می آیند به دست:

ماتریس اول سطر درایه هاي سپس [U] می شوند محاسبه.

ماتریس ستون هاي میان در یک به صورت و ترتیب همین به [L] ماتریس ردیف هاي و [U] می آیند به دست:


LUروش تجزیه

تجزیه براي نیاز مورد زمان [A] با متناسب n3/3 می باشد.

دستگاه دو از یک هر حل براي الزم زمان [L][D]=[B] و [U][X]=[D] .است n2/2 با متناسب

روش در LU، بردار تجزیه [A] بردار از مستقل [B] می باشد.


LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

11 12 1

21 22 21

1 2

n

n

n n nn

x x x

x x xA X

x x x

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

1

1

1

n n

n n

n n nn n n nn

a a a x x x

a a a x x xAX

a a a x x x

مجهوالت

x ها می باشند



11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

1

1

1

n n

n n

n n nn n n nn

a a a x x x

a a a x x xAX

a a a x x x

11

21

1

11 12 1

21 22 2

1 2

1

0

0

n

n n

n

n n n

x

x

x

a a a

a a a

a a a



11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

1

1

1

n n

n n

n n nn n n nn

a a a x x x

a a a x x xAX

a a a x x x

12

22

2

11 12 1

21 22 2

1 2

0

1

0

n

n n

n

n n n

x

x

x

a a a

a a a

a a a



11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

1

1

1

n n

n n

n n nn n n nn

a a a x x x

a a a x x xAX

a a a x x x

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

0

0

1

n

n

nn

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

x

x

x



مثال

3 0.1 0.2

0.1 7 0.3

0.3 0.2 10

A

1 ?A

11 12 13

121 22 23

31 32 33

x x x

A X x x x

x x x



مثال11

21

31

3 0.1 0.2 1

0.1 7 0.3 0

0.3 0.2 10 0

x

x

x

12

22

32

3 0.1 0.2 0

0.1 7 0.3 1

0.3 0.2 10 0

x

x

x

13

23

33

3 0.1 0.2 0

0.1 7 0.3 0

0.3 0.2 10 1

x

x

x



3مثال 0.1 0.2

0.1 7 0.3

0.3 0.2 10

A

21

11

31 32

11 22

1 0 0

1 0

1

aL

a

a a

a a

3 0.1 0.2

0 7.00333 0.293333

0 0 10.0120

U

1 0 0

0.11 0

3

0.3 0.191

3 7.00333



مثالAX LUX B

11

21

31

1 0 0 1

0.0333333 1 0 0

0.1 0.02713 1 0

d

d

d

11

21

31

3 0.1 0.2 1

0 7.00333 0.293333 0.03333

0 0 10.0120 0.1009

x

x

x

11

21

31

1

0.03333

0.1009

d

d

d

11

21

31

0.33249

0.00518

0.01008

x

x

x

LD B

UX D

11

21

31

3 0.1 0.2 1

0.1 7 0.3 0

0.3 0.2 10 0

x

x

x



مثالAX LUX B

LD B

UX D

12

22

32

1 0 0 0

0.0333333 1 0 1

0.1 0.02713 1 0

d

d

d

12

22

32

3 0.1 0.2 0

0 7.00333 0.293333 1

0 0 10.0120 0.2713

x

x

x

12

22

32

0

1

0.2713

d

d

d

12

22

32

0.004944

0.142903

0.00271

x

x

x

12

22

32

3 0.1 0.2 0

0.1 7 0.3 1

0.3 0.2 10 0

x

x

x



مثالAX LUX B

LD B

UX D

13

23

33

1 0 0 0

0.0333333 1 0 0

0.1 0.02713 1 1

d

d

d

13

23

33

3 0.1 0.2 0

0 7.00333 0.293333 0

0 0 10.0120 1

x

x

x

13

23

33

0

0

1

d

d

d

13

23

33

0.006798

0.004183

0.09988

x

x

x

13

23

33

3 0.1 0.2 0

0.1 7 0.3 0

0.3 0.2 10 1

x

x

x



مثال

11

21

31

0.33249

0.00518

0.01008

x

x

x

12

22

32

0.004944

0.142903

0.00271

x

x

x

13

23

33

0.006798

0.004183

0.09988

x

x

x

1

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0.33249 0.004944 0.006798

0.00518 0.142903 0.004183

0.01008 0.00271 0.09988

A X

x x x

x x x

x x x


بررسی بد رفتاري سیستم

ضرایب ماتریس [A]، 1 عدد برابر ردیف هر در درایه بزرگترین به طوري که کرده تراز را 1-[A] ماتریس از درایه هایی اگر کنید، معکوس را شده تراز ماتریس حالت این در .باشد

-Ill( بدرفتار سیستم باشند، بزرگتر 1 از مرتبه چندین که باشند داشته وجود

condition( است.

ضرایب ماتریس [A] ماتریس در را [A]-1 واحد ماتریس با را نتیجه و کرده ضرب [I] .است رفتار بد ماتریس باشد، داشته اختالف واحد ماتریس با نتیجه اگر .کنید مقایسه

معکوس ماتریس [A]-1 ماتریس با را آن و کنید معکوس دوباره را [A] کنید مقایسه. .است رفتار بد سیستم شد، مشاهده اختالفی اگر


)Vector and Matrix Norms(نرم بردار و ماتریس

:بگیرید نظر در زیر به صورت بعدي سه فضاي در را F بردار

:شود می تعریف زیر به صورت F بردار اندازهنرم اقلیدسی بیانگر طول

بردار


نرم بردار و ماتریس

:بگیرید نظر در زیر به صورت است بعد n داراي که را [X] بردار

نرم اقلیدسی بردار

:نوشت زیر به صورت توان می را [A] ماتریس نرم

Frobenius Norm:

Uniform Vector Norm:

Uniform Matrix Norm:

یک مقدار را به عنوان

بر [A]اندازه ماتریس .می گرداند

Vector P Norn


نرم بردار و ماتریس

Matrix Condition Number:

ها مجهول نرم نسبی خطاي که داد نشان توان می [X]، ضرایب، نرم نسبی خطاي با [A] دارد را زیر رابطه:

حالت عدد که هنگامی )Condition Number( رفتار بد سیستم باشد، یک از بیشتر )Ill-Condition( است.

سیستم بدرفتاري بررسی براي نظام مند روش:

ضرایب ماتریس اگر [A] دقت تا t 10 مرتبه از کردن گرد خطاي( باشد معلوم رقم−t( Cond حالت عدد و [A] = 10c، بردار حل [X] دقت تا تنها t-c است معتبر رقم.


مثال

ماتریس Hilbert

حالت عدد است مطلوب )Condition Number( هیلبرت 3⨯3 ماتریس براي.

ماتریس را تراز کرده تا 1بیشینه درایه هر ردیف

.شود


مثال

:بنابراین دارد، را ضرایب مقدار بیشترین سوم ردیف

:شده تراز [A] معکوس ماتریس


هاي تکراري حل دستگاه معادالت به روش

Iterative methods


هاي تکرار در حل دستگاه معادالت روش

هستند تکرار مبناي بر روش ها این.

ادامه شوند، همگرا شده اي تعیین پیش از خطاي به جواب ها وقتی تا محاسبات .می یابد

هستند تقریبی ها روش دسته این.

می شوند استفاده بزرگ دستگاه هاي براي.



یک براي معادله هر x می شود حل.

تخمین ساده حدس یک( .می شود شروع مجهوالت از تخمین یک با محاسبات

)مجهوالت تمامی براي صفر



تمامی براي x می گردد تکرار حل این و می شوند حل معادالت این ها.

رصد خطاي نسبی تقریبی در انتهاي هر مرحله براي تمام دx ها محاسبه می شود.

براي همه مجهوالت خطا باید کمتر از خطاي از پیش تعیین شده باشد.



x2=x3=0

x3=0



قبل مرحله تکرار به توجه با خطا بنابراین نیست، مشخص دقیق مقدار واقعی، مسائل در :شود می محاسبه

.روش ممکن است واگرا شود•

.همگرایی ممکن است کند باشد•



) :واگرایی( 1مثال

25

58.106 321

aaa

8

642.177 312

aaa

1

121442.279 213

aaa

5

2

1

3

2

1

a

a

a :حدس اولیه

8.106525 321 aaa

2.177864 321 aaa

2.27912144 321 aaa



تکرار a1 %Error a1 a2 %Error a2 a3 %Error a3

1

2

3

4

5

6

3.6720

12.056

47.182

193.33

800.53

3322.6

72.767

69.543

74.447

75.595

75.850

75.906

–7.8510

–54.882

–255.51

–1093.4

–4577.2

–19049

125.47

85.695

78.521

76.632

76.112

75.972

–155.36

–798.34

–3448.9

–14440

–60072

–249580

103.22

80.540

76.852

76.116

75.963

75.931

29048.01 a 690.192 a 0857.13 a

:جواب صحیح



):سرعت هم گرایی پائین( 2مثال

144

122.279 321

aaa

8

642.177 312

aaa

1

5258.106 213

aaa

5

2

1

3

2

1

a

a

a :حدس اولیه

8.106525 321 aaa

2.177864 321 aaa

2.27912144 321 aaa



تکرار a1 %Error a1 a2 %Error a2 a3 %Error a3

1

2

3

4

5

6

1.7375

1.1282

0.9085

0.8062

0.7419

0.6923

42.446

54.006

24.183

12.689

8.667

7.164

7.625

9.9696

11.2890

12.2452

13.0371

13.7285

73.770

23.517

11.687

7.809

6.074

5.036

25.2375

28.7466

27.6435

25.4197

23.0663

20.8506

80.188

12.207

3.990

8.748

10.202

10.626

29048.01 a 690.192 a 0857.13 a

:جواب صحیح



15312):همگرایی سریع( 3مثال 321 xx x

2835 321 x x x

761373 321 x x x

1

0

1

3

2

1

x

x

x:حدس اولیه



: 3مثال تکرار a1 %Error a1 a2 %Error a2 a3 %Error a3

1

2

3

4

5

6

0.50000

0.14679

0.74275

0.94675

0.99177

0.99919

100.00

240.61

80.236

21.546

4.5391

0.74307

4.9000

3.7153

3.1644

3.0281

3.0034

3.0001

100.00

31.889

17.408

4.4996

0.82499

0.10856

3.0923

3.8118

3.9708

3.9971

4.0001

4.0001

67.662

18.874

4.0064

0.65772

0.074383

0.00101

4

3

1

3

2

1

x

x

x:حل صحیح


)Jacobi iteration method(روش تکرار ژاکوبی


روش تکرار ژاکوبی

Residual

)Diagonally Dominant(مسلط قطري : شرط همگرایی

ژاکوبی تکرار روش در باقیمانده محاسبه

n

ijj

ijii aa1

باشد برقرار سطرها تمامی براي روبرو شرط اگر:

باشد برقرار سطر یک براي حداقل روبرو شرط اگر یا:

n

ijj

ijii aa1

اسکاربورو شرط

Scarborough Criterion


)Gauss-Seidel method(سایدل -روش گوس

سایدل- گوس تکرار روش در باقیمانده محاسبه


هاي تکرار چند نکته در خصوص روش

سایدل واگرا - باشند، از روش گوس) واگرا(اگر از طریق روش ژاکوبی، معادالت همگرا. خواهد شد) همگرا(

سرعت همگرایی کدام روش بیشتر است؟

براي همگرایی، باید حداقل یکی از معادالت شرط مسلط قطري را برآورده نماید .

سایدل، مزیت روش ژاکوبی چیست؟ -با وجود روش گوس


مقایسه همگرایی در دو روش

4X1 + 2X2 = 2

2X1 + 10X2 + 4X3 = 6

4X2 + 5X3 = 5

Solution: (X1 , X2 , X3 ) = (0.41379, 0.17241, 0.86206)

7.0

5.0

6.0

3

2

1

x

x

x :حدس اولیه

مثال



ژاکوبی تکرار روش در همگرایی نمودار

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10

یرتغ

مار

دمق

تعداد تکرار

X1 X2 X3



سایدل-گوس تکرار روش در همگرایی نمودار

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10

یرتغ

مار

دمق

تعداد تکرار

X1 X2 X3


)SOR )Successive Over Relaxationروش

ω =1 ⟹ Gauss-Seidelω<1 ⟹ Under Relaxation1<ω<2 ⟹ Over Relaxationω>2 ⟹ System Diverge

جلوگیري از واگرائی و میرایی نوسانات در تکرار می شود ضریب زیر تخفیف باعث.

باالبردن سرعت همگرایی می شود ضریب فوق تخفیف باعث.

افزایش سرعت همگرائی با استفاده از ضریب تخفیف)Relaxation(


l Number of l Number of

Iterations Iterations

0.7 33 1.25 12

0.8 27 1.3 14

0.9 22 1.4 17

1 17 1.5 22

1.1 13 1.6 30

1.15 10 1.7 43

1.2 10


4X1 + 2X2 = 2

2X1 + 10X2 + 4X3 = 6

4X2 + 5X3 = 5

Solution: (X1 , X2 , X3 ) = (0.41379, 0.17241, 0.86206)

تخفیف ضریب تاثیر بررسی :مثال


دستگاه حل معادالت غیرخطی

دستگاه معادالت غیرخطی زیر را در نظر بگیرید:

:تیلور بسط از استفاده با و رافسون-نیوتن روش مشابه

.باشد می معادله ریشه زیرا است، صفر fk,i+1 مقدار.هستند مجهول مقادیر i+1 و حاضر مقادیر i باال رابطه درK است مجهول یا معادله شماره دهنده نشان هم


دستگاه حل معادالت غیرخطی

فرم .است حل قابل شده، گفته هاي روش از یک هر با خطی معادالت دستگاه این:معادله ماتریسی


:1تمرین سري

Numerical Methods for EngineersSteven C. Chapra, Raymond P. CanaleISBN: 978–0–07–340106–5Publisher: McGraw-HillPub. Date: 2010

شماره تمرین شماره صفحه

5.7 139

5.12 139

6.5 171

6.10 172

6.14 172

6.15 172

17.6 485

17.8, 17.9 485

17.20 486

هاي مشخص شده از کتاب فوق تمرین


:2تمرین سري

عقب به رو چهار مرتبه تقریب از استفاده با )Backward( تابع سوم و دوم اول، مرتبه مشتق f نقطه حول را xi کنید محاسبه.

دهید نشان نیوتن روش و تیلور بسط از استفاده با:

تابع مشتق f نقطه در 1 مرتبه و 2 مرتبه دقت با را x=1 آورید به دست.

42 1 1 28 8( )

12i i i i

i

f f f ff O h

h

xi fi

0.9 2.4596

1.0 2.7183

1.11 3.0344


حل دستگاه معادالت: 3تمرین سري

Numerical Methods for EngineersSteven C. Chapra, Raymond P. CanaleISBN: 978–0–07–340106–5Publisher: McGraw-HillPub. Date: 2010

شماره تمرین شماره صفحه

9.9 272

9.11 272

9.12 272

10.6 293

10.25 295

11.3 312

11.12 313

11.13 313

هاي مشخص شده از کتاب فوق تمرین


حل دستگاه معادالت: 2پروژه

معادالت که کنید سعی .نمایید انتخاب را مجهول 40 و معادله 40 حداقل با معادله دستگاه .باشد داشته فیزیکی مفهوم شده انتخاب

بنویسید زیر هاي روش از یک هر از استفاده با را کامپیوتري برنامه.

گوس حذف روش

تجزیه روش LU

ژاکوبی تکرار روش

سایدل گوس تکرار روش

کنید حل را انتخابی معادله دستگاه شده، نوشته برنامه از استفاده با.

است شده نوشته ادامه در ها خواسته سایر.


حل دستگاه معادالت: 2پروژه

کنید رسم معادالت، دستگاه حل تکرار هاي روش در را همگرایی نمودار.

تخفیف ضریب تاثیر )Relaxation Factor( کنید بررسی همگرایی سرعت بر را.

فرمایید بررسی همگرایی سرعت نظر از را ها روش از یک هر.

رفتار بد ،معادالت ضرایب ماتریس دهید نشان )ill-condition( رفتار خوش یا )Well-

condition( است.

که کنید بررسی Pivoting دارد تاثیري چه گوسی، حذف روش همگرایی سرعت در.

lu decomposition (factorization) lu ﻪﯾﺰﺠﺗ...

Documents